计算机代写|密码学与系统安全代写Cryptography and System Security代考|CSC541
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
计算机代写|密码学与系统安全代写Cryptography and System Security代考|Finding the Greatest Common Divisor
We now describe an algorithm credited to Euclid for easily finding the greatest common divisor of two integers (Figure 2.2). This algorithm has broad significance in cryptography. The explanation of the algorithm can be broken down into the following points:
- Suppose we wish to determine the greatest common divisor $d$ of the integers $a$ and $b$; that is determine $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. Because $\operatorname{gcd}(|a|,|b|)=\operatorname{gcd}(a, b)$, there is no harm in assuming $a \geq b>0$.
- Dividing $a$ by $b$ and applying the division algorithm, we can state:
$$
a=q_1 b+r_1 \quad 0 \leq r_1<b
$$ - First consider the case in which $r_1=0$. Therefore $b$ divides $a$ and clearly no larger number divides both $b$ and $a$, because that number would be larger than $b$. So we have $d=\operatorname{gcd}(a, b)=b$.
- The other possibility from Equation (2.2) is $r_1 \neq 0$. For this case, we can state that $d \mid r_1$. This is due to the basic properties of divisibility: the relations $d \mid a$ and $d \mid b$ together imply that $d \mid\left(a-q_1 b\right)$, which is the same as $d \mid r_1$.
- Before proceeding with the Euclidian algorithm, we need to answer the question: What is the $\operatorname{gcd}\left(b, r_1\right)$ ? We know that $d \mid b$ and $d \mid r_1$. Now take any arbitrary integer $c$ that divides both $b$ and $r_1$. Therefore, $c \mid\left(q_1 b+r_1\right)=a$. Because $c$ divides both $a$ and $b$, we must have $c \leq d$, which is the greatest common divisor of $a$ and $b$. Therefore $d=\operatorname{gcd}\left(b, r_1\right)$.
计算机代写|密码学与系统安全代写Cryptography and System Security代考|PRIME NUMBERS
A central concern of number theory is the study of prime numbers. Indeed, whole books have been written on the subject (e.g., [CRAN01], [RIBE96]). In this section, we provide an overview relevant to the concerns of this book.
An integer $p>1$ is a prime number if and only if its only divisors ${ }^5$ are $\pm 1$ and $\pm p$. All numbers other than $\pm 1$ and the prime numbers are composite numbers. In other words, composite numbers are those which are the product of at least two prime numbers. Prime numbers play a critical role in number theory and in the techniques discussed in this chapter. Table $2.5$ shows the primes less than 2000 . Note the way the primes are distributed. In particular, note the number of primes in each range of 100 numbers.
Any integer $a>1$ can be factored in a unique way as
$$
a=p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_t^{a_2}
$$
where $p_1<p_2<\ldots<p_t$ are prime numbers and where each $a_i$ is a positive integer. This is known as the fundamental theorem of arithmetic; a proof can be found in any text on number theory.
$$
\begin{aligned}
91 & =7 \times 13 \
3600 & =2^4 \times 3^2 \times 5^2 \
11011 & =7 \times 11^2 \times 13
\end{aligned}
$$
It is useful for what follows to express Equation (2.9) another way. If $\mathrm{P}$ is the set of all prime numbers, then any positive integer $a$ can be written uniquely in the following form:
$$
a=\prod_{p \in \mathrm{P}} p^{a_p} \quad \text { where each } a_p \geq 0
$$
密码学与系统安全代考
计算机代写|密码学与系统安全代写Cryptography and System Security代考|Finding the Greatest Common Divisor
我们现在描述一种算法，该算法归功于 Euclid，它可以轻松找到两个整数的最大公约数 (图 2.2) 。该 算法在密码学中具有广泛的意义。算法的解释可以分为以下几点:
- 假设我们莃望确定最大公约数 $d$ 整数的 $a$ 和 $b$; 那就是确定 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. 因为 $\operatorname{gcd}(|a|,|b|)=\operatorname{gcd}(a, b)$ ，假设没有坏处 $a \geq b>0$.
- 划分 $a$ 经过 $b$ 并应用除法算法，我们可以声明:
$$
a=q_1 b+r_1 \quad 0 \leq r_1<b
$$ - 首先考虑以下情况 $r_1=0$. 所以 $b$ 分裂 $a$ 显然没有更大的数字将两者分开 $b$ 和 $a$ ，因为这个数字会大 于 $b$. 所以我们有 $d=\operatorname{gcd}(a, b)=b$.
- 等式 (2.2) 的另一种可能性是 $r_1 \neq 0$. 对于这种情况，我们可以说 $d \mid r_1$. 这是由于可分性的基 本属性：关系 $d \mid a$ 和 $d \mid b$ 在一起意味着 $d \mid\left(a-q_1 b\right)$ ，这与 $d \mid r_1$.
- 在继续使用欧几里德算法之前，我们需要回答这个问题: 什么是 $\operatorname{gcd}\left(b, r_1\right)$ ? 我们知道 $d \mid b$ 和 $d \mid r_1$. 现在取任意整数 $c$ 将两者分开 $b$ 和 $r_1$. 所以， $c \mid\left(q_1 b+r_1\right)=a$. 因为 $c$ 将两者分开 $a$ 和 $b$ ， 我们必须有 $c \leq d$, 这是的最大公约数 $a$ 和 $b$. 所以 $d=\operatorname{gcd}\left(b, r_1\right)$.
计算机代写|密码学与系统安全代写Cryptography and System Security代考|PRIME NUMBERS
数论的一个核心问题是对素数的研究。事实上，关于这个主题已经写了整本书（例如，[CRAN01]、 [RIBE96]）。在本节中，我们提供了与本书关注点相关的概述。
一个整数 $p>1$ 是一个质数当且仅当它的唯一约数 ${ }^5$ 是 $\pm 1$ 和 $\pm p$. 除以外的所有数字 $\pm 1$ 素数是合数。换 句话说，合数是至少两个素数的乘积。素数在数论和本章讨论的技术中起着至关重要的作用。桌子 $2.5$ 显示小于 2000 的素数。注意素数的分布方式。特别要注意每个 100 个数字范围内的质数个数。 任意整数 $a>1$ 可以以独特的方式分解为
$$
a=p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_t^{a_2}
$$
在哪里 $p_1<p_2<\ldots<p_t$ 是素数，其中每个 $a_i$ 是一个正整数。这被称为算术基本定理；可以在任何 关于数论的文本中找到证明。
$$
91=7 \times 133600=2^4 \times 3^2 \times 5^2 11011=7 \times 11^2 \times 13
$$
以另一种方式表达等式 (2.9) 对于下面的内容是有用的。如果P是所有素数的集合，然后是任意正整 数 $a$ 可以唯一地写成如下形式:
$$
a=\prod_{p \in \mathrm{P}} p^{a_p} \quad \text { where each } a_p \geq 0
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
