如果你也在 怎样代写离散时间鞅理论martingale这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散时间鞅理论martingale方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散时间鞅理论martingale代写方面经验极为丰富，各种离散时间鞅理论martingale相关的作业也就用不着说。

我们提供的离散时间鞅理论martingale及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References

Central Limit Theorems for martingales can be found in many textbooks, Billingsley (1995); Durrett (1996); Ethier and Kurtz (1986); Varadhan (2001), for instance. We refer to Whitt (2007) for a recent account.

To our knowledge, the first central limit theorem for Markov chains goes back to Doeblin (1938) who reduced the problem to the case of independent identically distributed random variables. We refer to Nagaev (1957) for a proof along the line of Doeblin’s idea. Gordin (1969) and Gordin and Lifšic (1978) showed that
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges to a mean zero Gaussian random variable if $V$ belongs to the range of the operator $I-P$ in $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) proved an invariance principle for a Markov chain in random environment.

Kozlov (1985) and Kipnis and Varadhan (1986) proposed independently a general method to prove central limit theorems for additive functionals of Markov chains from martingale central limit theorems. The approach presented here follows Kipnis and Varadhan (1986). This seminal paper has been the starting point of much research on asymptotic normality of additive functionals of ergodic Markov chains which is reviewed in the following chapters. De Masi et al. (1989) and Goldstein (1995) considered anti-symmetric additive functionals of reversible Markov chains. Maxwell and Woodroofe $(2000)$ proved that the sequence (1.27) is asymptotically normal for stationary ergodic Markov chains $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ provided $V$ has mean zero with respect to the stationary measure $\pi$ and
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales

On a probability space $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ consider a right continuous, square-integrable martingale $\left{M_{t}: t \geq 0\right}$ with respect to a given filtration $\left{\mathscr{F}{t}: t \geq 0\right}$ satisfying the usual conditions. We refer to Jacod and Shiryaev (1987) for the terminology adopted and some elementary properties of martingales used without further comments. Assume that $M{0}=0$ and denote by $\langle M, M\rangle_{t}$ its predictable quadratic variation. Denote by $\mathbb{E}$ expectation with respect to $\mathbb{P}$.

Theorem 2.1 Assume that the increments of the martingale $M_{t}$ are stationary: for every $t \geq 0, n \geq 1$ and $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$, the random vectors $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-\right.$ $\left.M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ have the same distribution. Assume also that the predictable quadratic variation converges in $L^{1}(\mathbb{P})$ to $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle{n}}{n}-\sigma^{2}\right|=0 .
$$
Then, the distribution of $M_{t} / \sqrt{t}$ conditioned on $\mathscr{F}{0}$ converges in probability, as $t \uparrow \infty$, to a mean zero Gaussian law with variance $\sigma^{2}$ : $$ \lim {t \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0 $$ for all $\theta$ in $\mathbb{R}$. The proof of this theorem relies on the next lemma which reduces the problem to proving the central limit theorem for integer times. Lemma 2.2 Under the assumptions of Theorem 2.1, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\sup {n \leq t \leq n+1}\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F}{0}\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}{0}\right]\right|\right]=0 $$ Proof The difference of conditional expectations appearing in the statement of the lemma equals $$ \mathbb{E}\left[\left(\exp \left{i \theta\left[M{t} / \sqrt{t}-M_{n} / \sqrt{n}\right]\right}-1\right) e^{i \theta M_{n} / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F}_{0}\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation

Fix a function $V$ in $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}{-1}, \lambda>0$ and consider the resolvent equation $$ \lambda f{\lambda}-L f_{\lambda}-V
$$
Note that $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ belongs to the domain of the generator $L$. Taking the scalar product with respect to $f_{\lambda}$ on both sides of this equation we get that
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2}=\left\langle V, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$

Hence, by Schwarz inequality ( $2.9)$,
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq\left|f_{\lambda}\right|_{1}|V|_{-1}
$$
so that $\left|f_{\lambda}\right|_{1} \leq|V|_{-1}$. Combining the two previous bounds we easily obtain the stronger estimate
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|_{1}^{2} \leq|V|_{-1}^{2} .
$$
From the above estimate we conclude that $\lambda f_{\lambda}$ vanishes in $L^{2}(\pi)$ as $\lambda \downarrow 0$ and that $\left{f_{\lambda}: 0<\lambda \leq 1\right}$ forms a bounded sequence in $\mathscr{H}_{1}$ and is therefore weakly precompact.

Another simple consequence of $(2.15)$ is that $(\lambda-L)^{-1}$ extends to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$ :

Lemma 2.3 The operator $(\lambda-L)^{-1}$ extends from $L^{2}(\pi)$ to a bounded mapping from $\mathscr{H}{-1}$ to $\mathscr{H}{1}$. Moreover, for any $V \in \mathscr{H}{-1}$ we have $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right|{1} \leq|V|_{-1}
$$
We wish to formulate sufficient conditions for the central limit theorem of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ in terms of the asymptotic behavior, as $\lambda \downarrow 0$, of the solutions $f_{\lambda}$ of the resolvent equation (2.13). We first observe in Sect. $2.5$ that the condition $V \in \mathscr{H}{-1}$ guarantees that the $L^{2}\left(\mathbb{P}{\pi}\right)$ norm of $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ remains bounded for large $t$. Next, in Theorem 2.7, we show that a central limit theorem is valid, provided the following two conditions are satisfied:
$$
\lim {\lambda \rightarrow 0} \lambda\left|f{\lambda}\right|_{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim {\lambda \rightarrow 0}\left|f{\lambda}-f\right|_{1}=0
$$
for some $f$ in $\mathscr{H}{1}$. In Theorem $2.14$, we prove that the bound $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f_{\lambda}\right|_{-1}<\infty$ implies the previous two conditions. Therefore, a central limit theorem holds if $\sup {0<\lambda \leq 1}\left|L f{\lambda}\right|_{-1}<+\infty$.

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Comments and References

鞅的中心极限定理可以在许多教科书中找到，Billingsley (1995)；达雷特（1996)；Ethier 和库尔茨 (1986)；例 如，瓦拉丹 (2001)。我们参考了 Whitt (2007) 的最新报道。
据我们所知，马尔可夫链的第一个中心极限定理可以追溯到 Doeblin (1938)，他将问题简化为独立同分布随机变量 的情况。我们参考 Nagaev (1957) 来获得与 Doeblin 的想法一致的证明。Gordin (1969) 和 Gordin 和 Lifšic (1978) 表明
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛到一个均值为零的高斯随机变量，如果 $V$ 属于算子的范围 $I-P$ 在 $L^{2}(\pi)$. Lawler (1982) 证明了随机环境中马 尔可夫链的不变性原理。

Kozlov (1985) 和 Kipnis 和 Varadhan (1986) 分别提出了一种通用方法，用于从鞅中心极限定理证明马尔可夫链的 加性泛函的中心极限定理。这里介绍的方法遒循 Kipnis 和 Varadhan (1986)。这篇开创性的论文是对遍历马尔可夫 链的加性泛函的渐近正态性进行大量研究的起点，后续章节将对此进行回顾。德马西等人。(1989) 和 Goldstein (1995) 考虑了可逆马尔可夫链的反对称加性泛函。麦克斯韦和伍德屋顶(2000)证明了序列 (1.27) 对于静止遍历马 尔可夫链是渐近正态的 Veft {X_{j}: \geq O\right } 假如 $V$ 相对于静止测量的平均值为零 $\pi$ 和
$$
\sum_{n \geq 1} n^{-3 / 2}\left|\sum_{j=0}^{n-1} P^{j} V\right|<\infty
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Continuous Time Martingales

在概率空间上 $(\Omega, \mathbb{P}, \mathscr{F})$ 考虑一个右连续的平方可积靮 $\backslash$ left{M_{t}: t lgeq 0\right } } \text { 关于给定的过滤 }
$\mathrm{~ V e f t { \ m a t h s c r { F } { t : ~ t ~ \ g e q ~ O \ r i g h t } ~ 满 足 一 般 条 件 。 我 们 参 考 了 J a c o d ~ 和}$ 鞅的一些基本性质，没有进一步的评论。假使，假设 $M 0=0$ 并表示为 $\langle M, M\rangle_{t}$ 其可预测的二次变化。表示为 $\mathbb{E}$ 关于期望 $\mathbb{P}$.
定理 $2.1$ 假设鞅的增量 $M_{t}$ 是静止的: 对于每个 $t \geq 0, n \geq 1$ 和 $0 \leq s_{0}<\cdots<s_{n}$ ，随机向量 $\left(M_{s_{1}}-M_{s_{0}}, \ldots, M_{s_{n}}-M_{s_{n-1}}\right),\left(M_{t+s_{1}}-M_{t+s_{0}}, \ldots, M_{t+s_{n}}-M_{t+s_{n-1}}\right)$ 具有相同的分布。还假设可预 测的二次变化收敛于 $L^{1}(\mathbb{P})$ 至 $\sigma^{2}=\mathbb{E} M_{1}^{2}$ :
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left|\frac{\langle M, M\rangle n}{n}-\sigma^{2}\right|=0
$$
那么，分布 $M_{t} / \sqrt{t}$ 以 $\mathscr{F} 0$ 在概率上收敛，如 $t \uparrow \infty$ ，到具有方差的均值零高斯定律 $\sigma^{2}$ :
$$
\lim t \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M_{t} / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-e^{-\sigma^{2} \theta^{2} / 2}\right|\right]=0
$$
对所有人 $\theta$ 在 $\mathbb{R}$. 该定理的证明依赖于下一个引理，该引理将问题简化为证明整数次的中心极限定理。引理 $2.2$ 在定 理 $2.1$ 的假设下，
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[\sup n \leq t \leq n+1\left|\mathbb{E}\left[e^{i \theta M t / \sqrt{t}} \mid \mathscr{F} 0\right]-\mathbb{E}\left[e^{i \theta M n / \sqrt{n}} \mid \mathscr{F} 0\right]\right|\right]=0
$$
证明引理的陈述中出现的条件期望的差等于
\mathbb ${$ E $} \backslash$ left[Veft(\exp \left{i \theta $\backslash \mathrm{~ e f t}$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Resolvent Equation

修复一个函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi) \cap \mathscr{H}-1, \lambda>0$ 并考虑求解方程
$$
\lambda f \lambda-L f_{\lambda}-V
$$
注意 $f_{\lambda}=(\lambda-L)^{-1} V$ 属于生成器的域 $L$. 取相对于的标量积 $f_{\lambda}$ 在这个等式的两边，我们得到
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2}=\left\langle V, f{\lambda}\right\rangle_{\pi}
$$
因此，通过 Schwarz 不等式 (2.9)，
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq\left|f{\lambda}\right|{1}|V|{-1}
$$
以便 $\left|f_{\lambda}\right|{1} \leq|V|{-1}$. 结合前面的两个界限，我们很容易得到更强的估计
$$
\lambda\left\langle f_{\lambda}, f_{\lambda}\right\rangle_{\pi}+\left|f_{\lambda}\right|{1}^{2} \leq|V|{-1}^{2} .
$$
根据上述估计，我们得出结论 $\lambda f_{\lambda}$ 消失在 $L^{2}(\pi)$ 作为 $\lambda \downarrow 0 \mathrm{~ 然 后 ~ V e f t { f _ { \ l a m b d a } : ~ 0 < \ a m b d a ~ \ l e q ~ 1}$ 有界序列 $\mathscr{H}{1}$ 因此是嫋预压实的。 另一个简单的结果 $(2.15)$ 就是它 $(\lambda-L)^{-1}$ 扩展到从 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$ : 引理 $2.3$ 算子 $(\lambda-L)^{-1}$ 从延伸 $L^{2}(\pi)$ 到有界映射 $\mathscr{H}-1$ 至 $\mathscr{H} 1$. 此外，对于任何 $V \in \mathscr{H}-1$ 我们有 $$ \left|(\lambda-L)^{-1} V\right| 1 \leq|V|{-1}
$$
我们希望为中心极限定理制定充分条件 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 就斩近行为而言，如 $\lambda \downarrow 0$ ，的解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程 (2.13) 。我们首先在 Sect 中观察。 $2.5$ 那个条件 $V \in \mathscr{H}-1$ 保证 $L^{2}(\mathbb{P} \pi)$ 规范 $t^{-1 / 2} \int_{0}^{t} V\left(X_{s}\right) d s$ 仍然有界大 $t$. 接下来，在定理 $2.7$ 中，我们证明中心极限定理是有效的，前提是满足以下两个条件:
$$
\lim \lambda \rightarrow 0 \lambda|f \lambda|{\pi}^{2}=0 \quad \text { and } \quad \lim \lambda \rightarrow 0|f \lambda-f|{1}=0
$$
对于一些 $f$ 在 $\mathscr{H} 1$. 定理 $2.14$ ，我们证明有界sup $0<\lambda \leq 1\left|L f_{\lambda}\right|{-1}<\infty$ 暗示了前两个条件。因此，中心极限 定理成立，如果 $\sup 0<\lambda \leq 1|L f \lambda|{-1}<+\infty$.

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写离散时间鞅理论martingale这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散时间鞅理论martingale方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散时间鞅理论martingale代写方面经验极为丰富，各种离散时间鞅理论martingale相关的作业也就用不着说。

我们提供的离散时间鞅理论martingale及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

Fix a probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and an increasing filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$. Denote by $\mathbb{E}$ the expectation with respect to the probability measure $\mathbb{P}$. Let $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ be a stationary and ergodic sequence of random variables adapted to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}\right}$ and such that $$ \mathbb{E}\left[Z{1}^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0, \quad j \geq 0 . $$ The variables $\left{Z{j}: j \geq 1\right}$ are usually called martingale differences because the process $\left{M_{j}: j \geq 0\right}$ defined as $M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1$, is a zero-mean, square integrable martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}_{j}: j \geq 0\right}$.

Theorem 1.2 Let $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ be a sequence of stationary, ergodic random variables satisfying (1.10). Then, $N^{-1 / 2} \sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}$ converges in distribution, as $N \uparrow \infty$, to a Gaussian law with zero mean and variance $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.

Proof If one assumes that the martingale differences $\left{Z_{j}\right}$ are bounded, the proof is elementary and follows from the ergodic assumption. Suppose therefore that $\left|Z_{1}\right| \leq$ $C_{0}, \mathbb{P}$-a.s. for some finite constant $C_{0}$.

We first build exponential martingales. Since $\left{Z_{j}\right}$ are martingale differences, $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]=0$ for all $j \geq 0, K \geq 1$. Therefore, since $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq$ $x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, subtracting $\mathbb{E}\left[i \theta \sum{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F}{j}\right]$ from the expression on the lefthand side in the next formula we obtain that $$ \left|\mathbb{E}\left[\exp \left{i \theta \sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right} \mid \mathscr{F}{j}\right]-1\right| \leq \frac{\theta^{2}}{2} \mathbb{E}\left[\left(\sum{k=j+1}^{j+K} Z_{k}\right)^{2} \mid \mathscr{F}_{j}\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

In this section, we examine the asymptotic behavior of the variance of
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
for square integrable functions $V$ in the context of reversible Markov chains. Reversibility with respect to $\pi$ means that $P$ is a symmetric operator in $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
for all $f, g$ in $L^{2}(\pi)$. It is easy to check that a probability measure $\pi$ is reversible if and only if it satisfies the detailed balance condition:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
for all $x, y$ in $E$, which means that
$$
\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P}{\pi}\left[X{n}=y, X_{n+1}=x\right]
$$
A reversible measure is necessarily invariant since
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x) .
$$
In this section, we prove that the following limit exists:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim {N \rightarrow \infty} \mathbb{E}{\pi}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
where we admit $+\infty$ as a possible value, and we find necessary and sufficient conditions for $\sigma^{2}(V)$ to be finite. We also introduce Hilbert spaces associated to the transition operator $P$ which will play a central role in the following chapters.

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

In this section, we prove a central limit theorem for additive functionals of reversible Markov chains. Fix a zero-mean function $V$ in $L^{2}(\pi)$. We have seen in the beginning of this chapter that a central limit theorem for the additive functional $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ follows easily from a central limit theorem for martingales if $V$ belongs to the range of $I-P$, i.e., if there is a solution in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation $(I-P) f=V$. This assumption is too strong and should be relaxed. A natural condition to impose on $V$ is to require that its time-variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. In this case we may try to repeat the approach presented in the beginning of the chapter replacing the solution of the Poisson equation $(I-P) f=V$, which may not exist, by the solution $f_{\lambda}$ of the resolvent equation $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ which always exists.

Fix therefore a zero-mean function $V$ and assume that its variance $\sigma^{2}(V)$ is finite. Let $f_{\lambda}$ be the solution of the resolvent equation (1.16). For $N \geq 1$,
$$
\begin{aligned}
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right) &=\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)+\sum_{j=0}^{N-1}\left{f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j}\right)\right} \
&=M_{N}^{\lambda}+f_{\lambda}\left(X_{0}\right)-f_{\lambda}\left(X_{N}\right)+\lambda \sum_{j=0}^{N-1} f_{\lambda}\left(X_{j}\right)
\end{aligned}
$$
where $\left{M_{N}^{\lambda}: N \geq 0\right}$ is the martingale with respect to the filtration $\left{\mathscr{F}{j}: j \geq 0\right}$, $\mathscr{F}{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, defined by $M_{0}^{\lambda}:=0$,
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
for $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ for $j \geq 1$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Martingales

修正一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 和不断增加的过滤 $\$ left:{mathscr{F}{j}: \geq Olright }. 表示为 $\mathbb{E}$ 关于概率测度的期望 $\mathbb{P}$.
$\mathrm{~ 让 ~ U l e f t { Z { j } : ~ j g e q ~ 1 | r i g h t } ~ 是 适 应 过 滤 的 随 机 变 量 的 平 稳 和 遍 历 序 列 【 V e f t {}$
$$
\mathbb{E}\left[Z 1^{2}\right]<\infty, \quad \mathbb{E}\left[Z_{j+1} \mid \mathscr{F} j\right]=0, \quad j \geq 0 .
$$
变量 $\mathrm{~ I l e f t { Z { j } : ~ \ g e q ~ 1 | r i g h t ~ }}$
$M_{0}:=0, M_{j}:=\sum_{1 \leq k \leq j} Z_{k}, j \geq 1 \mathrm{~ , ~ 是 关 于 过 滤 的 零 均 值 平 方 可 积 䩗 祥 ⿰}$
定理 $1.2$ 让 $\mathrm{~ M e f t { Z _ { j } : ~ j g e q ~ 1}$ 上收敛，如 $N \uparrow \infty$ ，到零均值和方差的高斯定律 $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left[Z_{1}^{2}\right]$.
证明 如果假设鞅差 left{Z_{j} \right } } \text { 是有界的，证明是基本的，并且遵循遍历假设。因此假设 } | Z _ { 1 } | \leq C _ { 0 } , \mathbb { P } \text { – 至于一 } 些有限常数 $C_{0}$.
我们首先建立指数鞅。自从Uleft{Z_fj}right $}$ 是鞅差， $\mathbb{E}\left[\sum_{j+1 \leq k \leq j+K} Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]=0$ 对所有人 $j \geq 0, K \geq 1$. 因此，由于 $\left|e^{i x}-1-i x\right| \leq x^{2} / 2, x \in \mathbb{R}$, 减去 $\mathbb{E}\left[i \theta \sum j+1 \leq k \leq j+K Z_{k} \mid \mathscr{F} j\right]$ 从下一个公式左侧的 表达式中，我们得到

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Time-Variance in Reversible Markov Chains

在本节中，我们检查方差的渐近行为
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
对于平方可积函数 $V$ 在可逆马尔可夫链的背景下。关于可逆性 $\pi$ 意思是 $P$ 是一个对称算子 $L^{2}(\pi)$ :
$$
\langle P f, g\rangle_{\pi}=\langle f, P g\rangle_{\pi}
$$
对所有人 $f, g$ 在 $L^{2}(\pi)$. 很容易检查概率测度 $\pi$ 是可逆的当且仅当它满足详细平衡条件:
$$
\pi(x) P(x, y)=\pi(y) P(y, x)
$$
对所有人 $x, y$ 在 $E$ ，意思就是
$$
\mathbb{P} \pi\left[X n=x, X_{n+1}=y\right]=\mathbb{P} \pi\left[X n=y, X_{n+1}=x\right]
$$
可逆测度必然是不变的，因为
$$
(\pi P)(x)=\sum_{y \in E} \pi(y) P(y, x)=\sum_{y \in E} \pi(x) P(x, y)=\pi(x)
$$
在本节中，我们证明存在以下限制:
$$
\sigma^{2}(V)=\lim N \rightarrow \infty \mathbb{E} \pi\left[\left(\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{J}\right)\right)^{2}\right]
$$
我们承认的地方 $+\infty$ 作为一个可能的值，我们发现充要条件 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。我们还介绍了与转移算子相关的希 尔伯特空间 $P$ 这将在接下来的章节中发挥核心作用。

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Central Limit Theorem for Reversible Markov Chains

在本节中，我们证明了可逆马尔可夫链的加性泛函的中心极限定理。修复零均值函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$. 我们在本章开头 已经看到，加性泛函的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{0 \leq j<N} V\left(X_{j}\right)$ 很容易从鞅的中心极限定理得出，如果 $V$ 属于范围 $I-P$ ，即，如果在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程的 $(I-P) f=V$. 这个假设太强了，应该放宽。强加于人的自然条件 $V$ 是要 求它的时变 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。在这种情况下，我们可以尝试重复本章开头提出的方法来代替泊松方程的解 $(I-P) f=V$ ，这可能不存在，由解决方案 $f_{\lambda}$ 求解方程的 $\lambda f_{\lambda}+(I-P) f_{\lambda}=V$ 它始终存在。
因此修复一个零均值函数 $V$ 并假设它的方差 $\sigma^{2}(V)$ 是有限的。让 $f_{\lambda}$ 是求解方程 $(1.16)$ 的解。为了 $N \geq 1$ ，
\begin{对斉 } } \mathrm { ~ \ s u m _ { j = 0 } ^ { N – 1 } ~ V
$\mathrm{~ 在 哪 里 ~ \ l e f t { M _ { N } ^ { N l a m b d a } : ~ N ~ I g e q ~ O \ r i g h t ~}$
$\mathscr{F} j=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$ ， 被定义为 $M_{0}^{\lambda}:=0$ ，
$$
M_{N}^{\lambda}:=\sum_{j=1}^{N} Z_{j}^{\lambda}
$$
为了 $Z_{j}^{\lambda}=f_{\lambda}\left(X_{j}\right)-\left(P f_{\lambda}\right)\left(X_{j-1}\right)$ 为了 $j \geq 1$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写离散时间鞅理论martingale这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散时间鞅理论martingale方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散时间鞅理论martingale代写方面经验极为丰富，各种离散时间鞅理论martingale相关的作业也就用不着说。

我们提供的离散时间鞅理论martingale及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

The purpose of this chapter is to present, in the simplest possible context, some of the ideas that will appear recurrently in this book. We assume that the reader is familiar with the basic theory of Markov chains (e.g. Chap. 7 of Breiman 1968 or Chap. 5 of Durrett 1996) and with the spectral theory of bounded symmetric operators (Sect. 107 in Riesz and Sz.-Nagy 1990, Sect. XI.6 in Yosida 1995).

Consider a Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$, stationary and ergodic with respect to a probability measure $\pi$. The problem is to find necessary and sufficient conditions on a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ to guarantee a central limit theorem for
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
We assume that $E_{\pi}[V]=0$, where $E_{\pi}$ stands for the expectation with respect to the probability measure $\pi$. The idea is to relate this question to the well-known martingale central limit theorems.

Denote by $P$ the transition probability of the Markov chain and fix a function $V$ in $L^{2}(\pi)$, the space of functions $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ square integrable with respect to $\pi$. Assume the existence of a solution of the Poisson equation
$$
V=(I-P) f
$$
for some function $f$ in $L^{2}(\pi)$, where $I$ stands for the identity. For $j \geq 1$, let
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
It is easy to check that $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$, is a martingale with respect to the filtration $\left{F_{j}: j \geq 0\right}, F_{j}=\sigma\left(X_{0}, \ldots, X_{j}\right)$, and that
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

In this section, we present some elementary results on Markov chains. Fix a countable state space $E$ and a transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
A sequence of random variables $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ defined on some probability space $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ and taking values in $E$ is a time-homogeneous Markov chain on $E$ if
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$ for all $j \geq 0, y$ in E. $P(x, y)$ is called the probability of jump from $x$ to $y$ in one step. Notice that it does not depend on time, which explains the terminology of a time-homogeneous chain. The law of $X_{0}$ is called the initial state of the chain.
Assume furthermore that on $(\Omega, \mathscr{F})$ we are given a family of measures $\mathbb{P}{z}$, $z \in E$, each satisfying (1.5) and such that $\mathbb{P}{x}\left[X_{0}=x\right]=1$. We call it a Markov family that corresponds to the transition probabilities $P(\cdot, \cdot)$. For a given probability measure $\mu$ on $E$, let $\mathbb{P}{\mu}=\sum{x \in E} \mu(x) \mathbb{P}{x}$. Observe that $\mu$ is the initial state of the chain under $\mathbb{P}{\mu}$. We shall denote by $\mathbb{E}{\mu}$ the expectation with respect to that measure and by $\mathbb{E}{x}$ the expectation with respect to $\mathbb{P}_{x}$.

The transition probability $P$ can be considered as an operator on $C_{b}(E)$, the space of (continuous) bounded functions on $E$. In this case, for $f$ in $C_{b}(E)$, $P f: E \rightarrow E$ is defined by
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right] .
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

Consider a time-homogeneous irreducible (or indecomposable in the terminology of Breiman 1968) Markov chain $\left{X_{j}: j \geq 0\right}$ on a countable state space $E$ with transition probability function $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}{+}$. Assume that there exists a stationary probability measure, denoted by $\pi$. By (Breiman, 1968 , Theorem $7.16$ ), $\pi$ is unique and ergodic. In particular, for any bounded function $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ and any $x$ in $E$, $$ \lim {N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. In this section, we prove a central limit theorem for the sequence $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ assuming that the solution of the Poisson equation (1.2) belongs to $L^{2}(\pi)$. Under this hypothesis we obtain a central limit theorem which holds $\pi$-a.s. with respect to the initial state.

Theorem 1.1 Fix a function $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ in $L^{2}(\pi)$ which has mean zero with respect to $\pi$. Assume that there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2).

Then, for all $x$ in $E$, as $N \uparrow \infty$,
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
converges in $\mathbb{I}{X}$ distribution to a mean zero Gaussian random variable with variance $\sigma^{2}(V)=E{\pi}\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$

Proof Fix a mean zero function $V$ in $L^{2}(\pi)$ and an initial state $x$ in $E$. By assumption, there exists a solution $f$ in $L^{2}(\pi)$ of the Poisson equation (1.2). Consider the sequence $\left{Z_{j}: j \geq 1\right}$ of random variables defined by
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-P f\left(X_{j-1}\right)
$$

离散时间鞅理论代考

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|A Warming-Up Example

本章的目的是在尽可能简单的背景下，介绍本书中经常出现的一些想法。我们假设读者熟惑马尔可夫链的基本理论 (例如 Breiman 1968 的第 7 章或 Durrett 1996 的第 5 章) 和有界对称算子的谱理论 (Riesz 和 Sz.-Nagy 的第 107 节) 1990 年，Yosida 1995 年第 XI.6节)。
考虑马尔可夫链 lleft $\left{X \mathrm{~ _ f j } : ~ \ ~ l g e q ~ O}\right.$ 条件 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 保证中心极限定理
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
我们假设 $E_{\pi}[V]=0$ ， 在哪里 $E_{\pi}$ 代表关于概率测度的期望 $\pi$. 想法是将这个问题与著名的鞅中心极限定理联系起 来。
表示为 $P$ 马尔可夫链的转移概率和固定函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$, 函数空间 $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ 平方可积关于 $\pi$. 假设存在泊松方程的 解
$$
V=(I-P) f
$$
对于某些功能 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ ，在哪里 $I$ 代表身份。为了 $j \geq 1$ ，让
$$
Z_{. j}=f\left(X_{j}\right)-(P f)\left(X_{j-1}\right) .
$$
很容易检查 $M_{0}=0, M_{N}=\sum_{1 \leq j \leq N} Z_{j}, N \geq 1$ ，是关于过滤的鞅
$\mathrm{~ L e f t { F _ { j } : ~ j ~ l g e q ~ O \ r i g h t } , ~ F _ { j } = I s i g m a l l e f t ( X _ { 0 } , ~ I d o t s , ~ X _ { j }}$
$$
\sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)=M_{N}-f\left(X_{N}\right)+f\left(X_{0}\right)
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Ergodic Markov Chains

在本节中，我们将介绍一些关于马尔可夫链的基本结果。修复可数状态空间 $E$ 和转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
P(x, y) \geq 0, \quad x, y \in E, \quad \sum_{y \in E} P(x, y)=1, \quad x \in E
$$
一系列随机变量 lleft{X_{j: j |geq OIright $}$ 在某个概率空间上定义 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ 并接受价值观 $E$ 是一个时间齐次马尔可 夫链 $E$ 如果
$$
\mathbb{P}\left[X_{j+1}=y \mid X_{j}, \ldots, X_{0}\right]=P\left(X_{j}, y\right)
$$
对所有人 $j \geq 0, y$ 在 $\mathrm{E}^{\circ} P(x, y)$ 被称为跳跃的概率 $x$ 至 $y$ 一步。请注意，它不依赖于时间，这解释了时间齐次链的 术语。的法律 $X_{0}$ 称为链的初始状态。
进一步假设 $(\Omega, \mathscr{F})$ 我们得到了一系列措施 $\mathbb{P} z, z \in E$ ，每个都满足 (1.5) 并且使得 $\mathbb{P} x\left[X_{0}=x\right]=1$. 我们称其为 对应于转移概率的马尔可夫族 $P(\cdot, \cdot)$. 对于给定的概率测度 $\mu$ 上，让 $\mathbb{P} \mu=\sum x \in E \mu(x) \mathbb{P} x$. 请注意 $\mu$ 是链下 的初始状态 $\mathbb{P} \mu$. 我们将表示为 $\mathbb{E} \mu$ 对该措施的期望，并通过 $\mathbb{E} x$ 关于的期望 $\mathbb{P}{x}$. 转移概率 $P$ 可以认为是一个运算符 $C{b}(E)$ ，(连续) 有界函数的空间 $E$. 在这种情况下，对于 $f$ 在 $C_{b}(E)$ ， $P f: E \rightarrow E$ 定义为
$$
(P f)(x)=\sum_{y \in E} P(x, y) f(y)=\mathbb{E}\left[f\left(X_{1}\right) \mid X_{0}=x\right]
$$

统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Almost Sure Central Limit Theorem for Ergodic Markov Chains

考虑一个时间齐次不可约 (或用 Breiman 1968 的术语不可分解) 马尔可夫链 lleft{X_{j}: j lgeq OIright }在可数状态 空间上 $E$ 具有转移概率函数 $P: E \times E \rightarrow \mathbb{R}+$. 假设存在一个平稳的概率测度，记为 $\pi$. 由 (Breiman， 1968，定理 $7.16$ ), $\pi$ 是独特的和遍历的。特别是对于任何有界函数 $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ 和任何 $x$ 在 $E$ ，
$$
\lim N \rightarrow \infty \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1}\left(P^{j} g\right)(x)=E_{\pi}\lfloor g\rfloor .
$$
修复一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 在本节中，我们证明了序列的中心极限定理 $N^{-1 / 2} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)$ 假设泊松方程 $(1.2)$ 的解属于 $L^{2}(\pi)$. 在这个假设下，我们得到一个中心极限定理，它成 立 $\pi$ – 与初始状态一样。
定理 $1.1$ 修正一个函数 $V: E \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $L^{2}(\pi)$ 其均值为零 $\pi$. 假设存在解 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $(1.2)$ 。
那么，对于所有人 $x$ 在 $E$ ，作为 $N \uparrow \infty$ ，
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} V\left(X_{j}\right)
$$
收敛于 $\mathbb{I} X$ 分布到具有方差的均值零高斯随机变量 $\sigma^{2}(V)=E \pi\left[f^{2}\right]-E_{\pi}\left[(P f)^{2}\right]$
证明 修正一个均值零函数 $V$ 在 $L^{2}(\pi)$ 和一个初始状态 $x$ 在 $E$. 通过假设，存在一个解决方案 $f$ 在 $L^{2}(\pi)$ 泊松方程 $\mathrm{~ ( 1 . 2 ) 。 考 虑 序 列 ~ l e f t { Z _ { j } : j ~ l g e q ~ 1 ~ 1 r i g h t ~ }}$
$$
Z_{j}=f\left(X_{j}\right)-\operatorname{Pf}\left(X_{j-1}\right)
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。