### 数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH2010

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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Stokes’ Theorem

Equation (1.25) defines the average of curl over a finite surface. That equation can be rewritten as
$$\int_S \mathbf{d A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F})=\oint_C \mathrm{dr} \cdot \mathbf{F}$$
for a vector $\mathbf{F}$. In this form, it is called Stokes’ theorem relating the integral of the curl of a vector over a surface $S$ to the line integral of the vector around the closed curve $C$ bounding the surface. From Stokes’ theorem it follows that, if $\nabla \times \mathbf{F}=0$ everywhere in a region, then
$$\oint_C \mathbf{d r} \cdot \mathbf{F}=0$$
around any closed path in the region.
We now have seen three general properties of the electric field vector $\mathbf{E}$. It is

• irrotational,
• conservative,
• derivable from a potential.

Although we have used the electric field as a simple example, these three properties also hold for a large class of vector fields. Some examples are the velocity vector of streamline fluid flow, the heat flow vector (with the temperature being the corresponding scalar field), the magnetic field $\mathbf{B}$ in a region with no current, and the gravitational field. The three properties have different physical manifestations, but they are mathematically equivalent.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Algebraic Identities

Two useful algebraic identities (to be given as problems) that we will use in expanding vector derivatives are:

1. The triple scalar product of three vectors $\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ has the symmetry properties
$$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})=\mathbf{c} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} .$$
That is, it is invariant under cyclic permutation (in either direction) or the interchange of the dot and the cross.
2. The triple vector product $\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ can be expanded as
$$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) .$$
This identity should be kept firmly in memory as the bac minus cab rule, using the mnemonic “a cross b cross c equals bac minus cab.”

Operations on combinations of functions of position can be simplified by using the two distinct properties of $\nabla$ :

1. $\nabla$ is a differential operator.
2. $\nabla$ is a vector.
Because $\boldsymbol{\nabla}$ is a differential operator, it acts on functions one at a time, just as in $\mathrm{d}(u v)=u d v+v d u$. We also follow the convention that the differential operator

acts only on functions to its right, so the order in which $\nabla$ appears must be to the left of the functions it acts on and to the right of the other functions. As a vector, $\boldsymbol{\nabla}$ must behave in any expansion like any other vector.

In every case, strict adherence to these two properties of $\boldsymbol{\nabla}$ will lead to the correct evaluation of vector derivatives. We give several examples below of the use of the two properties of $\nabla$ and the algebraic identities.

# 微积分代考

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Stokes’ Theorem

$$\int_S \mathbf{d A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F})=\oint_C \mathrm{dr} \cdot \mathbf{F}$$

$$\oint_C \mathbf{d r} \cdot \mathbf{F}=0$$

• 无旋的，
• 保守的，
• 可从势能推导出来。
虽然我们使用电场作为一个简单的例子，但这三个属性也适用于一大类矢量场。一些例子是流线型流体 流动的速度矢量、热流矢量 (温度是相应的标量场) 、磁场 $\mathbf{B}$ 在没有电流和引力场的区域。这三个性质 在物理上有不同的表现，但在数学上是等价的。

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Algebraic Identities

1. 三个向量的三重标量积 $\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 具有对称性
$$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})=\mathbf{c} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$$
也就是说，它在循环置换（在任一方向上）或点和叉的交换下是不变的。
2. 三向量积 $\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 可以扩展为
$$\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$$
这个身份应该作为 bac minus cab 规则牢牢记住，使用助记符”a cross b cross c equals bac minus cab”。
可以通过使用的两个不同属性来简化对位置函数组合的操作 $\nabla$ :
3. $\nabla$ 是溦分算子。
4. $\nabla$ 是一个向量。
因为 $\nabla$ 是一个微分算子，它一次作用于一个函数，就像在 $\mathrm{d}(u v)=u d v+v d u$. 我们还遵循微分 算子的约定
只作用于它右边的函数，所以顺序 $\nabla$ 出现必须在它作用的函数的左边和其他函数的右边。作为向量， $\nabla$ 必须像任何其他向量一样在任何扩展中表现。
在每种情况下，严格遵守这两个属性 $\boldsymbol{\nabla}$ 将导致对向量导数的正确评估。我们在下面给出几个使用的两个 属性的例子 $\nabla$ 和代数恒等式。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。