物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|KYA322
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固态物理学是通过量子力学、晶体学、电磁学和冶金学等方法研究刚性物质或固体。它是凝聚态物理学的最大分支。
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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Electrical conductivity
The first application of the Drude theory is to predict the direct-current electrical conductivity of a metal. Let $\mathbf{v}{\mathrm{d}}$ be the electron drift velocity under the action of an externally-applied uniform and constant electric field $\mathbf{E}$. The overall dynamical effect of the collisions experienced by the accelerated electrons is described as a frictional term in their Newton equation of motion $$ -e \mathbf{E}=m{\mathrm{e}} \dot{\mathbf{v}}{\mathrm{d}}+\beta \mathbf{v}{\mathrm{d}},
$$
where $\beta$ is a coefficient to be determined. Basically, the added frictional term forces the electron distribution to relax towards the equilibrium Fermi-Dirac one when the external electric field is removed. In a steady-state condition we have $d \mathbf{v}{\mathrm{d}} / d t=0$ and therefore $$ -\frac{e}{m{\mathrm{e}}} \mathbf{E}=\frac{\beta}{m_{\mathrm{e}}} \mathbf{v}{\mathrm{d}}, $$ which naturally ${ }^4$ leads to defining $\beta=m{\mathrm{e}} / \tau_{\mathrm{e}}$. This allows us to calculate the electron drift velocity as $$
\mathbf{v}{\mathrm{d}}=-\frac{e \tau{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} \mathbf{E},
$$
from which we obtain the steady-state charge current density $\mathbf{J}{\mathrm{q}}$ $$ \mathbf{J}_q=-n_e e \mathbf{v}_d=\frac{n_e e^2 \tau_e}{m_e} \mathbf{E}, $$ and the Drude expression for the direct-current conductivity $\sigma{\mathrm{e}}$
$$
\sigma_{\mathrm{e}}=\frac{n_e e^2 \tau_e}{m_e},
$$
which links this quantity to few microscopic physical parameters associated either with the charge carriers $\left(e\right.$ and $\left.m_{\mathrm{e}}\right)$ or to the specific material $\left(n_{\mathrm{e}}\right.$ and $\left.\tau_{\mathrm{e}}\right)$. The conductivity is the inverse of the electrical resistivity $\rho_{\mathrm{e}}=1 / \sigma_{\mathrm{e}}$, a physical property which is easily measured: therefore, the Drude theory allows for a direct estimation of the order of magnitude of the relaxation time related to the charge current ${ }^5$ which turns out to be as small as $\tau_{\mathrm{e}} \sim 10^{-14} \mathrm{~s}$; its predicted value is reported in table $7.1$ for some selected metallic elements. By applying the kinetic theory to the (classical) electron gas, we can estimate the electron thermal velocity $v_{\mathrm{e}}^{\text {th }}$ by means of the equipartition theorem ${ }^6$ and accordingly define the electron mean free path $\lambda_e \sim 1-10 \AA$ which represents the average distance covered by an electron between two successive collisions. It is reassuring to get a number which is comparable with the typical interatomic distance in a crystalline solid: this supports the robustness of the Drude model.
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Optical properties
Another success of the classical free electron gas theory is that it correctly predicts the optical properties of metals, which are found to strongly reflect any electromagnetic radiation in the visible spectrum, while at higher frequency they are able to absorb [5], as shown in figure $7.1$ in the paradigmatic case of aluminium.
In order to estimate the optical reflectivity of a free electron gas, we need to evaluate its frequency-dependent refractive index $\sqrt{\epsilon_{\mathrm{r}}}$, where $\epsilon_{\mathrm{r}}$ is the relative permittivity of the metal [5]. Let $\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}_0 \exp (-i \omega t)$ be a time-varying and uniform electric field applied to a metallic sample, where $\mathbf{E}_0$ and $\omega$ are its amplitude and frequency, respectively. Following the same path which led to equation (7.3), we write the electron equation of motion as
$$
-e \mathbf{E}_0 \exp (-i \omega t)=m_e \mathbf{V}_d(t)+\frac{m_e}{\tau_e} \mathbf{v}_d(t),
$$
where we have introduced the time dependence in $\mathbf{v}{\mathrm{d}}(t)$ since we understand that, under the action of an oscillating electric field, the drift velocity of a free electron also follows a periodic variation with the same frequency. More specifically, we write $\mathbf{v}{\mathrm{d}}(t)=\mathbf{v}{\mathrm{d}, 0} \exp (-i \omega t)$. From equation (7.8) we easily get the drift velocity ${ }^7$ $$ \mathbf{v}{\mathrm{d}, 0}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{E}0, $$ and by integration we obtain the time-dependent displacement $\mathbf{s}(t)$ of the electron $$ \mathbf{s}(t)=\int_0^t \mathbf{v}{\mathrm{d}}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\frac{e \tau_e}{i \omega m_{\mathrm{e}}} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{E}0 \exp (-i \omega t), $$ where with no loss of generality we have set $\mathbf{s}(0)=0$ for convenience. We can now calculate the polarisation (that is the induced electric dipole moment per unit volume) $\mathbf{P}=-n{\mathrm{e}} e \mathbf{s}(t)$ and, through the standard relation $\epsilon_0 \epsilon_{\mathrm{r}} \mathbf{E}=\epsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}$, eventually obtain the relative permittivity of the metal as
$$
\epsilon_{\mathrm{r}}=1-\frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e} \frac{\tau_e}{i \omega} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}}=1-\frac{\tau_e}{i \omega} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}} \omega_{\mathrm{p}}^2,
$$
固体物理代写
物理代写|固体物理代写固态物理代考|电导率
Drude理论的第一个应用是预测金属的直流电导率。让 $\mathbf{v}{\mathrm{d}}$ 是在外加均匀恒定电场作用下的电子漂移速度 $\mathbf{E}$。被加速的电子所经历的碰撞的整体动力效应被描述为牛顿运动方程中的摩擦项 $$ -e \mathbf{E}=m{\mathrm{e}} \dot{\mathbf{v}}{\mathrm{d}}+\beta \mathbf{v}{\mathrm{d}},
$$
where $\beta$ 是一个待确定的系数。基本上，当外部电场被去除时，增加的摩擦项迫使电子分布向平衡费米-狄拉克分布放松。在稳态条件下 $d \mathbf{v}{\mathrm{d}} / d t=0$ 因此 $$ -\frac{e}{m{\mathrm{e}}} \mathbf{E}=\frac{\beta}{m_{\mathrm{e}}} \mathbf{v}{\mathrm{d}}, $$ 自然地 ${ }^4$ 导致了定义 $\beta=m{\mathrm{e}} / \tau_{\mathrm{e}}$。这允许我们计算电子漂移速度为 $$
\mathbf{v}{\mathrm{d}}=-\frac{e \tau{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} \mathbf{E},
$$
从中得到稳态电荷电流密度 $\mathbf{J}{\mathrm{q}}$ $$ \mathbf{J}q=-n_e e \mathbf{v}_d=\frac{n_e e^2 \tau_e}{m_e} \mathbf{E}, $$ 直流电导率的Drude表达式 $\sigma{\mathrm{e}}$
$$
\sigma{\mathrm{e}}=\frac{n_e e^2 \tau_e}{m_e},
$$
，它将这个量与几个与载流子相关的微观物理参数联系起来 $\left(e\right.$ 和 $\left.m_{\mathrm{e}}\right)$ 或者是特定的材料 $\left(n_{\mathrm{e}}\right.$ 和 $\left.\tau_{\mathrm{e}}\right)$。电导率是电阻率的倒数 $\rho_{\mathrm{e}}=1 / \sigma_{\mathrm{e}}$，这是一种很容易测量的物理性质:因此，德鲁德理论允许直接估计与电荷电流相关的弛豫时间的数量级 ${ }^5$ 它的大小是 $\tau_{\mathrm{e}} \sim 10^{-14} \mathrm{~s}$;其预测值见表 $7.1$ 对于一些选定的金属元素。将动力学理论应用于(经典)电子气，我们可以估计电子热速度 $v_{\mathrm{e}}^{\text {th }}$ 通过均分定理 ${ }^6$ 并相应地定义了电子的平均自由程 $\lambda_e \sim 1-10 \AA$ 它表示电子在两次连续碰撞之间经过的平均距离。得到一个与晶体固体中典型原子间距离相当的数字是令人放心的:这支持了Drude模型的鲁棒性
物理代写|固体物理代写固态物理代考|光学性质
经典自由电子气体理论的另一个成功之处是，它正确地预测了金属的光学性质，人们发现，金属的光学性质强烈地反映可见光谱中的任何电磁辐射，而在更高的频率下，它们能够吸收[5]，如图$7.1$中铝的范例例子所示
为了估计自由电子气体的光学反射率，我们需要评估其与频率相关的折射率$\sqrt{\epsilon_{\mathrm{r}}}$，其中$\epsilon_{\mathrm{r}}$是金属[5]的相对介电常数。设$\mathbf{E}(t)=\mathbf{E}_0 \exp (-i \omega t)$为作用于金属样品的时变均匀电场，其中$\mathbf{E}_0$和$\omega$分别为其振幅和频率。按照公式(7.3)的相同路径，我们将电子运动方程写成
$$
-e \mathbf{E}_0 \exp (-i \omega t)=m_e \mathbf{V}_d(t)+\frac{m_e}{\tau_e} \mathbf{v}_d(t),
$$
，其中我们在$\mathbf{v}{\mathrm{d}}(t)$中引入了时间依赖性，因为我们知道，在振荡电场的作用下，自由电子的漂移速度也遵循相同频率的周期变化。更具体地说，我们写$\mathbf{v}{\mathrm{d}}(t)=\mathbf{v}{\mathrm{d}, 0} \exp (-i \omega t)$。由式(7.8)我们可以很容易地得到漂移速度${ }^7$$$ \mathbf{v}{\mathrm{d}, 0}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{E}0, $$，通过积分我们可以得到电子的时变位移$\mathbf{s}(t)$$$ \mathbf{s}(t)=\int_0^t \mathbf{v}{\mathrm{d}}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\frac{e \tau_e}{i \omega m_{\mathrm{e}}} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{E}0 \exp (-i \omega t), $$，其中为了方便起见，在不失一般性的情况下，我们设为$\mathbf{s}(0)=0$。我们现在可以计算出极化率(即单位体积的感应电偶极矩)$\mathbf{P}=-n{\mathrm{e}} e \mathbf{s}(t)$，并通过标准关系$\epsilon_0 \epsilon_{\mathrm{r}} \mathbf{E}=\epsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}$，最终得到金属的相对介电常数为
$$
\epsilon_{\mathrm{r}}=1-\frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e} \frac{\tau_e}{i \omega} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}}=1-\frac{\tau_e}{i \omega} \frac{1}{1-i \omega \tau_{\mathrm{e}}} \omega_{\mathrm{p}}^2,
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
