分类: 代数数论代写

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Analytic Methods

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Analytic Methods

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Analytic Methods

In this chapter, we shall prove Dedekind’s famous formula of 1877 for the class number $h_{K}$ of a number field $K$, namely
$$
\lim {s \rightarrow 1+}(s-1) \zeta{K}(s)=h_{K} \cdot \kappa,
$$
where $\zeta_{K}(s)$ is the Dedekind zeta function
$$
\zeta_{K}(s)=\sum \frac{1}{N(a)^{s}}
$$
The summation is over all nonzero integral ideals a of $\mathcal{O}{K}$. We shall show that the series on the right of (6.2) converges absolutely for real $s$ in the open interval $11$, $$ \zeta{K}(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{N(p)^{s}}\right)^{-1}
$$
where the product is over all the nonzero prime ideals $p$ of $K$.
Proof. We only sketch the proof, leaving the details to be filled in by the reader.
First, because $N(\mathfrak{p})^{s}>1$,
$$
\left(1-\frac{1}{N(p)^{s}}\right)^{-1}=1+\frac{1}{N(p)^{s}}+\frac{1}{N(p)^{2 s}}+\cdots
$$
We formally multiply these series, one for each prime $\mathfrak{p}$, to obtain
$$
\prod_{p}\left(1-\frac{1}{N(p)^{s}}\right)^{-1}=\sum \frac{1}{N\left(p_{1}^{c_{1}} \cdots p_{g}^{c_{g}}\right)^{s}}
$$
In the summation, each product $p_{1}^{c_{1}} \ldots p_{g}^{e_{g}}$ occurs exactly once. Therefore, by Dedekind’s unique factorization theorem for ideals,
$$
\sum \frac{1}{N\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{g}^{c_{g}}\right)^{s}}=\sum \frac{1}{N(a)^{s}}
$$the summation being over all nonzero integral ideals of $K$. Hence, the Euler product formula follows.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Preliminaries

In Chapter 5, we proved that the group $\mathcal{O}{K}^{\times}$of units (of the ring of integers) of a number field $K$ is isomorphic to $W{K} \times \mathbb{Z}^{r}$. Here $W_{K}$ is the group of roots of unity in $K$ and $r=r_{1}+r_{2}-1$. Recall that $r_{1}$ (resp. $r_{2}$ ) is the number of real (resp. pairs of complex) $\mathbb{Q}$-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$, so that $[K: \mathbb{Q}]=r_{1}+2 r_{2}$. Let $u_{1}, \ldots, u_{r}$ be a fundamental system of units in $K$, that is to say, any $u$ in $\mathcal{O}{K}^{\times}$can be uniquely expressed as $$ u=\eta u{1}^{a_{1}} \ldots u_{r}^{a_{r}},
$$
with $\eta$ in $W_{K}$ and $a_{1}, \ldots, a_{r}$ in $\mathbb{Z}$. We now use the set $\left{u_{1}, \ldots, u_{r}\right}$ of fundamental units in $K$ to define an important invariant of $K$, called its regulator, which is intimately related to its class number $h_{K}$.
The hyperplane
$$
V=\left{\boldsymbol{v}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right) \in \mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}} \mid \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r_{1}+r_{2}}=0\right}
$$
is a $r$-dimensional subspace of $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$. Let $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r_{1}} ; \sigma_{r_{1}+1}, \bar{\sigma}{r{1}+1}, \ldots, \sigma_{r_{1}+r_{2}}$, $\bar{\sigma}{r{1}+r_{2}}$ be all the Q-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$. In Chapter 5 , we defined a map $\lambda: K^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$ by $\lambda(\alpha)=\left(\log \left|\sigma_{1}(\alpha)\right|, \ldots, \log \left|\sigma_{r_{1}}(\alpha)\right|, \log \left|\sigma_{r_{1}+1}(\alpha)\right|^{2}, \ldots\right.$ $\left.\log \left|\sigma_{r_{1}+r_{2}}(\alpha)\right|^{2}\right)$, which is a group homomorphism from the multiplicative group $K^{\times}$into the additive group $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$. We proved that $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$is a full lattice in the $r$-dimensional subspace $V$ of $\mathbb{R}^{r{1}+r_{2}}$, defined above. To define the regulator, we need to compute the $r$-dimensional volume $\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)$of a fundamental parallelepiped of $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Regulator of a Number Field

We now state and prove a theorem that leads to the definition of regulator. For $u$ in $\mathcal{O}{K}^{\times}$, let $\lambda{j}(u)$ denote the $j$-th component of the vector $\lambda(u)$ of $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$.
Theorem 6.2. The $r$-dimensional volume $\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)$of any fundamental parallelepiped of the (full) lattice $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$in $V$ is given by
$$
\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)=\sqrt{r{1}+r_{2}}\left|\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)\right|
$$

where $\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}\right}$ is an arbitrarily chosen subset of $\left{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right}$ of cardinality $r$.
In particular the quantity
$$
R_{K}=\left|\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)\right|
$$
depends only on $K$, and not on the choice of $\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}$.
Definition 6.3. The regulator of a number field $K$ is the absolute value
$$
R_{K}=\left|\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)\right|
$$
of the $r \times r$ determinant $\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)$.
Proof. Consider the unit vector
$$
\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{r_{1}+r_{2}}}(1, \ldots, 1)
$$
in $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$. By the definition of $V$, the inner product $\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{x}\rangle=0$ for all $\boldsymbol{x}$ in $V$. Hence $\boldsymbol{u} \perp V(\boldsymbol{u}$ is perpendicular to $V)$. If
$$
L=\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right) \oplus \mathbb{Z} \boldsymbol{u} $$ then $L$ is a full lattice in $\mathbb{R}^{r{1}}+r_{2}$ and the $r$-dimensional volume $\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)$of $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$is equal to the $\left(r_{1}+r_{2}\right)$-dimensional volume of $L$, which is the absolute value of the $\left(r_{1}+r_{2}\right) \times\left(r_{1}+r_{2}\right)$ determinant
$$
\frac{1}{\sqrt{r_{1}+r_{2}}} \cdot\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 1 \
\lambda_{1}\left(u_{1}\right) & \cdots & \lambda_{r_{1}+r_{2}}\left(u_{1}\right) \
\vdots & & \
\lambda_{1}\left(u_{r}\right) & \vdots & \lambda_{r_{1}+r_{2}}\left(u_{r}\right)
\end{array}\right|
$$
For all $u$ in $\mathcal{O}{K}^{\times}$, we have $$ \sum{j=1}^{r_{1}+r_{2}} \lambda_{j}(u)=0
$$

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代数数论代考

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在本章中,我们将证明 Dedekind 著名的类数公式 1877Hķ数字字段的ķ,即

林s→1+(s−1)Gķ(s)=Hķ⋅ķ,
在哪里Gķ(s)是 Dedekind zeta 函数

Gķ(s)=∑1ñ(一个)s
求和是对所有非零积分理想 a 的○ķ. 我们将证明 (6.2) 右边的级数绝对收敛s在开区间11,

Gķ(s)=∏p(1−1ñ(p)s)−1
其中乘积超过所有非零素理想p的ķ.
证明。我们只画出证明,细节由读者填写。
首先,因为ñ(p)s>1,

(1−1ñ(p)s)−1=1+1ñ(p)s+1ñ(p)2s+⋯
我们正式将这些系列相乘,每个素数一个p, 获得

∏p(1−1ñ(p)s)−1=∑1ñ(p1C1⋯pGCG)s
总之,每个产品p1C1…pG和G恰好发生一次。因此,由 Dedekind 独特的理想因式分解定理,

∑1ñ(p1和1⋯pGCG)s=∑1ñ(一个)s总和是对所有非零积分理想的ķ. 因此,欧拉乘积公式如下。

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在第 5 章中,我们证明了群○ķ×数字字段的单位(整数环)ķ同构于在ķ×从r. 这里在ķ是单位根群ķ和r=r1+r2−1. 回顾r1(分别。r2) 是实数(复数对)问- 的同构ķ进入C, 以便[ķ:问]=r1+2r2. 让在1,…,在r是一个基本的单位制ķ,也就是说,任何在在○ķ×可以唯一地表示为

在=这在1一个1…在r一个r,
和这在在ķ和一个1,…,一个r在从. 我们现在使用集合\left{u_{1}, \ldots, u_{r}\right}\left{u_{1}, \ldots, u_{r}\right}的基本单位ķ定义一个重要的不变量ķ,称为它的调节器,与它的类号密切相关Hķ.
超平面

V=\left{\boldsymbol{v}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right) \in \mathbb{R}^{r_{ 1}+r_{2}} \mid \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r_{1}+r_{2}}=0\right}V=\left{\boldsymbol{v}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right) \in \mathbb{R}^{r_{ 1}+r_{2}} \mid \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r_{1}+r_{2}}=0\right}
是一个r-维子空间Rr1+r2. 让σ1,…,σr1;σr1+1,σ¯r1+1,…,σr1+r2, σ¯r1+r2是的所有 Q-同构ķ进入C. 在第 5 章中,我们定义了一个映射λ:ķ×→Rr1+r2经过λ(一个)=(日志⁡|σ1(一个)|,…,日志⁡|σr1(一个)|,日志⁡|σr1+1(一个)|2,… 日志⁡|σr1+r2(一个)|2),它是乘法群的群同态ķ×进入添加剂组Rr1+r2. 我们证明了λ(○ķ×)是一个完整的格子r维子空间在的Rr1+r2,定义如上。为了定义调节器,我们需要计算r维体积μ(λ(○ķ×))一个基本的平行六面体λ(○ķ×).

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Regulator of a Number Field

我们现在陈述并证明一个导致调节器定义的定理。为了在在○ķ×, 让λj(在)表示j-向量的第一个分量λ(在)的Rr1+r2.
定理 6.2。这r维体积μ(λ(○ķ×))(完整)晶格的任何基本平行六面体λ(○ķ×)在在是(谁)给的

μ(λ(○ķ×))=r1+r2|这⁡(φ一世(在j))|

在哪里\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}\right}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}\right}是任意选择的子集\left{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right}\left{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right}基数的r.
特别是数量

Rķ=|这⁡(φ一世(在j))|
只取决于ķ,而不是关于φ1,…,φr.
定义 6.3。数域的调节器ķ是绝对值

Rķ=|这⁡(φ一世(在j))|
的r×r行列式这⁡(φ一世(在j)).
证明。考虑单位向量

在=1r1+r2(1,…,1)
在Rr1+r2. 根据定义在, 内积⟨在,X⟩=0对所有人X在在. 因此在⊥在(在垂直于在). 如果

大号=λ(○ķ×)⊕从在然后大号是一个完整的格子Rr1+r2和r维体积μ(λ(○ķ×))的λ(○ķ×)等于(r1+r2)-维体积大号,这是绝对值(r1+r2)×(r1+r2)行列式

1r1+r2⋅|1⋯1 λ1(在1)⋯λr1+r2(在1) ⋮ λ1(在r)⋮λr1+r2(在r)|
对所有人在在○ķ×, 我们有

∑j=1r1+r2λj(在)=0

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

The Dirichlet’s unit theorem asserts that, up to the roots of unity in $K$, the group $\mathcal{O}{K}^{\times}$of units of $K$ is a free Abelian group of rank $r=r{1}+r_{2}-1$. [We shall define the non-negative integers $r_{1}$ and $r_{2}$ in the next section.] It is not very difficult to show that $r \leq r_{1}+r_{2}-1$. The harder part that $r=r_{1}+r_{2}-1$ follows from the famous lemma of Minkowski on convex bodies.

A subset $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is convex if for all $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ in $X$ and all real $t$ in the interval $[0,1]$, the vector $t \boldsymbol{u}+(1-t) \boldsymbol{v}$ is in $X$. That is, the line segment joining $\boldsymbol{u}$ to $\boldsymbol{v}$ is entirely in $X$. It is easy to see that if $X$ is convex in $\mathbb{R}^{m}$ and $Y$ is convex in $\mathbb{R}^{n}$, then $X \times Y$ is convex in $\mathbb{R}^{m+n}$. We call $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ centrally symmetric if $\boldsymbol{v} \in X$ implies $-\boldsymbol{v} \in X$.

Let $\mu$ be the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^{n}$, that is, the measure on $\mathbb{R}^{n}$, such that for a cube $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ given by
$$
\begin{gathered}
X=\left{\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}\right} \
\mu(X)=\operatorname{vol}(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(b_{j}-a_{j}\right)
\end{gathered}
$$
Let $L$ be a full lattice with a fundamental parallelepiped $P$, as in (5.4) and (5.5). Of course, $P$ depends on the choice of the $\mathbb{Z}$-basis $\left{\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}$ of $L$. However, any two $\mathbb{Z}$-bases of $L$ are related by a unimodular matrix, that is a matrix of determinant $\pm 1$ with entries in $\mathbb{Z}$. Since $\mu(P)$ is the absolute value of the determinant, whose rows are $\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}$, it follows that the volume $\mu(P)$ of $P$ is independent of the choice of the basis. Thus, we may denote $\mu(P)$ also by $\mu(L)$.

Theorem $5.4$ (Minkowski’s Lemma). Suppose $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a bounded, centrally symmetric convex set and $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a full lattice. If $\mu(X)>2^{n} \mu(L)$, then $X$ contains a nonzero vector of $L$.

Proof. First we show that if $Y \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a bounded set, such that ${\boldsymbol{v}+Y \mid \boldsymbol{v} \in$ $L}$ is a family of disjoint subsets of $\mathbb{R}^{n}$, then $\mu(Y) \leq \mu(P)$, where $P$ is a fundamental parallelepiped of $L$. This is almost immediate, because writing $Y$ as the disjoint union
$$
Y=\cup_{v \in L} Y \cap(v+P),
$$
we have by $(5.6), \mu(Y)=\sum_{v \in L} \mu(Y \cap(v+P))$.
Since $\mu$ is translation invariant, $\mu(Y \cap(v+P))=\mu((-v+Y) \cap P)$. Hence $\mu(Y)=\sum_{v \in L} \mu((-v+Y) \cap P) \leq \mu(P)$, because the sets $-v+Y$ are also pairwise disjoint.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Logarithmic Embedding

Suppose $K \subseteq \mathbb{C}$ is a number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. Consider a ring homomorphism $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$. We require that $\sigma(1)=1$. Hence $\sigma_{\mid \mathbb{Q}}=1_{\mathrm{Q}}$, the identity map on $\mathbb{Q}$. Such a $\sigma$ is clearly injective. [Its kernel Ker $(\sigma)$ is an ideal of the field $K$, which can only be ${0}$ or $K$.] Hence, we call $\sigma$ a Q-isomorphism of $K$ into $\mathbb{C}$. There are exactly $n \mathbb{Q}$-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$. To see this, write $K=\mathbb{Q}(\alpha)$. If $\sigma$ is a $\mathbb{Q}$-isomorphism of $K$ into $\mathbb{C}$, it is determined by $\sigma(\alpha)$, which is a conjugate of $\alpha$. But there are exactly $n$ conjugates of $\alpha$ over $\mathbb{Q}$.
One may regard such a $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$ also an injective linear transformation of vector spaces, when $K$ and $\mathbb{C}$ are viewed as vector spaces over $\mathbb{Q}$. Unless stated to the contrary $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$ will be a $\mathbb{Q}$-isomorphism.

If $\sigma(K) \subseteq \mathbb{R}$, we call $\sigma$ a real imbedding, otherwise it is a complex imbedding. If $\sigma$ is complex, the map $\bar{\sigma}: K \rightarrow \mathbb{C}$, given by $\bar{\sigma}(x)=\overline{\sigma(x)}$ is also a $\mathbb{Q}$ isomorphism. Thus, the complex $\mathbb{Q}$-isomorphisms occur in pairs. We shall denote the real $\mathbb{}$ complex ones by $\sigma_{r_{1}+1}, \overline{\sigma_{r_{1}+1}}, \ldots ; \sigma_{r_{1}+r_{2}}, \overline{\sigma_{r_{1}+r_{2}}}$. In particular, $n=r_{1}+2 r_{2}$.
Consider $\mathbb{C}$ as a vector space of dimension two over $\mathbb{R}$ with ${1, i}$ as the standard basis. If $z=x+i y \in \mathbb{C}$, the multiplication by $z$ is a linear transformation of $\mathbb{C}$ into itself over $\mathbb{R}$. Its matrix relative to the basis ${1, i}$ is easily seen to be $T=\left(\begin{array}{cc}x & y \ -y & x\end{array}\right)$ with determinant
$$
\operatorname{det}(T)=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}
$$
If we identify $\mathbb{C}$, as a vector space over $\mathbb{R}$ with $\mathbb{R}^{2}$, via the map $x+i y \rightarrow\left(\begin{array}{l}x \ y\end{array}\right)$, then $\mathbb{R}^{r_{1}} \times \mathbb{C}^{r_{2}} \cong \mathbb{R}^{n}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Units of a Quadratic Field

Let $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})(d \neq 0,1$, a square-free integer $)$ be a quadratic field. We call $K$ a real quadratic field or an imaginary quadratic field according as $d>0$ or $d<0$. If $K$ is an imaginary quadratic field, then $r_{1}=0, r_{2}=1$, so $r=r_{1}+r_{2}-1=0$. In this case, $\mathcal{O}{K}^{\times}=W{K}$, the roots of unity in $K$. We leave it as an exercise to determine this finite group $W_{K}$.

For the real quadratic field, $r=1$ and the group of units is given by the following corollary.

Corollary 5.15. If $d>1$ is a square-free integer and $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, then the group
$$
\mathcal{O}_{K}^{\times} \cong{\pm 1} \times \mathbb{Z} .
$$
In particular, the Pell equation $x^{2}-d y^{2}=1$ has infinitely many solutions in integers.
EXERCISES

  1. Determine the structure of $\mathcal{O}_{K}^{\times}$when $[K: \mathbb{Q}]=3$ and 4 .
  2. Use Dirichlet’s unit theorem to find all integer solutions of $5 x^{2}-$ $5 y^{2}=y^{4}$.
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

狄利克雷单位定理断言,直到单位的根ķ, 群组○ķ×的单位ķ是一个自由阿贝尔秩群r=r1+r2−1. [我们将定义非负整数r1和r2在下一节中。] 证明这一点并不难r≤r1+r2−1. 更难的部分r=r1+r2−1遵循凸体上著名的 Minkowski 引理。

一个子集X⊆Rn如果对所有人都是凸的在,在在X而且都是真实的吨在区间[0,1], 向量吨在+(1−吨)在在X. 也就是加入的线段在至在完全在X. 很容易看出,如果X是凸的R米和是是凸的Rn, 然后X×是是凸的R米+n. 我们称之为X⊆Rn中心对称如果在∈X暗示−在∈X.

让μ成为 Lebesgue 测度Rn,也就是对Rn, 这样对于一个立方体X⊆Rn由

\begin{聚集} X=\left{\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid a_{j } \leq x_{j} \leq b_{j}\right} \ \mu(X)=\operatorname{vol}(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(b_{j} -a_{j}\right) \end{聚集}\begin{聚集} X=\left{\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid a_{j } \leq x_{j} \leq b_{j}\right} \ \mu(X)=\operatorname{vol}(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(b_{j} -a_{j}\right) \end{聚集}
让大号是一个具有基本平行六面体的完整格子磷,如(5.4)和(5.5)。当然,磷取决于选择的从-基础\left{\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}\left{\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}的大号. 然而,任何两个从- 基地大号由一个单模矩阵相关,即行列式矩阵±1与条目从. 自从μ(磷)是行列式的绝对值,其行是在1,…,在n,因此体积μ(磷)的磷与基的选择无关。因此,我们可以表示μ(磷)也由μ(大号).

定理5.4(闵可夫斯基引理)。认为X⊆Rn是有界的中心对称凸集,并且大号⊆Rn是一个完整的格子。如果μ(X)>2nμ(大号), 然后X包含一个非零向量大号.

证明。首先我们证明如果是⊆Rn是有界集,使得在+是∣在∈$$大号是一组不相交的子集Rn, 然后μ(是)≤μ(磷), 在哪里磷是一个基本的平行六面体大号. 这几乎是立竿见影的,因为写作是作为不相交的联盟

是=∪在∈大号是∩(在+磷),
我们有(5.6),μ(是)=∑在∈大号μ(是∩(在+磷)).
自从μ是平移不变的,μ(是∩(在+磷))=μ((−在+是)∩磷). 因此μ(是)=∑在∈大号μ((−在+是)∩磷)≤μ(磷), 因为集合−在+是也是成对不相交的。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Logarithmic Embedding

认为ķ⊆C是度数域n超过问. 考虑环同态σ:ķ→C. 我们要求σ(1)=1. 因此σ∣问=1问, 上的恒等映射问. 这样一个σ显然是单射的。[它的内核Ker(σ)是一个理想的领域ķ, 这只能是0或者ķ.] 因此,我们称σ的 Q-同构ķ进入C. 正好有n问- 的同构ķ进入C. 要看到这个,写ķ=问(一个). 如果σ是一个问-同构ķ进入C,它由下式确定σ(一个),这是一个共轭一个. 但是确实有n的共轭一个超过问.
可以认为这样一个σ:ķ→C也是向量空间的单射线性变换,当ķ和C被视为向量空间问. 除非另有说明σ:ķ→C将是一个问-同构。

如果σ(ķ)⊆R, 我们称之为σ一个真正的嵌入,否则它是一个复杂的嵌入。如果σ很复杂,地图σ¯:ķ→C, 由σ¯(X)=σ(X)¯也是一个问同构。因此,复杂问-同构成对出现。我们将表示真实的复杂的由σr1+1,σr1+1¯,…;σr1+r2,σr1+r2¯. 尤其是,n=r1+2r2.
考虑C作为一个二维的向量空间R和1,一世作为标准依据。如果和=X+一世是∈C,乘以和是一个线性变换C进入自身R. 它的矩阵相对于基1,一世很容易被视为吨=(X是 −是X)与行列式

这⁡(吨)=X2+是2=|和|2
如果我们确定C, 作为一个向量空间R和R2, 通过地图X+一世是→(X 是), 然后Rr1×Cr2≅Rn.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Units of a Quadratic Field

让ķ=问(d)(d≠0,1, 一个无平方整数)是一个二次场。我们称之为ķ一个实二次场或一个虚二次场,根据d>0或者d<0. 如果ķ是一个虚构的二次场,那么r1=0,r2=1, 所以r=r1+r2−1=0. 在这种情况下,$\mathcal{O} {K}^{\times}=W {K},吨H和r○○吨s○F在n一世吨是一世nķ.在和l和一个在和一世吨一个s一个n和X和rC一世s和吨○d和吨和r米一世n和吨H一世sF一世n一世吨和Gr○在pW_{K}$。

对于实二次场,r=1并且单元组由以下推论给出。

推论 5.15。如果d>1是一个无平方整数并且ķ=问(d), 那么组

○ķ×≅±1×从.
特别是,Pell 方程X2−d是2=1有无穷多个整数解。
练习

  1. 确定结构○ķ×什么时候[ķ:问]=3和 4 。
  2. 使用狄利克雷单位定理求所有整数解5X2− 5是2=是4.
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

Finally we arrive at the main result of this chapter, a criterion for ramification, proved by Dedekind in $1882 .$

Theorem 4.37. Suppose $K / k$ is an extension of degree $n$ of number fields. A prime $\mathfrak{p}$ of $k$ ramifies in $K$ if and only if $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{o}{K / k}$. Proof. Let $$ \mathfrak{p O}=\mathfrak{P}{1}^{c_{1}} \ldots \mathfrak{P}{g}^{c{g}}
$$
be the factorization of $\mathfrak{p}$ into powers of distinct primes in $\mathcal{O}$. Since the ring
$$
\mathcal{O} / \mathrm{pO}=\mathcal{O} / \mathfrak{P}{1}^{e{1}} \ldots \mathfrak{P}{g}^{e{g}} \cong \mathcal{O} / \mathfrak{P}{1}^{e{1}} \times \ldots \times \mathcal{O} / \mathfrak{P}{g}^{e{g}}
$$

$\mathfrak{p}$ is ramified $\Leftrightarrow$ some $e_{j}>1 \Leftrightarrow \mathcal{O} / \mathfrak{P}{j}^{\epsilon{j}}$ is not reduced $\Leftrightarrow \mathcal{O} / \mathfrak{p O}$ is not reduced $\Leftrightarrow \mathfrak{d}{(\mathcal{O} / p \mathcal{O}) /(0 / p)}=(0)$. Thus we need to show that $\mathfrak{d}{(\mathcal{O} / p \mathcal{O}) /(\mathfrak{o} / \mathfrak{p})}=(0) \Leftrightarrow$ $p \mid \mathfrak{o}_{K / k}$.

Let $S=\mathfrak{o} \backslash \mathfrak{p}, A$ the localization of $\mathfrak{o}$ at $\mathfrak{p}, B=S^{-1} \mathcal{O}, \mathfrak{P}=S^{-1} \mathfrak{p}$, the maximal ideal of $A$. Since $\mathcal{O}$ is a finitely generated (but not necessarily free) o-module, $B$ is a finitely generated $A$-module, generated by the same elements. Now since $A$ is a principal ideal domain, $B$ has a basis over $A$, easily seen to consist of $n=[K: k]$ elements $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$. Since $S$ does not intersect any of the prime ideals of $\mathcal{O}$ lying above $\mathfrak{p}$, we have the following diagram:
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal{O} / \mathfrak{p O} & \cong & B / \mathfrak{P} B \
\mid & & \mid \
0 / \mathfrak{p} & \cong & A / \mathfrak{P}
\end{array}
$$
For $\beta$ in $B$, we denote by $\bar{\beta}$ its residue class in $B / \mathfrak{P B}$. The dimension of $\mathcal{O} / \mathfrak{p O}$ over $o / \mathfrak{p}$ is $n$ and so is the dimension of $B / \mathfrak{P B}$ over $A / \mathfrak{P}$. Since $\bar{\alpha}{1}, \ldots, \bar{\alpha}{n}$ generate $B / \mathfrak{P B}$ over $A / B$, by comparing dimensions, they must form a basis of $B / \mathfrak{P} B$ over $A / \mathfrak{P}$. Thus by Theorem $4.26$ and the diagram above, $\mathfrak{d}{(\mathcal{O} / \mathrm{pO}) /(\mathrm{o} / \mathrm{p})}=(0)$ if and only if $\Delta\left(\alpha{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=0$. Thus we show that $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{d}{K / k}$ if and only if $\Delta\left(\alpha{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathfrak{P}$.

First, let $\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathfrak{P}$. If $\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}$ is a basis of $K$ over $k$ consisting of elements in $\mathcal{O}$, then
$$
\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{j} \quad\left(a_{i j} \in A\right)
$$
which shows that $\Delta\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{Tr}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right)\right) \cdot\left(\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)\right)^{2} \in \mathcal{O} \cap \mathfrak{P}=\mathfrak{p}$. Hence, $\mathfrak{o}{K / k} \subseteq \mathfrak{p}$, i.e. $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{d}{K / k}$. Conversely, suppose $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{v}{K / k}$. If $\alpha{1}, \ldots, \alpha_{n}$ is a basis of $B$ over $A$, write each $\alpha_{j}=\beta_{j} / s$ with $\beta_{j}$ in $\mathcal{O}$ and $s$ in $S$. Then
$$
\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{tr}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right)\right)=\frac{1}{s^{2 n}} \operatorname{det}\left(\operatorname{tr}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right)\right)
$$
is in $A \mathfrak{o}_{K / k} \subseteq A \mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{P}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Lattices in R

If $\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n}$ and $r>0$, we call the subset
$$
B_{r}(\boldsymbol{a})=\left{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid \operatorname{dist}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|0$, such that $X \cap B_{r}(\boldsymbol{a})={\boldsymbol{a}}$. Consider $\mathbb{R}^{n}$ as an Abelian group under addition. A lattice in $\mathbb{R}^{n}$ is a discrete subgroup $L \neq{0}$ of $\mathbb{R}^{n}$. Let $d$ be the dimension of the subspace of $\mathbb{R}^{n}$ spanned by elements of a lattice $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$. Clearly, $d \leq n$. We call $d$ the rank of the lattice $L$. A lattice $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a full lattice if its rank is $n$.

Remark 5.1. Topologically speaking, $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a full lattice if and only if the quotient space $\mathbb{R}^{n} / L$ is compact.
EXERCISE
Show that $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a lattice if and only if it is a $\mathbb{Z}$-module
$$
L=\mathbb{Z} v_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} v_{d}
$$
57

for some vectors $\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{d}$ in $L$. The expression (5.2) means that each $\boldsymbol{v}$ in $L$ has a unique representation
$$
\boldsymbol{v}=a_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+a{d} \boldsymbol{v}{d} $$ with $a{j} \in \mathbb{Z}$.
Hint: If $d=1$, choose $\boldsymbol{v}{1} \neq \mathbf{0}$, a vector in $L$ nearest to $\mathbf{0}$. This is possible, because $L$ is discrete. Then, clearly every vector $v$ in $L$ has a unique representation $v=a \boldsymbol{v}{1}$ for $a$ in $\mathbb{Z}$, for if $\boldsymbol{v}=(a+r) \boldsymbol{v}{1}$ with $0{1} \in L$, contradicting the choice of $\boldsymbol{v}_{1}$. For $d>1$, use induction on $d$.

We now give a characterization for a lattice to be full, which is more suitable for our purpose.

Theorem 5.2. A lattice $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is full if and only if there is a bounded set $Y \subseteq \mathbb{R}^{n}$ such that
$$
\mathbb{R}^{n}=\cup_{\boldsymbol{v} \in L}(\boldsymbol{v}+Y)
$$
Here, $\boldsymbol{v}+Y={v+\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{y} \in Y}$. Before proving the proposition, we define a useful term.
Definition 5.3. Let
$$
L=\mathbb{Z} \boldsymbol{v}{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \boldsymbol{v}{n}
$$
be a full lattice in $\mathbb{R}^{n}$. The set
$$
P=\left{c_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{v}{n} \mid 0 \leq c{j}<1\right}
$$
is called a fundamental parallelepiped of $L$. It depends on the $\mathbb{Z}$-basis $\left{v_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}$ of $L$. Clearly $P$ is bounded and $$ \mathbb{R}^{n}=\cup{\boldsymbol{v} \in L}(\boldsymbol{v}+P),
$$
a disjoint union of translates $v+P$ of $P$ by elements of $L$.
Proof. If $L$ is full, we can take $Y$ to be a fundamental parallelepiped of $L$.
Conversely, suppose a bounded set $Y \subseteq \mathbb{R}^{n}$ exists with the property (5.3) and $L$ is not full. We show that this leads to a contradiction.

Let $W$ be the subspace of $\mathbb{R}^{n}$ spanned by the vectors in $L$. Then $d=$ $\operatorname{dim} W<n$. Consider $\mathbb{R}^{n}$ as an inner product space with the dot product of vectors. Choose a unit vector $\boldsymbol{v}{d+1}$ (by the Gram-Schmidt Process) which is perpendicular to every vector of $W$. Let $r>0$ such that $Y \subseteq B{r}(\mathbf{0})$. It is easy to see that if $\boldsymbol{w}=a \boldsymbol{v}{d+1}$ is a vector in $\mathbb{R}^{n}$ with $a>r$, then $\boldsymbol{w} \notin \cup{\boldsymbol{v} \in L}(\boldsymbol{v}+Y)$. This is a contradiction.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

代数数论代考

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最后,我们得出了本章的主要结果,即分枝标准,由 Dedekind 在1882.

定理 4.37。认为ķ/ķ是学位的延伸n的数字字段。一个素数p的ķ延伸到ķ当且仅当p∣○ķ/ķ. 证明。让

p○=磷1C1…磷GCG
是因式分解p成不同素数的幂○. 自从戒指

○/p○=○/磷1和1…磷G和G≅○/磷1和1×…×○/磷G和G

p是分枝的⇔一些和j>1⇔○/磷jεj不减少⇔○/p○不减少⇔d(○/p○)/(0/p)=(0). 因此我们需要证明d(○/p○)/(○/p)=(0)⇔ p∣○ķ/ķ.

让小号=○∖p,一个的本地化○在p,乙=小号−1○,磷=小号−1p, 的最大理想一个. 自从○是一个有限生成的(但不一定是自由的)o-module,乙是一个有限生成的一个-module,由相同的元素生成。现在自从一个是一个主理想域,乙有一个基础一个,很容易看出由n=[ķ:ķ]元素一个1,…,一个n. 自从小号不与任何主要理想相交○躺在上面p,我们有下图:

○/p○≅乙/磷乙 ∣∣ 0/p≅一个/磷
为了b在乙,我们表示为b¯它的残基类在乙/磷乙. 的维度○/p○超过○/p是n的维度也是如此乙/磷乙超过一个/磷. 自从一个¯1,…,一个¯n产生乙/磷乙超过一个/乙,通过比较维度,它们必须形成一个基础乙/磷乙超过一个/磷. 因此由定理4.26和上图,d(○/p○)/(○/p)=(0)当且仅当Δ(一个1,…,一个n)=0. 因此我们证明p∣dķ/ķ当且仅当Δ(一个1,…,一个n)∈磷.

首先,让Δ(一个1,…,一个n)∈磷. 如果\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}是一个基础ķ超过ķ由元素组成○, 然后

b一世=∑j=1n一个一世j一个j(一个一世j∈一个)
这表明Δ(b1,…,bn)=这⁡(Tr⁡(一个一世一个j))⋅(这⁡(一个一世j))2∈○∩磷=p. 因此,○ķ/ķ⊆p, IEp∣dķ/ķ. 相反,假设p∣在ķ/ķ. 如果一个1,…,一个n是一个基础乙超过一个,写每个一个j=bj/s和bj在○和s在小号. 然后

Δ(一个1,…,一个n)=这⁡(tr⁡(一个一世一个j))=1s2n这⁡(tr⁡(b一世bj))
在一个○ķ/ķ⊆一个p⊆磷.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Lattices in R

如果一个∈Rn和r>0, 我们称子集
$$
B_{r}(\boldsymbol{a})=\left{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid \operatorname{dist}(\boldsymbol{x }, \boldsymbol{a})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|0,s在CH吨H一个吨X \cap B_{r}(\boldsymbol{a})={\boldsymbol{a}}.C○ns一世d和r\mathbb{R}^{n}一个s一个n一个b和l一世一个nGr○在p在nd和r一个dd一世吨一世○n.一个l一个吨吨一世C和一世n\mathbb{R}^{n}一世s一个d一世sCr和吨和s在bGr○在pL \ neq {0}○F\mathbb{R}^{n}.大号和吨db和吨H和d一世米和ns一世○n○F吨H和s在bsp一个C和○F\mathbb{R}^{n}sp一个nn和db是和l和米和n吨s○F一个l一个吨吨一世C和L \subseteq \mathbb{R}^{n}.Cl和一个rl是,d \leq n.在和C一个lld吨H和r一个nķ○F吨H和l一个吨吨一世C和大号.一个l一个吨吨一世C和L \subseteq \mathbb{R}^{n}一世s一个F在lll一个吨吨一世C和一世F一世吨sr一个nķ一世sn$。

备注 5.1。从拓扑上讲,大号⊆Rn是满格当且仅当商空间Rn/大号紧凑。
锻炼
证明大号⊆Rn是格当且仅当它是从-模块

大号=从在1⊕…⊕从在d
57

对于一些向量在1,…,在d在大号. 表达式 (5.2) 意味着每个在在大号具有独特的代表性

在=一个1在1+⋯+一个d在d和一个j∈从.
提示:如果d=1, 选择在1≠0,一个向量在大号最接近0. 这是可能的,因为大号是离散的。然后,显然每个向量在在大号具有独特的代表性在=一个在1为了一个在从, 如果在=(一个+r)在1和01∈大号, 与选择相矛盾在1. 为了d>1, 使用归纳法d.

我们现在给出一个满格的特征,这更适合我们的目的。

定理 5.2。一个格子大号⊆Rn是满的当且仅当有一个有界集合是⊆Rn这样

Rn=∪在∈大号(在+是)
这里,在+是=在+是∣是∈是. 在证明命题之前,我们定义一个有用的术语。
定义 5.3。让

大号=从在1⊕…⊕从在n
成为一个完整的格子Rn. 套装

P=\left{c_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{v}{n} \mid 0 \leq c{j}<1\right}P=\left{c_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{v}{n} \mid 0 \leq c{j}<1\right}
被称为基本平行六面体大号. 这取决于从-基础\left{v_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}\left{v_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}的大号. 清楚地磷是有界的并且

Rn=∪在∈大号(在+磷),
翻译的脱节联合在+磷的磷通过元素大号.
证明。如果大号满了,我们可以拿是成为一个基本的平行六面体大号.
相反,假设一个有界集是⊆Rn与属性 (5.3) 并存大号未满。我们证明这会导致矛盾。

让在成为的子空间Rn由向量跨越大号. 然后d= 暗淡⁡在<n. 考虑Rn作为向量点积的内积空间。选择单位向量在d+1(通过 Gram-Schmidt 过程),它垂直于在. 让r>0这样是⊆乙r(0). 很容易看出,如果在=一个在d+1是一个向量Rn和一个>r, 然后在∉∪在∈大号(在+是). 这是一个矛盾。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic number theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

Suppose $B_{1}, \ldots, B_{r}$ are commutative rings with 1 . We define their direct product as the Cartesian product $B=B_{1} \times \cdots \times B_{r}$, with addition and multiplication taken component-wise. Each $B_{j}$ may be regarded as a subring of $B$ via the obvious inclusion map, e.g. $B_{1} \ni b_{1} \rightarrow\left(b_{1}, 0, \ldots, 0\right) \in B$.

If $A$ is a subring of each $B_{j}$, then $A$ may be regarded as a subring of the direct product $B=B_{1} \times \cdots \times B_{r}$, via the map $A \ni a \rightarrow(a, \ldots, a) \in B$.

Theorem 4.25. Suppose $A$ with 1 is a subring of each $B_{j}$ and every $B_{j}$ is a free A-module of rank $n_{j}$. Then the direct product $B=B_{1} \times \cdots \times B_{r}$ is a free module of rank $n_{1}+\cdots+n_{r}$. Moreover
$$
\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_{1} / A} \cdots \mathfrak{d}{B{r} / A}
$$
Proof. We only need to prove (4.6). To simplify notation, we prove it for $r=2$. For $r>2$, the proof is similar.

Put $n_{1}=m$ and $n_{2}=n$. Let $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ be a basis of $B_{1}$ over $A$ and $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ be a basis of $B_{2}$ over $A$. As $A$-modules, if we identify $B_{1}$ and $B_{2}$ with the submodules $B_{1} \times{0}$ and ${0} \times B_{2}$ of $B=B_{1} \times B_{2}$, then $\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}$ is a basis of $B$ over $A$. Moreover, for all $i, j$, we have $\alpha_{i} \beta_{j}=0$. Hence $\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)$ is the determinant of the matrix
$$
\left(\begin{array}{c|l}
\operatorname{tr}{B{1} / A}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right) & \
\hline & \operatorname{tr}{B{2} / A}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right)
\end{array}\right)
$$
This shows that
$$
\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)=\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}\right) \Delta\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)
$$
Therefore, $\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_{1} / A} \mathfrak{d}{B{2} / A}$.
Suppose $A$ is a subring of $B$. Let $\mathfrak{a}$ be an ideal of $A$ and $\mathfrak{b}=\mathfrak{a} B$ be the ideal of $B$ generated by a. For $\alpha$ in $A$ and $\beta$ in $B$, let $\bar{\alpha}$ and $\bar{\beta}$ denote the residue class of $\alpha$ in $A / a$ and that of $\beta$ in $B / \mathfrak{b}$, respectively.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Nilradical

Definition 4.30. An element of a commutative ring $A$ with 1 is nilpotent if $a^{m}=0$ for some $m$ in $\mathbb{Z}$.

Theorem 4.31. The set nil $(A)$ of all nilpotent elements of $A$ is an ideal of A.

The ideal nil $(A)$ is called the nilradical of $A$.
Proof. Let $x, y \in \operatorname{nil}(A)$. Then for some $m, n$ in $\mathbb{N}, x^{m}=y^{n}=0$. If $l=m+n$, then it follows from the Binomial Theorem, that $(x+y)^{l}=0$. On the other hand, if $a \in A$, then $(a x)^{m}=a^{m} x^{m}=0$. This proves that nil $(A)$ is an ideal of $A$.

Theorem 4.32. The nilradical, $\operatorname{nil}(A)$, is the intersection of all prime ideals of $A$.

Proof. If $x$ in $A$ is nilpotent, then for some $m$ in $\mathbb{N}, x^{m}=0$. Hence $x \in \mathfrak{p}$, for all prime ideals $p$ of $A$.

Conversely, suppose $x$ is not nilpotent, that is $x^{m} \neq 0$ for all $m$ in $\mathbb{N}$. We show that there is at least one prime ideal $\mathfrak{p}$ such that $x \notin p$. Let $S$ be the set of ideals a of $A$, such that $x^{m} \notin \mathfrak{a}$ for all $m$ in $\mathbb{N}$. Clearly, $S$ is not empty, since the zero ideal $(0) \in S$. By Zorn’s Lemma, let $p$ be a maximal element of $S$. We shall show that $\mathfrak{p}$ is prime. If not, then there are $x, y$ in $A \backslash \mathfrak{p}$ with $x y$ in $\mathfrak{p}$. Then the ideals $\boldsymbol{a}=(\mathfrak{p}, x)$ and $\mathbf{b}=(\mathfrak{p}, y)$ both properly contain $\mathfrak{p}$. By the choice of $\mathfrak{p}$, for some $m, n$ in $\mathbb{N}, x^{m} \in \mathfrak{a}, x^{n} \in \mathfrak{b}$. This shows that $x^{m+n} \in \mathfrak{a b} \subseteq \mathfrak{p}$, implying $\mathfrak{p} \notin S$. This contradiction proves that $\mathfrak{p}$ is prime.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Reduced Rings

Definition 4.33. A commutative ring $A$ with 1 is reduced if $\operatorname{nil}(A)=(0)$.
Example 4.34.

  1. An integral domain is reduced.
  2. The product $A_{1} \times \ldots \times A_{r}$ is reduced if all $A_{j}$ are reduced.
    Theorem 4.35. Suppose $K$ is a number field and $\mathfrak{P}$ a prime ideal of $\mathcal{O}=\mathcal{O}_{K}$. The quotient ring $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$ is reduced if and only if $e=1$.

Proof. If $e=1$, then $\mathcal{O} / \mathfrak{F}$ is a field, hence reduced. On the other hand, if $e>0$, choose $\pi$ in $\mathfrak{P}-\mathfrak{P}^{2}$. Then $\pi \neq 0$ in $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$, but $\pi^{e}=0$ in $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$. Therefore, $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$ is not reduced.

Now let $A$ be a subring of a commutative ring $B$, both with 1 . Suppose $B$ is a free $A$-module of rank $n$.

Theorem 4.36. If $A$ is a finite field, then $B$ is reduced if and only if $\mathfrak{D}_{B / A} \neq$ $(0)$.

Proof. First suppose that $B$ is not reduced, that is, it has a nilpotent element $\alpha \neq 0$. $A$ being a field, $\alpha$ can be completed into a basis $\alpha_{1}=\alpha, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ of the vector space $B$ over $A$. Now all the elements $\alpha_{1} \alpha_{j}, j=1, \ldots, n$ are also nilpotent and since the matrix for a nilpotent element is also nilpotent, its trace is zero (why?). Hence the first row of the matrix $\left(\operatorname{tr}\left(\alpha_{1} \alpha_{j}\right)\right)$ consists of zeros only, which shows that
$$
\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{tr}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right)\right)=0
$$
Therefore, $\mathfrak{o}{B / A}=(0)$. Conversely, suppose $B$ is reduced, i.e. $\operatorname{nil}(B)={0}$. Since $\operatorname{nil}(B)$ is the intersection of all prime ideals and $B$ is finite, $$ (0)=\mathfrak{F}{1} \cap \ldots \cap \mathfrak{P}{r}\left(\mathfrak{P}{i} \neq \mathfrak{P}{j} \text { for } i \neq j\right) . $$ Every $B / \mathfrak{P}{j}$, being a finite integral domain, is a field, hence all $\mathfrak{P}{j}$ are maximal and therefore coprime in pairs, and $$ \mathfrak{F}{1} \cap \ldots \cap \mathfrak{P}{r}=\mathfrak{P}{1} \ldots \mathfrak{P}{r} $$ By the Corollary $4.28$, $$ B=B /(0)=B / \mathfrak{P}{1} \ldots \mathfrak{P}{r} \cong B / \mathfrak{P}{1} \times \ldots \times B / \mathfrak{P}{r} . $$ By Theorem 4.25, $$ \mathfrak{o}{B / A}=\mathfrak{o}{\left(B / \mathfrak{F}{1}\right) / A} \cdots \mathfrak{o}{\left(B / \mathfrak{F}{\mathrm{r}}\right) / A} .
$$
Since $A$ is a field, each $\mathfrak{o}{\left(B / \mathfrak{P}{j}\right) / A} \neq(0)$. Hence $\mathfrak{d}_{B / A} \neq(0)$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

认为乙1,…,乙r是与 1 的交换环。我们将他们的直积定义为笛卡尔积乙=乙1×⋯×乙r, 加法和乘法是按分量计算的。每个乙j可以看作是一个子环乙通过明显的包含图,例如乙1∋b1→(b1,0,…,0)∈乙.

如果一个是每个的子环乙j, 然后一个可视为直积的子环乙=乙1×⋯×乙r, 通过地图一个∋一个→(一个,…,一个)∈乙.

定理 4.25。认为一个其中 1 是每个的子环乙j和每一个乙j是秩的自由 A 模nj. 然后是直接产品乙=乙1×⋯×乙r是一个免费的等级模块n1+⋯+nr. 而且

d乙/一个=d乙1/一个⋯d乙r/一个
证明。我们只需要证明(4.6)。为了简化符号,我们证明它r=2. 为了r>2,证明类似。

放n1=米和n2=n. 让一个1,…,一个米成为基础乙1超过一个和b1,…,bn成为基础乙2超过一个. 作为一个-modules,如果我们确定乙1和乙2与子模块乙1×0和0×乙2的乙=乙1×乙2, 然后\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}是一个基础乙超过一个. 此外,对于所有一世,j, 我们有一个一世bj=0. 因此Δ(一个1,…,一个米;b1,…,bn)是矩阵的行列式

\left(\begin{array}{c|l} \operatorname{tr}{B{1} / A}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right) & \ \hline & \operatorname{ tr}{B{2} / A}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|l} \operatorname{tr}{B{1} / A}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right) & \ \hline & \operatorname{ tr}{B{2} / A}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right) \end{array}\right)
这表明

Δ(一个1,…,一个米;b1,…,bn)=Δ(一个1,…,一个米)Δ(b1,…,bn)
所以,d乙/一个=d乙1/一个d乙2/一个.
认为一个是一个子环乙. 让一个做一个理想的人一个和b=一个乙成为理想的乙由 a 生成。为了一个在一个和b在乙, 让一个¯和b¯表示剩余类一个在一个/一个和那个b在乙/b, 分别。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Nilradical

定义 4.30。交换环的一个元素一个如果 1 是幂零的一个米=0对于一些米在从.

定理 4.31。设置为零(一个)的所有幂零元素一个是A的理想。

理想的零(一个)被称为 nilradical一个.
证明。让X,是∈零⁡(一个). 然后对于一些米,n在ñ,X米=是n=0. 如果l=米+n,那么从二项式定理可以得出,(X+是)l=0. 另一方面,如果一个∈一个, 然后(一个X)米=一个米X米=0. 这证明了零(一个)是一个理想的一个.

定理 4.32。非激进的,零⁡(一个), 是所有素理想的交集一个.

证明。如果X在一个是幂零的,那么对于一些米在ñ,X米=0. 因此X∈p, 对于所有素理想p的一个.

相反,假设X不是幂零的,即X米≠0对所有人米在ñ. 我们证明至少存在一个素理想p这样X∉p. 让小号是一组理想 a 的一个, 这样X米∉一个对所有人米在ñ. 清楚地,小号不为空,因为零理想(0)∈小号. 根据 Zorn 引理,让p成为的最大元素小号. 我们将证明p是素数。如果没有,那么有X,是在一个∖p和X是在p. 然后是理想一个=(p,X)和b=(p,是)两者都正确包含p. 通过选择p, 对于一些米,n在ñ,X米∈一个,Xn∈b. 这表明X米+n∈一个b⊆p, 暗示p∉小号. 这个矛盾证明p是素数。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Reduced Rings

定义 4.33。交换环一个与 1 减少如果零⁡(一个)=(0).
例 4.34。

  1. 减少了一个积分域。
  2. 产品一个1×…×一个r如果全部减少一个j被减少。
    定理 4.35。认为ķ是一个数字字段并且磷的首要理想○=○ķ. 商圈○/磷和当且仅当和=1.

证明。如果和=1, 然后○/F是一个场,因此减少了。另一方面,如果和>0, 选择圆周率在磷−磷2. 然后圆周率≠0在○/磷和, 但圆周率和=0在○/磷和. 所以,○/磷和没有减少。

现在让一个是交换环的子环乙, 都为 1 。认为乙是免费的一个- 等级模块n.

定理 4.36。如果一个是一个有限域,那么乙当且仅当D乙/一个≠ (0).

证明。首先假设乙不减少,即它有一个幂零元素一个≠0. 一个作为一个领域,一个可以完成成基础一个1=一个,一个2,…,一个n向量空间的乙超过一个. 现在所有元素一个1一个j,j=1,…,n也是幂零的,因为幂零元素的矩阵也是幂零的,所以它的迹为零(为什么?)。因此矩阵的第一行(tr⁡(一个1一个j))仅由零组成,这表明

Δ(一个1,…,一个n)=这⁡(tr⁡(一个一世一个j))=0
所以,○乙/一个=(0). 相反,假设乙减少,即零⁡(乙)=0. 自从零⁡(乙)是所有素理想的交集,并且乙是有限的,

(0)=F1∩…∩磷r(磷一世≠磷j 为了 一世≠j).每一个乙/磷j,作为有限积分域,是一个域,因此所有磷j是最大的,因此成对互质,并且

F1∩…∩磷r=磷1…磷r由推论4.28,

乙=乙/(0)=乙/磷1…磷r≅乙/磷1×…×乙/磷r.根据定理 4.25,

○乙/一个=○(乙/F1)/一个⋯○(乙/Fr)/一个.
自从一个是一个场,每个○(乙/磷j)/一个≠(0). 因此d乙/一个≠(0).

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统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

In the last section, we proved that the nonzero fractional ideals of a Dedekind domain $A$ with quotient field $K$, form an Abelian group $I$ under the operation

of multiplication of ideals. The nonzero principal fractional ideals, that is the ideals of the form $\alpha A={\alpha a \mid a \in A}$ with $\alpha \neq 0$ in $K$, form a subgroup $P$ of $I$. The quotient group $I / P$ is called the ideal class group of $K$. The elements of $I / P$ are called the ideal classes. The cardinality of the ideal class group is called the class number of $K$. We will denote the class number of $K$ by $h_{K}$. In this section we shall show that the class number of a number field is finite, in which $A=\mathcal{O}_{K}$.

Recall that for a nonzero ideal $a$ of $\mathcal{O}{K}$, its norm $N(\mathrm{a})$ is the cardinality of the quotient ring $\mathcal{O}{K} / a$. We have seen that this cardinality is finite.

Theorem 3.67. Suppose $(\alpha)=\alpha \mathcal{O}{K}$ is a principal ideal of $\mathcal{O}{K}$. Then we have
$$
N((\alpha))=\left|N_{K / Q}(\alpha)\right|
$$
Proof. If $\alpha=0$ there is nothing to prove, Otherwise, write $\mathcal{O}{K}=\mathbb{Z} \alpha{1} \oplus$ $\cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha_{n}$, where $n=[K: \mathbb{Q}]$. By Proposition $3.42$, we can also write $((\alpha))=$ $\mathbb{Z} \beta_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \beta_{n}$, where
$$
\beta_{i}=\sum_{j=i}^{n} a_{j i} \alpha_{j}
$$
with $a_{i i}>0$. By Theorem 3.47, $N((\alpha))=a_{11} \ldots a_{n n}$. On the other hand,
$$
(\alpha)=\mathbb{Z} \alpha \alpha_{1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha \alpha_{n}
$$
which shows that $\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}$ is a $\mathbb{Z}$-basis of $(\alpha)$. The transition matrix $U$ from $\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}$ to $\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}$ is unimodular. If for $i<j$ we let $a_{i j}=0$ and put $M=\left(a_{i j}\right)$, then
$$
\alpha\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1} \
\vdots \
\alpha_{n}
\end{array}\right)=U M\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1} \
\vdots \
\alpha_{n}
\end{array}\right)
$$
Therefore,
$$
\left|N_{K / \mathbb{Q}}(\alpha)\right|=|\operatorname{det}(U M)|=|\operatorname{det}(M)|=\left|N\left(\alpha \mathcal{O}_{K}\right)\right|
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Arithmetic in Relative Extensions

Throughout this chapter, $K$ will denote a number field and $k$ a subfield of $K$. The extension $K / k$ will be called a relative extension of number fields. We put $\mathfrak{o}=\mathcal{O}{k}$ and $\mathcal{O}=\mathcal{O}{K}$.

Theorem 4.1. $\mathcal{O}{K}={\alpha \in K \mid f(\alpha)=0$ for a monic polynomial $f(x)$ in o $[x]}$ Proof. We only have to show that any $\alpha$ in $K$ which satisfies a monic polynomial $f(x)$ in $o[x]$ is an algebraic integer. Let $$ f(x)=a{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+x^{n}
$$
with $a_{j}$ in 0 . Since $a_{j}$ are algebraic integers,
$$
M=\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\right]
$$
is a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, and so is
$$
\mathbb{Z}\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}, \alpha\right]=M+M \alpha+\cdots+M \alpha^{n-1}
$$
Since $\mathbb{Z}[\alpha]$ is a submodule of a finitely generated $\mathbb{Z}$-module, $\mathbb{Z}[\alpha]$ is also a finitely generated ZZ-module, which shows that $\alpha$ is an algebraic integer.

Remark 4.2. This theorem allows us to regard $K / \mathbb{Q}$ as a special case of the relative extension $K / k$ of number fields with $k=\mathbb{Q}$.
EXERCISE
Let $k \subseteq K \subseteq L$ be number fields with $[K: k]=n$ and $[L: K]=m$. Let $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n}$ be the distinct $k$-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$. Show that each $\sigma_{i}$ extends to $m$ distinct $k$-isomorphisms $\sigma_{i j}: L \rightarrow \mathbb{C}$.

Hint: Let $L=K(\theta)$ and $\tau_{1}, \ldots, \tau_{m}$ be the $m$ distinct $K$-isomorphisms of $L$ into $\mathbb{C}$. If we write $\alpha$ in $L$ as
$$
\alpha=a_{0}+a_{1} \theta+\cdots+a_{m-1} \theta^{m-1}
$$
with coefficients in $K$, put
$$
\sigma_{i j}(\alpha)=\sigma_{i}\left(a_{0}\right)+\sigma_{i}\left(a_{1}\right) \tau_{j}(\theta)+\cdots+\sigma_{i}\left(a_{m-1}\right) \tau_{j}\left(\theta^{m-1}\right)
$$
Recall the following.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Criterion for Ramification

We now start preparing to show that if $K / k$ is an extension of number fields, the number of primes which ramify in $K$ is finite. In fact, we shall point out exactly which primes in $k$ ramify in $K$.
Definition 4.11. The complementary set of $\mathcal{O}$ relative to $o$ is the set
$$
\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right}
$$
Theorem 4.12. The complementary set $\mathcal{O}^{\prime}$ is a fractional ideal and contains O.

Proof. It is obvious from the properties of the trace map and definition of $\mathcal{O}^{\prime}$ that $\mathcal{O}^{\prime}$ is an $\mathcal{O}$-module and that $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{O}^{\prime}$. All we have to do is to produce a nonzero element $d$ of $\mathfrak{o}$ such that $d \mathcal{O}^{\prime} \subseteq \mathcal{O}$.

Fix a basis $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ of $K$ over $k$, consisting of elements of $\mathcal{O}$. If $\alpha \in K$, write
$$
\alpha=a_{1} \alpha_{1}+\cdots+a_{n} \alpha_{n} \quad\left(a_{j} \in k\right) .
$$
Then for each $i=1, \ldots, n$,
$$
\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha \alpha{i}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{j} \operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)=b_{i} \in \mathfrak{0}
$$

or in the matrix notation
$$
\left(\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1} \
\vdots \
a_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_{1} \
\vdots \
b_{n}
\end{array}\right)
$$
Since the matrix ( $\left.\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)\right) \in G L(n, o)$, solving by Cramer’s rule, we see that $d a_{j} \in 0$, where $d=\operatorname{det}\left(\operatorname{Tr}{K / k}\left(\alpha{i} \alpha_{j}\right)\right)$ is a nonzero element of $\mathfrak{o}$.
Definition 4.13. The integral ideal
$$
\mathfrak{D}{K / k}=\mathcal{O}^{\prime-1} $$ is called the different of $K / k$. Definition 4.14. The ideal $\mathfrak{d}{K / k}=N_{K / k}\left(\mathfrak{D}{K / k}\right)$ of $\mathfrak{o}$ is called the discriminant of $K / k$. The following is also clear from the proof of Theorem 4.12. Theorem 4.15. The ideal $\mathfrak{o}{K / Q}$ is generated by the discriminant $d_{K}$ of $K$, that is, $\mathfrak{o}{K / Q}=d{K} \mathbb{Z}$.

The rest of the chapter is devoted to prove that a prime $\mathfrak{F}$ of $K$ is ramified if and only if $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{D}{K / k}$, and a prime $\mathfrak{p}$ of $k$ is ramified if and only if $\mathfrak{p} \mid d{K / k}$. In particular, there are only finitely many primes of $\mathbb{Q}$ which ramify in a number field $K$. These are exactly the primes which appear in the unique factorization of $d_{K}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Ideal Class Group and Class Number

在上一节中,我们证明了 Dedekind 域的非零分数理想一个有商场ķ, 形成一个阿贝尔群我在操作下

理想的乘法。非零主分数理想,即理想形式一个一个=一个一个∣一个∈一个和一个≠0在ķ, 形成一个子群磷的我. 商群我/磷被称为理想类群ķ. 的元素我/磷被称为理想类。理想类群的基数称为类数ķ. 我们将表示班级编号ķ经过Hķ. 在本节中,我们将证明数域的类数是有限的,其中一个=○ķ.

回想一下,对于非零理想一个的○ķ, 其范数ñ(一个)是商环的基数○ķ/一个. 我们已经看到这种基数是有限的。

定理 3.67。假设$(\alpha)=\alpha\mathcal {O} {K一世s一个pr一世nC一世p一个l一世d和一个l○F\mathcal{O} {K}.吨H和n在和H一个在和ñ((一个))=|ñķ/问(一个)|磷r○○F.我F\alpha=0吨H和r和一世sn○吨H一世nG吨○pr○在和,○吨H和r在一世s和,在r一世吨和\ mathcal {O} {K} = \ mathbb {Z} \ alpha {1} \ oplus\cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha_{n},在H和r和n=[K: \mathbb{Q}].乙是磷r○p○s一世吨一世○n3.42,在和C一个n一个ls○在r一世吨和((\alpha))=\mathbb{Z} \beta_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \beta_{n},在H和r和b一世=∑j=一世n一个j一世一个j在一世吨Ha_{ii}>0.乙是吨H和○r和米3.47,N((\alpha))=a_{11} \ldots a_{nn}.○n吨H和○吨H和rH一个nd,(一个)=从一个一个1⊕⋯⊕从一个一个n在H一世CHsH○在s吨H一个吨\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}一世s一个\mathbb {Z}−b一个s一世s○F(\α).吨H和吨r一个ns一世吨一世○n米一个吨r一世X在Fr○米\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}吨○\left{\alpha \alpha_{1}, \ldots, \alpha \alpha_{n}\right}一世s在n一世米○d在l一个r.我FF○r我<j在和l和吨a_{ij}=0一个ndp在吨M=\left(a_{ij}\right),吨H和n一个(一个1 ⋮ 一个n)=在米(一个1 ⋮ 一个n)吨H和r和F○r和,|ñķ/问(一个)|=|这⁡(在米)|=|这⁡(米)|=|ñ(一个○ķ)|$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Arithmetic in Relative Extensions

在这一章中,ķ将表示一个数字字段和ķ的一个子领域ķ. 扩展名ķ/ķ将被称为数字字段的相对扩展。我们把○=○ķ和○=○ķ.

定理 4.1。○ķ=一个∈ķ∣F(一个)=0$F○r一个米○n一世Cp○l是n○米一世一个l$F(X)$一世n○$[X]证明。我们只需要证明任何一个在ķ满足一元多项式F(X)在○[X]是代数整数。让

F(X)=一个0+一个1X+⋯+一个n−1Xn−1+Xn
和一个j在 0 。自从一个j是代数整数,

米=从[一个0,一个1,…,一个n−1]
是一个有限生成的从-module,也是如此

从[一个0,一个1,…,一个n−1,一个]=米+米一个+⋯+米一个n−1
自从从[一个]是一个有限生成的子模从-模块,从[一个]也是一个有限生成的 ZZ 模,这表明一个是代数整数。

备注 4.2。这个定理允许我们考虑ķ/问作为相对扩展的特例ķ/ķ的数字字段ķ=问.
锻炼
让ķ⊆ķ⊆大号是数字字段[ķ:ķ]=n和[大号:ķ]=米. 让σ1,…,σn与众不同ķ- 的同构ķ进入C. 表明每个σ一世延伸至米清楚的ķ-同构σ一世j:大号→C.

提示:让大号=ķ(θ)和τ1,…,τ米成为米清楚的ķ- 的同构大号进入C. 如果我们写一个在大号作为

一个=一个0+一个1θ+⋯+一个米−1θ米−1
系数在ķ, 放

σ一世j(一个)=σ一世(一个0)+σ一世(一个1)τj(θ)+⋯+σ一世(一个米−1)τj(θ米−1)
回想以下内容。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Criterion for Ramification

我们现在开始准备证明,如果ķ/ķ是数域的扩展,即在ķ是有限的。事实上,我们将准确指出哪些素数在ķ分枝于ķ.
定义 4.11。互补的集合○关系到○是集合

\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right }\mathcal{O}^{\prime}=\left{\alpha \in K \mid \operatorname{Tr}_{K / k}(\alpha \mathcal{O}) \subseteq \mathfrak{o}\right }
定理 4.12。互补集○′是一个分数理想并且包含 O。

证明。从迹图的性质和定义可以看出○′那○′是一个○-模块和那个○⊆○′. 我们所要做的就是产生一个非零元素d的○这样d○′⊆○.

确定一个基础一个1,…,一个n的ķ超过ķ,由以下元素组成○. 如果一个∈ķ, 写

一个=一个1一个1+⋯+一个n一个n(一个j∈ķ).
那么对于每个一世=1,…,n,

Tr⁡ķ/ķ(一个一个一世)=∑j=1n一个jTr⁡ķ/ķ(一个一世一个j)=b一世∈0

或在矩阵符号中

(Tr⁡ķ/ķ(一个一世一个j))(一个1 ⋮ 一个n)=(b1 ⋮ bn)
由于矩阵 (Tr⁡ķ/ķ(一个一世一个j))∈G大号(n,○),通过克莱默规则求解,我们看到d一个j∈0, 在哪里d=这⁡(Tr⁡ķ/ķ(一个一世一个j))是一个非零元素○.
定义 4.13。整体理想

Dķ/ķ=○′−1被称为不同的ķ/ķ. 定义 4.14。理想dķ/ķ=ñķ/ķ(Dķ/ķ)的○被称为判别式ķ/ķ. 从定理 4.12 的证明中也可以清楚地看到以下内容。定理 4.15。理想○ķ/问由判别式生成dķ的ķ, 那是,○ķ/问=dķ从.

本章的其余部分致力于证明一个素数F的ķ当且仅当磷∣Dķ/ķ, 和一个素数p的ķ当且仅当p∣dķ/ķ. 特别是,只有有限多个素数问在数字字段中分枝ķ. 这些正是出现在唯一因式分解中的素数dķ.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

Let $A$ be a commutative ring with 1 . Suppose $M \neq{0}$ is an $A$-module. We say that $M$ is a free $A$ – module of rank $n$ ( $n$ being an integer $\geq 1$ ) if there are $n$ elements $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ in $M$ such that every element $\alpha$ of $M$ can be uniquely written as
$$
\alpha=a_{1} \alpha_{1}+\cdots+a_{n} \alpha_{n}
$$
with $a_{j}$ in $A$. We write it as
$$
M=A \alpha_{1} \oplus \ldots \oplus A \alpha_{n}
$$
The set $\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}$ is called a basis of $M$ over $A$. If the elements of a basis are taken in a fixed order, it is called an ordered basis. In this section, we shall prove that for a number field $K$, its ring of integers $\mathcal{O}_{K}$ is a free $\mathbb{Z}$-module of rank $[K: k]$. We recall some basic facts needed from linear algebra and Galois theory.

Suppose $x=\left(x_{i j}\right)$ is in $M(n, A)$, that is $x$ is an $n$ by $n$ matrix with entries in $A$.

Definition 3.13. The trace $\operatorname{tr}(x)$ of $x$ is the sum $x_{11}+\cdots+x_{n n}$ of the diagonal entries of $x$.
The following theorem is obvious.
Theorem 3.14. Let $x, y$ be in $M(n, A)$ and $a$ in $A$. Then
(1) $\operatorname{tr}(x+y)=\operatorname{tr}(x)+\operatorname{tr}(y)$.
(2) $\operatorname{tr}(a x)=a \operatorname{tr}(x)$
(3) $\operatorname{tr}(x y)=\operatorname{tr}(y x)$.
Now suppose $M$ a free $A$-module of rank $n$ over $A$. Let $\lambda: M \rightarrow M$ be a homomorphism of $A$-modules, or simply an A-homomorphism. We associate a matrix $L$ over $A$ to $\lambda$ with respect to an ordered basis $\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}$ of $M$ over $A$ in the same way as to a linear transformation. If $L_{1}$ and $L_{2}$ are the matrices of $\lambda$ with respect to two ordered bases, then $L_{2}=P^{-1} L_{1} P$ for some $P$ in $G L(n, A)$, that is, for a matrix $P$ over $A$ whose determinant has multiplicative inverse in $A$.

For the rest of the section, let $K / k$ be an extension of number fields. Since the dimension $\operatorname{dim}{k}(K)$ cannot be more than $\operatorname{dim}{\mathrm{Q}}(K)$, it is clear that $K / k$ is a finite extension. We may regard $K$ as a $k$-module of rank $n=[K: k]$. For $\alpha$ in $K$, the multiplication by $\alpha$ is a $k$-homomorphism $m_{\alpha}: K \rightarrow K$. Let $L_{\alpha}$ be the matrix of $m_{\alpha}$ with respect to an ordered basis of $K$ over $k$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Quadratic Fields

A number field $K$ is a quadratic field if the degree $[K: \mathbb{Q}]=2$. By Theorem $3.18, K=\mathbb{Q}(\alpha)$, where $\alpha$ is a root of an irreducible polynomial $f(x)=a x^{2}+$ $b x+c$ of degree 2 over $\mathbb{Q}$. Since $\alpha$ is not a rational number, the discriminant $D=b^{2}-4 a c$ of $f(x)$ cannot be zero or a perfect square. Write $D=d m^{2}$, with the integer $d \neq 0,1$, having no square factor larger than 1. From the quadratic formula for solving quadratic polynomial equations, it is clear that $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. We summarize this as

Proposition 3.30. A quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ for a square-free integer $d \neq 0,1$.

The following theorem exhibits an integral basis of the ring of integers of a quadratic field explicitly.
Theorem 3.31. Suppose $d \neq 0,1$ is a square-free integer. Put
$$
\omega= \begin{cases}\sqrt{d} & \text { if } d \equiv 2,3 \quad(\bmod 4) \ \frac{1+\sqrt{d}}{2} & \text { if } d \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases}
$$
Then ${1, \omega}$ is an integral basis of $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$.
Proof. First we show that $\mathcal{O}{K} \supseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}$. For this, all we need to show is that in case of $d \equiv 1(\bmod 4), \omega=(1+\sqrt{d}) / 2$ is a root of a monic polynomial of degree 2 over $\mathbb{Z}$. It is easy to see that $x^{2}-\operatorname{tr}{K / Q}(\omega) x+N_{K / k}(\omega) \in \mathbb{Z}[x]$ is such a polynomial. Next we show that $\mathcal{O}{K} \subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}$. Suppose $\alpha=a+b \sqrt{d} \in \mathcal{O}{K}$ with $a, b \in \mathbb{Q}$. We know that $n=N_{K / k}(\alpha)=a^{2}-d b^{2}, m=\operatorname{tr}_{K / k}(\alpha)=2 a \in \mathbb{Z}$. Now if $m$ is even, then $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow d b^{2} \in \mathbb{Z}$. Since $d$ is square-free, this implies that $b \in \mathbb{Z}$. This shows that $\alpha \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$. If $m$ is odd, then $d b^{2}-\frac{1}{4} \in \mathbb{Z}$. Since $d$ is square-free, $b=c / 2$ with $c$ odd. This gives $\omega=\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ and $d \equiv 1$ $(\bmod 4)$.

Corollary 3.32. The discriminant of the quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, where $d \neq 0,1$ is square-free, is given by
$$
d_{K}= \begin{cases}4 d & \text { if } d \equiv 2,3 \quad(\bmod 4) \ d & \text { if } d \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases}
$$
Proof. The two $\mathbb{Q}$-homomorphisms $\sigma_{i}: K \rightarrow \mathbb{C}$ are the identity $\sigma_{1}=1_{K}$ and the conjugation $\sigma_{2}$ defined by $\sigma_{2}(x+y \sqrt{d})=x-y \sqrt{d}$. Let $\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right}$ be the integral basis of $K$ given by Theorem 3.31. Using $d_{K}=\left(\operatorname{det}\left(\sigma_{i}\left(\alpha_{j}\right)\right)\right)^{2}$, a short calculation is all we need.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Unique Factorization Property for Ideals

Let $A$ be a commutative ring with 1. We recall the definition of an ideal of $A$. Suppose $a$ is a nonempty subset of $A$. We say that a is an ideal of $A$, if for every $a \in A$ and $x, y \in a, a x$ and $x+y \in a$. Every ideal contains 0 , the zero element of $A$. The whole ring $A$ itself is an ideal. An ideal a of $A$ is a proper ideal if $A \geqslant a$. If $a \geqslant{0}$, then we call a nonzero ideal.

Theorem 3.34. If $\mathfrak{A}$ is a nonzero ideal of $\mathcal{O}_{K}$, then $a=\mathfrak{2} \cap \mathbb{Z}$ is a nonzero ideal of $Z$.

Proof. If $0 \neq \alpha \in \mathfrak{A}$, then $\alpha$ satisfies a nonzero monic polynomial over $\mathbb{Z}$, i.e.
$$
a_{0}+a_{1} \alpha+\cdots+\alpha^{n}=0
$$
with $a_{j}$ in $\dddot{Z}$ and $a_{0} \neq 0$. Using the defining properties of an ideal, we see that $a_{0}=-a_{1} \alpha-\cdots-a_{n} \alpha^{n} \in \mathfrak{a} \cap \mathbb{Z}=a$.

Let $a$ be an ideal. The relation $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in a$ is an equivalence relation which partitions $A$ into disjoint sets of the form $x+a={x+a \mid a \in a}$, called the cosets of a in $A$. This set of cosets is a ring, called the quotient of $A$ by a and is denoted by $A / a$. The ring operations on $A /$ a are defined in an obvious way, namely,
$$
(x+\mathbf{a})+(y+\mathbf{a})=(x+y)+\mathbf{a},(x+\mathbf{a})(y+\mathbf{a})=x y+\mathfrak{a}
$$
Remark 3.35. Let a be an ideal of $A$. The notation $x \equiv y$ (mod a) means that $x-y \in \mathfrak{a}$.

Definition 3.36. Suppose $m$ is a proper ideal of $A$. We call $m$ a maximal ideal if for no other proper ideal a, we can have $m \varsubsetneqq a$. We call a proper ideal $\mathfrak{p}$ a prime ideal, if $a, b \in A, a b \in \mathfrak{p}$ implies that either $a \in \mathfrak{p}$ or $b \in \mathfrak{p}$.
Theorem 3.37. Suppose a is an ideal of A. Then

  1. $a$ is maximal if and only if $A / a$ is a field.
  2. $a$ is prime if and only if $A / a$ is an integral domain.
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

让A是与 1 的交换环。认为M≠0是一个A-模块。我们说M是免费的A– 等级模块n ( n是一个整数≥1) 如果有n元素α1,…,αn在M这样每个元素α的M可以唯一地写为

α=a1α1+⋯+anαn
和aj在A. 我们把它写成

M=Aα1⊕…⊕Aαn
套装\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}被称为基础M超过A. 如果一个基的元素按固定顺序排列,则称为有序基。在本节中,我们将证明对于一个数域K, 它的整数环OK是免费的Z- 等级模块[K:k]. 我们回顾了线性代数和伽罗瓦理论所需的一些基本事实。

认为x=(xij)在M(n,A), 那是x是一个n经过n包含条目的矩阵A.

定义 3.13。痕迹tr⁡(x)的x是总和x11+⋯+xnn的对角线条目x.
下面的定理是显而易见的。
定理 3.14。让x,y在M(n,A)和a在A. 那么
(一)tr⁡(x+y)=tr⁡(x)+tr⁡(y).
(2) tr⁡(ax)=atr⁡(x)
(3) tr⁡(xy)=tr⁡(yx).
现在假设M免费A- 等级模块n超过A. 让λ:M→M是的同态A-modules,或者只是一个 A-同态。我们关联一个矩阵L超过A至λ关于有序基础\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}的M超过A与线性变换相同。如果L1和L2是矩阵λ对于两个有序碱基,则L2=P−1L1P对于一些P在GL(n,A),也就是说,对于一个矩阵P超过A其行列式在A.

对于本节的其余部分,让K/k是数字字段的扩展。由于维度dim⁡k(K)不能超过dim⁡Q(K), 很清楚K/k是一个有限的扩展。我们可以认为K作为一个k- 等级模块n=[K:k]. 为了α在K,乘以α是一个k-同态mα:K→K. 让Lα是矩阵mα关于有序的基础K超过k.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Quadratic Fields

一个数字字段K如果度数是二次域[K:Q]=2. 按定理3.18,K=Q(α), 在哪里α是不可约多项式的根f(x)=ax2+ bx+c2 级以上Q. 自从α不是有理数,判别式D=b2−4ac的f(x)不能为零或完全平方。写D=dm2, 与整数d≠0,1, 没有大于 1 的平方因子。从求解二次多项式方程的二次公式可以看出Q(α)=Q(d). 我们将其总结为

提案 3.30。二次场K=Q(d)对于无平方整数d≠0,1.

下面的定理明确地展示了二次域的整数环的积分基。
定理 3.31。认为d≠0,1是一个无平方整数。放

ω={d if d≡2,3(mod4) 1+d2 if d≡1(mod4)
然后1,ω是一个不可分割的基础K=Q(d).
证明。首先我们证明OK⊇Z+Z. 为此,我们需要证明的是,如果d≡1(mod4),ω=(1+d)/2是 2 次一元多项式的根Z. 很容易看出x2−tr⁡K/Q(ω)x+NK/k(ω)∈Z[x]是这样一个多项式。接下来我们展示OK⊆Z+Z. 认为α=a+bd∈OK和a,b∈Q. 我们知道n=NK/k(α)=a2−db2,m=trK/k⁡(α)=2a∈Z. 现在如果m是偶数,那么a∈Z⇒db2∈Z. 自从d是无平方的,这意味着b∈Z. 这表明α∈Z+Zω. 如果m是奇数,那么db2−14∈Z. 自从d是无正方形的,b=c/2和c奇怪的。这给ω=1+d2和d≡1 (mod4).

推论 3.32。二次场的判别式K=Q(d), 在哪里d≠0,1是无平方的,由下式给出

dK={4d if d≡2,3(mod4) d if d≡1(mod4)
证明。他们俩Q-同态σi:K→C是身份σ1=1K和共轭σ2被定义为σ2(x+yd)=x−yd. 让\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right}\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right}成为整体基础K由定理 3.31 给出。使用dK=(det⁡(σi(αj)))2,我们只需要一个简短的计算。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Unique Factorization Property for Ideals

让A是一个与 1 的交换环。我们回忆一下理想的定义A. 认为a是一个非空子集A. 我们说a是一个理想A, 如果对于每个a∈A和x,y∈a,ax和x+y∈a. 每个理想都包含 0 ,即A. 整个戒指A本身就是一个理想。一个理想的A是一个适当的理想,如果A⩾a. 如果a⩾0,那么我们称其为非零理想。

定理 3.34。如果A是一个非零理想OK, 然后a=2∩Z是一个非零理想Z.

证明。如果0≠α∈A, 然后α满足一个非零单项多项式Z, IE

a0+a1α+⋯+αn=0
和aj在Z⃛和a0≠0. 使用理想的定义属性,我们看到a0=−a1α−⋯−anαn∈a∩Z=a.

让a成为一个理想。关系x∼y⇔x−y∈a是划分的等价关系A成不相交的形式集x+a=x+a∣a∈a,称为 a 的陪集A. 这组陪集是一个环,称为A由 a 和表示为A/a. 上环操作A/a 以一种明显的方式定义,即

(x+a)+(y+a)=(x+y)+a,(x+a)(y+a)=xy+a
备注 3.35。让a成为一个理想的A. 符号x≡y(mod a) 表示x−y∈a.

定义 3.36。认为m是一个适当的理想A. 我们称之为m一个最大理想如果没有其他适当的理想 a,我们可以有m⫋a. 我们称之为适当的理想p一个主要理想,如果a,b∈A,ab∈p意味着要么a∈p或者b∈p.
定理 3.37。假设 a 是 A 的一个理想。那么

  1. a是最大的当且仅当A/a是一个字段。
  2. a是素数当且仅当A/a是一个积分域。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z

Let $A$ be the ring $\mathbb{Z}[i]$ of Gaussian integers and $p=2,3,4, \ldots$ a rational prime. This $p$ may or may not be a prime element of $A$. To find exactly when it is, recall the famous theorem of Fermat on the sum of two squares, which was proved by Euler (cf. [8, p. 48]).

Theorem 2.14 (Fermat). An odd prime $p$ in $\mathbb{Z}$ is a sum of two squares $\left(p=a^{2}+b^{2}\right)$ if and only if $p=4 k+1$ for $k$ in $\mathbb{N}$.

The norm of any divisor of $\alpha=a+i b$ must be a divisor of $N(\alpha)=a^{2}+b^{2}$, and for $\alpha=\beta \gamma$ with $\beta, \gamma$ both non-units, $1<N(\beta)<N(\alpha)$ (only the units have norm 1). Therefore, if $a^{2}+b^{2}$ is a prime, then $\alpha$ has to be a prime in $\mathbb{Z}[i]$. We have thus proved the following fact:

Theorem 2.15. A prime $p$ is a sum of two squares, $p=a^{2}+b^{2} \Leftrightarrow p$ is a product $(a+i b)(a-i b)$ of two primes $a \pm i b$ in $\mathbb{Z}[i]$.

For $p=2$, its two prime factors $1+i, 1-i$ in $\mathbb{Z}[i]$ are associates: $1+i=i(1-i)$. Therefore,
$$
2=i(1-i)^{2} .
$$
We say that 2 ramifies in $\mathbb{Z}[i]$. By Fermat’s Theorem (Theorem 2.15), $p \equiv 1$ $(\bmod 4) \Leftrightarrow p$ is a product
$$
p=\pi_{1} \pi_{2}
$$
of two primes $\pi_{1}, \pi_{2}$ in $\mathbb{Z}[i]$. Moreover, $\pi_{1}$ and $\pi_{2}$ are complex conjugates of each other and hence they are distinct. This discussion can be wrapped up as follows: In order to do that, observe that ${1, i}$ is a $\mathbb{Z}$-bases of $\mathbb{Z}[i]$ and so is its conjugate ${1,-i}$. These two bases make a $2 \times 2$ matrix
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
1 & -i
\end{array}\right)
$$
with $|\operatorname{det}(A)|=2$, called the discriminant of $\mathbb{Q}(i)$.
Theorem 2.16. Let $p$ be a prime. Then
i) $p$ ramifies in $\mathbb{Z}[i] \Leftrightarrow$ it divides the discriminant of $\mathbb{Q}(i)$,ii) $p$ factors into two distinct primes of $\mathbb{Z}[i] \Leftrightarrow p \equiv 1(\bmod 4)$, and iii) $p$ stays prime in $\mathbb{Z}[i] \Leftrightarrow p \equiv 3(\bmod 4)$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Generalities

Let $K / k$ be a field extension and suppose $\alpha$ is an element of $K$. We say that $\alpha$ is algebraic over $k$ if $\alpha$ satisfies a nonzero polynomial over $k$. Suppose $n=\operatorname{dim}{k}(K)$ is finite and $\alpha$ is in $K$. Then the $n+1$ vectors $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n}$ cannot be linearly independent and hence satisfy a nontrivial linear relation $$ c{0}+c_{1} \alpha+\cdots+c_{n} \alpha^{n}=0
$$
with $c_{j}$ in $k$. This not only shows that $\alpha$ is algebraic over $k$ but also proves that it is a root of a nonzero polynomial of degree at most $n$ over $k$. The smallest degree of a polynomial over $k$ satisfied by $\alpha$ is called the degree of $\alpha$ over $k$. It is denoted by $\operatorname{deg}_{k}(\alpha)$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Algebraic Integers

The subject of algebraic number theory originated with Gauss, who studied the arithmetic in the ring $\mathbb{Z}[i]={x+i y \mid x, y \in \mathbb{Z}}$ of the so called Gaussian integers. We begin with a useful fact about field extensions which is true for the ones to be dealt with in this book.

Definition 3.1. A field extension $K / k$ is a simple extension if there is an element $\alpha$ in $K$ such that $K=k(\alpha)$.

Here $k(\alpha)$ is the field of all quotients of polynomials in $\alpha$ over $k$. It is the smallest field containing $k$ and $\alpha$. We say that $K$ has been obtained by adjoining $\alpha$ to $k$. We also say that $\alpha$ generates $K$ over $k$.

From now on, we shall regard $\mathbb{C}$, the field of complex numbers, as our universal domain. This essentially means that all fields, unless stated otherwise, shall be subfields of $\mathbb{C}$. A field must have at least two distinct elements, namely, 0 and 1. Therefore, a subfield of $\mathbb{C}$ must contain $\mathbb{Z}$, and hence it must be an

extension of $\mathbb{Q}$. The following is a standard result from field theory (cf. $[8, \mathrm{p}$. $72]$ ).

Theorem 3.2. If $k$ is a subfield of $\mathbb{C}$, then any finite extension $K / k$ is $a$ simple extension.

Definition 3.3. A number field is a finite extension of $\mathbb{Q}$. A number field $K$ is a quadratic field or a cubic field according as $[K: \mathbb{Q}]$ is 2 or 3 . We call a field extension $K / k$ an extension of number fields if $k$ is a subfield of the number field $K$. Clearly, $k$ is also a number field.

Definition 3.4. A complex number $\alpha$ is an algebraic number if it is algebraic over Q.

It is not hard to see that the set of all algebraic numbers is a subfield of $\mathbb{C}$. It is called the algebraic closure of $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{C}$ and is denoted by $\overline{\mathbb{Q}}$.

Every element of a number field $K$ with $[K: \mathbb{Q}]=n$ is an algebraic number of degree at most $n$. By Theorem $3.2$, there is always an $\alpha$ in $K$ with deg $(\alpha)=$ $n$.
The following definition is crucial to what follows.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z

让一个成为戒指从[一世]高斯整数和p=2,3,4,…一个有理素数。这个p可能是也可能不是一个. 要准确找出它的确切时间,请回想关于两个平方和的著名的费马定理,该定理已被欧拉证明(参见 [8, p. 48])。

定理 2.14(费马)。一个奇怪的素数p在从是两个平方的和(p=一个2+b2)当且仅当p=4ķ+1为了ķ在ñ.

的任何除数的范数一个=一个+一世b必须是的除数ñ(一个)=一个2+b2,并且对于一个=bC和b,C都是非单位,1<ñ(b)<ñ(一个)(只有单位有范数1)。因此,如果一个2+b2是素数,那么一个必须是素数从[一世]. 因此,我们证明了以下事实:

定理 2.15。一个素数p是两个平方的和,p=一个2+b2⇔p是一个产品(一个+一世b)(一个−一世b)两个素数一个±一世b在从[一世].

为了p=2, 它的两个素数1+一世,1−一世在从[一世]是联营公司:1+一世=一世(1−一世). 所以,

2=一世(1−一世)2.
我们说 2 分支在从[一世]. 由费马定理(定理 2.15),p≡1 (反对4)⇔p是一个产品

p=圆周率1圆周率2
两个素数圆周率1,圆周率2在从[一世]. 而且,圆周率1和圆周率2是彼此的复共轭,因此它们是不同的。这个讨论可以总结如下:为了做到这一点,请注意1,一世是一个从- 基地从[一世]它的共轭也是1,−一世. 这两个基地构成了一个2×2矩阵

一个=(1一世 1−一世)
和|这⁡(一个)|=2,称为判别式问(一世).
定理 2.16。让p成为素数。然后
我)p延伸到从[一世]⇔它将判别式划分为问(一世),ii)p分解为两个不同的质数从[一世]⇔p≡1(反对4), 和 iii)p保持主要状态从[一世]⇔p≡3(反对4).

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让ķ/ķ是一个字段扩展并假设一个是一个元素ķ. 我们说一个是代数结束ķ如果一个满足一个非零多项式ķ. 认为n=暗淡⁡ķ(ķ)是有限的并且一个在ķ. 然后n+1矢量图1,一个,…,一个n不能是线性独立的,因此满足非平凡的线性关系

C0+C1一个+⋯+Cn一个n=0
和Cj在ķ. 这不仅表明一个是代数结束ķ但也证明它至多是一个非零多项式的根n超过ķ. 多项式的最小次数ķ满足于一个被称为程度一个超过ķ. 它表示为你ķ⁡(一个).

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Algebraic Integers

代数数论的学科起源于研究环中算术的高斯从[一世]=X+一世是∣X,是∈从所谓的高斯整数。我们从一个关于字段扩展的有用事实开始,这对于本书将要讨论的内容是正确的。

定义 3.1。字段扩展ķ/ķ如果有一个元素是一个简单的扩展一个在ķ这样ķ=ķ(一个).

这里ķ(一个)是多项式的所有商的域一个超过ķ. 它是包含的最小字段ķ和一个. 我们说ķ已通过毗邻获得一个至ķ. 我们也说一个生成ķ超过ķ.

从现在开始,我们将视C,复数域,作为我们的通用域。这实质上意味着,除非另有说明,否则所有字段都应是C. 一个字段必须至少有两个不同的元素,即 0 和 1。因此,一个子字段C必须包含从,因此它必须是

的扩展问. 以下是场论的标准结果(cf.[8,p. 72] ).

定理 3.2。如果ķ是一个子域C, 然后任何有限扩展ķ/ķ是一个简单的扩展。

定义 3.3。数域是问. 一个数字字段ķ是二次场或三次场,根据[ķ:问]是 2 或 3 。我们称之为字段扩展ķ/ķ数字字段的扩展,如果ķ是数字字段的子字段ķ. 清楚地,ķ也是一个数字字段。

定义 3.4。一个复数一个是一个代数数,如果它是 Q 上的代数数。

不难看出,所有代数数的集合是C. 称为代数闭包问在C并表示为问¯.

数字字段的每个元素ķ和[ķ:问]=n最多是度的代数数n. 按定理3.2,总有一个一个在ķ带度(一个)= n.
以下定义对接下来的内容至关重要。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Review of the Prerequisite Material

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Basic Concepts

A group is a pair $(G, )$ of a nonempty set $G$ and a binary operation $$ on $G$, i.e. a map $G \times G \ni(x, y) \rightarrow x * y \in G$, called the group law on $G$ with the following properties:
i) The group law is associative: for all $x y, z$ in $G,(x * y) * z=x *(y * z)$,
ii) there is an element $e$ in $G$, called the identity, such that $e * x=x * e=x$ for all $x$ in $G$ and
iii) for each $x$ in $G$ there is a $y$ in $G$, such that $x * y=y * x=e$.
We denote $y$ by $x^{-1}$, the inverse of $x$. We call the group $(G, *)$ Abelian if for all $x, y$ in $G, x * y=y * x$. In this case $*$ is usually denoted by $+x^{-1}$ by $-x$, and $e$ by 0 . We call $-x$ the additive inverse of $x$. Often the product $x * y$ is written simply as $x y$ and $x^{-1}$ is called the multiplicative inverse of $x$.

It turns out that $e$ and $x^{-1}$ are unique. The most familiar examples of Abelian groups are $(G,+)$ with $G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$. An example of a nonAbelian group is the general linear group $G L(n, \mathbb{Z})$ of $n \times n$ matrices with integer entries and determinant $\pm 1$ under matrix multiplication.

A ring is set $A$ with at least two distinct elements, denoted by 0 and 1 having two binary operations (addition and multiplication) such that
i) $(A,+)$ is an Abelian group with 0 as its identity,

ii) $1 x=x 1=x$ for all $x$ in $A$ and
iii) the multiplication is associative and distributive over the addition:
$$
x(y+z)=x y+x z \text { and }(x+y) z=x z+y z .
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Galois Extensions

We assume all our fields to be subfields of $\mathbb{C}$. Let $K / k$ be a field extension. The set $\mathrm{Gal}(K / k)$ of the field automorphisms $\sigma$ of $K$ such that $\sigma(a)=a$ for all $a$ in $k$ is a (usually non-Abelian) group under the composition of maps. It is called the Galois group of $K$ over $k$. In general, for a finite extension $K / k$, $|\operatorname{Gal}(K / k)| \leq[K: k]$. We call $K / k$ a Galois extension if the equality holds.
Examples of Galois Groups
First, let $K / k$ be any field extension, not necessarily finite. Let $\alpha$ in $K$ be a root of a polynomial
$$
f(x)=c_{0}+c_{1} x+\cdots+c_{n} x^{n}
$$
over $k$. If $\sigma \in \operatorname{Gal}(K / k)$, then
$$
\begin{aligned}
f(\sigma(\alpha)) &=c_{0}+c_{1} \sigma(\alpha)+\cdots+c_{n}(\sigma(\alpha))^{n} \
&=\sigma(f(\alpha))=\sigma(0)=0
\end{aligned}
$$
Thus $\sigma(\alpha)$ is also a root of $f(x)$. This simple observation will be crucial to what follows.

Let $K$ be a quadratic field, a field extension of $\mathbb{Q}$ of degree 2 . Then one checks that (Exercise 16 ) $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})={r+s \sqrt{d} \mid r, s \in \mathbb{Q}}$ for a square-free integer $d \neq 0,1$.

Example 2.1. Let us take $d=-1$. There are exactly two automorphisms of $K$ whose restrictions to $\mathbb{Q}$ is the identity map on $Q$. The identity map 1 on $K$ itself and $\sigma$ which takes $i$ to its conjugate, the other root $-i$ of $x^{2}+1$. Thus $\operatorname{Gal}(K / k) \cong{\pm 1}$ and $Q(i)$ is a Galois extension of $\mathbb{Q}$.

Example 2.2. Now take $d=-3$. Then $\mathbb{Q}(\omega)={r+s \omega \mid r, s \in \mathbb{Q}}$. The Galois group $\operatorname{Gal}(K / k)$ consists of two elements, the identity automorphism 1 of $K$ and the automorphism $\sigma$ of $K$ such that $\sigma(\omega)=\bar{\omega}$. [Note that $\bar{\omega}=\omega^{2}=\frac{1}{\omega}$.] Hence $\mathbb{Q}(\omega) / \mathbb{Q}$ is also an Abelian extension.

Example 2.3. Let $\alpha$ be the real cube root of $2, \alpha=\sqrt[3]{2}, K=\mathbb{Q}(\alpha)$ the smallest subfield of $\mathbb{C}$ containing $\alpha$. The other cube roots of 2 which are $\omega \alpha$ and $\omega^{2} \alpha$ are not in $K$. Thus there is only one element in the Galois

group $\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})$, namely the identity element of the group $\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})$. Since $[K: \mathbb{Q}]=3$ but $|\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})|=1$, the extension $K / \mathbb{Q}$ is not Galois.
The following is a standard result in field theory:
Theorem 2.4. If $K / k$ is a field extension of degree $d$, then there is an $\alpha$ in $K$ such that $1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{d-1}$ is a basis of $K$ as a vector space over $k$.
In fact, $\alpha$ is a root of an irreducible polynomial $f(x)$ over $k$ of degree $d$.
Definition 2.5. If all the $d$ roots of this $f(x)$ are in $K$, we call the extension $K / k$ normal.

Remark 2.6. i) According to our definition of the Galois extension, an extension is normal if and only if it is Galois.
ii) The Galois group Gal $(K / k)$ is often defined only for normal extensions, in which case $\operatorname{Gal}(K / k)$ is always equal to the degree $[K: k]$ of the field extension $K / k$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Domains

A nonzero element $a$ of a ring $A$ (always commutative) is called a zero divisor if $a b=0$ for a nonzero $b$ in $A$. In the ring $\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}, 2,3$, and 4 are the only divisors of zero. A field has no divisor of zero. A ring without zero divisors is called an integral domain or simply a domain. We have already discussed many integral domains which are not fields, e.g. $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{Z}[\omega]$ and $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ for $d \neq 0$, a square-free integer, which are relevant to our subject.

An element $u$ in $A$ is a unit if $u v=1$ for some $v$ in $B$. For example, the only units in the ring $\mathbb{Z}$ are $\pm 1$.

Definition 2.7. A domain $A$ is a Euclidean domain if there is a map which assigns to each nonzero element $\alpha$ of $A$ a non-negative integer $d(\alpha)$ such that for all nonzero $\alpha, \beta$ in $A$,
i) $d(\alpha) \leq d(\alpha \beta)$, and
ii) $A$ has elements $q$ (the quotient) and $\gamma$ (the remainder) so that $\alpha=q \beta+\gamma$ and either $\gamma=0$ or $d(\gamma)<d(\beta)$.

With the Euclidean algorithm, both $\mathbb{Z}$ and the ring $k[x]$ of polynomials over a field $k$ are Euclidean domains. For $\mathbb{Z}, d(\alpha)=|\alpha|$ and for $k[x], d(f(x))=$ $\operatorname{deg} f(x)$.

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代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Basic Concepts

一组是一对(G,)非空集G和一个二元运算 $$ onG,即地图G×G∋(X,是)→X∗是∈G,称为群定律G具有以下性质:
i) 群律是结合的:对于所有X是,和在G,(X∗是)∗和=X∗(是∗和),
ii) 有一个元素和在G,称为恒等式,这样和∗X=X∗和=X对所有人X在Giii
) 对于每个X在G有一个是在G, 这样X∗是=是∗X=和.
我们表示是经过X−1, 的倒数X. 我们叫群(G,∗)阿贝尔如果对所有人X,是在G,X∗是=是∗X. 在这种情况下∗通常表示为+X−1经过−X, 和和由 0 。我们称之为−X的加法逆X. 往往是产品X∗是简单地写成X是和X−1称为乘法逆X.

事实证明和和X−1是独一无二的。阿贝尔群最常见的例子是(G,+)和G=从,问,R和C. 非阿贝尔群的一个例子是一般线性群G大号(n,从)的n×n具有整数项和行列式的矩阵±1在矩阵乘法下。

设置了一个戒指一个具有至少两个不同的元素,用 0 和 1 表示,具有两个二元运算(加法和乘法),使得
i)(一个,+)是一个以 0 为恒等式的阿贝尔群,

ii)1X=X1=X对所有人X在一个
iii) 乘法对加法是关联和分布的:

X(是+和)=X是+X和 和 (X+是)和=X和+是和.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Galois Extensions

我们假设我们所有的领域都是C. 让ķ/ķ是一个字段扩展。套装G一个l(ķ/ķ)域自同构σ的ķ这样σ(一个)=一个对所有人一个在ķ是映射组成下的一个(通常是非阿贝尔)群。称为伽罗瓦群ķ超过ķ. 一般来说,对于有限扩展ķ/ķ, |加尔⁡(ķ/ķ)|≤[ķ:ķ]. 我们称之为ķ/ķ如果等式成立,则为伽罗瓦扩展。
伽罗瓦群的例子
首先,让ķ/ķ是任何域扩展,不一定是有限的。让一个在ķ是多项式的根

F(X)=C0+C1X+⋯+CnXn
超过ķ. 如果σ∈加尔⁡(ķ/ķ), 然后

F(σ(一个))=C0+C1σ(一个)+⋯+Cn(σ(一个))n =σ(F(一个))=σ(0)=0
因此σ(一个)也是一个根F(X). 这个简单的观察对于接下来的内容至关重要。

让ķ是一个二次场,一个场扩展问2 级。然后检查(练习 16)ķ=问(d)=r+sd∣r,s∈问对于无平方整数d≠0,1.

例 2.1。让我们采取d=−1. 恰好有两个自同构ķ谁的限制问是身份图在问. 身份图 1 上ķ本身和σ这需要一世与其共轭,另一个根−一世的X2+1. 因此加尔⁡(ķ/ķ)≅±1和问(一世)是一个伽罗瓦扩展问.

例 2.2。现在拿d=−3. 然后问(ω)=r+sω∣r,s∈问. 伽罗瓦群加尔⁡(ķ/ķ)由两个元素组成,恒等自同构 1ķ和自同构σ的ķ这样σ(ω)=ω¯. [注意ω¯=ω2=1ω。] 因此问(ω)/问也是阿贝尔扩展。

例 2.3。让一个是真正的立方根2,一个=23,ķ=问(一个)的最小子域C包含一个. 2的其他立方根是ω一个和ω2一个不在ķ. 因此伽罗瓦中只有一个元素

团体加尔⁡(ķ/问),即群的标识元素加尔⁡(ķ/问). 自从[ķ:问]=3但|加尔⁡(ķ/问)|=1, 扩展ķ/问不是伽罗瓦。
以下是场论的标准结果:
定理 2.4。如果ķ/ķ是学位的领域延伸d, 那么有一个一个在ķ这样1,一个,一个2,…,一个d−1是一个基础ķ作为一个向量空间ķ.
实际上,一个是不可约多项式的根F(X)超过ķ学位d.
定义 2.5。如果所有的d这个的根源F(X)在ķ, 我们称之为扩展ķ/ķ普通的。

备注 2.6。i) 根据我们对伽罗瓦扩展的定义,一个扩展是正规的当且仅当它是伽罗瓦。
ii) 伽罗瓦群 Gal(ķ/ķ)通常只为正常扩展定义,在这种情况下加尔⁡(ķ/ķ)总是等于度数[ķ:ķ]字段扩展ķ/ķ.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Domains

一个非零元素一个一个戒指一个(总是可交换的)被称为零除数,如果一个b=0对于非零b在一个. 在环中从/6从,2,3, 和 4 是唯一的零除数。一个字段没有零除数。没有零因数的环称为整数域或简称域。我们已经讨论了许多不是域的整数域,例如从,从[一世],从[ω]和从[d]为了d≠0,一个与我们的主题相关的无平方整数。

一个元素在在一个是一个单位,如果在在=1对于一些在在乙. 例如,环中唯一的单位从是±1.

定义 2.7。一个域一个如果存在分配给每个非零元素的映射,则为欧几里得域一个的一个一个非负整数d(一个)这样对于所有非零一个,b在一个,
我)d(一个)≤d(一个b), 和
ii)一个有元素q(商)和C(余数)这样一个=qb+C并且要么C=0或者d(C)<d(b).

使用欧几里得算法,两者从和戒指ķ[X]域上的多项式ķ是欧几里得域。为了从,d(一个)=|一个|并且对于ķ[X],d(F(X))= 你⁡F(X).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

Number Theory is the study of numbers, in particular the whole numbers $1,2,3, \ldots$, also called the natural numbers. The set of natural numbers is denoted by $\mathbb{N}$. Leaving aside the unit 1 , these numbers fall into two categories: The indivisible numbers $2,3,5,7, \ldots$ are the primes, and the rest $4,6,8,9,10, \ldots$ composed of primes, are the composite numbers. The following basic facts, with proofs, about these numbers were already known to Euclid around 300 B.C.
Theorem 1.1. There are infinitely many primes.
Theorem 1.2 (Fundamental Theorem of Arithmetic). Every natural number $n>1$ is a unique product
$$
n=p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{c_{r}} \quad(r \geq 1)
$$
of powers of distinct primes $p_{1}, \ldots, p_{r}$, taken in some order.
By looking at the list of primes, one can ask several naive but still unanswered questions. For example, is there an endless supply of twin primes? We call a pair of primes $q, p$ twin primes if $p=q+2$. [This is the closest two odd primes can be to each other.] A glance at the list
$$
3,5 ; 5,7 ; 11,13 ; 17,19 ; 29,31 ; \ldots
$$
suggests that there are infinitely many pairs of twin primes, but no one has ever been able to prove this so far. Another big problem in number theory is the unproven conjecture of Goldbach, which asserts that every even number larger than 2 is a sum of two primes.

Many questions in number theory arise naturally in the study of geometry. The most fundamental fact in Euclidean geometry is the theorem of Pythagoras, which may be called the fundamental theorem of geometry. Actually, it was known to the Egyptians and Babylonians about two thousand years earlier, but they had no rigorous proof of it like Euclid did.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Methods of Proving Theorems in Number Theory

The method that has been used since antiquity is the unique factorization. Let us recall Euclid’s proof of Theorem 1.1.

It follows from the unique factorization (1.1) that any $n>1$ is either a prime or has a prime factor. To prove Theorem $1.1$ by contradiction, suppose there are only finitely many primes, say $p_{1}, \ldots, p_{r}$. Now consider the number $n=p_{1} \ldots p_{\mathrm{r}}+1$. It is not a prime because it is larger than every prime $p_{j}$. So, it has a prime factor, say $p_{1}$. Therefore $n=p_{1} a$ for an integer $a$. This implies that $1=p\left(a-p_{2} \ldots p_{r}\right)$. This is a contradiction because 1 has no prime factor.

Another example of such a proof is the proof below by Euler (1770) of the following claim of Fermat (1657): 27 is the only cube that exceeds a square by 2. In modern terminology, $(3, \pm 5)$ are the only points with integer coordinates on the elliptic curve
$$
y^{2}=x^{3}-2 .
$$
Proof. In the ring $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]={a+b \sqrt{-2} \mid a, b \in \mathbb{Z}}$, which is a UFD (see Exercise 8, Chapter 2), we use the factorization
$$
x^{3}=y^{2}+2=(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2}) .
$$
In general, in a UFD, if $\alpha, \beta$ have no common factor other than units, and $\alpha \beta=\gamma^{m}$ for an integer $m>0$, then $\alpha=\alpha_{1}^{m}$ and $\beta=\beta_{1}^{m}$ for some $\alpha_{1}, \beta_{1}$ in it. Therefore
$$
y+\sqrt{-2}=(a+b \sqrt{-2})^{3} \text { for } a, b \in \mathbb{Z} .
$$
By expanding $(a+b \sqrt{-2})^{3}$ and comparing the real/imaginary parts, we get
$$
1=b\left(3 a^{2}-2 b^{2}\right), y=a^{3}-6 a b^{2} .
$$
But the first equation in (1.7) can hold only if $b=1$ and $a=\pm 1$. This implies $y=\pm 5$.

  1. Analytic Methods
    Euler initiated what we call the analytic number theory. The study of infinite series (analysis) can lead to interesting results in number theory. Let us recall Euler’s proof of the infinitude of primes. Leaving aside the issue of convergence, by multiplying the infinite series formally, one sees that
    $$
    \begin{aligned}
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=& \sum_{n=1} \frac{1}{p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}}}=\prod_{p}\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\cdots\right), \text { i.e. } \
    & \frac{1}{n}=\prod_{p}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}
    \end{aligned}
    $$
    the product (called the Euler product) taken over all primes $p$. Note that the first equality is a consequence of the unique factorization (1.1).

The partial sums $\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n}$ of the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ are bounded from below by the area (cf. Figure 1.1) $\int_{1}^{N} \frac{d x}{x}=\ln N$, which goes to infinity as $N$ goes to infinity.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Techniques from Algebraic Geometry

Algebraic geometry is the study of the solutions of polynomial equations in a number of variables $x_{1}, \ldots, x_{n}$ with values of $x_{j}$ in a field $K$. Unless we assume $K$ to be algebraically closed, such as the field $\mathbb{C}$ of complex numbers, the subject is not satisfactory. For example, $x^{2}+y^{2}+1=0$ has no solution with $x, y$ even in such a big field as $\mathbb{R}$, the field of real numbers. Moreover, a line (equation of degree 1) is supposed to meet a circle (equation of degree 2) in two points. This rarely happens, but happens every time (in the projective plane $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{C})$ ), thanks to Bezout’s Theorem: Two curves of degree $d_{1}, d_{2}$ with no component in common intersect in $d_{1} d_{2}$ points in the projective plane $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{C})$, counted properly.

The arithmetic algebraic geometry is the subject in which algebraic geometric methods are used to answer questions in number theory. We illustrate it by finding the primitive Pythagorean triples, which is the same as finding the rational points (points with rational coordinates) on the unit circle
$$
X^{2}+Y^{2}=1
$$
with the rational numbers $X, Y$ in the lowest form. A primitive Pythagorean triple $(x, y, z)$ gives such a rational point with $X=\frac{x}{z}, Y=\frac{y}{z}$, and vice versa.

To obtain an algorithm to find all the primitive Pythagorean triples $(x, y, z)$, we parameterize the unit circle (1.9) by the slope $t$ of the line through the fixed point $(-1,0)$ and a variable point $(X, Y)$ on this circle (cf. Figure 1.2).
Substituting for $X$ from the equation $X=t Y-1$ of this line in equation (1.9) of the unit circle, an easy calculation shows that
$$
Y=\frac{2 t}{1+t^{2}} \text { and } X=t Y-1=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} .
$$
If we run $t$ through all rational numbers in the lowest form $t=\frac{a}{b}$, we get the following result:
FIGURE 1.2: Rational points on the unit circle.
Theorem 1.6. Every primitive Pythagorean triplet $(x, y, z)$ is of the form
$$
x=a^{2}-b^{2}, y=2 a b, z=a^{2}+b^{2},
$$
where $a, b(a>b)$ are positive integers of opposite parity (one odd, the other even) with no common factor.

Note that the condition of opposite parity is necessary because otherwise $x$, $y, z$ are all even, so $(x, y, z)$ is not primitive. We also remark that switching $x$ and $y$ does not produce a different Pythagorean triplet.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

代数数论代考

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数论是对数字的研究,尤其是整数1,2,3,…,也称为自然数。自然数集表示为ñ. 撇开单位 1 不谈,这些数字分为两类: 不可分割的数字2,3,5,7,…是素数,其余的4,6,8,9,10,…由质数组成,是合数。欧几里得在公元前 300 年左右就已经知道以下关于这些数字的基本事实和证明
。定理 1.1。有无穷多个素数。
定理 1.2(算术基本定理)。每个自然数n>1是独一无二的产品

n=p1和1…prCr(r≥1)
不同素数的幂p1,…,pr,按某种顺序排列。
通过查看素数列表,人们可以提出几个幼稚但仍然没有答案的问题。例如,是否有无穷无尽的孪生素数?我们称一对素数q,p孪生素数如果p=q+2. [这是最接近的两个奇数素数。] 一览表

3,5;5,7;11,13;17,19;29,31;…
表明存在无限多对孪生素数,但迄今为止没有人能够证明这一点。数论中的另一个大问题是未经证实的哥德巴赫猜想,它断言每个大于 2 的偶数都是两个素数的和。

数论中的许多问题在几何研究中自然而然地出现。欧几里得几何中最基本的事实是毕达哥拉斯定理,可以称为几何基本定理。实际上,大约两千年前,埃及人和巴比伦人就知道了,但他们没有像欧几里得那样严格的证据。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Methods of Proving Theorems in Number Theory

自古以来一直使用的方法是独特的因式分解。让我们回顾一下欧几里得对定理 1.1 的证明。

从唯一的因式分解(1.1)可以得出,任何n>1要么是素数,要么有素因子。证明定理1.1通过矛盾,假设只有有限多个素数,比如说p1,…,pr. 现在考虑数字n=p1…pr+1. 它不是素数,因为它比所有素数都大pj. 所以,它有一个主要因素,比如说p1. 所以n=p1一个对于一个整数一个. 这意味着1=p(一个−p2…pr). 这是一个矛盾,因为 1 没有素因数。

这种证明的另一个例子是 Euler (1770) 对 Fermat (1657) 的以下主张的证明: 27 是唯一一个超过正方形 2 的立方体。在现代术语中,(3,±5)是椭圆曲线上唯一具有整数坐标的点

是2=X3−2.
证明。在环中从[−2]=一个+b−2∣一个,b∈从,这是一个 UFD(参见练习 8,第 2 章),我们使用分解

X3=是2+2=(是+−2)(是−−2).
通常,在 UFD 中,如果一个,b除了单位之外没有公因数,并且一个b=C米对于一个整数米>0, 然后一个=一个1米和b=b1米对于一些一个1,b1在里面。所以

是+−2=(一个+b−2)3 为了 一个,b∈从.
通过扩展(一个+b−2)3并比较实部/虚部,我们得到

1=b(3一个2−2b2),是=一个3−6一个b2.
但是(1.7)中的第一个方程只有当b=1和一个=±1. 这意味着是=±5.

  1. 解析方法
    欧拉开创了我们所说的解析数论。对无穷级数(分析)的研究可以在数论中产生有趣的结果。让我们回顾一下欧拉关于素数无穷大的证明。撇开收敛问题不谈,通过形式上的无限级数相乘,可以看到
    ∑n=1∞1n=∑n=11p1和1…pr和r=∏p(1+1p+1p2+⋯), IE  1n=∏p∞(1−1p)−1
    取所有素数的乘积(称为欧拉乘积)p. 请注意,第一个等式是唯一因式分解 (1.1) 的结果。

部分金额∑n=1ñ−11n该系列的∑n=1∞1n从下方以该区域为界(参见图 1.1)∫1ñdXX=ln⁡ñ, 无穷大为ñ走向无穷大。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Techniques from Algebraic Geometry

代数几何是研究多项式方程在多个变量中的解X1,…,Xn值为Xj在一个领域ķ. 除非我们假设ķ是代数封闭的,例如域C复数,题目不令人满意。例如,X2+是2+1=0没有解决方案X,是即使在这么大的领域R,实数域。此外,一条线(1 次方程)应该在两点与圆(2 次方程)相交。这很少发生,但每次都会发生(在投影平面磷2(C)),感谢 Bezout 定理:两条度数曲线d1,d2没有共同的组件相交d1d2投影平面上的点磷2(C),正确计算。

算术代数几何是使用代数几何方法来回答数论问题的学科。我们通过寻找原始毕达哥拉斯三元组来说明它,这与在单位圆上寻找有理点(具有有理坐标的点)相同

X2+是2=1
有理数X,是以最低的形式。一个原始的毕达哥拉斯三元组(X,是,和)给出了这样一个合理的观点X=X和,是=是和,反之亦然。

获得一种算法来找到所有原始毕达哥拉斯三元组(X,是,和),我们通过斜率参数化单位圆(1.9)吨通过固定点的线(−1,0)和一个可变点(X,是)在这个圆圈上(参见图 1.2)。
代替X从方程X=吨是−1在单位圆的方程(1.9)中的这条线,一个简单的计算表明

是=2吨1+吨2 和 X=吨是−1=1−吨21+吨2.
如果我们跑吨通过所有最低形式的有理数吨=一个b,我们得到以下结果:
图 1.2:单位圆上的有理点。
定理 1.6。每个原始毕达哥拉斯三元组(X,是,和)是形式

X=一个2−b2,是=2一个b,和=一个2+b2,
在哪里一个,b(一个>b)是相反奇偶性的正整数(一个奇数,另一个偶数),没有公因数。

请注意,相反奇偶性的条件是必要的,否则X, 是,和都是偶数,所以(X,是,和)不是原始的。我们还注意到,切换X和是不会产生不同的毕达哥拉斯三元组。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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