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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MTH103

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MTH103

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Traveling waves

One of the principal features of the KPP equation is the existence of traveling waves which describe the invasion of an unpopulated region (or a region whose population does not possess the favorable allele) from an adjacent populated region.
A traveling wave is a solution of the form
(1.9) $u(x, t)=f(x-c t)$
where $c$ is a constant wave speed. This solution consists of a fixed spatial profile that propagates with velocity $c$ without changing its shape.

For definiteness we assume that $c>0$. The case $c<0$ can be reduced to this one by a reflection $x \mapsto-x$, which transforms a right-moving wave into a left-moving wave.
Use of (1.9) in (1.8) implies that $f(x)$ satisfies the ODE
(1.10) $\quad f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f(1-f)=0$.
The equilibria of this $\mathrm{ODE}$ are $f-0, f-1$.
Note that (1.10) describes the spatial dynamics of traveling waves, whereas (1.6) describes the temporal dynamics of uniform solutions. Although these equations have the same equilibrium solutions, they are different ODEs (for example, one is second order, and the other first order) and the stability of their equilibrium solutions means different things.
The linearization of $(1.10)$ at $f=0$ is
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f=0 .
$$
The characteristic equation of this $\mathrm{ODE}$ is
$$
\lambda^2+c \lambda+1=0
$$
with roots
$$
\lambda=\frac{1}{2}\left{-c \pm \sqrt{c^2-4}\right} .
$$
Thus, the equilibrium $f=0$ is a stable spiral point if $0<c<2$, a degenerate stable node if $c=2$, and a stable node if $2<c<\infty$.
The linearization of $(1.10)$ at $f=1$ is
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}-f=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The existence of traveling waves

Let us discuss the existence of positive traveling waves in a little more detail. If $c=5 / \sqrt{6}$, there is a simple explicit solution for the traveling wave [1]:
$$
F(x)=\frac{1}{\left(1+e^{x / \sqrt{6}}\right)^2} .
$$
Although there is no similar explicit solution for general values of $c$, we can show the existence of traveling waves by a qualitative argument.

Writing (1.10) as a first order system of ODEs for $(f, g)$, where $g=f^{\prime}$, we get
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}=g, \
&g^{\prime}=-f(1-f)-c g .
\end{aligned}
$$
For $c \geq 2$, we choose $0<\beta \leq 1$ such that $$ \beta+\frac{1}{\beta}=c, \quad \beta=\frac{1}{2}\left(c-\sqrt{c^2-4}\right) . $$ Then, on the line $g=-\beta f$ with $00,
$$
is in the direction
$$
\vec{r}=\left(\begin{array}{l}
-1 \
-\lambda
\end{array}\right)
$$

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应用数学代考

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Traveling waves

KPP 方程的主要特征之一是行波的存在,它描述了从邻近的人口稠密地区入侵无人居住的地区 (或人口不具备 有利等位基因的地区)。
行波是
(1.9)形式的解 $u(x, t)=f(x-c t)$
在哪里 $c$ 是恒定的波速。该解决方案包含一个以速度传播的固定空间剖面 $c$ 不改变它的形状。
为了确定性,我们假设 $c>0$. 案子 $c<0$ 可以通过反射减少到这个 $x \mapsto-x$ ,它将向右移动的波转换为向左移 动的波。
在 (1.8) 中使用 (1.9) 意味着 $f(x)$ 满足 ODE
(1.10) $f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f(1-f)=0$.
这个的平衡ODE是 $f-0, f-1$.
请注意,(1.10) 描述了行波的空间动力学,而 (1.6) 描述了均匀解的时间动力学。尽管这些方程具有相同的平衡 解,但它们是不同的 ODE (例如,一个是二阶的,另一个是一阶的)并且它们的平衡解的稳定性意味着不同的 事情。
的线性化 $(1.10)$ 在 $f=0$ 是
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}+f=0 .
$$
这个的特征方程 $\mathrm{ODE}$ 是
$$
\lambda^2+c \lambda+1=0
$$
有根
$$
\backslash \text { lambda }=\backslash \text { frac }{1}{2} \backslash \text { eft }\left{-c \backslash p m \backslash \text { sqrt }\left{c^{\wedge} 2-4\right} \backslash \text { right }\right} 。
$$
因此,平衡 $f=0$ 是一个稳定的螺旋点,如果 $0<c<2$ ,一个退化的稳定节点如果 $c=2$ ,和一个稳定的节点如 果 $2<c<\infty$.
的线性化 $(1.10)$ 在 $f=1$ 是
$$
f^{\prime \prime}+c f^{\prime}-f=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The existence of traveling waves

让我们更详细地讨论正行波的存在。如果 $c=5 / \sqrt{6}$ ,行波有一个简单的显式解 [1]:
$$
F(x)=\frac{1}{\left(1+e^{x / \sqrt{6}}\right)^2} .
$$
虽然对于一般的值没有类似的显式解决方案 $c$ ,我们可以通过定性论证证明行波的存在。
将 (1.10) 写为 $\mathrm{ODE}$ 的一阶系统 $(f, g)$ ,在哪里 $g=f^{\prime}$ ,我们得到
$$
f^{\prime}=g, \quad g^{\prime}=-f(1-f)-c g .
$$
为了 $c \geq 2$ ,我们选择 $0<\beta \leq 1$ 这样
$$
\beta+\frac{1}{\beta}=c, \quad \beta=\frac{1}{2}\left(c-\sqrt{c^2-4}\right) .
$$
然后,上线 $g=-\beta f$ 和 00, isinthedirection $\vec{r}=(-1-\lambda) \$$

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MATH101

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MATH101

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Maximum principle

According to the maximum principle, the solution of $(1.5)$ remains nonnegative if the initial data $u_0(x)=u(x, 0)$ is non-negative, which is consistent with its use as a model of population or probability.

The maximum principle holds because if $u$ first crosses from positive to negative values at time $t_0$ at the point $x_0$, and if $u(x, t)$ has a nondegenerate minimum at $x_0$, then $u_{x x}\left(x_0, t_0\right)>0$. Hence, from $(1.5), u_t\left(x_0, t_0\right)>0$, so $u$ cannot evolve forward in time into the region $u<0$. A more careful argument is required to deal with degenerate minima, and with boundaries, but the conclusion is the same [18, 42]. A similar argument shows that $u(x, t) \leq 1$ for all $t \geq 0$ if $u_0(x) \leq 1$.

Remark 1.3. A forth-order diffusion equation, such as
$$
u_t=-u_{x x x x}+u(1-u)
$$
does not satisfy a maximum principle, and it is possible for positive initial data to evolve into negative values.

Spatially uniform solutions of (1.5) satisfy the logistic equation
(1.6) $u_t=k u(a-u)$.
This ODE has two equilibrium solutions at $u=0, u=a$.
The solution $u=0$ corresponds to a complete absence of the species, and is unstable. Small disturbances grow initially like $u_0 e^{k a t}$. The solution $u=a$ corresponds to the maximum population that can be sustained by the available resources. It is globally asymptotically stable, meaning that any solution of (1.6) with a strictly positive initial value approaches $a$ as $t \rightarrow \infty$.

Thus, the PDE (1.5) describes the evolution of a population that satisfies logistic dynamics at each point of space coupled with dispersal into regions of lower population.

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Nondimensionalization

Before discussing (1.5) further, we simplify the equation by rescaling the variables to remove the constants. Let
$$
u=U \bar{u}, \quad x=L \bar{x}, \quad t=T \bar{t}
$$
where $U, L, T$ are arbitrary positive constants. Then
$$
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial \bar{x}}, \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{T} \frac{\partial}{\partial \bar{t}} .
$$
It follows that $\bar{u}(\bar{x}, \bar{t})$ satisfies
$$
\bar{u}{\bar{t}}=\left(\frac{\nu T}{L^2}\right) \bar{u}{x x}+(k T U) \bar{u}\left(\frac{a}{U}-\bar{u}\right) .
$$
Therefore, choosing
$$
U=a, \quad T=\frac{1}{k a}, \quad L=\sqrt{\frac{\nu}{k a}},
$$
and dropping the bars, we find that $u(x, t)$ satisfies
(1.8) $u_t=u_{x x}+u(1-u)$.
Thus, in the absence of any other parameters, none of the coefficients in (1.5) are essential.

If we consider (1.5) on a finite domain of length $\ell$, then the problem depends in an essential way on a dimensionless constant $R$, which we may write as
$$
\mathrm{R}=\frac{k a \ell^2}{\nu} .
$$
We could equivalently use $1 / \mathrm{R}$ or $\sqrt{\mathrm{R}}$, or some other expression, instead of $\mathrm{R}$. From (1.7), we have $\mathrm{R}=T_d / T_r$ where $T_r=T$ is a timescale for solutions of the reaction equation (1.6) to approach the equilibrium value $a$, and $T_d=\ell^2 / \nu$ is a timescale for linear diffusion to significantly influence the entire length $\ell$ of the domain. The qualitative behavior of solutions depends on R.

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|MATH101

应用数学代考

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Maximum principle

根据极大值原理,解 (1.5)如果初始数据保持非负 $u_0(x)=u(x, 0)$ 是非负的,这与其用作人口或概率模型是一 致的。
最大原则成立,因为如果 $u$ 首先从正值穿越到负值 $t_0$ 在这一点上 $x_0$ ,而如果 $u(x, t)$ 有一个非退化的最小值 $x_0$ , 然后 $u_{x x}\left(x_0, t_0\right)>0$. 因此,从 $(1.5), u_t\left(x_0, t_0\right)>0$ ,所以 $u$ 无法及时向前演化进入该区域 $u<0$. 需要更 仔细的论证来处理退化最小值和边界,但结论是相同的 $[18 , 42]$ 。类似的论证表明 $u(x, t) \leq 1$ 对所有人 $t \geq 0$ 如果 $u_0(x) \leq 1$.
备注 1.3。四阶扩散方程,例如
$$
u_t=-u_{x x x x}+u(1-u)
$$
不满足极大值原则,正初始数据有可能演化为负值。
(1.5) 的空间均匀解满足 logistic 方程
$$
\text { (1.6) } u_t=k u(a-u) \text {. }
$$
此 ODE 在处有两个平衡解 $u=0, u=a$.
解决方案 $u=0$ 对应于该物种的完全缺失,并且是不稳定的。小干扰最初会像 $u_0 e^{k a t}$. 解决方案 $u=a$ 对应于可 用资源可以维持的最大人口。它是全局渐近稳定的,这意味着 (1.6) 的任何具有严格正初始值的解都趋近 $a$ 作为 $t \rightarrow \infty$
因此,PDE (1.5) 描述了人口的演化,该人口在空间的每个点都满足逻辑动力学,并分散到人口较少的地区。

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Nondimensionalization

在进一步讨论 (1.5) 之前,我们通过重新调整变量以移除常数来简化方程。让
$$
u=U \bar{u}, \quad x=L \bar{x}, \quad t=T \bar{t}
$$
在哪里 $U, L, T$ 是任意正常数。然后
$$
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial \bar{x}}, \frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{T} \frac{\partial}{\partial \bar{t}} .
$$
它遵循 $\bar{u}(\bar{x}, \bar{t})$ 满足
$$
\bar{u} \bar{t}=\left(\frac{\nu T}{L^2}\right) \bar{u} x x+(k T U) \bar{u}\left(\frac{a}{U}-\bar{u}\right)
$$
因此,选择
$$
U=a, \quad T=\frac{1}{k a}, \quad L=\sqrt{\frac{\nu}{k a}},
$$
放下酒吧,我们发现 $u(x, t)$ 满足
$$
(1.8) u_t=u_{x x}+u(1-u) \text {. }
$$
因此,在没有任何其他参数的情况下,(1.5) 中的系数都不是必需的。
$$
\mathrm{R}=\frac{k a \ell^2}{\nu} .
$$
我们可以等效地使用 $1 / \mathrm{R}$ 或者 $\sqrt{\mathrm{R}}$ ,或其他一些表达式,而不是 $\mathrm{R}$. 从 (1.7) 中,我们有 $\mathrm{R}=T_d / T_r$ 在哪里 $T_r=T$ 是反应方程式 (1.6) 的解接近平衡值的时间尺度 $a$ ,和 $T_d=\ell^2 / \nu$ 是线性扩散显着影响整个长度的时间 尺度 $\ell$ 域的。解决方案的定性行为取决于 $\mathrm{R}$ 。

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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Constitutive equations

The conservation law (1.2) is not a closed equation for the density $u$. Typically, we supplement it with constitutive equations that relate the flux $\vec{q}$ and the source density $\sigma$ to $u$ and its derivatives. While the conservation law expresses a general physical principle, constitutive equations describe the response of a particular system being modeled.
Example 1.1. If the flux and source are pointwise functions of the density,
$$
\vec{q}=\vec{f}(u), \quad \sigma=g(u),
$$
then we get a first-order system of PDEs
$$
u_t+\nabla \cdot \vec{f}(u)=g(u) .
$$
For example, in one space dimension, if $g(u)=0$ and $f(u)=u^2 / 2$, we get the inviscid Burgers equation
$$
u_t+\left(\frac{1}{2} u^2\right)_x=0 .
$$
This equation is a basic model equation for hyperbolic systems of conservation laws, such as the compressible Euler equations for the flow of an inviscid compressible fluid [47].

Example 1.2. Suppose that the flux is a linear function of the density gradient,
$$
\vec{q}=-A \nabla u,
$$
where $A$ is a second-order tensor, that is a linear map between vectors. It is represented by an $n \times n$ matrix with respect to a choice of $n$ basis vectors. Then, if $\sigma=0$, we get a second order, linear PDE for $u(\vec{x}, t)$
$$
u_t=\nabla \cdot(A \nabla u) .
$$
Examples of this constitutive equation include: Fourier’s law in heat conduction (heat flux is a linear function of temperature gradient); Fick’s law (flux of solute is a linear function of the concentration gradient); and Darcy’s law (fluid velocity in a porous medium is a linear function of the pressure gradient). It is interesting to note how old each of these laws is: Fourier (1822); Fick (1855); Darcy (1855).
The conductivity tensor $A$ in (1.3) is usually symmetric and positive-definite, in which case (1.4) is a parabolic PDE; the corresponding PDE for equilibrium density distributions $u(\vec{x})$ is then an elliptic equation
$$
\nabla \cdot(A \nabla u)=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The KPP equation

If $\vec{q}=-\nu \nabla u$ and $\sigma=f(u)$ in (1.2), we get a reaction-diffusion equation
$$
u_l=\nu \Delta u+f(u) \text {. }
$$
Spatially uniform solutions satisfy the ODE
$$
u_t=f(u),
$$
which is the ‘reaction’ equation. In addition, diffusion couples together the solution at different points.

Such equations arise, for example, as models of spatially nonuniform chemical reactions, and of population dynamics in spatially distributed species.

The combined effects of spatial diffusion and nonlinear reaction can lead to the formation of many different types of spatial patterns; the spiral waves that occur in Belousov-Zabotinski reactions are one example.

One of the simplest reaction-diffusion equations is the KPP equation (or Fisher equation)
$u_t=\nu u_{x x}+k u(a-u)$
Here, $\nu, k, a$ are positive constants; as we will show, they may be set equal to 1 without loss of generality.

Equation (1.5) was introduced independently by Fisher [22], and Kolmogorov, Petrovsky, and Piskunov [33] in 1937. It provides a simple model for the dispersion of a spatially distributed species with population density $u(x, t)$ or, in Fisher’s work, for the advance of a favorable allele through a spatially distributed population.

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Math2090

应用数学代考

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Constitutive equations

守恒定律 (1.2) 不是密度的封闭方程 $u$. 通常,我们用与通量相关的本构方程来补充它 $q$ 和源密度 $\sigma$ 至 $u$ 及其衍生 物。守恒定律表达了一般的物理原理,而本构方程则描述了被建模的特定系统的响应。
示例 1.1。如果通量和源是密度的逐点函数,
$$
\vec{q}=\vec{f}(u), \quad \sigma=g(u),
$$
然后我们得到 PDE 的一阶系统
$$
u_t+\nabla \cdot \vec{f}(u)=g(u) .
$$
例如,在一个空间维度中,如果 $g(u)=0$ 和 $f(u)=u^2 / 2$, 我们得到无粘性的 Burgers 方程
$$
u_t+\left(\frac{1}{2} u^2\right)_x=0 .
$$
该方程是双曲线守恒定律系统的基本模型方程,例如无粘性可压缩流体流动的可压缩欧拉方程 [47]。
示例 1.2。假设通量是密度梯度的线性函数,
$$
\vec{q}=-A \nabla u
$$
在哪里 $A$ 是二阶张量,即向量之间的线性映射。它由一个代表 $n \times n$ 关于选择的矩阵 $n$ 基础向量。那么,如果 $\sigma=0$ ,我们得到二阶线性 PDE $u(\vec{x}, t)$
$$
u_t=\nabla \cdot(A \nabla u) .
$$
这种本构方程的例子包括:热传导中的傅立叶定律(热通量是温度梯度的线性函数);菲克定律 (溶质通量是 浓度梯度的线性函数);和达西定律(多孔介质中的流体速度是压力梯度的线性函数)。有趣的是注意这些定律 中的每一个有多古老: Fourier (1822);菲克 (1855 年);达西 (1855 年) 。
电导率张量 $A(1.3)$ 中的通常是对称且正定的,在这种情况下 (1.4) 是抛物线 PDE;平衡密度分布的相应 PDE $u(\vec{x})$ 则为椭圆方程
$$
\nabla \cdot(A \nabla u)=0
$$

数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The KPP equation

如果 $\vec{q}=-\nu \nabla u$ 和 $\sigma=f(u)$ 在(1.2)中,我们得到一个反应扩散方程
$$
u_l=\nu \Delta u+f(u) .
$$
空间均匀解满足 ODE
$$
u_t=f(u),
$$
这是“反应”方程。此外,扩散将不同点的溶液耦合在一起。
例如,此类方程作为空间非均匀化学反应模型和空间分布物种的种群动态模型出现。
空间扩散和非线性反应的综合作用可以导致形成许多不同类型的空间格局;Belousov-Zabotinski 反应中发生的 螺旋波就是一个例子。
最简单的反应扩散方程之一是 KPP 方程 (或 Fisher 方程)
$$
u_t=\nu u_{x x}+k u(a-u)
$$
这里, $\nu, k, a$ 是正常数;正如我们将要展示的,在不失一般性的情况下,它们可以设置为等于 1 。
方程 (1.5) 由 Fisher [22] 和 Kolmogorov、Petrovsky 和 Piskunov [33] 于 1937 年独立引入。它为具有种群密 度的空间分布物种的扩散提供了一个简单的模型 $u(x, t)$ 或者,在 Fisher 的工作中,通过空间分布的种群推进有 利的等位基因。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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