多元统计分析代写 - 统计代写答疑辅导

分类：多元统计分析代写

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Covariance

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多元统计分析Multivariate Statistical Analysis是基于多变量统计的原理。通常情况下，MVA用于解决对每个实验单元进行多次测量的情况，这些测量之间的关系及其结构很重要。现代的、重叠的MVA分类包括：正态和一般多变量模型和分布理论、关系的研究和测量、多维区域的概率计算、对数据结构和模式的探索、由于希望包括基于物理学的分析，以计算变量对分层 “系统中的系统 “的影响，多变量分析可能变得复杂。通常情况下，希望使用多变量分析的研究会因为问题的维度而停滞。这些问题通常通过使用代理模型来缓解，代理模型是基于物理学的代码的高度精确的近似。由于代用模型采取方程的形式，它们可以被快速评估。这成为大规模MVA研究的一个有利因素：在基于物理学的代码中，整个设计空间的蒙特卡洛模拟是困难的，而在评估代用模型时，它变得微不足道，代用模型通常采取响应面方程式的形式。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Covariance

Covariance is a measure of dependency between random variables. Given two (random) variables $X$ and $Y$ the (theoretical) covariance is defined by:
$$
\sigma_{X Y}=\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-(E X)(E Y)
$$
The precise definition of expected values is given in Chapter 4. If $X$ and $Y$ are independent of each other, the covariance $\operatorname{Cov}(X, Y)$ is necessarily equal to zero, see Theorem 3.1. The converse is not true. The covariance of $X$ with itself is the variance:
$$
\sigma_{X X}=\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Cov}(X, X)
$$

If the variable $X$ is $p$-dimensional multivariate, e.g., $X=\left(\begin{array}{c}X_1 \ \vdots \ X_p\end{array}\right)$, then the theoretical covariances among all the elements are put into matrix form, i.e., the covariance matrix:
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{ccc}
\sigma_{X_1 X_1} & \ldots & \sigma_{X_1 X_p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
\sigma_{X_p X_1} & \cdots & \sigma_{X_p X_p}
\end{array}\right)
$$
Properties of covariance matrices will be detailed in Chapter 4. Empirical versions of these quantities are:
$$
\begin{aligned}
s_{X Y} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right) \
s_{X X} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 .
\end{aligned}
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Correlation

The correlation between two variables $X$ and $Y$ is defined from the covariance as the following:
$$
\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}} .
$$
The advantage of the correlation is that it is independent of the scale, i.e., changing the variables’ scale of measurement does not change the value of the correlation. Therefore, the correlation is more useful as a measure of association between two random variables than the covariance. The empirical version of $\rho_{X Y}$ is as follows:
$$
r_{X Y}=\frac{s_{X Y}}{\sqrt{s_{X X Y Y} s_{Y Y}}}
$$
The correlation is in absolute value always less than 1. It is zero if the covariance is zero and vice-versa. For $p$-dimensional vectors $\left(X_1, \ldots, X_p\right)^{\top}$ we have the theoretical correlation matrix
$$
\mathcal{P}=\left(\begin{array}{ccc}
\rho_{X_1 X_1} & \ldots & \rho_{X_1 X_p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
\rho_{X_p X_1} & \ldots & \rho_{X_p X_p}
\end{array}\right)
$$
and its empirical version, the empirical correlation matrix which can be calculated from the observations,
$$
\mathcal{R}=\left(\begin{array}{ccc}
r_{X_1 X_1} & \ldots & r_{X_1 X_p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
r_{X_p X_1} & \ldots & r_{X_p X_p}
\end{array}\right)
$$

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Covariance

协方差是衡量随机变量之间的相关性。给定两个(随机)变量$X$和$Y$，(理论)协方差定义为:
$$
\sigma_{X Y}=\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-(E X)(E Y)
$$
第四章给出了期望值的精确定义。如果$X$和$Y$相互独立，则协方差$\operatorname{Cov}(X, Y)$必然等于零，见定理3.1。反之则不成立。$X$与自身的协方差为方差:
$$
\sigma_{X X}=\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Cov}(X, X)
$$

如果变量$X$为$p$维多元，如$X=\left(\begin{array}{c}X_1 \ \vdots \ X_p\end{array}\right)$，则将各元素之间的理论协方差表示为矩阵形式，即协方差矩阵:
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{ccc}
\sigma_{X_1 X_1} & \ldots & \sigma_{X_1 X_p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
\sigma_{X_p X_1} & \cdots & \sigma_{X_p X_p}
\end{array}\right)
$$
协方差矩阵的性质将在第4章详细介绍。这些量的经验版本是:
$$
\begin{aligned}
s_{X Y} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right) \
s_{X X} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 .
\end{aligned}
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Correlation

两个变量$X$和$Y$之间的相关性由协方差定义如下:
$$
\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}} .
$$
相关性的优点是它独立于尺度，即改变变量的测量尺度并不会改变相关性的值。因此，作为两个随机变量之间的关联度量，相关性比协方差更有用。$\rho_{X Y}$的实证版本如下:
$$
r_{X Y}=\frac{s_{X Y}}{\sqrt{s_{X X Y Y} s_{Y Y}}}
$$
相关性的绝对值总是小于1。如果协方差为零，则为零，反之亦然。对于$p$维向量$\left(X_1, \ldots, X_p\right)^{\top}$，我们有理论相关矩阵
$$
\mathcal{P}=\left(\begin{array}{ccc}
\rho_{X_1 X_1} & \ldots & \rho_{X_1 X_p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
\rho_{X_p X_1} & \ldots & \rho_{X_p X_p}
\end{array}\right)
$$
它的经验版本，经验相关矩阵可以从观测中计算出来，
$$
\mathcal{R}=\left(\begin{array}{ccc}
r_{X_1 X_1} & \ldots & r_{X_1 X_p} \
\vdots & \ddots & \vdots \
r_{X_p X_1} & \ldots & r_{X_p X_p}
\end{array}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Quadratic Forms

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Quadratic Forms

The Boston Housing data set was analyzed by Harrison and Rubinfeld (1978) who wanted to find out whether “clean air” had an influence on house prices. We will use this data set in this chapter and in most of the following chapters to illustrate the presented methodology. The data are described in Appendix B.1.
What Can Be Seen from the PCPs
In order to highlight the relations of $X_{14}$ to the remaining 13 variables we color all of the observations with $X_{14}>$ median $\left(X_{14}\right)$ as red lines in Figure 1.24. Some of the variables seem to be strongly related. The most obvious relation is the negative dependence between $X_{13}$ and $X_{14}$. It can also be argued that there exists a strong dependence between $X_{12}$ and $X_{14}$ since no red lines are drawn in the lower part of $X_{12}$. The opposite can be said about $X_{11}$ : there are only red lines plotted in the lower part of this variable. Low values of $X_{11}$ induce high values of $X_{14}$.
For the PCP, the variables have been rescaled over the interval $[0,1]$ for better graphical representations. The $\mathrm{PCP}$ shows that the variables are not distributed in a symmetric manner. It can be clearly seen that the values of $X_1$ and $X_9$ are much more concentrated around 0 . Therefore it makes sense to consider transformations of the original data.
The Scatterplot Matrix
One characteristic of the PCPs is that many lines are drawn on top of each other. This problem is reduced by depicting the variables in pairs of scatterplots. Including all 14 variables in one large scatterplot matrix is possible, but makes it hard to see anything from the plots. Therefore, for illustratory purposes we will analyze only one such matrix from a subset of the variables in Figure 1.25. On the basis of the PCP and the scatterplot matrix we would like to interpret each of the thirteen variables and their eventual relation to the 14th variable. Included in the figure are images for $X_1-X_5$ and $X_{14}$, although each variable is discussed in detail below. All references made to scatterplots in the following refer to Figure 1.25.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Derivatives

For later sections of this book, it will be useful to introduce matrix notation for derivatives of a scalar function of a vector $x$ with respect to $x$. Consider $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$ and a $(p \times 1)$ vector $x$, then $\frac{\partial f(x)}{\partial x}$ is the column vector of partial derivatives $\left{\frac{\partial f(x)}{\partial x_j}\right}, j=1, \ldots, p$ and $\frac{\partial f(x)}{\partial x^{\top}}$ is the row vector of the same derivative $\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right.$ is called the gradient of $\left.f\right)$.
We can also introduce second order derivatives: $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x \partial x}$ is the $(p \times p)$ matrix of elements $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}, i=1, \ldots, p$ and $j=1, \ldots, p$. ( $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x \partial x \dagger}$ is called the Hessian of $\left.f\right)$.
Suppose that $a$ is a $(p \times 1)$ vector and that $\mathcal{A}=\mathcal{A}^{\top}$ is a $(p \times p)$ matrix. Then
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial a^{\top} x}{\partial x}=\frac{\partial x^{\top} a}{\partial x}=a, \
\frac{\partial x^{\top} \mathcal{A} x}{\partial x}=2 \mathcal{A} x .
\end{gathered}
$$
The Hessian of the quadratic form $Q(x)=x^{\top} \mathcal{A} x$ is:
$$
\frac{\partial^2 x^{\top} \mathcal{A} x}{\partial x \partial x^{\top}}=2 \mathcal{A} .
$$

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Quadratic Forms

Harrison和Rubinfeld(1978)分析了Boston Housing的数据集，他们想要找出“清洁空气”是否对房价有影响。我们将在本章和接下来的大部分章节中使用这个数据集来说明所提出的方法。数据见附录B.1。
从pcp可以看到什么
为了突出$X_{14}$与其余13个变量的关系，我们将图1.24中位数为$X_{14}>$$\left(X_{14}\right)$的所有观测值涂成红线。其中一些变量似乎密切相关。最明显的关系是$X_{13}$和$X_{14}$之间的负相关关系。也可以认为$X_{12}$和$X_{14}$之间存在很强的依赖性，因为$X_{12}$的下半部分没有画红线。$X_{11}$的情况正好相反:在这个变量的下半部分只有红线。低的$X_{11}$值会导致高的$X_{14}$值。
对于PCP，变量已经在$[0,1]$区间内重新缩放，以获得更好的图形表示。$\mathrm{PCP}$显示变量不是对称分布的。可以清楚地看到，$X_1$和$X_9$的值更加集中在0附近。因此，考虑原始数据的转换是有意义的。
散点图矩阵
pcp的一个特点是，许多线被画在彼此的顶部。用成对的散点图来描述变量可以减少这个问题。在一个大的散点图矩阵中包含所有14个变量是可能的，但很难从图中看到任何东西。因此，为了便于说明，我们将只分析图1.25中变量子集中的一个这样的矩阵。在PCP和散点图矩阵的基础上，我们想解释13个变量中的每一个以及它们与第14个变量的最终关系。图中包括$X_1-X_5$和$X_{14}$的图像，下面将详细讨论每个变量。下面对散点图的所有引用参见图1.25。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Derivatives

对于本书后面的部分，它将是有用的介绍矩阵符号的导数的标量函数的向量$x$相对于$x$。考虑$f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$和一个$(p \times 1)$向量$x$，那么$\frac{\partial f(x)}{\partial x}$是偏导数的列向量$\left{\frac{\partial f(x)}{\partial x_j}\right}, j=1, \ldots, p$, $\frac{\partial f(x)}{\partial x^{\top}}$是相同导数的行向量$\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right.$称为$\left.f\right)$的梯度。
我们也可以引入二阶导数:$\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x \partial x}$是元素$\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}, i=1, \ldots, p$和$j=1, \ldots, p$的$(p \times p)$矩阵。($\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x \partial x \dagger}$被称为$\left.f\right)$的黑森。
假设$a$是一个$(p \times 1)$向量，$\mathcal{A}=\mathcal{A}^{\top}$是一个$(p \times p)$矩阵。然后
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial a^{\top} x}{\partial x}=\frac{\partial x^{\top} a}{\partial x}=a, \
\frac{\partial x^{\top} \mathcal{A} x}{\partial x}=2 \mathcal{A} x .
\end{gathered}
$$
二次型$Q(x)=x^{\top} \mathcal{A} x$的Hessian为:
$$
\frac{\partial^2 x^{\top} \mathcal{A} x}{\partial x \partial x^{\top}}=2 \mathcal{A} .
$$

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Boston Housing

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Boston Housing

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Aim of the Analysis

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Per-capita crime rate X1

Taking the logarithm makes the variable’s distribution more symmetric. This can be seen in the boxplot of $\widetilde{X}1$ in Figure 1.27 which shows that the median and the mean have moved closer to each other than they were for the original $X_1$. Plotting the kernel density estimate (KDE) of $\widetilde{X}_1=\log \left(X_1\right)$ would reveal that two subgroups might exist with different mean values. However, taking a look at the scatterplots in Figure 1.26 of the logarithms which include $X_1$ does not clearly reveal such groups. Given that the scatterplot of $\log \left(X_1\right)$ vs. $\log \left(X{14}\right)$ shows a relatively strong negative relation, it might be the case that the two subgroups of $X_1$ correspond to houses with two different price levels. This is confirmed by the two boxplots shown to the right of the $X_1$ vs. $X_2$ scatterplot (in Figure 1.25): the right boxplot’s shape differs a lot from the black one’s, having a much higher median and mean.
Proportion of residential area zoned for large lots $X_2$
It strikes the eye in Figure 1.25 that there is a large cluster of observations for which $X_2$ is equal to 0 . It also strikes the eye that-as the scatterplot of $X_1$ vs. $X_2$ shows-there is a strong, though non-linear, negative relation between $X_1$ and $X_2$ : Almost all observations for which $X_2$ is high have an $X_1$-value close to zero, and vice versa, many observations for which $X_2$ is zero have quite a high per-capita crime rate $X_1$. This could be due to the location of the areas, e.g., downtown districts might have a higher crime rate and at the same time it is unlikely that any residential land would be zoned in a generous manner.
As far as the house prices are concerned it can be said that there seems to be no clear (linear) relation between $X_2$ and $X_{14}$, but it is obvious that the more expensive houses are situated in areas where $X_2$ is large (this can be seen from the two boxplots on the second position of the diagonal, where the red one has a clearly higher mean/median than the black one).

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Aim of the Analysis

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Per-capita crime rate X1

取对数使变量的分布更加对称。这可以从图1.27中$\widetilde{X}1$的箱线图中看到，该箱线图显示中位数和平均值比原始$X_1$更接近彼此。绘制$\widetilde{X}1=\log \left(X_1\right)$的核密度估计(KDE)将揭示可能存在两个具有不同平均值的子组。然而，看一看图1.26中包含$X_1$的对数的散点图，并没有清楚地揭示出这样的群体。鉴于$\log \left(X_1\right)$与$\log \left(X{14}\right)$的散点图显示出相对较强的负相关，$X_1$的两个子组可能对应于两个不同价格水平的房屋。这一点在$X_1$与$X_2$散点图右侧的两个箱形图中得到了证实(见图1.25):右侧箱形图的形状与黑色箱形图的形状有很大不同，中间值和平均值都要高得多。划分为大型地块的住宅面积比例$X_2$ 在图1.25中可以看到，有一大簇观测值，其中$X_2$等于0。同样引人注目的是，正如$X_1$与$X_2$的散点图所显示的那样，$X_1$和$X_2$之间存在着一种强烈的，尽管是非线性的负相关关系:几乎所有的观测值中，$X_2$值高的$X_1$值都接近于零，反之亦然，许多观测值中$X_2$值为零的人均犯罪率都相当高$X_1$。这可能是由于这些地区的地理位置，例如，市中心地区可能有较高的犯罪率，同时，任何住宅用地都不太可能以慷慨的方式分区。就房价而言，可以说$X_2$和$X{14}$之间似乎没有明确的(线性)关系，但很明显，更昂贵的房子位于$X_2$较大的地区(这可以从对角线第二个位置的两个箱形图中看出，其中红色的平均值/中位数明显高于黑色的)。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STAT4102

Posted on 2022年12月16日2022年12月16日 by statistics-lab

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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。

我们提供的多元统计分析Multivariate Statistical Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STAT4102

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Lasso in the Linear Regression Model

The linear regression model can be written as follows:
$$
y=\mathcal{X} \beta+\varepsilon,
$$
where $y$ is an $(n \times 1)$ vector of observations for the response variable, $\mathcal{X}=$ $\left(x_1^{\top}, \ldots, x_n^{\top}\right)^{\top}, x_i \in \mathbb{R}^p, i=1, \ldots, n$ is a data matrix of $p$ explanatory variables, and $\varepsilon=\left(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n\right)^{\top}$ is a vector of errors where $\mathrm{E}\left(\varepsilon_i\right)=0$ and $\operatorname{Var}\left(\varepsilon_i\right)=\sigma^2$, $i=1, \ldots, n$.

In this framework, $\mathrm{E}(y \mid \mathcal{X})=\mathcal{X} \beta$ with $\beta=\left(\beta_1, \ldots, \beta_p\right)^{\top}$. Further assume that the columns of $\mathcal{X}$ are standardised such that $n^{-1} \sum_{i=1}^n x_{i j}=0$ and $n^{-1} \sum_{i=1}^n x_{i j}^2=$ 1. The Lasso estimate $\hat{\beta}$ can then be defined as follows
$$
\hat{\beta}=\arg \min \beta\left{\sum{i=1}^n\left(y_i-x_i^{\top} \beta\right)^2\right}, \text { subject to } \sum_{j=1}^p\left|\beta_j\right| \leq s,
$$
where $s \geq 0$ is the tuning parameter which controls the amount of shrinkage. For the OLS estimate $\hat{\beta}^0=\left(\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}\right)^{-1} \mathcal{X}^{\top} y$ a choice of tuning parameter $s<s_0$, where $s_0=\sum_{j=1}^p\left|\hat{\beta}j^0\right|$, will cause shrinkage of the solutions towards 0 , and ultimately some coefficients may be exactly equal to 0 . For values $s \geq s_0$ the Lasso coefficients are equal to the unpenalised OLS coefficients. An alternative representation of $(9.1)$ is: $$ \hat{\beta}=\arg \min \beta\left{\sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i^{\top} \beta\right)^2+\lambda \sum_{j=1}^p\left|\beta_j\right|\right},
$$ with a tuning parameter $\lambda \geq 0$. As $\lambda$ increases, the Lasso estimates are continuously shrunk toward zero. Then if $\lambda$ is quite large, some coefficients are exactly zero. For $\lambda=0$ the Lasso coefficients coincide with the OLS estimate. In fact, if the solution to (9.1) is denoted as $\hat{\beta}s$ and the solution to (9.2) as $\hat{\beta}\lambda$, then $\forall \lambda>0$ and the resulting solution $\hat{\beta}\lambda \exists s\lambda$ such that $\hat{\beta}\lambda=\hat{\beta}{s_\lambda}$ and vice versa which implies a one-toone correspondence between these parameters. However, this does not hold if it is required that $\lambda \geq 0$ only and not $\lambda>0$, because if, for instance, $\lambda=0$, then $\hat{\beta}_\lambda$ is the same for any $s \geq|\hat{\beta}|_1$ and the correspondence is no longer one-to-one.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The LAR Algorithm and Lasso Solution Paths

The LAR algorithm may be introduced in the simple three-dimensional case as follows (assume that the number of covariates $p=3$ ):

first, standardise all the covariates to have mean 0 and unit length as well as make the response variable have mean zero;
start with $\hat{\beta}=0$;
initialise the algorithm with the first two covariates: let $\mathcal{X}=\left(x_1, x_2\right)$ and calculate the prediction vector $\hat{y}_0=\mathcal{X} \hat{\beta}=0$;
calculate $\bar{y}_2$ the projection of $y$ onto $\mathcal{L}\left(x_1, x_2\right)$, the linear space spanned by $x_1$ and $x_2$
compute the vector of current correlations between the covariates $\mathcal{X}$ and the two-dimensional current residual vector: $C^{\hat{y}_0}=\mathcal{X}^{\top}\left(\bar{y}_2-\hat{y}_0\right)=\left(c_1^{\hat{y}_0}, c_2^{\hat{y}_0}\right)^{\top}$. According to Fig.9.2, the current residual $\bar{y}_2-\hat{y}_0$ makes a smaller angle with $x_1$, than with $x_2$, therefore $c_1^{\hat{y}}>c_2^{\hat{y_0}}$;
augment $\hat{y}_0$ in the direction of $x_1$ so that $\hat{y}_1=\hat{y}_0+\hat{\gamma}_1 x_1$ with $\hat{\gamma}_1$ chosen such that $c_1^{\hat{y}_0}=c_2^{\hat{y}_0}$ which means that the new current residual $\bar{y}_2-\hat{y}_1$ makes equal angles (is equiangular) with $x_1$ and $x_2$;
suppose that another regressor $x_3$ enters the model: calculate a new projection $\bar{y}_3$ of $y$ onto $\mathcal{L}\left(x_1, x_2, x_3\right)$;
recompute the current correlations vector $C^{\hat{y}_1}=\left(c_1^{\hat{y}_1}, c_2^{\hat{y}_1}, c_3^{\hat{y}_1}\right)^{\top}$ with $\mathcal{X}=$ $\left(x_1, x_2, x_3\right), \bar{y}_3$ and $\hat{y}_1$;
augment $\hat{y}_1$ in the equiangular direction so that $\hat{y}_2=\hat{y}_1+\hat{\gamma}_2 u_2$ with $\hat{\gamma}_2$ chosen such that $c_1^{\hat{y_1}}=c_2^{\hat{y_1}}=c_3^{\hat{y_1}}$, then the new current residual $\bar{y}_3-\hat{y}_2$ goes
equiangularly between $x_1, x_2$ and $x_3$ (here $u_2$ is the unit vector lying along the equiangular direction $\hat{y}_2$ );
the three-dimensional algorithm is terminated with the calculation of the final prediction vector $\hat{y}_3=\hat{y}_2+\hat{\gamma}_3 u_3$ with $\hat{\gamma}_3$ chosen such that $\hat{y}_3=\bar{y}_3$.
In the case of $p>3$ covariates, $\hat{y}_3$ would be smaller than $\bar{y}_3$ initiating another change of direction, as illustrated in Fig. 9.2.
In this setup, it is important that the covariate vectors $x_1, x_2, x_3$ are linearly independent. The LAR algorithm “moves” the variable coefficients to their least squares values. So the Lasso adjustment necessary for the sparse solution is that if a nonzero coefficient happens to return to zero, it should be dropped from the current (“active”) set of variables and not be considered in further computations. The general LAR algorithm for $p$ predictors can be summarised as follows.

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Lasso in the Linear Regression Model

线性回归模型可以写成如下:
$$
y=\mathcal{X} \beta+\varepsilon,
$$
在哪里 $y$ 是一个 $(n \times 1)$ 响应变量的观察向量， $\mathcal{X}=\left(x_1^{\top}, \ldots, x_n^{\top}\right)^{\top}, x_i \in \mathbb{R}^p, i=1, \ldots, n$ 是一个数据矩阵 $p$ 解释变量，和 $\varepsilon=\left(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n\right)^{\top}$ 是错误向量，其中 $\mathrm{E}\left(\varepsilon_i\right)=0$ 和 $\operatorname{Var}\left(\varepsilon_i\right)=\sigma^2$ ， $i=1, \ldots, n$
在这个框架下， $\mathrm{E}(y \mid \mathcal{X})=\mathcal{X} \beta$ 和 $\beta=\left(\beta_1, \ldots, \beta_p\right)^{\top}$. 进一步假设列 $\mathcal{X}$ 被标准化使得 $n^{-1} \sum_{i=1}^n x_{i j}=0$ 和 $n^{-1} \sum_{i=1}^n x_{i j}^2=1$. Lasso估计 $\hat{\beta}$ 然后可以定义如下
在哪里 $s \geq 0$ 是控制收缩量的调整参数。对于 OLS 估计 $\hat{\beta}^0=\left(\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}\right)^{-1} \mathcal{X}^{\top} y$ 调整参数的选择 $s0$ 以及由此产生的解决方案 $\hat{\beta} \lambda \exists s \lambda$ 这样 $\hat{\beta} \lambda=\hat{\beta} s_\lambda$ 反之亦然，这意味着这些参数之间存在一对一的对应关系。但是，如果要求 $\lambda \geq 0$ 只有而不是 $\lambda>0$ ，因为如果，例如， $\lambda=0$ ，然后 $\hat{\beta}_\lambda$ 对任何一个都是一样的 $s \geq|\hat{\beta}|_1$ 并且对应关系不再是一对一的。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The LAR Algorithm and Lasso Solution Paths

LAR算法可以在简单的三维情况下引入如下 (假设协变量的数量 $p=3$ ):

首先，将所有协变量标准化为均值为 0 和单位长度，并使响应变量的均值为零；
从…开始 $\hat{\beta}=0$;
用前两个协变量初始化算法: 让 $\mathcal{X}=\left(x_1, x_2\right)$ 并计算预测向量 $\hat{y}_0=\mathcal{X} \hat{\beta}=0$;
计算 $\bar{y}_2$ 的投射 $y$ 到 $\mathcal{L}\left(x_1, x_2\right)$ ，线性空间跨越 $x_1$ 和 $x_2$
计算协变量之间当前相关性的向量 $\mathcal{X}$ 和二维当前残差向量:
$C^{\hat{y}_0}=\mathcal{X}^{\top}\left(\bar{y}_2-\hat{y}_0\right)=\left(c_1^{\hat{y}_0}, c_2^{\hat{y}_0}\right)^{\top}$. 根据图 9.2，当前残差 $\bar{y}_2-\hat{y}_0$ 与 $x_1$ ，比与 $x_2$ ，所以 $c_1^{\hat{y}}>c_2^{\hat{y_0}}$;
增加 $\hat{y}_0$ 在…方向 $x_1$ 以便 $\hat{y}_1=\hat{y}_0+\hat{\gamma}_1 x_1$ 和 $\hat{\gamma}_1$ 选择这样的 $c_1^{\hat{y}_0}=c_2^{\hat{y}_0}$ 这意味着新的当前残差 $\bar{y}_2-\hat{y}_1$ 使角相等 (等角) 与 $x_1$ 和 $x_2$ ；
假设另一个回归量 $x_3$ 进入模型: 计算一个新的投影 $\bar{y}_3$ 的 $y$ 到 $\mathcal{L}\left(x_1, x_2, x_3\right)$;
重新计算当前相关向量 $C^{\hat{y}_1}=\left(c_1^{\hat{y}_1}, c_2^{\hat{y}_1}, c_3^{\hat{y}_1}\right)^{\top}$ 和 $\mathcal{X}=\left(x_1, x_2, x_3\right), \bar{y}_3$ 和 $\hat{y}_1$ ；
增加 $\hat{y}_1$ 在等角方向，使得 $\hat{y}_2=\hat{y}_1+\hat{\gamma}_2 u_2$ 和 $\hat{\gamma}_2$ 选择这样的 $c_1^{\hat{y}_1}=c_2^{\hat{y_1}}=c_3^{\hat{y_1}}$ ，那么新的当前残差 $\bar{y}_3-\hat{y}_2$ 去
之间等角 $x_1, x_2$ 和 $x_3$ (这里 $u_2$ 是沿等角方向的单位向量 $\hat{y}_2$ )；
三维算法以最终预测向量的计算结束 $\hat{y}_3=\hat{y}_2+\hat{\gamma}_3 u_3$ 和 $\hat{\gamma}_3$ 选择这样的 $\hat{y}_3=\bar{y}_3$.
如果是 $p>3$ 协变量， $\hat{y}_3$ 会小于 $\bar{y}_3$ 开始另一个方向改变，如图 $9.2$ 所示。
在此设置中，重要的是协变量向量 $x_1, x_2, x_3$ 是线性独立的。LAR 算法将可变系数“移动”到它们的最小二乘值。因此，稀疏解决方案所需的套索调整是，如果非零系数恰好返回零，则应将其从当前
(“活动”) 变量集中删除，并且在进一步的计算中不予考虑。一般的 LAR 算法为 $p$ 预测因素可以总结如下。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|MAST9008

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|MAST9008

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Testing Issues with Count Data

One of the main practical interests in regression models for contingency tables is to test restrictions on the parameters of a more complete model. These testing ideas are created in the same spirit as in Sect. $3.5$ where we tested restrictions in ANOVA models.

In linear models, the test statistics is based on the comparison of the goodness of fit for the full model and for the reduced model. Goodness of fit is measured by the residual sum of squares (RSS). The idea here will be the same here but with a more appropriate measure for goodness of fit. Once a model has been estimated, we can compute the predicted value under that model for each cell of the table. We will denote, as above, the observed value in a cell by $y_k$ and $\hat{m}_k$ will denote the expected value predicted by the model. The goodness of fit may be appreciated by measuring, in some way, the distance between the series of observed and of predicted values.

Two statistics are proposed: the Pearson chi-square $X^2$ and the Deviance noted $G^2$. They are defined as follows:
$$
\begin{aligned}
X^2 & =\sum_{k=1}^K \frac{\left(y_k-\hat{m}k\right)^2}{\hat{m}_k} \ G^2 & =2 \sum{k=1}^K y_k \log \left(\frac{y_k}{\hat{m}_k}\right)
\end{aligned}
$$
where $K$ is the total number of cells of the table. The deviance is directly related to the log-likelihood ratio statistic and is usually preferred because it can be used to compare nested models as we usually do in this context.

Under the hypothesis that the model used to compute the predicted value is true, both statistics (for large samples) are approximately distributed as a $\chi^2$ variable with degrees of freedom $d . f$. depending on the model. The $d . f$. can be computed as follows:
d.f. $=$ # free cells $-$ # free parameters estimated.
For saturated models, the fit is perfect: $X^2=G^2=0$ with $d . f .=0$.
Suppose now that we want to test a reduced model which is a restricted version of a full model. The deviance can then be used as the $F$ statistics in linear regression. The test procedure is straightforward:
$H_0$ : reduced model with $r$ degrees of freedom
$H_1$ : full model with $f$ degrees of freedom.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Logit Models for Binary Response

Consider the vector $y(n \times 1)$ of observations on a binary response variable (a value of ” 1 ” indicating the presence of a particular qualitative trait and a value of ” 0 “, its absence). The logit model makes the assumption that the probability for observing $y_i=1$ given a particular value of $x_i=\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i p}\right)^{\top}$ is given by the logistic function of a “score”, a linear combination of $x$ :
$$
p\left(x_i\right)=\mathrm{P}\left(y_i=1 \mid x_i\right)=\frac{\exp \left(\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j}\right)}{1+\exp \left(\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j}\right)} .
$$
This entails the probability of the absence of the trait:
$$
1-p\left(x_i\right)=\mathrm{P}\left(y_i=0 \mid x_i\right)=\frac{1}{1+\exp \left(\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j}\right)},
$$
which implies
$$
\log \left{\frac{p\left(x_i\right)}{1-p\left(x_i\right)}\right}=\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j} .
$$
This indicates that the logit model is equivalent to a log-linear model for the odds ratio $p\left(x_i\right) /\left{1-p\left(x_i\right)\right}$. A positive value of $\beta_j$ indicates an explanatory variable $x_j$ that will favour the presence of the trait since it improves the odds. A zero value of $\beta_j$ corresponds to the absence of an effect of this variable on the appearance of the qualitative trait.
For i.i.d observations the likelihood function is:
$$
L\left(\beta_0, \beta\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i\right)^{y_i}\left{1-p\left(x_i\right)\right}^{1-y_i} .
$$
The maximum likelihood estimators of the $\beta$ ‘s are obtained as the solution of the non-linear maximisation problem $\left(\hat{\beta}0, \hat{\beta}\right)=\arg \max {\beta_0, \beta} \log L\left(\beta_0, \beta\right)$ where
$$
\log L\left(\beta_0, \beta\right)=\sum_{i=1}^n\left[y_i \log p\left(x_i\right)+\left(1-y_i\right) \log \left{1-p\left(x_i\right)\right}\right]
$$

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Testing Issues with Count Data

列联表回归模型的主要实际兴趣之一是测试对更完整模型参数的限制。这些测试想法是本着与第 1 节相同的精神创建的。3.5我们在 ANOVA 模型中测试了限制。
在线性模型中，检验统计量基于对完整模型和简化模型的拟合优度的比较。拟合优度由残差平方和 (RSS) 衡量。这里的想法在这里是一样的，但有一个更合适的拟合优度度量。一旦估计了模型，我们就可以计算表格中每个单元格在该模型下的预测值。如上所述，我们将用以下方式表示单元格中的观察值 $y_k$ 和 $\hat{m}k$ 将表示模型预测的期望值。可以通过以某种方式测量一系列观察值和预测值之间的距离来了解拟合优度。提出了两个统计数据: Pearson 卡方 $X^2$ 并且注意到偏差 $G^2$. 它们的定义如下: $$ X^2=\sum{k=1}^K \frac{\left(y_k-\hat{m} k\right)^2}{\hat{m}_k} G^2=2 \sum k=1^K y_k \log \left(\frac{y_k}{\hat{m}_k}\right)
$$
在哪里 $K$ 是表格的单元格总数。偏差与对数似然比统计量直接相关，通常是首选，因为它可用于比较嵌套模型，就像我们通常在这种情况下所做的那样。
在用于计算预测值的模型为真的假设下，两个统计量 (对于大样本) 近似分布为 $\chi^2$ 具有自由度的变量 $d . f$. 取决于型号。这 $d . f$. 可以计算如下:
$\mathrm{df}=#$ 自由细胞一# 估计的自由参数。
对于饱和模型，拟合是完美的: $X^2=G^2=0$ 和 $d . f .=0$.
现在假设我们要测试一个简化模型，它是完整模型的限制版本。然后可以将偏差用作 $F$ 线性回归统计。测试过程很简单:
$H_0$ ：缩小模型 $r$ 自由程度
$H_1$ : 完整模型 $f$ 自由程度。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Logit Models for Binary Response

考虑向量 $y(n \times 1)$ 对二元响应变量的观察（值 “1”表示存在特定的质量特征，值 ${ }^{\prime \prime}$ ”表示不存在）。Logit 模型假设观察到的概率 $y_i=1$ 给定一个特定值 $x_i=\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i p}\right)^{\top}$ 由“分数”的逻辑函数给出，是以下的线性组合 $x$ :
$$
p\left(x_i\right)=\mathrm{P}\left(y_i=1 \mid x_i\right)=\frac{\exp \left(\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j}\right)}{1+\exp \left(\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j}\right)}
$$
这需要特征缺失的概率:
$$
1-p\left(x_i\right)=\mathrm{P}\left(y_i=0 \mid x_i\right)=\frac{1}{1+\exp \left(\beta_0+\sum_{j=1}^p \beta_j x_{i j}\right)},
$$
这意味着个解释变量 $x_j$ 这将有利于该特征的存在，因为它提高了几率。的零值 $\beta_j$ 对应于该变量对质量特征外观没有影响。
对于 iid 观察，似然函数是:
的最大似然估计 $\beta$ 的是作为非线性最大化问题的解决方案获得的
$(\hat{\beta} 0, \hat{\beta})=\arg \max \beta_0, \beta \log L\left(\beta_0, \beta\right)$ 在哪里

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

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MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
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SQL代写	各种数据建模与可视化代写

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|OLET5610

Posted on 2022年12月16日2022年12月16日 by statistics-lab

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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。

我们提供的多元统计分析Multivariate Statistical Analysis及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|OLET5610

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Log-Linear Models for Contingency Tables

Consider a $(J \times K)$ two-way table, where $y_{j k}$ is the number of observations having the nominal value $j$ for the first qualitative character and nominal value $k$ for the second character. Since the total number of observations is fixed $n=$ $\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K y_{j k}$, there are $J K-1$ free cells in the table. The multinomial likelihood can be written as in (8.6)
$$
L=\frac{n !}{\prod_{j=1}^J \prod_{k=1}^K y_{j k} !} \prod_{j=1}^J \prod_{k=1}^K\left(\frac{m_{j k}}{n}\right)^{y_{j k}},
$$
where we now introduce a log-linear structure to analyse the role of the rows and the columns to determine the parameters $m_{j k}=\mathrm{E}\left(y_{j k}\right)$ (or $p_{j k}$ ).

Model without interaction
Suppose that there is no interaction between the rows and the columns: this corresponds to the hypothesis of independence between the two qualitative characters. In other words, $p_{j k}=p_j p_k$ for all $j, k$. This implies the log-linear model:
$$
\log m_{j k}=\mu+\alpha_j+\gamma_k \text { for } j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K,
$$
where, as in ANOVA models for identification purposes $\sum_{j=1}^J \alpha_j=\sum_{k=1}^K \gamma_k=$ 0 . Using the same coding devices as above, the model can be written as
$$
\log m=\mathcal{X} \beta .
$$

For a $(2 \times 3)$ table we have:
$$
\log m=\left(\begin{array}{l}
\log m_{11} \
\log m_{12} \
\log m_{13} \
\log m_{21} \
\log m_{22} \
\log m_{23}
\end{array}\right), \mathcal{X}=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 0 \
1 & 1 & 0 & 1 \
1 & 1 & -1 & -1 \
1 & -1 & 1 & 0 \
1 & -1 & 0 & 1 \
1 & -1 & -1 & -1
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}
\beta_0 \
\beta_1 \
\beta_2 \
\beta_3
\end{array}\right)
$$
where the first column of $\mathcal{X}$ is for the constant term, the second column is the coded column for the 2-levels row effect and the two last columns are the coded columns for the 3-levels column effect. The estimation is obtained by maximising the log-likelihood which is equivalent to maximising the function $L(\beta)$ in $\beta$ :
$$
L(\beta)=\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K y_{j k} \log m_{j k} .
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Three-Way Tables

The models presented above for two-way tables can be extended to higher order tables but at a cost of notational complexity. We show how to adapt to threeway tables. This deserves special attention due to the presence of higher-order interactions in the saturated model.

A $(J \times K \times L)$ three-way table may be constructed under multinomial sampling as follows: each of the $n$ observations falls in one, and only one, category of each of three categorical variables having $J, K$ and $L$ modalities respectively. We end up with a three-dimensional table with $J K L$ cells containing the counts $y_{j k \ell}$ where $n=\sum_{j, k, \ell} y_{j k \ell}$. The expected counts depend on the unknown probabilities $p_{j k \ell}$ in the usual way:
$$
m_{j k \ell}=n p_{j k \ell}, j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K, \ell=1, \ldots, L
$$

The saturated model
A full saturated log-linear model reads as follows:
$$
\begin{aligned}
\log m_{j k \ell}= & \mu+\alpha_j+\beta_k+\gamma \ell+(\alpha \beta){j k}+(\alpha \gamma){j \ell}+(\beta \gamma){k \ell}+(\alpha \beta \gamma){j k \ell}, \
j & =1, \ldots, J, k=1, \ldots, K, \ell=1, \ldots, L .
\end{aligned}
$$
The restrictions are the following (using the “dot” notation for summation on the corresponding indices):
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{(\bullet)}=\beta_{(\bullet)}=\gamma_{(\bullet)}=0 \
& (\alpha \beta){j \bullet}=(\alpha \gamma){j \bullet}=(\beta \gamma){k \bullet}=0 \ & (\alpha \beta){\bullet k}=(\alpha \gamma){\bullet \ell}=(\beta \gamma){\bullet \ell}=0 \
& (\alpha \beta \gamma){j k \bullet}=(\alpha \beta \gamma){j \bullet \ell}=(\alpha \beta \gamma){\bullet k \ell}=0 \end{aligned} $$ The parameters $(\alpha \beta){j k},(\alpha \gamma){j \ell},(\beta \gamma){k \ell}$ are called first-order interactions. The second-order interactions are the parameters $(\alpha \beta \gamma){j k \ell}$, they allow to take into account heterogeneities in the interactions between two of the three variables. For instance, let $\ell$ stand for the two gender categories $(L=2)$, if we suppose that $(\alpha \beta \gamma){j k 1}=-(\alpha \beta \gamma)_{j k 2} \neq 0$. we mean that the interactions between the variable $J$ and $K$ are not the same for both gender categories.

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Log-Linear Models for Contingency Tables

考虑一个 $(J \times K)$ 双向表，其中 $y_{j k}$ 是具有标称值的观测数 $j$ 对于第一个定性特征和标称值 $k$ 对于第二个字符。由于观察总数是固定的 $n=\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K y_{j k}$ ，有 $J K-1$ 表中的空闲单元格。多项似然可以写成 (8.6)
$$
L=\frac{n !}{\prod_{j=1}^J \prod_{k=1}^K y_{j k} !} \prod_{j=1}^J \prod_{k=1}^K\left(\frac{m_{j k}}{n}\right)^{y_{j k}}
$$
我们现在引入对数线性结构来分析行和列的作用以确定参数 $m_{j k}=\mathrm{E}\left(y_{j k}\right)$ (或者 $p_{j k}$ ).

没有交互作用
的模型假设行和列之间没有交互作用：这对应于两个定性特征之间的独立性假设。换句话说， $p_{j k}=p_j p_k$ 对所有人 $j, k$. 这意味着对数线性模型:
$$
\log m_{j k}=\mu+\alpha_j+\gamma_k \text { for } j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K,
$$
其中，与用于识别目的的 ANOVA 模型一样 $\sum_{j=1}^J \alpha_j=\sum_{k=1}^K \gamma_k=0$ 。使用与上述相同的编码设备，模型可以写成
$$
\log m=\mathcal{X} \beta
$$
为一个 $(2 \times 3)$ 我们有表:
其中第一列 $\mathcal{X}$ 是常数项，第二列是 2 级行效应的编码列，最后两列是 3 级列效应的编码列。估计是通过最大化对数似然得到的，这相当于最大化函数 $L(\beta)$ 在 $\beta$ :
$$
L(\beta)=\sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K y_{j k} \log m_{j k} .
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Three-Way Tables

上面介绍的双向表模型可以扩展到更高阶的表，但代价是符号复杂性。我们展示了如何适应三向表。由于饱和模型中存在高阶相互作用，这值得特别注意。
一个 $(J \times K \times L)$ 三向表可以在多项式抽样下构建如下: 每个 $n$ 观察结果落在三个分类变量中的每一个的一个类别中，并且只有一个类别具有 $J, K$ 和 $L$ 方式分别。我们最终得到一个三维表 $J K L$ 包含计数的单元格 $y_{j k \ell}$ 在哪里 $n=\sum_{j, k, \ell} y_{j k \ell}$. 预期计数取决于末知概率 $p_{j k \ell}$ 以通常的方式:
$$
m_{j k \ell}=n p_{j k \ell}, j=1, \ldots, J, k=1, \ldots, K, \ell=1, \ldots, L
$$

饱和模型
一个完整的饱和对数线性模型如下:
$$
\log m_{j k \ell}=\mu+\alpha_j+\beta_k+\gamma \ell+(\alpha \beta) j k+(\alpha \gamma) j \ell+(\beta \gamma) k \ell+(\alpha \beta \gamma) j k \ell, j=1, \ldots, J
$$
限制如下（使用“点”符号对相应索引求和）：
$$
\alpha_{(\bullet)}=\beta_{(\bullet)}=\gamma_{(\bullet)}=0 \quad(\alpha \beta) j \bullet=(\alpha \gamma) j \bullet=(\beta \gamma) k \bullet=0(\alpha \beta) \bullet k=(\alpha \gamma) \bullet \ell=(\beta \gamma) \bullet \ell
$$
参数 $(\alpha \beta) j k,(\alpha \gamma) j \ell,(\beta \gamma) k \ell$ 称为一阶相互作用。二阶相互作用是参数 $(\alpha \beta \gamma) j k \ell$ ，它们允许考虑三个变量中两个变量之间相互作用的异质性。例如，让 $\ell$ 代表两个性别类别 $(L=2)$ ，如果我们假设 $(\alpha \beta \gamma) j k 1=-(\alpha \beta \gamma)_{j k 2} \neq 0$. 我们的意思是变量之间的相互作用 $J$ 和 $K$ 两种性别类别的情况并不相同。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STAT4102

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Parallel Coordinate Plots

Parallel Coordinates Plots (PCP) is a method for representing high-dimensional data, see Inselberg (1985). Instead of plotting observations in an orthogonal coordinate system, PCP draws coordinates in parallel axes and connects them with straight lines. This method helps in representing data with more than four dimensions.

One first scales all variables to $\max =1$ and $\min =0$. The coordinate index $j$ is drawn onto the horizontal axis, and the scaled value of variable $x_{i j}$ is mapped onto the vertical axis. This way of representation is very useful for high-dimensional data. It is, however, also sensitive to the order of the variables, since certain trends in the data can be shown more clearly in one ordering than in another.

PCP can also be used for detecting linear dependencies between variables: if all lines are of almost parallel dimensions $(p=2)$, there is a positive linear dependence between them. In Fig. 1.21, we display the two variables, weight and displacement, for the car data set in Appendix B.3. The correlation coefficient $\rho$ introduced in Sect. $3.2$ is $0.9$. If all lines intersect visibly in the middle, there is evidence of a negative linear dependence between these two variables, see Fig. 1.22. In fact the correlation is $\rho=-0.82$ between two variables mileage and weight: The more the weight the less the mileage.

Another use of PCP is subgroups detection. Lines converging to different discrete points indicate subgroups. Figure $1.23$ shows the last three variables-displacement, gear ratio for high gear, and company’s headquarters of the car data; we see convergence to the last variable. This last variable is the company’s headquarters with three discrete values: U.S., Japan and Europe. PCP can also be used for outlier detection. Figure $1.24$ shows the variables headroom, rear seat clearance, and trunk (boot) space in the car data set. There are two outliers visible. The boxplot Fig. $1.25$ confirms this. PCPs have also possible shortcomings: We cannot distinguish observations when two lines cross at one point unless we distinguish them clearly (e.g., by different line style). In Fig. 1.26, observations A and B both have the same value at $j=2$. Two lines cross at one point here. At the third and fourth dimension, we cannot tell which line belongs to which observation. A dotted line for $\mathrm{A}$ and solid line for $\mathrm{B}$ could have helped there.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Hexagon Plots

This section closely follows the presentation of Lewin-Koh (2006). In geometry, a hexagon is a polygon with six edges and six vertices. Hexagon binning is a type of bivariate histogram with hexagon borders. It is useful for visualizing the structure of data sets entailing a large number of observations $n$. The concept of hexagon binning is as follows:

The $x y$ plane over the set (range $(x)$, range $(y))$ is tessellated by a regular grid of hexagons.
The number of points falling in each hexagon is counted.
The hexagons with count $>0$ are plotted by using a color ramp or varying the radius of the hexagon in proportion to the counts.

This algorithm is extremely fast and effective for displaying the structure of data sets even for $n \geq 10^6$. If the size of the grid and the cuts in the color ramp are chosen in a clever fashion, then the structure inherent in the data should emerge in the binned plot. The same caveats apply to hexagon binning as histograms. Variance and bias vary in opposite directions with bin-width, so we have to settle for finding the value of the bin-width that yields the optimal compromise between variance and bias reduction. Clearly, if we increase the size of the grid, the hexagon plot appears to be smoother, but without some reasonable criterion on hand it remains difficult to say which bin-width provides the “optimal” degree of smoothness. The default number of bins suggested by standard software is 30 .

Applications to some data sets are shown as follows. The data is taken from ALLBUS (2006)[ZA No.3762]. The number of respondents is 2946 . The following nine variables have been selected to analyze the relation between each pair of variables:

First, we consider two variables $X_1=$ Age and $X_2=$ Net income in Fig. 1.29. The top left picture is a scatter plot. The second one is a hexagon plot with borders making it easier to see the separation between hexagons. Looking at these plots one can see that almost all individuals have a net monthly income of less than 2000 EUR. Only two individuals earn more than 10000 EUR per month.

Figure $1.30$ shows the relation between $X_1$ and $X_5$. About forty percent of respondents from 20 to 80 years old do not use a computer at least once per week. The respondent who deals with a computer $105 \mathrm{~h}$ each week was actually not in full-time employment.

Clearly, people who earn modest incomes live in smaller flats. The trend here is relatively clear in Fig. 1.31. The larger the net income, the larger the flat. A few people do however earn high incomes but live in small flats.

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Parallel Coordinate Plots

平行坐标图 (PCP) 是一种表示高维数据的方法，请参见 Inselberg (1985)。PCP 不是在正交坐标系中绘制观测值，而是在平行轴上绘制坐标并用直线连接它们。此方法有助于表示具有四个以上维度的数据。

首先将所有变量缩放到最大限度=1和分钟=0. 坐标索引j绘制在水平轴上，变量的缩放值X一世j被映射到垂直轴上。这种表示方式对于高维数据非常有用。然而，它对变量的顺序也很敏感，因为数据中的某些趋势可以在一种顺序中比在另一种顺序中更清楚地显示。

PCP 还可用于检测变量之间的线性相关性：如果所有线的尺寸几乎平行(p=2)，它们之间存在正线性相关性。在图 1.21 中，我们显示了附录 B.3 中汽车数据集的两个变量，重量和排量。相关系数r节中介绍。3.2是0.9. 如果所有线在中间明显相交，则表明这两个变量之间存在负线性相关性，见图 1.22。事实上相关性是r=−0.82里程和重量两个变量之间：重量越大，里程越少。

PCP 的另一个用途是子组检测。会聚到不同离散点的线表示子组。数字1.23显示汽车数据的最后三个变量——排量、高档传动比和公司总部；我们看到收敛到最后一个变量。最后一个变量是公司总部，具有三个离散值：美国、日本和欧洲。PCP 也可用于离群值检测。数字1.24显示了汽车数据集中的变量净空高度、后座间隙和后备箱（后备箱）空间。有两个异常值可见。箱线图。1.25证实了这一点。PCP 也可能有缺点：当两条线在一点交叉时，我们无法区分观察结果，除非我们清楚地区分它们（例如，通过不同的线型）。在图 1.26 中，观测值 A 和 B 在j=2. 两条线在这里交叉一点。在第三维和第四维，我们无法分辨哪条线属于哪个观测值。虚线为一个和实线乙可以帮助那里。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Hexagon Plots

本节紧跟 Lewin-Koh (2006) 的介绍。在几何学中，六边形是具有六个边和六个顶点的多边形。六边形分箱是一种具有六边形边界的双变量直方图。它对于可视化需要大量观察的数据集的结构很有用n. hexagon binning的概念如下：

这X是集合上的平面（范围(X)，范围(是))由规则的六边形网格镶嵌而成。
计算落在每个六边形中的点数。
有计数的六边形>0通过使用色带或根据计数按比例改变六边形的半径来绘制。

该算法对于显示数据集的结构非常快速和有效，即使对于n≥106. 如果以巧妙的方式选择网格的大小和色带中的切割，则数据中固有的结构应该出现在分箱图中。与直方图一样，同样的警告适用于六边形合并。方差和偏差随 bin 宽度沿相反方向变化，因此我们必须满足于找到在方差和偏差减少之间产生最佳折衷的 bin 宽度值。显然，如果我们增加网格的大小，六边形图看起来会更平滑，但手头没有一些合理的标准，仍然很难说哪个 bin 宽度提供了“最佳”平滑度。标准软件建议的默认 bin 数为 30 。

对部分数据集的应用如下所示。数据取自 ALLBUS (2006)[ZA No.3762]。受访者人数为 2946 人。选择了以下九个变量来分析每对变量之间的关系：

首先，我们考虑两个变量X1=年龄和X2=图 1.29 中的净收入。左上图是散点图。第二个是带边框的六边形图，可以更容易地看到六边形之间的分隔。从这些图中可以看出，几乎所有人的月净收入都低于 2000 欧元。只有两个人的月收入超过 10000 欧元。

数字1.30显示之间的关系X1和X5. 大约 40% 的 20 到 80 岁的受访者每周至少使用一次计算机。与电脑打交道的受访者105 H每个星期实际上都不是全职工作。

显然，收入微薄的人住在较小的公寓里。这里的趋势在图 1.31 中比较明显。净收入越大，单位越大。然而，少数人确实赚取了高收入，但住在小公寓里。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Scatterplots

Scatterplots are bivariate or trivariate plots of variables against each other. They help us understand relationships among the variables of a data set. A downward-sloping scatter indicates that as we increase the variable on the horizontal axis, the variable on the vertical axis decreases. An analogous statement can be made for upward-sloping scatters.

Figure $1.12$ plots the fifth column (upper inner frame) of the bank data against the sixth column (diagonal). The scatter is downward-sloping. As we already know from the previous section on marginal comparison (e.g., Fig. 1.9) a good separation between genuine and counterfeit banknotes is visible for the diagonal variable. The sub-cloud in the upper half (circles) of Fig. $1.12$ corresponds to the true banknotes. As noted before, this separation is not distinct, since the two groups overlap somewhat.
This can be verified in an interactive computing environment by showing the index and coordinates of certain points in this scatterplot. In Fig. 1.12, the 70th observation in the merged data set is given as a thick circle, and it is from a genuine bank note. This observation lies well embedded in the cloud of counterfeit banknotes. One straightforward approach that could be used to tell the counterfeit from the genuine banknotes is to draw a straight line and define notes above this value as genuine. We would, of course, misclassify the 70th observation, but can we do better?

If we extend the two-dimensional scatterplot by adding a third variable, e.g., $X_4$ (lower distance to inner frame), we obtain the scatterplot in three dimensions as shown in Fig. 1.13. It becomes apparent from the location of the point clouds that a better separation is obtained. We have rotated the three-dimensional data until this satisfactory 3D view was obtained. Later, we will see that the rotation is the same as bunding a high-dimensional observation into one or more linear combinations of the elements of the observation vector. In other words, the “separation line” parallel to the horizontal coordinate axis in Fig. $1.12$ is, in Fig. 1.13, a plane and no longer parallel to one of the axes. The formula for such a separation plane is a linear combination of the elements of the observation vector:
$$
a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_6 x_6=\text { const. }
$$
The algorithm that automatically finds the weights $\left(a_1, \ldots, a_6\right)$ will be investigated later on in Chap. 14.

Let us study yet another technique: the scatterplot matrix. If we want to draw all possible two-dimensional scatterplots for the variables, we can create a so-called draftsman’s plot (named after a draftsman who prepares drafts for parliamentary discussions). Similar to a draftsman’s plot the scatterplot matrix helps in creating new ideas and in building knowledge about dependencies and structure.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Chernoff-Flury Faces

If we are given a data in a numerical form, we tend to also display it numerically. This was done in the preceding sections: an observation $x_1=(1,2)$ was plotted as the point $(1,2)$ in a two-dimensional coordinate system. In multivariate analysis, we want to understand data in low dimensions (e.g., on a $2 \mathrm{D}$ computer screen) although the structures are hidden in high dimensions. The numerical display of data structures using coordinates, therefore, ends at dimensions greater than three.

If we are interested in condensing a structure into 2 D elements, we have to consider alternative graphical techniques. The Chernoff-Flury faces, for example, provide such a condensation of high-dimensional information into a simple “face”. In fact, faces are a simple way of graphically displaying high-dimensional data. The size of the face elements like pupils, eyes, upper and lower hair line, etc., are assigned to certain variables. The idea of using faces goes back to Chernoff (1973) and has been further developed by Bernhard Flury. We follow the design described in Flury and Riedwyl (1988) which uses the following characteristics:

First, every variable that is to be coded into a characteristic face element is transformed into a $(0,1)$ scale, i.e., the minimum of the variable corresponds to 0 and the maximum to 1 . The extreme positions of the face elements, therefore, correspond to a certain “grin” or “happy” face element. Dark hair might be coded as 1, and blond hair as 0 and so on.

As an example, consider the observations 91 to 110 of the bank data. Recall that the bank data set consists of 200 observations of dimension 6 where, for example, $X_6$ is the diagonal of the note. If we assign the six variables to the following face elements:
$$
\begin{aligned}
& X_1=1,19 \text { (eye sizes) } \
& X_2=2,20 \text { (pupil sizes) } \
& X_3=4,22 \text { (eye slants) } \
& X_4=11,29 \text { (upper hair lines) } \
& X_5=12,30 \text { (lower hair lines) } \
& X_6=13,14,31,32 \text { (face lines and darkness of hair), }
\end{aligned}
$$
we obtain Fig. 1.15.
Also recall that observations 1-100 correspond to the genuine notes, and that observations 101-200 correspond to the counterfeit notes. The counterfeit banknotes then correspond to the upper half of Fig. 1.15. In fact, the faces for these observations look more grim and less happy. The variable $X_6$ (diagonal) already worked well in the boxplot on Fig. 1.4 in distinguishing between the counterfeit and genuine notes. Here, this variable is assigned to the face line and the darkness of the hair. That is why we clearly see a good separation within these 20 observations.

What happens if we include all 100 genuine and all 100 counterfeit banknotes in the Chernoff-Flury face technique? Figure $1.16$ shows the faces of the genuine banknotes with the same assignments as used before and Fig. 1.17 shows the faces of the counterfeit banknotes. Comparing Figs. $1.16$ and $1.17$ one clearly sees that the diagonal (face line) is longer for genuine banknotes. Equivalently coded is the hair darkness (diagonal) which is lighter (shorter) for the counterfeit banknotes. One sees that the faces of the genuine banknotes have a much darker appearance and have broader face lines. The faces in Fig. $1.16$ are obviously different from the ones in Fig. 1.17.

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Scatterplots

散点图是变量相互之间的双变量或三变量图。它们帮助我们理解数据集变量之间的关系。向下倾斜的散点表示随着我们增加水平轴上的变量，垂直轴上的变量减少。对于向上倾斜的散点可以做出类似的陈述。

数字1.12根据第六列（对角线）绘制银行数据的第五列（上部内框）。散点是向下倾斜的。正如我们从前面关于边际比较的部分（例如图 1.9）中已经知道的那样，对角线变量可以很好地区分真钞和假钞。图上半部分（圆圈）的子云。1.12对应真钞。如前所述，这种分离并不明显，因为这两个组有些重叠。
这可以在交互式计算环境中通过显示此散点图中某些点的索引和坐标来验证。在图 1.12 中，合并数据集中的第 70 个观察值以粗圆圈给出，它来自真钞。这一观察结果很好地嵌入了假钞云中。一种可用于区分伪钞和真钞的直接方法是画一条直线并将高于此值的钞票定义为真钞。当然，我们会对第 70 个观察结果进行错误分类，但我们能做得更好吗？

如果我们通过添加第三个变量来扩展二维散点图，例如，X4（到内框的距离更近），我们得到了三个维度的散点图，如图 1.13 所示。从点云的位置可以明显看出获得了更好的分离。我们旋转了三维数据，直到获得令人满意的 3D 视图。稍后，我们将看到旋转与将高维观测值捆绑为观测向量元素的一个或多个线性组合相同。换句话说，平行于图1中横坐标轴的“分离线”。1.12在图 1.13 中是一个平面，不再平行于其中一个轴。这种分离平面的公式是观察向量元素的线性组合：

一个1X1+一个2X2+⋯+一个6X6= 常量。
自动找到权重的算法(一个1,…,一个6)将在稍后的章节中进行调查。14.

让我们研究另一种技术：散点图矩阵。如果我们想为变量绘制所有可能的二维散点图，我们可以创建一个所谓的绘图员图（以为议会讨论准备草案的绘图员命名）。类似于制图员的绘图，散点图矩阵有助于创造新想法以及建立有关依赖性和结构的知识。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Chernoff-Flury Faces

如果给我们一个数字形式的数据，我们也倾向于以数字形式显示它。这是在前面的部分中完成的：观察X1=(1,2)被绘制为点(1,2)在二维坐标系中。在多变量分析中，我们希望了解低维数据（例如，在2丁电脑屏幕）虽然结构隐藏在高维度中。因此，使用坐标的数据结构的数字显示以大于三的维度结束。

如果我们有兴趣将结构压缩成二维元素，我们必须考虑替代图形技术。例如，Chernoff-Flury 面孔将高维信息浓缩到一张简单的“面孔”中。事实上，人脸是一种以图形方式显示高维数据的简单方式。瞳孔、眼睛、上下发际线等面部元素的大小被分配给某些变量。使用面孔的想法可以追溯到 Chernoff (1973)，并由 Bernhard Flury 进一步发展。我们遵循 Flury 和 Riedwyl (1988) 中描述的设计，该设计使用以下特征：

首先，将要编码为特征人脸元素的每个变量转换为(0,1)scale，即变量的最小值对应于 0 ，最大值对应于 1 。因此，面部元素的极端位置对应于某个“咧嘴笑”或“快乐”的面部元素。深色头发可能编码为 1，金色头发编码为 0，依此类推。

例如，考虑银行数据的观察值 91 到 110。回想一下，银行数据集由 200 个维度 6 的观察值组成，例如，X6是音符的对角线。如果我们将六个变量分配给以下面元素：

X1=1,19 （眼睛大小） X2=2,20 （瞳孔大小） X3=4,22 （眼睛倾斜） X4=11,29 （上发际线） X5=12,30 （下发际线） X6=13,14,31,32 （面部线条和头发的深色），
我们得到图 1.15。
还记得观察值 1-100 对应于真钞，观察值 101-200 对应于假币。伪钞对应于图 1.15 的上半部分。事实上，这些观察结果的面孔看起来更冷酷，更不快乐。变量X6（对角线）在图 1.4 的箱线图中已经很好地区分了假钞和真钞。在这里，这个变量被分配给面部线条和头发的黑度。这就是为什么我们在这 20 个观察结果中清楚地看到了很好的分离。

如果我们将所有 100 张真钞和所有 100 张假钞都包含在 Chernoff-Flury 面部技术中，会发生什么情况？数字1.16图 1.17 显示了具有与之前使用的相同分配的真钞的面，图 1.17 显示了伪钞的面。比较无花果。1.16和1.17可以清楚地看到，真钞的对角线（面线）更长。等效编码是假钞的发色（对角线）较浅（较短）。可以看到，真钞的正面颜色更深，线条更宽。图中的人脸。1.16与图 1.17 中的明显不同。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|OLET5610

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Histograms

Histograms are density estimates. A density estimate gives a good impression of the distribution of the data. In contrast to boxplots, density estimates show possible multimodality of the data. The idea is to locally represent the data density by counting the number of observations in a sequence of consecutive intervals (bins) with origin $x_0$. Let $B_j\left(x_0, h\right)$ denote the bin of length $h$, which is the element of a bin grid starting at $x_0$ :
$$
B_j\left(x_0, h\right)=\left[x_0+(j-1) h, x_0+j h\right), \quad j \in \mathbb{Z},
$$
where $[.,$.$) denotes a left-closed and right-open interval. If \left{x_i\right}_{i=1}^n$ is an i.i.d. sample with density $f$, the histogram is defined as follows:
$$
\widehat{f}h(x)=n^{-1} h^{-1} \sum{j \in \mathbb{Z}} \sum_{i=1}^n \mathrm{I}\left{x_i \in B_j\left(x_0, h\right)\right} \mathrm{I}\left{x \in B_j\left(x_0, h\right)\right} .
$$
In sum (1.7) the first indicator function $\mathrm{I}\left{x_i \in B_j\left(x_0, h\right)\right}$ counts the number of observations falling into bin $B_j\left(x_0, h\right)$. The second indicator function is responsible for “localizing” the counts around $x$. The parameter $h$ is a smoothing or localizing parameter and controls the width of the histogram bins. An $h$ that is too large leads to very big blocks and thus to a very unstructured histogram. On the other hand, an $h$ that is too small gives a very variable estimate with many unimportant peaks.

The effect of $h$ is given in detail in Fig. 1.6. It contains the histogram (upper left) for the diagonal of the counterfeit banknotes for $x_0=137.8$ (the minimum of these observations) and $h=0.1$. Increasing $h$ to $h=0.2$ and using the same origin, $x_0=137.8$, results in the histogram shown in the lower left of the figure. This density histogram is somewhat smoother due to the larger $h$. The bin-width is next set to $h=0.3$ (upper right). From this histogram, one has the impression that the distribution of the diagonal is bimodal with peaks at about $138.5$ and 139.9. The detection of modes requires fine-tuning of the bin-width. Using methods from smoothing methodology Härdle et al. (2004), one can find an “optimal” bin-width $h$ for $n$ observations:
$$
h_{o p t}=\left(\frac{24 \sqrt{\pi}}{n}\right)^{1 / 3} .
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Kernel Densities

The major difficulties of histogram estimation may be summarized in four critiques:

determination of the bin-width $h$, which controls the shape of the histogram,
choice of the bin origin $x_0$, which also influences to some extent the shape,
loss of information since observations are replaced by the central point of the interval in which they fall,
the underlying density function is often assumed to be smooth, but the histogram is not smooth.

Rosenblatt (1956), Whittle (1958), and Parzen (1962) developed an approach which avoids the last three difficulties. First, a smooth kernel function rather than a box is used as the basic building block. Second, the smooth function is centered directly over each observation. Let us study this refinement by supposing that $x$ is the center value of a bin. The histogram can in fact be rewritten as
$$
\widehat{f}h(x)=n^{-1} h^{-1} \sum{i=1}^n \mathrm{I}\left(\left|x-x_i\right| \leq \frac{h}{2}\right) .
$$

If we define $K(u)=\mathrm{I}\left(|u| \leq \frac{1}{2}\right)$, then (1.8) changes to
$$
\widehat{f}h(x)=n^{-1} h^{-1} \sum{i=1}^n K\left(\frac{x-x_i}{h}\right) .
$$
This is the general form of the kernel estimator. Allowing smoother kernel functions like the quartic kernel,
$$
K(u)=\frac{15}{16}\left(1-u^2\right)^2 \mathrm{I}(|u| \leq 1),
$$
and computing $x$ not only at bin centers gives us the kernel density estimator. Kernel estimators can also be derived via weighted averaging of rounded points (WARPing) or by averaging histograms with different origins, see Scott (1985). Table $1.5$ introduces some commonly used kernels.

Different kernels generate the different shapes of the estimated density. The most important parameter is the bandwidth $h$, and can be optimized, for example, by crossvalidation; see Härdle (1991) for details. The cross-validation method minimizes the integrated squared error. This measure of discrepancy is based on the squared differences $\left{\hat{f}h(x)-f(x)\right}^2$. Averaging these squared deviations over a grid of points $\left{x_l\right}{l=1}^L$ leads to
$$
L^{-1} \sum_{l=1}^L\left{\hat{f}_h\left(x_l\right)-f\left(x_l\right)\right}^2 .
$$

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Histograms

直方图是密度估计。密度估计给出了数据分布的良好印象。与箱线图相反，密度估计显示了数据可能的多模态。这个想法是通过计算一系列具有原点的连续间隔（箱）中的观察次数来局部表示数据密度 $x_0$. 让 $B_j\left(x_0, h\right)$ 表示长度的 bin $h$ ，它是 bin 网格的元素，起始于 $x_0$ ：
$$
B_j\left(x_0, h\right)=\left[x_0+(j-1) h, x_0+j h\right), \quad j \in \mathbb{Z},
$$
在哪里 $[.,,{$ 表示左闭右开区间。如果\left } { x _ { – } i \backslash i \text { ight } } _ { – } { i = 1 } \wedge n \text { 是具有密度的独立同分布样本 } f \text { ，直方图定义如 } 下: $B_j\left(x_0, h\right)$. 第二个指标函数负责“本地化”周围的计数 $x$. 参数 $h$ 是平滑或局部化参数并控制直方图箱的宽度。一个 $h$ 太大会导致非常大的块，从而导致非常非结构化的直方图。另一方面，一个 $h$ 太小会给出一个非常可变的估计，其中包含许多不重要的峰值。
的效果 $h$ 在图 $1.6$ 中详细给出。它包含伪钞对角线的直方图 (左上角) $x_0=137.8$ (这些观察的最小值) 和 $h=0.1$. 增加 $h$ 至 $h=0.2$ 并使用相同的来源， $x_0=137.8$ ，结果如图左下方所示的直方图。该密度直方图由于较大 $h$. bin-width 接下来设置为 $h=0.3$ (右上方)。从这个直方图中，人们的印象是对角线的分布是双峰的，峰值大约在 138.5和 139.9。模式检测需要对 bin 宽度进行微调。使用平滑方法 Härdle 等人的方法。(2004)，人们可以找到一个”最佳”bin 宽度 $h$ 为了 $n$ 意见：
$$
h_{\text {opt }}=\left(\frac{24 \sqrt{\pi}}{n}\right)^{1 / 3} .
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Kernel Densities

直方图估计的主要困难可以总结为四个批评:

箱宽的确定 $h$ ，它控制直方图的形状，
bin 原点的选择 $x_0$ ，这也在一定程度上影响了形状，
信息丢失，因为观测值被它们所在区间的中心点所取代，
通常假定底层密度函数是平滑的，但直方图并不平滑。
Rosenblatt (1956)、Whittle (1958) 和 Parzen (1962) 开发了一种避免后三个困难的方法。首先，使用平滑核函数而不是盒子作为基本构建块。其次，平滑函数直接以每个观察为中心。让我们通过假设来研究这种改进 $x$ 是 bin 的中心值。直方图实际上可以重写为
$$
\widehat{f} h(x)=n^{-1} h^{-1} \sum i=1^n \mathrm{I}\left(\left|x-x_i\right| \leq \frac{h}{2}\right) .
$$
如果我们定义 $K(u)=\mathrm{I}\left(|u| \leq \frac{1}{2}\right)$ ，那么 (1.8) 变为
$$
\widehat{f} h(x)=n^{-1} h^{-1} \sum i=1^n K\left(\frac{x-x_i}{h}\right) .
$$
这是核估计器的一般形式。允许更平滑的内核函数，如四次内核，
$$
K(u)=\frac{15}{16}\left(1-u^2\right)^2 \mathrm{I}(|u| \leq 1),
$$
和计算 $x$ 不仅在 bin 中心为我们提供了核密度估计量。核估计量也可以通过舍入点的加权平均 (WARPing) 或通过对不同来源的直方图进行平均来得出，参见 Scott (1985)。桌子1.5介绍一些常用的内核。
不同的核生成不同形状的估计密度。最重要的参数是带宽 $h$ ，并且可以优化，例如，通过交叉验证；有关详细信息，请参见 Härdle (1991)。交叉验证方法最小化综合平方误差。这种差异度量基于平方差

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STATS7062

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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STATS7062

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Multivariate Laplace Distribution

Let $g$ and $G$ be the pdf and cdf of a $d$-dimensional Gaussian distribution $N_d(0, \Sigma)$, the pdf and cdf of a multivariate Laplace distribution can be written as
$$
\begin{aligned}
&f_{M \text { Laplace }d}(x ; m, \Sigma)=\int_0^{\infty} g\left(z^{-\frac{1}{2}} x-z^{\frac{1}{2}} m\right) z^{-\frac{d}{2}} e^{-z} d z \ &F{M \text { Laplace }d}(x, m, \Sigma)=\int_0^{\infty} G\left(z^{-\frac{1}{2}} x-z^{\frac{1}{2}} m\right) e^{-z} d z \end{aligned} $$ the pdf can also be described as $$ \begin{aligned} f{M \text { Laplace }d}(x ; m, \Sigma)=& \frac{2 e^{x^{\top} \Sigma^{-1} m}}{(2 \pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\left(\frac{x^{\top} \Sigma^{-1} x}{2+m^{\top} \Sigma^{-1} m}\right)^{\frac{\lambda}{2}} \ & \times K\lambda\left(\sqrt{\left(2+m^{\top} \Sigma^{-1} m\right)\left(x^{\top} \Sigma^{-1} x\right)}\right)
\end{aligned}
$$
where $\lambda=\frac{2-d}{2}$ and $K_\lambda(x)$ is the modified Bessel function of the third kind
$$
K_\lambda(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^\lambda \int_0^{\infty} t^{-\lambda-1} e^{-t-\frac{x^2}{4 t}} d t, \quad x>0
$$
Multivariate Laplace distribution has mean and variance
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}[X] &=m \
\operatorname{Cov}[X] &=\Sigma+m m^{\top}
\end{aligned}
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Multivariate Distributions

The cumulative distribution function (cdf) of a two-dimensional vector $\left(X_1, X_2\right)$ is given by
$$
F\left(x_1, x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2\right) .
$$
For the case that $X_1$ and $X_2$ are independent, their joint cumulative distribution function $F\left(x_1, x_2\right)$ can be written as a product of their one-dimensional marginals:
$$
F\left(x_1, x_2\right)=F_{X_1}\left(x_1\right) F_{X_2}\left(x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1\right) \mathrm{P}\left(X_2 \leq x_2\right) .
$$
But how can we model dependence of $X_1$ and $X_2$ ? Most people would suggest linear correlation. Correlation is though an appropriate measure of dependence only when the random variables have an elliptical or spherical distribution, which include the normal multivariate distribution. Although the terms “correlation” and “dependency” are often used interchangeably, correlation is actually a rather imperfect measure of dependency, and there are many circumstances where correlation should not be used.

Copulae represent an elegant concept of connecting marginals with joint cumulative distribution functions. Copulae are functions that join or “couple” multivariate distribution functions to their one-dimensional marginal distribution functions. Let us consider a $d$-dimensional vector $X=\left(X_1, \ldots, X_d\right)^{\top}$. Using copulae, the marginal distribution functions $F_{X_i}(i=1, \ldots, d)$ can be separately modelled from their dependence structure and then coupled together to form the multivariate distribution $F_X$. Copula functions have a long history in probability theory and statistics. Their application in finance is very recent. Copulae are important in Valueat-Risk calculations and constitute an essential tool in quantitative finance (Härdle et al., 2009).

First let us concentrate on the two-dimensional case, then we will extend this concept to the $d$-dimensional case, for a random variable in $\mathbb{R}^d$ with $d \geq 1$. To be able to define a copula function, first we need to represent a concept of the volume of a rectangle, a 2-increading function and a grounded function.

Let $U_1$ and $U_2$ be two sets in $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup{+\infty} \cup{-\infty}$ and consider the function $F: U_1 \times U_2 \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写多元统计分析代考|多元拉普拉斯分布

让 $g$ 和 $G$ 是一个的PDF和CDF $d$-维高斯分布 $N_d(0, \Sigma)$，多元拉普拉斯分布的pdf和cdf可写成
$$
\begin{aligned}
&f_{M \text { Laplace }d}(x ; m, \Sigma)=\int_0^{\infty} g\left(z^{-\frac{1}{2}} x-z^{\frac{1}{2}} m\right) z^{-\frac{d}{2}} e^{-z} d z \ &F{M \text { Laplace }d}(x, m, \Sigma)=\int_0^{\infty} G\left(z^{-\frac{1}{2}} x-z^{\frac{1}{2}} m\right) e^{-z} d z \end{aligned} $$ PDF也可以被描述为 $$ \begin{aligned} f{M \text { Laplace }d}(x ; m, \Sigma)=& \frac{2 e^{x^{\top} \Sigma^{-1} m}}{(2 \pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\left(\frac{x^{\top} \Sigma^{-1} x}{2+m^{\top} \Sigma^{-1} m}\right)^{\frac{\lambda}{2}} \ & \times K\lambda\left(\sqrt{\left(2+m^{\top} \Sigma^{-1} m\right)\left(x^{\top} \Sigma^{-1} x\right)}\right)
\end{aligned}
$$
where $\lambda=\frac{2-d}{2}$ 和 $K_\lambda(x)$ 是第三类修正贝塞尔函数
$$
K_\lambda(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^\lambda \int_0^{\infty} t^{-\lambda-1} e^{-t-\frac{x^2}{4 t}} d t, \quad x>0
$$多元拉普拉斯分布的均值和方差均
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}[X] &=m \
\operatorname{Cov}[X] &=\Sigma+m m^{\top}
\end{aligned}
$$

统计代写|多元统计分析代写多元统计分析代考|多元分布

二维向量$\left(X_1, X_2\right)$的累积分布函数(cdf)由
$$
F\left(x_1, x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2\right) .
$$
给出，对于$X_1$和$X_2$是独立的情况，它们的联合累积分布函数$F\left(x_1, x_2\right)$可以写成它们一维边缘的乘积:
$$
F\left(x_1, x_2\right)=F_{X_1}\left(x_1\right) F_{X_2}\left(x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1\right) \mathrm{P}\left(X_2 \leq x_2\right) .
$$
但是我们如何建立$X_1$和$X_2$的依赖性模型呢?大多数人会认为线性相关。相关性只是随机变量具有椭圆或球形分布(其中包括正态多元分布)时的相关性的适当度量。尽管“相关性”和“依赖性”这两个术语经常互换使用，但相关性实际上是一种相当不完善的依赖性度量，在许多情况下，相关性不应该使用

Copulae代表了用联合累积分布函数连接边缘的优雅概念。Copulae是连接或“耦合”多元分布函数与其一维边际分布函数的函数。让我们考虑一个$d$维向量$X=\left(X_1, \ldots, X_d\right)^{\top}$。利用copulae，可以将边际分布函数$F_{X_i}(i=1, \ldots, d)$从其依赖结构中单独建模，然后将其耦合在一起，形成多元分布$F_X$。Copula函数在概率论和统计学中有着悠久的历史。它们在金融领域的应用是最近才出现的。Copulae在价值-风险计算中很重要，是量化金融的重要工具(Härdle等，2009)

首先让我们专注于二维的情况，然后我们将这个概念扩展到$d$ -维的情况，对于$\mathbb{R}^d$中的一个带有$d \geq 1$的随机变量。为了能够定义copula函数，首先我们需要表示一个矩形的体积、一个递增2的函数和一个接地函数的概念

设$U_1$和$U_2$是$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup{+\infty} \cup{-\infty}$中的两个集合，考虑函数$F: U_1 \times U_2 \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$

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