### 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Basic Counting Techniques

AIME资格认证的变化

AMC办公室将从2月下旬开始向学校邮寄2012年AMC 10和2012年AMC 12报告，并持续到3月初至3月中旬。 在该AMC 10和AMC 12报告中，将列出学校的AIME合格者名单。

AIME的目的是在AMC10或AMC12之外，为北美许多具有特殊数学能力的高中生提供进一步的挑战和认可。得分最高的美国公民和合法居住在美国和加拿大的学生（根据加权平均分，获得合格分数）被邀请参加美国数学竞赛。
AIME（美国数学邀请考试）是介于AMC10或AMC12和USAMO之间的考试。所有参加AMC 12的学生，如果在可能的150分中取得100分或以上的成绩，或在前5%的学生被邀请参加AIME考试。所有参加AMC 10的学生，在可能的150分中取得120分或以上，或进入前2.5%的学生也有资格参加AIME。本学年AIME I的日期为 ，AIME II的日期为 ， 。美国数学邀请考试没有额外的注册费，除非你选择参加第二次考试。额外的管理/运输费是要收取的，前10名学生的最低费用为，超过10名学生的最低费用为。这在AMC 10/12和AIME教师手册中有更详细的解释。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Exercises

1. (HMMT Feb-2016-Combinatorics-3) Find the number of ordered pairs of integers $(a, b)$ such that $a, b$ are divisors of 720 but $a b$ is not.
2. (CHMMC-2010 Fall-Individual-1) Susan plays a game in which she rolls two fair standard six-sided dice with sides labeled one through six. She wins if the number on one of the dice is three times the number on the other die. If Susan plays this game three times, compute the probability that she wins at least once.
3. (AIME-2008-I-7) Let $S_i$ be the set of all integers $n$ such that $100 i \leq n<100(i+1)$. For example, $S_4$ is the set $400,401,402, \ldots, 499$. How many of the sets $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ do not contain a perfect square?
1. (AIME-2012-II-7) Let $S$ be the increasing sequence of positive integers whose binary representation has exactly 8 ones. Let $N$ be the 1000 th number in $S$. Find the remainder when $N$ is divided by 1000 .
2. (HMMT Feb-2010-Combinatorics-2) How many positive integers less than or equal to 240 can be expressed as a sum of distinct factorials? Consider 0 ! and 1 ! to be distinct.
3. (CHMMC-2014-Individual-2) Suppose in your sock drawer of 14 socks there are 5 different colors and 3 different lengths present. One day, you decide you want to wear two socks that have both different colors and different lengths. Given only this information, what is the maximum number of choices you might have?

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Counting Sets & PIE

A set is a collection of distinct objects, called elements (often numbers, variables, functions, other sets, etc.). The empty set is the set containing no elements, and is denoted by $\emptyset$.

For a set $S$, we define the cardinality of $S$ (often abbreviated as $|S|$ ) to be the size of $S$, or the number of elements in $S .|S|=0$ if and only if $S=\emptyset$.

Definition 2.1.1 (Union and Intersection). Given two sets $A$ and $B$, the union of $A$ and $B$, denoted $A \cup B$, is the set of all elements which belong to either $A$ or $B$ (or both). The intersection of $A$ and $B$, denoted $A \cap B$, is the set of all elements which belong to $A$ and $B$.

The Principle of Inclusion and Exclusion, or PIE, generalizes the principle behind counting with Venn Diagrams. In the most simple case, suppose we know the cardinality of finite sets $A, B$, and $A \cap B$, and we want to know the size of $A \cup B$. Then $|A|+|B|$ counts everything in $A \cup B$ but it overcounts the elements in $A \cap B$. Subtracting $|A \cap B|$, we end up with the formula $|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$.

Now consider the case with three finite sets $A, B, C$, in which we want to find $|A \cap B \cap C|$. If we add $|A|+|B|+|C|$, then each of the intersections $A \cap B, B \cap C, C \cap A$ is counted twice. If we subtract each of them, then elements in $A \cap B \cap C$ are counted $3-1-1-1=0$ times, so it needs to be added back in. Thus the formula is $|A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-$ $|A \cap B|-|B \cap C|-|C \cap A|+|A \cap B \cap C|$.
In general, if there are $n$ sets, the formula is:
Theorem 2.1.2 (Principle of Inclusion-Exclusion). If $\left(A_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ are finite sets, then:

$$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i<j}\left|A_i \cap A_j\right|+\sum_{i<j<k}\left|A_i \cap A_j \cap A_k\right|-\cdots+(-1)^{n-1}\left|A \cap \cdots \cap A_n\right| .$$
Proof. How many times has the intersection of $t$ sets been counted in the first $t-1$ terms of this formula? The answer is $\left(\begin{array}{c}t \ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}t \ 2\end{array}\right)+\cdots+(-1)^t\left(\begin{array}{c}t \ t-1\end{array}\right)$ times. This is equal to $1-(1-$ $1)^t+(-1)^t\left(\begin{array}{l}t \ t\end{array}\right)$, so adding $(-1)^{t+1}\left(\begin{array}{l}t \ t\end{array}\right)$ to this will result in 1 , which is desired. This shows that the formula counts everything the desired number of times.

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Exercises

1. (HMMT Feb-2016-Combinatorics-3) 找出有序整数对的数量 $(a, b)$ 这样 $a, b$ 是 720 的除数，但 $a b$ 不 是。
2. (CHMMC-2010 Fall-Individual-1) Susan 玩了一个游戏，她掷出两个公平的标准六面骰子，每面都 标有 1 到 6。如果一个骯子上的数字是另一个骰子上数字的三倍，她就赢了。如果苏珊玩这个游戏 3 次，计算她至少赢一次的概率。
3. (AIME-2008-I-7) 让 $S_i$ 是所有整数的集合 $n$ 这样 $100 i \leq n<100(i+1)$. 例如， $S_4$ 是集合 $400,401,402, \ldots, 499$. 有多少套 $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ 不包含一个完美的正方形?
4. (AIME-2012-II-7) 让 $S$ 是递增的正整数序列，其二进制表示怙好有 8 个 1。让 $N$ 是第1000个数字 $S$. 求余数时 $N$ 除以 1000 。
5. (HMMT Feb-2010-Combinatorics-2) 有多少个小于或等于 240 的正整数可以表示为不同阶乘的和? 考虑 0！和 1！要与众不同。
6. (CHMMC-2014-Individual-2) 假设在你的祙子抽屉里有 14 只祙子，有 5 种不同的颜色和 3 种不同 的长度。有一天，您决定要穿两只颜色不同、长度不同的祙子。仅给定这些信息，您最多可以有多 少个选择?

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。