数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033
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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injectivity and Surjectivity Criteria
Two famous propositions are contained in the following theorem.
5.22 Theorem Let $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ be a linear map with matrix $A$.
- The map $\varphi$ is surjective if and only if $\varphi$ is of rank $m$, i.e. here $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$ (we then say that $A$ is unimodular).
- (McCoy’s theorem) The map $\varphi$ is injective if and only if $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is faithful, i.e. if the annihilator of $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is reduced to ${0}$.
D 1. If $\varphi$ is surjective, it admits a right inverse $\psi_*$ and Fact $5.6$ gives $\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$ $\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$, so $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$. Conversely, if $A$ is of rank $m$, Eq. (18) shows that $A$ admits a right inverse, and $\varphi$ is surjective.
- Assume that $\mathcal{D}n(A)$ is faithful. By equality (16), if $A V=0$, then $\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$ for all the generators $\mu_{\alpha, 1 . . n}$ of $\mathcal{D}n(A)$, and so $V=0$. For the converse, we will prove by induction on $k$ the following property: if $k$ column vectors $x_1, \ldots, x_k$ are linearly independent, then the annihilator of the vector $x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ is reduced to 0 . For $k=1$ it is trivial. To pass from $k$ to $k+1$ we proceed as follows. Let $z$ be a scalar that annihilates $x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$. For $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$, we denote by $d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$ the minor extracted on the index rows of $\alpha$ for the column vectors $y_1, \ldots, y_k$ of $\mathbf{A}^m$. Since $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$, and by the Cramer formulas, we have the equality
$$
z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
$$
so $z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$.
As this is true for any $\alpha$, this gives $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$, and by the induction hypothesis, $z=0$.
Remark Theorem $5.22$ can also be read in the following way. - The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is surjective if and only if the map $\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$ $\mathbf{A}$ is surjective.
- The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is injective if and only if the map $\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$ is injective.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Gram Determinants and Discriminants
5.32 Definition Let $M$ be an A-module, $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ be a symmetric bilinear form and $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ be a list of elements of $M$. We call the matrix
$$
\operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
$$
the Gram matrix of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$. Its determinant is called the Gram determinant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$ and is denoted by $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have an equality
$$
\operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where $A$ is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.
We now introduce an important case of a Gram determinant, the discriminant. Recall that two elements $a, b$ of a ring $\mathbf{A}$ are said to be associated if there exists a $u \in \mathbf{A}^{\times}$such that $a=u b$. In the literature such elements are also referred to as associates.
5.33 Proposition and definition Let $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ be an $\mathbf{A}$-algebra which is a free $\mathbf{A}$-module of finite rank and $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$.
- We call the determinant of the matrix
$$
\left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
$$
the discriminant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. We denote it by $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ or $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. - If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have
$$
\operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where A is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.

交换代数代考
数学代写|交换代数代写交换代数代考|注入和满射标准
.
5.22定理设$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是矩阵$A$的线性映射
- 当且仅当$\varphi$的秩为$m$,即这里的$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$(我们然后说$A$是单模的),地图$\varphi$是满射的。
- (McCoy’s定理)当且仅当$\mathcal{D}_n(\varphi)$是忠实的,即当$\mathcal{D}_n(\varphi)$的湮灭子减少到${0}$时,映射$\varphi$是单射的D 1。如果$\varphi$是满射,它承认一个右逆$\psi_*$,事实$5.6$给出$\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$$\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$,因此是$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$。相反,如果$A$的秩为$m$,则Eq.(18)表明$A$允许一个右逆,而$\varphi$是满射
- 假设$\mathcal{D}n(A)$是忠实的。根据等式(16),如果$A V=0$,那么对于$\mathcal{D}n(A)$的所有生成器$\mu_{\alpha, 1 . . n}$,则$\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$,因此$V=0$。反之,我们将在$k$上通过归纳法证明以下性质:如果$k$列向量$x_1, \ldots, x_k$是线性无关的,则向量$x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$的湮灭子化简为0。对于$k=1$来说,这是微不足道的。要从$k$传递到$k+1$,我们按照以下步骤进行。设$z$是一个灭掉$x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$的标量。对于$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$,我们用$d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$表示在$\alpha$的索引行上提取的子项,用于$\mathbf{A}^m$的列向量$y_1, \ldots, y_k$。从$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$开始,根据克莱默公式,我们得到等式
$$
z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
$$
所以$z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$ .
因为这对任何$\alpha$都成立,所以得到$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$,根据归纳假设,得到$z=0$
备注定理$5.22$也可以这样理解。 - 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是满射的当且仅当映射$\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$$\mathbf{A}$是满射的。
- 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是单射的,当且仅当映射$\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$是单射的 数学代写|交换代数代写交换代数代考|克行列式和鉴别 5.32 $M$ 做一个a模块, $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ 是对称的双线性形式 $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 的元素列表 $M$。我们称矩阵
$$
\operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
$$
的克矩阵 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$。它的行列式叫做 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$ 表示为 $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
如果 $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有一个等式
$$
\operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where $A$ 是 $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$
我们现在介绍克行列式的一个重要情况,即判别式。回想一下这两个元素 $a, b$ 一枚戒指 $\mathbf{A}$ 如果存在 $u \in \mathbf{A}^{\times}$如此这般 $a=u b$。在文献中,这类元素也被称为关联 $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ 做一个 $\mathbf{A}$-代数是免费的 $\mathbf{A}$-有限秩和的模 $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$. 我们称矩阵的行列式
$$
\left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
$$
的鉴别 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$。我们用 $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 或 $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. - $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有
$$
\operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
$$
其中A是A $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$
- 假设$\mathcal{D}n(A)$是忠实的。根据等式(16),如果$A V=0$,那么对于$\mathcal{D}n(A)$的所有生成器$\mu_{\alpha, 1 . . n}$,则$\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$,因此$V=0$。反之,我们将在$k$上通过归纳法证明以下性质:如果$k$列向量$x_1, \ldots, x_k$是线性无关的,则向量$x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$的湮灭子化简为0。对于$k=1$来说,这是微不足道的。要从$k$传递到$k+1$,我们按照以下步骤进行。设$z$是一个灭掉$x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$的标量。对于$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$,我们用$d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$表示在$\alpha$的索引行上提取的子项,用于$\mathbf{A}^m$的列向量$y_1, \ldots, y_k$。从$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$开始,根据克莱默公式,我们得到等式
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。