分类：广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT6175

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广义线性模型（GLiM，或GLM）是John Nelder和Robert Wedderburn在1972年制定的一种高级统计建模技术。它是一个包含许多其他模型的总称，它允许响应变量y具有除正态分布以外的误差分布。

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Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT6175

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Goodness of Fit

As mentioned earlier, we cannot use the deviance for a binary response GLM as a measure of fit. We can use diagnostic plots of the binned residuals to help us identify inadequacies in the model but these cannot tell us whether the model fits or not. Even so the process of binning can help us develop a test for this purpose. We divide the observations up into $J$ bins based on the linear predictor. Let the mean response in the $j^{t h}$ bin be $y_j$ and the mean predicted probability be $\hat{p}_j$ with $m_j$ observations within the bin. We compute these values:
wcgsm <- na. omit (wcgs)
wcgsm <- mutate (wcgsm, predprob=predict (1mod, type=” response”))
gdf <- group_by (wcgsm, cut (1inpred, breaks=unique (quant ile (linpred,
$\hookrightarrow(1: 100) / 101))))$
hldf <- summarise (gdf, $y=$ sum $(y)$, ppred=mean (predprob), count=n ()$)$
There are a few missing values in the data. The default method is to ignore these cases. The na.omit command drops these cases from the data frame for the purposes of this calculation. We use the same method of binning the data as for the residuals but now we need to compute the number of observed cases of heart disease and total observations within each bin. We also need the mean predicted probability within each bin.

When we make a prediction with probability $p$, we would hope that the event occurs in practice with that proportion. We can check that by plotting the observed proportions against the predicted probabilities as seen in Figure $2.9$. For a wellcalibrated prediction model, the observed proportions and predicted probabilities should be close.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Binomial Regression Model

Suppose the response variable $Y_i$ for $i=1, \ldots, n$ is binomially distributed $B\left(m_i, p_i\right)$ so that:
$$
P\left(Y_i=y_i\right)=\left(\begin{array}{c}
m_i \
y_i
\end{array}\right) p_i^{y_i}\left(1-p_i\right)^{m_i-y_i}
$$
We further assume that the $Y_i$ are independent. The individual outcomes or trials that compose the response $Y_i$ are all subject to the same $q$ predictors $\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i q}\right)$. The group of trials is known as a covariate class. For example, we might record whether customers of a particular type make a purchase or not. Conventionally, one outcome is labeled a success (say, making purchase in this example) and the other outcome is labeled as a failure. No emotional meaning should be attached to success and failure in this context. For example, success might be the label given to a patient death with survival being called a failure. Because we need to have multiple trials for each covariate class, data for binomial regression models is more likely to result from designed experiments with a few predictors at chosen values rather than observational data which is likely to be more sparse.
As in the binary case, we construct a linear predictor:
$$
\eta_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_q x_{i q}
$$
We can use a logistic link function $\eta_i=\log \left(p_i /\left(1-p_i\right)\right)$. The log-likelihood is then given by:
$$
l(\beta)=\sum_{i=1}^n\left[y_i \eta_i-m_i \log \left(1+e_i^\eta\right)+\log \left(\begin{array}{c}
m_i \
y_i
\end{array}\right)\right]
$$
Let’s work through an example to see how the analysis differs from the binary response case.

In January 1986, the space shuttle Challenger exploded shortly after launch. An investigation was launched into the cause of the crash and attention focused on the rubber O-ring seals in the rocket boosters. At lower temperatures, rubber becomes more brittle and is a less effective sealant. At the time of the launch, the temperature was 31◦F.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Goodness of Fit

如前所述，我们不能将二元响应 GLM 的偏差用作拟合度。我们可以使用分箱残差的诊断图来帮助我们识别模型中的不足之处，但这些不能告诉我们模型是否适合。尽管如此，分箱过程可以帮助我们为此目的开发测试。我们将观察分为 $J$ 基于线性预测器的箱子。让平均响应在 $j^{t h}$ 本是 $y_j$ 平均预测概率是 $\hat{p}_j$ 和 $m_j$ 箱内的观察结果。我们计算这些值:
wcgsm <- na。省略 (wcgs)
wcgsm <- mutate (wcgsm, predprob=predict ( $1 \mathrm{mod}$, type $=$ ” response”))
gdf <-group_by (wcgsm, cut (1inpred, breaks=unique (quant ile (linpred,
$\hookrightarrow(1: 100) / 101))))$
hldf <-总结 (gdf， $y=$ 和 $(y)$, ppred=均值 (predprob), count=n ())
数据中有一些缺失值。默认方法是忽略这些情况。出于此计算的目的，na.omit 命令从数据框中删除这些案例。我们使用与残差相同的方法对数据进行装箱，但现在我们需要计算每个箱内观察到的心脏病病例数和总观察数。我们还需要每个区间内的平均预测概率。
当我们用概率做出预测时 $p$ ，我们布望事件在实践中以该比例发生。我们可以通过绘制观察到的比例与预测概率的关系来检查这一点，如图所示 $2.9$. 对于校准良好的预测模型，观察到的比例和预测概率应该接近。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Binomial Regression Model

假设响应变量 $Y_i$ 为了 $i=1, \ldots, n$ 是二项分布的 $B\left(m_i, p_i\right)$ 以便:
$$
P\left(Y_i=y_i\right)=\left(m_i y_i\right) p_i^{y_i}\left(1-p_i\right)^{m_i-y_i}
$$
我们进一步假设 $Y_i$ 是独立的。构成响应的单个结果或试验 $Y_i$ 都受到相同的 $q$ 预测器 $\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i q}\right)$. 这组试验称为协变量类。例如，我们可能会记录特定类型的客户是否进行了购买。通常，一个结果被标记为成功 (例如，在此示例中进行购买），而另一个结果被标记为失败。在这种情况下，成功和失败不应附加任何情感意义。例如，成功可能是患者死亡的标签，而生存则被称为失败。因为我们需要对每个协变量类别进行多次试验，所以二项式回归模型的数据更有可能来自设计实验，其中一些预测变量处于选定值，而不是可能更稀疏的观察数据。与二进制情况一样，我们构建了一个线性预测器:
$$
\eta_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_q x_{i q}
$$
我们可以使用物流链接功能 $\eta_i=\log \left(p_i /\left(1-p_i\right)\right)$. 对数似然则由下式给出:
$$
l(\beta)=\sum_{i=1}^n\left[y_i \eta_i-m_i \log \left(1+e_i^\eta\right)+\log \left(m_i y_i\right)\right]
$$
让我们通过一个示例来了解分析与二进制响应案例有何不同。
1986 年 1 月，挑战者号航天飞机在发射后不久就爆炸了。对坠机原因展开了调查，并将注意力集中在火箭助推器中的橡胶 $O$ 形密封圈上。在较低的温度下，橡胶变得更脆并且是一种效果较差的密封剂。发射时，温度为 $31^{\circ} \mathrm{F}$ 。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|BIOS6940

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Inference

Consider two models, a larger model with $l$ parameters and likelihood $L_L$ and a smaller model with $s$ parameters and likelihood $L_S$ where the smaller model represents a subset (or more generally a linear subspace) of the larger model. Likelihood methods suggest the likelihood ratio statistic:
$$
2 \log \frac{L_L}{L_S}
$$
as an appropriate test statistic for comparing the two models. Now suppose we choose a saturated larger model – such a model typically has as many parameters as cases and has fitted values $\hat{p}i=y_i$. The test statistic becomes: $$ D=-2 \sum{i=1}^n \hat{p}_i \operatorname{logit}\left(\hat{p}_i\right)+\log \left(1-\hat{p}_i\right)
$$
where $\hat{p}_i$ are the fitted values from the smaller model. $D$ is called the deviance and is useful in making hypothesis tests to compare models.

In other examples of GLMs, the deviance is a measure of how well the model fit the data but in this case, $D$ is just a function of the fitted values $\hat{p}$ so it cannot be used for that purpose. Other methods must be used to judge goodness of fit for binary data – for example, the Hosmer-Lemeshow test described in Section 2.6.
In the summary output previously, we had:
Deviance $=1749.049$ Nul1 Deviance $=1781.244 \quad($ Difference $=32.195)$
The Deviance is the deviance for the current model while the Null Deviance is the deviance for a model with no predictors and just an intercept term.

We can use the deviance to compare two nested models. The test statistic in (2.1) becomes $D_S-D_L$. This test statistic is asymptotically distributed $\chi_{l-s}^2$, assuming that the smaller model is correct and the distributional assumptions hold. For example, we can compare the fitted model to the null model (which has no predictors) by considering the difference between the residual and null deviances. For the heart disease example, this difference is $32.2$ on two degrees of freedom (one for each predictor).

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Model Selection

The analysis thus far has used only two of the predictors available but we might construct a better model for the response if we used some of the other predictors. We might find that not all these predictors are helpful in explaining the response. We would like to identify a subset of the predictors that model the response well without including any superfluous predictors.

We could use the inferential methods to construct hypothesis tests to compare various candidate models and use this as a mechanism for choosing a model. Back-ward elimination is one such method which is relatively easy to implement. The method proceeds sequentially:

Start with the full model including all the available predictors. We can add derived predictors formed from transformations or interactions between two or more predictors.
Compare this model with all the models consisting of one less predictor. Compute the $p$-value corresponding to each dropped predictor. The drop 1 function in $\mathrm{R}$ can be used for this purpose.
Eliminate the term with largest $p$-value that is greater than some preset critical value, say $0.05$. Return to the previous step. If no such term meets this criterion, stop and use the current model.
Thus predictors are sequentially eliminated until a final model is settled upon. Unfortunately, this is an inferior procedure. Although the algorithm is simple to use, it is hard to identify the problem to which it provides a solution. It does not identify the best set of predictors for predicting future responses. It is not a reliable indication of which predictors are the best explanation for the response. Even if one believes the fiction that there is a true model, this procedure would not be best for identifying such a model.

The Akaike information criterion (AIC) is a popular way of choosing a model see Section A.3 for more. The criterion for a model with likelihood $L$ and number of parameters $q$ is defined by
$$
\text { AIC }=-2 \log L+2 q
$$
We select the model with the smallest value of AIC among those under consideration. Any constant terms in the definition of log-likelihood can be ignored when comparing different models that will have the same constants. For this reason we can use $\mathrm{AIC}=$ deviance $+2 q$.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Inference

考虑两个模型，一个更大的模型 $l$ 参数和可能性 $L_L$ 和一个较小的模型 $s$ 参数和可能性 $L_S$ 其中较小的模型表示较大模型的子集 (或更一般地是线性子空间)。似然法建议似然比统计量:
$$
2 \log \frac{L_L}{L_S}
$$
作为比较两个模型的适当检验统计量。现在假设我们选择一个饱和的较大模型一一这样的模型通常具有与案例一样多的参数并且具有拟合值 $\$ \backslash$ hat ${\mathrm{p}}$ i=y_i.Theteststatisticbecomes : $\$ D=-2$ Isum ${\mathrm{i}=1}^{\wedge} \cap \backslash h a t{p}$ loperatorname{logit}\left(\hat{p}_ilright)+\log $\backslash$ left(1-Ihat{p}_i\right)
$\$ \$$
其中 $\hat{p}i$ 是较小模型的拟合值。 $D$ 称为偏差，在进行假设检验以比较模型时很有用。在 GLM 的其他示例中，偏差是衡量模型与数据拟合程度的指标，但在这种情况下， $D$ 只是拟合值的函数 $\hat{p}$ 所以它不能用于那个目的。必须使用其他方法来判断二进制数据的拟合优度一一例如，第 $2.6$ 节中描述的 HosmerLemeshow 检验。在之前的汇总输出中，我们有: 偏差 $=1749.049 \mathrm{Nul} 1$ 偏差 $=1781.244 \quad$ (区别= 32.195) Deviance 是当前模型的偏差，而 Null Deviance 是没有预测变量且只有截距项的模型的偏差。我们可以使用偏差来比较两个嵌套模型。(2.1)中的检验统计量变为 $D_S-D_L$. 该检验统计量呈渐近分布 $\chi{l-s}^2$ ，假设较小的模型是正确的并且分布假设成立。例如，我们可以通过考虑残差和零偏差之间的差异，将拟合模型与零模型 (没有预测变量) 进行比较。对于心脏病的例子，这个区别是 $32.2$ 在两个自由度上 (每个预测变量一
个)。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Model Selection

到目前为止，分析只使用了两个可用的预恻变量，但如果我们使用其他一些预测变量，我们可能会为响应构建更好的模型。我们可能会发现并非所有这些预测变量都有助于解释响应。我们想要确定一个能够很好地模拟响应的预测变量子集，而不包括任何多余的预测变量。
我们可以使用推理方法构建假设检验来比较各种候选模型，并将其用作选择模型的机制。向后淘汰是一种相对容易实现的方法。该方法按顺序进行：

从包含所有可用预测变量的完整模型开始。我们可以添加由两个或多个预测变量之间的转换或交互形成的派生预测变量。
将此模型与包含少一个预测变量的所有模型进行比较。计算 $p$-对应于每个丟弃的预测变量的值。中的 drop 1 函数R可用于此目的。
去掉最大的项 $p$ – 大于某个预设临界值的值，比如 $0.05$. 返回上一步。如果没有这样的术语满足此标准，则停止并使用当前模型。
因此，预测变量被依次消除，直到最终模型确定下来。不幸的是，这是一个劣质程序。虽然该算法使用简单，但很难确定它提供解决方案的问题。它没有确定预测末来响应的最佳预测变量集。它不能可靠地指示哪些预测变量是对响应的最佳解释。即使有人相信存在真实模型的虚构，此过程也不是识别此类模型的最佳方法。

Akaike 信息准则 (AIC) 是一种流行的选择模型的方法，请参阅第 A.3 节了解更多信息。具有似然性的模型的标准 $L$ 和参数数量 $q$ 由定义
$$
\mathrm{AIC}=-2 \log L+2 q
$$
我们在考虑的模型中选择 AIC 值最小的模型。在比较具有相同常数的不同模型时，可以忽略对数似然定义中的任何常数项。为此我们可以使用 $\mathrm{AIC}=$ 偏差 $+2 q$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Heart Disease Example

What might affect the chance of getting heart disease? One of the earliest studies addressing this issue started in 1960 and used 3154 healthy men, aged from 39 to 59 , from the San Francisco area. At the start of the study, all were free of heart disease. Eight and a half years later, the study recorded whether these men now suffered from heart disease along with many other variables that might be related to the chance of developing this disease. We load a subset of this data from the Western Collaborative Group Study described in Rosenman et al. (1975): We see that only 257 men developed heart disease as given by the factor variable chd. The men vary in height (in inches) and the number of cigarettes (cigs) smoked per day. We can plot these data using R base graphics:

The first panel in Figure $2.1$ shows a boxplot. This shows the similarity in the distribution of heights of the two groups of men with and without heart disease. But the heart disease is the response variable so we might prefer a plot which treats it as such. We convert the absence/presence of disease into a numerical $0 / 1$ variable and plot this in the second panel of Figure 2.1. Because heights are reported as round numbers of inches and the response can only take two values, it is sensible to add a small amount of noise to each point, called jittering, so that we can distinguish them. Again we can see the similarity in the distributions. We might think about fitting a line to this plot.

More informative plots may be obtained using the ggplot2 package of Wickham (2009). In the first panel of Figure 2.2, we see two histograms showing the distribution of heights for both those with and without heart disease. The dodge option ensures that the two histograms are interleaved. We see that the two similar. We also had to set the bin width of the histogram. It was natural to use one inch as all the height measurements are rounded to the nearest inch. In the second panel of Figure 2.2, we see the corresponding histograms for smoking. In this case, we have shown the frequency rather than the count version of the histogram. We see that smokers are more likely to get heart disease.distributions are

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Logistic Regression

Suppose we have a response variable $Y_i$ for $i=1, \ldots, n$ which takes the values zero or one with $P\left(Y_i=1\right)=p_i$. This response may be related to a set of $q$ predictors $\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i q}\right)$. We need a model that describes the relationship of $x_1, \ldots, x_q$ to the probability $p$. Following the linear model approach, we construct a linear predictor:
$$
\eta_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_q x_{i q}
$$
Since the linear predictor can accommodate quantitative and qualitative predictors with the use of dummy variables and also allows for transformations and combinations of the original predictors, it is very flexible and yet retains interpretability. The idea that we can express the effect of the predictors on the response solely through the linear predictor is important. The idea can be extended to models for other types of response and is one of the defining features of the wider class of generalized linear models (GLMs) discussed later in Chapter 8.

We have seen previously that the linear relation $\eta_i=p_i$ is not workable because we require $0 \leq p_i \leq 1$. Instead we shall use a link function $g$ such that $\eta_i=g\left(p_i\right)$. We need $g$ to be monotone and be such that $0 \leq g^{-1}(\eta) \leq 1$ for any $\eta$. The most popular choice of link function in this situation is the logit. It is defined so that:
$$
\eta=\log (p /(1-p))
$$
or equivalently:
$$
p=\frac{e^\eta}{1+e^\eta}
$$
Combining the use of the logit link with a linear predictor gives us the term logistic regression. Other choices of link function are possible but we will defer discussion of these until later. The logit and its inverse are defined as logit and ilogit in the faraway package. The relationship between $p$ and the linear predictor $\eta$ is shown in Figure 2.4.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Heart Disease Example

哪些因素会影响患心脏病的几率？解决这个问题的最早研究之一始于 1960 年，使用了来自旧金山地区的 3154 名年龄在 39 至 59 岁之间的健康男性。在研究开始时，所有人都没有心脏病。八年半后，该研究记录了这些人现在是否患有心脏病以及许多其他可能与患这种疾病的机会有关的变量。我们从 Rosenman 等人描述的西方协作组研究中加载该数据的一个子集。(1975)：我们看到只有 257 名男性患上了由因子变量 chd 给出的心脏病。这些人的身高（以英寸为单位）和每天吸的香烟数量各不相同。我们可以使用 R 基础图形绘制这些数据：

第一个面板如图2.1显示箱线图。这表明患有和未患有心脏病的两组男性的身高分布相似。但是心脏病是响应变量，所以我们可能更喜欢这样对待它的情节。我们将疾病的不存在/存在转换为数字0/1变量并将其绘制在图 2.1 的第二个面板中。因为高度以英寸的整数形式报告并且响应只能取两个值，所以向每个点添加少量噪声（称为抖动）是明智的，这样我们就可以区分它们。我们再次可以看到分布的相似性。我们可能会考虑为该图拟合一条线。

使用 Wickham (2009) 的 ggplot2 包可以获得更多信息图。在图 2.2 的第一幅图中，我们看到两个直方图显示了患有和未患有心脏病的人的身高分布。闪避选项确保两个直方图交错。我们看到两者相似。我们还必须设置直方图的 bin 宽度。使用一英寸是很自然的，因为所有的身高测量值都四舍五入到最接近的英寸。在图 2.2 的第二个面板中，我们看到了吸烟的相应直方图。在这种情况下，我们显示的是频率而不是直方图的计数版本。我们看到吸烟者更容易患心脏病。分布是

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Logistic Regression

假设我们有一个响应变量 $Y_i$ 为了 $i=1, \ldots, n$ 它取值零或 $-P\left(Y_i=1\right)=p_i$. 此响应可能与一组 $q$ 预测器 $\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i q}\right)$. 我们需要一个描述关系的模型 $x_1, \ldots, x_q$ 概率 $p$. 按照线性模型方法，我们构建了一个线性预测器:
$$
\eta_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_q x_{i q}
$$
由于线性预测器可以通过使用虚拟变量来容纳定量和定性预测器，并且还允许原始预测器的转换和组合，因此它非常灵活并保留了可解释性。我们可以仅通过线性预测变量来表达预测变量对响应的影响这一想法很重要。这个想法可以扩展到其他类型响应的模型，并且是第 8 章稍后讨论的更广泛类别的广义线性模型 (GLM) 的定义特征之一。
我们之前已经看到线性关系 $\eta_i=p_i$ 不可行，因为我们需要 $0 \leq p_i \leq 1$. 相反，我们将使用链接功能 $g$ 这样 $\eta_i=g\left(p_i\right)$. 我们需要 $g$ 是单调的，并且是这样的 $0 \leq g^{-1}(\eta) \leq 1$ 对于任何 $\eta$. 在这种情况下最流行的链接函数选择是 logit。它被定义为:
$$
\eta=\log (p /(1-p))
$$
或等效地:
$$
p=\frac{e^\eta}{1+e^\eta}
$$
将 logit 链接的使用与线性预测变量相结合，我们就得到了术语逻辑回归。链接功能的其他选择是可能的，但我们将推迟到以后再讨论这些。logit 及其反函数在 faraway 包中定义为 logit 和 ilogit。之间的关系 $p$ 和线性预测器 $n$ 如图 $2.4$ 所示。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|BIOS6940

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|RANDOM VECTORS

Let the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ where $Y_i$ is a random variable for $i=1, \ldots, n$. The vector $\mathbf{Y}$ is a random entity. Therefore, $\mathbf{Y}$ has an expectation; each element of $\mathbf{Y}$ has a variance; and any two elements of $\mathbf{Y}$ have a covariance (assuming the expectations, variances, and covariances exist). The following definitions and theorems describe the structure of random vectors.

Definition 1.3.1 Joint Probability Distribution: The probability distribution of the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ equals the joint probability distribution of $Y_1, \ldots, Y_n$. Denote the distribution of $\mathbf{Y}$ by $f_{\mathbf{Y}}(y)-f_{\mathbf{Y}}\left(y_1, \ldots, y_n\right)$.

Definition 1.3.2 Expectation of a Random Vector: The expected value of the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ is given by $\mathrm{E}(\mathbf{Y})=\left[\mathrm{E}\left(Y_1\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_n\right)\right]^{\prime}$.
Definition 1.3.3 Covariance Matrix of a Random Vector $\mathbf{Y}$ : The $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ has $n \times n$ covariance matrix given by
$$
\operatorname{cov}(\mathbf{Y})=\mathrm{E}\left{[\mathbf{Y}-\mathrm{E}(\mathbf{Y})][\mathbf{Y}-\mathrm{E}(\mathbf{Y})]^{\prime}\right} .
$$
The $i j^{\text {th }}$ element of $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ equals $\mathrm{E}\left{\left[Y_i-\mathrm{E}\left(Y_i\right)\right]\left[Y_j-\mathrm{E}\left(Y_j\right)\right]\right}$ for $i, j=1, \ldots, n$.
Definition 1.3.4 Linear Transformations of a Random Vector $\mathbf{Y}$ : If $\mathbf{B}$ is an $m \times n$ matrix of constants and $\mathbf{Y}$ is an $n \times 1$ random vector, then the $m \times 1$ random vector BY represents $m$ linear transformations of $\mathbf{Y}$.

The following theorem provides the covariance matrix of linear transformations of a random vector.

Theorem 1.3.1 If $\mathbf{B}$ is an $m \times n$ matrix of constants, $\mathbf{Y}$ is an $n \times 1$ random vector, and $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ is the $n \times n$ covariance matrix of $\mathbf{Y}$, then the $m \times 1$ random vector $\mathbf{B Y}$ has an $m \times m$ covariance matrix given by $\mathbf{B}[\operatorname{cov}(\mathbf{Y})] \mathbf{B}^{\prime}$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|MULTIVARIATE NORMAL DISTRIBUTION FUNCTION

Let $Z_1, \ldots, Z_n$ be independent, identically distributed normal random variables with mean 0 and variance 1 . The marginal distribution of $Z_i$ is
$$
f_{Z_i}\left(z_i\right)=(2 \pi)^{-1 / 2} e^{-z_i^2 / 2} \quad-\infty<z_i<\infty
$$
for $i=1, \ldots, n$. Since the $Z_i$ ‘s are independent random variables, the joint probability distribution of the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Z}=\left(Z_1, \ldots, Z_n\right)^{\prime}$ is
$$
\begin{aligned}
f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) &=(2 \pi)^{-n / 2} e^{-\sum_{i=1}^n z_i^2 / 2} \
&=(2 \pi)^{-n / 2} e^{-\mathbf{z}^{\prime} / 2} \quad-\infty<z_i<\infty
\end{aligned}
$$ for $i=1, \ldots, n$. Let the $n \times 1$ vector $\mathbf{Y}=\mathbf{G Z}+\boldsymbol{\mu}$ where $\mathbf{G}$ is an $n \times n$ nonsingula matrix and $\mu$ is an $n \times 1$ vector. The joint distribution of the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}$ is
$$
f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})=|\mathbf{\Sigma}|^{-1 / 2}(2 \pi)^{-n / 2} e^{-\left{(\mathbf{y}-\mu)^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\mu)\right} / 2} .
$$
where $\boldsymbol{\Sigma}=\mathbf{G G}^{\prime}$ is an $n \times n$ positive definite matrix and the Jacobian for the transformation $\mathbf{Z}=\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{Y}-\mu)$ is $\left|\mathbf{G G}^{\prime}\right|^{-1 / 2}=|\mathbf{\Sigma}|^{-1 / 2}$.

The function $f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})$ is the multivariate normal distribution of an $n \times 1$ random vector $Y$ with $n \times 1$ mean vector $\mu$ and $n \times n$ positive definite covariance matrix $\Sigma$. The following notation will be used to represent this distribution: the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N}_n(\mu, \boldsymbol{\Sigma})$.

The moment generating function of an $n$-dimensional multivariate normal random vector is provided in the next theorem.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|RANDOM VECTORS

让 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 在哪里 $Y_i$ 是一个随机变量 $i=1, \ldots, n$. 向量 $\mathbf{Y}$ 是一个随机实体。所以， $\mathbf{Y}$ 有期望；的每个元素 $\mathbf{Y}$ 有方差；和任意两个元素 $\mathbf{Y}$ 有一个协方差 (假设存在期望、方差和协方差)。以下定义和定理描述了随机向量的结构。
定义 $1.3 .1$ 联合概率分布: $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 等于联合概率分布 $Y_1, \ldots, Y_n$. 表示分布 $\mathbf{Y}$ 经过 $f_{\mathbf{Y}}(y)-f_{\mathbf{Y}}\left(y_1, \ldots, y_n\right)$.
定义 1.3.2 随机向量的期望值: $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 是 (谁) 给的 $\mathrm{E}(\mathbf{Y})=\left[\mathrm{E}\left(Y_1\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_n\right)\right]^{\prime}$
定义 1.3.3 随机向量的协方差矩阵 $\mathbf{Y}:$ 这 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 有 $n \times n$ 协方差矩阵由下式给出
这 $i j^{\text {th }}$ 的元素 $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ 等于 $i, j=1, \ldots, n$.
定义 1.3.4 随机向量的线性变换 $\mathbf{Y}:$ : 如果 $\mathbf{B}$ 是一个 $m \times n$ 常数矩阵和 $\mathbf{Y}$ 是一个 $n \times 1$ 随机向量，则 $m \times 1$ 随机向量 BY 表示 $m$ 的线性变换 $\mathbf{Y}$.
以下定理提供了随机向量的线性变换的协方差矩阵。
定理 $1.3 .1$ 如果 $\mathbf{B}$ 是一个 $m \times n$ 常数矩阵， $\mathbf{Y}$ 是一个 $n \times 1$ 随机向量，和 $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ 是个 $n \times n$ 的协方差矩阵 $\mathbf{Y}$ ，那么 $m \times 1$ 随机向量 $\mathbf{B Y}$ 有一个 $m \times m$ 协方差矩阵由下式给出 $\mathbf{B}[\operatorname{cov}(\mathbf{Y})] \mathbf{B}^{\prime}$.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT3030

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Linear Algebra

This representation of a symmetric idempotent matrix is generalized in the next theorem.

Theorem 1.1.10 If $\mathbf{A}$ is an $n \times n$ symmetric, idempotent matrix of rank $r$ then $\mathbf{A}=\mathbf{P P}^{\prime}$ where $\mathbf{P}$ is an $n \times r$ matrix whose columns are the eigenvectors of $\mathbf{A}$ associated with the $r$ eigenvalues equal to 1 .

Proof: Let $\mathbf{A}$ be an $n \times n$ symmetric, idempotent matrix of rank $r$. By Theorem $1.1 .3$
$$
\mathbf{R}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{I}_r & \mathbf{0} \
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right]
$$
where $\mathbf{R}=[\mathbf{P} \mid \mathbf{Q}]$ is the $n \times n$ matrix of eigenvectors of $\mathbf{A}, \mathbf{P}$ is the $n \times r$ matrix whose $r$ columns are the eigenvectors associated with the $r$ eigenvalues 1 , and $\mathbf{Q}$ is the $n \times(n-r)$ matrix of eigenvectors associated with the $(n-r)$ eigenvalues 0 . Therefore,
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{P} & \mathbf{Q}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{I}_r & 0 \
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\mathbf{P}^{\prime} \
\mathbf{Q}^{\prime}
\end{array}\right]=\mathbf{P P}^{\prime} .
$$
Furthermore, $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}=\mathbf{I}_r$ because $\mathbf{P}$ is an $n \times r$ matrix of orthogonal eigenvectors.
If $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A X}$ is a quadratic form with $n \times 1$ vector $\mathbf{X}$ and $n \times n$ symmetric matrix $\mathbf{A}$, then $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}$ is a quadratic form constructed from an $n$-dimensional vector. The following example uses Theorem $1.1 .10$ to show that if $\mathbf{A}$ is an $n \times n$ symmetric, idempotent matrix of rank $r \leq n$ then the quadratic form $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A X}$ can be rewritten as a quadratic form constructed from an $r$-dimensional vector.

Example 1.1.14 Let $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}$ be a quadratic form with $n \times 1$ vector $\mathbf{X}$ and $n \times n$ symmetric, idempotent matrix $\mathbf{A}$ of rank $r \leq n$. By Theorem 1.1.10, $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A X}=$ $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{P P}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{Z}$ where $\mathbf{P}$ is an $n \times r$ matrix of eigenvectors of $\mathbf{A}$ associated with the eigenvalues 1 and $\mathbf{Z}=\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{X}$ is an $r \times 1$ vector. For a more specific example, note that $\mathbf{X}^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) \mathbf{X}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{P}_n \mathbf{P}_n^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{Z}$ where $\mathbf{P}_n^{\prime}$ is the $(n-1) \times n$ lower portion of an $n$-dimensional Helmert matrix and $\mathbf{Z}=\mathbf{P}_n^{\prime} \mathbf{X}$ is an $(n-1) \times 1$ vector.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|KRONECKER PRODUCTS

Kronecker products will be used extensively in this text. In this section the Kronecker product operation is defined and a number of related theorems are listed without proof.

Definition 1.2.1 Kronecker Product: If $\mathbf{A}$ is an $r \times s$ matrix with $i j^{\text {th }}$ element $a_{i j}$ for $i=1, \ldots, r$ and $j=1, \ldots, s$, and $\mathbf{B}$ is any $t \times v$ matrix, then the Kronecker product of $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$, denoted by $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$, is the $r t \times s v$ matrix formed by multiplying each $a_{i j}$ element by the entire matrix $\mathbf{B}$. That is,
$$
\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} \mathbf{B} & a_{12} \mathbf{B} & \cdots & a_{1 s} \mathbf{B} \
a_{21} \mathbf{B} & a_{22} \mathbf{B} & \cdots & a_{2 s} \mathbf{B} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{r 1} \mathbf{B} & a_{r 2} \mathbf{B} & \cdots & a_{r s} \mathbf{B}
\end{array}\right]
$$
Theorem 1.2.1 Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be any matrices. Then $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime} \otimes \mathbf{B}^{\prime}$.
Example 1.2.1 $\left[\mathbf{1}_a \otimes(2,1,4)\right]^{\prime}=\mathbf{1}_a^{\prime} \otimes(2,1,4)^{\prime}$.
Theorem 1.2.2 Let $\mathbf{A}, \mathbf{B}$, and $\mathbf{C}$ be any matrices and let $a$ be a scalar. Then $a \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} \otimes \mathbf{C}=a(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \otimes \mathbf{C}=\mathbf{A} \otimes(a \mathbf{B} \otimes \mathbf{C})$.
Example 1.2.2 $\frac{1}{a} \mathbf{J}_a \otimes \mathbf{J}_b \otimes \mathbf{J}_c=\frac{1}{a}\left[\left(\mathbf{J}_a \otimes \mathbf{J}_b\right) \otimes \mathbf{J}_c\right]=\mathbf{J}_a \otimes\left(\frac{1}{a} \mathbf{J}_b \otimes \mathbf{J}_c\right)$.
Theorem 1.2.3 Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be any square matrices. Then $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})=$ $[\operatorname{tr}(\mathbf{A})][\operatorname{tr}(\mathbf{B})]$

Example 1.2.3 $\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}_a-\frac{1}{a} \mathbf{J}_a\right) \otimes\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)\right]=\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}_a-\frac{1}{a} \mathbf{J}_a\right)\right] \operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)\right]=$ $(a-1)(n-1)$

Theorem 1.2.4 Let $\mathbf{A}$ be an $r \times s$ matrix, $\mathbf{B}$ be a $t \times u$ matrix, $\mathbf{C}$ be an $s \times v$ matrix, and $\mathbf{D}$ be a $u \times w$ matrix. Then $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D})=\mathbf{A C} \otimes \mathbf{B D}$.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Linear Algebra

对称幂等矩阵的这种表示在下一个定理中得到推广。
定理 1.1.10 如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times n$ 对称幂等秩矩阵 $r$ 然后 $\mathbf{A}=\mathbf{P P}^{\prime}$ 在哪里 $\mathbf{P}$ 是一个 $n \times r$ 列是特征向量的矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $r$ 特征值等于 1 。
证明: 让A豆 $n \times n$ 对称幕等秩矩阵 $r$. 按定理 $1.1 .3$
在哪里 $\mathbf{R}=[\mathbf{P} \mid \mathbf{Q}]$ 是个 $n \times n$ 的特征向量矩阵 $\mathbf{A}, \mathbf{P}$ 是个 $n \times r$ 矩阵 $r$ 列是与 $r$ 特征值 1 和 $\mathbf{Q}$ 是个 $n \times(n-r)$ 与相关联的特征向量矩阵 $(n-r)$ 特征值 0 。所以，
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{P} & \mathbf{Q}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
\mathbf{I}r & 0 & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \mathbf{P}^{\prime} \ \mathbf{Q}^{\prime} \end{array}\right]=\mathbf{P P}^{\prime} . $$ 此外， $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}=\mathbf{I}_r$ 因为 $\mathbf{P}$ 是一个 $n \times r$ 正交特征向量矩阵。如果 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A X}$ 是一个二次形式 $n \times 1$ 向量 $\mathbf{X}$ 和 $n \times n$ 对称矩阵 $\mathbf{A}$ ，然后 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}$ 是一个二次形式，由 $n$ 维向量。以下示例使用定理1.1.10证明如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times n$ 对称幂等秩矩阵 $r \leq n$ 然后是二次形式 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}$ 可以重写为由 $r$ 维向量。示例 1.1.14 让 $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}$ 是一个二次形式 $n \times 1$ 向量 $\mathbf{X}$ 和 $n \times n$ 对称的幂等矩阵 $\mathbf{A}$ 等级 $r \leq n$. 根据定理 1.1.10， $\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{P P}^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{Z}$ 在哪里 $\mathbf{P}$ 是一个 $n \times r$ 的特征向量矩阵 $\mathbf{A}$ 与特征值 1 和 $\mathbf{Z}=\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{X}{\text {是一个 }} \times 1$ 向量。对于更具体的示例，请注意 $\mathbf{X}^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) \mathbf{X}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{P}_n \mathbf{P}_n^{\prime} \mathbf{X}=\mathbf{Z}^{\prime} \mathbf{Z}$ 在哪里 $\mathbf{P}_n^{\prime}$ 是个 $(n-1) \times n$ 的下部 $n$ 维 Helmert 矩阵和 $\mathbf{Z}=\mathbf{P}_n^{\prime} \mathbf{X}$ 是一个 $(n-1) \times 1$ 向量。

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Kronecker 产品将在本文中广泛使用。在本节中，定义了克罗内克乘积运算，并列出了许多相关的定理，但没有证明。
定义 1.2.1 克罗内克积: 如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $r \times s$ 矩阵与 $i j^{\text {th }}$ 元素 $a_{i j}$ 为了i $i, \ldots, r$ 和 $j=1, \ldots, s$ ，和 $\mathbf{B}$ 是任何 $t \times v$ 矩阵，然后是克罗内克积 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ ，表示为 $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ ，是个 $r t \times s v$ 每个相乘形成的矩阵 $a_{i j}$ 整个矩阵的元素 $\mathbf{B}$. 那是，
定理 1.2.1 令 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是任何矩阵。然后 $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{\prime}=\mathbf{A}^{\prime} \otimes \mathbf{B}^{\prime}$.
示例 1.2.1 $\left[\mathbf{1}_a \otimes(2,1,4)\right]^{\prime}=\mathbf{1}_a^{\prime} \otimes(2,1,4)^{\prime}$.
定理 1.2.2 让 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，和 $\mathbf{C}$ 是任何矩阵并让 $a$ 是一个标量。然后
$a \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} \otimes \mathbf{C}=a(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \otimes \mathbf{C}=\mathbf{A} \otimes(a \mathbf{B} \otimes \mathbf{C})$.
示例 1.2.2 $\frac{1}{a} \mathbf{J}_a \otimes \mathbf{J}_b \otimes \mathbf{J}_c=\frac{1}{a}\left[\left(\mathbf{J}_a \otimes \mathbf{J}_b\right) \otimes \mathbf{J}_c\right]=\mathbf{J}_a \otimes\left(\frac{1}{a} \mathbf{J}_b \otimes \mathbf{J}_c\right)$.
定理 1.2.3 让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是任何方阵。然后 $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})=[\operatorname{tr}(\mathbf{A})][\operatorname{tr}(\mathbf{B})]$
示例 1.2.3tr $\left[\left(\mathbf{I}_a-\frac{1}{a} \mathbf{J}_a\right) \otimes\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)\right]=\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}_a-\frac{1}{a} \mathbf{J}_a\right)\right] \operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)\right]=(a-1)(n-1)$
定理 1.2.4 让 $\mathbf{A}$ 豆 $r \times s$ 矩阵， $\mathbf{B}$ 做一个 $t \times u$ 矩阵， $\mathbf{C}$ 豆 $s \times v$ 矩阵，和 $\mathbf{D}$ 做一个 $u \times w$ 矩阵。然后 $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D})=\mathbf{A} \mathbf{C} \otimes \mathbf{B D}$.

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|MAST30025

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|ELEMENTARY MATRIX CONCEPTS

The following list of definitions provides a brief summary of some useful matrix operations.

Definition 1.1.1 Matrix: An $r \times s$ matrix $\mathbf{A}$ is a rectangular array of elements with $r$ rows and $s$ columns. An $r \times 1$ vector $\mathbf{Y}$ is a matrix with $r$ rows and 1 column. Matrix elements are restricted to real numbers throughout the text.

Definition 1.1.2 Transpose: If $\mathbf{A}$ is an $n \times s$ matrix, then the transpose of $\mathbf{A}$, denoted by $\mathbf{A}^{\prime}$, is an $s \times n$ matrix formed by interchanging the rows and columns of $\mathbf{A}$.

Definition 1.1.3 Identity Matrix, Matrix of Ones and Zeros: $\mathbf{I}n$ represents an $n \times n$ identity matrix, $\mathbf{J}_n$ is an $n \times n$ matrix of ones, $\mathbf{1}_n$ is an $n \times 1$ vector of ones, and $\mathbf{0}{m \times n}$ is an $m \times n$ matrix of zeros.

Definition 1.1.4 Multiplication of Matrices: Let $a_{i j}$ represent the $i j^{\text {th }}$ element of an $r \times s$ matrix $\mathbf{A}$ with $i=1, \ldots, r$ rows and $j=1, \ldots, s$ columns. Likewise, let $b_{j k}$ represent the $j k^{\text {th }}$ element of an $s \times t$ matrix $\mathbf{B}$ with $j=1, \ldots, s$ rows and $k=1, \ldots, t$ columns. The matrix multiplication of $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ is represented by $\mathbf{A B}=\mathbf{C}$ where $\mathbf{C}$ is an $r \times t$ matrix whose $i k^{\text {th }}$ element $c_{i k}=\sum_{j=1}^s a_{i j} b_{j k}$. If the $r \times s$ matrix $\mathbf{A}$ is multiplied by a scalar $d$, then the resulting $r \times s$ matrix $d \mathbf{A}$ has $i j^{\text {th }}$ element $d a_{i j}$.
Example 1.1.1 The following matrix multiplications commonly occur.
$$
\begin{aligned}
\mathbf{1}n^{\prime} \mathbf{1}_n &=n \ \mathbf{1}_n \mathbf{1}_n^{\prime} &=\mathbf{J}_n \ \mathbf{J}_n \mathbf{J}_n &=n \mathbf{J}_n \ \mathbf{1}_n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) &=\mathbf{0}{1 \times n} \
\mathbf{J}n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) &=\mathbf{0}{n \times n} \
\left(\mathbf{I}n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) &=\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) . \end{aligned} $$ Definition 1.1.5 Addition of Matrices: The sum of two $r \times s$ matrices $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ is represented by $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}$ where $\mathbf{C}$ is the $r \times s$ matrix whose $i j^{\text {th }}$ element $c{i j}=a_{i j}+b_{i j}$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Linear Algebra

It is assumed that the reader is familiar with the definition of the determinant of a square matrix. Therefore, a rigorous definition is omitted. The next definition actually provides the notation used for a determinant.

Definition 1.1.10 Determinant of a Square Matrix: Let $\operatorname{det}(\mathbf{A})=|\mathbf{A}|$ denote the determinant of an $n \times n$ matrix $\mathbf{A}$. Note $\operatorname{det}(\mathbf{A})=0$ if $\mathbf{A}$ is singular.

Definition 1.1.11 Symmetric Matrix: An $n \times n$ matrix $\mathbf{A}$ is symmetric if $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}$.
Definition 1.1.12 Linear Dependence and the Rank of a Matrix: Let A be an $n \times s$ matrix $(s \leq n)$ where $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ represent the $s n \times 1$ column vectors of $\mathbf{A}$. The $s$ vectors $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ are linearly dependent provided there exists $s$ elements $k_1, \ldots, k_s$, not all zero, such that $k_1 \mathbf{a}_1+\cdots+k_s \mathbf{a}_s=0$. Otherwise, the $s$ vectors are linearly independent. Furthermore, if there are exactly $r \leq s$ vectors of the set $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ which are linearly independent, while the remaining $s-r$ can be expressed as a linear combination of these $r$ vectors, then the rank of $\mathbf{A}$, denoted by rank (A), is $r$.

The following list shows the results of the preceding definitions and are stated without proof:
Result 1.1: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ each be $n \times n$ nonsingular matrices. Then $(\mathbf{A B})^{-1}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$.
Result 1.2: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be any two matrices such that $\mathbf{A B}$ is defined. Then $(\mathbf{A B})^{\prime}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}$.
Result 1.3: Let $\mathbf{A}$ be any matrix. The $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$ and $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}$ are symmetric.
Result 1.4: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ each be $n \times n$ matrices. Then $\operatorname{det}(\mathbf{A B})=$ [det(A)][det(B)].
Result 1.5: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be $m \times n$ and $n \times m$ matrices, respectively. Then $\operatorname{tr}(\mathbf{A B})=\operatorname{tr}(\mathbf{B A})$

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|ELEMENTARY MATRIX CONCEPTS

下面的定义列表提供了一些有用的矩阵运算的简要总结。
定义 1.1.1 矩阵: 一个 $r \times s$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 是一个矩形的元素数组 $r$ 行和 $s$ 列。一个 $r \times 1$ 向量 $\mathbf{Y}$ 是一个矩阵 $r$ 行和 1 列。整篇文章中，矩阵元素仅限于实数。
定义 1.1.2 转置: 如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times s$ 矩阵，然后转置 $\mathbf{A}$ ，表示为 $\mathbf{A}^{\prime}$ ，是一个 $s \times n$ 矩阵的行和列互换形成的矩阵 $\mathbf{A}$.
定义 $1.1 .3$ 单位矩阵， 1 和 0 矩阵: $\mathbf{I} n$ 代表一个 $n \times n$ 单位矩阵， $\mathbf{J}n$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵， $\mathbf{1}_n$ 是一个 $n \times 1$ 个向量，和 $\mathbf{0} m \times n$ 是一个 $m \times n$ 零矩阵。定义 $1.1 .4$ 矩阵乘法: 让 $a{i j}$ 代表 $i j^{\text {th }}$ 一个元素 $r \times s$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $i=1, \ldots, r$ 行和 $j=1, \ldots, s$ 列。同样，让 $b_{j k}$ 代表 $j k^{\text {th }}$ 一个元素 $s \times t$ 矩阵 $\mathbf{B}$ 和 $j=1, \ldots, s$ 行和 $k=1, \ldots, t$ 列。的矩阵乘法 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 表示为 $\mathbf{A B}=\mathbf{C}$ 在哪里 $\mathbf{C}$ 是一个 $r \times t$ 矩阵 $i k^{\text {th }}$ 元素 $c_{i k}=\sum_{j=1}^s a_{i j} b_{j k}$. 如果 $r \times s$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 乘以一个标量 $d$ 那么结果 $r \times s$ 矩阵 $d \mathbf{A}$ 有 $i j^{\text {th }}$ 元素 $d a_{i j}$.
示例 $1.1 .1$ 通常会出现以下矩阵乘法。
$$
\mathbf{1}^{\prime} \mathbf{1}n=n \mathbf{1}_n \mathbf{1}_n^{\prime} \quad=\mathbf{J}_n \mathbf{J}_n \mathbf{J}_n=n \mathbf{J}_n \mathbf{1}_n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) \quad=\mathbf{0} 1 \times n \mathbf{J} n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)=\mathbf{0} n \times n $$ 定义 1.1.5 矩阵相加: 两个之和 $r \times s$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 表示为 $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}$ 在哪里 $\mathbf{C}$ 是个 $r \times s s^{\text {矩阵 } i j^{\text {th }}}$ 元素 $c i j=a{i j}+b_{i j}$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Linear Algebra

假设读者熟乎方阵行列式的定义。因此，省略了严格的定义。下一个定义实际上提供了用于行列式的符号。
定义 1.1.10 方阵的行列式: 让 $\operatorname{det}(\mathbf{A})=|\mathbf{A}|$ 表示一个的行列式 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$. 笔记det $(\mathbf{A})=0$ 如果 $\mathbf{A}$ 是单数。
定义 1.1.11 对称矩阵: 一个 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 是对称的，如果 $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}$.
定义 1.1.12 线性相关和矩阵的秩: 设 A 为 $n \times s$ 矩阵 $(s \leq n)$ 在哪里 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ 代表 $s n \times 1$ 的列向量 $\mathbf{A}$. 这 $s$ 矢量图 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ 如果存在，则线性相关 $s$ 元素 $k_1, \ldots, k_s$ ，并非全为零，这样 $k_1 \mathbf{a}_1+\cdots+k_s \mathbf{a}_s=0$. 否则，该 $s$ 向量是线性无关的。此外，如果有确切的 $r \leq s$ 集合的向量 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ 它们是线性独立的，而其余的 $s-r$ 可以表示为这些的线性组合 $r$ 向量，然后的秩 $\mathbf{A}$ ，用等级 (A) 表示，是 $r$.
下面的列表显示了前面定义的结果，并且没有证明:
结果 1.1：让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 每个都是 $n \times n$ 非奇异矩阵。然后 $(\mathbf{A B})^{-1}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$.
结果 1.2：让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是任意两个矩阵，使得 $\mathbf{A} \mathbf{B}$ 被定义为。然后 $(\mathbf{A B})^{\prime}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}$.
结果 1.3: 让 $\mathbf{A}$ 是任何矩阵。这 $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}$ 是对称的。
结果 1.4：让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 每个都是 $n \times n$ 矩阵。然后 $\operatorname{det}(\mathbf{A B})=[$ 它(A)] $[$ 它(B)]。
结果 1.5：容易 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是 $m \times n$ 和 $n \times m$ 矩阵，分别。然后 $\operatorname{tr}(\mathbf{A B})=\operatorname{tr}(\mathbf{B} \mathbf{A})$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT7608

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT7608

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Multivariate Normal Distribution

In the following examples mean vectors and covariance matrices are derived for a few common problems.

Example 2.1.3 Let $Y_1, \ldots, Y_n$ be independent, identically distributed $\mathrm{N}_1\left(\alpha, \sigma^2\right)$ random variables. By Theorem 2.1.4 $\operatorname{cov}\left(Y_i, Y_j\right)=0$ for $i \neq j$. Furthermore, $\mathrm{E}\left(Y_i\right)=\alpha$ and the $\operatorname{var}\left(Y_i\right)=\sigma^2$ for all $i=1, \ldots, n$. Therefore, the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime} \sim \mathrm{N}_n\left(\alpha \mathbf{1}_n, \sigma^2 \mathbf{I}_n\right)$.

Example 2.1.4 Consider the one-way classification described in Example 1.2.10. Let $Y_{i j}$ be a random variable representing the $j^{\text {th }}$ replicate observation in the $i^{\text {th }}$ level of the fixed factor for $i=1, \ldots, t$ and $j=1, \ldots, r$. Let the $\operatorname{tr} \times 1$ random vector $\left.\mathbf{Y}=Y_{11}, \ldots, Y_{1 r}, \ldots, Y_{t 1}, \ldots, Y_{t r}\right)^{\prime}$ where the $Y_{i j}$ ‘s are assumed to be independent, normally distributed random variables with $\mathrm{E}\left(Y_{i j}\right)=\mu_i$ and $\operatorname{var}\left(Y_{i j}\right)=\sigma^2$. This experiment can be characterized with the model
$$
Y_{i j}=\mu_i+R(T){(i) j} $$ where the $R(T){(i) j}$ are independent, identically distributed normal random variables with mean 0 and variance $\sigma^2$. The letter $R$ signifies replicates and the letter $T$ signifies the fixed factor or fixed treatments. Therefore, $R(T)$ represents the effect of the random replicates nested in the fixed treatment levels. The parentheses around $T$ identify the nesting. By Theorems $2.1 .2$ and 2.1.4, $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N}{t r}(\mu, \Sigma)$ where the $\operatorname{tr} \times 1$ mean vector $\mu$ is given by $$ \begin{aligned} \boldsymbol{\mu} &=\left[\mathrm{E}\left(Y{11}\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_{1 r}\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_{t 1}\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_{t r}\right)\right]^{\prime} \
&=\left[\mu_1, \ldots, \mu_1, \ldots, \mu_t, \ldots, \mu_t\right]^{\prime} \
&=\left[\mu_1 \mathbf{1}r^{\prime}, \ldots, \mu_t \mathbf{1}_r^{\prime}\right]^{\prime} \ &=\left(\mu_1, \ldots, \mu_t\right)^{\prime} \otimes \mathbf{1}_r \end{aligned} $$ and using Definition 1.3.3 the elements of the $\operatorname{tr} \times \operatorname{tr}$ covariance matrix $\boldsymbol{\Sigma}$ are $$ \begin{aligned} \operatorname{cov}\left(Y{i j}, Y_{i^{\prime} j^{\prime}}\right) &=\mathrm{E}\left[\left(Y_{i j}-\mathrm{E}\left(Y_{i j}\right)\right)\left(Y_{i^{\prime} j^{\prime}}-\mathrm{E}\left(Y_{i^{\prime} j^{\prime}}\right)\right)\right] \
&=\mathrm{E}\left[\left(\mu_i+R(T){(i) j}-\mu_i\right)\left(\mu{i^{\prime}}+R(T){\left(i^{\prime}\right) j^{\prime}}-\mu{i^{\prime}}\right)\right] \
&=\mathrm{E}\left[R(T){(i) j} R(T){\left(i^{\prime}\right) j^{\prime}}\right] \
&= \begin{cases}\sigma^2 & \text { if } i=i^{\prime} \text { and } j=j^{\prime} \
0 & \text { otherwise. }\end{cases}
\end{aligned}
$$
That is, $\boldsymbol{\Sigma}=\sigma^2 \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{I}_r$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|QUADRATIC FORMS OF NORMAL RANDOM VECTORS

A chi-square random variable with $n$ degrees of freedom and the noncentrality parameter $\lambda$ will be designated by $\chi_n^2(\lambda)$. Therefore, a central chi-square random variable with $n$ degrees of freedom is denoted by $\chi_n^2(\lambda=0)$ or $\chi_n^2(0)$.

Theorem 3.1.1 Let the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y} \sim \mathbf{N}_n\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_n\right)$ then $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y} \sim$ $\chi_p^2(\lambda=0)$ if and only if $\mathbf{A}$ is an $n \times n$ idempotent matrix of rank $p$.

Proof: First assume $\mathbf{A}$ is an $n \times n$ idempotent matrix of rank $p$. By Theorem 1.1.10, $\mathbf{A}=\mathbf{P P}^{\prime}$ where $\mathbf{P}$ is an $n \times p$ matrix of eigenvectors with $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}=\mathbf{I}_p$. Let the $p \times 1$ random vector $\mathbf{X}=\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{Y}$. By Theorem $2.1 .2$ with $p \times n$ matrix $\mathbf{B}=\mathbf{P}^{\prime}$ and $p \times 1$ vector $\mathbf{b}=\mathbf{0}{p \times 1}, \mathbf{X}=\left(X_1, \ldots, X_p\right)^{\prime} \sim \mathbf{N}_p\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$. Therefore, by Example 1.3.2, $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{P P}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\sum{i=1}^p X_i^2 \sim \chi_p^2(\lambda=0)$. Next assume that $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y} \sim \chi_p^2(\lambda=0)$. Therefore, the moment generating function of $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y}$ is $(1-2 t)^{-p / 2}$. But the moment generating function of $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}$ is also defined as
$$
\begin{aligned}
m_{\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}}(t) &=\mathrm{E}\left[e^{t \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}}\right] \
&=\int \cdots \int(2 \pi)^{-n / 2} e^{\left[t y^{\prime} \mathbf{A}-\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y} / 2\right]} d y_1 \ldots d y_n \
&=\int \cdots \int(2 \pi)^{-n / 2} e^{\left[\mathbf{Y}^{\prime}\left(\mathbf{I}n-2 t \mathbf{A}\right) \mathbf{y} / 2\right]} d y_1 \ldots d y_n \ &=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|^{-1 / 2} . \end{aligned} $$ The final equality holds since the last integral equation is the integral of a multivariate normal distribution (without the Jacobian $\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|^{1 / 2}$ ) with mean vector $\mathbf{0}{n \times 1}$ and covariance matrix $\left(\mathbf{I}n-2 t \mathbf{A}\right)^{-1}$. The two forms of the moment generating function must be equal for all $t$ in some neighborhood of zero. Therefore, $$ (1-2 t)^{-p / 2}=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|^{-1 / 2} $$ or $$ (1-2 t)^p=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right| . $$ Let $\mathbf{Q}$ be the $n \times n$ matrix of eigenvectors and $\mathbf{D}$ be the $n \times n$ diagonal matrix of eigenvalues of $\mathbf{A}$ where the eigenvalues are given by $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$. By Theorem 1.1.3, $\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{D}, \mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q}=\mathbf{I}_n$, and $$ \begin{aligned} \left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right| &=\left(\left|\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q}\right|\right)\left(\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|\right) \ &=\left|\mathbf{Q}^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right) \mathbf{Q}\right| \ &=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}\right| \ &\left.=\mid \mathbf{I}_n-2 t \mathbf{D}\right] \ &=\prod{i=1}^n\left(1-2 t \lambda_i\right)
\end{aligned}
$$

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|多元正态分布

在以下示例中，均值向量和协方差矩阵是针对一些常见问题推导出的。
示例 2.1.3 让 $Y_1, \ldots, Y_n$ 独立同分布 $\mathrm{N}1\left(\alpha, \sigma^2\right)$ 随机变量。由定理 2.1.4 $\operatorname{cov}\left(Y_i, Y_j\right)=0$ 为了 $i \neq j$. 此外， $\mathrm{E}\left(Y_i\right)=\alpha$ 和 $\operatorname{var}\left(Y_i\right)=\sigma^2$ 对所有人 $i=1, \ldots, n$. 因此， $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime} \sim \mathrm{N}_n\left(\alpha \mathbf{1}_n, \sigma^2 \mathbf{I}_n\right)$ 示例 2.1.4 考虑示例 $1.2 .10$ 中描述的单向分类。让 $Y{i j}$ 是一个随机变量，代表 ${ }^{\text {th }}$ 重复观察 $i^{\text {th }}$ 固定因子水平 $i=1, \ldots, t$ 和 $j=1, \ldots, r$. 让 $\operatorname{tr} \times 1$ 随机向量 $\left.\mathbf{Y}=Y_{11}, \ldots, Y_{1 r}, \ldots, Y_{t 1}, \ldots, Y_{t r}\right)^{\prime}$ 在哪里 $Y_{i j}$ 被假定为独立的、正态分布的随机变量 $\mathrm{E}\left(Y_{i j}\right)=\mu_i$ 和 $\operatorname{var}\left(Y_{i j}\right)=\sigma^2$. 这个实验可以用模型来表征
$$
Y_{i j}=\mu_i+R(T)(i) j
$$
在哪里 $R(T)(i) j$ 是独立的、同分布的正态随机变量，均值为 0 ，方差为 $\sigma^2$. 信 $R$ 表示复制和字母 $T$ 表示固定因子或固定处理。所以， $R(T)$ 表示嵌套在固定处理水平中的随机重复的效果。周围的括号 $T$ 识别嵌套。按定理 $2.1 .2$ 和 2.1.4， $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N} \operatorname{tr}(\mu, \Sigma)$ 在哪里 $\operatorname{tr} \times 1$ 平均向量 $\mu$ 是 (谁) 给的
$$
\boldsymbol{\mu}=\left[\mathrm{E}(Y 11), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_{1 r}\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_{t 1}\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_{t r}\right)\right]^{\prime} \quad=\left[\mu_1, \ldots, \mu_1, \ldots, \mu_t, \ldots, \mu_t\right]^{\prime}=\left[\mu_1 \mathbf{1} r^{\prime}, \ldots\right.
$$
并使用定义 $1.3 .3$ 的元素 $\operatorname{tr} \times \operatorname{tr}$ 协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是
$$
\operatorname{cov}\left(Y i j, Y_{i^{\prime} j^{\prime}}\right)=\mathrm{E}\left[\left(Y_{i j}-\mathrm{E}\left(Y_{i j}\right)\right)\left(Y_{i^{\prime} j^{\prime}}-\mathrm{E}\left(Y_{i^{\prime} j^{\prime}}\right)\right)\right] \quad=\mathrm{E}\left[( \mu _ { i } + R ( T ) ( i ) j – \mu _ { i } ) \left(\mu i^{\prime}+R(T)\left(i^{\prime}\right)\right.\right.
$$
那是， $\boldsymbol{\Sigma}=\sigma^2 \mathbf{I}_t \otimes \mathbf{I}_r$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|法向随机向量的二次型

一个卡方随机变量 $n$ 自由度和非中心性参数 $\lambda$ 将被指定 $\chi_n^2(\lambda)$. 因此，中心卡方随机变量 $n$ 自由度表示为 $\chi_n^2(\lambda=0)$ 或者 $\chi_n^2(0)$
定理 3.1.1 让 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y} \sim \mathbf{N}n\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_n\right)$ 然后 $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y} \sim \chi_p^2(\lambda=0)$ 当且仅当 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times n$ 幂等秩矩阵 $p$ 证明: 首先假设 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times n$ 幂等秩矩阵 $p$. 根据定理 1.1.10， $\mathbf{A}=\mathbf{P P}^{\prime}$ 在哪里 $\mathbf{P}$ 是一个 $n \times p$ 特征向量矩阵 $\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}=\mathbf{I}_p$. 让 $p \times 1$ 随机向量 $\mathbf{X}=\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{Y}$. 按定理 $2.1 .2$ 和 $p \times n$ 矩阵 $\mathbf{B}=\mathbf{P}^{\prime}$ 和 $p \times 1$ 向量 $\mathbf{b}=\mathbf{0} p \times 1, \mathbf{X}=\left(X_1, \ldots, X_p\right)^{\prime} \sim \mathbf{N}_p\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$. 因此，通过示例 1.3.2， $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y}=\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{P} \mathbf{P}^{\prime} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\sum i=1^p X_i^2 \sim \chi_p^2(\lambda=0)$. 接下来假设 $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y} \sim \chi_p^2(\lambda=0)$. 因此，矩生成函数为 $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y}$ 是 $(1-2 t)^{-p / 2}$. 但矩生成函数为 $\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Y}$ 也被定义为 $$ m{\mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}}(t)=\mathrm{E}\left[e^{t \mathbf{Y}^{\prime} \mathbf{A Y}}\right] \quad=\int \cdots \int(2 \pi)^{-n / 2} e^{\left[t y^{\prime} \mathbf{A}-\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y} / 2\right]} d y_1 \ldots d y_n=\int \cdots \int(2 \pi)^{-n / 2} e^{\left[\mathbf { Y } ^ { \prime } \left(\mathbf{I} n-2 t\right.}
$$
最后的等式成立，因为最后一个积分方程是多元正态分布的积分（没有雅可比 $\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|^{1 / 2}$ ) 与平均向量 $0 n \times 1$ 和协方差矩阵 $(\mathbf{I} n-2 t \mathbf{A})^{-1}$. 矩生成函数的两种形式必须对所有 $t$ 在某个零附近。所以，
$$
(1-2 t)^{-p / 2}=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|^{-1 / 2}
$$
或者
$$
(1-2 t)^p=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right| .
$$
让 $\mathbf{Q}$ 成为 $n \times n$ 特征向量矩阵和 $\mathbf{D}$ 成为 $n \times n$ 的特征值的对角矩阵 $\mathbf{A}$ 其中特征值由下式给出 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$. 根据定理 1.1.3， $\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}=\mathbf{D}, \mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q}=\mathbf{I}_n$ ，和
$$
\left.\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|=\left(\left|\mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{Q}\right|\right)\left(\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right|\right) \quad=\left|\mathbf{Q}^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{A}\right) \mathbf{Q}\right|=\left|\mathbf{I}_n-2 t \mathbf{Q}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{Q}\right| \quad=\mid \mathbf{I}_n-2 t \mathbf{D}\right]
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT6175

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|RANDOM VECTORS

The following theorem provides the covariance matrix of linear transformations of a random vector.

Theorem 1.3.1 If $\mathbf{B}$ is an $m \times n$ matrix of constants, $\mathbf{Y}$ is an $n \times 1$ random vector, and $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ is the $n \times n$ covariance matrix of $\mathbf{Y}$, then the $m \times 1$ random vector BY has an $m \times m$ covariance matrix given by $\mathbf{B}[\operatorname{cov}(\mathbf{Y})] \mathbf{B}^{\prime}$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|MULTIVARIATE NORMAL DISTRIBUTION FUNCTION

for $i=1, \ldots, n$. Let the $n \times 1$ vector $\mathbf{Y}=\mathbf{G Z}+\boldsymbol{\mu}$ where $\mathbf{G}$ is an $n \times n$ nonsingular matrix and $\mu$ is an $n \times 1$ vector. The joint distribution of the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}$ is
$$
f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})=|\mathbf{\Sigma}|^{-1 / 2}(2 \pi)^{-n / 2} e^{-\left{(\mathbf{y}-\mu)^{\prime} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{y}-\mu)\right) / 2} .
$$
where $\boldsymbol{\Sigma}=\mathbf{G G}^{\prime}$ is an $n \times n$ positive definite matrix and the Jacobian for the transformation $\mathbf{Z}=\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{Y}-\mu)$ is $\left|\mathbf{G G}^{\prime}\right|^{-1 / 2}=|\mathbf{\Sigma}|^{-1 / 2}$.

The function $f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})$ is the multivariate normal distribution of an $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y}$ with $n \times 1$ mean vector $\mu$ and $n \times n$ positive definite covariance matrix $\boldsymbol{\Sigma}$. The following notation will be used to represent this distribution: the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N}_n(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$.

The moment generating function of an $n$-dimensional multivariate normal random vector is provided in the next theorem.

Theorem 2.1.1 Let the $n \times 1$ random vector $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N}n(\mu, \boldsymbol{\Sigma})$. The $M G F$ of $\mathbf{Y}$ is $$ m{\mathbf{Y}}(\mathbf{t})=e^{\mathbf{t}^{\mathbf{t} \mu+t} \Sigma \mathbf{t} / 2}
$$
where the $n \times 1$ vector $\mathbf{t}=\left(t_1, \ldots, t_n\right)^{\prime}$ for $-h0$, and $i=1, \ldots, n$.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|随机向量

让 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 在哪里 $Y_i$ 是一个随机变量 $i=1, \ldots, n$. 向量 $\mathbf{Y}$ 是一个随机实体。所以，Y有期望；的每个元素 $\mathbf{Y}$ 有方差；和任意两个元素 $\mathbf{Y}$ 有一个协方差（假设存在期望、方差和协方差）。以下定义和定理描述了随机向量的结构。
定义 1.3.1 联合概率分布: $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 等于联合概率分布 $Y_1, \ldots, Y_n$. 表示分布 $\mathbf{Y}$ 经过 $f_{\mathbf{Y}}(y)-f_{\mathbf{Y}}\left(y_1, \ldots, y_n\right)$.
定义 1.3.2 随机向量的期望值: $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 是 (谁) 给的 $\mathrm{E}(\mathbf{Y})=\left[\mathrm{E}\left(Y_1\right), \ldots, \mathrm{E}\left(Y_n\right)\right]^{\prime}$
定义 1.3.3 随机向量的协方差矩阵 $\mathbf{Y}:$ 这 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}=\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)^{\prime}$ 有 $n \times n$ 协方差矩阵由下式给出
这 $i j^{\text {th }}$ 的元素 $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ 等于 $i, j=1, \ldots, n$.
定义 $1.3 .4$ 随机向量的线性变换Y: 如果 $\mathbf{B}$ 是一个 $m \times n$ 常数矩阵和 $\mathbf{Y}$ 是一个 $n \times 1$ 随机向量，则 $m \times 1$ 随机向量 BY 表示 $m$ 的线性变换 $\mathbf{Y}$.
以下定理提供了随机向量的线性变换的协方差矩阵。
定理 1.3.1 如果 $\mathbf{B}$ 是一个 $m \times n$ 常数矩阵， $\mathbf{Y}$ 是一个 $n \times 1$ 随机向量，和 $\operatorname{cov}(\mathbf{Y})$ 是个 $n \times n$ 的协方差矩阵 $\mathbf{Y}$ ，那么 $m \times 1$ 随机向量 BY 有一个 $m \times m$ 协方差矩阵由下式给出 $\mathbf{B}[\operatorname{cov}(\mathbf{Y})] \mathbf{B}^{\prime}$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|多元正态分布函数

让 $Z_1, \ldots, Z_n$ 是独立的，同分布的正态随机变量，均值为 0 方差为 1 。边际分布 $Z_i$ 是
$$
f_{Z_i}\left(z_i\right)=(2 \pi)^{-1 / 2} e^{-z_i^2 / 2} \quad-\infty<z_i<\infty
$$
为了 $i=1, \ldots, n$. 由于 $Z_i$ 是独立的随机变量，联合概率分布 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Z}=\left(Z_1, \ldots, Z_n\right)^{\prime}$ 是
$$
f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})=(2 \pi)^{-n / 2} e^{-\sum_{i=1}^n z_i^2 / 2} \quad=(2 \pi)^{-n / 2} e^{-\mathbf{Z}^{\prime} / 2} \quad-\infty<z_i<\infty
$$
为了 $i=1, \ldots, n$. 让 $n \times 1$ 向量 $\mathbf{Y}=\mathbf{G Z}+\boldsymbol{\mu}$ 在哪里 $\mathbf{G}$ 是一个 $n \times n$ 非奇异矩阵和 $\mu$ 是一个 $n \times 1$ 向量。联合分布 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}$ 是 $\$ \$$
$f_{-}{\backslash m a t h b f{Y}}(\backslash \operatorname{mathbf}{y})=\mid \backslash$ mathbf $\left.{\backslash$ Sigma $}\right|^{\wedge}{-1 / 2}(2 \backslash \text { pi })^{\wedge}{-\mathrm{n} / 2}$ e $\wedge\left{-\backslash \operatorname{left}\left{(\backslash m a t h b f{y}-\backslash \mathrm{mu})^{\wedge}{\backslash\right.\right.$ prime $}$ $\backslash$ Imathbf{\sigma}$\wedge{-1}(\backslash \operatorname{mathbf}{y}-\backslash \mathrm{mu}) \backslash \backslash i g h t) / 2}$ 。
$\$ \$$
在挪里 $\boldsymbol{\Sigma}=\mathbf{G G}^{\prime}$ 是一个 $n \times n$ 正定矩阵和用于变换的雅可比行列式 $\mathbf{Z}=\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{Y}-\mu)$ 是 $\left|\mathbf{G} \mathbf{G}^{\prime}\right|^{-1 / 2}=|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1 / 2}$.
功能 $f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})$ 是一个多元正态分布 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y}$ 和 $n \times 1$ 平均向量 $\mu$ 和 $n \times n$ 正定协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$. 以下符号将用于表示此分布: $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y} \sim \mathbf{N}_n(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$.
的矩生成函数 $n$ 维多元正态随机向量在下一个定理中提供。
定理 2.1.1 让 $n \times 1$ 随机向量 $\mathbf{Y} \sim \mathrm{N} n(\mu, \boldsymbol{\Sigma})$. 这 $M G F$ 的 $\mathbf{Y}$ 是
$$
m \mathbf{Y}(\mathbf{t})=e^{\mathbf{t}^{\mathbf{t} \mu+t} \Sigma \mathbf{t} / 2}
$$
在哪里 $n \times 1$ 向量 $\mathbf{t}=\left(t_1, \ldots, t_n\right)^{\prime}$ 为了 $-h 0$ ，和 $i=1, \ldots, n$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|MAST30025

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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|ELEMENTARY MATRIX CONCEPTS

The following list of definitions provides a brief summary of some useful matrix operations.

Definition 1.1.1 Matrix: An $r \times s$ matrix $A$ is a rectangular array of elements with $r$ rows and $s$ columns. An $r \times 1$ vector $\mathbf{Y}$ is a matrix with $r$ rows and 1 column. Matrix elements are restricted to real numbers throughout the text.

Definition 1.1.3 Identity Matrix, Matrix of Ones and Zeros: $\mathbf{I}n$ represents an $n \times n$ identity matrix, $J_n$ is an $n \times n$ matrix of ones, $\mathbf{1}_n$ is an $n \times 1$ vector of ones, and $0{m \times n}$ is an $m \times n$ matrix of zeros.

Definition 1.1.4 Multiplication of Matrices: Let $a_{i j}$ represent the $i j^{\text {th }}$ element of an $r \times s$ matrix A with $i=1, \ldots, r$ rows and $j=1, \ldots, s$ columns. Likewise, let $b_{j k}$ represent the $j k^{\text {th }}$ element of an $s \times t$ matrix $\mathbf{B}$ with $j=1, \ldots, s$ rows and $k=1, \ldots, t$ columns. The matrix multiplication of $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ is represented by $\mathbf{A B}=\mathbf{C}$ where $\mathbf{C}$ is an $r \times t$ matrix whose $i k^{\text {th }}$ element $c_{i k}=\sum_{j=1}^s a_{i j} b_{j k}$. If the $r \times s$ matrix $\mathbf{A}$ is multiplied by a scalar $d$, then the resulting $r \times s$ matrix $d \mathbf{A}$ has $i j^{\text {th }}$ element $d a_{i j}$.
Example 1.1.1 The following matrix multiplications commonly occur.
$$
\begin{aligned}
\mathbf{1}n^{\prime} \mathbf{1}_n &=n \ \mathbf{1}_n \mathbf{1}_n^{\prime} &=\mathbf{J}_n \ \mathbf{J}_n \mathbf{J}_n &=n \mathbf{J}_n \ \mathbf{1}_n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) &=\mathbf{0}{1 \times n} \
\mathbf{J}n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) &=\mathbf{0}{n \times n} \
\left(\mathbf{I}n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) &=\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) . \end{aligned} $$ Definition 1.1.5 Addition of Matrices: The sum of two $r \times s$ matrices $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ is represented by $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}$ where $\mathbf{C}$ is the $r \times s$ matrix whose $i j^{\text {th }}$ element $c{i j}=a_{i j}+b_{i j}$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Linear Algebra

Definition 1.1.11 Symmetric Matrix: An $n \times n$ matrix $\mathbf{A}$ is symmetric if $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}$.
Definition 1.1.12 Linear Dependence and the Rank of a Matrix: Let $\mathbf{A}$ be an $n \times s$ matrix $(s \leq n)$ where $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ represent the $s n \times 1$ column vectors of $\mathbf{A}$. The $s$ vectors $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ are linearly dependent provided there exists $s$ elements $k_1, \ldots, k_s$, not all zero, such that $k_1 \mathbf{a}_1+\cdots+k_s \mathbf{a}_s=0$. Otherwise, the $s$ vectors are linearly independent. Furthermore, if there are exactly $r \leq s$ vectors of the set $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ which are linearly independent, while the remaining $s-r$ can be expressed as a linear combination of these $r$ vectors, then the rank of $\mathbf{A}$, denoted by rank (A), is $r$.

The following list shows the results of the preceding definitions and are stated without proof:
Result 1.1: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ each be $n \times n$ nonsingular matrices. Then $(\mathbf{A B})^{-1}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$.
Result 1.2: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be any two matrices such that $\mathbf{A B}$ is defined. Then $(\mathbf{A B})^{\prime}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}$.
Result 1.3: Let $\mathbf{A}$ be any matrix. The $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$ and $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}$ are symmetric.
Result 1.4: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ each be $n \times n$ matrices. Then $\operatorname{det}(\mathbf{A B})=$ $[\operatorname{det}(\mathbf{A})][\operatorname{det}(\mathbf{B})]$.
Result 1.5: Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be $m \times n$ and $n \times m$ matrices, respectively. Then $\operatorname{tr}(\mathbf{A B})=\operatorname{tr}(\mathbf{B A})$
Quadratic forms play a key role in linear model theory. The following definitions introduce quadratic forms.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|基本矩阵概念

下面的定义列表提供了一些有用的矩阵运算的简要总结。
定义 1.1.1 矩阵: 一个 $r \times s$ 矩阵 $A$ 是一个矩形的元素数组 $r$ 行和 $s$ 列。一个 $r \times 1$ 向量 $\mathbf{Y}$ 是一个矩阵 $r$ 行和 1 列。整篇文章中，矩阵元素仅限于实数。
定义 1.1.2 转置: 如果 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times s$ 矩阵，然后转置 $\mathbf{A}$ ，表示为 $\mathbf{A}^{\prime}$ ，是一个 $s \times n$ 矩阵的行和列互换形成的矩阵 $\mathbf{A}$.
定义 1.1.3 单位矩阵， 1 和 0 矩阵: $\mathbf{I} n$ 代表一个 $n \times n$ 单位矩阵， $J_n$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵， $\mathbf{1}n$ 是一个 $n \times 1$ 个向量，和 $0 m \times n$ 是一个 $m \times n$ 零矩阵。定义 1.1.4 矩阵乘法: 让 $a{i j}$ 代表 $i j^{\text {th }}$ 一个元素 $r \times s$ 矩阵 A 与 $i=1, \ldots, r$ 行和 $j=1, \ldots, s$ 列。同样，让 $b_{j k}$ 代表 $j k^{\text {th }}$ 一个元素 $s \times t$ 矩阵 $\mathbf{B}$ 和 $j=1, \ldots, s$ 行和 $k=1, \ldots, t$ 列。的矩阵乘法 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 表示为 $\mathbf{A B}=\mathbf{C}$ 在哪里 $\mathbf{C}$ 是一个 $r \times t$ 矩阵 $i k^{\text {th }}$ 元素 $c_{i k}=\sum_{j=1}^s a_{i j} b_{j k}$. 如果 $r \times s$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 乘以一个标量 $d$ ，那么结果 $r \times s$ 矩阵 $d \mathbf{A}$ 有 $i j^{\text {th }}$ 元素 $d a_{i j}$.
示例 1.1.1 通常会出现以下矩阵乘法。
$$
\mathbf{1}^{\prime} \mathbf{1}n=n \mathbf{1}_n \mathbf{1}_n^{\prime} \quad=\mathbf{J}_n \mathbf{J}_n \mathbf{J}_n=n \mathbf{J}_n \mathbf{1}_n^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right) \quad=\mathbf{0} 1 \times n \mathbf{J}^{\prime}\left(\mathbf{I}_n-\frac{1}{n} \mathbf{J}_n\right)=\mathbf{0} n \times n $$ 定义 1.1.5 矩阵相加：两个之和 $r \times s$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 表示为 $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}$ 在哪里 $\mathbf{C}$ 是个 $r \times s$ 矩阵 $j^{\text {th }}$ 元素 $c i j=a{i j}+b_{i j}$.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|线性代数

假设读者熟乎方阵行列式的定义。因此，省略了严格的定义。下一个定义实际上提供了用于行列式的符号。
定义 1.1.10 方阵的行列式: 让䅧 $(\mathbf{A})=|\mathbf{A}|$ 表示一个的行列式 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$. 笔记det $(\mathbf{A})=0$ 如果 $\mathbf{A}$ 是单数。
定义 1.1.11 对称矩阵: 一个 $n \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 是对称的，如果 $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}$.
定义 1.1.12 线性相关和矩阵的秩: 让 $\mathbf{A}$ 豆 $n \times s$ 矩阵 $(s \leq n)$ 在哪里 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ 代表 $s n \times 1$ 的列向量 $\mathbf{A}$. 这 $s$ 矢量图 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ 如果存在，则线性相关 $s$ 元素 $k_1, \ldots, k_s$ ，并非全为零，这样 $k_1 \mathbf{a}_1+\cdots+k_s \mathbf{a}_s=0$. 否则，该 $s$ 向量是线性无关的。此外，如果有确切的 $r \leq s s$ 集合的向量 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_s$ 它们是线性独立的，而其余的 $s-r$ 可以表示为这些的线性组合 $r$ 向量，然后的秩 $\mathbf{A}$ ，用等级 (A) 表示，是 $r$.
下面的列表显示了前面定义的结果，并且没有证明:
结果 1.1: 让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 每个都是 $n \times n$ 非奇异矩阵。然后 $(\mathbf{A B})^{-1}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$.
结果 1.2：让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是任意两个矩阵，使得 $\mathbf{A} \mathbf{B}$ 被定义为。然后 $(\mathbf{A B})^{\prime}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}$.
结果 1.3: 让 $\mathbf{A}$ 是任何矩阵。这 $\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{\prime}$ 是对称的。
结果 1.4：让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 每个都是 $n \times n$ 矩阵。然后 $\operatorname{det}(\mathbf{A B})=[\operatorname{det}(\mathbf{A})][\operatorname{det}(\mathbf{B})]$.
结果 1.5：让 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是 $m \times n$ 和 $n \times m$ 矩阵，分别。然后 $\operatorname{tr}(\mathbf{A B})=\operatorname{tr}(\mathbf{B A})$
二次型在线性模型理论中起着关键作用。以下定义介绍了二次形式。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

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STATA代写	机器学习/统计学习代写
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EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT7608

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Statistical Inference 统计推断
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(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Superiority and non-inferiority

In all the application of the generalized linear mixed models and their related models, we mainly use the statistical analysis system called SAS. In any outputs of SAS programs you can see several $p$-values (two-tailed) for fixedeffects parameters of interest. It should be noted, however, that any $p$-value (two-tailed) for the parameter $\beta_3\left(=\mu_2-\mu_1\right)$ of the primary interest shown in the SAS outputs is implicitly the result of a test for a set of hypotheses
$H_0: \beta_3=0$, versus $H_1: \beta_3 \neq 0$,
which is also called a test for superiority. In more detail, the definition of superiority hypotheses is as follows:

Test for superiority
If a negative $\beta_3$ indicates benefits, the superiority hypotheses are interpreted as
$$
H_0: \beta_3 \geq 0 \text {, versus } H_1: \beta_3<0 \text {. } $$ If a positive $\beta_3$ indicates benefits, then they are $$ H_0: \beta_3 \leq 0 \text {, versus } H_1: \beta_3>0 \text {. }
$$
These hypotheses imply that investigators are interested in establishing whether there is evidence of a statistical difference in the comparison of interest between two treatment groups. However, it is debatable whether the terminology superiority can be used or not in this situation. Although the set of hypotheses defined in (1.16) was adopted as those for superiority tests in regulatory guidelines such as FDA draft guidance (2010), I do not think this is appropriate.

The non-inferiority hypotheses of the new treatment over the control treatment, on the other hand, take the following form:
Test for non-inferiority
If a positive $\beta_3$ indicates benefits, the hypotheses are
$$
H_0: \beta_3 \leq-\Delta \text {, versus } H_1: \beta_3>-\Delta \text {, }
$$
where $\Delta(>0)$ denotes the so-called non-inferiority margin. If a negative $\beta_3$ indicates benefits, the hypotheses should be
$$
H_0: \beta_3 \geq \Delta \text {, versus } H_1: \beta_3<\Delta \text {. }
$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Analysis of variance model

Consider a clinical trial or an animal experiment to evaluate a treatment effect, such as data shown in Table 2.1, where subjects are randomly assigned to one treatment group, and measurements are made at equally spaced times on each subject. Then, the basic design will be the following:

Purpose: Comparison of $G$ treatment groups including the control group.
Trial design: Parallel group randomized controlled trial and suppose that $n_k$ subjects are allocated to treatment group $k(=1,2, \ldots, G), n_1+$ $n_2+\cdots n_G-N$, where the first treatment group $(k-1)$ is defined as the control group.

Repeated Measure Design: Basic 1:T repeated measures design described in Chapter $1 .$

A typical statistical model or analysis of variance model for the basic design will be
$$
\begin{aligned}
\text { Response }=& \text { Grand mean }+\text { Treatment group }+\text { time }+\
&+\text { treatment group } \times \text { time }+\text { error. }
\end{aligned}
$$
However, the prerequisite for the analysis of variance model is the homogeneity assumption for the subject-specific response profile over time within each treatment group so that the mean response profile within each treatment group is meaningful and thus the treatment effect can be evaluated by the difference in mean response profiles. If the subject by time interaction within each treatment group is not negligible, the mean response profile within each group could be inappropriate measures for treatment effect. To deal with this type of heterogeneity, see Chapter $11 .$

In this chapter, we shall use the notation “triply subscripted array”, which is frequently used in analysis of variance models, which is different from the repeated measures design described in Chapter 1 . For the $i$ th subject $\left(i=1, \ldots, n_k\right)$ nested in each treatment group $k$, let $y_{k i j}$ denote the primary response variable at the $j$ th measurement time $t_j$.

广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Superiority and non-inferiority

在广义线性混合模型及其相关模型的所有应用中，我们主要使用称为SAS的统计分析系统。在 SAS 程序的任何输出中，您都可以看到几个 $p$ – 感兴趣的固定效应参数的值 (双尾) 。然而，应该指出的是，任何 $p$ 参数的-value（双尾) $\beta_3\left(=\mu_2-\mu_1\right) \mathrm{SAS}$ 输出中显示的主要兴趣隐含地是一组假设的检验结果 $H_0: \beta_3=0$ ，相对 $H_1: \beta_3 \neq 0$ ，
这也称为优越性测试。更详细地说，优越性假设的定义如下:
测试优越性
如果否定 $\beta_3$ 表示收益，优势假设被解释为
$$
H_0: \beta_3 \geq 0, \text { versus } H_1: \beta_3<0 . $$ 如果一个阳性 $\beta_3$ 表示好处，那么它们是 $$ H_0: \beta_3 \leq 0, \text { versus } H_1: \beta_3>0 .
$$
这些假设意味着研究人员有兴趣确定两个治疗组之间的兴趣比较是否存在统计学差异的证据。然而，在这种情况下是否可以使用术语优越性是有争议的。尽管 (1.16) 中定义的一组假设被采纳为监管指南（如 FDA 指南草案（2010）中的优越性测试的假设），但我认为这不合适。
另一方面，新治疗相对于对照治疗的非劣效性假设采用以下形式
$\beta_3$ 表示收益，假设是
$$
H_0: \beta_3 \leq-\Delta, \text { versus } H_1: \beta_3>-\Delta,
$$
在哪里 $\Delta(>0)$ 表示所谓的非劣效性边际。如果一个否定 $\beta_3$ 表示好处，假设应该是
$$
H_0: \beta_3 \geq \Delta, \text { versus } H_1: \beta_3<\Delta
$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Analysis of variance model

考虑一项临床试验或动物实验来评估治疗效果，例如表 $2.1$ 中显示的数据，其中受试者被随机分配到一个治疗组，并且在每个受试者的等间隔时间进行测量。然后，基本设计如下:

目的: 比较 $G$ 治疗组包括对照组。
试验设计：平行组随机对照试验，假设 $n_k$ 受试者被分配到治疗组 $k(=1,2, \ldots, G), n_1+$ $n_2+\cdots n_G-N$ ，其中第一个治疗组 $(k-1)$ 定义为对照组。
重复测量设计：基本 1:T 重复测量设计在章节中描述 1 .
基本设计的典型统计模型或方差分析模型将是
Response $=$ Grand mean $+$ Treatment group $+$ time $+\quad+$ treatment group $\times$ time $+$ err
然而，方差分析模型的先决条件是每个治疗组内受试者特异性反应曲线随时间的同质性假设，因此每个治疗组内的平均反应曲线是有意义的，因此可以通过差异评估治疗效果在平均响应配置文件中。如果每个治疗组内的受试者时间交互作用不可忽略，则每组内的平均反应曲线可能是治疗效果的不适当测量。要处理这种类型的异质性，请参阅第11.
在本章中，我们将使用方差分析模型中经常使用的符号“三下标数组”，这与第 1 章中描述的重复测量设计不同。为了 $i$ 主题 $\left(i=1, \ldots, n_k\right)$ 嵌套在每个治疗组中 $k$ ，让 $y_{k i j}$ 表示主要响应变量 $j$ 测量时间 $t_j$.

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