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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injectivity and Surjectivity Criteria

Two famous propositions are contained in the following theorem.
5.22 Theorem Let $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ be a linear map with matrix $A$.

1. The map $\varphi$ is surjective if and only if $\varphi$ is of rank $m$, i.e. here $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$ (we then say that $A$ is unimodular).
2. (McCoy’s theorem) The map $\varphi$ is injective if and only if $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is faithful, i.e. if the annihilator of $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is reduced to ${0}$.

D 1. If $\varphi$ is surjective, it admits a right inverse $\psi_*$ and Fact $5.6$ gives $\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$ $\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$, so $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$. Conversely, if $A$ is of rank $m$, Eq. (18) shows that $A$ admits a right inverse, and $\varphi$ is surjective.

2. Assume that $\mathcal{D}n(A)$ is faithful. By equality (16), if $A V=0$, then $\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$ for all the generators $\mu_{\alpha, 1 . . n}$ of $\mathcal{D}n(A)$, and so $V=0$. For the converse, we will prove by induction on $k$ the following property: if $k$ column vectors $x_1, \ldots, x_k$ are linearly independent, then the annihilator of the vector $x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ is reduced to 0 . For $k=1$ it is trivial. To pass from $k$ to $k+1$ we proceed as follows. Let $z$ be a scalar that annihilates $x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$. For $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$, we denote by $d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$ the minor extracted on the index rows of $\alpha$ for the column vectors $y_1, \ldots, y_k$ of $\mathbf{A}^m$. Since $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$, and by the Cramer formulas, we have the equality
   $$
   z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
   $$
   so $z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$.
   As this is true for any $\alpha$, this gives $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$, and by the induction hypothesis, $z=0$.
   Remark Theorem $5.22$ can also be read in the following way.
3. The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is surjective if and only if the map $\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$ $\mathbf{A}$ is surjective.
4. The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is injective if and only if the map $\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$ is injective.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Gram Determinants and Discriminants

5.32 Definition Let $M$ be an A-module, $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ be a symmetric bilinear form and $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ be a list of elements of $M$. We call the matrix
$$
\operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
$$
the Gram matrix of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$. Its determinant is called the Gram determinant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$ and is denoted by $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have an equality
$$
\operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where $A$ is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.
We now introduce an important case of a Gram determinant, the discriminant. Recall that two elements $a, b$ of a ring $\mathbf{A}$ are said to be associated if there exists a $u \in \mathbf{A}^{\times}$such that $a=u b$. In the literature such elements are also referred to as associates.
5.33 Proposition and definition Let $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ be an $\mathbf{A}$-algebra which is a free $\mathbf{A}$-module of finite rank and $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$.

1. We call the determinant of the matrix
   $$
   \left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
   $$
   the discriminant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. We denote it by $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ or $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.
2. If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have
   $$
   \operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
   $$
   where A is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|注入和满射标准

.

5.22定理设$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是矩阵$A$的线性映射

1. 当且仅当$\varphi$的秩为$m$，即这里的$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$(我们然后说$A$是单模的)，地图$\varphi$是满射的。
2. (McCoy’s定理)当且仅当$\mathcal{D}_n(\varphi)$是忠实的，即当$\mathcal{D}_n(\varphi)$的湮灭子减少到${0}$时，映射$\varphi$是单射的D 1。如果$\varphi$是满射，它承认一个右逆$\psi_*$，事实$5.6$给出$\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$$\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$，因此是$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$。相反，如果$A$的秩为$m$，则Eq.(18)表明$A$允许一个右逆，而$\varphi$是满射
   
   2. 假设$\mathcal{D}n(A)$是忠实的。根据等式(16)，如果$A V=0$，那么对于$\mathcal{D}n(A)$的所有生成器$\mu_{\alpha, 1 . . n}$，则$\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$，因此$V=0$。反之，我们将在$k$上通过归纳法证明以下性质:如果$k$列向量$x_1, \ldots, x_k$是线性无关的，则向量$x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$的湮灭子化简为0。对于$k=1$来说，这是微不足道的。要从$k$传递到$k+1$，我们按照以下步骤进行。设$z$是一个灭掉$x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$的标量。对于$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$，我们用$d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$表示在$\alpha$的索引行上提取的子项，用于$\mathbf{A}^m$的列向量$y_1, \ldots, y_k$。从$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$开始，根据克莱默公式，我们得到等式
      $$
      z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
      $$
      所以$z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$ .
      因为这对任何$\alpha$都成立，所以得到$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$，根据归纳假设，得到$z=0$
      备注定理$5.22$也可以这样理解。
   3. 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是满射的当且仅当映射$\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$$\mathbf{A}$是满射的。
   4. 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是单射的，当且仅当映射$\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$是单射的 数学代写|交换代数代写交换代数代考|克行列式和鉴别 5.32 $M$ 做一个a模块， $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ 是对称的双线性形式 $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 的元素列表 $M$。我们称矩阵
      $$
      \operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
      $$
      的克矩阵 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$。它的行列式叫做 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$ 表示为 $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
      如果 $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有一个等式
      $$
      \operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
      $$
      where $A$ 是 $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$
      我们现在介绍克行列式的一个重要情况，即判别式。回想一下这两个元素 $a, b$ 一枚戒指 $\mathbf{A}$ 如果存在 $u \in \mathbf{A}^{\times}$如此这般 $a=u b$。在文献中，这类元素也被称为关联 $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ 做一个 $\mathbf{A}$-代数是免费的 $\mathbf{A}$-有限秩和的模 $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$. 我们称矩阵的行列式
      $$
      \left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
      $$
      的鉴别 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$。我们用 $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 或 $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.
   5. $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有
      $$
      \operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
      $$
      其中A是A $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Cramer Formula

We study in this subsection some generalizations of the usual Cramer formulas. We will exploit these in the following paragraphs.

For a matrix $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ we denote by $A_{\alpha, \beta}$ the matrix extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$.

Suppose that the matrix $A$ is of rank $\leqslant k$. Let $V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ be a column vector such that the bordered matrix $[A \mid V]$ is also of rank $\leqslant k$. Let us call $A_j$ the $j$-th column of $A$. Let $\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$ be the minor of order $k$ of the matrix $A$ extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$. For $j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$ let $\nu_{\alpha, \beta, j}$ be the determinant of the same extracted matrix, except that the column $j$ has been replaced with the extracted column of $V$ on the rows $\alpha$. Then, we obtain for each pair $(\alpha, \beta)$ of multi-indices a Cramer identity:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
due to the fact that the rank of the bordered matrix $\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$ is $\leqslant k$. This can be read as follows:
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
This leads us to introduce the following notation.
5.12 Notation We denote by $\mathcal{P}{\ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ and $\mathcal{P}{k, \ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ with $k$ elements. For $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ and $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Inverses and Locally Simple Maps

Let $E$ and $F$ be two $\mathbf{A}$-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. We can see this as some sort of generalized system of linear equations (a usual system of linear equations corresponds to the free modules of finite rank case). Informally such a system of linear equations is considered to be “well-conditioned” if there is a systematic way to solve the equation $\varphi(x)=y$ for $x$ from a given $y$, when such a solution exists. More precisely, we ask if there exists a linear map $\psi: F \rightarrow E$ satisfying $\varphi(\psi(y))=y$ each time there exists a solution $x$. This amounts to asking $\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$ for all $x \in E$.

This clarifies the importance of the Eq. (17) and leads to the notion of a generalized inverse.

The terminology regarding generalized inverses does not seem fully fixed. We adopt that of [Lancaster \& Tismenetsky].
In the book [Bhaskara Rao], the author uses the term “reflexive g-inverse.”
5.16 Definition Let $E$ and $F$ be two A-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. A linear map $\psi: F \rightarrow E$ is called a generalized inverse of $\varphi$ if we have
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
A linear map is said to be locally simple when it has a generalized inverse. The following fact is immediate.

5.17 Fact When $\psi$ is a generalized inverse of $\varphi$, we have:

• $\varphi \psi$ and $\psi \varphi$ are projections,
  $-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$,
  $-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ and $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$,
  $-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ and $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$.
  Moreover $\varphi$ and $\psi$ provide by restriction reciprocal isomorphisms $\varphi_1$ and $\psi_1$ between $\operatorname{Im} \psi$ and $\operatorname{Im} \varphi$. In matrix form we obtain:
  Remarks
  1) If we have a linear map $\psi_0$ satisfying as in Theorem $5.14$ the equality $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$, we obtain a generalized inverse of $\varphi$ by stating $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$. In other words, a linear map $\varphi$ is locally simple if and only if there exists a $\psi$ satisfying $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
  2) A simple linear map between free modules of finite rank is locally simple (immediate verification).
  3) Theorem $5.14$ informs us that a linear map which has rank $k$ in the sense of Definition $5.7$ is locally simple.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义Cramer公式

在这一小节中，我们研究一些常用Cramer公式的推广。我们将在接下来的段落中探讨这些

对于矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$，我们用$A_{\alpha, \beta}$表示在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$上提取的矩阵

假设矩阵$A$的秩是$\leqslant k$。设$V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$是一个列向量，使得有边界的矩阵$[A \mid V]$的秩也是$\leqslant k$。让我们称$A_j$为$A$的$j$ -th列。设$\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$是在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$上提取的矩阵$A$的$k$次余子数。对于$j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$，设$\nu_{\alpha, \beta, j}$为相同提取矩阵的行列式，只是列$j$已被$\alpha$行上提取的列$V$所取代。然后，对于每一对多指标$(\alpha, \beta)$，我们得到一个Cramer恒等式:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
，这是因为有边界矩阵$\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$的秩为$\leqslant k$。
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
这导致我们引入以下表示法:
5.12表示法我们用$\mathcal{P}{\ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合，用$\mathcal{P}{k, \ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合，其中包含$k$元素。对于$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$和$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$

数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义逆和局部简单映射

设$E$和$F$是两个$\mathbf{A}$ -模块，$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。我们可以把它看作某种广义线性方程组(通常的线性方程组对应于有限秩情况下的自由模)。非正式地说，这样的线性方程组被认为是“条件良好”的，如果有一种系统的方法可以从给定的$y$解出方程$\varphi(x)=y$ for $x$，如果这样的解存在。更准确地说，我们问是否存在一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$满足$\varphi(\psi(y))=y$每次存在一个解$x$。这相当于向$\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$请求所有$x \in E$。 这阐明了式(17)的重要性，并引出了广义逆的概念 关于广义逆的术语似乎并不完全固定。我们采用[兰开斯特＆蒂斯曼涅茨基]。
在书中[Bhaskara Rao]，作者使用术语“自反g逆”。
5.16定义设$E$和$F$是两个a模，$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。如果我们有
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$被称为$\varphi$的广义逆，当一个线性映射有广义逆时，它被称为局部简单的。下面的事实是直接的 当$\psi$是$\varphi$的广义逆时，我们有:

• $\varphi \psi$ 和 $\psi \varphi$ 是投影，
  $-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$，
  $-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ 和 $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$，
  $-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ 和 $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$
  此外 $\varphi$ 和 $\psi$ 通过限制提供互同构 $\varphi_1$ 和 $\psi_1$ 之间 $\operatorname{Im} \psi$ 和 $\operatorname{Im} \varphi$。在矩阵形式中，我们得到:
  备注
  1)如果我们有一个线性映射 $\psi_0$ 在定理中满足 $5.14$ 平等 $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$的广义逆 $\varphi$ 通过说明 $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$。换句话说，一个线性映射 $\varphi$ 当且仅当存在 $\psi$ 令人满意的 $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
  2)有限秩自由模之间的简单线性映射是局部简单的(立即验证) $5.14$ 告诉我们有秩的线性映射 $k$ 在定义的意义上 $5.7$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Little Exterior Algebra

Let $k \in \mathbb{N}$. A free module of rank $k$ is by definition an $\mathbf{A}$-module isomorphic to $\mathbf{A}^k$. If $k$ is not specified, we will say free module of finite rank.

When $\mathbf{A}$ is a discrete field we speak of a finite dimensional vector space or a finite rank vector space interchangeably.

The modules whose structure is the simplest are the free modules of finite rank. We are thus interested in the possibility of constructing an arbitrary module $M$ in the form $L \oplus N$ where $L$ is a free module of finite rank. A (partial) answer to this question is given by the exterior algebra.
5.1 Proposition (Splitting OIf) Let $a_1, \ldots, a_k$ be elements of an A-module $M$, then the following properties are equivalent.

1. The submodule $L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$ of $M$ is free with basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$ and is $a$ direct summand of $M$.
2. There exists a k-multilinear alternating form $\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$ which satisfies the equality $\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$.

D $1 \Rightarrow 2$. If $L \oplus N=M$, if $\pi: M \rightarrow L$ is the projection parallel to $N$, and if $\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$ is the $j$-th coordinate form for the basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$, we define
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) $$ $2 \Rightarrow 1$. We define the linear map $\pi: M \rightarrow M$ as $$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$

We immediately have $\pi\left(a_i\right)=a_i$ and $\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$, thus $\pi^2=\pi$ and $\operatorname{Im} \pi=L$. Finally, if $x=\sum_j \lambda_j a_j=0$, then $\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ (with $x$ in position $j$ ).

Special case: for $k=1$ we say that the element $a_1$ of $M$ is unimodular when there exists a linear form $\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$ such that $\varphi\left(a_1\right)=1$. The vector $b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$ $\mathbf{A}^n$ is unimodular if and only if the $b_i$ ‘s are comaximal. In this case we also say that the sequence $\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ is unimodular.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Rank of a Free Module

As we will see, the rank of a free module is a well-determined integer if the ring is nontrivial. In other words, two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \neq p$ can only be isomorphic if $1=\mathrm{A} 0$.

We will use the notation $\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$ (or $\operatorname{rk}(M)=k$ if $\mathbf{A}$ is clear from the context) to indicate that a (supposedly free) module has rank $k$.

A scholarly proof consists to say that, if $m>p$, the $m$-th exterior power of $P$ is ${0}$ whereas that of $M$ is isomorphic to $\mathbf{A}$ (this is essentially the proof for Corollary $5.23$ ).
The same proof can be presented in a more elementary way as follows. First recall the basic Cramer formula. If $B$ is a square matrix of order $n$, we denote by $\widetilde{B}$ or Adj $B$ the cotransposed matrix (sometimes called adjoint). The elementary form of Cramer’s identities is then expressed as:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
This formula, in combination with the product formula
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
has a couple of implications regarding square matrices. First, that a square matrix $A$ is invertible on one side if and only if $A$ is invertible if and only if its determinant is invertible. Second, that the inverse of $A$ is equal to (det $A)^{-1} \operatorname{Adj} A$.

We now consider two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \geqslant p$ and a surjective linear map $\varphi: P \rightarrow M$. Therefore there exists a linear map $\psi: M \rightarrow P$ such that $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$. This corresponds to two matrices $A \in \mathbf{A}^{m \times p}$ and $B \in \mathbf{A}^{p \times m}$ with $A B=\mathrm{I}_m$. If $m=p$, the matrix $A$ is invertible with inverse $B$ and $\varphi$ and $\psi$ are reciprocal isomorphisms. If $m>p$, we have $A B=A_1 B_1$ with square $A_1$ and $B_1$ respectively obtained from $A$ and $B$ by filling in with zeros ( $m-p$ columns for $A_1$, $m-p$ rows for $\left.B_1\right)$

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|一个小的外部代数

让$k \in \mathbb{N}$。根据定义，等级为$k$的空闲模块是与$\mathbf{A}^k$同构的$\mathbf{A}$ -模块。如果没有指定$k$，我们将说有限秩的自由模块 当$\mathbf{A}$是一个离散域时，我们交换地说有限维向量空间或有限秩向量空间 结构最简单的模是有限秩的自由模。因此，我们对以$L \oplus N$的形式构造任意模块$M$的可能性感兴趣，其中$L$是一个有限秩的自由模块。
5.1命题(拆分OIf)设$a_1, \ldots, a_k$为A模块$M$的元素，则下列属性等价

. . .
5.1命题(拆分OIf
$M$的子模块$L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的自由子模块，是$M$的$a$直接求和存在一个k-多线性交替形式$\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$，它满足等式$\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$ .

D $1 \Rightarrow 2$。如果$L \oplus N=M$，如果$\pi: M \rightarrow L$是平行于$N$的投影，如果$\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的$j$ -th坐标形式，我们定义
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) $$$2 \Rightarrow 1$。我们将线性映射$\pi: M \rightarrow M$定义为$$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$

我们立即有$\pi\left(a_i\right)=a_i$和$\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$，因此$\pi^2=\pi$和$\operatorname{Im} \pi=L$。最后，如果$x=\sum_j \lambda_j a_j=0$，则$\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ ($x$位于$j$的位置)。

特殊情况:对于$k=1$，我们说$M$的元素$a_1$是单模的，当存在线性形式$\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$时，使得$\varphi\left(a_1\right)=1$。向量$b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$$\mathbf{A}^n$是单模的，当且仅当$b_i$是同大的。在这种情况下，我们还说序列$\left(b_1, \ldots, b_n\right)$是单模的。

数学代写|交换代数代写交换代数代考|空闲模块模块的级别

正如我们将看到的，如果环非平凡，则空闲模块的秩是一个良好确定的整数。换句话说，如果$1=\mathrm{A} 0$ . .则两个$\mathbf{A}$ -模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和带有$m \neq p$的$P \simeq \mathbf{A}^p$只能同构

我们将使用符号$\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$(或$\operatorname{rk}(M)=k$，如果$\mathbf{A}$从上下文清楚)来表示(假定为空闲)模块的秩为$k$ 一个学术证明是这样说的，如果$m>p$, $P$的$m$的外幂是${0}$，而$M$的外幂是$\mathbf{A}$的同构(这本质上是推论$5.23$的证明)。同样的证明可以用以下更基本的方式来表示。首先回忆一下基本的克莱默公式。如果$B$是$n$阶方阵，我们用$\widetilde{B}$或Adj $B$表示协转矩阵(有时称为伴随矩阵)。克拉默等式的初等形式则表示为:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
这个公式结合乘积公式
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
对于方阵有一些含义。首先，方阵$A$在一边可逆当且仅当$A$可逆当且仅当它的行列式可逆。第二，$A$的倒数等于(det $A)^{-1} \operatorname{Adj} A$ .

我们现在考虑两个$\mathbf{A}$模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和$P \simeq \mathbf{A}^p$，其中包含$m \geqslant p$和一个满射线性映射$\varphi: P \rightarrow M$。因此存在一个线性映射$\psi: M \rightarrow P$，使得$\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$。这对应于两个矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times p}$和$B \in \mathbf{A}^{p \times m}$以及$A B=\mathrm{I}_m$。如果$m=p$，则矩阵$A$与逆$B$可逆，$\varphi$和$\psi$是互反同构。如果是$m>p$，我们有$A B=A_1 B_1$和$A_1$和$B_1$分别从$A$和$B$通过填零得到($m-p$列为$A_1$, $m-p$行为$\left.B_1\right)$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Facts Concerning Quotients and Localizations

Let us begin by recalling the following result on quotients. Let $a$ be an ideal of a ring $\mathbf{A}$. When needed, the canonical mapping will be denoted by $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \mathfrak{a}$.
The quotient ring $\left(\mathbf{A} / \mathfrak{a}, \pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}\right)$ is characterized, up to unique isomorphism, by the following universal property.
1.1 Fact (Characteristic property of the quotient by the ideal a) A ring homomorphism $\psi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ is factorized by $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}$ if and only if $\mathfrak{a} \subseteq \operatorname{Ker} \psi$, meaning $\psi(\mathfrak{a}) \subseteq\left{0_{\mathrm{B}}\right}$. In this case, the factorization is unique.

Explanation regarding the figure. In a figure of the type found above, everything but the morphism $\theta$ corresponding to the dotted arrow is given. The exclamation mark signifies that $\theta$ makes the diagram commute and that it is the unique morphism with this property.

We denote by $M /$ a $M$ the $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$-module obtained from the quotient of the A-module $M$ by the submodule generated by the elements $a x$ for $a \in \mathfrak{a}$ and $x \in M$. This module can thus be defined through the extension of scalars to $\mathbf{A} / \boldsymbol{a}$ from the $\mathbf{A}$-module $M$ (see p. 191, and Exercise IV-5).

Let us move on to localizations, which are very analogous to quotients (we will return to this analogy in further detail on p. 635). In this work, when referring to a monoid contained within a ring (i.e. a submonoid of a ring) we always assume a subset of the ring which contains 1 and is closed under multiplication.

For a given ring $\mathbf{A}$, we denote by $\mathbf{A}^{\times}$the multiplicative group of invertible elements, also called the group of units.

If $S$ is a monoid, we denote by $\mathbf{A}{S}$ or $S^{-1} \mathbf{A}$ the localization of $\mathbf{A}$ at $S$. Every element of $\mathbf{A}{S}$ can be written in the form $x / s$ with $x \in \mathbf{A}$ and $s \in S$.

By definition we have $x_{1} / s_{1}=x_{2} / s_{2}$ if there exists an $s \in S$ such that $s s_{2} x_{1}=$ $s s_{1} x_{2}$. When needed, we will denote by $j_{\mathbf{A}, S}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_{S}$ the canonical mapping $x \mapsto x / 1$.

The localized ring ( $\left.\mathbf{A}{S}, j{\mathbf{A}, S}\right)$ is characterized, up to unique isomorphism, by the following universal property.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Basic Local-Global Principle

We will study the general workings of the local-global principle in commutative algebra in Chap. XV. However, we will encounter it at every turn, under different forms adapted to each situation. In this section, an essential instance of this principle is given as it is so simple and efficient that it would be a pity to go without it any longer.

The local-global principle affirms that certain properties are true if and only if they are true after “sufficiently many” localizations. In classical mathematics we often invoke localization at every maximal ideal. It is a lot of work and seems a bit mysterious, especially from an algorithmic point of view. We will use simpler (and less intimidating) versions in which only a finite number of localizations are used.

Here is a characterization from classical mathematics.
2.2 Fact* Let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be monoids in a nontrivial ring A (i.e., $1 \neq_{\mathbf{A}} 0$ ). The monoids $S_{i}$ are comaximal if and only if for every prime ideal (resp. for every maximal ideal) $\mathfrak{p}$ one of the $S_{i}$ is contained within $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$.

D Let $\mathfrak{p}$ be a prime ideal. If none of the $S_{i}$ ‘s are contained in $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$ then for each $i$ there exists some $s_{i} \in S_{i} \cap \mathfrak{p}$. Consequently, $s_{1}, \ldots, s_{n}$ are not comaximal.

Conversely, suppose that for every maximal ideal $\mathfrak{m}$ one of the $S_{i}$ ‘s is contained within $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{m}$ and let $s_{1} \in S_{1}, \ldots, s_{n} \in S_{n}$ then the ideal $\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle$ is not contained in any maximal ideal. Thus it contains $1 .$

We denote by $\mathbf{A}^{m \times p}$ or $\mathbb{M}{m, p}(\mathbf{A})$ the $\mathbf{A}$-module of $m$-by- $p$ matrices with coefficients in $\mathbf{A}$, and $\mathbb{M}{n}(\mathbf{A})$ means $\mathbb{M}{n, n}(\mathbf{A})$. The group of invertible matrices is denoted by $\mathbb{G L}{n}(\boldsymbol{\Lambda})$, the subgroup consisting of the matrices of determinant 1 is denoted by $\mathbb{S L}{n}(\mathbf{A})$. The subset of $\mathbb{M}{n}(\mathbf{A})$ consisting of the projection matrices (i.e. matrices $F$ such that $F^{2}=F$ ) is denoted by $\mathbb{A}_{n}(\mathbf{A})$. The acronyms are explained as follows: $\mathbb{G L}$ for linear group, $\mathbb{S L}$ for special linear group and $\mathbb{A} G$ for affine Grassmannian.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Facts Concerning Quotients and Localizations

让我们首先回顾一下关于商的以下结果。让 $a$ 做一个理想的戒指 $\mathbf{A}$. 需要时，规范映射将表示为 $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \mathfrak{a}$. 商圈 $\left(\mathbf{A} / \mathfrak{a}, \pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}\right)$ 由以下普遍性质表征，直至唯一同构。
$1.1$ 事实 (理想商的特征性质 $a$ ) 环同态 $\psi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ 被分解为 $\pi_{\mathbf{A}, \mathrm{a}}$ 当且仅当 $\mathfrak{a} \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ ，意义 Ipsi(Imathfrak{a}) Isubseteq lleft{0_(Imathrm{B}}}right} . 在这种情况下，分解是唯一的。
关于图的说明。在上述类型的图中，除了态射之外的一切 $\theta$ 对应的虚线箭头给出。感叹号表示 $\theta$ 使图可以通勤，并且 它是具有此属性的唯一态射。
我们表示 $M /$ 个 $M$ 这 $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$-module 从 A-module 的商中获得 $M$ 由元素生成的子模块 $a x$ 为了 $a \in \mathfrak{a}$ 和 $x \in M$. 因 此，可以通过将标量扩展来定义该模块 $\mathbf{A} / \boldsymbol{a}$ 来自 $\mathbf{A}$-模块 $M$ （参见第 191 页和练习 IV-5）。
让我们继续讨论本地化，它非常类似于商 (我们将在第 635 页更详细地回到这个类比)。在这项工作中，当提到包 含在环中的么半群 (即环的子龶群) 时，我们总是假设环的子集包含 1 并且在乘法下是闭合的。
对于给定的环 $\mathbf{A}$ ，我们表示为 $\mathbf{A}^{\times}$可逆元素的乘法群，也称为单位群。
如果 $S$ 是一个乡半群，我们记为 $\mathbf{A} S$ 或者 $S^{-1} \mathbf{A}$ 的本地化 $\mathbf{A}$ 在 $S$. 的每一个元素 $\mathbf{A} S$ 可以写成形式 $x / s$ 和 $x \in \mathbf{A}$ 和 $s \in S$.
根据定义，我们有 $x_{1} / s_{1}=x_{2} / s_{2}$ 如果存在一个 $s \in S$ 这样 $s s_{2} x_{1}=s s_{1} x_{2}$. 需要时，我们将表示为 $j_{\mathbf{A}, S}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_{S}$ 规范映射 $x \mapsto x / 1$.
同部环 $(\mathbf{A} S, j \mathbf{A}, S)$ 由以下普遍性质表征，直至唯一同构。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Basic Local-Global Principle

我们将在第 1 章研究交换代数中同部-全同原理的一般工作原理。十五。但是，我们会在每一个转折点，以适应每 种情况的不同形式遇到它。在本节中，给出了该原理的一个重要实例，因为它非常简单有效，如果不再使用它会很 可惜。
局部-全局原则确认某些属性为真当且仅当它们在“足够多”本地化之后为真。在经典数学中，我们经常在每个最大理 想处调用局部化。这是很多工作，而且看起来有点神秘，尤其是从算法的角度来看。我们将使用更简单（且不那么 令人生畏) 的版本，其中仅使用有限数量的本地化。
这是经典数学的一个特征。
$2.2$ 事实*让 $S_{1}, \ldots, S_{n}$ 是非平凡环 A 中的么半群 (即， $1 \neq \mathbf{A}{\mathbf{A}} 0$ ) 。类半群 $S{i}$ 当且仅当对于每个素理想 (分别对 于每个最大理想) 都是共极大的 $\mathfrak{p}$ 中的一个 $S_{i}$ 包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$.
$\mathrm{D}$ 让p成为一个首要的理想。如果没有 $S_{i}$ 的包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$ 然后对于每个 $i$ 存在一些 $s_{i} \in S_{i} \cap \mathfrak{p}$. 最后， $s_{1}, \ldots, s_{n}$ 不 是共大的。
相反，假设对于每个极大理想 $\mathfrak{m}$ 中的一个 $S_{i}$ 的包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{m}$ 然后让 $s_{1} \in S_{1}, \ldots, s_{n} \in S_{n}$ 那么理想 $\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle$ 不包含在任何最大理想中。因此它包含 1 .
我们表示 $\mathbf{A}^{m \times p}$ 或者 $\mathbb{M} m, p(\mathbf{A})$ 这 $\mathbf{A}$-模块 $m$-经过- $p$ 系数在的矩阵 $\mathbf{A}$ ，和 $\mathbb{M} n(\mathbf{A})$ 方法 $\mathbb{M} n, n(\mathbf{A})$. 可逆矩阵组 表示为 $\mathbb{G} \mathbb{L} n(\boldsymbol{\Lambda})$ ，由行列式 1 的矩阵组成的子群表示为 $\mathbb{S L} n(\mathbf{A})$. 的子集 $\mathbb{M} n(\mathbf{A})$ 由投影矩阵组成 (即矩阵 $F$ 这 样 $\left.F^{2}=F\right)$ 表示为 $\mathbb{A}_{n}(\mathbf{A})$. 缩写词解释如下: $\mathbb{G} \mathbb{L}$ 对于线性组， $\mathbb{S L}$ 对于特殊的线性群和 $\mathbb{A} G$ 为仿射格拉斯曼算子。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写交换代数commutative algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写交换代数commutative algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写交换代数commutative algebra代写方面经验极为丰富，各种代写交换代数commutative algebra相关的作业也就用不着说。

我们提供的交换代数commutative algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case

In the case of a smooth compact real algebraic manifold $V$, the algebra $\mathbf{A}$ of smooth functions on $V$ has as sub-algebra that of the polynomial functions, denoted by $\mathbb{R}[V]$.
The modules of vector fields and differential forms can be defined as above in terms of the algebra $\mathbb{R}[V]$.

Fvery finitely generated projective module $M$ on $\mathbb{R}[V]$ corresponds to a vector hundle $W \rightarrow V$ that we qualify as strongly algehraic. The smooth sections of this vector bundle form an $\mathbf{A}$-module that is (isomorphic to) the module obtained from $M$ by scalar extension to $\mathbf{A}$.

So, the fact that the manifold is parallelizable can be tested on an elementary level, that of the module $M$.

Indeed the assertion “the $\mathbf{A}$-module of smooth sections of $W$ is free” concerning the smooth case is equivalent to the corresponding assertion in the algebraic case “the $\mathbb{R}[V]$-module $M$ is free.” Proof sketch: Weierstrass’ approximation theorem allows us to approximate a smooth section by a polynomial section, and a “smooth basis” ( $n$ smooth sections of the bundle that at every point give a basis), by a polynomial one.
Let us now examine the smooth compact surfaces case. Such a surface is parallelizable if and only if it is orientable and has an everywhere nonzero vector field. Figuratively the latter condition reads: the surface can be combed. The integral curves of the vector field then form a beautiful curve family, i.e. a locally rectifiable curve family.

Thus for an orientable smooth compact algebraic surface $V$ the following properties are equivalent.

1. There exists an everywhere nonzero vector field.
2. There exists a beautiful curve family.
3. The manifold is parallelizable.
4. The Kähler module of differentials of $\mathbb{R}[V]$ is free.
   As previously explained, the latter condition stems from pure algebra (see also Sect. 2).

Hence the possibility of an “algebraic” proof of the fact that the sphere cannot be combed.
It seems that such a proof is not yet available on the market.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case

Let $S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1\right}$. The ring of polynomial functions over $S$ is the $\mathbb{R}$-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z] .
$$
The A-module of differential forms with polynomial coefficients on $S$ is
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A} \mathrm{d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v,
$$
where $v$ is the column vector $[x y z]$.
This vector is unimodular (this means that its coordinates are comaximal elements of A) since $[x y z] \cdot v=1$. Thus, the matrix
$$
P=v \cdot\left[\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
x^{2} & x y & x z \
x y & y^{2} & y z \
x z & y z & z^{2}
\end{array}\right]
$$
satisfies $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ such that by posing $Q=\mathrm{I}{3}-P$ we get $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$, and $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
This highlights the fact that $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ is a stably free projective $\mathbf{A}$-module of rank 2 .
The previous considerations continue to hold if we substitute $\mathbb{R}$ by a field of characteristic $\neq 2$ or even by a commutative ring $\mathbf{R}$ where 2 is invertible.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case

在光滑紧实代数流形的情况下 $V$ ，代数 $\mathbf{A}$ 的平滑函数 $V$ 具有多项式函数的子代数，表示为 $\mathbb{R}[V]$. 矢量场和微分形式的模块可以用代数定义如上 $\mathbb{R}[V]$.
Fvery 有限生成的射影模 $M$ 上 $\mathbb{R}[V]$ 对应于向量束 $W \rightarrow V$ 我们有资格作为强代数。这个向量从的平滑部分形成一 个 $\mathbf{A}$-module 是 (同构于) 从 $M$ 通过标量扩展为 $\mathbf{A}$.
因此，流形可并行化这一事实可以在模块的基本级别上进行测试 $M$.
事实上，断言“ $\mathbf{A}$-模块的平滑部分 $W$ 是自由的”关于光滑情况等价于代数情况下的相应断言“ $\mathbb{R}[V]$-模块 $M$ 免费。” 证明草图: Weierstrass 的逼近定理允许我们用多项式截面来逼近平滑截面，以及“平滑基” $(n$ 束的平滑部分，每个 点都给出一个基），通过多项式。
现在让我们检查光滑紧凑表面的情况。这样的表面是可并行的当且仅当它是可定向的并且具有无处不在的非零向量 场。形象地说，后一种情况是: 表面可以梳理。矢量场的积分曲线则形成了一个优美的曲线族，即局部可校正曲线 族。
因此对于一个可定向的光滑紧致代数曲面 $V$ 以下属性是等价的。

1. 存在一个无处不在的非零向量场。
2. 存在一个美丽的曲线族。
3. 流形是可并行的。
4. Kähler 微分模块 $\mathbb{R}[V]$ 免费。
   如前所述，后一种情况源于纯代数（另见第 2 节)。
   因此，”代数”证明球体不能被梳理这一事实的可能性。
   市场上似乎还没有这样的证明。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case

让S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 \正确的}S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 \正确的}. 多项式函数的环 $S$ 是个 $\mathbb{R}$-代数
$$
\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z]
$$
具有匇项式系数的微分形式的 $\mathrm{A}$ 模 $S$ 是
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v
$$
在哪里 $v$ 是列向量 $[x y z]$.
这个向量是单模的（这意味着它的坐标是 $\mathrm{A}$ 的共极大元素），因为 $[x y z] \cdot v=1$. 因此，矩阵
满足 $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ 这样通过摆姿势 $Q=\mathrm{I} 3-P$ 我们得到 $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega \mathbf{A} / \mathbb{R}{｝, \quad \text { 和 } \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
这突出了一个事实，即 $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ 是一个稳定的自由投影 $\mathbf{A}$ – 等级 2 的模块。
如果我们替换之前的考虑继续成立 $\mathbb{R}$ 由一个特征领域 $\neq 2$ 甚至通过交换环 $\mathbf{R}$ 其中 2 是可逆的。

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金融工程代写

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Tangent Vectors and Derivations

A decisive example of a vector bundle is the tangent bundle, for which the elements are the pairs $(p, v)$ where $p \in V$ and $v$ is a tangent vector at the point $p$.

When the manifold $V$ is a manifold immersed in a space $\mathbb{R}^{n}$, a tangent vector $v$ at the point $p$ can be identified with the derivation at the point $p$ in the direction of $v$.
When the manifold $V$ is not a manifold immersed in a space $\mathbb{R}^{n}$, a tangent vector $v$ can be defined as a derivation at the point $p$, i.e. as an $\mathbb{R}$-linear form $v: \mathbf{A} \rightarrow \mathbb{R}$ which satisfies Leibniz’s rule
$$
v(f g)=f(p) v(g)+g(p) v(f) .
$$
We can check with a few computations that the tangent vectors at $V$ indeed form a vector bundle $\mathrm{T}_{V}$ over $V$.

To a vector bundle $\pi: W \rightarrow V$ is associated the $\mathbf{A}$-module $\Gamma(W)$ formed by the smooth sections of the bundle. In the tangent bundle case, $\Gamma\left(\mathrm{T}_{V}\right)$ is nothing else but the $\mathbf{A}$-module of the usual (smooth) vector fields.

Just as a tangent vector at the point $p$ is identified with a derivation at the point $p$, which can be defined in algebraic terms (Eq. (1)), a (smooth) tangent vector field can be identified with an element of the A-module of the derivations of the $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{A}$, defined as follows.

A derivation of an $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{B}$ in a $\mathbf{B}$-module $M$ is an $\mathbb{R}$-linear mapping $v: \mathbf{B} \rightarrow M$ which satisfies Leibniz’s rule
$$
v(f g)=f v(g)+g v(f) .
$$
The $\mathbf{B}$-module of derivations of $\mathbf{B}$ in $M$ is denoted by $\operatorname{Der}{\mathbb{R}}(\mathbf{B}, M)$. When we “simply” refer to a derivation of an $\mathbb{R}$-algebra $g B$, what we mean is a derivation with values in $\mathbf{B}$. When the context is clear we write $\operatorname{Der}(\mathbf{B})$ as an abbreviation for $\operatorname{Der}{\mathbb{R}}(\mathbf{B}, \mathbf{B})$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Differentials and Cotangent Bundle

The dual bundle of the tangent bundle, called the cotangent bundle, has the differential forms on the manifold $V$ as its sections.

The corresponding $\mathbf{A}$-module, called the module of differentials, can be defined by generators and relations in the following way.

Generally, if $\left(f_{i}\right){i \in I}$ is a family of elements that generate an $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{B}$, the $\mathbf{B}-$ module of (Kähler) differentials of $\mathbf{B}$, denoted by $\Omega{\mathbf{B} / \mathbb{R}}$, is generated by the (purely formal) $\mathrm{d} f_{i}$ ‘s subject to the relations “derived from” the relations that bind the $f_{i}$ ‘s: if $P \in \mathbb{R}\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]$ and if $P\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right)=0$, the derived relation is
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial z_{k}}\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right) \mathrm{d} f_{i_{k}}=0
$$
Furthermore, we have the canonical mapping $\mathrm{d}: \mathbf{B} \rightarrow \Omega_{\mathbf{B} / \mathbb{R}}$ available, defined by $\mathrm{d} f=$ the class of $f$ (if $f=\sum \alpha_{i} f_{i}$, with $\alpha_{i} \in \mathbb{R}, \mathrm{d} f=\sum \alpha_{i} \mathrm{~d} f_{i}$ ), which is a derivation. ${ }^{1}$

We then prove that, for every $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{B}$, the $\mathbf{B}$-module of derivations of $\mathbf{B}$ is the dual module of the $\mathbf{B}$-module of Kähler differentials.

In the case where the $\mathbf{B}$-module of differentials of $\mathbf{B}$ is a finitely generated projective module (for example when $\mathbf{B}=\mathbf{A}$ ), then it is itself the dual module of the $\mathbf{B}$-module of derivations of $\mathbf{B}$.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Tangent Vectors and Derivations

向量丛的一个决定性例子是切丛，其元素是对 $(p, v)$ 在哪里 $p \in V$ 和 $v$ 是该点的切向量 $p$.
当歧管 $V$ 是沉浸在空间中的流形 $\mathbb{R}^{n}$ ，一个切向量 $v$ 在这一点上 $p$ 可以用该点的推导来识别 $p$ 在…方向 $v$.
当歧管 $V$ 不是沉浸在空间中的流形 $\mathbb{R}^{n}$ ，一个切向量 $v$ 可以定义为在点的推导 $p$ ，即作为 $\mathbb{R}$-线性形式 $v: \mathbf{A} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足 莱布尼茨规则
$$
v(f g)=f(p) v(g)+g(p) v(f) .
$$
我们可以通过一些计算来检查切向量在 $V$ 确实形成一个向量丛 $\mathrm{T}{V}$ 超过 $V$. 到矢量束 $\pi: W \rightarrow V$ 与 $\mathbf{A}$-模块 $\Gamma(W)$ 由束的光滑部分形成。在切线束的情况下， $\Gamma\left(\mathrm{T}{V}\right)$ 只不过是 $\mathbf{A}$-通常 (平 滑) 矢量场的模块。
就像该点的切向量 $p$ 在该点用推㝵标识 $p$, 可以用代数项 (Eq. (1)) 定义，个 (平滑) 切向量场可以用 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{A}$ ，定义 如下。
一个推导 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{B}$ 在一个 $\mathbf{B}$-模块 $M$ 是一个 $\mathbb{R}$-线性映射 $v: \mathbf{B} \rightarrow M$ 满足莱布尼茨规则
$$
v(f g)=f v(g)+g v(f) .
$$
这 $\mathbf{B}$ – 推导模块 $\mathbf{B}$ 在 $M$ 表示为 $\operatorname{Der} \mathbb{R}(\mathbf{B}, M)$. 当我们“简单地”指代一个推㝵时 $\mathbb{R}$-代数 $g B$, 我们的意思是推导的值 $\mathbf{B}$. 当上下文清楚时，我们会写 $\operatorname{Der}(\mathbf{B})$ 作为缩写 $\operatorname{Der} \mathbb{R}(\mathbf{B}, \mathbf{B})$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Differentials and Cotangent Bundle

切丛的对偶丛，称为余切丛，在流形上有微分形式 $V$ 作为它的部分。
一般来说，如果 $\left(f_{i}\right) i \in I$ 是一组元素，它们生成 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{B}$ ，这 $\mathbf{B}-(K a ̈ h l e r)$ 微分模块 $\mathbf{B}$ ，表示为 $\Omega \mathbf{B} / \mathbb{R}$ ，由 (纯 正式的) 生成 $\mathrm{d} f_{i}$ 的从属关系“派生自”约束 $f_{i}$ 的: 如果 $P \in \mathbb{R}\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]$ 而如果 $P\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right)=0$, 派生关 系为
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial z_{k}}\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right) \mathrm{d} f_{i_{k}}=0
$$
此外，我们有规范映射 $\mathrm{d}: \mathbf{B} \rightarrow \Omega_{\mathbf{B} / \mathbb{R}}$ 可用，定义为 $\mathrm{d} f=$ 类 $f$ (如果 $f=\sum \alpha_{i} f_{i}$ ，和 $\alpha_{i} \in \mathbb{R}, \mathrm{d} f=\sum \alpha_{i} \mathrm{~d} f_{i}$ ，这是一个推导。
然后我们证明，对于每个 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{B}$ ，这B-推导模块 $\mathbf{B}$ 是的双模块 $\mathbf{B}-K a ̈ h l e r$ 差速器模块。
在这种情况下 $\mathbf{B}$ – 微分模块 $\mathbf{B}$ 是一个有限生成的射影模（例如，当 $\mathbf{B}=\mathbf{A}$ ），那么它本身就是 $\mathbf{B}$ – 推导模块 $\mathbf{B}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles on a Smooth Compact Manifold

Here, we give some motivations for finitely generated projective modules and localization by explaining the example of vector bundles on a compact smooth manifold. Two important particular cases are tangent and cotangent bundles corresponding to $C^{\infty}$ vector fields and to $C^{\infty}$ differential forms.
We will use the term “smooth” as a synonym for “of class $C^{\infty} .$,”
We will see that the fact that the sphere cannot be combed admits a purely algebraic interpretation.

In this section, we consider a smooth real differentiable manifold $V$ and we denote by $\mathbf{A}=C^{\infty}(V)$ the real algebra of global smooth functions on the manifold.
Some Localizations of the Algebra of Continuous Functions
Let us first consider an element $f \in \mathbf{A}$ along with the open set (open subset of the manifold $V$ to be precise)
$$
U={x \in V \mid f(x) \neq 0}
$$
and let us see how we can interpret the algebra $\mathbf{A}[1 / f]$ : two elements $g / f^{k}$ and $h / f^{k}$ are equal in $\mathbf{A}[1 / f]$ if and only if for some exponent $\ell$ we have $g f^{\ell}=h f^{\ell}$ which means precisely $\left.g\right|{U}=\left.h\right|{U}$.

It follows that we can interpret $\mathbf{A}[1 / f]$ as a sub-algebra of the algebra of smooth functions on $U$ : this sub-algebra has as elements the functions which can be written as $\left(\left.g\right|{U}\right) /\left(\left.f\right|{U}\right)^{k}$ (for a given exponent $k$ ) with $g \in \mathbf{A}$, which a priori introduces certain restrictions on the behavior of the function on the border of $U$.

To avoid having to deal with this difficult problem, we use the following lemma.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles and Finitely Generated Projective Modules

Now recall the notion of a vector bundle over $V$.
A vector bundle is given by a smooth manifold $W$, a smooth surjective mapping $\pi$ : $W \rightarrow V$, and a structure of a finite dimensional vector space on every fiber $\pi^{-1}(p)$. In addition, locally, all this must be diffeomorphic to the following simple situation, called trivial:
$$
\pi_{1}:\left(U \times \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow U,(p, v) \mapsto p,
$$
with $m$ that can depend on $U$ if $V$ is not connected. This means that the structure of the (finite dimensional) vector space on the fiber over $p$ must “properly” depend on $p$.

Such an open set (or subset) $U$, which trivializes the bundle, is called a distinguished open set (or subset).

A section of the vector bundle $\pi: W \rightarrow V$ is by definition a mapping $\sigma: V \rightarrow W$ such that $\pi \circ \sigma=\operatorname{Id}_{V}$. We will denote by $\Gamma(W)$ the set of smooth sections of this bundle. It is equipped with a natural $\mathbf{A}$-module structure.

Now suppose that the manifold $V$ is compact. As the bundle is locally trivial there exists a finite covering of $V$ by distinguished open subsets $U_{i}$ and a partition of the unity $\left(f_{i}\right){i \in \llbracket 1 . s \rrbracket} \rrbracket$ subordinate to the open cover $U{i}$ : the support of $f_{i}$ is a compact set $K_{i}$ contained in $U_{i}$.

We notice from I.emma $1.1$ that the algebras $\mathbf{A}\left[1 / f_{i}\right]=C^{\infty}(V)\left[1 / f_{i}\right]$ and $C^{\infty}\left(U_{i}\right)\left[1 / f_{i}\right]$ are naturally isomorphic.

If we localize the ring $\mathbf{A}$ and the module $M=\Gamma(W)$ by making $f_{i}$ invertible, we obtain the ring $\mathbf{A}{i}=\mathbf{A}\left[1 / f{i}\right]$ and the module $M_{i}$. Let $W_{i}=\pi^{-1}\left(U_{i}\right)$. Then, $W_{i} \rightarrow U_{i}$ is “isomorphic” to $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. Thus it boils down to taking a section of the bundle $W_{i}$, or to taking the $m_{i}$ functions $U_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ which make a section of the bundle $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. In other words, the module of the sections of $W_{i}$ is free and of rank $m$.

Since a module that becomes free after localization in a finite number of comaximal elements is finitely generated projective (local-global principle V-2.4), we then get the direct part (point 1 ) of the following theorem.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles on a Smooth Compact Manifold

在这里，我们通过解释紧凑平滑流形上的向量束示例，给出了有限生成投影模块和定位的一些动机。两个重要的特 殊情况是对应于的正切丛和余切丛 $C^{\infty}$ 矢量场和 $C^{\infty}$ 微分形式。
我们将使用术语“smooth”作为“of class”的同义词 $C^{\infty}$.,”
我们将看到球体不能被梳理的事实承认了纯粹的代数解释。
在本节中，我们考虑一个光滑的实可微流形 $V$ 我们表示 $\mathbf{A}=C^{\infty}(V)$ 流形上全局平滑函数的实代数。
连续函数代数的一些局部化
让我们首先考虑一个元素 $f \in \mathbf{A}$ 连同开集（流形的开子集 $V$ 准确地说)
$$
U=x \in V \mid f(x) \neq 0
$$
让我们看看如何解释代数 $\mathbf{A}[1 / f]$ : 两个元素 $g / f^{k}$ 和 $h / f^{k}$ 相等于 $\mathbf{A}[1 / f]$ 当且仅当对于某个指数 $\ell$ 我们有 $g f^{\ell}=h f^{\ell}$ 这意味着 $g|U=h| U$.
由此可见，我们可以解释 $\mathbf{A}[1 / f]$ 作为光滑函数代数的子代数 $U$ : 这个子代数有作为元素的函数可以写成 $(g \mid U) /(f \mid U)^{k}$ (对于给定的指数 $k$ ) 和 $g \in \mathbf{A}$ ，其中先验地对函数在边界上的行为引入了某些限制 $U$.
为了避免不得不处理这个难题，我们使用以下引理。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles and Finitely Generated Projective Modules

现在回想一下向量丛的概念 $V$.
向量从由平滑流形给出 $W$ ，一个光滑的满射映射 $\pi: W \rightarrow V$ ，以及每根纤维上的有限维向量空间的结构 $\pi^{-1}(p)$. 此外，在局部，所有这些都必须微分于以下简单情况，称为平凡:
$$
\pi_{1}:\left(U \times \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow U,(p, v) \mapsto p,
$$
和 $m$ 这可以取决于 $U$ 如果 $V$ 末连接。这意味着光纤上的（有限维）向量空间的结构 $p$ 必须“适当地”依赖于 $p$.
这样的开集 (或子集) $U$ ，使束变得平凡，称为可区分的开集（或子集）。
向量丛的一部分 $\pi: W \rightarrow V$ 根据定义是一个映射 $\sigma: V \rightarrow W$ 这样 $\pi \circ \sigma=\operatorname{Id}{V}$. 我们将表示为 $\Gamma(W)$ 此捆绑包 的一组平滑部分。它配备了天然 $\mathbf{A}$-模块结构。 现在假设流形 $V$ 紧凑。由于束是局部平凡的，因此存在一个有限覆盖 $V$ 通过可区分的开子集 $U{i}$ 和统一的分割 $\left(f_{i}\right) i \in \backslash$ llbracket1. $s \backslash$ rrbracket $\backslash$ rrbracket从属于开盖 $U i$ : 的支持 $f_{i}$ 是紧集 $K_{i}$ 包含在 $U_{i}$.
我们从 I.emma 注意到1.1代数 $\mathbf{A}\left[1 / f_{i}\right]=C^{\infty}(V)\left[1 / f_{i}\right]$ 和 $C^{\infty}\left(U_{i}\right)\left[1 / f_{i}\right]$ 是自然同构的。
如果我们定位环 $\mathbf{A}$ 和模块 $M=\Gamma(W)$ 通过制作 $f_{i}$ 可逆，我们得到环 $\mathbf{A} i=\mathbf{A}[1 / f i]$ 和模块 $M_{i}$. 让
$W_{i}=\pi^{-1}\left(U_{i}\right)$. 然后， $W_{i} \rightarrow U_{i}$ 是“同构的” $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. 因此，它归结为获取捆绑包的一部分 $W_{i}$ ，或采 取 $m_{i}$ 功能 $U_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ 构成捆绑包的一部分 $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. 换句话说，模块的部分 $W_{i}$ 是自由的和有等级的 $m$.
由于在有限数量的共极大元素中定位后变得自由的模块是有限生成的射影 (同部-全局原则 V-2.4)，因此我们得到 以下定理的直接部分 (第 1 点)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。