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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Selected Transitions of a Stationary Markov Chain
The setting and the notation of the present subsection are the same as in Example 1.1.5. The intensity $\lambda_{H}$ of $N_{H}$ is
$$
\begin{aligned}
E\left[N_{H}(0,1]\right] &=E\left[\int_{(0,1]} 1_{H}\left(X_{s-}, X_{s}\right) N(d s)\right] \
&=E\left[\int_{(0,1]} \sum_{(i, j) \in H} 1_{{i}}\left(X_{s-}\right) N_{i j}(d s)\right]
\end{aligned}
$$
where $N_{i j}=N_{{(i, j)}}$ counts the transitions from $i$ to $j$. Therefore from Lévy’s formula (see e.g. [36])
$$
\lambda_{H}=\sum_{(i, j) \in H} \pi(i) q_{i j}
$$
We assume that
$$
0<\lambda_{H}<\infty
$$
so that we can define the Palm probability $P_{N_{H}}^{0}$ associated with $N_{H}$. Let now $g: \mathcal{E} \times \mathcal{E} \rightarrow \mathbb{R}$ be non-negative and measurable. Then
$$
\begin{aligned}
E_{N_{H}}^{0}\left[g\left(X_{0-1}, X_{0}\right)\right] &=\frac{1}{\lambda_{H}} E\left[\int_{(0,1]} g\left(X_{s-}, X_{s}\right) N_{H}(d s)\right] \
&=\frac{1}{\lambda_{H}} E\left[\int_{(0,1]} \sum_{(i, j) \in H} g(i, j) 1_{{i}}\left(X_{s-}\right) N_{i j}(d s)\right] \
&=\frac{1}{\lambda_{H}} E\left[\int_{(0,1]} \sum_{(i, j) \in H} g(i, j) 1_{{i}}\left(X_{s-}\right) q_{i j} d s\right]
\end{aligned}
$$
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stationary Semi-Markov Process
A semi-Markov process on the denumerable state space $\mathcal{E}$ is constructed as follows.
Let $I P=\left{p_{i j}\right}, i, j \in \mathcal{E}$, be a stochastic matrix on $\mathcal{E}$, assumed irreducible and positive recurrent (in short, ergodic). Its unique stationary distribution is denoted by $\pi={\pi(i)}, i \in \mathcal{E}$.
For each $i, j \in \mathcal{E}$, let $G_{i j}(t)$ be the cumulative distribution function of some strictly positive and proper random variable: thus $G_{i j}(0)=0$ and $G_{i j}(\infty)=$ 1. Denote by $m_{i j}$ the mean
$$
m_{i j}=\int_{0}^{\infty} t G_{i j}(d t)=\int_{0}^{\infty}\left(1-G_{i j}(t)\right) d t<\infty .
$$
Recall at this stage that if $U$ is a random variable uniformly distributed on $[0,1], G_{i j}^{-1}(U)$ is a random variable with c.d.f. $G_{i j}(t)$ (here $G_{i j}^{-1}$ is the inverse of $\left.G_{i j}\right)$.
Let $\left{X_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}$, be a stationary Markov chain with transition matrix $I P$, defined on some probability space with a probability $\mathcal{P}^{0}$, and let $\left{U_{n}\right}, n \in$ $\mathbb{Z}$, be a sequence of i.i.d. random variables, defined on the same space and uniformly distributed on $[0,1]$. Assume moreover that the sequences $\left{U_{n}\right}$ and $\left{X_{n}\right}$ are independent under $\mathcal{P}^{0}$.
Define
$$
S_{n}=G_{X_{n} X_{n+1}}^{-1}\left(U_{n}\right)
$$
In particular, conditionally on $X_{n}=i$ and $X_{n+1}=j, S_{n}$ is distributed according to the c.d.f. $G_{i j}(t)$. Moreover, conditionally on the whole sequence $\left{X_{n}\right}$, the sequence $\left{S_{n}\right}$ forms an independent family of random variables.
We can now define a point process $N$ by
$$
T_{0}=0, T_{n+1}-T_{n}=S_{n} \quad(n \in \mathbb{Z})
$$
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Delayed Marked Point Process
Let $\left(\Omega, P, \mathcal{F}, \theta_{t}\right)$ be a stationary framework, let $N$ be a $\theta_{t}$-compatible point process with points $\left{T_{n}\right}$, and let $\left{Z_{n}\right}$ and $\left{V_{n}\right}$ be two mark sequences, with values in $(K, \mathcal{K})$ and $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ respectively.
Let $N_{Z}^{\prime}$ be the random measure on $\mathbb{R} \times K$ defined by
$$
N_{Z}^{\prime}(C \times L)=\sum_{n \in Z} 1_{C}\left(T_{n}+V_{n}\right) 1_{L}\left(Z_{n}\right) .
$$
Let $\left{T_{n}^{\prime}, Z_{n}^{\prime}\right}$, denote the sequence of points of this random measure, where the numbering obeys the usual conventions. Let $N^{\prime}$ be defined by $N^{\prime}(.)=$ $N_{Z}^{\prime}(., K)$.
So, the points of $N^{\prime}$ are obtained from those of $N$ by delaying the $n$-th point of $T_{n}$ of $V_{n}$, and the mark of the resulting point is $Z_{n}$. Note that the order of points is not assumed to be preserved by this transformation, that is $T_{n}^{\prime}$ is not necessarily $T_{n}+V_{n}$.
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Selected Transitions of a Stationary Markov Chain
本小节的设置和符号与示例 1.1.5 相同。强度λH的ñH是
和[ñH(0,1]]=和[∫(0,1]1H(Xs−,Xs)ñ(ds)] =和[∫(0,1]∑(一世,j)∈H1一世(Xs−)ñ一世j(ds)]
在哪里ñ一世j=ñ(一世,j)计算从一世到j. 因此，根据 Lévy 公式（参见例如 [36]）
λH=∑(一世,j)∈H圆周率(一世)q一世j
我们假设
0<λH<∞
这样我们就可以定义 Palm 概率磷ñH0有关联ñH. 现在让G:和×和→R是非负的和可测量的。然后
和ñH0[G(X0−1,X0)]=1λH和[∫(0,1]G(Xs−,Xs)ñH(ds)] =1λH和[∫(0,1]∑(一世,j)∈HG(一世,j)1一世(Xs−)ñ一世j(ds)] =1λH和[∫(0,1]∑(一世,j)∈HG(一世,j)1一世(Xs−)q一世jds]
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stationary Semi-Markov Process
可数状态空间上的半马尔可夫过程和构造如下。
让I P=\left{p_{i j}\right}, i, j \in \mathcal{E}I P=\left{p_{i j}\right}, i, j \in \mathcal{E}, 是一个随机矩阵和，假设不可约且正循环（简而言之，遍历）。其独特的平稳分布表示为圆周率=圆周率(一世),一世∈和.
对于每个一世,j∈和， 让G一世j(吨)是一些严格正的和适当的随机变量的累积分布函数：因此G一世j(0)=0和G一世j(∞)=1. 表示为米一世j均值
米一世j=∫0∞吨G一世j(d吨)=∫0∞(1−G一世j(吨))d吨<∞.
在这个阶段回想一下，如果在是一个随机变量，均匀分布在[0,1],G一世j−1(在)是一个带有 cdf 的随机变量G一世j(吨)（这里G一世j−1是的倒数G一世j).
让\left{X_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}\left{X_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}, 是一个带有转移矩阵的平稳马尔可夫链一世磷, 定义在某个概率空间上磷0， 然后让\left{U_{n}\right}, n \in\left{U_{n}\right}, n \in 从，是一个独立同分布的随机变量序列，定义在同一个空间上，并且均匀分布在[0,1]. 此外假设序列\left{U_{n}\right}\left{U_{n}\right}和\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}下是独立的磷0.
定义
小号n=GXnXn+1−1(在n)
特别是，有条件地Xn=一世和Xn+1=j,小号n根据 cdf 分发G一世j(吨). 此外，有条件地对整个序列\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}， 序列\left{S_{n}\right}\left{S_{n}\right}形成一个独立的随机变量族。
我们现在可以定义一个点过程ñ经过
吨0=0,吨n+1−吨n=小号n(n∈从)
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Delayed Marked Point Process
让(Ω,磷,F,θ吨)是一个固定的框架，让ñ做一个θ吨- 与点兼容的点流程\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}， 然后让\left{Z_{n}\right}\left{Z_{n}\right}和\left{V_{n}\right}\left{V_{n}\right}是两个标记序列，值在(ķ,ķ)和(R,乙)分别。
让ñ从′成为随机测量R×ķ被定义为
ñ从′(C×大号)=∑n∈从1C(吨n+在n)1大号(从n).
让\left{T_{n}^{\prime}, Z_{n}^{\prime}\right}\left{T_{n}^{\prime}, Z_{n}^{\prime}\right}, 表示这个随机度量的点序列，其中编号遵循通常的约定。让ñ′定义为ñ′(.)= ñ从′(.,ķ).
所以，要点ñ′从那些获得ñ通过延迟n-第一个点吨n的在n, 结果点的标记是从n. 请注意，此变换不假定点的顺序保持不变，即吨n′不一定吨n+在n.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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