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代数拓扑学是数学的一个分支，使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量，对拓扑空间进行同构分类，尽管通常大多数的分类是同构等价的。
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数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|The shape of a space
Two topological spaces $X, Y$ are homeomorphic (written as $X \cong Y$ ) if there exists a homeomorphism $X \rightarrow Y$, i.e. a continuous mapping which has a continuous inverse. We also say that $X, Y$ have the same (topological) shape, or the same homeomorphism-type.
To prove that two given spaces have the same shape can require long computations, in order to build a homeomorphism between them, but is generally a ‘confined’ problem.
To prove that they are not homeomorphic can be quite difficult, and enticing, even when we clearly ‘see’ that they have a different shape: we must prove that there cannot exist a homeomorphism between them.
The proof is generally based on a ‘topological property’ (invariant up to homeomorphism) which holds in one of them but not in the other: connectedness, compactness, separation or countability axioms, higher forms of connectedness, etc. When these topological properties are explored throughout algebraic structures we enter in the domain of Algebraic Topology.
The following exercises show two families of spaces which is important to classify; the first classification can be achieved with the usual means of General Topology, the second will be completed later, using singular homology.
Exercises and complements. The solutions to these exercises can be found in Chapter 8.
(a) (The shape of the intervals, I) Any non-degenerate interval of the euclidean line is homeomorphic to $] 0,1[$, or $[0,1[$, or $[0,1]$.
Hints. It is an easy exercise of Calculus, which can be solved using affine linear functions and some elementary transcendental functions: see 8.1.1. (One can also use rational functions and their pastings, but the argument would be longer.)
数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Classifying maps
Studying the maps $f: X \rightarrow Y$ between two topological spaces, we are also interested in classifying them, ‘up to continuous deformation’.
Let us recall that two maps $f, g: X \rightarrow Y$ are said to be homotopic (written as $f \simeq g$ ) if there is a map $\varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y$ defined on the cylinder $I(X)=X \times \mathbb{I}$ (with the product topology), that coincides with $f$ on the lower basis of the cylinder and with $g$ on the upper one
$$
\begin{aligned}
& \varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y, \
& \varphi(x, 0)=f(x), \quad \varphi(x, 1)=g(x) \quad(\text { for } x \in X),
\end{aligned}
$$
forming a continuous deformation of $f$ into $g$. This is easily proved to be an equivalence relation (see 1.4.4). The homotopy will also be written as $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$.
A point $x \in X$ can be identified with the corresponding map $x:{} \rightarrow X$, defined on the singleton space. A homotopy $a: x \simeq x^{\prime}:{} \rightarrow X$ is then the same as a path in $X$ from $x$ to $x^{\prime}$, i.e. a map such that
$$
a: \mathbb{I} \rightarrow X, \quad a(0)=x, \quad a(1)=x^{\prime} .
$$
On the other hand, a homotopy $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$ gives a family of paths $\varphi(x,-): \mathbb{I} \rightarrow Y$ from $f(x)$ to $g(x)$, indexed by $x \in X$ and varying continuously on $X$.
Exercises and complements. (a) The classification of the maps ${*} \rightarrow X$ up to homotopy amounts to the partition of $X$ in path components.
(b) We have two maps $f, g: X \rightarrow Y$ with values in a euclidean space $Y$ (i.e. a subspace of some $\mathbb{R}^n$ ).
If $Y$ is a convex subset of $\mathbb{R}^n$ (i.e. for all $y, y^{\prime} \in Y$, the line segment from $y$ to $y^{\prime}$ is contained in $Y$ ), the maps $f$ and $g$ are always homotopic. More generally, the same holds if, for every $x \in X$, the line segment from $f(x)$ to $g(x)$ is contained in $Y$.
Hints. We can use the linear structure of $\mathbb{R}^n$ to define the affine homotopy
$$
\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y, \quad \varphi(x, t)=(1-t) f(x)+t g(x),
$$
which describes, at each $x \in X$, the line segment from $f(x)$ to $g(x)$, and is indeed an affine linear map in the variable $t \in \mathbb{I}$.
代数拓扑代考
数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|The shape of a space
两个拓扑空间 $X, Y$ 是同胚的 (写成 $X \cong Y$ )如果存在同胚 $X \rightarrow Y$ ，即具有连续逆的连续映射。我们 还说 $X, Y$ 具有相同的（拓扑) 形状，或相同的同胚类型。
证明两个给定空间具有相同的形状可能需要很长时间的计算，以便在它们之间建立同胚，但这通常是一 个“受限”问题。
要证明它们不是同胚的可能非常困难，但也很诱人，即使我们清楚地“看到”它们具有不同的形状：我们 必须证明它们之间不存在同胚。
证明通常基于“拓扑属性”（直到同胚不变），它在其中一个中成立但在另一个中不成立：连通性、紧凑 性、分离或可数性公理、更高形式的连通性等。当这些拓扑属性是在我们进入代数拓扑领域的整个代数 结构中进行探索。
下面的练习展示了两个对分类很重要的空间族；第一个分类可以用一般拓扑学的常用手段来实现，第二 个将在稍后完成，使用奇异同调。
练习和补充。这些练习的答案可以在第 8 章中找到
。 $] 0,1[$ ，或者 $[0,1[$ ，或者 $[0,1]$
提示。这是一个简单的微积分练习，可以使用仿射线性函数和一些基本的超越函数来解决：见 8.1.1。
(也可以使用有理函数及其粘贴，但论证会更长。)
数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Classifying maps
研究地图 $f: X \rightarrow Y$ 在两个拓扑空间之间，我们也有兴趣对它们进行分类，“直至连续变形”。
让我们回想一下那两张地图 $f, g: X \rightarrow Y$ 被称为同伦 (写为 $f \simeq g$ ) 如果有地图 $\varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y$ 定 义在圆柱体上 $I(X)=X \times \mathbb{I}$ (与产品拓扑结构)，这与 $f$ 在圆柱体的下部基础上，并带有 $g$ 在上一个
$$
\varphi: X \times \mathbb{I} \rightarrow Y, \quad \varphi(x, 0)=f(x), \quad \varphi(x, 1)=g(x) \quad(\text { for } x \in X),
$$
形成连续变形 $f$ 进入 $g$. 这很容易证明是一个等价关系 (见1.4.4) 。同伦也可以写成 $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$.
一个点 $x \in X$ 可以用对应的地图识别 $x: \rightarrow X$, 定义在单例空间上。同伦 $a: x \simeq x^{\prime}: \rightarrow X$ 然后与 中的路径相同 $X$ 从 $x$ 到 $x^{\prime}$ ，即这样的地图
$$
a: \mathbb{I} \rightarrow X, \quad a(0)=x, \quad a(1)=x^{\prime} .
$$
另一方面，同伦 $\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y$ 给出了一系列路径 $\varphi(x,-): \mathbb{I} \rightarrow Y$ 从 $f(x)$ 到 $g(x)$, 索引为 $x \in X$ 并不断变化 $X$.
练习和补充。(a) 地图的分类* $\rightarrow X$ 直到同伦等于划分 $X$ 在路径组件中。
(b) 我们有两张地图 $f, g: X \rightarrow Y$ 具有欧几里得空间中的值 $Y$ (即一些子空间 $\mathbb{R}^n$ ).
如果 $Y$ 是一个凸子集 $\mathbb{R}^n$ (即对所有 $y, y^{\prime} \in Y$ ，线段来自 $y$ 到 $y^{\prime}$ 包含在 $Y$ )，地图 $f$ 和 $g$ 总是同伦的。更一 般地，如果对于每个 $x \in X$ ，线段来自 $f(x)$ 到 $g(x)$ 包含在 $Y$.
提示。我们可以使用线性结构 $\mathbb{R}^n$ 定义仿射同伦
$$
\varphi: f \simeq g: X \rightarrow Y, \quad \varphi(x, t)=(1-t) f(x)+t g(x),
$$
这揊述了，在每个 $x \in X$ ，线段来自 $f(x)$ 到 $g(x)$ ，并且确实是变量中的仿射线性映射 $t \in \mathbb{I}$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。