数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|MATH354
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代数拓扑学是数学的一个分支,使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量,对拓扑空间进行同构分类,尽管通常大多数的分类是同构等价的。
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数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Operations on Spaces
Cell complexes have a very nice mixture of rigidity and flexibility, with enough rigidity to allow many arguments to proceed in a combinatorial cell-by-cell fashion and enough flexibility to allow many natural constructions to be performed on them. Here are some of those constructions.
Products. If $X$ and $Y$ are cell complexes, then $X \times Y$ has the structure of a cell complex with cells the products $e_\alpha^m \times e_\beta^n$ where $e_\alpha^m$ ranges over the cells of $X$ and $e_\beta^n$ ranges over the cells of $Y$. For example, the cell structure on the torus $S^1 \times S^1$ described at the beginning of this section is obtained in this way from the standard cell structure on $S^1$. For completely general CW complexes $X$ and $Y$ there is one small complication: The topology on $X \times Y$ as a cell complex is sometimes finer than the product topology, with more open sets than the product topology has, though the two topologies coincide if either $X$ or $Y$ has only finitely many cells, or if both $X$ and $Y$ have countably many cells. This is explained in the Appendix. In practice this subtle issue of point-set topology rarely causes problems, however.
Quotients. If $(X, A)$ is a CW pair consisting of a cell complex $X$ and a subcomplex $A$, then the quotient space $X / A$ inherits a natural cell complex structure from $X$. The cells of $X / A$ are the cells of $X-A$ plus one new 0-cell, the image of $A$ in $X / A$. For a cell $e_\alpha^n$ of $X-A$ attached by $\varphi_\alpha: S^{n-1} \rightarrow X^{n-1}$, the attaching map for the corresponding cell in $X / A$ is the composition $S^{n-1} \rightarrow X^{n-1} \rightarrow X^{n-1} / A^{n-1}$.
For example, if we give $S^{n-1}$ any cell structure and build $D^n$ from $S^{n-1}$ by attaching an $n$-cell, then the quotient $D^n / S^{n-1}$ is $S^n$ with its usual cell structure. As another example, take $X$ to be a closed orientable surface with the cell structure described at the beginning of this section, with a single 2-cell, and let $A$ be the complement of this 2-cell, the 1-skeleton of $X$. Then $X / A$ has a cell structure consisting of a 0 -cell with a 2-cell attached, and there is only one way to attach a cell to a 0-cell, by the constant map, so $X / A$ is $S^2$.
Suspension. For a space $X$, the suspension $S X$ is the quotient of $X \times I$ obtained by collapsing $X \times{0}$ to one point and $X \times{1}$ to another point. The motivating example is $X=S^n$, when $S X=S^{n+1}$ with the two ‘suspension points’ at the north and south poles of $S^{n+1}$, the points $(0, \cdots, 0, \pm 1)$. One can regard $S X$ as a double cone on $X$, the union of two copies of the cone $C X=(X \times I) /(X \times{0})$. If $X$ is a CW complex, so are $S X$ and $C X$ as quotients of $X \times I$ with its product cell structure, $I$ being given the standard cell structure of two 0 -cells joined by a 1-cell.
Suspension becomes increasingly important the farther one goes into algebraic topology, though why this should be so is certainly not evident in advance. One especially useful property of suspension is that not only spaces but also maps can be suspended. Namely, a map $f: X \rightarrow Y$ suspends to $S f: S X \rightarrow S Y$, the quotient map of $f \times \mathbb{1}: X \times I \rightarrow Y \times I$.
数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Collapsing Subspaces
The operation of collapsing a subspace to a point usually has a drastic effect on homotopy type, but one might hope that if the subspace being collapsed already has the homotopy type of a point, then collapsing it to a point might not change the homotopy type of the whole space. Here is a positive result in this direction:
|f If $(X, A)$ is a CW pair consisting of a CW complex $X$ and a contractible subcomplex $A$, then the quotient map $X \rightarrow X / A$ is a homotopy equivalence.
A proof will be given later in Proposition 0.17, but for now let us look at some examples showing how this result can be applied.
Example 0.7: Graphs. The three graphs $0-\infty$ D are homotopy equivalent since each is a deformation retract of a disk with two holes, but we can also deduce this from the collapsing criterion above since collapsing the middle edge of the first and third graphs produces the second graph.
More generally, suppose $X$ is any graph with finitely many vertices and edges. If the two endpoints of any edge of $X$ are distinct, we can collapse this edge to a point, producing a homotopy equivalent graph with one fewer edge. This simplification can be repeated until all edges of $X$ are loops, and then each component of $X$ is either an isolated vertex or a wedge sum of circles.
This raises the question of whether two such graphs, having only one vertex in each component, can be homotopy equivalent if they are not in fact just isomorphic graphs. Exercise 12 at the end of the chapter reduces the question to the case of connected graphs. Then the task is to prove that a wedge sum $\bigvee_m S^1$ of $m$ circles is not homotopy equivalent to $V_n S^1$ if $m \neq n$. This sort of thing is hard to do directly. What one would like is some sort of algebraic object associated to spaces, depending only on their homotopy type, and taking different values for $\bigvee_m s^1$ and $V_n s^1$ if $m \neq n$. In fact the Euler characteristic does this since $V_m S^1$ has Euler characteristic $1-m$. But it is a rather nontrivial theorem that the Euler characteristic of a space depends only on its homotopy type. A different algebraic invariant that works equally well for graphs, and whose rigorous development requires less effort than the Euler characteristic, is the fundamental group of a space, the subject of Chapter 1 .

代数拓扑代考
数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Operations on Spaces
单元复合体具有非常好的刚性和灵活性的混合体,具有足够的刚性以允许许多参数以逐个单元 的组合方式进行,并且具有足够的灵活性以允许在它们上执行许多自然构造。这是其中的一些 结构。
产品。如果 $X$ 和 $Y$ 是细胞复合体,那么 $X \times Y$ 具有细胞复合体的结构 细胞产物 $e_\alpha^m \times e_\beta^n$ 在哪 里 $e_\alpha^m$ 范围遍及细胞 $X$ 和 $e_\beta^n$ 范围遍及细胞 $Y$. 例如,圆环上的细胞结构 $S^1 \times S^1$ 本节开头描述 的是通过这种方式从标准单元结构中获得的 $S^1$. 对于完全通用的 CW复合体 $X$ 和 $Y$ 有一个小问 题: $X \times Y$ 因为单元复合体有时比乘积拓扑更精细,具有比乘积拓扑更多的开集,尽管如果 两个拓扑重合 $X$ 或者 $Y$ 只有有限多个单元格,或者如果两者 $X$ 和 $Y$ 有可数个细胞。这在附录中 解释。然而,在实践中,点集拓扑的这个微妙问题很少引起问题。
商。如果 $(X, A)$ 是由细胞复合体组成的 CW 对 $X$ 和一个子复合体 $A$ ,那么商空间 $X / A$ 继承了 天然的细胞复合结构 $X$. 的细胞 $X / A$ 是细胞 $X-A$ 加上一个新的 0 细胞,图像 $A$ 在 $X / A$. 对 于一个单元格 $e_\alpha^n$ 的 $X-A$ 附于 $\varphi_\alpha: S^{n-1} \rightarrow X^{n-1}$, 中相应单元格的附加映射 $X / A$ 是组成 $S^{n-1} \rightarrow X^{n-1} \rightarrow X^{n-1} / A^{n-1}$.
例如,如果我们给 $S^{n-1}$ 任何细胞结构和构建 $D^n$ 从 $S^{n-1}$ 通过附上 $n$-cell,然后是商 $D^n / S^{n-1}$ 是 $S^n$ 具有通常的细胞结构。再举个例子,拿 $X$ 是一个封闭的可定向曲面,具有本节开头描述 的单元结构,具有单个 2 单元,并且让 $A$ 是这个 2-cell 的补集,1-skeleton $X$. 然后 $X / A$ 有一 个细胞结构,由一个 0 细胞和一个 2 细胞组成,并且只有一种方法可以通过常量映射将一个细 胞附加到一个 0 细胞,所以 $X / A$ 是 $S^2$.
暂停。对于一个空间 $X$, 暂停 $S X$ 是商 $X \times I$ 通过折叠获得 $X \times 0$ 一点和 $X \times 1$ 到另一点。激 励的例子是 $X=S^n$ ,什么时候 $S X=S^{n+1}$ 在北极和南极的两个 “悬挂点” $S^{n+1}$ ,点 $(0, \cdots, 0, \pm 1)$. 一个可以考虑 $S X$ 作为双锥 $X$ ,两个锥体副本的并集
$C X=(X \times I) /(X \times 0)$. 如果 $X$ 是 $\mathrm{CW}$ 复形,所以是 $S X$ 和 $C X$ 作为商 $X \times I$ 凭借其产品 细胞结构, $I$ 被陚予由一个 1 单元连接的两个 0 单元的标准单元结构。
随着代数拓扑的深入,悬架变得越来越重要,尽管事先肯定不清楚为什么会如此。悬浮的一个 特别有用的特性是不仅空间而且地图都可以悬浮。即,一张地图 $f: X \rightarrow Y$ 暂停到 $S f: S X \rightarrow S Y$ ,的商图 $f \times 1: X \times I \rightarrow Y \times I$.
数学代写|代数拓扑代写Algebraic topology代考|Collapsing Subspaces
已经具有点的同伦类型,那么将其折㳬成点可能不会改变同伦类型整个空间。这是在这个方向 上的积级结果:
|f 如果 $(X, A)$ 是由 $\mathrm{CW}$ 复合体组成的 $\mathrm{CW}$ 对 $X$ 和一个可收缩的子复合体 $A$ ,那么商图 $X \rightarrow X / A$ 是同伦等价。
稍后将在命题 $0.17$ 中给出证明,但现在让我们看一些例子来说明如何应用这个结果。
示例 0.7: 图形。三张图 $0-\infty D$ 是同伦等价的,因为每个都是带有两个孔的圆盘的变形缩 回,但我们也可以从上面的折疍准则中推断出这一点,因为折叠第一个和第三个图的中间边缘 会产生第二个图。
更一般地,假设 $X$ 是任何具有有限多个顶点和边的图。如果任意一条边的两个端点 $X$ 是不同 的,我们可以将这条边折疊成一个点,产生一个少了一条边的同伦等价图。可以重复这种简 化,直到 $X$ 是循环,然后是的每个组件 $X$ 是孤立的顶点或圆的楔和。
这就提出了这样一个问题: 如果两个这样的图在每个分量中只有一个顶点,那么如果它们实际 上不仅仅是同构图,它们是否可以同伦等价。本章末尾的练习 12 将问题简化为连通图的情 况。那么任务就是证明一个楔和 $\bigvee_m S^1$ 的 $m$ circles 不是同伦等价于 $V_n S^1$ 如果 $m \neq n$. 这种 事情很难直接做。人们想要的是某种与空间相关联的代数对象,仅取决于它们的同伦类型,并 为 $\bigvee_m s^1$ 和 $V_n s^1$ 如果 $m \neq n$. 事实上,欧拉特性是这样做的,因为 $V_m S^1$ 具有欧拉特性
$1-m$. 但空间的欧拉特征仅取决于其同伦类型是一个相当重要的定理。一个不同的代数不变 量同样适用于图,并且其严格的发展比欧拉特征需要更少的努力,是空间的基本群,第1 章的 主题。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。