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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injectivity and Surjectivity Criteria

Two famous propositions are contained in the following theorem.
5.22 Theorem Let $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ be a linear map with matrix $A$.

  1. The map $\varphi$ is surjective if and only if $\varphi$ is of rank $m$, i.e. here $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$ (we then say that $A$ is unimodular).
  2. (McCoy’s theorem) The map $\varphi$ is injective if and only if $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is faithful, i.e. if the annihilator of $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is reduced to ${0}$.

D 1. If $\varphi$ is surjective, it admits a right inverse $\psi_*$ and Fact $5.6$ gives $\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$ $\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$, so $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$. Conversely, if $A$ is of rank $m$, Eq. (18) shows that $A$ admits a right inverse, and $\varphi$ is surjective.

  1. Assume that $\mathcal{D}n(A)$ is faithful. By equality (16), if $A V=0$, then $\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$ for all the generators $\mu_{\alpha, 1 . . n}$ of $\mathcal{D}n(A)$, and so $V=0$. For the converse, we will prove by induction on $k$ the following property: if $k$ column vectors $x_1, \ldots, x_k$ are linearly independent, then the annihilator of the vector $x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ is reduced to 0 . For $k=1$ it is trivial. To pass from $k$ to $k+1$ we proceed as follows. Let $z$ be a scalar that annihilates $x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$. For $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$, we denote by $d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$ the minor extracted on the index rows of $\alpha$ for the column vectors $y_1, \ldots, y_k$ of $\mathbf{A}^m$. Since $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$, and by the Cramer formulas, we have the equality
    $$
    z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
    $$
    so $z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$.
    As this is true for any $\alpha$, this gives $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$, and by the induction hypothesis, $z=0$.
    Remark Theorem $5.22$ can also be read in the following way.
  2. The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is surjective if and only if the map $\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$ $\mathbf{A}$ is surjective.
  3. The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is injective if and only if the map $\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$ is injective.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Gram Determinants and Discriminants

5.32 Definition Let $M$ be an A-module, $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ be a symmetric bilinear form and $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ be a list of elements of $M$. We call the matrix
$$
\operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
$$
the Gram matrix of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$. Its determinant is called the Gram determinant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$ and is denoted by $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have an equality
$$
\operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where $A$ is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.
We now introduce an important case of a Gram determinant, the discriminant. Recall that two elements $a, b$ of a ring $\mathbf{A}$ are said to be associated if there exists a $u \in \mathbf{A}^{\times}$such that $a=u b$. In the literature such elements are also referred to as associates.
5.33 Proposition and definition Let $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ be an $\mathbf{A}$-algebra which is a free $\mathbf{A}$-module of finite rank and $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$.

  1. We call the determinant of the matrix
    $$
    \left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
    $$
    the discriminant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. We denote it by $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ or $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.
  2. If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have
    $$
    \operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
    $$
    where A is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|注入和满射标准

.


5.22定理设$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是矩阵$A$的线性映射

  1. 当且仅当$\varphi$的秩为$m$,即这里的$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$(我们然后说$A$是单模的),地图$\varphi$是满射的。
  2. (McCoy’s定理)当且仅当$\mathcal{D}_n(\varphi)$是忠实的,即当$\mathcal{D}_n(\varphi)$的湮灭子减少到${0}$时,映射$\varphi$是单射的D 1。如果$\varphi$是满射,它承认一个右逆$\psi_*$,事实$5.6$给出$\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$$\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$,因此是$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$。相反,如果$A$的秩为$m$,则Eq.(18)表明$A$允许一个右逆,而$\varphi$是满射
    1. 假设$\mathcal{D}n(A)$是忠实的。根据等式(16),如果$A V=0$,那么对于$\mathcal{D}n(A)$的所有生成器$\mu_{\alpha, 1 . . n}$,则$\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$,因此$V=0$。反之,我们将在$k$上通过归纳法证明以下性质:如果$k$列向量$x_1, \ldots, x_k$是线性无关的,则向量$x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$的湮灭子化简为0。对于$k=1$来说,这是微不足道的。要从$k$传递到$k+1$,我们按照以下步骤进行。设$z$是一个灭掉$x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$的标量。对于$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$,我们用$d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$表示在$\alpha$的索引行上提取的子项,用于$\mathbf{A}^m$的列向量$y_1, \ldots, y_k$。从$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$开始,根据克莱默公式,我们得到等式
      $$
      z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
      $$
      所以$z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$ .
      因为这对任何$\alpha$都成立,所以得到$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$,根据归纳假设,得到$z=0$
      备注定理$5.22$也可以这样理解。
    2. 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是满射的当且仅当映射$\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$$\mathbf{A}$是满射的。
    3. 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是单射的,当且仅当映射$\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$是单射的 数学代写|交换代数代写交换代数代考|克行列式和鉴别 5.32 $M$ 做一个a模块, $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ 是对称的双线性形式 $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 的元素列表 $M$。我们称矩阵
      $$
      \operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
      $$
      的克矩阵 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$。它的行列式叫做 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$ 表示为 $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
      如果 $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有一个等式
      $$
      \operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
      $$
      where $A$ 是 $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$
      我们现在介绍克行列式的一个重要情况,即判别式。回想一下这两个元素 $a, b$ 一枚戒指 $\mathbf{A}$ 如果存在 $u \in \mathbf{A}^{\times}$如此这般 $a=u b$。在文献中,这类元素也被称为关联 $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ 做一个 $\mathbf{A}$-代数是免费的 $\mathbf{A}$-有限秩和的模 $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$. 我们称矩阵的行列式
      $$
      \left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
      $$
      的鉴别 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$。我们用 $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 或 $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.
    4. $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有
      $$
      \operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
      $$
      其中A是A $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Cramer Formula

We study in this subsection some generalizations of the usual Cramer formulas. We will exploit these in the following paragraphs.

For a matrix $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ we denote by $A_{\alpha, \beta}$ the matrix extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$.

Suppose that the matrix $A$ is of rank $\leqslant k$. Let $V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ be a column vector such that the bordered matrix $[A \mid V]$ is also of rank $\leqslant k$. Let us call $A_j$ the $j$-th column of $A$. Let $\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$ be the minor of order $k$ of the matrix $A$ extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$. For $j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$ let $\nu_{\alpha, \beta, j}$ be the determinant of the same extracted matrix, except that the column $j$ has been replaced with the extracted column of $V$ on the rows $\alpha$. Then, we obtain for each pair $(\alpha, \beta)$ of multi-indices a Cramer identity:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
due to the fact that the rank of the bordered matrix $\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$ is $\leqslant k$. This can be read as follows:
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
This leads us to introduce the following notation.
5.12 Notation We denote by $\mathcal{P}{\ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ and $\mathcal{P}{k, \ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ with $k$ elements. For $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ and $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Inverses and Locally Simple Maps

Let $E$ and $F$ be two $\mathbf{A}$-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. We can see this as some sort of generalized system of linear equations (a usual system of linear equations corresponds to the free modules of finite rank case). Informally such a system of linear equations is considered to be “well-conditioned” if there is a systematic way to solve the equation $\varphi(x)=y$ for $x$ from a given $y$, when such a solution exists. More precisely, we ask if there exists a linear map $\psi: F \rightarrow E$ satisfying $\varphi(\psi(y))=y$ each time there exists a solution $x$. This amounts to asking $\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$ for all $x \in E$.

This clarifies the importance of the Eq. (17) and leads to the notion of a generalized inverse.

The terminology regarding generalized inverses does not seem fully fixed. We adopt that of [Lancaster \& Tismenetsky].
In the book [Bhaskara Rao], the author uses the term “reflexive g-inverse.”
5.16 Definition Let $E$ and $F$ be two A-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. A linear map $\psi: F \rightarrow E$ is called a generalized inverse of $\varphi$ if we have
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
A linear map is said to be locally simple when it has a generalized inverse. The following fact is immediate.

5.17 Fact When $\psi$ is a generalized inverse of $\varphi$, we have:

  • $\varphi \psi$ and $\psi \varphi$ are projections,
    $-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$,
    $-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ and $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$,
    $-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ and $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$.
    Moreover $\varphi$ and $\psi$ provide by restriction reciprocal isomorphisms $\varphi_1$ and $\psi_1$ between $\operatorname{Im} \psi$ and $\operatorname{Im} \varphi$. In matrix form we obtain:
    Remarks
    1) If we have a linear map $\psi_0$ satisfying as in Theorem $5.14$ the equality $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$, we obtain a generalized inverse of $\varphi$ by stating $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$. In other words, a linear map $\varphi$ is locally simple if and only if there exists a $\psi$ satisfying $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
    2) A simple linear map between free modules of finite rank is locally simple (immediate verification).
    3) Theorem $5.14$ informs us that a linear map which has rank $k$ in the sense of Definition $5.7$ is locally simple.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义Cramer公式


在这一小节中,我们研究一些常用Cramer公式的推广。我们将在接下来的段落中探讨这些

对于矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$,我们用$A_{\alpha, \beta}$表示在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$上提取的矩阵

假设矩阵$A$的秩是$\leqslant k$。设$V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$是一个列向量,使得有边界的矩阵$[A \mid V]$的秩也是$\leqslant k$。让我们称$A_j$为$A$的$j$ -th列。设$\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$是在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$上提取的矩阵$A$的$k$次余子数。对于$j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$,设$\nu_{\alpha, \beta, j}$为相同提取矩阵的行列式,只是列$j$已被$\alpha$行上提取的列$V$所取代。然后,对于每一对多指标$(\alpha, \beta)$,我们得到一个Cramer恒等式:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
,这是因为有边界矩阵$\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$的秩为$\leqslant k$。
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
这导致我们引入以下表示法:
5.12表示法我们用$\mathcal{P}{\ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合,用$\mathcal{P}{k, \ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合,其中包含$k$元素。对于$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$和$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$

数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义逆和局部简单映射

设$E$和$F$是两个$\mathbf{A}$ -模块,$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。我们可以把它看作某种广义线性方程组(通常的线性方程组对应于有限秩情况下的自由模)。非正式地说,这样的线性方程组被认为是“条件良好”的,如果有一种系统的方法可以从给定的$y$解出方程$\varphi(x)=y$ for $x$,如果这样的解存在。更准确地说,我们问是否存在一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$满足$\varphi(\psi(y))=y$每次存在一个解$x$。这相当于向$\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$请求所有$x \in E$。 这阐明了式(17)的重要性,并引出了广义逆的概念 关于广义逆的术语似乎并不完全固定。我们采用[兰开斯特&蒂斯曼涅茨基]。
在书中[Bhaskara Rao],作者使用术语“自反g逆”。
5.16定义设$E$和$F$是两个a模,$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。如果我们有
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$被称为$\varphi$的广义逆,当一个线性映射有广义逆时,它被称为局部简单的。下面的事实是直接的 当$\psi$是$\varphi$的广义逆时,我们有:

  • $\varphi \psi$ 和 $\psi \varphi$ 是投影,
    $-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$,
    $-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ 和 $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$,
    $-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ 和 $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$
    此外 $\varphi$ 和 $\psi$ 通过限制提供互同构 $\varphi_1$ 和 $\psi_1$ 之间 $\operatorname{Im} \psi$ 和 $\operatorname{Im} \varphi$。在矩阵形式中,我们得到:
    备注
    1)如果我们有一个线性映射 $\psi_0$ 在定理中满足 $5.14$ 平等 $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$的广义逆 $\varphi$ 通过说明 $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$。换句话说,一个线性映射 $\varphi$ 当且仅当存在 $\psi$ 令人满意的 $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
    2)有限秩自由模之间的简单线性映射是局部简单的(立即验证) $5.14$ 告诉我们有秩的线性映射 $k$ 在定义的意义上 $5.7$
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Little Exterior Algebra

Let $k \in \mathbb{N}$. A free module of rank $k$ is by definition an $\mathbf{A}$-module isomorphic to $\mathbf{A}^k$. If $k$ is not specified, we will say free module of finite rank.

When $\mathbf{A}$ is a discrete field we speak of a finite dimensional vector space or a finite rank vector space interchangeably.

The modules whose structure is the simplest are the free modules of finite rank. We are thus interested in the possibility of constructing an arbitrary module $M$ in the form $L \oplus N$ where $L$ is a free module of finite rank. A (partial) answer to this question is given by the exterior algebra.
5.1 Proposition (Splitting OIf) Let $a_1, \ldots, a_k$ be elements of an A-module $M$, then the following properties are equivalent.

  1. The submodule $L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$ of $M$ is free with basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$ and is $a$ direct summand of $M$.
  2. There exists a k-multilinear alternating form $\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$ which satisfies the equality $\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$.

D $1 \Rightarrow 2$. If $L \oplus N=M$, if $\pi: M \rightarrow L$ is the projection parallel to $N$, and if $\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$ is the $j$-th coordinate form for the basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$, we define
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) $$ $2 \Rightarrow 1$. We define the linear map $\pi: M \rightarrow M$ as $$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$

We immediately have $\pi\left(a_i\right)=a_i$ and $\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$, thus $\pi^2=\pi$ and $\operatorname{Im} \pi=L$. Finally, if $x=\sum_j \lambda_j a_j=0$, then $\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ (with $x$ in position $j$ ).

Special case: for $k=1$ we say that the element $a_1$ of $M$ is unimodular when there exists a linear form $\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$ such that $\varphi\left(a_1\right)=1$. The vector $b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$ $\mathbf{A}^n$ is unimodular if and only if the $b_i$ ‘s are comaximal. In this case we also say that the sequence $\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ is unimodular.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Rank of a Free Module

As we will see, the rank of a free module is a well-determined integer if the ring is nontrivial. In other words, two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \neq p$ can only be isomorphic if $1=\mathrm{A} 0$.

We will use the notation $\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$ (or $\operatorname{rk}(M)=k$ if $\mathbf{A}$ is clear from the context) to indicate that a (supposedly free) module has rank $k$.

A scholarly proof consists to say that, if $m>p$, the $m$-th exterior power of $P$ is ${0}$ whereas that of $M$ is isomorphic to $\mathbf{A}$ (this is essentially the proof for Corollary $5.23$ ).
The same proof can be presented in a more elementary way as follows. First recall the basic Cramer formula. If $B$ is a square matrix of order $n$, we denote by $\widetilde{B}$ or Adj $B$ the cotransposed matrix (sometimes called adjoint). The elementary form of Cramer’s identities is then expressed as:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
This formula, in combination with the product formula
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
has a couple of implications regarding square matrices. First, that a square matrix $A$ is invertible on one side if and only if $A$ is invertible if and only if its determinant is invertible. Second, that the inverse of $A$ is equal to (det $A)^{-1} \operatorname{Adj} A$.

We now consider two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \geqslant p$ and a surjective linear map $\varphi: P \rightarrow M$. Therefore there exists a linear map $\psi: M \rightarrow P$ such that $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$. This corresponds to two matrices $A \in \mathbf{A}^{m \times p}$ and $B \in \mathbf{A}^{p \times m}$ with $A B=\mathrm{I}_m$. If $m=p$, the matrix $A$ is invertible with inverse $B$ and $\varphi$ and $\psi$ are reciprocal isomorphisms. If $m>p$, we have $A B=A_1 B_1$ with square $A_1$ and $B_1$ respectively obtained from $A$ and $B$ by filling in with zeros ( $m-p$ columns for $A_1$, $m-p$ rows for $\left.B_1\right)$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|一个小的外部代数

让$k \in \mathbb{N}$。根据定义,等级为$k$的空闲模块是与$\mathbf{A}^k$同构的$\mathbf{A}$ -模块。如果没有指定$k$,我们将说有限秩的自由模块 当$\mathbf{A}$是一个离散域时,我们交换地说有限维向量空间或有限秩向量空间 结构最简单的模是有限秩的自由模。因此,我们对以$L \oplus N$的形式构造任意模块$M$的可能性感兴趣,其中$L$是一个有限秩的自由模块。
5.1命题(拆分OIf)设$a_1, \ldots, a_k$为A模块$M$的元素,则下列属性等价

. . .
5.1命题(拆分OIf
$M$的子模块$L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的自由子模块,是$M$的$a$直接求和存在一个k-多线性交替形式$\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$,它满足等式$\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$ .

D $1 \Rightarrow 2$。如果$L \oplus N=M$,如果$\pi: M \rightarrow L$是平行于$N$的投影,如果$\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的$j$ -th坐标形式,我们定义
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) $$$2 \Rightarrow 1$。我们将线性映射$\pi: M \rightarrow M$定义为$$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$

我们立即有$\pi\left(a_i\right)=a_i$和$\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$,因此$\pi^2=\pi$和$\operatorname{Im} \pi=L$。最后,如果$x=\sum_j \lambda_j a_j=0$,则$\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ ($x$位于$j$的位置)。

特殊情况:对于$k=1$,我们说$M$的元素$a_1$是单模的,当存在线性形式$\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$时,使得$\varphi\left(a_1\right)=1$。向量$b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$$\mathbf{A}^n$是单模的,当且仅当$b_i$是同大的。在这种情况下,我们还说序列$\left(b_1, \ldots, b_n\right)$是单模的。

数学代写|交换代数代写交换代数代考|空闲模块模块的级别


正如我们将看到的,如果环非平凡,则空闲模块的秩是一个良好确定的整数。换句话说,如果$1=\mathrm{A} 0$ . .则两个$\mathbf{A}$ -模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和带有$m \neq p$的$P \simeq \mathbf{A}^p$只能同构

我们将使用符号$\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$(或$\operatorname{rk}(M)=k$,如果$\mathbf{A}$从上下文清楚)来表示(假定为空闲)模块的秩为$k$ 一个学术证明是这样说的,如果$m>p$, $P$的$m$的外幂是${0}$,而$M$的外幂是$\mathbf{A}$的同构(这本质上是推论$5.23$的证明)。同样的证明可以用以下更基本的方式来表示。首先回忆一下基本的克莱默公式。如果$B$是$n$阶方阵,我们用$\widetilde{B}$或Adj $B$表示协转矩阵(有时称为伴随矩阵)。克拉默等式的初等形式则表示为:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
这个公式结合乘积公式
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
对于方阵有一些含义。首先,方阵$A$在一边可逆当且仅当$A$可逆当且仅当它的行列式可逆。第二,$A$的倒数等于(det $A)^{-1} \operatorname{Adj} A$ .


我们现在考虑两个$\mathbf{A}$模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和$P \simeq \mathbf{A}^p$,其中包含$m \geqslant p$和一个满射线性映射$\varphi: P \rightarrow M$。因此存在一个线性映射$\psi: M \rightarrow P$,使得$\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$。这对应于两个矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times p}$和$B \in \mathbf{A}^{p \times m}$以及$A B=\mathrm{I}_m$。如果$m=p$,则矩阵$A$与逆$B$可逆,$\varphi$和$\psi$是互反同构。如果是$m>p$,我们有$A B=A_1 B_1$和$A_1$和$B_1$分别从$A$和$B$通过填零得到($m-p$列为$A_1$, $m-p$行为$\left.B_1\right)$

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Facts Concerning Quotients and Localizations

Let us begin by recalling the following result on quotients. Let $a$ be an ideal of a ring $\mathbf{A}$. When needed, the canonical mapping will be denoted by $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \mathfrak{a}$.
The quotient ring $\left(\mathbf{A} / \mathfrak{a}, \pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}\right)$ is characterized, up to unique isomorphism, by the following universal property.
1.1 Fact (Characteristic property of the quotient by the ideal a) A ring homomorphism $\psi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ is factorized by $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}$ if and only if $\mathfrak{a} \subseteq \operatorname{Ker} \psi$, meaning $\psi(\mathfrak{a}) \subseteq\left{0_{\mathrm{B}}\right}$. In this case, the factorization is unique.

Explanation regarding the figure. In a figure of the type found above, everything but the morphism $\theta$ corresponding to the dotted arrow is given. The exclamation mark signifies that $\theta$ makes the diagram commute and that it is the unique morphism with this property.

We denote by $M /$ a $M$ the $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$-module obtained from the quotient of the A-module $M$ by the submodule generated by the elements $a x$ for $a \in \mathfrak{a}$ and $x \in M$. This module can thus be defined through the extension of scalars to $\mathbf{A} / \boldsymbol{a}$ from the $\mathbf{A}$-module $M$ (see p. 191, and Exercise IV-5).

Let us move on to localizations, which are very analogous to quotients (we will return to this analogy in further detail on p. 635). In this work, when referring to a monoid contained within a ring (i.e. a submonoid of a ring) we always assume a subset of the ring which contains 1 and is closed under multiplication.

For a given ring $\mathbf{A}$, we denote by $\mathbf{A}^{\times}$the multiplicative group of invertible elements, also called the group of units.

If $S$ is a monoid, we denote by $\mathbf{A}{S}$ or $S^{-1} \mathbf{A}$ the localization of $\mathbf{A}$ at $S$. Every element of $\mathbf{A}{S}$ can be written in the form $x / s$ with $x \in \mathbf{A}$ and $s \in S$.

By definition we have $x_{1} / s_{1}=x_{2} / s_{2}$ if there exists an $s \in S$ such that $s s_{2} x_{1}=$ $s s_{1} x_{2}$. When needed, we will denote by $j_{\mathbf{A}, S}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_{S}$ the canonical mapping $x \mapsto x / 1$.

The localized ring ( $\left.\mathbf{A}{S}, j{\mathbf{A}, S}\right)$ is characterized, up to unique isomorphism, by the following universal property.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Basic Local-Global Principle

We will study the general workings of the local-global principle in commutative algebra in Chap. XV. However, we will encounter it at every turn, under different forms adapted to each situation. In this section, an essential instance of this principle is given as it is so simple and efficient that it would be a pity to go without it any longer.

The local-global principle affirms that certain properties are true if and only if they are true after “sufficiently many” localizations. In classical mathematics we often invoke localization at every maximal ideal. It is a lot of work and seems a bit mysterious, especially from an algorithmic point of view. We will use simpler (and less intimidating) versions in which only a finite number of localizations are used.

Here is a characterization from classical mathematics.
2.2 Fact* Let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be monoids in a nontrivial ring A (i.e., $1 \neq_{\mathbf{A}} 0$ ). The monoids $S_{i}$ are comaximal if and only if for every prime ideal (resp. for every maximal ideal) $\mathfrak{p}$ one of the $S_{i}$ is contained within $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$.

D Let $\mathfrak{p}$ be a prime ideal. If none of the $S_{i}$ ‘s are contained in $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$ then for each $i$ there exists some $s_{i} \in S_{i} \cap \mathfrak{p}$. Consequently, $s_{1}, \ldots, s_{n}$ are not comaximal.

Conversely, suppose that for every maximal ideal $\mathfrak{m}$ one of the $S_{i}$ ‘s is contained within $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{m}$ and let $s_{1} \in S_{1}, \ldots, s_{n} \in S_{n}$ then the ideal $\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle$ is not contained in any maximal ideal. Thus it contains $1 .$

We denote by $\mathbf{A}^{m \times p}$ or $\mathbb{M}{m, p}(\mathbf{A})$ the $\mathbf{A}$-module of $m$-by- $p$ matrices with coefficients in $\mathbf{A}$, and $\mathbb{M}{n}(\mathbf{A})$ means $\mathbb{M}{n, n}(\mathbf{A})$. The group of invertible matrices is denoted by $\mathbb{G L}{n}(\boldsymbol{\Lambda})$, the subgroup consisting of the matrices of determinant 1 is denoted by $\mathbb{S L}{n}(\mathbf{A})$. The subset of $\mathbb{M}{n}(\mathbf{A})$ consisting of the projection matrices (i.e. matrices $F$ such that $F^{2}=F$ ) is denoted by $\mathbb{A}_{n}(\mathbf{A})$. The acronyms are explained as follows: $\mathbb{G L}$ for linear group, $\mathbb{S L}$ for special linear group and $\mathbb{A} G$ for affine Grassmannian.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Facts Concerning Quotients and Localizations

让我们首先回顾一下关于商的以下结果。让 $a$ 做一个理想的戒指 $\mathbf{A}$. 需要时,规范映射将表示为 $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \mathfrak{a}$. 商圈 $\left(\mathbf{A} / \mathfrak{a}, \pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}\right)$ 由以下普遍性质表征,直至唯一同构。
$1.1$ 事实 (理想商的特征性质 $a$ ) 环同态 $\psi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ 被分解为 $\pi_{\mathbf{A}, \mathrm{a}}$ 当且仅当 $\mathfrak{a} \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ ,意义 Ipsi(Imathfrak{a}) Isubseteq lleft{0_(Imathrm{B}}}right} . 在这种情况下,分解是唯一的。
关于图的说明。在上述类型的图中,除了态射之外的一切 $\theta$ 对应的虚线箭头给出。感叹号表示 $\theta$ 使图可以通勤,并且 它是具有此属性的唯一态射。
我们表示 $M /$ 个 $M$ 这 $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$-module 从 A-module 的商中获得 $M$ 由元素生成的子模块 $a x$ 为了 $a \in \mathfrak{a}$ 和 $x \in M$. 因 此,可以通过将标量扩展来定义该模块 $\mathbf{A} / \boldsymbol{a}$ 来自 $\mathbf{A}$-模块 $M$ (参见第 191 页和练习 IV-5)。
让我们继续讨论本地化,它非常类似于商 (我们将在第 635 页更详细地回到这个类比)。在这项工作中,当提到包 含在环中的么半群 (即环的子龶群) 时,我们总是假设环的子集包含 1 并且在乘法下是闭合的。
对于给定的环 $\mathbf{A}$ ,我们表示为 $\mathbf{A}^{\times}$可逆元素的乘法群,也称为单位群。
如果 $S$ 是一个乡半群,我们记为 $\mathbf{A} S$ 或者 $S^{-1} \mathbf{A}$ 的本地化 $\mathbf{A}$ 在 $S$. 的每一个元素 $\mathbf{A} S$ 可以写成形式 $x / s$ 和 $x \in \mathbf{A}$ 和 $s \in S$.
根据定义,我们有 $x_{1} / s_{1}=x_{2} / s_{2}$ 如果存在一个 $s \in S$ 这样 $s s_{2} x_{1}=s s_{1} x_{2}$. 需要时,我们将表示为 $j_{\mathbf{A}, S}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_{S}$ 规范映射 $x \mapsto x / 1$.
同部环 $(\mathbf{A} S, j \mathbf{A}, S)$ 由以下普遍性质表征,直至唯一同构。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Basic Local-Global Principle

我们将在第 1 章研究交换代数中同部-全同原理的一般工作原理。十五。但是,我们会在每一个转折点,以适应每 种情况的不同形式遇到它。在本节中,给出了该原理的一个重要实例,因为它非常简单有效,如果不再使用它会很 可惜。
局部-全局原则确认某些属性为真当且仅当它们在“足够多”本地化之后为真。在经典数学中,我们经常在每个最大理 想处调用局部化。这是很多工作,而且看起来有点神秘,尤其是从算法的角度来看。我们将使用更简单(且不那么 令人生畏) 的版本,其中仅使用有限数量的本地化。
这是经典数学的一个特征。
$2.2$ 事实*让 $S_{1}, \ldots, S_{n}$ 是非平凡环 A 中的么半群 (即, $1 \neq \mathbf{A}{\mathbf{A}} 0$ ) 。类半群 $S{i}$ 当且仅当对于每个素理想 (分别对 于每个最大理想) 都是共极大的 $\mathfrak{p}$ 中的一个 $S_{i}$ 包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$.
$\mathrm{D}$ 让p成为一个首要的理想。如果没有 $S_{i}$ 的包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$ 然后对于每个 $i$ 存在一些 $s_{i} \in S_{i} \cap \mathfrak{p}$. 最后, $s_{1}, \ldots, s_{n}$ 不 是共大的。
相反,假设对于每个极大理想 $\mathfrak{m}$ 中的一个 $S_{i}$ 的包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{m}$ 然后让 $s_{1} \in S_{1}, \ldots, s_{n} \in S_{n}$ 那么理想 $\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle$ 不包含在任何最大理想中。因此它包含 1 .
我们表示 $\mathbf{A}^{m \times p}$ 或者 $\mathbb{M} m, p(\mathbf{A})$ 这 $\mathbf{A}$-模块 $m$-经过- $p$ 系数在的矩阵 $\mathbf{A}$ ,和 $\mathbb{M} n(\mathbf{A})$ 方法 $\mathbb{M} n, n(\mathbf{A})$. 可逆矩阵组 表示为 $\mathbb{G} \mathbb{L} n(\boldsymbol{\Lambda})$ ,由行列式 1 的矩阵组成的子群表示为 $\mathbb{S L} n(\mathbf{A})$. 的子集 $\mathbb{M} n(\mathbf{A})$ 由投影矩阵组成 (即矩阵 $F$ 这 样 $\left.F^{2}=F\right)$ 表示为 $\mathbb{A}_{n}(\mathbf{A})$. 缩写词解释如下: $\mathbb{G} \mathbb{L}$ 对于线性组, $\mathbb{S L}$ 对于特殊的线性群和 $\mathbb{A} G$ 为仿射格拉斯曼算子。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2322

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2322

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case

In the case of a smooth compact real algebraic manifold $V$, the algebra $\mathbf{A}$ of smooth functions on $V$ has as sub-algebra that of the polynomial functions, denoted by $\mathbb{R}[V]$.
The modules of vector fields and differential forms can be defined as above in terms of the algebra $\mathbb{R}[V]$.

Fvery finitely generated projective module $M$ on $\mathbb{R}[V]$ corresponds to a vector hundle $W \rightarrow V$ that we qualify as strongly algehraic. The smooth sections of this vector bundle form an $\mathbf{A}$-module that is (isomorphic to) the module obtained from $M$ by scalar extension to $\mathbf{A}$.

So, the fact that the manifold is parallelizable can be tested on an elementary level, that of the module $M$.

Indeed the assertion “the $\mathbf{A}$-module of smooth sections of $W$ is free” concerning the smooth case is equivalent to the corresponding assertion in the algebraic case “the $\mathbb{R}[V]$-module $M$ is free.” Proof sketch: Weierstrass’ approximation theorem allows us to approximate a smooth section by a polynomial section, and a “smooth basis” ( $n$ smooth sections of the bundle that at every point give a basis), by a polynomial one.
Let us now examine the smooth compact surfaces case. Such a surface is parallelizable if and only if it is orientable and has an everywhere nonzero vector field. Figuratively the latter condition reads: the surface can be combed. The integral curves of the vector field then form a beautiful curve family, i.e. a locally rectifiable curve family.

Thus for an orientable smooth compact algebraic surface $V$ the following properties are equivalent.

  1. There exists an everywhere nonzero vector field.
  2. There exists a beautiful curve family.
  3. The manifold is parallelizable.
  4. The Kähler module of differentials of $\mathbb{R}[V]$ is free.
    As previously explained, the latter condition stems from pure algebra (see also Sect. 2).

Hence the possibility of an “algebraic” proof of the fact that the sphere cannot be combed.
It seems that such a proof is not yet available on the market.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case

Let $S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1\right}$. The ring of polynomial functions over $S$ is the $\mathbb{R}$-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z] .
$$
The A-module of differential forms with polynomial coefficients on $S$ is
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A} \mathrm{d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v,
$$
where $v$ is the column vector $[x y z]$.
This vector is unimodular (this means that its coordinates are comaximal elements of A) since $[x y z] \cdot v=1$. Thus, the matrix
$$
P=v \cdot\left[\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
x^{2} & x y & x z \
x y & y^{2} & y z \
x z & y z & z^{2}
\end{array}\right]
$$
satisfies $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ such that by posing $Q=\mathrm{I}{3}-P$ we get $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$, and $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
This highlights the fact that $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ is a stably free projective $\mathbf{A}$-module of rank 2 .
The previous considerations continue to hold if we substitute $\mathbb{R}$ by a field of characteristic $\neq 2$ or even by a commutative ring $\mathbf{R}$ where 2 is invertible.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2322

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case

在光滑紧实代数流形的情况下 $V$ ,代数 $\mathbf{A}$ 的平滑函数 $V$ 具有多项式函数的子代数,表示为 $\mathbb{R}[V]$. 矢量场和微分形式的模块可以用代数定义如上 $\mathbb{R}[V]$.
Fvery 有限生成的射影模 $M$ 上 $\mathbb{R}[V]$ 对应于向量束 $W \rightarrow V$ 我们有资格作为强代数。这个向量从的平滑部分形成一 个 $\mathbf{A}$-module 是 (同构于) 从 $M$ 通过标量扩展为 $\mathbf{A}$.
因此,流形可并行化这一事实可以在模块的基本级别上进行测试 $M$.
事实上,断言“ $\mathbf{A}$-模块的平滑部分 $W$ 是自由的”关于光滑情况等价于代数情况下的相应断言“ $\mathbb{R}[V]$-模块 $M$ 免费。” 证明草图: Weierstrass 的逼近定理允许我们用多项式截面来逼近平滑截面,以及“平滑基” $(n$ 束的平滑部分,每个 点都给出一个基),通过多项式。
现在让我们检查光滑紧凑表面的情况。这样的表面是可并行的当且仅当它是可定向的并且具有无处不在的非零向量 场。形象地说,后一种情况是: 表面可以梳理。矢量场的积分曲线则形成了一个优美的曲线族,即局部可校正曲线 族。
因此对于一个可定向的光滑紧致代数曲面 $V$ 以下属性是等价的。

  1. 存在一个无处不在的非零向量场。
  2. 存在一个美丽的曲线族。
  3. 流形是可并行的。
  4. Kähler 微分模块 $\mathbb{R}[V]$ 免费。
    如前所述,后一种情况源于纯代数(另见第 2 节)。
    因此,”代数”证明球体不能被梳理这一事实的可能性。
    市场上似乎还没有这样的证明。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case

让S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 \正确的}S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 \正确的}. 多项式函数的环 $S$ 是个 $\mathbb{R}$-代数
$$
\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z]
$$
具有匇项式系数的微分形式的 $\mathrm{A}$ 模 $S$ 是
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v
$$
在哪里 $v$ 是列向量 $[x y z]$.
这个向量是单模的(这意味着它的坐标是 $\mathrm{A}$ 的共极大元素),因为 $[x y z] \cdot v=1$. 因此,矩阵
满足 $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ 这样通过摆姿势 $Q=\mathrm{I} 3-P$ 我们得到 $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega \mathbf{A} / \mathbb{R}{}, \quad \text { 和 } \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
这突出了一个事实,即 $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ 是一个稳定的自由投影 $\mathbf{A}$ – 等级 2 的模块。
如果我们替换之前的考虑继续成立 $\mathbb{R}$ 由一个特征领域 $\neq 2$ 甚至通过交换环 $\mathbf{R}$ 其中 2 是可逆的。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Tangent Vectors and Derivations

A decisive example of a vector bundle is the tangent bundle, for which the elements are the pairs $(p, v)$ where $p \in V$ and $v$ is a tangent vector at the point $p$.

When the manifold $V$ is a manifold immersed in a space $\mathbb{R}^{n}$, a tangent vector $v$ at the point $p$ can be identified with the derivation at the point $p$ in the direction of $v$.
When the manifold $V$ is not a manifold immersed in a space $\mathbb{R}^{n}$, a tangent vector $v$ can be defined as a derivation at the point $p$, i.e. as an $\mathbb{R}$-linear form $v: \mathbf{A} \rightarrow \mathbb{R}$ which satisfies Leibniz’s rule
$$
v(f g)=f(p) v(g)+g(p) v(f) .
$$
We can check with a few computations that the tangent vectors at $V$ indeed form a vector bundle $\mathrm{T}_{V}$ over $V$.

To a vector bundle $\pi: W \rightarrow V$ is associated the $\mathbf{A}$-module $\Gamma(W)$ formed by the smooth sections of the bundle. In the tangent bundle case, $\Gamma\left(\mathrm{T}_{V}\right)$ is nothing else but the $\mathbf{A}$-module of the usual (smooth) vector fields.

Just as a tangent vector at the point $p$ is identified with a derivation at the point $p$, which can be defined in algebraic terms (Eq. (1)), a (smooth) tangent vector field can be identified with an element of the A-module of the derivations of the $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{A}$, defined as follows.

A derivation of an $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{B}$ in a $\mathbf{B}$-module $M$ is an $\mathbb{R}$-linear mapping $v: \mathbf{B} \rightarrow M$ which satisfies Leibniz’s rule
$$
v(f g)=f v(g)+g v(f) .
$$
The $\mathbf{B}$-module of derivations of $\mathbf{B}$ in $M$ is denoted by $\operatorname{Der}{\mathbb{R}}(\mathbf{B}, M)$. When we “simply” refer to a derivation of an $\mathbb{R}$-algebra $g B$, what we mean is a derivation with values in $\mathbf{B}$. When the context is clear we write $\operatorname{Der}(\mathbf{B})$ as an abbreviation for $\operatorname{Der}{\mathbb{R}}(\mathbf{B}, \mathbf{B})$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Differentials and Cotangent Bundle

The dual bundle of the tangent bundle, called the cotangent bundle, has the differential forms on the manifold $V$ as its sections.

The corresponding $\mathbf{A}$-module, called the module of differentials, can be defined by generators and relations in the following way.

Generally, if $\left(f_{i}\right){i \in I}$ is a family of elements that generate an $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{B}$, the $\mathbf{B}-$ module of (Kähler) differentials of $\mathbf{B}$, denoted by $\Omega{\mathbf{B} / \mathbb{R}}$, is generated by the (purely formal) $\mathrm{d} f_{i}$ ‘s subject to the relations “derived from” the relations that bind the $f_{i}$ ‘s: if $P \in \mathbb{R}\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]$ and if $P\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right)=0$, the derived relation is
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial z_{k}}\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right) \mathrm{d} f_{i_{k}}=0
$$
Furthermore, we have the canonical mapping $\mathrm{d}: \mathbf{B} \rightarrow \Omega_{\mathbf{B} / \mathbb{R}}$ available, defined by $\mathrm{d} f=$ the class of $f$ (if $f=\sum \alpha_{i} f_{i}$, with $\alpha_{i} \in \mathbb{R}, \mathrm{d} f=\sum \alpha_{i} \mathrm{~d} f_{i}$ ), which is a derivation. ${ }^{1}$

We then prove that, for every $\mathbb{R}$-algebra $\mathbf{B}$, the $\mathbf{B}$-module of derivations of $\mathbf{B}$ is the dual module of the $\mathbf{B}$-module of Kähler differentials.

In the case where the $\mathbf{B}$-module of differentials of $\mathbf{B}$ is a finitely generated projective module (for example when $\mathbf{B}=\mathbf{A}$ ), then it is itself the dual module of the $\mathbf{B}$-module of derivations of $\mathbf{B}$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Tangent Vectors and Derivations

向量丛的一个决定性例子是切丛,其元素是对 $(p, v)$ 在哪里 $p \in V$ 和 $v$ 是该点的切向量 $p$.
当歧管 $V$ 是沉浸在空间中的流形 $\mathbb{R}^{n}$ ,一个切向量 $v$ 在这一点上 $p$ 可以用该点的推导来识别 $p$ 在…方向 $v$.
当歧管 $V$ 不是沉浸在空间中的流形 $\mathbb{R}^{n}$ ,一个切向量 $v$ 可以定义为在点的推导 $p$ ,即作为 $\mathbb{R}$-线性形式 $v: \mathbf{A} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足 莱布尼茨规则
$$
v(f g)=f(p) v(g)+g(p) v(f) .
$$
我们可以通过一些计算来检查切向量在 $V$ 确实形成一个向量丛 $\mathrm{T}{V}$ 超过 $V$. 到矢量束 $\pi: W \rightarrow V$ 与 $\mathbf{A}$-模块 $\Gamma(W)$ 由束的光滑部分形成。在切线束的情况下, $\Gamma\left(\mathrm{T}{V}\right)$ 只不过是 $\mathbf{A}$-通常 (平 滑) 矢量场的模块。
就像该点的切向量 $p$ 在该点用推㝵标识 $p$, 可以用代数项 (Eq. (1)) 定义,个 (平滑) 切向量场可以用 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{A}$ ,定义 如下。
一个推导 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{B}$ 在一个 $\mathbf{B}$-模块 $M$ 是一个 $\mathbb{R}$-线性映射 $v: \mathbf{B} \rightarrow M$ 满足莱布尼茨规则
$$
v(f g)=f v(g)+g v(f) .
$$
这 $\mathbf{B}$ – 推导模块 $\mathbf{B}$ 在 $M$ 表示为 $\operatorname{Der} \mathbb{R}(\mathbf{B}, M)$. 当我们“简单地”指代一个推㝵时 $\mathbb{R}$-代数 $g B$, 我们的意思是推导的值 $\mathbf{B}$. 当上下文清楚时,我们会写 $\operatorname{Der}(\mathbf{B})$ 作为缩写 $\operatorname{Der} \mathbb{R}(\mathbf{B}, \mathbf{B})$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Differentials and Cotangent Bundle

切丛的对偶丛,称为余切丛,在流形上有微分形式 $V$ 作为它的部分。
一般来说,如果 $\left(f_{i}\right) i \in I$ 是一组元素,它们生成 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{B}$ ,这 $\mathbf{B}-(K a ̈ h l e r)$ 微分模块 $\mathbf{B}$ ,表示为 $\Omega \mathbf{B} / \mathbb{R}$ ,由 (纯 正式的) 生成 $\mathrm{d} f_{i}$ 的从属关系“派生自”约束 $f_{i}$ 的: 如果 $P \in \mathbb{R}\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]$ 而如果 $P\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right)=0$, 派生关 系为
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial P}{\partial z_{k}}\left(f_{i_{1}}, \ldots, f_{i_{n}}\right) \mathrm{d} f_{i_{k}}=0
$$
此外,我们有规范映射 $\mathrm{d}: \mathbf{B} \rightarrow \Omega_{\mathbf{B} / \mathbb{R}}$ 可用,定义为 $\mathrm{d} f=$ 类 $f$ (如果 $f=\sum \alpha_{i} f_{i}$ ,和 $\alpha_{i} \in \mathbb{R}, \mathrm{d} f=\sum \alpha_{i} \mathrm{~d} f_{i}$ ,这是一个推导。
然后我们证明,对于每个 $\mathbb{R}$-代数 $\mathbf{B}$ ,这B-推导模块 $\mathbf{B}$ 是的双模块 $\mathbf{B}-K a ̈ h l e r$ 差速器模块。
在这种情况下 $\mathbf{B}$ – 微分模块 $\mathbf{B}$ 是一个有限生成的射影模(例如,当 $\mathbf{B}=\mathbf{A}$ ),那么它本身就是 $\mathbf{B}$ – 推导模块 $\mathbf{B}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles on a Smooth Compact Manifold

Here, we give some motivations for finitely generated projective modules and localization by explaining the example of vector bundles on a compact smooth manifold. Two important particular cases are tangent and cotangent bundles corresponding to $C^{\infty}$ vector fields and to $C^{\infty}$ differential forms.
We will use the term “smooth” as a synonym for “of class $C^{\infty} .$,”
We will see that the fact that the sphere cannot be combed admits a purely algebraic interpretation.

In this section, we consider a smooth real differentiable manifold $V$ and we denote by $\mathbf{A}=C^{\infty}(V)$ the real algebra of global smooth functions on the manifold.
Some Localizations of the Algebra of Continuous Functions
Let us first consider an element $f \in \mathbf{A}$ along with the open set (open subset of the manifold $V$ to be precise)
$$
U={x \in V \mid f(x) \neq 0}
$$
and let us see how we can interpret the algebra $\mathbf{A}[1 / f]$ : two elements $g / f^{k}$ and $h / f^{k}$ are equal in $\mathbf{A}[1 / f]$ if and only if for some exponent $\ell$ we have $g f^{\ell}=h f^{\ell}$ which means precisely $\left.g\right|{U}=\left.h\right|{U}$.

It follows that we can interpret $\mathbf{A}[1 / f]$ as a sub-algebra of the algebra of smooth functions on $U$ : this sub-algebra has as elements the functions which can be written as $\left(\left.g\right|{U}\right) /\left(\left.f\right|{U}\right)^{k}$ (for a given exponent $k$ ) with $g \in \mathbf{A}$, which a priori introduces certain restrictions on the behavior of the function on the border of $U$.

To avoid having to deal with this difficult problem, we use the following lemma.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles and Finitely Generated Projective Modules

Now recall the notion of a vector bundle over $V$.
A vector bundle is given by a smooth manifold $W$, a smooth surjective mapping $\pi$ : $W \rightarrow V$, and a structure of a finite dimensional vector space on every fiber $\pi^{-1}(p)$. In addition, locally, all this must be diffeomorphic to the following simple situation, called trivial:
$$
\pi_{1}:\left(U \times \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow U,(p, v) \mapsto p,
$$
with $m$ that can depend on $U$ if $V$ is not connected. This means that the structure of the (finite dimensional) vector space on the fiber over $p$ must “properly” depend on $p$.

Such an open set (or subset) $U$, which trivializes the bundle, is called a distinguished open set (or subset).

A section of the vector bundle $\pi: W \rightarrow V$ is by definition a mapping $\sigma: V \rightarrow W$ such that $\pi \circ \sigma=\operatorname{Id}_{V}$. We will denote by $\Gamma(W)$ the set of smooth sections of this bundle. It is equipped with a natural $\mathbf{A}$-module structure.

Now suppose that the manifold $V$ is compact. As the bundle is locally trivial there exists a finite covering of $V$ by distinguished open subsets $U_{i}$ and a partition of the unity $\left(f_{i}\right){i \in \llbracket 1 . s \rrbracket} \rrbracket$ subordinate to the open cover $U{i}$ : the support of $f_{i}$ is a compact set $K_{i}$ contained in $U_{i}$.

We notice from I.emma $1.1$ that the algebras $\mathbf{A}\left[1 / f_{i}\right]=C^{\infty}(V)\left[1 / f_{i}\right]$ and $C^{\infty}\left(U_{i}\right)\left[1 / f_{i}\right]$ are naturally isomorphic.

If we localize the ring $\mathbf{A}$ and the module $M=\Gamma(W)$ by making $f_{i}$ invertible, we obtain the ring $\mathbf{A}{i}=\mathbf{A}\left[1 / f{i}\right]$ and the module $M_{i}$. Let $W_{i}=\pi^{-1}\left(U_{i}\right)$. Then, $W_{i} \rightarrow U_{i}$ is “isomorphic” to $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. Thus it boils down to taking a section of the bundle $W_{i}$, or to taking the $m_{i}$ functions $U_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ which make a section of the bundle $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. In other words, the module of the sections of $W_{i}$ is free and of rank $m$.

Since a module that becomes free after localization in a finite number of comaximal elements is finitely generated projective (local-global principle V-2.4), we then get the direct part (point 1 ) of the following theorem.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles on a Smooth Compact Manifold

在这里,我们通过解释紧凑平滑流形上的向量束示例,给出了有限生成投影模块和定位的一些动机。两个重要的特 殊情况是对应于的正切丛和余切丛 $C^{\infty}$ 矢量场和 $C^{\infty}$ 微分形式。
我们将使用术语“smooth”作为“of class”的同义词 $C^{\infty}$.,”
我们将看到球体不能被梳理的事实承认了纯粹的代数解释。
在本节中,我们考虑一个光滑的实可微流形 $V$ 我们表示 $\mathbf{A}=C^{\infty}(V)$ 流形上全局平滑函数的实代数。
连续函数代数的一些局部化
让我们首先考虑一个元素 $f \in \mathbf{A}$ 连同开集(流形的开子集 $V$ 准确地说)
$$
U=x \in V \mid f(x) \neq 0
$$
让我们看看如何解释代数 $\mathbf{A}[1 / f]$ : 两个元素 $g / f^{k}$ 和 $h / f^{k}$ 相等于 $\mathbf{A}[1 / f]$ 当且仅当对于某个指数 $\ell$ 我们有 $g f^{\ell}=h f^{\ell}$ 这意味着 $g|U=h| U$.
由此可见,我们可以解释 $\mathbf{A}[1 / f]$ 作为光滑函数代数的子代数 $U$ : 这个子代数有作为元素的函数可以写成 $(g \mid U) /(f \mid U)^{k}$ (对于给定的指数 $k$ ) 和 $g \in \mathbf{A}$ ,其中先验地对函数在边界上的行为引入了某些限制 $U$.
为了避免不得不处理这个难题,我们使用以下引理。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles and Finitely Generated Projective Modules

现在回想一下向量丛的概念 $V$.
向量从由平滑流形给出 $W$ ,一个光滑的满射映射 $\pi: W \rightarrow V$ ,以及每根纤维上的有限维向量空间的结构 $\pi^{-1}(p)$. 此外,在局部,所有这些都必须微分于以下简单情况,称为平凡:
$$
\pi_{1}:\left(U \times \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow U,(p, v) \mapsto p,
$$
和 $m$ 这可以取决于 $U$ 如果 $V$ 末连接。这意味着光纤上的(有限维)向量空间的结构 $p$ 必须“适当地”依赖于 $p$.
这样的开集 (或子集) $U$ ,使束变得平凡,称为可区分的开集(或子集)。
向量丛的一部分 $\pi: W \rightarrow V$ 根据定义是一个映射 $\sigma: V \rightarrow W$ 这样 $\pi \circ \sigma=\operatorname{Id}{V}$. 我们将表示为 $\Gamma(W)$ 此捆绑包 的一组平滑部分。它配备了天然 $\mathbf{A}$-模块结构。 现在假设流形 $V$ 紧凑。由于束是局部平凡的,因此存在一个有限覆盖 $V$ 通过可区分的开子集 $U{i}$ 和统一的分割 $\left(f_{i}\right) i \in \backslash$ llbracket1. $s \backslash$ rrbracket $\backslash$ rrbracket从属于开盖 $U i$ : 的支持 $f_{i}$ 是紧集 $K_{i}$ 包含在 $U_{i}$.
我们从 I.emma 注意到1.1代数 $\mathbf{A}\left[1 / f_{i}\right]=C^{\infty}(V)\left[1 / f_{i}\right]$ 和 $C^{\infty}\left(U_{i}\right)\left[1 / f_{i}\right]$ 是自然同构的。
如果我们定位环 $\mathbf{A}$ 和模块 $M=\Gamma(W)$ 通过制作 $f_{i}$ 可逆,我们得到环 $\mathbf{A} i=\mathbf{A}[1 / f i]$ 和模块 $M_{i}$. 让
$W_{i}=\pi^{-1}\left(U_{i}\right)$. 然后, $W_{i} \rightarrow U_{i}$ 是“同构的” $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. 因此,它归结为获取捆绑包的一部分 $W_{i}$ ,或采 取 $m_{i}$ 功能 $U_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ 构成捆绑包的一部分 $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. 换句话说,模块的部分 $W_{i}$ 是自由的和有等级的 $m$.
由于在有限数量的共极大元素中定位后变得自由的模块是有限生成的射影 (同部-全局原则 V-2.4),因此我们得到 以下定理的直接部分 (第 1 点)。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Primary decomposition

In this section, one confronts the role of the associated primes with the theory of primary decomposition. The latter was a brilliant achievement of Emmy Noether and constitutes a great simplification of prime and primary ideal theory in Noetherian rings.
2.6.1 The nature of the components
The basic insight of E. Noether consisted in starting out with a stronger notion than that of a primary ideal.

Definition 2.6.1. Let $R$ be a ring. An ideal $I \subset R$ is irreducible if it is not the proper intersection of two ideals, that is, whenever there are ideals $I_{1}, I_{2} \subset R$ such that $I=$ $I_{1} \cap I_{2}$, then either $I_{1}=I$ or $I_{2}=I$.

The terminology is inspired from the classical case of an irreducible polynomial. Noether showed the following.
Lemma 2.6.2. Let $R$ denote a Noetherian ring. Then:
(1) (Satz II) Any ideal is the intersection of a finite set of irreducible ideals.
(2) (Satz VI) An irreducible ideal is primary.
Proof. (1) $\Lambda s s u m e ~ t h e ~ a s s e r t i o n ~ i s ~ f a l s e, ~ s o ~ t h e ~ f a m i l y ~ o f ~ i d e a l s ~ o f ~$ sertion fails has a maximal element $I \subset R$. Since $I$ is not irreducible, one must have an intersection $I=I_{1} \cap I_{2}$ where both factors contain $I$ properly. By the maximality of $I$, both $I_{1}$ and $I_{2}$ must be finite intersections of irreducible ideals, hence so is $I$-a contradiction.
(2) Let $I \subset R$ be irreducible, but not primary. By definition, there dre elements $a, b \in R$ such that $a b \in I$, but neither $a \in I$ nor $b^{l} \in I$ for every integer $l \geq 1$. Then the ideals $(I, a)$ and $\left(I, b^{l}\right)$ (for all $l \geq 1$ ) contain $I$ properly.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Lasker–Noether fundamental theorem

Theorem 2.6.3 (Primary decomposition). Let $I \subset R$ be an ideal of a Noetherian ring $R$. For any reduced primary decomposition $I=\bigcap_{t=1}^{m} \mathcal{P}_{t}$, one has:

(a) $\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I)$.
(b) For any other reduced primary decomposition $I=\bigcap_{i=1}^{m} \mathcal{Q}{i}$, one has $$ \left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right} $$ Proof. Let $I=\bigcap{I} \mathcal{P}{i}$ stand for a reduced primary decomposition and set $P{i}=\mathcal{P}{i}$. (a) Let $P \in \operatorname{Ass}(R / I)$ be an associated prime of $R / I$. Say, $P=I:(x)$, for some $x \in R \backslash I$ (cf. Definition 2.5.17). Then $P=\bigcap{i}\left(\mathcal{P}{i}:(x)\right.$ ). Note that $\mathcal{P}{i}:(x)$ is again $P_{i}$-primary if $x \notin \mathcal{P}{i}$, else it is $(1)=R$. Thus, passing to radicals, $P$ is the intersection of a (necessarily, nonempty) finite subset of the set $\left{P{i}\right}_{i}$. Therefore, $P$ must coincide with one of these prime ideals.

Conversely, let $P$ denote the radical of a primary component. In order to show that $P \in \operatorname{Ass}(R / I)$, it suffices to show that $P_{P} \in \operatorname{Ass}\left(R_{P} / I_{P}\right)$. Changing notation, one can now assume that $R$ is local, with unique maximal ideal $\mathrm{m}$, and $I \subset \mathrm{m}$ admits a reduced primary decomposition with an m-primary component $\mathcal{M}$. One wishes to show that $m \in \operatorname{Ass}(R / I)$

Now, the radical of any other primary component is a prime ideal contained in $\mathrm{m}$. Let $x \in \mathfrak{M} \backslash \mathcal{M}$ be an element contained in every other primary component, a choice granted by the reduced nature of the primary decomposition. Then $I:(x)=\mathcal{M}:(x)$, hence $I:(x)$ is m-primary. By Proposition 2.5.18(i), there is an element $y \in \mathrm{m}$ such that $I$ : $(y)$ is an associated prime of $R / I$. But then $I:(y)$ contains a power of $m$, so necessarily $I:(y)=m$. Therefore, $\mathfrak{m} \in \operatorname{Ass}(R / I)$, as was to be shown.
(b) Given $P \in \operatorname{Min}(R / I)$, localizing at $P$, clearly $I_{p}=\mathcal{P}{p}$, where $\mathcal{P}$ denotes the corresponding primary component of the given primary decomposition. If $\mathcal{Q}$ is the $P$-primary component of another reduced primary decomposition, one must have the equality $\mathcal{P}{P}=\mathcal{Q}_{P}$, locally of two $P$-primary ideals. It follows that they are also equal over $R$ (cf. Proposition 2.1.4).

Remark 2.6.4. It had been realized by Noether, if not earlier by Lasker, that the nonminimal primary components in a reduced primary decomposition of an ideal are not uniquely determined by the ideal. Even worse, to any embedded associated prime of $R / I$ there usually correspond infinitely many distinct primary components. Noether gave the following simple example on a footnote of her paper: $I=\left(X^{2}, X Y\right) \subset k[X, Y]$ ( $k$ an infinite field). Then $I=(X) \cap\left(X^{2}, Y+a X\right)$ is a reduced primary decomposition for any $a \in k$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Basics on the underlying graded structures

A more comprehensive treatment of graded structures will be considered in Chapter $7 .$ Here, one focus on the following special setup: $R:=k\left[x_{0}, \ldots, x_{n}\right]$ stands for a polyno-mial ring over a field $k$. One endows $R$ with a structure of graded ring, by which one means the decomposition
$$
R=\bigoplus_{t \geq 0} R_{t}, \quad R_{t}=k x_{0}^{t}+k x_{0}^{t-1} x_{1}+\cdots+k x_{n}^{t} \subset R .
$$
The $k$-vector space $R_{t}$, spanned by the homogeneous polynomials of degree $t$, is called the $t$ th graded part of $R$. An ideal $I \subset R$ is homogeneous if it can be generated by homogeneous polynomials or, equivalently, if $I=\bigoplus_{t \geq 0} I_{t}$, where $I_{t}:=I \cap R_{t}$.

Often a homogeneous polynomial of degree $t$ will be called a $t$-form. Given a homogeneous ideal $I$, an important related degree is the initial degree of $I$, defined to be the least $t \geq 0$ such that $I_{t} \neq 0$.

Perhaps the first feature of homogeneous ideals is that the property of being prime or primary can be verified solely by using homogeneous test elements.

Lemma 2.7.1. Let $I \subset R$ denote a homogeneous ideal. Then $I$ is prime (resp., primary) if given homogeneous elements $f, g \in R$ such that $f g \in I$ then either $f \in I$ or else $g \in I$ (resp., $g^{\ell} \in I$, for some $\ell \geq 1$ ).

Proof. One proves the case of a prime ideal, leaving the case of a primary ideal to the reader as being similarly handled. Here, one argues with the initial degree of a polynomial. Let $f, g \in R$ such that $f \in I$ nor $g \in I$. Write $f=f_{u}+\cdots, g=g_{v}+\cdots$, with $f_{u} \neq 0$, $g_{v} \neq 0$. Let $f_{u+u_{0}}$ and $g_{v+v_{0}}$ denote the respective first homogeneous constituents not belonging to $I$. By assumption on homogeneous test elements, one has $f_{u+u_{0}} g_{v+v_{0}} \notin I$. By homogeneity of $I$, it follows that
$$
\left(f-\left(f_{u}+\cdots+f_{u+u_{0}-1}\right)\right)\left(g-\left(g_{v}+\cdots+g_{v+v_{0}-1}\right)\right) \notin I .
$$
But since by construction, $f-\left(f_{u}+\cdots+f_{u+u_{0}-1}\right)$ and $g-\left(g_{v}+\cdots+g_{v+v_{0}-1}\right)$ belong to $I$, necessarily $f g \notin I$, as was to be shown.
One next collects the main operationwise properties of homogeneous ideals.

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Primary decomposition

在本节中,我们将用初级分解理论来讨论关联素数的作用。后者是艾美·诺特 (Emmy Noether) 的杰出成就,是诺特环中素数和原初理想理论的极大简化。
2.6.1 组成部分的本质
E. Noether 的基本见解在于从一个比基本理想更强大的概念开始。

定义 2.6.1。让R轴承。一个理想我⊂R是不可约的,如果它不是两个理想的适当交集,也就是说,只要有理想我1,我2⊂R这样我= 我1∩我2,那么要么我1=我或者我2=我.

该术语的灵感来自于不可约多项式的经典案例。诺特展示了以下内容。
引理 2.6.2。让R表示诺特环。那么:
(1) (Satz II) 任何理想都是一组有限的不可约理想的交集。
(2) (Satz VI) 一个不可约的理想是首要的。
证明。(1)Λss在米和 吨H和 一个ss和r吨一世○n 一世s F一个ls和, s○ 吨H和 F一个米一世l是 ○F 一世d和一个ls ○F sertion 失败有一个最大元素我⊂R. 自从我不是不可约的,一定有交集我=我1∩我2其中两个因素都包含我适当地。通过最大我, 两个都我1和我2必须是不可约理想的有限交集,因此是我——矛盾。
(2) 让我⊂R是不可约的,但不是主要的。根据定义,有 dre 元素一个,b∈R这样一个b∈我, 但两者都不一个∈我也不bl∈我对于每个整数l≥1. 然后是理想(我,一个)和(我,bl)(对所有人l≥1) 包含我适当地。

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定理 2.6.3(初级分解)。让我⊂R成为诺特环的理想R. 对于任何简化的初级分解我=⋂吨=1米磷吨,一个有:

(一个)\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I)\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I).
(b) 对于任何其他简化的初级分解我=⋂一世=1米问一世, 一个有

\left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{ i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}\left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{ i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}证明。让我=⋂我磷一世代表简化的初级分解和集合磷一世=磷一世. (a) 让磷∈屁股⁡(R/我)是的关联素数R/我. 说,磷=我:(X), 对于一些X∈R∖我(参见定义 2.5.17)。然后磷=⋂一世(磷一世:(X))。注意磷一世:(X)又是磷一世- 主要的如果X∉磷一世, 否则是(1)=R. 因此,传递给自由基,磷是集合的(必然是非空的)有限子集的交集\left{P{i}\right}_{i}\left{P{i}\right}_{i}. 所以,磷必须符合这些主要理想之一。

反之,让磷表示主要成分的自由基。为了表明磷∈屁股⁡(R/我), 足以证明磷磷∈屁股⁡(R磷/我磷). 改变符号,现在可以假设R是局部的,具有独特的最大理想米, 和我⊂米允许使用 m 主成分进行简化的主分解米. 一个人希望表明米∈屁股⁡(R/我)

现在,任何其他主要成分的根式都是包含在米. 让X∈米∖米是包含在所有其他主要组件中的元素,这是主要分解的简化性质所授予的选择。然后我:(X)=米:(X), 因此我:(X)是m-主要的。根据命题 2.5.18(i),有一个要素是∈米这样我 : (是)是一个相关的素数R/我. 但是之后我:(是)包含一种力量米,所以必然我:(是)=米. 所以,米∈屁股⁡(R/我),如将要显示的那样。
(b) 给定磷∈敏⁡(R/我), 定位于磷, 清楚地我p=磷p, 在哪里磷表示给定初级分解的相应初级分量。如果问是个磷-另一个简化的初级分解的初级组件,必须具有相等性磷磷=问磷, 局部的两个磷——基本理想。因此它们也相等于R(参见提案 2.1.4)。

备注 2.6.4。诺特已经意识到,如果不是拉斯克更早的话,理想的简化初级分解中的非最小初级成分并不是由理想唯一决定的。更糟糕的是,对于任何嵌入的相关质数R/我通常有无数个不同的主要组件对应。Noether 在她论文的脚注中给出了以下简单的例子:我=(X2,X是)⊂ķ[X,是] ( ķ一个无限的领域)。然后我=(X)∩(X2,是+一个X)是任何一个简化的初级分解一个∈ķ.

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对分级结构的更全面的处理将在本章中考虑7.在这里,一个重点是以下特殊设置:R:=ķ[X0,…,Xn]表示域上的多项式环ķ. 一赋R具有渐变环的结构,这意味着分解

R=⨁吨≥0R吨,R吨=ķX0吨+ķX0吨−1X1+⋯+ķXn吨⊂R.
这ķ-向量空间R吨, 由次数的齐次多项式跨越吨,称为吨分级的部分R. 一个理想我⊂R如果它可以由齐次多项式生成,则它是齐次的,或者等效地,如果我=⨁吨≥0我吨, 在哪里我吨:=我∩R吨.

通常是齐次多项式吨将被称为吨-形式。给定一个同质理想我,一个重要的相关度是初始度我,定义为最小吨≥0这样我吨≠0.

也许齐次理想的第一个特征是,可以仅通过使用齐次测试元素来验证是否为素数或主要属性。

引理 2.7.1。让我⊂R表示同质理想。然后我如果给定同质元素,则为素数(分别为主要)F,G∈R这样FG∈我然后要么F∈我要不然G∈我(分别,Gℓ∈我, 对于一些ℓ≥1 ).

证明。一个人证明了主要理想的情况,将主要理想的情况留给读者,以进行类似的处理。在这里,有人与多项式的初始次数争论。让F,G∈R这样F∈我也不G∈我. 写F=F在+⋯,G=G在+⋯, 和F在≠0, G在≠0. 让F在+在0和G在+在0表示不属于的各个第一均质成分我. 通过对同质测试元素的假设,有F在+在0G在+在0∉我. 通过同质化我, 它遵循

(F−(F在+⋯+F在+在0−1))(G−(G在+⋯+G在+在0−1))∉我.
但由于通过施工,F−(F在+⋯+F在+在0−1)和G−(G在+⋯+G在+在0−1)属于我, 必然FG∉我,如将要显示的那样。
接下来收集齐次理想的主要操作属性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Noetherian and Artinian rings

The starting principle of this part is as follows.
Lemma 2.5.1. The following conditions for a ring $R$ are equivalent:
(i) (Finite basis) Every ideal of $R$ is finitely generated.
(ii) (Ascending chain condition) Every chain of ideals $I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots$ is stationary, i. e., there exists an index $i$ such that $I_{i}=I_{i+1}=\cdots$.
(iii) (Maximum condition) Every nonempty family of ideals of $R$ has a maximal element (i. e., an ideal belonging to the family not contained properly in any other ideal in the family).

Proof. (i) $\Rightarrow$ (ii) Let $I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots$ be given. The set union $I:=\bigcup_{i} I_{i}$ is easily seen to be an ideal of $R$. By assumption, $I=\left(a_{1}, \ldots, a_{m}\right)$ for certain $a_{i} \in R$. Forcefully then, there is an index $i$ such that $I_{i}$ contains the set $\left{a_{1}, \ldots, a_{m}\right}$. Therefore, $I \subset I_{i}$, hence clearly $I_{i}=I_{i+1}=\cdots$
(ii) $\Rightarrow$ (iii) Let there be given a nonempty family $\mathcal{F}$ of ideal s of $R$. Pick some $I$ belonging to $\mathcal{F}$. If $I$ is a maximal element in $\mathcal{F}$, done. Otherwise, choose $I_{2}$ in $\mathcal{F}$ properly containing $I_{1}:=I$. Proceeding this way, one finds a sequence of proper inclusions $I_{1} \subset I_{2} \subset \cdots$. By assumption, this sequence stabilizes, say, at index $i \geq 1$. Then $I_{i}$ is a maximal element in $\mathcal{F}$.
(iii) $\Rightarrow$ (i) Let $I \subset R$ be an ideal. Consider the family $\mathcal{F}$ of finitely generated ideals of $R$ contained in $I$. Clearly, $\mathcal{F}$ is nonempty since, $e$. g., the zero ideal (generated by the empty set) belongs to it. By assumption, $\mathcal{F}$ has a maximal element, say, $J \subset I$. Claim: $J=I$. For let $b \in I$ be an arbitrary element. Then the enlarged ideal $J, b)$ still belongs to $\mathcal{F}$. But $J$ is maximal, hence $(J, b)=J$, i. e., $b \in J$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Special results for Noetherian rings

Next are some excerpts of the second classical period of Noetherian rings. Although they will have no direct impact in parts of the book, the proofs are masterpieces worth recording here.

Theorem 2.5.6 (I. S. Cohen, 1950). If every prime ideal of the ring $A$ is finitely generated then $A$ is Noetherian.

Proof. If there is some nonfinitely generated ideal then the family of such ideals is nonempty and is easily seen to be inductive. Let $P$ be a maximal element of this family.
One claims that $P$ is a prime ideal. Indeed, suppose there are $a, b \in A \backslash P$ such that $a b \in P$. In particular, $P$ is properly contained in the ideal $(P, a)$, hence by the maximality of $P$, the latter ideal is finitely generated. Clearly, one may choose a set of generators of $(P, a)$ of the form $x_{1}+b_{1} a, \ldots, x_{n}+b_{n} a$, with $x_{i} \in P, b_{i} \in A$. On the other hand, the quotient $P: a$ is also finitely generated since $b \in(P: a) \backslash P$. However, at is easy to see, $P=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, a(P: a)\right)$, so $P$ is finitely generated, which gives a contradiction.

By the main hypothesis of the statement, $P$ is finitely generated and this repeated contradiction shows that there could not be any nonfinitely generated ideal to start with.

The second result was proved simultaneously, but independently, by P. Eakin ([48]) and M. Nagata ([113]). About 33 years later, Nagata gave a new proof ([114]). Quite recently, a more encompassing result has been given by P. Jothilingam ([89]) The assertion of the theorem involves the notion of a (finitely generated) module, as well as the concept of integral extension, for which one refers to Chapter 3 and to Section 2.2, respectively. The proof below is the first argument given by Nagata, which still looks the clearest, if not the shortest.

Theorem 2.5.7 (Eakin-Nagata). Let A be a subring of a Noetherian ring R. If R is finitely generated as A-module, then $A$ is Noetherian.

Proof. The argument is divided in several reduction steps. As a natural start, one wishes to induct on the number of generators of $R$ as an $A$-module. The problem is that by writing $R=A b_{1}+\cdots+A b_{m}$ as a finitely generated $A$-module, for certain $b_{i} \in R$, an intermediate submodule such as $A b_{1}+\cdots+A b_{m-1}$ is Noetherian (as a submodule of a Noetherian ought to be), but has no structure of a ring. To fix it, one takes the $A$-subalgebra $A\left[b_{1}, \ldots, b_{m-1}\right]$. Clearly, the latter is still finitely generated as an $A$-module. With this, one is reduced to the following.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Artinian rings

Coming back to the last two conditions in Lemma 2.5.1, there is a sort of dual statement.
Lemma 2.5.10. The following conditions for a ring $R$ are equivalent:
(i) (Descending chain condition) Every chain of ideals $I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots$ is stationary, i. e., there exists an index $i$ such that $I_{i}=I_{i+1}=\cdots$.
(iii) (Minimum condition) Every nonempty family of ideals of $R$ has a minimal element (i. e., an ideal belonging to the family not containing properly any other ideal in the family).
The verification of this equivalence is left to the reader.
Definition 2.5.11. A ring $R$ is called Artinian or an Artin ring (after Emil Artin) if it satisfies the above equivalent conditions.

The basic theory of Artin rings is a lot more involved than the Noetherian counterpart. Here are some of its “strange” basic properties.
Proposition 2.5.12. Let $R$ be an Artin ring. Then:
(1) If $R$ is a domain, then it must be a field.
(2) Every prime ideal of $R$ is maximal.
(3) If $R$ is a local ring, then every nonunit is nilpotent.
(4) The annihilator of a proper (i. e., nonzero) minimal ideal of $R$ is a prime ideal.
(5) Any ideal of $R$ is a (finite) product of prime ideals.
(6) The set of maximal (resp., prime) ideals of an Artin ring is finite.
Proof. (1) Let $0 \neq a \in R$. Then the descending chain $(a) \supset\left(a^{2}\right) \supset \cdots$ stabilizes. Say, $\left(a^{n}\right) \subset\left(a^{n+1}\right)$. Then $a^{n}=a^{n+1} b$, for some $b \in B$. Cancelling $a^{n}$ yields $a b=1$, hence $a$ is a unit.
(2) For any ideal $I \subset R$, the ring $R / I$ is again Artinian as is easily verified. In particular, if $P \subset R$ is a prime ideal then $R / P$ is a field by (1), hence $P$ is a maximal ideal.
(3) Recall that $R$ has a unique maximal ideal $\mathrm{m}$. Let $a \in R$ be a nonunit, $l$. $e, a \in \mathrm{m}$. Consider again a stable value $\left(a^{n}\right)$ of the descending chain $(a) \supset\left(a^{2}\right) \supset \cdots \cdot$ As in the proof of (1), one gets $a^{n}(a b-1)=0$, for some $b \in R$. But $a b-1 \notin \mathfrak{m}$ since $a \in \mathfrak{m}$, i. e., $a b-1$ is a unit. It follows that $a^{n}=0$.
(4) Let $I \subset R$ be a proper minimal ideal and let $a:=0: I$ denote its annihilator. Let $c, d \in R$ such that $c d \in a$. If neither $c \in a$ nor $d \in a$ then both $c I$ and $d I$ are nonzero deals contained in $I$. By minimality, one must have $c I=I=d I$. Multiplying through by $d$, yields $c d I=d I=I \neq 0$. Therefore, $c d \notin \mathfrak{a}-$ a contradiction.
(5) If $I \subset R$ is an ideal, then $R / I$ is again Artinian, as one easily sees. Therefore, one can assume that $I={0}$.

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Noetherian and Artinian rings

这部分的启动原理如下。
引理 2.5.1。环的以下条件R是等价的:
(i)(有限基础)每个理想R是有限生成的。
(ii) (升链条件) 每条理想链我1⊂我2⊂⋯是平稳的,即存在一个索引一世这样我一世=我一世+1=⋯.
(iii)(最大条件)每个非空理想族R有一个最大的元素(即,一个属于家庭的理想,没有适当地包含在家庭中的任何其他理想中)。

证明。(一世)⇒(ii) 让我1⊂我2⊂⋯被给予。集合工会我:=⋃一世我一世很容易被视为理想的R. 根据假设,我=(一个1,…,一个米)对于某些一个一世∈R. 强行然后,有一个索引一世这样我一世包含集合\left{a_{1}, \ldots, a_{m}\right}\left{a_{1}, \ldots, a_{m}\right}. 所以,我⊂我一世, 因此很明显我一世=我一世+1=⋯
(二)⇒(iii) 给定一个非空的家庭F的理想R. 挑一些我属于F. 如果我是最大元素F, 完毕。否则,选择我2在F适当地包含我1:=我. 以这种方式进行,可以找到一系列适当的包含物我1⊂我2⊂⋯. 通过假设,这个序列稳定,比方说,在索引一世≥1. 然后我一世是最大元素F.
㈢⇒(我让我⊂R成为一个理想。考虑家庭F的有限生成的理想R包含在我. 清楚地,F是非空的,因为,和. g.,零理想(由空集生成)属于它。根据假设,F有一个最大元素,比如说,Ĵ⊂我. 宣称:Ĵ=我. 为了让b∈我是任意元素。然后是放大的理想Ĵ,b)仍然属于F. 但Ĵ是最大的,因此(Ĵ,b)=Ĵ, IE,b∈Ĵ.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Special results for Noetherian rings

接下来是诺特环的第二个经典时期的一些节选。虽然它们不会对本书的某些部分产生直接影响,但这些证明是值得在这里记录的杰作。

定理 2.5.6 (IS Cohen, 1950)。如果环的每个素理想一个然后是有限生成的一个是诺特式的。

证明。如果有一些非无限生成的理想,那么这些理想的族是非空的并且很容易被看作是归纳的。让磷成为这个家庭的最大元素。
一位声称磷是一个主要理想。确实,假设有一个,b∈一个∖磷这样一个b∈磷. 尤其是,磷被恰当地包含在理想中(磷,一个),因此由最大值磷,后一个理想是有限生成的。显然,可以选择一组生成器(磷,一个)形式的X1+b1一个,…,Xn+bn一个, 和X一世∈磷,b一世∈一个. 另一方面,商磷:一个也是有限生成的,因为b∈(磷:一个)∖磷. 但是,很容易看到,磷=(X1,…,Xn,一个(磷:一个)), 所以磷是有限生成的,这就产生了矛盾。

根据陈述的主要假设,磷是有限生成的,这个重复的矛盾表明不可能有任何非无限生成的理想开始。

P. Eakin ([48]) 和 M. Nagata ([113]) 同时但独立地证明了第二个结果。大约 33 年后,Nagata 给出了一个新的证明([114])。最近,P. Jothilingam ([89]) 给出了一个更全面的结果。该定理的断言涉及(有限生成的)模块的概念,以及积分扩展的概念,参见第3 和第 2.2 节,分别。下面的证明是 Nagata 给出的第一个论点,即使不是最短的,它看起来仍然是最清晰的。

定理 2.5.7(Eakin-Nagata)。令 A 是 Noetherian 环 R 的子环。如果 R 是作为 A 模有限生成的,则一个是诺特式的。

证明。论证分为几个归约步骤。作为一个自然的开始,人们希望引入发电机的数量R作为一个一个-模块。问题是通过写R=一个b1+⋯+一个b米作为一个有限生成一个-模块,当然b一世∈R,一个中间子模块,如一个b1+⋯+一个b米−1是 Noetherian(作为 Noetherian 的子模块应该是),但没有环的结构。要修复它,需要一个-次代数一个[b1,…,b米−1]. 显然,后者仍然是有限生成的一个-模块。有了这个,一个减少到以下。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Artinian rings

回到引理 2.5.1 中的最后两个条件,有一种对偶语句。
引理 2.5.10。环的以下条件R是等价的:
(i)(降链条件)每条理想链我1⊃我2⊃⋯是平稳的,即存在一个索引一世这样我一世=我一世+1=⋯.
(iii) (最小条件)每一个非空的理想族R具有最小元素(即,属于该家庭的理想,不包含该家庭中的任何其他理想)。
这种等价性的验证留给读者。
定义 2.5.11。戒指R如果满足上述等效条件,则称为 Artinian 或 Artin 环(在 Emil Artin 之后)。

Artin 环的基本理论比 Noetherian 的对应物要复杂得多。以下是它的一些“奇怪”的基本属性。
提案 2.5.12。让R成为一个 Artin 戒指。那么:
(1) 如果R是域,那么它一定是域。
(2) 的每个素理想R是最大的。
(3) 如果R是一个局部环,那么每个非单位都是幂零的。
(4) 一个适当的(即非零的)最小理想的湮灭子R是一个主要理想。
(5) 任何理想R是素理想的(有限)乘积。
(6) Artin 环的最大(或素数)理想集是有限的。
证明。(1) 让0≠一个∈R. 然后是降链(一个)⊃(一个2)⊃⋯稳定下来。说,(一个n)⊂(一个n+1). 然后一个n=一个n+1b, 对于一些b∈乙. 取消一个n产量一个b=1, 因此一个是一个单位。
(2) 对于任何理想我⊂R, 戒指R/我再次是 Artinian,这很容易验证。特别是,如果磷⊂R是一个素理想R/磷是 (1) 的一个域,因此磷是一个极大理想。
(3) 回想一下R有一个独特的最大理想米. 让一个∈R成为一个非单位,l. 和,一个∈米. 再考虑一个稳定的值(一个n)降链的(一个)⊃(一个2)⊃⋯⋅如 (1) 的证明,得一个n(一个b−1)=0, 对于一些b∈R. 但一个b−1∉米自从一个∈米, IE,一个b−1是一个单位。它遵循一个n=0.
(4) 让我⊂R是一个适当的最小理想,让一个:=0:我表示它的歼灭者。让C,d∈R这样Cd∈一个. 如果两者都没有C∈一个也不d∈一个然后两者C我和d我是包含在非零交易我. 通过最低限度,一个人必须有C我=我=d我. 乘以d, 产量Cd我=d我=我≠0. 所以,Cd∉一个−一个矛盾。
(5) 如果我⊂R是一个理想,那么R/我正如人们很容易看到的那样,它又是 Artinian。因此,可以假设我=0.

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Integral closure of ideals

The subject was originally approached by H. Prüfer, later taken up by several authors, including Krull. One important source of problems is the theory of complete ideals in 2-dimensional regular local rings developed by O. Zariski in [169, Appendix 5], while a full update is in the book [150], parts of which were used in its essence in the following brief account.

Definition 2.2.12. Let $R$ be a ring and $I \subset R$ an ideal. An element $a \in R$ is said to integral over $I$ if it satisfies a polynomial $f(x) \in R[x]$ of the form
$$
x^{m}+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}
$$
for some $a_{i} \in I^{i}$, for all $i$.
The following is an analogue of Proposition 2.2.1.
Proposition 2.2.13. Let $R$ be a ring and $I \subset R$ an ideal. Given $a \in R$, the following are equivalent:
(i) $a \in \tilde{I}$.
(ii) There exists a finitely generated $R$-module $M$ such that $a \in I M:{R} M$ and such that $0:{R} M \subset \sqrt{0}:_{R} a$

Proof. (i) $\Rightarrow$ (ii) Since an equation of integral dependence of $a$ involves finitely many elements of $I$, it is clear that there exists a finitely generated subideal $J \subset I$ such that $a$ is still integral over it. But an equation of integral dependence of $a$ of degree $n$ implies that $a^{n} \in\left(J^{n}, J^{n-1}, \ldots, J a^{n-1}\right)=J(J, a)^{n-1}$. From this follows that $(J, a)^{n} \subset J(J, a)^{n-1}$,

hence
$$
a(J, a)^{n-1} \subset(J, a)^{n} \subset J(J, a)^{n-1} \subset I(J, a)^{n-1}
$$
Setting $M:=(J, a)^{n-1}$ is a solution of the problem, since if $b \in R$ kills $M$ then in particular it kills $a^{n-1}$, hence $b \in \sqrt{0}:_{R} a$.
(ii) $\Rightarrow$ (i) Apply the same method as in the proof of Proposition 2.2.1, (iii) $\Rightarrow$ (i), to a finite set of generators of $M$, using the hypothesis $a M \subset I M$, obtaining a certain square matrix $\mathcal{A}$. Then use the idea in Remark $2.2 .2$ to $\operatorname{derive} \operatorname{det}(\mathcal{A}) M=0$ and then apply the remaining hypothesis to get an equation of integral dependence of the form $(a \operatorname{det}(\mathcal{A}))^{l}=0$ for some $l$.

The set of all elements of $R$ integral over $I$ is called the integral closure (in $R$ ) of $I$, here denoted $\tilde{I}$. By extension, any intermediate ideal $I \subset J \subset \tilde{I}$ will be said to be integral over $I$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Krull dimension and Noether normalization

The basic element of this part is a finite chain of prime ideals
$$
P_{0} \subsetneq P_{1} \subsetneq \cdots \subsetneq P_{n}
$$
The length of the chain (2.3.0.1) is the integer $n$. The next definition mimics somewhat the version of the dimension of a vector space by means of chains of subspaces. Yet, its impact is far greater allowing for introducing new invariants not found in the case of vector spaces.

Definition 2.3.1. The height of a prime ideal $P \subset R$ is the maximum of the lengths of chains of prime ideals whose top is $P$ :
$$
P_{0} \subsetneq P_{1} \subsetneq \cdots \subsetneq P_{n}-P
$$
One denotes this maximum by ht $(P)$ or ht $P$. A chain of primes as above is said to be saturated if no prime ideal can be properly inserted in the chain so as to increase its length. There is no offthand reason for ht $(P)$ to be actually a (finite) number. There are two types of obstruction: first, in principle a given chain may not be extended to a (finite) saturated one; second, there may be saturated chains of ever increasing length. Later one will show that for certain rings-Noetherian rings $-\mathrm{ht}(P)<\infty$ for any prime, but this is by no means a trivial result.

An alternative terminology is often used: the codimension of $P(\operatorname{denoted} \operatorname{cod} P)$. This is a slight abuse inherited from the special case where ht $P$ is a true codimension in the ambient ring $R$ and will mainly be used in those cases.
By a similar token, one can introduce the following notion.
Definition 2.3.2. The (Krull) dimension of the ring $R$ is the maximum of the heights of its prime ideals.

The dimension of $R$ will be denoted $\operatorname{dim} R$. Like for height, there is even less chance that an arbitrary ring have finite Krull dimension, as prime ideals might turn out to admit ever increasing heights. There are even examples of Noetherian rings with infinite Krull dimension (see Example 2.5.9).
This notion can be extended to an arbitrary ideal $I \subset R$ by setting
$$
\text { ht } I:=\min {h t P \mid P \supset I \text { a prime ideal }} .
$$
Clearly, one may restrict to the minimal prime overideals of $I$ in $R$-when $R$ is Noetherian, these will be finitely many (Proposition 2.5.20).

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Noether normalization and the dimension theorem

The following result is due to E. Noether (see History $2.8 .3$ below).
Theorem 2.3.5 (Noether normalization). Let $R$ denote a finitely generated algebra over a field $k$. Then there exists a finite algebraically independent subset $\mathfrak{2}$ of $R$ such that $R$ is integral over the $k$-subalgebra $k[\mathfrak{A}]$.

Proof. The proof given here only works in the case where $k$ has an infinite number of elements $-$ the case where $k$ is a finite field will be left to the curious reader.

Write $R=k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ and induct on $n$. If $n=0$, take $\mathfrak{A}=\emptyset$. Assume that $n \geq 1$. If the set $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is algebraically independent over $k$ (i. $e ., R$ is a polynomial ring over $k$, then one is done with $\mathfrak{A}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$. Thus, assume that $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is algebraically dependent over $k$.

Take a nonzero polynomial $F$ in the polynomial ring $k\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]$ (note the capital $X^{\prime}$ s) such that $F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0$. One may assume that the term in $X_{n}$ does not vanish.

Claim. Let $\mathrm{a}{i}=x{i}-c_{i} x_{n}$, for $i=1, \ldots, n-1$ and $c_{i} \in k$. Then, for suitable choice of the $c_{i}$ ‘s, $R$ is integral over its subalgebra $k\left[a_{1}, \ldots, a_{n-1}\right]$.

Note that, by the inductive assumption, the content of the claim is all that is needed. Thus, one proceeds to prove the claim. Note that $x_{i}=\mathfrak{a}{i}+c{i} x_{n}$, so substituting upon $F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0$ gives $F\left(a_{1}+c_{1} x_{n}, \ldots, a_{n-1}+c_{n-1} x_{n}, x_{n}\right)=0$. Let $f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ denote the term of $F$ of highest degree in $X_{n}$. Then, expanding the left-side as a polynomial in $x_{n}$, the term of highest degree has the form $x_{n}^{r} f\left(c_{1}, \ldots, c_{n-1}, 1\right)$, for some integer $r \geq 1$. Therefore, since $f\left(c_{1}, \ldots, c_{n-1}, 1\right) \in k$, provided this coefficient does not vanish, one gets an equation of integral dependence of $x_{n}$ over the subalgebra $k\left[a_{1}, \ldots, a_{n-1}\right]$, as required in the claim.

In order to make sure that $f\left(c_{1}, \ldots, c_{n-1}, 1\right) \neq 0$ for suitable choice of the $c_{j}$ ‘s is where the assumption that $k$ is infinite comes in. Indeed, suppose that $f\left(c_{1}, \ldots, c_{n-1}, 1\right)$ vanishes for any choice of $\left(c_{1}, \ldots, c_{n-1}\right) \in k^{n-1}$. Thus, one is saying that the nonzero polynomial $g=f\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}, 1\right)$ in $n-1$ variables vanishes for every $\left(c_{1}, \ldots, c_{n-1}\right) \in k^{n-1}$, an infinite vector space. From this, one can derive the existence of a nonzero polynomial in one variable over the same $k$ with an infinite set of roots, which is absurd.

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Integral closure of ideals

该主题最初是由 H. Prüfer 提出的,后来被包括 Krull 在内的几位作者提出。问题的一个重要来源是 O. Zariski 在 [169, 附录 5] 中提出的二维规则局部环中的完全理想理论,而在书 [150] 中有完整的更新,其中部分内容在其在下面的简要说明中的本质。

定义 2.2.12。让R成为一个戒指和我⊂R一个理想。一个元素一个∈R据说积分超过我如果它满足多项式F(X)∈R[X]形式的

X米+一个米−1X米−1+⋯+一个1X+一个0
对于一些一个一世∈我一世, 对所有人一世.
以下是提案 2.2.1 的类似物。
提案 2.2.13。让R成为一个戒指和我⊂R一个理想。给定一个∈R, 以下是等价的:
(i)一个∈我~.
(ii) 存在一个有限生成的R-模块米这样一个∈我米:R米并且这样0:R米⊂0:R一个

证明。(一世)⇒(ii) 由于积分相关的方程一个涉及有限的许多元素我, 显然存在一个有限生成的子理想Ĵ⊂我这样一个仍然是不可或缺的。但是一个积分依赖方程一个学位n暗示一个n∈(Ĵn,Ĵn−1,…,Ĵ一个n−1)=Ĵ(Ĵ,一个)n−1. 由此得出(Ĵ,一个)n⊂Ĵ(Ĵ,一个)n−1,

因此

一个(Ĵ,一个)n−1⊂(Ĵ,一个)n⊂Ĵ(Ĵ,一个)n−1⊂我(Ĵ,一个)n−1
环境米:=(Ĵ,一个)n−1是问题的解决方案,因为如果b∈R杀死米然后特别是它会杀死一个n−1, 因此b∈0:R一个.
(二)⇒(i) 应用与证明 2.2.1 相同的方法,(iii)⇒(i), 到有限的一组生成器米, 使用假设一个米⊂我米,得到某个方阵一个. 然后使用 Remark 中的想法2.2.2至派生⁡这⁡(一个)米=0然后应用剩余的假设得到形式的积分依赖方程(一个这⁡(一个))l=0对于一些l.

的所有元素的集合R积分超过我称为积分闭包(在R) 的我, 这里表示我~. 通过扩展,任何中间理想我⊂Ĵ⊂我~会说是积分超过我.

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这部分的基本元素是一个有限的素理想链

磷0⊊磷1⊊⋯⊊磷n
链的长度(2.3.0.1)是整数n. 下一个定义通过子空间链在一定程度上模仿了向量空间的维数。然而,它的影响要大得多,允许引入在向量空间中没有的新不变量。

定义 2.3.1。素数理想的高度磷⊂R是其顶部为的素理想链的长度的最大值磷 :

磷0⊊磷1⊊⋯⊊磷n−磷
一个用 ht 表示这个最大值(磷)或 ht磷. 如果没有理想的素数可以适当地插入链中以增加其长度,则称上述素数链是饱和的。ht 没有临时的理由(磷)实际上是一个(有限的)数字。有两种类型的阻塞:第一,原则上给定的链可能不会延伸到(有限的)饱和链;其次,可能存在长度不断增加的饱和链。稍后将证明对于某些环——诺特环−H吨(磷)<∞对于任何素数,但这绝不是一个微不足道的结果。

经常使用另一种术语:codimension of磷(表示⁡鳕鱼⁡磷). 这是从 ht 的特殊情况继承的轻微滥用磷是环境环中的真实余维R并将主要用于这些情况。
出于类似的原因,可以引入以下概念。
定义 2.3.2。环的 (Krull) 维数R是其素理想高度的最大值。

的维度R将表示暗淡⁡R. 与高度一样,任意环具有有限克鲁尔维数的可能性更小,因为素数理想可能会承认高度不断增加。甚至还有无限克鲁尔维数的诺特环的例子(见例 2.5.9)。
这个概念可以扩展到任意理想我⊂R通过设置

 H T 我:=分钟H吨磷∣磷⊃我 一个首要理想 .
显然,可以限制为我在R-什么时候R是 Noetherian,这些将是有限多的(命题 2.5.20)。

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以下结果归功于 E. Noether(参见历史2.8.3以下)。
定理 2.3.5(Noether 归一化)。让R表示域上有限生成的代数ķ. 那么存在一个有限代数独立子集2的R这样R是积分的ķ-次代数ķ[一个].

证明。这里给出的证明只适用于ķ有无限个元素−的情况ķ是一个有限域,留给好奇的读者吧。

写R=ķ[X1,…,Xn]并感应n. 如果n=0, 拿一个=∅. 假使,假设n≥1. 如果集\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}是代数独立的ķ(一世。和.,R是一个多项式环ķ,然后一个完成\mathfrak{A}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\mathfrak{A}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}. 因此,假设\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}在代数上依赖于ķ.

取一个非零多项式F在多项式环中ķ[X1,…,Xn](注意大写X′s) 使得F(X1,…,Xn)=0. 可以假设术语在Xn不会消失。

宣称。让一个一世=X一世−C一世Xn, 为了一世=1,…,n−1和C一世∈ķ. 然后,为了合适的选择C一世的,R是其子代数的积分ķ[一个1,…,一个n−1].

请注意,通过归纳假设,声明的内容就是所需要的。因此,人们继续证明这一主张。注意X一世=一个一世+C一世Xn, 所以代入F(X1,…,Xn)=0给F(一个1+C1Xn,…,一个n−1+Cn−1Xn,Xn)=0. 让F(X1,…,Xn)表示F最高学位的Xn. 然后,将左侧扩展为多项式Xn, 最高程度的项具有形式XnrF(C1,…,Cn−1,1), 对于某个整数r≥1. 因此,由于F(C1,…,Cn−1,1)∈ķ,如果该系数不消失,则得到一个积分依赖方程Xn在子代数上ķ[一个1,…,一个n−1],如索赔中所要求的那样。

为了确保F(C1,…,Cn−1,1)≠0对于合适的选择Cj是假设ķ是无限的。确实,假设F(C1,…,Cn−1,1)消失的任何选择(C1,…,Cn−1)∈ķn−1. 因此,有人说非零多项式G=F(X1,…,Xn−1,1)在n−1每个变量都会消失(C1,…,Cn−1)∈ķn−1,一个无限的向量空间。由此,可以推导出在一个变量中存在一个非零多项式ķ有无限的根,这是荒谬的。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写