分类: 优化理论代写

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|ISE633

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机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy每个优化问题都包含三个组成部分:目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时,它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数,通常表示为 f 或 z,反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|ISE633

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Least Squares

The most important gradient formula is the one of the square loss (3), which can be obtained by expanding the norm
$$
\begin{aligned}
f(x+\varepsilon) &=\frac{1}{2}\left|A x-y+A \varepsilon\left|^2=\frac{1}{2}|A x-y|+\langle A x-y, A \varepsilon\rangle+\frac{1}{2} \mid A \varepsilon\right|^2\right.\
&=f(x)+\left\langle\varepsilon, A^{\top}(A x-y)\right\rangle+o(|\varepsilon|) .
\end{aligned}
$$
Here, we have used the fact that $|\left. A \varepsilon\right|^2=o(|\varepsilon|)$ and use the transpose matrix $A^{\top}$. This matrix is obtained by exchanging the rows and the columns, i.e. $A^{\top}=\left(A_{j, i}\right){i=1, \ldots, n}^{j=1, \ldots}$, but the way it should be remember and used is that it obeys the following swapping rule of the inner product, $$ \forall(u, v) \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^n, \quad\langle A u, v\rangle{\mathbb{R}^n}=\left\langle u, A^{\top} v\right\rangle_{\mathbb{R}^p}
$$
Computing gradient for function involving linear operator will necessarily requires such a transposition step. This computation shows that
$$
\nabla f(x)=A^{\top}(A x-y)
$$
This implies that solutions $x^{\star}$ minimizing $f(x)$ satisfies the linear system $\left(A^{\top} A\right) x^{\star}=A^{\top} y$. If $A^{\star} A \in \mathbb{R}^{p \times p}$ is invertible, then $f$ has a single minimizer, namely
$$
x^{\star}=\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} y .
$$
This shows that in this case, $x^{\star}$ depends linearly on the data $y$, and the corresponding linear operator $\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\star}$ is often called the Moore-Penrose pseudo-inverse of $A$ (which is not invertible in general, since typically $p \neq n$ ). The condition that $A^{\top} A$ is invertible is equivalent to ker $(A)={0}$, since
$$
A^{\top} A x=0 \quad \Longrightarrow \quad \mid A x |^2=\left\langle A^{\top} A x, x\right\rangle=0 \quad \Longrightarrow \quad A x=0 .
$$
In particular, if $n<p$ (under-determined regime, there is too much parameter or too few data) this can never holds. If $n \geqslant p$ and the features $x_i$ are “random” then $\operatorname{ker}(A)={0}$ with probability one. In this overdetermined situation $n \geqslant p, \operatorname{ker}(A)={0}$ only holds if the features $\left{a_i\right}_{i=1}^n$ spans a linear space $\operatorname{Im}\left(A^{\top}\right)$ of dimension strictly smaller than the ambient dimension $p$.

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Link with PCA

Let us assume the $\left(a_i\right){i=1}^n$ are centered, i.e. $\sum_i a_i=0$. If this is not the case, one needs to replace $a_i$ by $a_i-m$ where $m \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{1}{n} \sum{i=1}^n a_i \in \mathbb{R}^p$ is the empirical mean. In this case, $\frac{C}{n}=A^{\top} A / n \in \mathbb{R}^{p \times p}$ is the empirical covariance of the point cloud $\left(a_i\right)i$, it encodes the covariances between the coordinates of the points. Denoting $a_i=\left(a{i, 1}, \ldots, a_{i, p}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^p$ (so that $\left.A=\left(a_{i, j}\right){i, j}\right)$ the coordinates, one has $$ \forall(k, \ell) \in{1, \ldots, p}^2, \quad \frac{C{k, \ell}}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{i, k} a_{i, \ell}
$$
In particular, $C_{k, k} / n$ is the variance along the axis $k$. More generally, for any unit vector $u \in \mathbb{R}^p,\langle C u, u\rangle / n \geqslant$ 0 is the variance along the axis $u$.
For instance, in dimension $p=2$,
$$
\frac{C}{n}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n a_{i, 1}^2 \quad \sum_{i=1}^n a_{i, 1} a_{i, 2}\right)
$$
Since $C$ is a symmetric, it diagonalizes in an ortho-basis $U=\left(u_1, \ldots, u_p\right) \in \mathbb{R}^{p \times p}$. Here, the vectors $u_k \in \mathbb{R}^p$ are stored in the columns of the matrix $U$. The diagonalization means that there exist scalars (the eigenvalues) $\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\right)$ so that $\left(\frac{1}{n} C\right) u_k=\lambda_k u_k$. Since the matrix is orthogononal, $U U^{\top}=U^{\top} U=\mathrm{Id}_p$, and equivalently $U^{-1}=U^{\top}$. The diagonalization property can be conveniently written as $\frac{1}{n} C=U \operatorname{diag}\left(\lambda_k\right) U^{\top}$. One can thus re-write the covariance quadratic form in the basis $U$ as being a separable sum of $p$ squares
$$
\frac{1}{n}\langle C x, x\rangle=\left\langle U \operatorname{diag}\left(\lambda_k\right) U^{\top} x, x\right\rangle=\left\langle\operatorname{diag}\left(\lambda_k\right)\left(U^{\top} x\right),\left(U^{\top} x\right)\right\rangle=\sum_{k=1}^p \lambda_k\left\langle x, u_k\right\rangle^2 .
$$
Here $\left(U^{\top} x\right)_k=\left\langle x, u_k\right\rangle$ is the coordinate $k$ of $x$ in the basis $U$. Since $\langle C x, x\rangle=|A x|^2$, this shows that all the eigenvalues $\lambda_k \geqslant 0$ are positive.

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机器学习中的优化理论代考

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Least Squares

最重要的梯度公式是平方损失 (3) 中的一个,可以通过扩展范数得到
$$
f(x+\varepsilon)=\frac{1}{2}|A x-y+A \varepsilon|^2=\frac{1}{2}|A x-y|+\langle A x-y, A \varepsilon\rangle+\frac{1}{2}|A \varepsilon|^2 \quad=f(x)+\left\langle\varepsilon, A^{\top}(A x\right.
$$
在这里,我们使用了这样一个事实 $|A \varepsilon|^2=o(|\varepsilon|)$ 并使用转置矩阵 $A^{\top}$. 这个矩阵是通过交换行和列得到的,即 $A^{\top}=\left(A_{j, i}\right) i=1, \ldots, n^{j=1, \cdots}$ ,但它应该被记住和使用的方式是它遵守以下内积交换规则,
$$
\forall(u, v) \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^n, \quad\langle A u, v\rangle \mathbb{R}^n=\left\langle u, A^{\top} v\right\rangle_{\mathbb{R}^p}
$$
计算涉及线性算子的函数的梯度必然需要这样的转置步骤。这个计算表明
$$
\nabla f(x)=A^{\top}(A x-y)
$$
这意味着解决方案 $x^{\star}$ 最小化 $f(x)$ 满足线性系统 $\left(A^{\top} A\right) x^{\star}=A^{\top} y$. 如果 $A^{\star} A \in \mathbb{R}^{p \times p}$ 是可逆的,那么 $f$ 有一 个最小化器,即
$$
x^{\star}=\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} y .
$$
这表明在这种情况下, $x^{\star}$ 线性依赖于数据 $y$ ,以及对应的线性算子 $\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\star}$ 通常称为 Moore-Penrose 伪逆 $A$ (一般来说这是不可逆的,因为通常 $p \neq n$ ). 条件是 $A^{\top} A$ 是可逆的相当于 $\operatorname{ker}(A)=0$ ,自从
$$
A^{\top} A x=0 \quad \Longrightarrow|A x|^2=\left\langle A^{\top} A x, x\right\rangle=0 \quad \Longrightarrow \quad A x=0 .
$$
特别是,如果 $n<p$ (末确定的制度,参数太多或数据太少) 这永远不会成立。如果 $n \geqslant p$ 和功能 $x_i$ 那么是“随 机的” $\operatorname{ker}(A)=0$ 概率为 1 。在这种多定的情况下 $n \geqslant p, \operatorname{ker}(A)=0$ 仅当特征成立 $\backslash$ left{a_ilright}_{i=1}^n 跨 $^{\prime}$ 越线性空间 $\operatorname{Im}\left(A^{\top}\right)$ 尺寸严格小于环境尺寸 $p$.

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让我们假设 $\left(a_i\right) i=1^n$ 居中,即 $\sum_i a_i=0$. 如果不是这种情况,则需要更换 $a_i$ 经过 $a_i-m$ 在哪里 $m \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{1}{n} \sum i=1^n a_i \in \mathbb{R}^p$ 是经验平均值。在这种情况下, $\frac{C}{n}=A^{\top} A / n \in \mathbb{R}^{p \times p}$ 是点云的经验协方差 $\left(a_i\right) i$ ,它对点坐标之间的协方差进行编码。表示 $a_i=\left(a i, 1, \ldots, a_{i, p}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^p$ (以便 $\left.A=\left(a_{i, j}\right) i, j\right)$ 坐 标,一个有
$$
\forall(k, \ell) \in 1, \ldots, p^2, \quad \frac{C k, \ell}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{i, k} a_{i, \ell}
$$
尤其是, $C_{k, k} / n$ 是沿轴的方差 $k$. 更一般地,对于任何单位向量 $u \in \mathbb{R}^p,\langle C u, u\rangle / n \geqslant 0$ 是沿轴的方差 $u$. 例如,在维度 $p=2$ ,
$$
\frac{C}{n}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n a_{i, 1}^2 \quad \sum_{i=1}^n a_{i, 1} a_{i, 2}\right)
$$
自从 $C$ 是对称的,它在正交基上对角化 $U=\left(u_1, \ldots, u_p\right) \in \mathbb{R}^{p \times p}$. 在这里,载体 $u_k \in \mathbb{R}^p$ 存储在矩阵的列中 $U$. 对角化意味着存在标量 (特征值) $\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\right)$ 以便 $\left(\frac{1}{n} C\right) u_k=\lambda_k u_k$. 由于矩阵是正交的,
$U U^{\top}=U^{\top} U=\operatorname{Id}p$ ,并且等价地 $U^{-1}=U^{\top}$. 对角化属性可以方便地写为 $\frac{1}{n} C=U \operatorname{diag}\left(\lambda_k\right) U^{\top}$. 因此可 以重写基中的协方差二次形式 $U$ 作为一个可分离的总和 $p$ 正方形 $$ \frac{1}{n}\langle C x, x\rangle=\left\langle U \operatorname{diag}\left(\lambda_k\right) U^{\top} x, x\right\rangle=\left\langle\operatorname{diag}\left(\lambda_k\right)\left(U^{\top} x\right),\left(U^{\top} x\right)\right\rangle=\sum{k=1}^p \lambda_k\left\langle x, u_k\right\rangle^2
$$
这里 $\left(U^{\top} x\right)_k=\left\langle x, u_k\right\rangle$ 是坐标 $k$ 的 $x$ 在基础上 $U$. 自从 $\langle C x, x\rangle=|A x|^2$ ,这表明所有的特征值 $\lambda_k \geqslant 0$ 是积极 的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|EECS559

如果你也在 怎样代写机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy CSC4512这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

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数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|EECS559

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Derivative and gradient

If $f$ is differentiable along each axis, we denote
$$
\nabla f(x) \stackrel{\text { def. }}{=}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_p}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^p
$$
the gradient vector, so that $\nabla f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$ is a vector field. Here the partial derivative (when they exits) are defined as
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_k} \stackrel{\text { def. }}{=} \lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{f\left(x+\eta \delta_k\right)-f(x)}{\eta}
$$
where $\delta_k=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)^{\top} \in \mathbb{R}^p$ is the $k^{\text {th }}$ canonical basis vector.
Beware that $\nabla f(x)$ can exist without $f$ being differentiable. Differentiability of $f$ at each reads
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, \nabla f(x)\rangle+o(|\varepsilon|) .
$$
Here $R(\varepsilon)=o(\mid \varepsilon |)$ denotes a quantity which decays faster than $\varepsilon$ toward 0 , i.e. $\frac{R(\varepsilon)}{| \varepsilon \mid} \rightarrow 0$ as $\varepsilon \rightarrow 0$. Existence of partial derivative corresponds to $f$ being differentiable along the axes, while differentiability should hold for any converging sequence of $\varepsilon \rightarrow 0$ (i.e. not along along a fixed direction). A counter example in 2-D is $f(x)=\frac{2 x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2}$ with $f(0)=0$, which is affine with different slope along each radial lines.

Also, $\nabla f(x)$ is the only vector such that the relation (7). This means that a possible strategy to both prove that $f$ is differentiable and to obtain a formula for $\nabla f(x)$ is to show a relation of the form
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, g\rangle+o(|\varepsilon|),
$$
in which case one necessarily has $\nabla f(x)=g$.
The following proposition shows that convexity is equivalent to the graph of the function being above its tangents.

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|First Order Conditions

The main theoretical interest (we will see later that it also have algorithmic interest) of the gradient vector is that it is a necessarily condition for optimality, as stated below.

Proposition 2. If $x^{\star}$ is a local minimum of the function $f$ (i.e. that $f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)$ for all $x$ in some ball around $x^{\star}$ ) then
$$
\nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
Proof. One has for $\varepsilon$ small enough and $u$ fixed
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(x^{\star}+\varepsilon u\right)=f\left(x^{\star}\right)+\varepsilon\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle+o(\varepsilon) \quad \Longrightarrow\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle \geqslant o(1) \quad \Longrightarrow \quad\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle \geqslant 0 .
$$
So applying this for $u$ and $-u$ in the previous equation shows that $\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle=0$ for all $u$, and hence $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$

Note that the converse is not true in general, since one might have $\nabla f(x)=0$ but $x$ is not a local mininimum. For instance $x=0$ for $f(x)=-x^2$ (here $x$ is a maximizer) or $f(x)=x^3$ (here $x$ is neither a maximizer or a minimizer, it is a saddle point), see Fig. 6 . Note however that in practice, if $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ but $x$ is not a local minimum, then $x^{\star}$ tends to be an unstable equilibrium. Thus most often a gradient-based algorithm will converge to points with $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ that are local minimizers. The following proposition shows that a much strong result holds if $f$ is convex.

Proposition 3. If $f$ is convex and $x^{\star}$ a local minimum, then $x^{\star}$ is also a global minimum. If $f$ is differentiable and convex,
$$
x^{\star} \in \underset{x}{\operatorname{argmin}} f(x) \Longleftrightarrow \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
Proof. For any $x$, there exist $0<t<1$ small enough such that $t x+(1-t) x^{\star}$ is close enough to $x^{\star}$, and so since it is a local minimizer
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(t x+(1-t) x^{\star}\right) \leqslant t f(x)+(1-t) f\left(x^{\star}\right) \quad \Longrightarrow \quad f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)
$$
and thus $x^{\star}$ is a global minimum.
For the second part, we already saw in (2) the $\Leftarrow$ part. We assume that $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$. Since the graph of $x$ is above its tangent by convexity (as stated in Proposition 1),
$$
f(x) \geqslant f\left(x^{\star}\right)+\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), x-x^{\star}\right\rangle=f\left(x^{\star}\right) .
$$
Thus in this case, optimizing a function is the same a solving an equation $\nabla f(x)=0$ (actually $p$ equations in $p$ unknown). In most case it is impossible to solve this equation, but it often provides interesting information about solutions $x^{\star}$.

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|EECS559

机器学习中的优化理论代考

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Derivative and gradient

如果 $f$ 沿每个轴可微分,我们表示
$$
\nabla f(x) \stackrel{\text { def. }}{=}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_p}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^p
$$
梯度向量,因此 $\nabla f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$ 是矢量场。这里的偏导数(当它们退出时) 定义为
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_k} \stackrel{\text { def. }}{=} \lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{f\left(x+\eta \delta_k\right)-f(x)}{\eta}
$$
在哪里 $\delta_k=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)^{\top} \in \mathbb{R}^p$ 是个 $k^{\text {th }}$ 规范基向量。 当心那个 $\nabla f(x)$ 可以存在没有 $f$ 是可区分的。的可微性 $f$ 在每次读取
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, \nabla f(x)\rangle+o(|\varepsilon|) .
$$
这里 $R(\varepsilon)=o(|\varepsilon|)$ 表示衰减速度快于 $\varepsilon$ 趋于 0 ,即 $\frac{R(\varepsilon)}{|\varepsilon|} \rightarrow 0$ 作为 $\varepsilon \rightarrow 0$. 偏导数的存在对应于 $f$ 沿轴可微,而 可微性应适用于任何收敛序列 $\varepsilon \rightarrow 0$ (即不沿若固定方向) 。二维中的一个反例是 $f(x)=\frac{2 x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2}$ 和 $f(0)=0$ ,沿每条径向线具有不同的斜率仿射。
还, $\nabla f(x)$ 是唯一满足关系 (7) 的向量。这意味着一个可能的策略来证明 $f$ 是可微的,并得到一个公式 $\nabla f(x)$ 是显示形式的关系
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, g\rangle+o(|\varepsilon|),
$$
在这种情况下,一个人必然有 $\nabla f(x)=g$.
下面的命题表明凸性等价于函数的图形在其切线之上。

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|First Order Conditions

梯度向量的主要理论意义 (我们稍后会看到它也有算法意义) 是它是最优性的必要条件,如下所述。
命题 2. 如果 $x^{\star}$ 是函数的局部最小值 $f$ (即那个 $f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)$ 对所有人 $x$ 在一些球周围 $x^{\star}$ ) 然后
$$
\nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
证明。一个有 $\varepsilon$ 足够小并且 $u$ 固定的
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(x^{\star}+\varepsilon u\right)=f\left(x^{\star}\right)+\varepsilon\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle+o(\varepsilon) \quad \Longrightarrow\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle \geqslant o(1) \quad \Longrightarrow \quad\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right)\right.
$$
所以申请这个 $u$ 和 $-u$ 在前面的等式中表明 $\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle=0$ 对所有人 $u$ ,因此 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$
请注意,通常情况下情况并非如此,因为一个人可能有 $\nabla f(x)=0$ 但 $x$ 不是局部最小值。例如 $x=0$ 为了 $f(x)=-x^2$ (这里 $x$ 是最大化器) 或 $f(x)=x^3$ (这里 $x$ 既不是最大化器也不是最小化器,它是一个鞍点), 见图 6。但是请注意,在实践中,如果 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ 但 $x$ 不是局部最小值,那么 $x^{\star}$ 趋于不稳定的平衡。因此, 大多数情况下,基于梯度的算法将收敛到具有 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ 是局部最小化器。下面的命题表明如果 $f$ 是凸的。
命题 3. 如果 $f$ 是凸的并且 $x^{\star} 一 个$ 局部最小值,然后 $x^{\star}$ 也是全局最小值。如果 $f$ 是可微且凸的,
$$
x^{\star} \in \underset{x}{\operatorname{argmin}} f(x) \Longleftrightarrow \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
证明。对于任何 $x$ ,存在 $0<t<1$ 足够小以至于 $t x+(1-t) x^{\star}$ 足够接近 $x^{\star}$ ,所以因为它是局部最小化器
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(t x+(1-t) x^{\star}\right) \leqslant t f(x)+(1-t) f\left(x^{\star}\right) \quad \Longrightarrow \quad f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)
$$
对于第二部分,我们已经在 (2) 中看到了と部分。我们假设 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$. 由于图 $x$ 高于其凸性切线(如命题 1 所述),
$$
f(x) \geqslant f\left(x^{\star}\right)+\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), x-x^{\star}\right\rangle=f\left(x^{\star}\right) .
$$
因此在这种情况下,优化函数与求解方程相同 $\nabla f(x)=0$ (实际上 $p$ 中的方程式 $p$ 末知) 。在大多数情况下,求 解亥方程是不可能的,但它通常会提供有关解的有趣信息 $x^{\star}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy每个优化问题都包含三个组成部分:目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时,它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数,通常表示为 f 或 z,反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Basics of Convex Analysis

In general, there might be no solution to the optimization (1). This is of course the case if $f$ is unbounded by below, for instance $f(x)=-x^2$ in which case the value of the minimum is $-\infty$. But this might also happen if $f$ does not grow at infinity, for instance $f(x)=e^{-x}$, for which min $f=0$ but there is no minimizer. In order to show existence of a minimizer, and that the set of minimizer is bounded (otherwise one can have problems with optimization algorithm that could escape to infinity), one needs to show that one can replace the whole space $\mathbb{R}^p$ by a compact sub-set $\Omega \subset \mathbb{R}^p$ (i.e. $\Omega$ is bounded and close) and that $f$ is continuous on $\Omega$ (one can replace this by a weaker condition, that $f$ is lower-semi-continuous, but we ignore this here). A way to show that one can consider only a bounded set is to show that $f(x) \rightarrow+\infty$ when $x \rightarrow+\infty$. Such a function is called coercive. In this case, one can choose any $x_0 \in \mathbb{R}^p$ and consider its associated lower-level set
$$
\Omega=\left{x \in \mathbb{R}^p ; f(x) \leqslant f\left(x_0\right)\right}
$$
which is bounded because of coercivity, and closed because $f$ is continuous. One can actually show that for convex function, having a bounded set of minimizer is equivalent to the function being coercive (this is not the case for non-convex function, for instance $f(x)=\min \left(1, x^2\right)$ has a single minimum but is not coercive).
Example 1 (Least squares). For instance, for the quadratic loss function $f(x)=\frac{1}{2}|A x-y|^2$, coercivity holds if and only if $\operatorname{ker}(A)={0}$ (this corresponds to the overdetermined setting). Indeed, if $\operatorname{ker}(A) \neq{0}$ if $x^{\star}$ is a solution, then $x^{\star}+u$ is also solution for any $u \in \operatorname{ker}(A)$, so that the set of minimizer is unbounded. On contrary, if $\operatorname{ker}(A)={0}$, we will show later that the set of minimizer is unique, see Fig. 3 . If $\ell$ is strictly convex, the same conclusion holds in the case of classification.

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Convexity

Convex functions define the main class of functions which are somehow “simple” to optimize, in the sense that all minimizers are global minimizers, and that there are often efficient methods to find these minimizers (at least for smooth convex functions). A convex function is such that for any pair of point $(x, y) \in\left(\mathbb{R}^p\right)^2$,
$$
\forall t \in[0,1], \quad f((1-t) x+t y) \leqslant(1-t) f(x)+t f(y)
$$
which means that the function is below its secant (and actually also above its tangent when this is well defined), see Fig. 4 . If $x^{\star}$ is a local minimizer of a convex $f$, then $x^{\star}$ is a global minimizer, i.e. $x^{\star} \in$ argmin $f$. Convex function are very convenient because they are stable under lots of transformation. In particular, if $f, g$ are convex and $a, b$ are positive, $a f+b g$ is convex (the set of convex function is itself an infinite dimensional convex cone!) and so is $\max (f, g)$. If $g: \mathbb{R}^q \rightarrow \mathbb{R}$ is convex and $B \in \mathbb{R}^{q \times p}, b \in \mathbb{R}^q$ then $f(x)=g(B x+b)$ is convex. This shows immediately that the square loss appearing in (3) is convex, since $|$. $|^2 / 2$ is convex (as a sum of squares). Also, similarly, if $\ell$ and hence $L$ is convex, then the classification loss function (4) is itself convex.

Strict convexity. When $f$ is convex, one can strengthen the condition (5) and impose that the inequality is strict for $t \in] 0,1[$ (see Fig. 4, right), i.e.
$$
\forall t \in] 0,1[, \quad f((1-t) x+t y)<(1-t) f(x)+t f(y) .
$$
In this case, if a minimum $x^{\star}$ exists, then it is unique. Indeed, if $x_1^{\star} \neq x_2^{\star}$ were two different minimizer, one would have by strict convexity $f\left(\frac{x_i^+x_2^}{2}\right)<f\left(x_1^{\star}\right)$ which is impossible.
Example 2 (Least squares). For the quadratic loss function $f(x)=\frac{1}{2}|A x-y|^2$, strict convexity is equivalent to $\operatorname{ker}(A)={0}$. Indeed, we see later that its second derivative is $\partial^2 f(x)=A^{\top} A$ and that strict convexity is implied by the eigenvalues of $A^{\top} A$ being strictly positive. The eigenvalues of $A^{\top} A$ being positive, it is equivalent to $\operatorname{ker}\left(A^{\top} A\right)={0}$ (no vanishing eigenvalue), and $A^{\top} A z=0$ implies $\left\langle A^{\top} A z, z\right\rangle=\mid A z |^2=0$ i.e. $z \in \operatorname{ker}(A)$

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机器学习中的优化理论代考

数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Basics of Convex Analysis

通常,优化 (1) 可能无解。这当然是这样的,如果 $f$ 不受以下限制,例如 $f(x)=-x^2$ 在这种情况下,最小值是 $-\infty$. 但这也可能发生,如果 $f$ 不会无限增长,例如 $f(x)=e^{-x}$ ,其中分钟 $f=0$ 但没有最小化器。为了证明最 小化器的存在,并且最小化器的集合是有界的(否则优化算法可能会出现问题,可能会逃逸到无穷大),需要证 明可以替换整个空间 $\mathbb{R}^p$ 通过一个紧凑的子集 $\Omega \subset \mathbb{R}^p$ (IE $\Omega$ 是有界且接近的) 并且 $f$ 是连续的 $\Omega$ (可以用一个较 弱的条件代替它,即 $f$ 是下半连续的,但我们在这里忽略它) 。证明只能考虑有界集的一种方法是证明
$f(x) \rightarrow+\infty$ 什么时候 $x \rightarrow+\infty$. 这种功能称为强制性。在这种情况下,可以选择任何 $x_0 \in \mathbb{R}^p$ 并考虑其相关 的低层集
IOmega $=\backslash$ left ${x$ \in $\backslash m a t h b b{R} \wedge p ; f(x)$ \eqslant flleft(x_o\right)\right } }
由于矨顽力而有界,由于 $f$ 是连续的。实际上可以证明,对于凸函数,具有一组有界的最小值等价于函数是强制 的(例如,非凸函数不是这种情况 $f(x)=\min \left(1, x^2\right)$ 有一个最低限度但不是强制性的)。
示例 1 (最小二乘法) 。例如,对于二次损失函数 $f(x)=\frac{1}{2}|A x-y|^2$ ,知颁力成立当且仅当 $\operatorname{ker}(A)=0$
(这对应于超定设置) 。的确,如果 $\operatorname{ker}(A) \neq 0$ 如果 $x^{\star}$ 是解,那么 $x^{\star}+u$ 也是任何解决方案 $u \in \operatorname{ker}(A)$ , 所以最小化器的集合是无界的。相反,如果 $\operatorname{ker}(A)=0$ ,我们稍后将证明最小化器的集合是唯一的,见图 3。 如果 $\ell$ 是严格凸的,同样的结论在分类的情况下成立。

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凸函数定义了在某种程度上”简单”优化的函数的主要类别,因为所有最小化器都是全局最小化器,并且通常有有 效的方法来找到这些最小化器(至少对于平滑凸函数)。凸函数是这样的,对于任何一对点 $(x, y) \in\left(\mathbb{R}^p\right)^2$ ,
$$
\forall t \in[0,1], \quad f((1-t) x+t y) \leqslant(1-t) f(x)+t f(y)
$$
这意味着该函数低于其割线 (并且在明确定义时实际上也高于其切线),参见图 4 。如果 $x^{\star}$ 是凸的局部最小值 $f$ ,然后 $x^{\star}$ 是全局最小化器,即 $x^{\star} \in$ 精定酸 $f$. 凸函数非常方便,因为它们在大量变换下是稳定的。特别是,如 果 $f, g$ 是凸的和 $a, b$ 是积极的, $a f+b g$ 是凸的(凸函数集本身就是一个无限维的凸锥!) 所以是 $\max (f, g)$. 如果 $g: \mathbb{R}^q \rightarrow \mathbb{R}$ 是凸的并且 $B \in \mathbb{R}^{q \times p}, b \in \mathbb{R}^q$ 然后 $f(x)=g(B x+b)$ 是凸的。这立即表明 (3) 中出现的平 方损失是凸的,因为 $|.|^2 / 2$ 是凸的 (作为平方和) 。同样,如果 $\ell$ 因此 $L$ 是凸的,那么分类损失函数(4)本身就 是凸的。
严格的凸性。什么时候 $f$ 是凸的,可以加强条件 (5) 并强加不等式是严格的 $t \in] 0,1$ [(见图4右),即
$$
\forall t \in] 0,1[, \quad f((1-t) x+t y)<(1-t) f(x)+t f(y) .
$$
在这种情况下,如果至少 $x^{\star}$ 存在,则唯一。的确,如果 $x_1^{\star} \neq x_2^{\star}$ 是两个不同的最小化器,一个会通过严格的凸
示例 2 (最小二乘法) 。对于二次损失函数 $f(x)=\frac{1}{2}|A x-y|^2$ ,严格凸性等价于 $\operatorname{ker}(A)=0$. 事实上,我们 稍后会看到它的二阶导数是 $\partial^2 f(x)=A^{\top} A$ 并且严格的凸性由特征值暗示 $A^{\top} A$ 是严格积极的。的特征值 $A^{\top} A$ 为正,相当于 $\operatorname{ker}\left(A^{\top} A\right)=0$ (没有消失的特征值),和 $A^{\top} A z=0$ 暗示 $\left\langle A^{\top} A z, z\right\rangle=|A z|^2=0$ I $z \in \operatorname{ker}(A)$

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MTH103

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应用数学是不同领域对数学方法的应用,如物理学、工程学、医学、生物学、金融、商业、计算机科学和工业。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MTH103

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Traveling waves

One of the principal features of the KPP equation is the existence of traveling waves which describe the invasion of an unpopulated region (or a region whose population does not possess the favorable allele) from an adjacent populated region.
A traveling wave is a solution of the form
(1.9) $u(x, t)=f(x-c t)$
where $c$ is a constant wave speed. This solution consists of a fixed spatial profile that propagates with velocity $c$ without changing its shape.

For definiteness we assume that $c>0$. The case $c<0$ can be reduced to this one by a reflection $x \mapsto-x$, which transforms a right-moving wave into a left-moving wave.
Use of (1.9) in (1.8) implies that $f(x)$ satisfies the ODE
(1.10) $\quad f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f(1-f)=0$.
The equilibria of this $\mathrm{ODE}$ are $f-0, f-1$.
Note that (1.10) describes the spatial dynamics of traveling waves, whereas (1.6) describes the temporal dynamics of uniform solutions. Although these equations have the same equilibrium solutions, they are different ODEs (for example, one is second order, and the other first order) and the stability of their equilibrium solutions means different things.
The linearization of $(1.10)$ at $f=0$ is
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f=0 .
$$
The characteristic equation of this $\mathrm{ODE}$ is
$$
\lambda^2+c \lambda+1=0
$$
with roots
$$
\lambda=\frac{1}{2}\left{-c \pm \sqrt{c^2-4}\right} .
$$
Thus, the equilibrium $f=0$ is a stable spiral point if $0<c<2$, a degenerate stable node if $c=2$, and a stable node if $2<c<\infty$.
The linearization of $(1.10)$ at $f=1$ is
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}-f=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The existence of traveling waves

Let us discuss the existence of positive traveling waves in a little more detail. If $c=5 / \sqrt{6}$, there is a simple explicit solution for the traveling wave [1]:
$$
F(x)=\frac{1}{\left(1+e^{x / \sqrt{6}}\right)^2} .
$$
Although there is no similar explicit solution for general values of $c$, we can show the existence of traveling waves by a qualitative argument.

Writing (1.10) as a first order system of ODEs for $(f, g)$, where $g=f^{\prime}$, we get
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}=g, \
&g^{\prime}=-f(1-f)-c g .
\end{aligned}
$$
For $c \geq 2$, we choose $0<\beta \leq 1$ such that $$ \beta+\frac{1}{\beta}=c, \quad \beta=\frac{1}{2}\left(c-\sqrt{c^2-4}\right) . $$ Then, on the line $g=-\beta f$ with $00,
$$
is in the direction
$$
\vec{r}=\left(\begin{array}{l}
-1 \
-\lambda
\end{array}\right)
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MTH103

应用数学代考

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Traveling waves

KPP 方程的主要特征之一是行波的存在,它描述了从邻近的人口稠密地区入侵无人居住的地区 (或人口不具备 有利等位基因的地区)。
行波是
(1.9)形式的解 $u(x, t)=f(x-c t)$
在哪里 $c$ 是恒定的波速。该解决方案包含一个以速度传播的固定空间剖面 $c$ 不改变它的形状。
为了确定性,我们假设 $c>0$. 案子 $c<0$ 可以通过反射减少到这个 $x \mapsto-x$ ,它将向右移动的波转换为向左移 动的波。
在 (1.8) 中使用 (1.9) 意味着 $f(x)$ 满足 ODE
(1.10) $f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f(1-f)=0$.
这个的平衡ODE是 $f-0, f-1$.
请注意,(1.10) 描述了行波的空间动力学,而 (1.6) 描述了均匀解的时间动力学。尽管这些方程具有相同的平衡 解,但它们是不同的 ODE (例如,一个是二阶的,另一个是一阶的)并且它们的平衡解的稳定性意味着不同的 事情。
的线性化 $(1.10)$ 在 $f=0$ 是
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f=0 .
$$
这个的特征方程 $\mathrm{ODE}$ 是
$$
\lambda^2+c \lambda+1=0
$$
有根
$$
\backslash \text { lambda }=\backslash \text { frac }{1}{2} \backslash \text { eft }\left{-c \backslash p m \backslash \text { sqrt }\left{c^{\wedge} 2-4\right} \backslash \text { right }\right} 。
$$
因此,平衡 $f=0$ 是一个稳定的螺旋点,如果 $0<c<2$ ,一个退化的稳定节点如果 $c=2$ ,和一个稳定的节点如 果 $2<c<\infty$.
的线性化 $(1.10)$ 在 $f=1$ 是
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}-f=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The existence of traveling waves

让我们更详细地讨论正行波的存在。如果 $c=5 / \sqrt{6}$ ,行波有一个简单的显式解 [1]:
$$
F(x)=\frac{1}{\left(1+e^{x / \sqrt{6}}\right)^2} .
$$
虽然对于一般的值没有类似的显式解决方案 $c$ ,我们可以通过定性论证证明行波的存在。
将 (1.10) 写为 $\mathrm{ODE}$ 的一阶系统 $(f, g)$ ,在哪里 $g=f^{\prime}$ ,我们得到
$$
f^{\prime}=g, \quad g^{\prime}=-f(1-f)-c g .
$$
为了 $c \geq 2$ ,我们选择 $0<\beta \leq 1$ 这样
$$
\beta+\frac{1}{\beta}=c, \quad \beta=\frac{1}{2}\left(c-\sqrt{c^2-4}\right) .
$$
然后,上线 $g=-\beta f$ 和 00, isinthedirection $\vec{r}=(-1-\lambda) \$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MATH101

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Maximum principle

According to the maximum principle, the solution of $(1.5)$ remains nonnegative if the initial data $u_0(x)=u(x, 0)$ is non-negative, which is consistent with its use as a model of population or probability.

The maximum principle holds because if $u$ first crosses from positive to negative values at time $t_0$ at the point $x_0$, and if $u(x, t)$ has a nondegenerate minimum at $x_0$, then $u_{x x}\left(x_0, t_0\right)>0$. Hence, from $(1.5), u_t\left(x_0, t_0\right)>0$, so $u$ cannot evolve forward in time into the region $u<0$. A more careful argument is required to deal with degenerate minima, and with boundaries, but the conclusion is the same [18, 42]. A similar argument shows that $u(x, t) \leq 1$ for all $t \geq 0$ if $u_0(x) \leq 1$.

Remark 1.3. A forth-order diffusion equation, such as
$$
u_t=-u_{x x x x}+u(1-u)
$$
does not satisfy a maximum principle, and it is possible for positive initial data to evolve into negative values.

Spatially uniform solutions of (1.5) satisfy the logistic equation
(1.6) $u_t=k u(a-u)$.
This ODE has two equilibrium solutions at $u=0, u=a$.
The solution $u=0$ corresponds to a complete absence of the species, and is unstable. Small disturbances grow initially like $u_0 e^{k a t}$. The solution $u=a$ corresponds to the maximum population that can be sustained by the available resources. It is globally asymptotically stable, meaning that any solution of (1.6) with a strictly positive initial value approaches $a$ as $t \rightarrow \infty$.

Thus, the PDE (1.5) describes the evolution of a population that satisfies logistic dynamics at each point of space coupled with dispersal into regions of lower population.

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Nondimensionalization

Before discussing (1.5) further, we simplify the equation by rescaling the variables to remove the constants. Let
$$
u=U \bar{u}, \quad x=L \bar{x}, \quad t=T \bar{t}
$$
where $U, L, T$ are arbitrary positive constants. Then
$$
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial \bar{x}}, \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{T} \frac{\partial}{\partial \bar{t}} .
$$
It follows that $\bar{u}(\bar{x}, \bar{t})$ satisfies
$$
\bar{u}{\bar{t}}=\left(\frac{\nu T}{L^2}\right) \bar{u}{x x}+(k T U) \bar{u}\left(\frac{a}{U}-\bar{u}\right) .
$$
Therefore, choosing
$$
U=a, \quad T=\frac{1}{k a}, \quad L=\sqrt{\frac{\nu}{k a}},
$$
and dropping the bars, we find that $u(x, t)$ satisfies
(1.8) $u_t=u_{x x}+u(1-u)$.
Thus, in the absence of any other parameters, none of the coefficients in (1.5) are essential.

If we consider (1.5) on a finite domain of length $\ell$, then the problem depends in an essential way on a dimensionless constant $R$, which we may write as
$$
\mathrm{R}=\frac{k a \ell^2}{\nu} .
$$
We could equivalently use $1 / \mathrm{R}$ or $\sqrt{\mathrm{R}}$, or some other expression, instead of $\mathrm{R}$. From (1.7), we have $\mathrm{R}=T_d / T_r$ where $T_r=T$ is a timescale for solutions of the reaction equation (1.6) to approach the equilibrium value $a$, and $T_d=\ell^2 / \nu$ is a timescale for linear diffusion to significantly influence the entire length $\ell$ of the domain. The qualitative behavior of solutions depends on R.

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MATH101

应用数学代考

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Maximum principle

根据极大值原理,解 (1.5)如果初始数据保持非负 $u_0(x)=u(x, 0)$ 是非负的,这与其用作人口或概率模型是一 致的。
最大原则成立,因为如果 $u$ 首先从正值穿越到负值 $t_0$ 在这一点上 $x_0$ ,而如果 $u(x, t)$ 有一个非退化的最小值 $x_0$ , 然后 $u_{x x}\left(x_0, t_0\right)>0$. 因此,从 $(1.5), u_t\left(x_0, t_0\right)>0$ ,所以 $u$ 无法及时向前演化进入该区域 $u<0$. 需要更 仔细的论证来处理退化最小值和边界,但结论是相同的 $[18 , 42]$ 。类似的论证表明 $u(x, t) \leq 1$ 对所有人 $t \geq 0$ 如果 $u_0(x) \leq 1$.
备注 1.3。四阶扩散方程,例如
$$
u_t=-u_{x x x x}+u(1-u)
$$
不满足极大值原则,正初始数据有可能演化为负值。
(1.5) 的空间均匀解满足 logistic 方程
$$
\text { (1.6) } u_t=k u(a-u) \text {. }
$$
此 ODE 在处有两个平衡解 $u=0, u=a$.
解决方案 $u=0$ 对应于该物种的完全缺失,并且是不稳定的。小干扰最初会像 $u_0 e^{k a t}$. 解决方案 $u=a$ 对应于可 用资源可以维持的最大人口。它是全局渐近稳定的,这意味着 (1.6) 的任何具有严格正初始值的解都趋近 $a$ 作为 $t \rightarrow \infty$
因此,PDE (1.5) 描述了人口的演化,该人口在空间的每个点都满足逻辑动力学,并分散到人口较少的地区。

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Nondimensionalization

在进一步讨论 (1.5) 之前,我们通过重新调整变量以移除常数来简化方程。让
$$
u=U \bar{u}, \quad x=L \bar{x}, \quad t=T \bar{t}
$$
在哪里 $U, L, T$ 是任意正常数。然后
$$
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial \bar{x}}, \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{T} \frac{\partial}{\partial \bar{t}} .
$$
它遵循 $\bar{u}(\bar{x}, \bar{t})$ 满足
$$
\bar{u} \bar{t}=\left(\frac{\nu T}{L^2}\right) \bar{u} x x+(k T U) \bar{u}\left(\frac{a}{U}-\bar{u}\right)
$$
因此,选择
$$
U=a, \quad T=\frac{1}{k a}, \quad L=\sqrt{\frac{\nu}{k a}},
$$
放下酒吧,我们发现 $u(x, t)$ 满足
$$
(1.8) u_t=u_{x x}+u(1-u) \text {. }
$$
因此,在没有任何其他参数的情况下,(1.5) 中的系数都不是必需的。
$$
\mathrm{R}=\frac{k a \ell^2}{\nu} .
$$
我们可以等效地使用 $1 / \mathrm{R}$ 或者 $\sqrt{\mathrm{R}}$ ,或其他一些表达式,而不是 $\mathrm{R}$. 从 (1.7) 中,我们有 $\mathrm{R}=T_d / T_r$ 在哪里 $T_r=T$ 是反应方程式 (1.6) 的解接近平衡值的时间尺度 $a$ ,和 $T_d=\ell^2 / \nu$ 是线性扩散显着影响整个长度的时间 尺度 $\ell$ 域的。解决方案的定性行为取决于 $\mathrm{R}$ 。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Constitutive equations

The conservation law (1.2) is not a closed equation for the density $u$. Typically, we supplement it with constitutive equations that relate the flux $\vec{q}$ and the source density $\sigma$ to $u$ and its derivatives. While the conservation law expresses a general physical principle, constitutive equations describe the response of a particular system being modeled.
Example 1.1. If the flux and source are pointwise functions of the density,
$$
\vec{q}=\vec{f}(u), \quad \sigma=g(u),
$$
then we get a first-order system of PDEs
$$
u_t+\nabla \cdot \vec{f}(u)=g(u) .
$$
For example, in one space dimension, if $g(u)=0$ and $f(u)=u^2 / 2$, we get the inviscid Burgers equation
$$
u_t+\left(\frac{1}{2} u^2\right)_x=0 .
$$
This equation is a basic model equation for hyperbolic systems of conservation laws, such as the compressible Euler equations for the flow of an inviscid compressible fluid [47].

Example 1.2. Suppose that the flux is a linear function of the density gradient,
$$
\vec{q}=-A \nabla u,
$$
where $A$ is a second-order tensor, that is a linear map between vectors. It is represented by an $n \times n$ matrix with respect to a choice of $n$ basis vectors. Then, if $\sigma=0$, we get a second order, linear PDE for $u(\vec{x}, t)$
$$
u_t=\nabla \cdot(A \nabla u) .
$$
Examples of this constitutive equation include: Fourier’s law in heat conduction (heat flux is a linear function of temperature gradient); Fick’s law (flux of solute is a linear function of the concentration gradient); and Darcy’s law (fluid velocity in a porous medium is a linear function of the pressure gradient). It is interesting to note how old each of these laws is: Fourier (1822); Fick (1855); Darcy (1855).
The conductivity tensor $A$ in (1.3) is usually symmetric and positive-definite, in which case (1.4) is a parabolic PDE; the corresponding PDE for equilibrium density distributions $u(\vec{x})$ is then an elliptic equation
$$
\nabla \cdot(A \nabla u)=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The KPP equation

If $\vec{q}=-\nu \nabla u$ and $\sigma=f(u)$ in (1.2), we get a reaction-diffusion equation
$$
u_l=\nu \Delta u+f(u) \text {. }
$$
Spatially uniform solutions satisfy the ODE
$$
u_t=f(u),
$$
which is the ‘reaction’ equation. In addition, diffusion couples together the solution at different points.

Such equations arise, for example, as models of spatially nonuniform chemical reactions, and of population dynamics in spatially distributed species.

The combined effects of spatial diffusion and nonlinear reaction can lead to the formation of many different types of spatial patterns; the spiral waves that occur in Belousov-Zabotinski reactions are one example.

One of the simplest reaction-diffusion equations is the KPP equation (or Fisher equation)
$u_t=\nu u_{x x}+k u(a-u)$
Here, $\nu, k, a$ are positive constants; as we will show, they may be set equal to 1 without loss of generality.

Equation (1.5) was introduced independently by Fisher [22], and Kolmogorov, Petrovsky, and Piskunov [33] in 1937. It provides a simple model for the dispersion of a spatially distributed species with population density $u(x, t)$ or, in Fisher’s work, for the advance of a favorable allele through a spatially distributed population.

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Math2090

应用数学代考

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Constitutive equations

守恒定律 (1.2) 不是密度的封闭方程 $u$. 通常,我们用与通量相关的本构方程来补充它 $q$ 和源密度 $\sigma$ 至 $u$ 及其衍生 物。守恒定律表达了一般的物理原理,而本构方程则描述了被建模的特定系统的响应。
示例 1.1。如果通量和源是密度的逐点函数,
$$
\vec{q}=\vec{f}(u), \quad \sigma=g(u),
$$
然后我们得到 PDE 的一阶系统
$$
u_t+\nabla \cdot \vec{f}(u)=g(u) .
$$
例如,在一个空间维度中,如果 $g(u)=0$ 和 $f(u)=u^2 / 2$, 我们得到无粘性的 Burgers 方程
$$
u_t+\left(\frac{1}{2} u^2\right)_x=0 .
$$
该方程是双曲线守恒定律系统的基本模型方程,例如无粘性可压缩流体流动的可压缩欧拉方程 [47]。
示例 1.2。假设通量是密度梯度的线性函数,
$$
\vec{q}=-A \nabla u
$$
在哪里 $A$ 是二阶张量,即向量之间的线性映射。它由一个代表 $n \times n$ 关于选择的矩阵 $n$ 基础向量。那么,如果 $\sigma=0$ ,我们得到二阶线性 PDE $u(\vec{x}, t)$
$$
u_t=\nabla \cdot(A \nabla u) .
$$
这种本构方程的例子包括:热传导中的傅立叶定律(热通量是温度梯度的线性函数);菲克定律 (溶质通量是 浓度梯度的线性函数);和达西定律(多孔介质中的流体速度是压力梯度的线性函数)。有趣的是注意这些定律 中的每一个有多古老: Fourier (1822);菲克 (1855 年);达西 (1855 年) 。
电导率张量 $A(1.3)$ 中的通常是对称且正定的,在这种情况下 (1.4) 是抛物线 PDE;平衡密度分布的相应 PDE $u(\vec{x})$ 则为椭圆方程
$$
\nabla \cdot(A \nabla u)=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The KPP equation

如果 $\vec{q}=-\nu \nabla u$ 和 $\sigma=f(u)$ 在(1.2)中,我们得到一个反应扩散方程
$$
u_l=\nu \Delta u+f(u) .
$$
空间均匀解满足 ODE
$$
u_t=f(u),
$$
这是“反应”方程。此外,扩散将不同点的溶液耦合在一起。
例如,此类方程作为空间非均匀化学反应模型和空间分布物种的种群动态模型出现。
空间扩散和非线性反应的综合作用可以导致形成许多不同类型的空间格局;Belousov-Zabotinski 反应中发生的 螺旋波就是一个例子。
最简单的反应扩散方程之一是 KPP 方程 (或 Fisher 方程)
$$
u_t=\nu u_{x x}+k u(a-u)
$$
这里, $\nu, k, a$ 是正常数;正如我们将要展示的,在不失一般性的情况下,它们可以设置为等于 1 。
方程 (1.5) 由 Fisher [22] 和 Kolmogorov、Petrovsky 和 Piskunov [33] 于 1937 年独立引入。它为具有种群密 度的空间分布物种的扩散提供了一个简单的模型 $u(x, t)$ 或者,在 Fisher 的工作中,通过空间分布的种群推进有 利的等位基因。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写