分类: 复分析作业代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Complex Plane to Itself

The simplest open subset of $\mathbb{C}$ is $\mathbb{C}$ itself. Thus it is natural to begin our study of conformal mappings by considering the biholomorphic mappings of $\mathbb{C}$ to itself. Of course, there are a great many holomorphic functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$, but rather few of these turn out to be one-to-one and onto. The techniques that we use to analyze even this rather simple situation will introduce some of the basic ideas in the study of mappings. The biholomorphic mappings from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$ can be explicitly described as follows:

Theorem 6.1.1. A function $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ is a conformal mapping if and only if there are complex numbers $a, b$ with $a \neq 0$ such that
$$
f(z)=a z+b, \quad z \in \mathbb{C} .
$$
One aspect of the theorem is fairly obvious: If $a, b \in \mathbb{C}$ and $a \neq 0$, then the map $z \mapsto a z+b$ is certainly a conformal mapping of $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. In fact one checks easily that $z \mapsto(z-b) / a$ is the inverse mapping. The interesting part of the theorem is that these are in fact the only conformal maps of $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. To see this, fix a conformal map of $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$. We begin with some lemmas:
Lemma 6.1.2. The holomorphic function $f$ satisfies
$$
\lim _{|z| \rightarrow+\infty}|f(z)|=+\infty \text {. }
$$
That is, given $\epsilon>0$, there is a number $C>0$ such that if $|z|>C$, then $|f(z)|>1 / \epsilon$

Proof. This is a purely topological fact, and our proof uses no complex analysis as such.

The set ${z:|z| \leq 1 / \epsilon}$ is a compact subset of $\mathbb{C}$. Since $f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic, it is continuous. Also the continuous image of a compact set is compact. Therefore $S=f^{-1}({z:|z| \leq 1 / \epsilon})$ is compact. By the Heine-Borel theorem (see [RUD1]), $S$ must be bounded. Thus there is a positive number $C$ such that $S \subseteq{z:|z| \leq C}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Unit Disc to Itself

In this section the set of all conformal maps of the unit disc to itself will be determined. The determination process is somewhat less natural than in the last section, for the reader is presented with a “list” of mappings, and then it is proved that these are all the conformal self-maps of the disc (i.e., conformal maps of the disc to itself). This artificiality is a bit unsatisfying; later, when we treat the geometric structure known as the Bergman metric (Chapter 14), we shall be able to explain the genesis of these mappings.
Our first step is to determine those conformal maps of the disc to the disc that fix the origin. Let $D$ denote the unit disc.

Lemma 6.2.1. A holomorphic function $f: D \rightarrow D$ that satisfies $f(0)=0$ is a conformal mapping of $D$ onto itself if and only if there is a complex number $\omega$ with $|\omega|=1$ such that
$$
f(z) \equiv \omega z \text { for all } z \in D .
$$
In other words, a conformal self-map of the disc that fixes the origin must be a rotation.

Proof. If $\omega \in \mathbb{C}$ and $|\omega|=1$, then clearly the function $f(z) \equiv \omega z$ is a conformal self-map of the disc: The inverse mapping is $z \mapsto z / \omega$.

To prove the converse, suppose that $f: D \rightarrow D$ is a conformal self-map of the disc that fixes the origin. Let $g=f^{-1}: D \rightarrow D$. By the Schwarz lemma (Proposition 5.5.1),
$$
\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1 \text { and }\left|g^{\prime}(0)\right| \leq 1 \text {. }
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Complex Plane to Itself

最简单的开子集 $\mathbb{C}$ 是 $\mathbb{C}$ 本身。因此,我们很自然地通过考虑 $\mathbb{C}$ 对自己。当然,还有很多全纯函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$ ,但很少有这 些结果是一对一的。我们用来分析这种相当简单的情况的技术将介绍映射研究中的一些基本思想。双全纯映射来自 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$ 可以明确描述如下:
定理 6.1.1。一个函数 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 是保形映射当且仅当存在复数 $a, b$ 和 $a \neq 0$ 这样
$$
f(z)=a z+b, \quad z \in \mathbb{C} .
$$
该定理的一个方面是相当明显的: 如果 $a, b \in \mathbb{C}$ 和 $a \neq 0$ ,那么地图 $z \mapsto a z+b$ 肯定是一个保形映射 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$. 事实 上,人们很容易检查 $z \mapsto(z-b) / a$ 是逆映射。该定理的有趣部分是这些实际上是唯一的保形映射 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$. 要看到这 一点,请修复一个保形贴图 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$. 我们从一些引理开始:
引理 6.1.2。全纯函数 $f$ 满足
$$
\lim _{|z| \rightarrow+\infty}|f(z)|=+\infty
$$
也就是说,给定 $\epsilon>0$, 有一个数 $C>0$ 这样如果 $|z|>C$ ,然后 $|f(z)|>1 / \epsilon$
证明。这是一个纯粹的拓扑事实,我们的证明没有使用复杂的分析。
套装 $z:|z| \leq 1 / \epsilon$ 是一个紧凑的子集 $\mathbb{C}$. 自从 $f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的,它是连续的。紧集的连续图像也是紧集。所 以 $S=f^{-1}(z:|z| \leq 1 / \epsilon)$ 紧凑。根据 Heine-Borel 定理(参见[RUD1]), $S$ 必须有界。因此有一个正数 $C$ 这样 $S \subseteq z:|z| \leq C$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Unit Disc to Itself

在本节中,将确定单位圆盘与其自身的所有共形映射的集合。确定过程没有上一节那么自然,因为向读者展示了一 个映射“列表”,然后证明这些都是圆盘的共形自映射(即光盘本身)。这种做作有点让人不满意;稍后,当我们处理 称为伯格曼度量的几何结构 (第 14 章) 时,我们将能够解释这些映射的起源。
我们的第一步是确定光盘到固定原点的光盘的那些保形图。让 $D$ 表示单位盘。
引|理 6.2.1。全纯函数 $f: D \rightarrow D$ 满足 $f(0)=0$ 是一个保形映射 $D$ 当且仅当存在复数时 $\omega$ 和 $|\omega|=1$ 这样
$$
f(z) \equiv \omega z \text { for all } z \in D .
$$
换句话说,固定原点的圆盘的保形自映射必须是旋转。
证明。如果 $\omega \in \mathbb{C}$ 和 $|\omega|=1$ ,那么显然函数 $f(z) \equiv \omega z$ 是圆盘的共形自映射:逆映射是 $z \mapsto z / \omega$.
为了证明反之,假设 $f: D \rightarrow D$ 是固定原点的光盘的保形自映射。让 $g=f^{-1}: D \rightarrow D$. 根据施瓦茨引理(命题 5.5.1),
$$
\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1 \text { and }\left|g^{\prime}(0)\right| \leq 1
$$

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH3019

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH3019

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Schwarz Lemma

This section treats certain estimates that bounded holomorphic functions on the unit disc necessarily satisfy. At first sight, these estimates appear to be restricted to such a specific situation that they are of limited interest. But even this special situation occurs so often that the estimates are in fact very useful. Moreover, it was pointed out by Ahlfors [AHL1] that these estimates can be interpreted as a statement about certain kinds of geometric structures that occur in many different contexts in complex analysis. A treatment of this point of view that is accessible to readers who have reached this point in the present book can be found in [KRA3]. This section presents the classical, analytic viewpoint in the subject.

Proposition 5.5.1 (Schwarz’s lemma). Let $f$ be holomorphic on the unit disc. Assume that
(1) $|f(z)| \leq 1$ for all $z$,
(2) $f(0)=0$.
Then $|f(z)| \leq|z|$ and $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
If either $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$ or if $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$, then $f$ is a rotation: $f(z) \equiv \alpha z$ for some complex constant $\alpha$ of unit modulus.

Proof. Consider the function $g(z)=f(z) / z$. This function is holomorphic on $D(0,1) \backslash{0}$. Also $\lim _{z \rightarrow 0} g(z)=f^{\prime}(0)$. So if we define $g(0)=f^{\prime}(0)$, then $g$ is continuous on $D(0,1)$. By the Riemann removable singularities theorem (Theorem 4.1.1), $g$ is then holomorphic on all of $D(0,1)$.

Restrict attention to the closed $\operatorname{disc} \bar{D}(0,1-\epsilon)$ for $\epsilon>0$ and small. On the boundary of this disc, $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. The maximum modulus theorem then implies that $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$ on this entire disc $D(0,1-\epsilon)$. Letting $\epsilon \rightarrow 0^{+}$then yields that $|g(z)| \leq 1$ on $D=D(0,1)$. In other words, $|f(z)| \leq|z|$. Now $g(0)=f^{\prime}(0)$ so we also see that $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$. That completes the proof of the first half of the theorem.

If $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$, then $|g(z)|=1$. Since $|g(z)| \leq 1$ on the entire disc, we conclude from the maximum modulus principle that $g(z)$ is a constant of modulus 1 . Let $\alpha$ be that constant. Then $f(z) \equiv \alpha z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions as Geometric Mappings

Like Chapter 5 , this chapter is concerned primarily with geometric questions. While the proofs that we present will of course be analytic, it is useful to interpret them pictorially. The proofs of the theorems presented here arose from essentially pictorial ideas, and these pictures can still serve to guide our perceptions. In fact geometry is a pervasive part of the subject of complex analysis and will occur in various forms throughout the remainder of the book.

The main objects of study in this chapter are holomorphic functions $h: U \rightarrow V$, with $U, V$ open in $\mathbb{C}$, that are one-to-one and onto. Such a holomorphic function is called a conformal (or biholomorphic) mapping. The fact that $h$ is supposed to be one-to-one implies that $h^{\prime}$ is nowhere zero on $U$ [remember, by Theorem $5.2 .2$, that if $h^{\prime}$ vanishes to order $k \geq 0$ at a point $P \in U$, then $h$ is $(k+1)$-to-1 in a small neighborhood of $P$ ]. As a result, $h^{-1}: V \rightarrow U$ is also holomorphic (see Section 5.2). A conformal map $h: U \rightarrow V$ from one open set to another can be used to transfer holomorphic functions on $U$ to $V$ and vice versa: That is, $f: V \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic if and only if $f \circ h$ is holomorphic on $U$; and $g: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic if and only if $g \circ h^{-1}$ is holomorphic on $V$.

Thus, if there is a conformal mapping from $U$ to $V$, then $U$ and $V$ are essentially indistinguishable from the viewpoint of complex function theory. On a practical level, one can often study holomorphic functions on a rather complicated open set by first mapping that open set to some simpler open set, then transferring the holomorphic functions as indicated.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH3019

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Schwarz Lemma

本节处理单位圆盘上的有界全纯函数必须满足的某些估计。乍一看,这些估计似乎仅限于特定情况,以至于它们的 兴趣有限。但即使是这种特殊情况也经常发生,以至于估计实际上非常有用。此外,Ahlfors [AHL1] 指出,这些估 计可以解释为对复杂分析中许多不同上下文中出现的某些类型的几何结构的陈述。在本书中达到这一点的读者可以 理解对这一观点的处理,可以在 [KRA3] 中找到。本节介绍了该主题的经典分析观点。
命题 5.5.1 (施瓦茨引理) 。让 $f$ 在单位圆盘上是全纯的。假设
(1) $|f(z)| \leq 1$ 对所有人 $z$ ,
(2) $f(0)=0$.
然后 $|f(z)| \leq|z|$ 和 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
如果要么 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ 或者如果 $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$ ,然后 $f$ 是一个旋转: $f(z) \equiv \alpha z$ 对于一些复杂的常数 $\alpha$ 的单位模量。
证明。考虑函数 $g(z)=f(z) / z$. 这个函数是全纯的 $D(0,1) \backslash 0$. 还 $\lim _{z \rightarrow 0} g(z)=f^{\prime}(0)$. 所以如果我们定义 $g(0)=f^{\prime}(0)$ ,然后 $g$ 是连续的 $D(0,1)$. 由黎曼可移除奇点定理(定理 4.1.1), $g$ 然后是全纯的 $D(0,1)$.
限制关注封闭 $\operatorname{disc} \bar{D}(0,1-\epsilon)$ 为了 $\epsilon>0$ 和小。在这个圆盘的边界上, $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. 最大模数定理意味着 $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$ 在整张光盘上 $D(0,1-\epsilon)$. 让 $\epsilon \rightarrow 0^{+}$然后产生 $|g(z)| \leq 1$ 上 $D=D(0,1)$. 换句话说, $|f(z)| \leq|z|$. 现在 $g(0)=f^{\prime}(0)$ 所以我们也看到 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$. 这样就完成了定理前半部分的证明。
如果 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ ,然后 $|g(z)|=1$. 自从 $|g(z)| \leq 1$ 在整个圆盘上,我们根据最大模量原理得出结 论: $g(z)$ 是模数 1 的常数。让 $\alpha$ 保持不变。然后 $f(z) \equiv \alpha z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions as Geometric Mappings

与第 5 章一样,本章主要关注几何问题。虽然我们提供的证明当然是分析性的,但以图形方式解释它们是有用的。 这里提出的定理的证明基本上来自于图像的想法,这些图像仍然可以用来指导我们的感知。事实上,几何是复分析 主题中普遍存在的一部分,并且将在本书的其余部分以各种形式出现。
本章的主要研究对象是全纯函数 $h: U \rightarrow V$ ,和 $U, V$ 打开 $\mathbb{C}$ ,这是一对一的。这种全纯函数称为共形 (或双全 纯)映射。事实是 $h$ 应该是一对一的意味着 $h^{\prime}$ 无处为零 $U$ [记住,由定理5.2.2,如果 $h^{\prime}$ 按订单消失 $k \geq 0$ 在某一点 $P \in U$ ,然后 $h$ 是 $(k+1)$-to-1 在一个小社区 $P$ ]。因此, $h^{-1}: V \rightarrow U$ 也是全纯的(见第 $5.2$ 节) 。保形贴图 $h: U \rightarrow V$ 从一个开放集到另一个开放集可以用来传递全纯函数 $U$ 至 $V$ 反之亦然: 也就是说, $f: V \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯 的当且仅当 $f \circ h$ 是全纯的 $U$; 和 $g: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的当且仅当 $g \circ h^{-1}$ 是全纯的 $V$.
因此,如果从 $U$ 至 $V$ ,然后 $U$ 和 $V$ 从复函数论的观点来看,本质上是无法区分的。在实践层面上,人们通常可以通 过首先将该开集映射到一些更简单的开集,然后按照指示转移全纯函数来研究相当复杂的开集上的全纯函数。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Results on the Zeros of Holomorphic Functions

In the previous sections of this chapter, we have developed a detailed understanding of the local behavior of holomorphic functions, that is, of their behavior in a small neighborhood of a particular point. The methods we used, and especially Proposition 5.1.2, can be applied in a wider context to the “global behavior” of a holomorphic function on its whole domain of definition. In this section we state and prove two important results of this sort.

Theorem 5.3.1 (Rouché’s theorem). Suppose that $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ are holomorphic functions on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$. Suppose also that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ and that, for each $\zeta \in \partial D(P, r)$,
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|<|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
Then
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f(\zeta)} d \zeta=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{g^{\prime}(\zeta)}{g(\zeta)} d \zeta
$$

That is, the number of zeros of $f$ in $D(P, r)$ counting multiplicities equals the number of zeros of $g$ in $D(P, r)$ counting multiplicities.

Before beginning the proof of Rouché’s theorem, we note that the (at first strange looking) inequality (*) implies that neither $f(\zeta)$ nor $g(\zeta)$ can vanish on $\partial D(P, r)$. In particular, neither $f$ nor $g$ vanishes identically; moreover, the integrals of $f^{\prime} / f$ and of $g^{\prime} / g$ on $\partial D(P, r)$ are defined.

Also, $()$ implies that the function $f(\zeta) / g(\zeta)$ cannot take a value in ${x+i 0: x \leq 0}$ for any $\zeta \in \partial D(P, r)$. If it did, say $$ \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\lambda \leq 0 $$ for some $\zeta \in \partial D(P, r)$, then $$ \begin{aligned} \left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}-1\right| &=|\lambda-1| \ &=-\lambda+1 \ &=\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\right|+1 \end{aligned} $$ hence $$ |f(\zeta)-g(\zeta)|=|f(\zeta)|+|g(\zeta)| $$ This equality contradicts $()$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Principle

Consider the $C^{\infty}$ function $g$ on the unit disc given by $g(z)=2-|z|^{2}$. Notice that $1<|g(z)| \leq 2$ and that $g(0)=2$. The function assumes an interior maximum at $z=0$. One of the most startling features of holomorphic functions is that they cannot behave in this fashion: In stating the results about this phenomenon, the concept of a connected open set occurs so often that it is convenient to introduce a single word for it.

Definition 5.4.1. A domain in $\mathbb{C}$ is a connected open set. A bounded domain is a connected open set $U$ such that there is an $R>0$ with $|z|<R$ for all $z \in U$.

Theorem 5.4.2 (The maximum modulus principle). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a domain. Let $f$ be a holomorphic function on $U$. If there is a point $P \in U$ such that $|f(P)| \geq|f(z)|$ for all $z \in U$, then $f$ is constant.

Proof. Assume that there is such a $P$. If $f$ is not constant, then $f(U)$ is open by the open mapping principle. Hence there are points $\zeta$ of $f(U)$ with $|\zeta|>|f(P)|$. This is a contradiction. Hence $f$ is a constant.

Here is a consequence of the maximum modulus principle that is often useful:

Corollary 5.4.3 (Maximum modulus theorem). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a bounded domain. Let $f$ be a continuous function on $\bar{U}$ that is holomorphic on $U$. Then the maximum value of $|f|$ on $\bar{U}$ (which must occur, since $\bar{U}$ is closed and bounded) must occur on $\partial U$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Results on the Zeros of Holomorphic Functions

在本章的前几节中,我们详细了解了全纯函数的局部行为,即它们在特定点的小邻域中的行为。我们使用的方法,
尤其是命题 5.1.2,可以在更广泛的背景下应用于全纯函数在其整个定义域上的“全局行为”。在本节中,我们陈述并 证明了此类的两个重要结果。
定理 5.3.1 (鲁歇定理) 。假设 $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$. 还假设 $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ 而且,对于每个 $\zeta \in \partial D(P, r)$,
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|<|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
然后
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f(\zeta)} d \zeta=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{g^{\prime}(\zeta)}{g(\zeta)} d \zeta
$$
也就是说,零的个数 $f$ 在 $D(P, r)$ 计数重数等于零的数量 $g$ 在 $D(P, r)$ 计算多重性。
在开始证明 Rouché 定理之前,我们注意到(起初看起来很奇怪) 不等式 (*) 意味着两者都不 $f(\zeta)$ 也不 $g(\zeta)$ 可以消 失 $\partial D(P, r)$. 特别是,无论 $f$ 也不 $g$ 同样消失;此外,积分 $f^{\prime} / f$ 和 $g^{\prime} / g$ 上 $\partial D(P, r)$ 被定义。
还,()意味着函数 $f(\zeta) / g(\zeta)$ 不能取值 $x+i 0: x \leq 0$ 对于任何 $\zeta \in \partial D(P, r)$. 如果是的话,说
$$
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\lambda \leq 0
$$
对于一些 $\zeta \in \partial D(P, r)$ ,然后
$$
\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}-1\right|=|\lambda-1| \quad=-\lambda+1=\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\right|+1
$$
因此
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|=|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
这种平等矛盾 () .

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Principle

考虑 $C^{\infty}$ 功能 $g$ 在给定的单位圆盘上 $g(z)=2-|z|^{2}$. 请注意 $1<|g(z)| \leq 2$ 然后 $g(0)=2$. 该函数假定内部最大 值为 $z=0$. 全纯函数最令人吃惊的特征之一是它们不能以这种方式表现: 在说明这种现象的结果时,连通开集的概 念出现得如此频繁,以至于为它引入一个词很方便。 定义 5.4.1。一个域在 $\mathbb{C}$ 是连通开集。有界域是连通开集 $U$ 这样有一个 $R>0$ 和 $|z||f(P)|$. 这是一个矛盾。因此 $f$ 是一个常数。
这是通常有用的最大模量原理的结果:
推论 5.4.3 (最大模量定理) 。让 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个有界域。让 $f$ 是一个连续函数 $\bar{U}$ 那是全纯的 $U$. 那么最大值 $|f|$ 上 $\bar{U}$ (这必须发生,因为 $\bar{U}$ 是封闭的和有界的) 必须发生在 $\partial U$.

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Counting Zeros and Poles

Suppose that $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on a connected, open set $U \subseteq \mathbb{C}$ and that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. We know from the Cauchy integral formula that the values of $f$ on $D(P, r)$ are completely determined by the values of $f$ on $\partial D(P, r)$. In particular, the number and even the location of the zeros of $f$ in $D(P, r)$ are determined in principle by $f$ on $\partial D(P, r)$. But it is nonetheless a pleasant surprise that there is a simple formula for the number of zeros of $f$ in $D(P, r)$ in terms of $f$ (and $f^{\prime}$ ) on $\partial D(P, r)$. In order to construct this formula, we shall have to agree to count zeros in a particular fashion. This method of counting will in fact be a generalization of the notion of counting the zeros of a polynomial according to multiplicity. We now explain the precise idea.

Let $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ be holomorphic as before, and assume that $f$ has zeros but that $f$ is not identically zero. Fix $z_{0} \in U$ such that $f\left(z_{0}\right)=0$. Since the zeros of $f$ are isolated, there is an $r>0$ such that $\bar{D}\left(z_{0}, r\right) \subseteq U$ and such that $f$ does not vanish on $\bar{D}\left(z_{0}, r\right) \backslash\left{z_{0}\right}$.

Now the power series expansion of $f$ about $z_{0}$ has a first nonzero term determined by the least positive integer $n$ such that $f^{(n)}\left(z_{0}\right) \neq 0$. [Note that $n \geq 1$ since $f\left(z_{0}\right)=0$ by hypothesis.] Thus the power series expansion of $f$ about $z_{0}$ begins with the $n^{\text {th }}$ term:
$$
f(z)=\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{j !} \frac{\partial^{j} f}{\partial z^{j}}\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{j} .
$$
Under these circumstances we say that $f$ has a zero of order $n$ (or multiplicity $n$ ) at $z_{0}$. When $n=1$, then we say that $z_{0}$ is a simple zero of $f$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Local Geometry of Holomorphic Functions

The argument principle for holomorphic functions (the formula of Proposition 5.1.2) has a consequence which is one of the most important facts about holomorphic functions considered as geometric mappings:

Theorem 5.2.1 (The open mapping theorem). If $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a nonconstant holomorphic function on a connected open set $U$, then $f(U)$ is an open set in $\mathbb{C}$.

Before beginning the proof of the theorem, we discuss its significance. The theorem says, in particular, that if $U \subseteq \mathbb{C}$ is connected and open and if $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic, then either $f(U)$ is a connected open set (the nonconstant case) or $f(U)$ is a single point. There is no analogous result for $C^{\infty}$, or even real analytic functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$ (or from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{R}^{2}$ ). As an example, consider the function
$$
\begin{aligned}
g: \mathbb{C} & \rightarrow \mathbb{C} \
z & \mapsto|z|^{2} .
\end{aligned}
$$
The domain of $g$ is the entire plane $\mathbb{C}$, which is certainly open and connected. The set $g(\mathbb{C})$, however, is ${x+i 0: \mathbb{R} \ni x \geq 0}$ which is not open as a subset of $\mathbb{C}$. The function $g$ is in fact real analytic, but of course not holomorphic.
Note, by contrast, that the holomorphic function
$$
\begin{aligned}
g: \mathbb{C} & \rightarrow \mathbb{C} \
z & \mapsto z^{2}
\end{aligned}
$$
has image the entire complex plane (which is, of course, an open set). More significantly, every open subset of $\mathbb{C}$ has image under $g$ which is open.
In the subject of topology, a function $f$ is defined to be continuous if the inverse image of any open set under $f$ is also open. In contexts where the $\epsilon-\delta$ definition makes sense, the $\epsilon-\delta$ definition is equivalent to the inverse-image-of-open-sets definition.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Counting Zeros and Poles

假设 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是连通开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$ 然后 $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. 我们从柯西积分公式中知道, $f$ 上 $D(P, r)$ 完全由值决定 $f$ 上 $\partial D(P, r)$. 特别是零点的数量甚至位置 $f$ 在 $D(P, r)$ 原则上由 $f$ 上 $\partial D(P, r)$. 但令人惊喜的是,有 一个简单的公式可以计算零的数量 $f$ 在 $D(P, r)$ 按照 $f$ (和 $f^{\prime}$ ) 上 $\partial D(P, r)$. 为了构造这个公式,我们必须同意以 特定的方式计算零。这种计数方法实际上是根据多重性对多项式的零点进行计数的概念的推广。我们现在解释确切 的想法。
让 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 像以前一样是全纯的,并假设 $f$ 有零但是那个 $f$ 不完全为零。使固定 $z_{0} \in U$ 这样 $f\left(z_{0}\right)=0$. 由于零
现在的幂级数展开 $f$ 关于 $z_{0}$ 具有由最小正整数确定的第一个非零项 $n$ 这样 $f^{(n)}\left(z_{0}\right) \neq 0$. [注意 $n \geq 1$ 自从 $f\left(z_{0}\right)=0$ 通过假设。] 因此幂级数展开 $f$ 关于 $z_{0}$ 开始于 $n^{\text {th }}$ 学期:
$$
f(z)=\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{j !} \frac{\partial^{j} f}{\partial z^{j}}\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{j} .
$$
在这种情况下,我们说 $f$ 有零阶 $n$ (或多重性 $n$ ) 在 $z_{0}$. 什么时候 $n=1$ ,那么我们说 $z_{0}$ 是一个简单的零 $f$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Local Geometry of Holomorphic Functions

全纯函数的论证原则(命题 5.1.2 的公式)有一个结果,这是关于被视为几何映射的全纯函数的最重要事实之一:
定理 5.2.1 (开放映射定理)。如果 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是连通开集上的非常量全纯函数 $U$ ,然后 $f(U)$ 是一个开集 $\mathbb{C}$.
在开始证明定理之前,我们先讨论一下它的意义。该定理特别指出,如果 $U \subseteq \mathbb{C}$ 已连接并打开,如果 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的,那么要么 $f(U)$ 是连通开集 (非常数情况) 或 $f(U)$ 是一个点。没有类似的结果 $C^{\infty}$ ,甚至是真正的分析 函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}\left(\right.$ 或从 $\mathbb{R}^{2}$ 至 $\mathbb{R}^{2}$ )。例如,考虑函数
$$
g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} z \quad \mapsto|z|^{2} .
$$
的领域 $g$ 是整个平面 $\mathbb{C}$ ,这当然是开放和连接的。套装 $g(\mathbb{C})$ ,然而,是 $x+i 0: \mathbb{R} \ni x \geq 0$ 它不是作为子集打开的 C. 功能 $g$ 实际上是实解析的,但当然不是全纯的。 相比之下,请注意,全纯函数
$$
g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} z \quad \mapsto z^{2}
$$
具有整个复平面的图像(当然,这是一个开集)。更重要的是,每个开放子集 $\mathbb{C}$ 下有图像 $g$ 这是开放的。 在拓扑学中,一个函数 $f$ 如果任何开集的逆像在 $f$ 也是开放的。在上下文中 $\epsilon-\delta$ 定义是有道理的, $\epsilon-\delta$ 定义等价于 开集的逆像定义。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3401

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

In this section we want to treat in greater generality the question of whether a real-valued harmonic function $u$ is the real part of a holomorphic function $F$. Notice that if we write $F=u+i v$, then the Cauchy-Riemann equations say that
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
\end{gathered}
$$
In short, once $u$ is given, then $\partial v / \partial x$ and $\partial v / \partial y$ are completely determined. These in turn determine $v$ up to an additive constant. Thus determining the existence of $v$ (and hence of $F$ ) amounts to solving a familiar problem of multivariable calculus: Given two functions $f$ and $g$ (in this case $-\partial u / \partial y$ and $\partial u / \partial x$, respectively), can we find a function $v$ such that $\partial v / \partial x=f$ and $\partial v / \partial y=g ?$

A partial solution to this problem is given by the following theorem. We shall see later that the practice, begun in this theorem, of restricting consideration to functions defined on rectangles is not simply a convenience. In fact, the next theorem would actually be false if we considered functions defined on arbitrary open sets in $\mathbb{C}$ (see Exercise 52 ).

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

In the previous chapter, we approached the question of finding a function with given partial derivatives by integrating along vertical and horizontal directions only. The fact that the horizontal derivative is $\partial / \partial x$ and the vertical derivative is $\partial / \partial y$ then made the computations in Section $1.5$ obvious. But the restriction to such integrals is geometrically unnatural. In this section we are going to develop an integration process along more general curves. It is in fact not a new method of integration at all but is the process of line integration which you learned in calculus. Our chief job here is to make it rigorous and to introduce notation that is convenient for complex analysis.

First, let us define the class of curves we shall consider. It is convenient to think of a curve as a (continuous) function $\gamma$ from a closed interval $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$ into $\mathbb{R}^{2} \approx \mathbb{C}$. Although it is frequently convenient to refer to the geometrical object $\tilde{\gamma} \equiv{\gamma(t): t \in[a, b]}$, most of our analysis will be done with the function $\gamma$. It is often useful to write
$$
\gamma(t)=\left(\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t)\right) \quad \text { or } \quad \gamma(t)=\gamma_{1}(t)+i \gamma_{2}(t),
$$
depending on the context. The curve $\gamma$ is called closed if $\gamma(a)=\gamma(b)$. It is called simple closed if $\left.\gamma\right|_{[a, b)}$ is one-to-one and $\gamma(a)=\gamma(b)$. Intuitively, a simple closed curve is a curve with no self-intersections, except of course for the closing up at $t=a, t=b$.

In order to work effectively with $\gamma$, we need to impose on it some differentiability properties. Since $\gamma$ is defined on a closed interval, this requires a new definition.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3401

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

在本节中,我们要更一般地处理实值调和函数是否 $u$ 是全纯函数的实部 $F$. 请注意,如果我们写 $F=u+i v$, 那么 柯西-黎曼方程说
$$
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
$$
简而言之,一次 $u$ 给出,那么 $\partial v / \partial x$ 和 $\partial v / \partial y$ 是完全确定的。这些反过来决定 $v$ 直到一个附加常数。从而确定存在 $v$ (因此 $F$ ) 相当于解决了一个熟悉的多变量微积分问题: 给定两个函数 $f$ 和 $g$ (在这种情况下 $-\partial u / \partial y$ 和 $\partial u / \partial x$ ,分别),我们能找到一个函数 $v$ 这样 $\partial v / \partial x=f$ 和 $\partial v / \partial y=g$ ?
下面的定理给出了这个问题的部分解决方案。稍后我们将看到,从这个定理开始的将考虑限制在矩形上定义的函数 的实践不仅仅是一种方便。事实上,如果我们考虑定义在任意开集上的函数,下一个定理实际上是错误的 $\mathbb{C}$ (见刃 题 52)。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

在上一章中,我们仅通过沿垂直和水平方向积分来解决寻找具有给定偏导数的函数的问题。水平导数是 $\partial / \partial x$ 垂直 导数是 $\partial / \partial y$ 然后在 Section 中进行计算1.5明显的。但是对这种积分的限制在几何上是不自然的。在本节中,我 们将沿着更一般的曲线开发一个集成过程。它实际上根本不是一种新的积分方法,而是您在微积分中学到的线积分 过程。我们在这里的主要工作是使其严谨并引入便于复杂分析的符号。
首先,让我们定义我们要考虑的曲线类别。将曲线视为 (连续) 函数很方便 $\gamma$ 从闭区间 $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$ 进入 $\mathbb{R}^{2} \approx \mathbb{C}$. 尽管参考几何对象通常很方便 $\tilde{\gamma} \equiv \gamma(t): t \in[a, b]$, 我们的大部分分析将使用函数完成 $\gamma$. 写作通常很有用
$$
\gamma(t)=\left(\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t)\right) \quad \text { or } \quad \gamma(t)=\gamma_{1}(t)+i \gamma_{2}(t),
$$
取决于上下文。曲线 $\gamma$ 被称为关闭如果 $\gamma(a)=\gamma(b)$. 它被称为简单封闭如果 $\left.\gamma\right|_{[a, b)}$ 是一对一的并且 $\gamma(a)=\gamma(b)$. 直观地说,一条简单的闭合曲线是一条没有自相交的曲线,当然除了在 $t=a, t=b$.
为了有效地与 $\gamma$ ,我们需要对其施加一些可微性属性。自从 $\gamma$ 是在闭合区间上定义的,这需要一个新的定义。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2521

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2521

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

In the calculus of real variables, polynomials are the simplest nontrivial functions. The purpose of this section is to consider complex-valued polynomials of a complex variable, with the idea of seeing what new features appear. Later we shall use the discussion as motivation for considering more general functions.

There are several slightly different ways of looking at polynomials from the complex viewpoint. One way is to consider polynomials in $x$ and $y$, $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, with complex coefficients: for example, $(2+i) x y+3 i y^{2}+5 x^{2}$. Such polynomials give functions from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{C}$, which we could equally well think of as functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$, with $(x, y)$ determined by $z=x+$ $i y$. Another kind of polynomial that we can consider is complex-coefficient polynomials in the complex variable $z$, for example, $i+(3+i) z+5 z^{2}$. These also give functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. A polynomial in $z$ gives rise naturally to a polynomial in $x$ and $y$ by substituting $z=x+i y$ and expanding. For instance
$$
\begin{aligned}
i+(3+i) z+5 z^{2} &=i+(3+i)(x+i y)+5(x+i y)^{2} \
&=i+3 x-y+i x+3 i y+5 x^{2}+10 i x y-5 y^{2} \
&=i+(3+i) x+(3 i-1) y+5 x^{2}+(10 i) x y-5 y^{2}
\end{aligned}
$$
It is an important and somewhat surprising fact that the converse of this expansion process does not always work: there are many polynomials in $x$ and $y$ that cannot be written as polynomials in $z$. Let us consider a specific simple example: the polynomial $x$ itself. If it were true that
$$
x=P(z)=P(x+i y)
$$
for some polynomial $P(z)$ in $z$, then $P$ would have to be of first degree. But a first degree polynomial $a z+b=a x+i a y+b$ cannot be identically equal to $x$, no matter how we choose $a$ and $b$ in $\mathbb{C}$ (see Exercise 35 ). What is really going on here?

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions, the Cauchy-Riemann

Functions $f$ which satisfy $(\partial / \partial \bar{z}) f \equiv 0$ are the main concern of complex analysis. We make a precise definition:

Definition 1.4.1. A continuously differentiable $\left(C^{1}\right)$ function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is said to be holomorphic if
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0
$$
at every point of $U$.
Remark: Some books use the word “analytic” instead of “holomorphic.” Still others say “differentiable” or “complex differentiable” instead of “holomorphic.” The use of “analytic” derives from the fact that a holomorphic function has a local power series expansion about each point of its domain. The use of “differentiable” derives from properties related to the CauchyRiemann equations and conformality. These pieces of terminology, and their significance, will all be sorted out as the book develops.

If $f$ is any complex-valued function, then we may write $f=u+i v$, where $u$ and $v$ are real-valued functions. For example,
$$
z^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+i(2 x y)
$$
in this example $u=x^{2}-y^{2}$ and $v=2 x y$. The following lemma reformulates Definition $1.4 .1$ in terms of the real and imaginary parts of $f$ :

Lemma 1.4.2. A continuously differentiable function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is holomorphic if, writing $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$, with $z=x+i y$ and real-valued functions $u$ and $v$, we have that $u$ and $v$ satisfy the equations
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
at every point of $U$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2521

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

在实变量的微积分中,多项式是最简单的非平凡函数。本节的目的是考虑复变量的复值多项式,以了解出现了哪些 新特征。稍后我们将使用讨论作为考虑更一般功能的动机。
从复数的角度来看多项式有几种略有不同的方法。一种方法是考虑多项式 $x$ 和 $y,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ ,具有复系数:例 如, $(2+i) x y+3 i y^{2}+5 x^{2}$. 这样的多项式给出的函数来自 $\mathbb{R}^{2}$ 至 $\mathbb{C}$ ,我们同样可以将其视为来自的函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$ ,和 $(x, y)$ 取决于 $z=x+i y$. 我们可以考虑的另一种多项式是复变量中的复系数多项式 $z$ ,例如,
$i+(3+i) z+5 z^{2}$. 这些也给出了函数 $\mathbb{C}$ 至 C. 多项式在 $z$ 自然产生多项式 $x$ 和 $y$ 通过替换 $z=x+i y$ 和扩大。例 如
$$
i+(3+i) z+5 z^{2}=i+(3+i)(x+i y)+5(x+i y)^{2} \quad=i+3 x-y+i x+3 i y+5 x^{2}+10 i x y
$$
一个重要且有点令人惊讶的事实是,这个展开过程的逆过程并不总是有效:在 $x$ 和 $y$ 不能写成多项式 $z$. 让我们考虑 一个具体的简单示例: 多项式 $x$ 本身。如果这是真的
$$
x=P(z)=P(x+i y)
$$
对于一些多项式 $P(z)$ 在 $z$ ,然后 $P$ 必须是一级。但是一阶多项式 $a z+b=a x+i a y+b$ 不能完全等于 $x$ ,无论 我们如何选择 $a$ 和 $b$ 在 $\mathbb{C}$ (见刃题 35)。这里到底发生了什么?

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions, the Cauchy-Riemann

功能 $f$ 满足 $(\partial / \partial \bar{z}) f \equiv 0$ 是复分析的主要关注点。我们做一个准确的定义:
定义 1.4.1。连续可微 $\left(C^{1}\right)$ 功能 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 在开放子集上定义 $U$ 的 $\mathbb{C}$ 据说是全纯的,如果
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0
$$
在每一点 $U$.
备注: 有些书使用“分析”一词而不是“全纯”。还有一些人说“可微”或“复可微”而不是“全纯”。“解析”的使用源于这样 一个事实,即全纯函数在其域的每个点上都有一个同部幕级数展开。“可微分”的使用源于与 CauchyRiemann 方程 和保形性相关的属性。随着本书的发展,这些术语及其意义都将被整理出来。
如果 $f$ 是任何复值函数,那么我们可以写 $f=u+i v$ ,在哪里 $u$ 和 $v$ 是实值函数。例如,
$$
z^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+i(2 x y)
$$
在这个例子中 $u=x^{2}-y^{2}$ 和 $v=2 x y$. 以下引理重新表述了定义 $1.4 .1$ 就实部和虚部而言 $f$ :
引理 1.4.2。连续可微函数 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 在开放子集上定义 $U$ 的 $\mathbb{C}$ 是全纯的,如果,写作 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y) ,$ 和 $z=x+i y$ 和实值函数 $u$ 和 $v$ ,我们有 $u$ 和 $v$ 满足方程
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
在每一点 $U$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

We take for granted the real numbers, which will be denoted by the symbol $\mathbb{R}$. Then we set $\mathbb{R}^{2}={(x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}}$. The complex numbers $\mathbb{C}$ consist of $\mathbb{R}^{2}$ equipped with some special algebraic operations. Namely, one defines
$$
\begin{aligned}
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right), \
(x, y) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
You can check for yourself that these operations of $+$ and – are commutative and associative.

It is both conventional and convenient to denote $(1,0)$ by 1 and $(0,1)$ by $i$. We also adopt the convention that, if $\alpha \in \mathbb{R}$, then
$$
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha, 0) \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y) .
$$
Then every complex number $(x, y)$ can be written in one and only one way in the form $x \cdot 1+y \cdot i$ with $x, y \in \mathbb{R}$. We usually write the number even more succinctly as $x+i y$. Then our laws of addition and multiplication become
$$
\begin{aligned}
(x+i y)+\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}\right)+i\left(y+y^{\prime}\right), \
(x+i y) \cdot\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
Observe that $i \cdot i=-1$. Moreover, our multiplication law is consistent with the real multiplication introduced in line $(*)$.

The symbols $z, w, \zeta$ are frequently used to denote complex numbers. Unless it is explicitly stated otherwise, we always take $z=x+i y, w=$ $u+i v, \zeta=\xi+i \eta$. The real number $x$ is called the real part of $z$ and is written $x=\operatorname{Re} z$. Likewise $y$ is called the imaginary part of $z$ and is written $y=\operatorname{Im} z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

We first consider the complex exponential, which we define as follows:
(1) If $z=x$ is real, then
$$
e^{z}=e^{x} \equiv \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
as in calculus.
(2) If $z=i y$ is pure imaginary, then
$$
e^{z}=e^{i y} \equiv \cos y+i \sin y .
$$
(3) If $z=x+i y$, then
$$
e^{z}=e^{x+i y} \equiv e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) .
$$
Parts (2) and (3) of the definition, due to Euler, may seem somewhat arbitrary. We shall now show, using power series, that these definitions are perfectly natural. We shall wait until Section $3.2$ to give a careful presentation of the theory of complex power series. So the power series arguments that we are about to present should be considered purely formal and given primarily for motivation.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

我们认为实数是理所当然的,用符号表示 $\mathbb{R}$. 然后我们设置 $\mathbb{R}^{2}=(x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$. 复数 $C$ 包括 $\mathbb{R}^{2}$ 配备了 一些特殊的代数运算。即,一个定义
$$
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right),(x, y) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \quad=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
$$
你可以自己检查一下这些操作 $+$ 和 $-$ 是可交换的和结合的。
它既传统又方便表示 $(1,0)$ 由 1 和 $(0,1)$ 经过 $i$ 我们还通过约定,如果 $\alpha \in \mathbb{R}$ ,然后
$$
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha, 0) \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y) .
$$
然后每个复数 $(x, y)$ 可以用一种且只有一种方式写成形式 $x \cdot 1+y \cdot i$ 和 $x, y \in \mathbb{R}$. 我们通常把这个数字写得更简 洁 $x+i y$. 那么我们的加法和乘法定律就变成了
$$
(x+i y)+\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}\right)+i\left(y+y^{\prime}\right),(x+i y) \cdot\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) \quad=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right)
$$
请注意 $i \cdot i=-1$. 此外,我们的乘法定律与行中引入的实数乘法一致 $(*)$.
符号 $z, w, \zeta$ 常用于表示复数。除非另有明确说明,否则我们总是取 $z=x+i y, w=u+i v, \zeta=\xi+i \eta$. 真实 数字 $x$ 被称为实部 $z$ 并写成 $x=\operatorname{Re} z$. 同样地 $y$ 被称为虚部 $z$ 并写成 $y=\operatorname{Im} z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

我们首先考虑复指数,我们定义如下:
(1) 如果 $z=x$ 是真实的,那么
$$
e^{z}=e^{x} \equiv \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
就像在微积分中一样。
(2) 如果 $z=i y$ 是纯虚数,那么
$$
e^{z}=e^{i y} \equiv \cos y+i \sin y .
$$
(3) 如果 $z=x+i y$ ,然后
$$
e^{z}=e^{x+i y} \equiv e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) .
$$
由于欧拉,定义的第 (2) 和 (3) 部分似乎有些武断。我们现在将使用幂级数证明这些定义是完全自然的。我们将等 到第3.2详细介绍复幂级数理论。因此,我们将要介绍的幂级数论证应该被认为是纯粹形式的,主要是为了动机。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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