### 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|MAST90136

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## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisor

If $d$ divides two integers $a$ and $b$, then $d$ is called a common divisor of $a$ and $b$. Thus, 1 is a common divisor of every pair of integers $a$ and $b$. We prove now that every pair of integers $a$ and $b$ has a common divisor which can be expressed as a linear combination of $a$ and $b$.

Theorem $1.2$ Given any two integers $a$ and $b$, there is a common divisor $d$ of $a$ and $b$ of the form
$$d=a x+b y,$$ where $x$ and $y$ are integers. Moreover, every common divisor of $a$ and $b$ divides this $d$.

Proof. First we assume that $a \geq 0$ and $b \geq 0$. We use induction on $n$, where $n=a+b$. If $n=0$ then $a=b=0$ and we can take $d=0$ with $x=y=0$. Assume, then, that the theorem has been proved for $0,1,2, \ldots$, $n-1$. By symmetry, we can assume $a \geq b$. If $b=0$ take $d=a, x=1$, $y=0$. If $b \geq 1$ apply the theorem to $a-b$ and $b$. Since $(a-b)+b=$ $a=n-b \leq n-1$, the induction assumption is applicable and there is a common divisor $d$ of $a-b$ and $b$ of the form $d=(a-b) x+b y$. This $d$ also divides $(a-b)+b=a$ so $d$ is a common divisor of $a$ and $b$ and we have $d=a x+(y-x) h$, a linear combination of $a$ and $b$. To complete the proof we need to show that every common divisor divides $d$. But a common divisor divides $a$ and $b$ and hence, by linearity, divides $d$.

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Prime numbers

Definition An integer $n$ is called prime if $n>1$ and if the only positive divisors of $n$ are 1 and $n$. If $n>1$ and if $n$ is not prime, then $n$ is called composite.

EXAMPLES The prime numbers less than 100 are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23, $29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89$, and 97 .
Notation Prime numbers are usually denoted by $p, p^{\prime}, p_{i}, q, q^{\prime}, q_{i}$.
Theorem 1.6 Every integer $n>1$ is either a prime number or a product of prime numbers.

Proof. We use induction on $n$. The theorem is clearly true for $n=2$. Assume it is true for every integer $1$ so each of $c, d$ is a product of prime numbers, hence so is $n$.
Theorem 1.7 Euclid. There are infinitely many prime numbers.

EUCLID’s Proof. Suppose there are only a finite number, say $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Let $N=1+p_{1} p_{2} \cdots p_{n}$. Now $N>1$ so either $N$ is prime or $N$ is a product of primes. Of course $N$ is not prime since it exceeds each $p_{i}$. Moreover, no $p_{i}$ divides $N$ (if $p_{i} \mid N$ then $p_{i}$ divides the difference $N-p_{1} p_{2} \cdots p_{n}=1$ ). This contradicts Theorem 1.6.

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisor

$$d=a x+b y,$$

$a=n-b \leq n-1$, 归纳假设适用且存在公约数 $d$ 的 $a-b$ 和 $b$ 形式的 $d=(a-b) x+b y$. 这个 $d$ 也分
$(a-b)+b=a$ 所以 $d$ 是的公约数 $a$ 和 $b$ 我们有 $d=a x+(y-x) h$, 的线性组合 $a$ 和 $b$. 为了完成证明，我们需 要证明每个公约数都可以除 $d$. 但是一个公约数除以 $a$ 和 $b$ 因此，通过线性，除以 $d$.

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Prime numbers

EUCLID 的证明。假设只有一个有限的数字，比如说 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. 让 $N=1+p_{1} p_{2} \cdots p_{n}$. 现在 $N>1$ 所 以要么 $N$ 是素数或 $N$ 是素数的乘积。当然 $N$ 不是素数，因为它超过了每个 $p_{i}$. 此外，没有 $p_{i}$ 划分 $N$ (如果 $p_{i} \mid N$ 然后 $p_{i}$ 划分差异 $N-p_{1} p_{2} \cdots p_{n}=1$ ）。这与定理 $1.6$ 相矛盾。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。