数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math417

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|If and only i

In this chapter, we studied these two implications:

• If $n$ is odd, then $n^2$ is odd.
• If $n^2$ is odd, then $n$ is odd.
Each is obtained from the other by swapping the if-part and the then-part. Thus, each is called the converse of the other. (Careful: They’re not contrapositives of each other. Why not?) As a shorthand, we can combine the two and write: $n$ is odd if and only if $n^2$ is odd. So, when you’re asked to prove an “if and only if” statement, you’ll have to prove two implications.
Example 1.11. Here is another pair of statements that are converses of each other:
• If I live in Tokyo, then I live in Japan. (True)
• If I live in Japan, then I live in Tokyo. (False)
As you can see, an implication can be true even though its converse is false.
Example 1.12. Similar to Example 1.11, below is a pair of statements that are converses of each other where one is true and the other is false.
• If $n$ is positive, then $n^2$ is positive. (True)
• If $n^2$ is positive, then $n$ is positive. (False)
The first implication is true, but the second one is false. With $n=-3$, we see that even though $n^2=9$ is positive, $n=-3$ is not positive.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Counterexample

Consider the statement: If $n$ is prime, then $2^n-1$ is prime. As usual, let’s create some concrete examples by letting $n$ take on the values of the first few prime numbers.

• If $n=2$, then $2^2-1=3$ is prime.
• If $n=3$, then $2^3-1=7$ is prime.
• If $n=5$, then $2^5-1=31$ is prime.
• If $n=7$, then $2^7-1=127$ is prime.
So far, so good. But does this mean that the statement is true? Not necessarily. In order for the statement to be true, the expression $2^n-1$ must be prime for every prime $n$. In other words, if we can find just one counterexample, i.e., an example that invalidates the statement, then we can conclude that the statement is false. Here is a counterexample: $n=11$ is prime (which satisfies the hypothesis), but $2^{11}-1=2,047=23 \cdot 89$ is not prime (which fails the conclusion). Thus, the implication is false.

Proof know-how. To show that an implication is false, we only need to find one counterexample. Thus, disproving an implication (when it’s false) tends to be easier than proving one (when it’s true).

Example 1.13. Consider the statement: If $n$ is an odd prime, then $n+2$ is prime. Many values of $n$ serve as valid examples of this statement, as shown below:

• If $n=3$, then $n+2=5$ is prime.
• If $n=11$, then $n+2=13$ is prime.
• If $n=101$, then $n+2=103$ is prime.
However, the statement is false because we can find a counterexample: $n=7$ is an odd prime (which satisfies the hypothesis), but $n+2=9$ is not prime (which fails the conclusion).

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|If and only i

• 如果 $n$ 是奇数，那么 $n^2$ 很奇怪。
• 如果 $n^2$ 是奇数，那么 $n$ 很奇怪。
每个都是通过交换 if 部分和 then 部分从另一个获得的。因此，每个都称为另一个的逆。（注意：它 们不是彼此的对立面。为什么不呢?）作为速记，我们可以将两者结合起来写成： $n$ 是奇数当且仅当 $n^2$ 很奇怪。所以，当你被要求证明“当且仅当”陈述时，你必须证明两个推论。
示例 1.11。这是另一对彼此相反的陈述:
• 如果我住在东京，那我就住在日本。（真的）
• 如果我住在日本，那我就住在东京。（错误） 如您所见，即使其反义词为假，蕴涵也可能为真。
示例 1.12。与示例 $1.11$ 类似，下面是一对彼此相反的陈述，其中一个为真，另一个为假。
• 如果 $n$ 是正的，那么 $n^2$ 是积极的。（真的)
• 如果 $n^2$ 是正的，那么 $n$ 是积极的。（假)
第一个蕴涵是真的，但第二个是假的。和 $n=-3$, 我们看到即使 $n^2=9$ 是积极的， $n=-3$ 不是 积极的。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Counterexample

• 如果 $n=2$ ，然后 $2^2-1=3$ 是质数。
• 如果 $n=3$ ，然后 $2^3-1=7$ 是质数。
• 如果 $n=5$ ，然后 $2^5-1=31$ 是质数。
• 如果 $n=7$ ，然后 $2^7-1=127$ 是质数。
到目前为止，一切都很好。但这是否意味着该声明是真实的? 不必要。为了使陈述为真，表达式 $2^n-1$ 对于每个素数都必须是素数 $n$. 换句话说，如果我们只能找到一个反例，即一个使陈述无效的 例子，那么我们就可以断定该陈述是错误的。这是一个反例： $n=11$ 是质数 (满足假设)，但是 $2^{11}-1=2,047=23 \cdot 89$ 不是质数（无法得出结论)。因此，暗示是错误的。
证明诀狖。要证明一个蕴涵是假的，我们只需要找到一个反例。因此，反驳一个蕴浄 (当它为假时) 往往 比证明一个蕴浄 (当它为真时) 更容易。
示例 1.13。考虑以下陈述: 如果 $n$ 是奇素数，那么 $n+2$ 是质数。许多值 $n$ 作为该声明的有效示例，如下 所示:
• 如果 $n=3$ ，然后 $n+2=5$ 是质数。
• 如果 $n=11$ ，然后 $n+2=13$ 是质数。
• 如果 $n=101$ ，然后 $n+2=103$ 是质数。
然而，这个说法是错误的，因为我们可以找到一个反例： $n=7$ 是奇素数（满足假设），但是 $n+2=9$ 不是质数 (无法得出结论)。

有限元方法代写

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