分类: 复变函数代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Complex Plane to Itself

The simplest open subset of $\mathbb{C}$ is $\mathbb{C}$ itself. Thus it is natural to begin our study of conformal mappings by considering the biholomorphic mappings of $\mathbb{C}$ to itself. Of course, there are a great many holomorphic functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$, but rather few of these turn out to be one-to-one and onto. The techniques that we use to analyze even this rather simple situation will introduce some of the basic ideas in the study of mappings. The biholomorphic mappings from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$ can be explicitly described as follows:

Theorem 6.1.1. A function $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ is a conformal mapping if and only if there are complex numbers $a, b$ with $a \neq 0$ such that
$$
f(z)=a z+b, \quad z \in \mathbb{C} .
$$
One aspect of the theorem is fairly obvious: If $a, b \in \mathbb{C}$ and $a \neq 0$, then the map $z \mapsto a z+b$ is certainly a conformal mapping of $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. In fact one checks easily that $z \mapsto(z-b) / a$ is the inverse mapping. The interesting part of the theorem is that these are in fact the only conformal maps of $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. To see this, fix a conformal map of $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$. We begin with some lemmas:
Lemma 6.1.2. The holomorphic function $f$ satisfies
$$
\lim _{|z| \rightarrow+\infty}|f(z)|=+\infty \text {. }
$$
That is, given $\epsilon>0$, there is a number $C>0$ such that if $|z|>C$, then $|f(z)|>1 / \epsilon$

Proof. This is a purely topological fact, and our proof uses no complex analysis as such.

The set ${z:|z| \leq 1 / \epsilon}$ is a compact subset of $\mathbb{C}$. Since $f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic, it is continuous. Also the continuous image of a compact set is compact. Therefore $S=f^{-1}({z:|z| \leq 1 / \epsilon})$ is compact. By the Heine-Borel theorem (see [RUD1]), $S$ must be bounded. Thus there is a positive number $C$ such that $S \subseteq{z:|z| \leq C}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Unit Disc to Itself

In this section the set of all conformal maps of the unit disc to itself will be determined. The determination process is somewhat less natural than in the last section, for the reader is presented with a “list” of mappings, and then it is proved that these are all the conformal self-maps of the disc (i.e., conformal maps of the disc to itself). This artificiality is a bit unsatisfying; later, when we treat the geometric structure known as the Bergman metric (Chapter 14), we shall be able to explain the genesis of these mappings.
Our first step is to determine those conformal maps of the disc to the disc that fix the origin. Let $D$ denote the unit disc.

Lemma 6.2.1. A holomorphic function $f: D \rightarrow D$ that satisfies $f(0)=0$ is a conformal mapping of $D$ onto itself if and only if there is a complex number $\omega$ with $|\omega|=1$ such that
$$
f(z) \equiv \omega z \text { for all } z \in D .
$$
In other words, a conformal self-map of the disc that fixes the origin must be a rotation.

Proof. If $\omega \in \mathbb{C}$ and $|\omega|=1$, then clearly the function $f(z) \equiv \omega z$ is a conformal self-map of the disc: The inverse mapping is $z \mapsto z / \omega$.

To prove the converse, suppose that $f: D \rightarrow D$ is a conformal self-map of the disc that fixes the origin. Let $g=f^{-1}: D \rightarrow D$. By the Schwarz lemma (Proposition 5.5.1),
$$
\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1 \text { and }\left|g^{\prime}(0)\right| \leq 1 \text {. }
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Complex Plane to Itself

最简单的开子集 $\mathbb{C}$ 是 $\mathbb{C}$ 本身。因此,我们很自然地通过考虑 $\mathbb{C}$ 对自己。当然,还有很多全纯函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$ ,但很少有这 些结果是一对一的。我们用来分析这种相当简单的情况的技术将介绍映射研究中的一些基本思想。双全纯映射来自 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$ 可以明确描述如下:
定理 6.1.1。一个函数 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 是保形映射当且仅当存在复数 $a, b$ 和 $a \neq 0$ 这样
$$
f(z)=a z+b, \quad z \in \mathbb{C} .
$$
该定理的一个方面是相当明显的: 如果 $a, b \in \mathbb{C}$ 和 $a \neq 0$ ,那么地图 $z \mapsto a z+b$ 肯定是一个保形映射 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$. 事实 上,人们很容易检查 $z \mapsto(z-b) / a$ 是逆映射。该定理的有趣部分是这些实际上是唯一的保形映射 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$. 要看到这 一点,请修复一个保形贴图 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$. 我们从一些引理开始:
引理 6.1.2。全纯函数 $f$ 满足
$$
\lim _{|z| \rightarrow+\infty}|f(z)|=+\infty
$$
也就是说,给定 $\epsilon>0$, 有一个数 $C>0$ 这样如果 $|z|>C$ ,然后 $|f(z)|>1 / \epsilon$
证明。这是一个纯粹的拓扑事实,我们的证明没有使用复杂的分析。
套装 $z:|z| \leq 1 / \epsilon$ 是一个紧凑的子集 $\mathbb{C}$. 自从 $f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的,它是连续的。紧集的连续图像也是紧集。所 以 $S=f^{-1}(z:|z| \leq 1 / \epsilon)$ 紧凑。根据 Heine-Borel 定理(参见[RUD1]), $S$ 必须有界。因此有一个正数 $C$ 这样 $S \subseteq z:|z| \leq C$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Biholomorphic Mappings of the Unit Disc to Itself

在本节中,将确定单位圆盘与其自身的所有共形映射的集合。确定过程没有上一节那么自然,因为向读者展示了一 个映射“列表”,然后证明这些都是圆盘的共形自映射(即光盘本身)。这种做作有点让人不满意;稍后,当我们处理 称为伯格曼度量的几何结构 (第 14 章) 时,我们将能够解释这些映射的起源。
我们的第一步是确定光盘到固定原点的光盘的那些保形图。让 $D$ 表示单位盘。
引|理 6.2.1。全纯函数 $f: D \rightarrow D$ 满足 $f(0)=0$ 是一个保形映射 $D$ 当且仅当存在复数时 $\omega$ 和 $|\omega|=1$ 这样
$$
f(z) \equiv \omega z \text { for all } z \in D .
$$
换句话说,固定原点的圆盘的保形自映射必须是旋转。
证明。如果 $\omega \in \mathbb{C}$ 和 $|\omega|=1$ ,那么显然函数 $f(z) \equiv \omega z$ 是圆盘的共形自映射:逆映射是 $z \mapsto z / \omega$.
为了证明反之,假设 $f: D \rightarrow D$ 是固定原点的光盘的保形自映射。让 $g=f^{-1}: D \rightarrow D$. 根据施瓦茨引理(命题 5.5.1),
$$
\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1 \text { and }\left|g^{\prime}(0)\right| \leq 1
$$

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH3019

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH3019

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Schwarz Lemma

This section treats certain estimates that bounded holomorphic functions on the unit disc necessarily satisfy. At first sight, these estimates appear to be restricted to such a specific situation that they are of limited interest. But even this special situation occurs so often that the estimates are in fact very useful. Moreover, it was pointed out by Ahlfors [AHL1] that these estimates can be interpreted as a statement about certain kinds of geometric structures that occur in many different contexts in complex analysis. A treatment of this point of view that is accessible to readers who have reached this point in the present book can be found in [KRA3]. This section presents the classical, analytic viewpoint in the subject.

Proposition 5.5.1 (Schwarz’s lemma). Let $f$ be holomorphic on the unit disc. Assume that
(1) $|f(z)| \leq 1$ for all $z$,
(2) $f(0)=0$.
Then $|f(z)| \leq|z|$ and $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
If either $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$ or if $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$, then $f$ is a rotation: $f(z) \equiv \alpha z$ for some complex constant $\alpha$ of unit modulus.

Proof. Consider the function $g(z)=f(z) / z$. This function is holomorphic on $D(0,1) \backslash{0}$. Also $\lim _{z \rightarrow 0} g(z)=f^{\prime}(0)$. So if we define $g(0)=f^{\prime}(0)$, then $g$ is continuous on $D(0,1)$. By the Riemann removable singularities theorem (Theorem 4.1.1), $g$ is then holomorphic on all of $D(0,1)$.

Restrict attention to the closed $\operatorname{disc} \bar{D}(0,1-\epsilon)$ for $\epsilon>0$ and small. On the boundary of this disc, $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. The maximum modulus theorem then implies that $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$ on this entire disc $D(0,1-\epsilon)$. Letting $\epsilon \rightarrow 0^{+}$then yields that $|g(z)| \leq 1$ on $D=D(0,1)$. In other words, $|f(z)| \leq|z|$. Now $g(0)=f^{\prime}(0)$ so we also see that $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$. That completes the proof of the first half of the theorem.

If $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$, then $|g(z)|=1$. Since $|g(z)| \leq 1$ on the entire disc, we conclude from the maximum modulus principle that $g(z)$ is a constant of modulus 1 . Let $\alpha$ be that constant. Then $f(z) \equiv \alpha z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions as Geometric Mappings

Like Chapter 5 , this chapter is concerned primarily with geometric questions. While the proofs that we present will of course be analytic, it is useful to interpret them pictorially. The proofs of the theorems presented here arose from essentially pictorial ideas, and these pictures can still serve to guide our perceptions. In fact geometry is a pervasive part of the subject of complex analysis and will occur in various forms throughout the remainder of the book.

The main objects of study in this chapter are holomorphic functions $h: U \rightarrow V$, with $U, V$ open in $\mathbb{C}$, that are one-to-one and onto. Such a holomorphic function is called a conformal (or biholomorphic) mapping. The fact that $h$ is supposed to be one-to-one implies that $h^{\prime}$ is nowhere zero on $U$ [remember, by Theorem $5.2 .2$, that if $h^{\prime}$ vanishes to order $k \geq 0$ at a point $P \in U$, then $h$ is $(k+1)$-to-1 in a small neighborhood of $P$ ]. As a result, $h^{-1}: V \rightarrow U$ is also holomorphic (see Section 5.2). A conformal map $h: U \rightarrow V$ from one open set to another can be used to transfer holomorphic functions on $U$ to $V$ and vice versa: That is, $f: V \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic if and only if $f \circ h$ is holomorphic on $U$; and $g: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic if and only if $g \circ h^{-1}$ is holomorphic on $V$.

Thus, if there is a conformal mapping from $U$ to $V$, then $U$ and $V$ are essentially indistinguishable from the viewpoint of complex function theory. On a practical level, one can often study holomorphic functions on a rather complicated open set by first mapping that open set to some simpler open set, then transferring the holomorphic functions as indicated.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH3019

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Schwarz Lemma

本节处理单位圆盘上的有界全纯函数必须满足的某些估计。乍一看,这些估计似乎仅限于特定情况,以至于它们的 兴趣有限。但即使是这种特殊情况也经常发生,以至于估计实际上非常有用。此外,Ahlfors [AHL1] 指出,这些估 计可以解释为对复杂分析中许多不同上下文中出现的某些类型的几何结构的陈述。在本书中达到这一点的读者可以 理解对这一观点的处理,可以在 [KRA3] 中找到。本节介绍了该主题的经典分析观点。
命题 5.5.1 (施瓦茨引理) 。让 $f$ 在单位圆盘上是全纯的。假设
(1) $|f(z)| \leq 1$ 对所有人 $z$ ,
(2) $f(0)=0$.
然后 $|f(z)| \leq|z|$ 和 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
如果要么 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ 或者如果 $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$ ,然后 $f$ 是一个旋转: $f(z) \equiv \alpha z$ 对于一些复杂的常数 $\alpha$ 的单位模量。
证明。考虑函数 $g(z)=f(z) / z$. 这个函数是全纯的 $D(0,1) \backslash 0$. 还 $\lim _{z \rightarrow 0} g(z)=f^{\prime}(0)$. 所以如果我们定义 $g(0)=f^{\prime}(0)$ ,然后 $g$ 是连续的 $D(0,1)$. 由黎曼可移除奇点定理(定理 4.1.1), $g$ 然后是全纯的 $D(0,1)$.
限制关注封闭 $\operatorname{disc} \bar{D}(0,1-\epsilon)$ 为了 $\epsilon>0$ 和小。在这个圆盘的边界上, $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. 最大模数定理意味着 $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$ 在整张光盘上 $D(0,1-\epsilon)$. 让 $\epsilon \rightarrow 0^{+}$然后产生 $|g(z)| \leq 1$ 上 $D=D(0,1)$. 换句话说, $|f(z)| \leq|z|$. 现在 $g(0)=f^{\prime}(0)$ 所以我们也看到 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$. 这样就完成了定理前半部分的证明。
如果 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ ,然后 $|g(z)|=1$. 自从 $|g(z)| \leq 1$ 在整个圆盘上,我们根据最大模量原理得出结 论: $g(z)$ 是模数 1 的常数。让 $\alpha$ 保持不变。然后 $f(z) \equiv \alpha z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions as Geometric Mappings

与第 5 章一样,本章主要关注几何问题。虽然我们提供的证明当然是分析性的,但以图形方式解释它们是有用的。 这里提出的定理的证明基本上来自于图像的想法,这些图像仍然可以用来指导我们的感知。事实上,几何是复分析 主题中普遍存在的一部分,并且将在本书的其余部分以各种形式出现。
本章的主要研究对象是全纯函数 $h: U \rightarrow V$ ,和 $U, V$ 打开 $\mathbb{C}$ ,这是一对一的。这种全纯函数称为共形 (或双全 纯)映射。事实是 $h$ 应该是一对一的意味着 $h^{\prime}$ 无处为零 $U$ [记住,由定理5.2.2,如果 $h^{\prime}$ 按订单消失 $k \geq 0$ 在某一点 $P \in U$ ,然后 $h$ 是 $(k+1)$-to-1 在一个小社区 $P$ ]。因此, $h^{-1}: V \rightarrow U$ 也是全纯的(见第 $5.2$ 节) 。保形贴图 $h: U \rightarrow V$ 从一个开放集到另一个开放集可以用来传递全纯函数 $U$ 至 $V$ 反之亦然: 也就是说, $f: V \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯 的当且仅当 $f \circ h$ 是全纯的 $U$; 和 $g: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的当且仅当 $g \circ h^{-1}$ 是全纯的 $V$.
因此,如果从 $U$ 至 $V$ ,然后 $U$ 和 $V$ 从复函数论的观点来看,本质上是无法区分的。在实践层面上,人们通常可以通 过首先将该开集映射到一些更简单的开集,然后按照指示转移全纯函数来研究相当复杂的开集上的全纯函数。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Results on the Zeros of Holomorphic Functions

In the previous sections of this chapter, we have developed a detailed understanding of the local behavior of holomorphic functions, that is, of their behavior in a small neighborhood of a particular point. The methods we used, and especially Proposition 5.1.2, can be applied in a wider context to the “global behavior” of a holomorphic function on its whole domain of definition. In this section we state and prove two important results of this sort.

Theorem 5.3.1 (Rouché’s theorem). Suppose that $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ are holomorphic functions on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$. Suppose also that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ and that, for each $\zeta \in \partial D(P, r)$,
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|<|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
Then
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f(\zeta)} d \zeta=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{g^{\prime}(\zeta)}{g(\zeta)} d \zeta
$$

That is, the number of zeros of $f$ in $D(P, r)$ counting multiplicities equals the number of zeros of $g$ in $D(P, r)$ counting multiplicities.

Before beginning the proof of Rouché’s theorem, we note that the (at first strange looking) inequality (*) implies that neither $f(\zeta)$ nor $g(\zeta)$ can vanish on $\partial D(P, r)$. In particular, neither $f$ nor $g$ vanishes identically; moreover, the integrals of $f^{\prime} / f$ and of $g^{\prime} / g$ on $\partial D(P, r)$ are defined.

Also, $()$ implies that the function $f(\zeta) / g(\zeta)$ cannot take a value in ${x+i 0: x \leq 0}$ for any $\zeta \in \partial D(P, r)$. If it did, say $$ \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\lambda \leq 0 $$ for some $\zeta \in \partial D(P, r)$, then $$ \begin{aligned} \left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}-1\right| &=|\lambda-1| \ &=-\lambda+1 \ &=\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\right|+1 \end{aligned} $$ hence $$ |f(\zeta)-g(\zeta)|=|f(\zeta)|+|g(\zeta)| $$ This equality contradicts $()$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Principle

Consider the $C^{\infty}$ function $g$ on the unit disc given by $g(z)=2-|z|^{2}$. Notice that $1<|g(z)| \leq 2$ and that $g(0)=2$. The function assumes an interior maximum at $z=0$. One of the most startling features of holomorphic functions is that they cannot behave in this fashion: In stating the results about this phenomenon, the concept of a connected open set occurs so often that it is convenient to introduce a single word for it.

Definition 5.4.1. A domain in $\mathbb{C}$ is a connected open set. A bounded domain is a connected open set $U$ such that there is an $R>0$ with $|z|<R$ for all $z \in U$.

Theorem 5.4.2 (The maximum modulus principle). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a domain. Let $f$ be a holomorphic function on $U$. If there is a point $P \in U$ such that $|f(P)| \geq|f(z)|$ for all $z \in U$, then $f$ is constant.

Proof. Assume that there is such a $P$. If $f$ is not constant, then $f(U)$ is open by the open mapping principle. Hence there are points $\zeta$ of $f(U)$ with $|\zeta|>|f(P)|$. This is a contradiction. Hence $f$ is a constant.

Here is a consequence of the maximum modulus principle that is often useful:

Corollary 5.4.3 (Maximum modulus theorem). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a bounded domain. Let $f$ be a continuous function on $\bar{U}$ that is holomorphic on $U$. Then the maximum value of $|f|$ on $\bar{U}$ (which must occur, since $\bar{U}$ is closed and bounded) must occur on $\partial U$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Results on the Zeros of Holomorphic Functions

在本章的前几节中,我们详细了解了全纯函数的局部行为,即它们在特定点的小邻域中的行为。我们使用的方法,
尤其是命题 5.1.2,可以在更广泛的背景下应用于全纯函数在其整个定义域上的“全局行为”。在本节中,我们陈述并 证明了此类的两个重要结果。
定理 5.3.1 (鲁歇定理) 。假设 $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$. 还假设 $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ 而且,对于每个 $\zeta \in \partial D(P, r)$,
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|<|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
然后
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f(\zeta)} d \zeta=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{g^{\prime}(\zeta)}{g(\zeta)} d \zeta
$$
也就是说,零的个数 $f$ 在 $D(P, r)$ 计数重数等于零的数量 $g$ 在 $D(P, r)$ 计算多重性。
在开始证明 Rouché 定理之前,我们注意到(起初看起来很奇怪) 不等式 (*) 意味着两者都不 $f(\zeta)$ 也不 $g(\zeta)$ 可以消 失 $\partial D(P, r)$. 特别是,无论 $f$ 也不 $g$ 同样消失;此外,积分 $f^{\prime} / f$ 和 $g^{\prime} / g$ 上 $\partial D(P, r)$ 被定义。
还,()意味着函数 $f(\zeta) / g(\zeta)$ 不能取值 $x+i 0: x \leq 0$ 对于任何 $\zeta \in \partial D(P, r)$. 如果是的话,说
$$
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\lambda \leq 0
$$
对于一些 $\zeta \in \partial D(P, r)$ ,然后
$$
\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}-1\right|=|\lambda-1| \quad=-\lambda+1=\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\right|+1
$$
因此
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|=|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
这种平等矛盾 () .

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Principle

考虑 $C^{\infty}$ 功能 $g$ 在给定的单位圆盘上 $g(z)=2-|z|^{2}$. 请注意 $1<|g(z)| \leq 2$ 然后 $g(0)=2$. 该函数假定内部最大 值为 $z=0$. 全纯函数最令人吃惊的特征之一是它们不能以这种方式表现: 在说明这种现象的结果时,连通开集的概 念出现得如此频繁,以至于为它引入一个词很方便。 定义 5.4.1。一个域在 $\mathbb{C}$ 是连通开集。有界域是连通开集 $U$ 这样有一个 $R>0$ 和 $|z||f(P)|$. 这是一个矛盾。因此 $f$ 是一个常数。
这是通常有用的最大模量原理的结果:
推论 5.4.3 (最大模量定理) 。让 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个有界域。让 $f$ 是一个连续函数 $\bar{U}$ 那是全纯的 $U$. 那么最大值 $|f|$ 上 $\bar{U}$ (这必须发生,因为 $\bar{U}$ 是封闭的和有界的) 必须发生在 $\partial U$.

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Counting Zeros and Poles

Suppose that $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on a connected, open set $U \subseteq \mathbb{C}$ and that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. We know from the Cauchy integral formula that the values of $f$ on $D(P, r)$ are completely determined by the values of $f$ on $\partial D(P, r)$. In particular, the number and even the location of the zeros of $f$ in $D(P, r)$ are determined in principle by $f$ on $\partial D(P, r)$. But it is nonetheless a pleasant surprise that there is a simple formula for the number of zeros of $f$ in $D(P, r)$ in terms of $f$ (and $f^{\prime}$ ) on $\partial D(P, r)$. In order to construct this formula, we shall have to agree to count zeros in a particular fashion. This method of counting will in fact be a generalization of the notion of counting the zeros of a polynomial according to multiplicity. We now explain the precise idea.

Let $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ be holomorphic as before, and assume that $f$ has zeros but that $f$ is not identically zero. Fix $z_{0} \in U$ such that $f\left(z_{0}\right)=0$. Since the zeros of $f$ are isolated, there is an $r>0$ such that $\bar{D}\left(z_{0}, r\right) \subseteq U$ and such that $f$ does not vanish on $\bar{D}\left(z_{0}, r\right) \backslash\left{z_{0}\right}$.

Now the power series expansion of $f$ about $z_{0}$ has a first nonzero term determined by the least positive integer $n$ such that $f^{(n)}\left(z_{0}\right) \neq 0$. [Note that $n \geq 1$ since $f\left(z_{0}\right)=0$ by hypothesis.] Thus the power series expansion of $f$ about $z_{0}$ begins with the $n^{\text {th }}$ term:
$$
f(z)=\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{j !} \frac{\partial^{j} f}{\partial z^{j}}\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{j} .
$$
Under these circumstances we say that $f$ has a zero of order $n$ (or multiplicity $n$ ) at $z_{0}$. When $n=1$, then we say that $z_{0}$ is a simple zero of $f$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Local Geometry of Holomorphic Functions

The argument principle for holomorphic functions (the formula of Proposition 5.1.2) has a consequence which is one of the most important facts about holomorphic functions considered as geometric mappings:

Theorem 5.2.1 (The open mapping theorem). If $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a nonconstant holomorphic function on a connected open set $U$, then $f(U)$ is an open set in $\mathbb{C}$.

Before beginning the proof of the theorem, we discuss its significance. The theorem says, in particular, that if $U \subseteq \mathbb{C}$ is connected and open and if $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic, then either $f(U)$ is a connected open set (the nonconstant case) or $f(U)$ is a single point. There is no analogous result for $C^{\infty}$, or even real analytic functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$ (or from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{R}^{2}$ ). As an example, consider the function
$$
\begin{aligned}
g: \mathbb{C} & \rightarrow \mathbb{C} \
z & \mapsto|z|^{2} .
\end{aligned}
$$
The domain of $g$ is the entire plane $\mathbb{C}$, which is certainly open and connected. The set $g(\mathbb{C})$, however, is ${x+i 0: \mathbb{R} \ni x \geq 0}$ which is not open as a subset of $\mathbb{C}$. The function $g$ is in fact real analytic, but of course not holomorphic.
Note, by contrast, that the holomorphic function
$$
\begin{aligned}
g: \mathbb{C} & \rightarrow \mathbb{C} \
z & \mapsto z^{2}
\end{aligned}
$$
has image the entire complex plane (which is, of course, an open set). More significantly, every open subset of $\mathbb{C}$ has image under $g$ which is open.
In the subject of topology, a function $f$ is defined to be continuous if the inverse image of any open set under $f$ is also open. In contexts where the $\epsilon-\delta$ definition makes sense, the $\epsilon-\delta$ definition is equivalent to the inverse-image-of-open-sets definition.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Counting Zeros and Poles

假设 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是连通开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$ 然后 $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. 我们从柯西积分公式中知道, $f$ 上 $D(P, r)$ 完全由值决定 $f$ 上 $\partial D(P, r)$. 特别是零点的数量甚至位置 $f$ 在 $D(P, r)$ 原则上由 $f$ 上 $\partial D(P, r)$. 但令人惊喜的是,有 一个简单的公式可以计算零的数量 $f$ 在 $D(P, r)$ 按照 $f$ (和 $f^{\prime}$ ) 上 $\partial D(P, r)$. 为了构造这个公式,我们必须同意以 特定的方式计算零。这种计数方法实际上是根据多重性对多项式的零点进行计数的概念的推广。我们现在解释确切 的想法。
让 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 像以前一样是全纯的,并假设 $f$ 有零但是那个 $f$ 不完全为零。使固定 $z_{0} \in U$ 这样 $f\left(z_{0}\right)=0$. 由于零
现在的幂级数展开 $f$ 关于 $z_{0}$ 具有由最小正整数确定的第一个非零项 $n$ 这样 $f^{(n)}\left(z_{0}\right) \neq 0$. [注意 $n \geq 1$ 自从 $f\left(z_{0}\right)=0$ 通过假设。] 因此幂级数展开 $f$ 关于 $z_{0}$ 开始于 $n^{\text {th }}$ 学期:
$$
f(z)=\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{j !} \frac{\partial^{j} f}{\partial z^{j}}\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{j} .
$$
在这种情况下,我们说 $f$ 有零阶 $n$ (或多重性 $n$ ) 在 $z_{0}$. 什么时候 $n=1$ ,那么我们说 $z_{0}$ 是一个简单的零 $f$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Local Geometry of Holomorphic Functions

全纯函数的论证原则(命题 5.1.2 的公式)有一个结果,这是关于被视为几何映射的全纯函数的最重要事实之一:
定理 5.2.1 (开放映射定理)。如果 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是连通开集上的非常量全纯函数 $U$ ,然后 $f(U)$ 是一个开集 $\mathbb{C}$.
在开始证明定理之前,我们先讨论一下它的意义。该定理特别指出,如果 $U \subseteq \mathbb{C}$ 已连接并打开,如果 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的,那么要么 $f(U)$ 是连通开集 (非常数情况) 或 $f(U)$ 是一个点。没有类似的结果 $C^{\infty}$ ,甚至是真正的分析 函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}\left(\right.$ 或从 $\mathbb{R}^{2}$ 至 $\mathbb{R}^{2}$ )。例如,考虑函数
$$
g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} z \quad \mapsto|z|^{2} .
$$
的领域 $g$ 是整个平面 $\mathbb{C}$ ,这当然是开放和连接的。套装 $g(\mathbb{C})$ ,然而,是 $x+i 0: \mathbb{R} \ni x \geq 0$ 它不是作为子集打开的 C. 功能 $g$ 实际上是实解析的,但当然不是全纯的。 相比之下,请注意,全纯函数
$$
g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} z \quad \mapsto z^{2}
$$
具有整个复平面的图像(当然,这是一个开集)。更重要的是,每个开放子集 $\mathbb{C}$ 下有图像 $g$ 这是开放的。 在拓扑学中,一个函数 $f$ 如果任何开集的逆像在 $f$ 也是开放的。在上下文中 $\epsilon-\delta$ 定义是有道理的, $\epsilon-\delta$ 定义等价于 开集的逆像定义。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3401

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

In this section we want to treat in greater generality the question of whether a real-valued harmonic function $u$ is the real part of a holomorphic function $F$. Notice that if we write $F=u+i v$, then the Cauchy-Riemann equations say that
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
\end{gathered}
$$
In short, once $u$ is given, then $\partial v / \partial x$ and $\partial v / \partial y$ are completely determined. These in turn determine $v$ up to an additive constant. Thus determining the existence of $v$ (and hence of $F$ ) amounts to solving a familiar problem of multivariable calculus: Given two functions $f$ and $g$ (in this case $-\partial u / \partial y$ and $\partial u / \partial x$, respectively), can we find a function $v$ such that $\partial v / \partial x=f$ and $\partial v / \partial y=g ?$

A partial solution to this problem is given by the following theorem. We shall see later that the practice, begun in this theorem, of restricting consideration to functions defined on rectangles is not simply a convenience. In fact, the next theorem would actually be false if we considered functions defined on arbitrary open sets in $\mathbb{C}$ (see Exercise 52 ).

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

In the previous chapter, we approached the question of finding a function with given partial derivatives by integrating along vertical and horizontal directions only. The fact that the horizontal derivative is $\partial / \partial x$ and the vertical derivative is $\partial / \partial y$ then made the computations in Section $1.5$ obvious. But the restriction to such integrals is geometrically unnatural. In this section we are going to develop an integration process along more general curves. It is in fact not a new method of integration at all but is the process of line integration which you learned in calculus. Our chief job here is to make it rigorous and to introduce notation that is convenient for complex analysis.

First, let us define the class of curves we shall consider. It is convenient to think of a curve as a (continuous) function $\gamma$ from a closed interval $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$ into $\mathbb{R}^{2} \approx \mathbb{C}$. Although it is frequently convenient to refer to the geometrical object $\tilde{\gamma} \equiv{\gamma(t): t \in[a, b]}$, most of our analysis will be done with the function $\gamma$. It is often useful to write
$$
\gamma(t)=\left(\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t)\right) \quad \text { or } \quad \gamma(t)=\gamma_{1}(t)+i \gamma_{2}(t),
$$
depending on the context. The curve $\gamma$ is called closed if $\gamma(a)=\gamma(b)$. It is called simple closed if $\left.\gamma\right|_{[a, b)}$ is one-to-one and $\gamma(a)=\gamma(b)$. Intuitively, a simple closed curve is a curve with no self-intersections, except of course for the closing up at $t=a, t=b$.

In order to work effectively with $\gamma$, we need to impose on it some differentiability properties. Since $\gamma$ is defined on a closed interval, this requires a new definition.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3401

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

在本节中,我们要更一般地处理实值调和函数是否 $u$ 是全纯函数的实部 $F$. 请注意,如果我们写 $F=u+i v$, 那么 柯西-黎曼方程说
$$
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
$$
简而言之,一次 $u$ 给出,那么 $\partial v / \partial x$ 和 $\partial v / \partial y$ 是完全确定的。这些反过来决定 $v$ 直到一个附加常数。从而确定存在 $v$ (因此 $F$ ) 相当于解决了一个熟悉的多变量微积分问题: 给定两个函数 $f$ 和 $g$ (在这种情况下 $-\partial u / \partial y$ 和 $\partial u / \partial x$ ,分别),我们能找到一个函数 $v$ 这样 $\partial v / \partial x=f$ 和 $\partial v / \partial y=g$ ?
下面的定理给出了这个问题的部分解决方案。稍后我们将看到,从这个定理开始的将考虑限制在矩形上定义的函数 的实践不仅仅是一种方便。事实上,如果我们考虑定义在任意开集上的函数,下一个定理实际上是错误的 $\mathbb{C}$ (见刃 题 52)。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

在上一章中,我们仅通过沿垂直和水平方向积分来解决寻找具有给定偏导数的函数的问题。水平导数是 $\partial / \partial x$ 垂直 导数是 $\partial / \partial y$ 然后在 Section 中进行计算1.5明显的。但是对这种积分的限制在几何上是不自然的。在本节中,我 们将沿着更一般的曲线开发一个集成过程。它实际上根本不是一种新的积分方法,而是您在微积分中学到的线积分 过程。我们在这里的主要工作是使其严谨并引入便于复杂分析的符号。
首先,让我们定义我们要考虑的曲线类别。将曲线视为 (连续) 函数很方便 $\gamma$ 从闭区间 $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$ 进入 $\mathbb{R}^{2} \approx \mathbb{C}$. 尽管参考几何对象通常很方便 $\tilde{\gamma} \equiv \gamma(t): t \in[a, b]$, 我们的大部分分析将使用函数完成 $\gamma$. 写作通常很有用
$$
\gamma(t)=\left(\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t)\right) \quad \text { or } \quad \gamma(t)=\gamma_{1}(t)+i \gamma_{2}(t),
$$
取决于上下文。曲线 $\gamma$ 被称为关闭如果 $\gamma(a)=\gamma(b)$. 它被称为简单封闭如果 $\left.\gamma\right|_{[a, b)}$ 是一对一的并且 $\gamma(a)=\gamma(b)$. 直观地说,一条简单的闭合曲线是一条没有自相交的曲线,当然除了在 $t=a, t=b$.
为了有效地与 $\gamma$ ,我们需要对其施加一些可微性属性。自从 $\gamma$ 是在闭合区间上定义的,这需要一个新的定义。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2521

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2521

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

In the calculus of real variables, polynomials are the simplest nontrivial functions. The purpose of this section is to consider complex-valued polynomials of a complex variable, with the idea of seeing what new features appear. Later we shall use the discussion as motivation for considering more general functions.

There are several slightly different ways of looking at polynomials from the complex viewpoint. One way is to consider polynomials in $x$ and $y$, $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, with complex coefficients: for example, $(2+i) x y+3 i y^{2}+5 x^{2}$. Such polynomials give functions from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{C}$, which we could equally well think of as functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$, with $(x, y)$ determined by $z=x+$ $i y$. Another kind of polynomial that we can consider is complex-coefficient polynomials in the complex variable $z$, for example, $i+(3+i) z+5 z^{2}$. These also give functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. A polynomial in $z$ gives rise naturally to a polynomial in $x$ and $y$ by substituting $z=x+i y$ and expanding. For instance
$$
\begin{aligned}
i+(3+i) z+5 z^{2} &=i+(3+i)(x+i y)+5(x+i y)^{2} \
&=i+3 x-y+i x+3 i y+5 x^{2}+10 i x y-5 y^{2} \
&=i+(3+i) x+(3 i-1) y+5 x^{2}+(10 i) x y-5 y^{2}
\end{aligned}
$$
It is an important and somewhat surprising fact that the converse of this expansion process does not always work: there are many polynomials in $x$ and $y$ that cannot be written as polynomials in $z$. Let us consider a specific simple example: the polynomial $x$ itself. If it were true that
$$
x=P(z)=P(x+i y)
$$
for some polynomial $P(z)$ in $z$, then $P$ would have to be of first degree. But a first degree polynomial $a z+b=a x+i a y+b$ cannot be identically equal to $x$, no matter how we choose $a$ and $b$ in $\mathbb{C}$ (see Exercise 35 ). What is really going on here?

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions, the Cauchy-Riemann

Functions $f$ which satisfy $(\partial / \partial \bar{z}) f \equiv 0$ are the main concern of complex analysis. We make a precise definition:

Definition 1.4.1. A continuously differentiable $\left(C^{1}\right)$ function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is said to be holomorphic if
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0
$$
at every point of $U$.
Remark: Some books use the word “analytic” instead of “holomorphic.” Still others say “differentiable” or “complex differentiable” instead of “holomorphic.” The use of “analytic” derives from the fact that a holomorphic function has a local power series expansion about each point of its domain. The use of “differentiable” derives from properties related to the CauchyRiemann equations and conformality. These pieces of terminology, and their significance, will all be sorted out as the book develops.

If $f$ is any complex-valued function, then we may write $f=u+i v$, where $u$ and $v$ are real-valued functions. For example,
$$
z^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+i(2 x y)
$$
in this example $u=x^{2}-y^{2}$ and $v=2 x y$. The following lemma reformulates Definition $1.4 .1$ in terms of the real and imaginary parts of $f$ :

Lemma 1.4.2. A continuously differentiable function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is holomorphic if, writing $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$, with $z=x+i y$ and real-valued functions $u$ and $v$, we have that $u$ and $v$ satisfy the equations
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
at every point of $U$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH2521

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

在实变量的微积分中,多项式是最简单的非平凡函数。本节的目的是考虑复变量的复值多项式,以了解出现了哪些 新特征。稍后我们将使用讨论作为考虑更一般功能的动机。
从复数的角度来看多项式有几种略有不同的方法。一种方法是考虑多项式 $x$ 和 $y,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ ,具有复系数:例 如, $(2+i) x y+3 i y^{2}+5 x^{2}$. 这样的多项式给出的函数来自 $\mathbb{R}^{2}$ 至 $\mathbb{C}$ ,我们同样可以将其视为来自的函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}$ ,和 $(x, y)$ 取决于 $z=x+i y$. 我们可以考虑的另一种多项式是复变量中的复系数多项式 $z$ ,例如,
$i+(3+i) z+5 z^{2}$. 这些也给出了函数 $\mathbb{C}$ 至 C. 多项式在 $z$ 自然产生多项式 $x$ 和 $y$ 通过替换 $z=x+i y$ 和扩大。例 如
$$
i+(3+i) z+5 z^{2}=i+(3+i)(x+i y)+5(x+i y)^{2} \quad=i+3 x-y+i x+3 i y+5 x^{2}+10 i x y
$$
一个重要且有点令人惊讶的事实是,这个展开过程的逆过程并不总是有效:在 $x$ 和 $y$ 不能写成多项式 $z$. 让我们考虑 一个具体的简单示例: 多项式 $x$ 本身。如果这是真的
$$
x=P(z)=P(x+i y)
$$
对于一些多项式 $P(z)$ 在 $z$ ,然后 $P$ 必须是一级。但是一阶多项式 $a z+b=a x+i a y+b$ 不能完全等于 $x$ ,无论 我们如何选择 $a$ 和 $b$ 在 $\mathbb{C}$ (见刃题 35)。这里到底发生了什么?

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions, the Cauchy-Riemann

功能 $f$ 满足 $(\partial / \partial \bar{z}) f \equiv 0$ 是复分析的主要关注点。我们做一个准确的定义:
定义 1.4.1。连续可微 $\left(C^{1}\right)$ 功能 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 在开放子集上定义 $U$ 的 $\mathbb{C}$ 据说是全纯的,如果
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0
$$
在每一点 $U$.
备注: 有些书使用“分析”一词而不是“全纯”。还有一些人说“可微”或“复可微”而不是“全纯”。“解析”的使用源于这样 一个事实,即全纯函数在其域的每个点上都有一个同部幕级数展开。“可微分”的使用源于与 CauchyRiemann 方程 和保形性相关的属性。随着本书的发展,这些术语及其意义都将被整理出来。
如果 $f$ 是任何复值函数,那么我们可以写 $f=u+i v$ ,在哪里 $u$ 和 $v$ 是实值函数。例如,
$$
z^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+i(2 x y)
$$
在这个例子中 $u=x^{2}-y^{2}$ 和 $v=2 x y$. 以下引理重新表述了定义 $1.4 .1$ 就实部和虚部而言 $f$ :
引理 1.4.2。连续可微函数 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 在开放子集上定义 $U$ 的 $\mathbb{C}$ 是全纯的,如果,写作 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y) ,$ 和 $z=x+i y$ 和实值函数 $u$ 和 $v$ ,我们有 $u$ 和 $v$ 满足方程
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
在每一点 $U$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

We take for granted the real numbers, which will be denoted by the symbol $\mathbb{R}$. Then we set $\mathbb{R}^{2}={(x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}}$. The complex numbers $\mathbb{C}$ consist of $\mathbb{R}^{2}$ equipped with some special algebraic operations. Namely, one defines
$$
\begin{aligned}
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right), \
(x, y) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
You can check for yourself that these operations of $+$ and – are commutative and associative.

It is both conventional and convenient to denote $(1,0)$ by 1 and $(0,1)$ by $i$. We also adopt the convention that, if $\alpha \in \mathbb{R}$, then
$$
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha, 0) \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y) .
$$
Then every complex number $(x, y)$ can be written in one and only one way in the form $x \cdot 1+y \cdot i$ with $x, y \in \mathbb{R}$. We usually write the number even more succinctly as $x+i y$. Then our laws of addition and multiplication become
$$
\begin{aligned}
(x+i y)+\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}\right)+i\left(y+y^{\prime}\right), \
(x+i y) \cdot\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
Observe that $i \cdot i=-1$. Moreover, our multiplication law is consistent with the real multiplication introduced in line $(*)$.

The symbols $z, w, \zeta$ are frequently used to denote complex numbers. Unless it is explicitly stated otherwise, we always take $z=x+i y, w=$ $u+i v, \zeta=\xi+i \eta$. The real number $x$ is called the real part of $z$ and is written $x=\operatorname{Re} z$. Likewise $y$ is called the imaginary part of $z$ and is written $y=\operatorname{Im} z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

We first consider the complex exponential, which we define as follows:
(1) If $z=x$ is real, then
$$
e^{z}=e^{x} \equiv \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
as in calculus.
(2) If $z=i y$ is pure imaginary, then
$$
e^{z}=e^{i y} \equiv \cos y+i \sin y .
$$
(3) If $z=x+i y$, then
$$
e^{z}=e^{x+i y} \equiv e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) .
$$
Parts (2) and (3) of the definition, due to Euler, may seem somewhat arbitrary. We shall now show, using power series, that these definitions are perfectly natural. We shall wait until Section $3.2$ to give a careful presentation of the theory of complex power series. So the power series arguments that we are about to present should be considered purely formal and given primarily for motivation.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH3979

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

我们认为实数是理所当然的,用符号表示 $\mathbb{R}$. 然后我们设置 $\mathbb{R}^{2}=(x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$. 复数 $C$ 包括 $\mathbb{R}^{2}$ 配备了 一些特殊的代数运算。即,一个定义
$$
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right),(x, y) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \quad=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
$$
你可以自己检查一下这些操作 $+$ 和 $-$ 是可交换的和结合的。
它既传统又方便表示 $(1,0)$ 由 1 和 $(0,1)$ 经过 $i$ 我们还通过约定,如果 $\alpha \in \mathbb{R}$ ,然后
$$
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha, 0) \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y) .
$$
然后每个复数 $(x, y)$ 可以用一种且只有一种方式写成形式 $x \cdot 1+y \cdot i$ 和 $x, y \in \mathbb{R}$. 我们通常把这个数字写得更简 洁 $x+i y$. 那么我们的加法和乘法定律就变成了
$$
(x+i y)+\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}\right)+i\left(y+y^{\prime}\right),(x+i y) \cdot\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) \quad=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right)
$$
请注意 $i \cdot i=-1$. 此外,我们的乘法定律与行中引入的实数乘法一致 $(*)$.
符号 $z, w, \zeta$ 常用于表示复数。除非另有明确说明,否则我们总是取 $z=x+i y, w=u+i v, \zeta=\xi+i \eta$. 真实 数字 $x$ 被称为实部 $z$ 并写成 $x=\operatorname{Re} z$. 同样地 $y$ 被称为虚部 $z$ 并写成 $y=\operatorname{Im} z$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

我们首先考虑复指数,我们定义如下:
(1) 如果 $z=x$ 是真实的,那么
$$
e^{z}=e^{x} \equiv \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
就像在微积分中一样。
(2) 如果 $z=i y$ 是纯虚数,那么
$$
e^{z}=e^{i y} \equiv \cos y+i \sin y .
$$
(3) 如果 $z=x+i y$ ,然后
$$
e^{z}=e^{x+i y} \equiv e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) .
$$
由于欧拉,定义的第 (2) 和 (3) 部分似乎有些武断。我们现在将使用幂级数证明这些定义是完全自然的。我们将等 到第3.2详细介绍复幂级数理论。因此,我们将要介绍的幂级数论证应该被认为是纯粹形式的,主要是为了动机。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Math 417

如果你也在 怎样代写复变函数Complex function这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Math 417

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Influence of V. E. Katsnelson and D. Z. Arov on the Direction of Our Research Group

While working on generalized matricial Nehari problems (see $[21]$ ), Bernd and I made first contact with the works of V. E. Katsnelson. The problem is stated as follows:
GENERALIZED MATRICIAL NEHARI PROBLEM: Let $p, q \in \mathbb{N}$. Further, let $F_{11}$ and $F_{22}$ be a non-negative Hermitian $p \times p$ and a $q \times q$ measure, respectively, on the Borelian $\sigma$-Algebra $\mathfrak{B}{\mathbb{T}}$ on $\mathbb{T}:={z \in \mathbb{C}:|z|=1}$ and let $\left(\beta{k}\right){k=0}^{\infty}$ be a sequence of complex $p \times q$ matrices. Describe the set $\mathcal{F}\left(F{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ of all $\sigma$-additive mappings $F{12}$ from $\mathfrak{B}{\mathrm{T}}$ into the set of all complex $p \times q$ matrices fulfilling the conditions $$ \int{\mathbb{T}} z^{-k} F_{12}(\mathrm{~d} z)=\beta_{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
and for which
$$
\left(\begin{array}{ll}
F_{11} & F_{12} \
F_{12}^{} & F_{22} \end{array}\right) $$ is a non-negative Hermitian $(p+q) \times(p+q)$ measure on $\mathfrak{B}{\mathbb{T}}$. In particular, state necessary and sufficient conditions such that the set $\mathcal{F}\left(F{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ is non-empty. The problem stated above leads one to studying kernels on $\mathbb{N}{0} \times \mathbb{N}{0}$ of so-called mixed Toeplitz-Hankel type. To see this, for all $k \in \mathbb{Z}$, set $$ \alpha{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{11}(\mathrm{~d} z) \quad \text { and } \quad \delta_{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{22}(\mathrm{~d} z)
$$
and, for all $(m, n) \in \mathbb{N}{0} \times \mathbb{N}{0}$, define
$$
K(m, n):=\left(\begin{array}{cc}
\alpha_{m-n} & \beta_{m+n} \
\beta_{m+n}^{} & \delta_{n-m}
\end{array}\right)
$$
The kernel $K$ being non-negative definite turns out to be necessary and sufficient for the set $\mathcal{F}\left(F_{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right)_{k=0}^{\infty}\right)$ to be non-empty.

The just defined kernel $K$ is also important because of the following observation.
GENERALIZED HERGLOTZ-BOCHNER THEOREM: Let $p, q \in \mathbb{N}$ and let $\left(\alpha_{k}\right){k=0}^{\infty},\left(\beta{k}\right){k=0}^{\infty}$, and $\left(\delta{k}\right){k=0}^{\infty}$ be sequences belonging to $\mathbb{C}^{p \times p}, \mathbb{C}^{p \times q}$, and $\mathbb{C}^{q \times q}$, respectively. Then there exists a non-negative Hermitian $(p+q) \times(p+q)$ Borelian measure on T such that for all $m, n \in{0,1,2, \ldots}$ the equation $$ K(m, n)=\int{\mathbb{T}}\left[\operatorname{diag}\left(z^{-m} I_{p}, z^{m} I_{q}\right)\right] F(\mathrm{~d} z)\left[\operatorname{diag}\left(z^{-n} I_{p}, z^{n} I_{q}\right)\right]^{*}
$$
is satisfied if and only if $K$ is non-negative definite.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|A Preamble

As a mathematician, Victor Katsnelson was raised within a fine school of function theory and functional analysis, which was blossoming in Kharkov starting the second half of 1930s. He studied in the Kharkov State University in 1960-1965. Among his teachers were Naum Akhiezer, Boris Levin, Vladimir Marchenko. That time he became acquainted with Vladimir Matsaev whom Victor often mentions as one of his teachers. In 1965 Katsnelson graduated with the master degree, Boris Levin supervised his master thesis. Since then and till 1990, he teaches at the Department of Mathematics and Mechanics of the Kharkov State University. In 1967 he defends the PhD Thesis “Convergence and Summability of Series in Root Vectors of Some Classes of Non-Selfadjoint Operators” also written under Boris Levin guidance. Until he left Kharkov in the early 1990s, Katsnelson remained an active participant of the Kharkov function theory seminar run on Thursdays by Boris Levin and Iossif Ostrovskii. His talks, remarks and questions were always interesting and witty.

Already in the 1960s Victor established himself among the colleagues as one of the finest Kharkov mathematicians of his generation, if not the finest one. Nevertheless, he was not appointed as a professor and was never allowed to travel abroad.

Most of Katsnelson’s work pertain to the spectral theory of functions and operators. I will touch only a handful of his results, mostly published in 1965-1970,that is, at the very beginning of his mathematical career. A big portion of his works written in Kharkov appeared in the local journal “Function Theory, Functional Analysis and Their Applications” and were never translated in English. Today, this journal is available at http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/43.

In this occasion, let me mention two wonderful books carefully written by Katsnelson $[18,19]$. They exist only as manuscripts, and curiously, both have “Part I” in their titles, though, as far as I know, no continuations appeared. In both books mathematics interlaces with interesting historical comments. Last but not least, let me also mention an extensive survey of Issai Schur’s works in analysis written jointly by Dym and Katsnelson [7].

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Math 417

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The Influence of V. E. Katsnelson and D. Z. Arov on the Direction of Our Research Group

在处理广义矩阵 Nehari 问题时(参见 $[21]$ ,Bernd 和我第一次接触了 VE Katsnelson 的作品。问题表述如下:
GENERALIZED MATRICIAL NEHARI PROBLEM: Let $p, q \in \mathbb{N}$. 此外,让 $F_{11}$ 和 $F_{22}$ 是一个非负厄米特 $p \times p$ 和一个 $q \times q$ 分别测量 Borelian $\sigma$-代数 $\mathfrak{B T}$ 上T $:=z \in \mathbb{C}:|z|=1$ 然后让 $(\beta k) k=0^{\infty}$ 是一个昆杂的序列 $p \times q$ 矩阵。描述集合 $\mathcal{F}\left(F 11, F_{22},\left(\beta_{k}\right) k=0^{\infty}\right)$ 其中 $\sigma$ – 加法映射 $F 12$ 从 $\mathfrak{B}$ T 进入所有复数的集合 $p \times q$ 满足条件的矩阵
$$
\int \mathbb{T} z^{-k} F_{12}(\mathrm{~d} z)=\beta_{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
并且为此
$$
\left(\begin{array}{llll}
F_{11} & F_{12} & F_{12} & F_{22}
\end{array}\right)
$$
是一个非负厄米特 $(p+q) \times(p+q)$ 测量 $\mathfrak{B} \mathbb{T}$. 特别是,陈述必要和充分条件,使得集合
$\mathcal{F}\left(F 11, F_{22},\left(\beta_{k}\right) k=0^{\infty}\right)$ 是非空的。上述问题导致研究内核 $\mathbb{N} 0 \times \mathbb{N} 0$ 所调的混合 Toeplitz-Hankel 类型。看到这 个,给大家 $k \in \mathbb{Z}$ ,放
$$
\alpha k:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{11}(\mathrm{~d} z) \quad \text { and } \quad \delta_{k}:=\int_{\mathbb{T}} z^{-k} F_{22}(\mathrm{~d} z)
$$
并且,对于所有人 $(m, n) \in \mathbb{N} 0 \times \mathbb{N} 0$ , 定义
内核 $K$ 非负定对集合来说是必要和充分的 $\mathcal{F}\left(F_{11}, F_{22},\left(\beta_{k}\right){k=0}^{\infty}\right)$ 为非空。 刚刚定义的内核 $K$ 由于以下观㟯,也很重要。 广义 HERGLOTZ-BOCHNER 定理:让 $p, q \in \mathbb{N}$ 然后让 $\left(\alpha{k}\right) k=0^{\infty},(\beta k) k=0^{\infty} , \quad$ 和 $(\delta k) k=0^{\infty}$ 是属于的序列 $\mathbb{C}^{p \times p}, \mathbb{C}^{p \times q}$ ,和 $\mathbb{C}^{q \times q}$ ,分别。那么存在一个非负厄米特 $(p+q) \times(p+q)$ 在 T 上的 Borelian 测度使得对于所有 $m, n \in 0,1,2, \ldots$ 方程
$$
K(m, n)=\int \mathbb{T}\left[\operatorname{diag}\left(z^{-m} I_{p}, z^{m} I_{q}\right)\right] F(\mathrm{~d} z)\left[\operatorname{diag}\left(z^{-n} I_{p}, z^{n} I_{q}\right)\right]^{*}
$$
当且仅当满足 $K$ 是非负定的。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|A Preamble

作为一名数学家,Victor Katsnelson 在一所优秀的函数理论和泛函分析学校长大,从 1930 年代后半期开始,这所学校在哈尔科夫蓬勃发展。1960-1965年在哈尔科夫国立大学学习。他的老师包括 Naum Akhiezer、Boris Levin、Vladimir Marchenko。那时,他结识了 Victor 经常提到的 Vladimir Matsaev,他是他的老师之一。1965 年 Katsnelson 获得硕士学位,Boris Levin 指导他的硕士论文。此后一直到1990年,他在哈尔科夫国立大学数学与力学系任教。1967 年,他为同样在 Boris Levin 指导下撰写的博士论文“某些类非自联算子的根向量中的级数的收敛性和可和性”进行了辩护。直到他在 1990 年代初离开哈尔科夫,Katsnelson 仍然积极参加每周四由 Boris Levin 和 Iossif Ostrovskii 举办的哈尔科夫函数理论研讨会。他的谈话、评论和问题总是有趣而诙谐。

早在 1960 年代,维克多就已经在同事中确立了自己是他这一代最优秀的哈尔科夫数学家之一,即使不是最优秀的。然而,他没有被任命为教授,也从未被允许出国旅行。

Katsnelson 的大部分工作都与函数和算子的谱理论有关。我将只触及他的一小部分结果,大部分发表于 1965-1970 年,也就是他数学生涯的初期。他用哈尔科夫写的大部分作品出现在当地期刊《泛函理论、泛函分析及其应用》上,从未翻译成英文。今天,该期刊可在 http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/43 获得。

在此之际,让我提两本由 Katsnelson 精心撰写的精彩书籍[18,19]. 它们仅作为手稿存在,奇怪的是,它们的标题中都有“第一部分”,但据我所知,没有出现续集。在这两本书中,数学与有趣的历史评论交织在一起。最后但并非最不重要的一点是,我还要提到由 Dym 和 Katsnelson 联合撰写的对 Issai Schur 分析作品的广泛调查 [7]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|AMATH 567

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s Year as a Visiting Professor

In order to deepen the scientific collaboration with Viktor Emmanuilovich, Bernd and I intensively thought about possibilities to invite him to Leipzig for a longer period. This aim could indeed be pursued in 1991 on a large scale. At this point a few further words are advisable. One of the most famous scientists in history of Leipzig University is undoubtedly Wilhelm Ostwald (1853-1932), one of the founding fathers of physical chemistry, who was honored with the Nobel prize in chemistry in 1909. In honor of Wilhelm Ostwald, a chair named after him was established at Leipzig University, which was assigned to exceptionally renowned foreign guest researchers by the Faculty of Sciences of Leipzig University. Due to V. E.’s extensive publications in function theory and functional analysis, he had already gained a high reputation in the 1980 s. Among other things, this was particularly shown by an invitation to a week-long guest stay at the famous Weizmann Institute of Science Rehovot in summer 1990 . This sparked the idea to put forward the proposal to assign the Ostwald Chair to V. E. in the first half of 1991 . To our great delight, the proposal was accepted by the Faculty of Sciences of Leipzig University. From today’s perspective, Viktor Emmanuilovich turned out to be the last holder of the Ostwald Chair. The profound changes at Leipzig University after the political turnaround resulted in the abolishment of the Ostwald Chair for guest researchers. During the time of his visit to Leipzig, a big part of V. E.’s family emigrated to Israel. For this reason, he was unsure how and where he could continue his academic career. In order to support him, Bernd and I considered it advisable to extend his stay in Leipzig beyond the duration of the Ostwald Chair. The realization of this idea was complemented by a fortunate circumstance. The DFG offered multiple funding opportunities in order to support universities in the former GDR. Taking advantage of one of these programs, Bernd and I managed to arrange a DFG visiting professorship at Leipzig University for V. E. for the second half of 1991 . Eventually, he stayed in Leipzig for an entire year. On January 22,1992 , he then left Leipzig for the Weizmann Institute, where he was offered a professorship for Theoretical Mathematics (see Fig. 4).

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The 60th Birthday of Viktor Emmanuilovich

In honor of V. E.’s 60 th birthday on September 3,2003 , we organized a workshop at Leipzig University which was among others attended by V. K. Dubovoy, W. Schempp, B. Silbermann. G. Heinig, A. Lasarow. Of course, a scientific contribution of the jubilarian was a must as well. He gave a two-part lecture about rational solutions of Schlesinger’s equation and their tau functions. At the end of the workshop on September 10,2003 , V. K. Dubovoy gave a very appropriate description of V. E. in form of an entry in the guest book of the Mathematical Institute of Leipzig University:
First and foremost, I would like to cordially thank Professor Bernd Kirstein and Professor Bernd Fritzsche for the invitation to Leipzig and the opportunity to speak at the conference in honor of the 60th birthday of Viktor Emmanuilovich Katsnelson.

I first encountered Viktor Emmanuilovich in spring 1963. Forty years have already passed since then. The predominant part of these years, I stood in close contact with Viktor Emmanuilovich. How many different topics were elucidated throughout!!! Regardless of a certain severity in his judgments, Viktor Emmanuilovich is very democratic company and also willing to expose himself to sharp criticism, which he did sufficiently often compared to others, too. To me, the contact with the mathematician Viktor Emmanuilovich was and allowed me to give up a whole series of illusions. I know Viktor Emmanuilovich as a person, who feels mathematics deeply and subtly and who strives to convey this feeling to others. He has written scientific papers that identify him as a great master.

You can compare Viktor Emmanuilovich to a singular point in our lives from which a mighty stream of energies emerges. It has not always been easy (just how it is not always easy for him), but without him the world would be poorer.

I express my wishes for Vitja through a passage from a poem by Boris Pasternak, which he loves a lot:
“… but be alive – this only matters – alive and burning to the end.”

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|AMATH 567

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s Year as a Visiting Professor

为了加深与 Viktor Emmanuilovich 的科学合作,我和 Bernd 认真考虑了邀请他到莱比锡呆更长时间的可能性。这个目标确实可以在 1991 年大规模实现。在这一点上,建议多说几句。莱比锡大学历史上最著名的科学家之一无疑是威廉·奥斯特瓦尔德(Wilhelm Ostwald,1853-1932),他是物理化学的奠基人之一,他于 1909 年获得诺贝尔化学奖。以他的名字命名的莱比锡大学成立于莱比锡大学,由莱比锡大学理学院分配给特别知名的外国客座研究人员。由于 VE 在泛函理论和泛函分析方面的大量著作,他在 1980 年代已经获得了很高的声誉。除其他外,1990 年夏天在著名的魏茨曼科学研究所雷霍沃特受邀进行为期一周的客人逗留,尤其体现了这一点。这激发了 1991 年上半年提出将 Ostwald 主席分配给 VE 的建议的想法。令我们非常高兴的是,该提案被莱比锡大学理学院接受。从今天的角度来看,Viktor Emmanuilovich 原来是奥斯特瓦尔德主席的最后一位持有者。政治转变后莱比锡大学的深刻变化导致取消了客座研究人员的奥斯特瓦尔德教席。在他访问莱比锡期间,VE 的大部分家庭移民到了以色列。出于这个原因,他不确定如何以及在哪里继续他的学术生涯。为了支持他,Bernd 和我认为最好将他在莱比锡的逗留时间延长到奥斯特瓦尔德主席任期之后。一个幸运的情况补充了这个想法的实现。DFG 提供了多种资助机会,以支持前东德的大学。利用其中一个项目,Bernd 和我在 1991 年下半年设法在莱比锡大学为 VE 安排了 DFG 访问教授职位。最终,他在莱比锡呆了整整一年。1992 年 1 月 22 日,他离开莱比锡前往魏茨曼研究所,在那里他获得了理论数学教授职位(见图 4)。DFG 提供了多种资助机会,以支持前东德的大学。利用其中一个项目,Bernd 和我在 1991 年下半年设法在莱比锡大学为 VE 安排了 DFG 访问教授职位。最终,他在莱比锡呆了整整一年。1992 年 1 月 22 日,他离开莱比锡前往魏茨曼研究所,在那里他获得了理论数学教授职位(见图 4)。DFG 提供了多种资助机会,以支持前东德的大学。利用其中一个项目,Bernd 和我在 1991 年下半年设法在莱比锡大学为 VE 安排了 DFG 访问教授职位。最终,他在莱比锡呆了整整一年。1992 年 1 月 22 日,他离开莱比锡前往魏茨曼研究所,在那里他获得了理论数学教授职位(见图 4)。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|The 60th Birthday of Viktor Emmanuilovich

为庆祝 2003 年 9 月 3 日 VE 的 60 岁生日,我们在莱比锡大学组织了一个研讨会,其中有 VK Dubovoy、W. Schempp、B. Silbermann 参加。G. 海尼格,A. Lasarow。当然,禧年的科学贡献也是必须的。他就施莱辛格方程的有理解及其 tau 函数做了两部分的讲座。在 2003 年 9 月 10 日的研讨会结束时,VK Dubovoy 在莱比锡大学数学研究所的留言簿中以条目的形式对 VE 进行了非常恰当的描述:
首先,我要衷心感谢 Bernd 教授感谢 Kirstein 和 Bernd Fritzsche 教授受邀前往莱比锡并有机会在会议上发言,以纪念 Viktor Emmanuilovich Katsnelson 的 60 岁生日。

我第一次见到维克多·埃马努伊洛维奇是在 1963 年春天。从那时起已经过去了 40 年。这些年的大部分时间里,我都与维克多·埃马努伊洛维奇保持着密切的联系。自始至终阐明了多少不同的主题!不管他的判断有多么严厉,维克多·埃马努伊洛维奇是一个非常民主的公司,也愿意让自己受到尖锐的批评,与其他人相比,他也经常这样做。对我来说,与数学家 Viktor Emmanuilovich 的接触让我放弃了一系列的幻想。我知道 Viktor Emmanuilovich 是一个人,他深刻而微妙地感受数学,并努力将这种感受传达给他人。他撰写的科学论文表明他是一位伟大的大师。

你可以将 Viktor Emmanuilovich 比作我们生活中的一个奇异点,从那里涌现出一股强大的能量流。这并不总是那么容易(就像他并不总是那么容易),但没有他,世界会更穷。

我通过鲍里斯·帕斯捷尔纳克 (Boris Pasternak) 的一首诗中的一段话表达了我对维贾的祝福,他非常喜欢这首诗:
“……但要活着——这很重要——活着并燃烧到最后。”

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|First Steps in Schur Analysis

After the defense of our joint dissertation on problems of the filter theory of multidimensional stationary sequences in December 1983, Bernd Fritzsche and I decided to aim our future research at the analytic foundation of prediction theory of multivariate stationary sequences. Against this background, we took up intense studies of the trend-setting works of the Soviet school (Kolmogorov, Rozanov, Matveev) as well as of American scholars (Wiener, Masani, Helson, Lowdenslager). During this process, we became aware of V. P. Potapov’s fundamental work [45] about the multiplicative structure of $J$-contractive matrix functions for the first time and we began to study the basics of $J$-theory systematically. Our choice of this research field was considerably encouraged by $P$. R. Masani. During Masanis’s visit of Leipzig University in May 1986 we had profound discussions about the state of prediction theory at that time and its prospects. P. R. Masani revealed to us that in collaboration with Norbert Wiener, following the works $[43,44,50,51]$, further research on an application of the results of V. P. Potapov in prediction theory was planned. However, the realization of this intention became unattainable due to Norbert Wiener’s death on March 18,1964 . Without Norbert Wiener P. R. Masani was reluctant to tackle this project and he turned towards a systematic elaboration of the theory of measures with orthogonal values in a Hilbert space or rather of the theory of orthoprojector-valued measures. P. R. Masani encouraged us to get in direct touch with the students of V. P. Potapov, who had passed away in the year 1980 . V. P. Potapov had been employed at the FTINT (Russian abbreviation for B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine in Kharkov) during the last period of his life (1976-1980) and he was able to contribute significantly to the popularization of $J$-Theory. In particular, he managed to assemble a group of exceedingly committed mathematicians in Kharkov who devoted themselves with inequalities to matricial versions of classical interpolation and moment problems. Among others, I. V. Kovalishina, V. E. Katsnelson, V. K. Dubovoy, L. B. Golinskii, I. V. Mikhailova, and Yu. M. Dyukarev belonged to this circle of mathematicians. In the summer of 1986 , Bernd Fritzsche and I decided to invite one representative of the circle of the above mentioned mathematicians to a month-long work visit at Leipzig University in the year $1987.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s First Visit to Leipzig

Over the course of planning the research activities for the year 1989 in fall 1988 , Bernd Fritzsche and I intended to hold a week-long international seminar on Schur analysis. This request was complied with by the administration of the Center for Theoretical Sciences (NTZ). The week from October 16-20, 1989 was specified as the date of the event. In connection with this seminar, we requested a 3-week stay for V. E. at Leipzig University. This request was granted as well. On September 23 , 1989 , he arrived in Leipzig. Aged 46 years it was his very first travel abroad. At the beginning of his stay it was unforeseeable that during his visit certain incidents would happen in Leipzig, which should stir up the political situation in the GDR significantly. V. E. became an eye-witness of the massive Monday protests in the city center of Leipzig on both October 9th and Uctober 16th that set the decay of the GDR in motion. Within a personal evaluation of these events, he reasoned that the reunification of Germany was the only consequence that seemed logical. We ourselves considered his prognosis very utopian at the time. History proved, though, that he had predicted everything completely correctly. Less than 1 year later, on October 3, 1990, the reunification of Germany was in fact enforced. During the first 3 weeks of his stay in Leipzig, Bernd and I had profound mathematical discussions with him, where he drew our attention to central problems in Schur analysis and, moreover, imparted to us fundamental aspects of the research of the Kharkov school. At that time, his lectures were held in Russian and I acted as interpreter into German for the audience (Fig. 2). At the end of his stay in Leipzig, the INTSEM (International Seminar) on Schur Analysis took place. It was P. R. Masani who had suggested the event during his first visit to Leipzig in 1986. The aim of this seminar was to gather leading specialists from the East and the West working on Schur analysis. This goal was successfully pursued. Among the Western participants were P. R. Masani, A. Dijksma, H. S. V. de Snoo, S. Hassi, and others. The list of Soviet participants included I. V. Kovalishina, V. E. Katsnelson, V. K. Dubovoy, Yu. L. Shmulyan, and I. M. Spitkovskii (Fig. 3). On October 17, 1989, the second day of the seminar, Mark Grigorevich Krein, one of the greatest mathematicians of the twentieth century, who had made fundamental contributions to Schur analysis and numerous other fields passed away. For this reason, D. Z. Arov has not been able to come to Leipzig for the seminar in time. He arrived on October 21 st, that is, 1 day after the end of the seminar. Following the seminar, it was intended that he would stay in Leipzig for another 3 weeks. During this time, the foundation for a long-term scientific collaboration with D. Z. Arov was set.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Math 213A

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|First Steps in Schur Analysis

在 1983 年 12 月我们关于多维平稳序列滤波理论问题的联合论文答辩后,我和 Bernd Fritzsche 决定将我们未来的研究瞄准多元平稳序列预测理论的分析基础。在此背景下,我们对苏联学派(Kolmogorov、Rozanov、Matveev)以及美国学者(Wiener、Masani、Helson、Lowdenslager)的引领潮流的作品进行了深入研究。在这个过程中,我们意识到了 VP Potapov 关于乘法结构的基础工作 [45]Ĵ-第一次收缩矩阵函数,我们开始研究Ĵ- 系统地理论。我们选择这个研究领域受到了极大的鼓舞磷. R.马萨尼。1986年5月马萨尼斯访问莱比锡大学期间,我们就当时预测理论的状况及其前景进行了深入的讨论。PR Masani 向我们透露,在与 Norbert Wiener 合作之后,[43,44,50,51],计划进一步研究VP Potapov的结果在预测理论中的应用。然而,由于诺伯特·维纳于 1964 年 3 月 18 日去世,这一意图的实现变得无法实现。如果没有 Norbert Wiener,PR Masani 不愿意处理这个项目,他转向系统阐述希尔伯特空间中具有正交值的测量理论,或者更确切地说是正交投影测量理论。PR Masani 鼓励我们与 1980 年去世的 VP Potapov 的学生直接联系。VP Potapov 曾受雇于 FTINT(俄罗斯 B.Ĵ-理论。特别是,他设法在哈尔科夫召集了一群非常投入的数学家,他们致力于研究不等式的经典插值和矩问题的矩阵版本。其中包括 IV Kovalishina、VE Katsnelson、VK Dubovoy、LB Golinskii、IV Mikhailova 和 Yu。M. Dyukarev 属于这个数学家圈子。1986 年夏天,我和 Bernd Fritzsche 决定在 1987 年邀请上述数学家界的一位代表到莱比锡大学进行为期一个月的工作访问。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Viktor Emmanuilovich’s First Visit to Leipzig

在 1988 年秋季计划 1989 年研究活动的过程中,我和 Bernd Fritzsche 打算举办一个为期一周的 Schur 分析国际研讨会。理论科学中心(NTZ)的管理部门遵守了这一要求。1989 年 10 月 16 日至 20 日这一周被指定为事件的日期。与本次研讨会有关,我们要求 VE 在莱比锡大学停留 3 周。这个请求也被批准了。1989年9月23日,他抵达莱比锡。46岁那是他第一次出国旅行。在他逗留之初,不可预见的是,在他访问期间,莱比锡会发生某些事件,这将极大地激起东德的政治局势。VE 10 月 9 日和 10 月 16 日在莱比锡市中心发生的大规模周一抗议活动见证了民主德国的衰败。在对这些事件的个人评估中,他认为德国的统一是唯一合乎逻辑的结果。我们自己当时认为他的预测非常乌托邦。然而,历史证明,他完全正确地预测了一切。不到一年后,即 1990 年 10 月 3 日,德国的统一实际上得到了执行。在他在莱比锡逗留的前 3 周里,Bernd 和我与他进行了深入的数学讨论,在那里他提请我们注意舒尔分析中的核心问题,此外,还向我们传授了哈尔科夫学派研究的基本方面。当时,他的讲座以俄语进行,我为听众担任德语的翻译(图 2)。在莱比锡逗留结束时,举行了关于舒尔分析的 INTSEM(国际研讨会)。正是 PR Masani 在 1986 年第一次访问莱比锡时提出了这项活动。这次研讨会的目的是聚集东西方从事舒尔分析工作的领先专家。这个目标成功地实现了。西方参与者包括 PR Masani、A. Dijksma、HSV de Snoo、S. Hassi 等。苏联参与者的名单包括 IV Kovalishina、VE Katsnelson、VK Dubovoy、Yu。L. Shmulyan 和 IM Spitkovskii(图 3)。1989 年 10 月 17 日,研讨会的第二天,二十世纪最伟大的数学家之一 Mark Grigorevich Krein,对舒尔分析和许多其他领域做出了根本性贡献的人去世了。为此,DZ Arov 未能及时来到莱比锡参加研讨会。他于 10 月 21 日到达,也就是研讨会结束后的 1 天。研讨会结束后,他打算在莱比锡再呆 3 周。在此期间,与 DZ Arov 的长期科学合作奠定了基础。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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