分类: 抽象代数作业代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math 417

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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math 417

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|First Principle of Mathematical Induction

So, to use induction to prove that a statement involving positive integers is true for every positive integer, we must first verify that the statement is true for the integer 1 . We then assume the statement is true for the integer $n$ and use this assumption to prove that the statement is true for the integer $n+1$.

Our next example uses some facts about plane geometry. Recall that given a straightedge and compass, we can construct a right angle.

IEXAMPLE 12 We use induction to prove that given a straightedge, a compass, and a unit length, we can construct a line segment of length $\sqrt{n}$ for every positive integer $n$. The case when $n=1$ is given. Now we assume that we can construct a line segment of length $\sqrt{n}$. Then use the straightedge and compass to construct a right triangle with height 1 and base $\sqrt{n}$. The hypotenuse of the triangle has length $\sqrt{n+1}$. So, by induction, we can construct a line segment of length $\sqrt{n}$ for every positive integer $n$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Second Principle of Mathematical Induction

To use this form of induction, we first show that the statement is true for the integer a. We then assume that the statement is true for all integers that are greater than or equal to $a$ and less than $n$, and use this assumption to prove that the statement is true for $n$.

EXAMPLE 14 We will use the Second Principle of Mathematical Induction with $a=2$ to prove the existence portion of the Fundamental Theorem of Arithmetic. Let $S$ be the set of integers greater than 1 that are primes or products of primes. Clearly, $2 \in S$. Now we assume that for some integer $n, S$ contains all integers $k$ with $2 \leq k<n$. We must show that $n \in S$. If $n$ is a prime, then $n \in S$ by definition. If $n$ is not a prime, then $n$ can be written in the form $a b$, where $1<a<n$ and $1<b<n$.

Since we are assuming that both $a$ and $b$ belong to $S$, we know that each of them is a prime or a product of primes. Thus, $n$ is also a product of primes. This completes the proof.

Notice that it is more natural to prove the Fundamental Theorem of Arithmetic with the Second Principle of Mathematical Induction than with the First Principle. Knowing that a particular integer factors as a product of primes does not tell you anything about factoring the next larger integer. (Does knowing that 5280 is a product of primes help you to factor 5281 as a product of primes?)

The following problem appeared in the “Brain Boggler” section of the January 1988 issue of the science magazine Discovery. ${ }^{2}$ Problems like this one are often called chicken McNugget problems, postage stamp problems, or Frobenius coin problems. Originally, McDonald’s sold its chicken nuggets in packs of 9 and 20 . The largest number of nuggets that could not have been bought with these packs is 151 .

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math 417

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| First Principle of Mathematical Induction

因此,要使用归纳来证明涉及正整数的语句对于每个正整数都为真,我们必须首先验证该语句对于整数 1 是否 为真。然后,我们假设该语句对于整数为真 $n$ 并使用此假设来证明该语句对于整数为真 $n+1$.
我们的下一个示例使用了有关平面几何体的一些事实。回想一下,给定一个直尺和指南针,我们可以构造一个直 角。

IEXAMPLE 12 我们使用归纳来证明,给定一个直尺、一个指南针和一个单位长度,我们可以构造一条长度的线 段。 $\sqrt{n}$ 对于每个正整数 $n$. 当 $n=1$ 给出。现在我们假设我们可以构造一条长度的线段 $\sqrt{n}$. 然后使用直尺和指南 针构建高度为 1 和底座的直角三角形 $\sqrt{n}$.三角形的斜边具有长度 $\sqrt{n+1}$. 因此,通过归纳,我们可以构造长度的 线段 $\sqrt{n}$ 对于每个正整数 $n$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Second Principle of Mathematical Induction

为了使用这种形式的归纳,我们首先证明该语句对于整数a为真。然后,我们假设该语句对于大于或等于的所有 整数都为真 $a$ 且小于 $n$ ,并使用此假设来证明该陈述对于 $n$.
例 14 我们将数学归纳的第二原理用于 $a=2$ 证明算术基本定理的存在部分。让 $S$ 是大于 1 的整数集合,这些整 数是素数或素数的乘积。清楚 $2 \in S$.现在我们假设对于某个整数 $n, S$ 包含所有整数 $k$ 跟 $2 \leq k<n$.我们必须表 明 $n \in S$. 如果 $n$ 是素数,则 $n \in S$ 根据定义。如果 $n$ 不是素数,那么 $n$ 可以写在表格中 $a b$ 哪里 $1<a<n$ 和 $1<b<n$.
由于我们假设两者兼而有之 $a$ 和 $b$ 属 $S$ ,我们知道它们中的每一个都是素数或素数的乘积。因此 $n$ 也是素数的产 物。这样就完成了证明。
请注意,用数学归纳的第二原理来证明算术基本定理比用第一原理更自然。知道一个特定的整数因子作为素数的 乘积并不能告诉你任何关于分解下一个更大的整数的信息。 (知道5280是素数的乘积是否有助于将5281分解为 素数的乘积?
以下问题出现在1988年1月的科学杂志《发现》 的“Brain Boggler”部分。 ${ }^{2}$ 像这样的问题通常被称为鸡麦克努格 特问题,邮票问题或弗罗贝尼乌斯硬币问题。最初,麦当劳以9包和20包的形式出售鸡块。用这些包装无法购买 的最大数量的金块是 151 。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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STATA代写机器学习/统计学习代写
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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH 355

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH 355

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Modular Arithmetic

Another application of the division algorithm that will be important to us is modular arithmetic. Modular arithmetic is an abstraction of a method of counting that you often use. For example, if it is now September, what month will it be 25 months from now? Of course, the answer is October, but the interesting fact is that you didn’t arrive at the answer by starting with September and counting off 25 months. Instead, without even thinking about it, you simply observed that $25=2 \cdot 12+1$, and you added 1 month to September. Similarly, if it is now Wednesday, you know that in 23 days it will be Friday. This time, you arrived at your answer by noting that $23=7 \cdot 3+2$, so you added 2 days to Wednesday instead of counting off 23 days. If your electricity is off for 26 hours, you must advance your clock 2 hours, since $26=2 \cdot 12+2$. Surprisingly, this simple idea has numerous important applications in mathematics and computer science. You will see a few of them in this section. We shall see many more in later chapters.

The following notation is convenient. When $a=q n+r$, where $q$ is the quotient and $r$ is the remainder upon dividing $a$ by $n$, we write $a \bmod n=r$. Thus,
$$
\begin{aligned}
3 \bmod 2 &=1 \text { since } 3=1 \cdot 2+1, \
6 \bmod 2 &=0 \text { since } 6=3 \cdot 2+0, \
11 \bmod 3 &=2 \text { since } 11=3 \cdot 3+2, \
62 \bmod 85 &=62 \text { since } 62=0 \cdot 85+62, \
-2 \bmod 15 &=13 \text { since }-2=(-1) 15+13 .
\end{aligned}
$$
In general, if $a$ and $b$ are integers and $n$ is a positive integer, then $a \bmod n=b \bmod n$ if and only if $n$ divides $a-b$ (Exercise $9) .$

In our applications, we will use addition and multiplication $\bmod n$. When you wish to compute $a b \bmod n$ or $(a+b) \bmod n$, and $a$ or $b$ is greater than $n$, it is easier to “mod first.” For example, to compute $(27 \cdot 36) \bmod 11$, we note that $27 \bmod 11=5$ and $36 \bmod 11=3$, so $(27 \cdot 36) \bmod 11=(5 \cdot 3) \bmod 11=4$. (See Exercise 11.)

Modular arithmetic is often used in assigning an extra digit to identification numbers for the purpose of detecting forgery or errors. We present two such applications.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Complex Numbers

Recall that complex numbers $\mathrm{C}$ are expressions of the form $a+b \sqrt{-1}$, where $a$ and $b$ are real numbers. The number $\sqrt{-1}$ is defined to have the property $\sqrt{-1^{2}}=-1$. It is customary to use $i$ to denote $\sqrt{-1}$. Then, $i^{2}=-1$. Complex numbers written in the form $a+b i$ are said to be in standard form. In some instances it is convenient to write a complex number $a+b i$ in another form. To do this we represent $a+b i$ as the point $(a, b)$ in a plane coordinatized by a horizontal axis called the real axis and a vertical $i$ axis called the imaginary axis. The distance from the point $a+b i$ to the origin is $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ and is often denoted by $|a+b i|$ and called the norm of $a+b i$. If we draw the line segment from the origin to $a+b i$ and denote the angle formed by the line segment and the positive real axis by $\theta$, we can write $a+b i$ as $r(\cos \theta+i \sin \theta)$.

This form of $a+b i$ is called the polar form. An advantage of the polar form is demonstrated in parts 5 and 6 of Theorem 0.4.IEXAMPLE $11(-1+i)^{4}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\right)^{4}=$ $\sqrt{2^{4}}\left(\cos \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}+i \sin \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}\right)=4(\cos 3 \pi+i \sin 3 \pi)=-4 .$ The three cube roots of $i=\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}$ are $\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)=-i$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH 355

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Modular Arithmetic

除法算法的另一个对我们很重要的应用是模块化算术。模块化算术是您经常使用的计数方法的抽象。例如,如果 现在是9月,那么从现在起的 25 个月后会是哪个月? 当然,答案是 10 月,但有趣的事实是,你没有从9月开始计 算25个月来得出答案。相反,你甚至没有想到它,你只是观察到 $25=2 \cdot 12+1$ ,并且您在 9 月增加了 1 个 月。同样,如果现在是星期三,你知道 23 天后将是星期五。这一次,你通过注意到 $23=7 \cdot 3+2$ ,因此您在 星期三添加了 2 天,而不是计算 23 天。如果您的停电 26 小时,您必须提前 2 小时,因为 $26=2 \cdot 12+2$. 令人 惊讶的是,这个简单的想法在数学和计算机科学中有许多重要的应用。您将在本节中看到其中的一些。我们将在 后面的章节中看到更多。
以下表示法很方便。什么时候 $a=q n+r$ 哪里 $q$ 是商和 $r$ 是除法时的余数 $a$ 由 $n$ ,我们写 $a \bmod n=r$. 因此 $3 \bmod 2=1$ since $3=1 \cdot 2+1,6 \bmod 2=0$ since $6=3 \cdot 2+0,11 \bmod 3=2$ since $11=3$
一般来说,如果 $a$ 和 $b$ 是整数和 $n$ 是一个正整数,则 $a \bmod n=b \bmod n$ 当且仅当 $n$ 分 $a-b($ 练习 9$)$.
在我们的应用程序中,我们将使用加法和乘法 $\bmod n$. 当您希望计算时 $a b \bmod n$ 或 $(a+b) \bmod n$ 和 $a$ 或 $b$ 大 于 $n$ , “先改装”更容易。例如,计算 $(27 \cdot 36) \bmod 11$ ,我们注意到 $27 \bmod 11=5$ 和 $36 \bmod 11=3$ 所以 $(27 \cdot 36) \bmod 11=(5 \cdot 3) \bmod 11=4$. (请参阅练习 11 。
模块化算术通常用于为标识号分配额外的数字,以检测伪造或错误。我们提出了两个这样的应用程序。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Complex Numbers

回想一下,复数 $\mathrm{C}$ 是表单的表达式 $a+b \sqrt{-1}$ 哪里 $a$ 和 $b$ 是实数。数字 $\sqrt{-1}$ 被定义为具有属性 $\sqrt{-1^{2}}=-1$.习 惯上使用 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$. 然后 $i^{2}=-1$. 以形式书写的复数 $a+b i$ 据说是标准形式。在某些情况下,写一个复数很方 便 $a+b i$ 以另一种形式。为此,我们代表 $a+b i$ 作为点 $(a, b)$ 在由称为实轴的水平轴和垂直轴协调的平面中轴 称为虚轴。与点的距离 $a+b i$ 原点为 $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 并且通常表示为 $|a+b i|$ 并称为规范 $a+b i$. 如果我们从原 点绘制线段到 $a+b i$ 并表示由线段和正实轴形成的角度 $\theta$ ,我们可以写 $a+b i$ 如 $r(\cos \theta+i \sin \theta)$.
这种形式的 $a+b i$ 被称为极性形式。极性形式的一个优点在定理 $0.4$ 的第 5 部分和第 6 部分中得到了证明。 $11(-1+i)^{4}=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\right)^{4}=$
$\sqrt{2^{4}}\left(\cos \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}+i \sin \frac{4 \cdot 3 \pi}{4}\right)=4(\cos 3 \pi+i \sin 3 \pi)=-4$. 的三个立方根 $i=\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}$ 是 $\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i \cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$ $\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{4 \pi}{3}\right)=-i$

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Division Algorithm

PROOF We begin with the existence portion of the theorem. Consider the set $S={a-b k \mid k$ is an integer and $a-b k \geq 0}$. If $0 \in S$, then $b$ divides $a$ and we may obtain the desired result with $q=a / b$ and $r=0$. Now assume $0 \notin S$. Since $S$ is nonempty [if $a>0, a-b \cdot 0 \in S$; if $a<0, a-b(2 a)=a(1-2 b) \in S ; a \neq 0$ since $0 \notin S]$, we may apply the Well Ordering Principle to conclude that $S$ has a smallest member, say $r=a-b q$. Then $a=b q+r$ and $r \geq 0$, so all that remains to be proved is that $r<b$.

If $r \geq b$, then $a-b(q+1)=a-b q-b=r-b \geq 0$, so that $a-b(q+1) \in S$. But $a-b(q+1)<a-b q$, and $a-b q$ is the smallest member of $S$. So, $r<b$.

To establish the uniqueness of $q$ and $r$, let us suppose that there are integers $q, q^{\prime}, r$, and $r^{\prime}$ such that
$$
a=b q+r, 0 \leq r<b, \text { and } a=b q^{\prime}+r^{\prime}, \quad 0 \leq r^{\prime}<b
$$
For convenience, we may also suppose that $r^{\prime} \geq r$. Then $b q+$ $r=b q^{\prime}+r^{\prime}$ and $b\left(q-q^{\prime}\right)=r^{\prime}-r$. So, $b$ divides $r^{\prime}-r$ and $0 \leq r^{\prime}-r \leq r^{\prime}<b$. It follows that $r^{\prime}-r=0$, and therefore $r^{\prime}=r$ and $q=q^{\prime}$.

The integer $q$ in the division algorithm is called the quotient upon dividing $a$ by $b$; the integer $r$ is called the remainder upon dividing $a$ by $b$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|GCD is a Linear Combination

PROOF Consider the set $S={a m+b n \mid m, n$ are integers and $a m+b n>0}$. Since $S$ is obviously nonempty (if some choice of $m$ and $n$ makes $a m+b n<0$, then replace $m$ and $n$ by $-m$ and $-n)$, the Well Ordering Principle asserts that $S$ has a smallest member, say, $d=a s+b t$. We claim that $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. To verify this claim, use the division algorithm to write $a=d q+r$, where $0 \leq r0$, then $r=a-d \eta=a-(a s+b t) q=a-$ $a s q-b t q=a(1-s q)+b(-t q) \in S$, contradicting the fact that $d$ is the smallest member of $S$. So, $r=0$ and $d$ divides $a$. Analogously (or, better yet, by symmetry), $d$ divides $b$ as well. This proves that $d$ is a common divisor of $a$ and $b$. Now suppose $d^{\prime}$ is another common divisor of $a$ and $b$ and write $a=d^{\prime} h$ and $b=d^{\prime} k$. Then $d=a s+b t=\left(d^{\prime} h\right) s+\left(d^{\prime} k\right) t=d^{\prime}(h s+k t)$, so that $d^{\prime}$ is a divisor of $d$. Thus, among all common divisors of $a$ and $b, d$ is the greatest.
The special case of Theorem $0.2$ when $a$ and $b$ are relatively prime is so important in abstract algebra that we single it out as a corollary.

■ EXAMPLE $2 \operatorname{gcd}(4,15)=1 ; \operatorname{gcd}(4,10)=2 ; \operatorname{gcd}\left(2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5,2 \cdot 3^{3}\right.$. $\left.7^{2}\right)=2 \cdot 3^{2}$. Note that 4 and 15 are relatively prime, whereas 4 and 10 are not. Also, $4 \cdot 4+15(-1)=1$ and $4(-2)+10 \cdot 1=2$.
The corollary of Theorem $0.2$ provides a convenient method to show that two integers represented by polynomial expressions are relatively prime.

IEXAMPLE 3 For any integer $n$ the integers $n+1$ and $n^{2}+n+1$ are relatively prime. To verify this we observe that $n^{2}+n+1-$ $n(n+1)=1 .$

The next lemma is frequently used. It appeared in Euclid’s Elements.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| Division Algorithm

证明 我们从定理的存在部分开始。考虑集合 $S=a-b k \mid k \$ i$ sanintegerand $\$ a-b k \geq 0$.如果 $0 \in S$ 然 后 $b$ 分 $a$ 我们可以通过以下方式获得所需的结果 $q=a / b$ 和 $r=0$. 现在假设 $0 \notin S$. 因为 $S$ 为非空 [如果 $a>0, a-b \cdot 0 \in S$; 如果 $a<0, a-b(2 a)=a(1-2 b) \in S ; a \neq 0$ 因为 $0 \notin S]$ ,我们可以应用井序原 则来得出结论: $S$ 有一个最小的成员,比如说 $r=a-b q$. 然后 $a=b q+r$ 和 $r \geq 0$ ,所以所有有待证明的是 $r<b$.
如果 $r \geq b$ 然后 $a-b(q+1)=a-b q-b=r-b \geq 0$ 因此 $a-b(q+1) \in S$. 但 $a-b(q+1)<a-b q$ 和 $a-b q$ 是的最小成员 $S$.所以 $r<b$.
建立 $q$ 和 $r$ ,让我们假设有整数 $q, q^{\prime}, r$ 和 $r^{\prime}$ 使得
$$
a=b q+r, 0 \leq r<b, \text { and } a=b q^{\prime}+r^{\prime}, \quad 0 \leq r^{\prime}<b
$$
为方便起见,我们还可以假设 $r^{\prime} \geq r$. 然后 $b q+r=b q^{\prime}+r^{\prime}$ 和 $b\left(q-q^{\prime}\right)=r^{\prime}-r$. 所以 $b$ 分 $r^{\prime}-r$ 和 $0 \leq r^{\prime}-r \leq r^{\prime}<b$. 因此, $r^{\prime}-r=0$ ,因此 $r^{\prime}=r$ 和 $q=q^{\prime}$.
整数 $q$ 在除法算法中称为除法时的商 $a$ 由 $b$;整数 $r$ 除法后称为余数 $a$ 由 $b$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考| GCD is a Linear Combination

证明 考虑集合 $S=a m+b n \mid m, n \$ a r e i n t e g e r s a n d \$ a m+b n>0$. 因为 $S$ 显然是非空的(如果某些选 择 $m$ 和 $n$ 使 $a m+b n<0$ ,然后替换 $m$ 和 $n$ 由 $-m$ 和 $-n)$ ,井序原理断言 $S$ 有一个最小的成员,比如说,
$d=a s+b t$.我们声称 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. 若要验证此声明,请使用除法算法编写 $a=d q+r$ 哪里 $0 \leq r 0$ 然后 $r=a-d \eta=a-(a s+b t) q=a-a s q-b t q=a(1-s q)+b(-t q) \in S$ ,与以下事实相矛盾: $d$ 是 的最小成员 $S$. 所以 $r=0$ 和 $d$ 分 $a$. 类似地 (或者,更好的是,通过对称性), $d$ 分 $b$ 也。这证明 $d$ 是 的公约数 $a$ 和 $b$. 现在假设 $d^{\prime}$ 是另一个常见的除数 $a$ 和 $b$ 并写入 $a=d^{\prime} h$ 和 $b=d^{\prime} k$. 然后
$d=a s+b t=\left(d^{\prime} h\right) s+\left(d^{\prime} k\right) t=d^{\prime}(h s+k t)$ 因此 $d^{\prime}$ 是 的除数 $d$. 因此,在所有常见的除数中 $a$ 和 $b, d$ 是 最大的。
定理的特殊啨况 $0.2$ 什么时候 $a$ 和 $b$ 相对素数在抽象代数中是如此重要,以至于我们将其作为推论。
■ 示例 $2 \operatorname{gcd}(4,15)=1 ; \operatorname{gcd}(4,10)=2 ; \operatorname{gcd}\left(2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5,2 \cdot 3^{3} \cdot 7^{2}\right)=2 \cdot 3^{2}$. 请注意, 4 和 15 是相对质 数,而 4 和 10 则不是。也 $4 \cdot 4+15(-1)=1$ 和 $4(-2)+10 \cdot 1=2$.
定理的推论 $0.2$ 提供了一种方便的方法来证明由多项式表达式表示的两个整数是相对素数。
IEXAMPLE 3 对于任何整数 $n$ 整数 $n+1$ 和 $n^{2}+n+1$ 是相对质数。为了验证这一点,我们观察到 $n^{2}+n+1-n(n+1)=1$
下一个引理经常被使用。它出现在欧几里得的《元素》中。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH330

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH330

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Notation for Arbitrary Groups

In group theory, we will regularly discuss the properties of an arbitrary group. In this case, instead of writing the operation as $a * b$, where * represents some unspecified binary operation, it is common to write the generic group operation as $a b$. With this convention of notation, it is also common to indicate the identity in an arbitrary group as 1 instead of $e$. In this chapter, however, we will continue to write $e$ for the arbitrary group identity in order to avoid confusion. Finally, with arbitrary groups, we denote the inverse of an element $a$ as $a^{-1} .$

This shorthand of notation should not surprise us too much. We already developed a similar habit with vector spaces. When discussing an arbitrary vector space, we regularly say, “Let $V$ be a vector space.” So though, in a strict sense, $V$ is only the set of the vector space, we implicitly understand that part of the information of a vector space is the addition of vectors (some operation usually denoted $+$ ) and the scalar multiplication of vectors.

By a similar abuse of language, we often refer, for example, to “the dihedral group $D_{n}$,” as opposed to “the dihedral group $\left(D_{n}, \circ\right)$.” Similarly, when we talk about “the group $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$,” we mean $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ because $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \times)$ is not a group. And when we refer to “the group $U(n)$,” we mean the group $(U(n), \times)$. We will explicitly list the pair of set and binary operation if there could be confusion as to which binary operation the group refers. Furthermore, as we already saw with $D_{n}$, even if a group is equipped with a natural operation, we often just write $a b$ to indicate that operation. Following the analogy with multiplication, in a group $G$, if $a \in G$ and $k$ is a positive integer, by $a^{k}$ we mean
$$
a^{k} \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
We extend the power notation so that $a^{0}=e$ and $a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^{k}$, for any positive integer $k$.

Groups that involve addition give an exception to the above habit of notation. In that case, we always write $a+b$ for the operation, $-a$ for the inverse, and, if $k$ is a positive integer,
$$
k \cdot a \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a+a+\cdots+a} .
$$
We refer to $k \cdot a$ as a multiple of $a$ instead of as a power. Again, we extend the notation to nonpositive “multiples” just as above with powers.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|First Properties

The following proposition holds for any associative binary operation and does not require the other two axioms of group theory.

Proof. Before starting the proof, we define a temporary but useful notation. Given a sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ of elements in $S$, by analogy with the $\sum$ notation, we define
$$
\star_{i=1}^{k} a_{i} \stackrel{\text { def }}{=}\left(\cdots\left(\left(a_{1} \star a_{2}\right) \star a_{3}\right) \cdots a_{k-1}\right) \star a_{k}
$$
In this notation, we perform the operations in (1.4) from left to right. Note that if $k=1$, the expression is equal to the element $a_{1}$.

We prove by (strong) induction on $n$, that every operation expression in $(1.4)$ is equal to $\boldsymbol{x}{i=1}^{n} a{i}$

The basis step with $n \geq 3$ is precisely the assumption that $\star$ is associative. We now assume that the proposition is true for all integers $k$ with $3 \leq$ $k \leq n$. Consider an operation expression (1.4) involving $n+1$ terms. Suppose without loss of generality that the last operation performed occurs between the $j$ th and $(j+1)$ th term, i.e.,

Since both operation expressions involve $n$ terms or less, by the induction hypothesis
$$
q=\left(\star_{i=1}^{j} a_{i}\right) \star\left(\star_{i=j+1}^{n} a_{i}\right) .
$$
Furthermore,
$$
\begin{aligned}
q &=\left(\star_{i=1}^{j} a_{i}\right) \star\left(a_{j+1} \star\left(\star_{i=j+2}^{n} a_{i}\right)\right) \quad \text { by the induction hypothesis } \
&=\left(\left(\star_{i=1}^{j} a_{i}\right) \star a_{j+1}\right) \star\left(\star_{i=j+2}^{n} a_{i}\right) \quad \text { by associativity } \
&=\left(\star_{i=1}^{j+1} a_{i}\right) \star\left(\star_{i=j+2}^{n} a_{i}\right)
\end{aligned}
$$
Repeating this $n-j-2$ more times, we conclude that
$$
q=\star_{i=1}^{n+1} a_{i}
$$
The proposition follows.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH330

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Notation for Arbitrary Groups

在群论中,我们会定期讨论任意群的性质。在这种情况下,而不是将操作写为 $a * b$ ,其中 * 表示一些末指定的二 元运算,通常将通用组运算写为 $a b$. 使用这种符号约定,将任意组中的身份表示为 1 而不是 $e$. 然而,在本章中,我 们将继续编写 $e$ 为任意组标识,以免混淆。最后,对于任意组,我们表示元素的逆 $a$ 作为 $a^{-1}$.
这种符号的简写不应该让我们太惊讶。我们已经对向量空间形成了类似的习惯。在讨论任意向量空间时,我们经常 说, “让 $V$ 成为一个向量空间。”所以,严格意义上来说, $V$ 只是向量空间的集合,我们隐含地理解一个向量空间的 部分信息是向量的相加 (一些操作通常记为 $+$ ) 和向量的标量乘法。
例如,通过类似的语言滥用,我们经常提到“二面角群 $D_{n}$ ,而不是“二面角群 $\left(D_{n}, \circ\right)$ 。”同样,当我们谈论”组 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , “我们的意思是 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 因为 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \times)$ 不是一个组。当我们提到“组 $U(n)$,”我们指的是组 $(U(n), \times)$. 如果组指的是哪个二元运算可能存在混淆,我们将明确列出这对集合和二元运算。此外,正如我们已 经看到的 $D_{n}$ ,即使一个组配备了自然操作,我们往往只是写 $a b$ 来指示该操作。按照乘法的类比,在一个组中 $G$ , 如果 $a \in G$ 和 $k$ 是一个正整数,由 $a^{k}$ 我们的意思是
$$
a^{k} \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
我们扩展幂符号使得 $a^{0}=e$ 和 $a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^{k}$ ,对于任何正整数 $k$.
涉及加法的组对上述符号习惯给出了例外。在这种情况下,我们总是写 $a+b$ 对于操作, $-a$ 反之,并且,如果 $k$ 是 一个正整数,
$$
k \cdot a \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a+a+\cdots+a}
$$
我们指 $k \cdot a$ 作为的倍数 $a$ 而不是作为一种力量。同样,我们将符号扩展到非正数“倍数”,就像上面的幂一样。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|First Properties

以下命题适用于任何关联二元运算,并且不需要群论的其他两个公理。
证明。在开始证明之前,我们定义一个临时但有用的符号。给定一个序列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中的元素 $S$, 类比 $\sum$ 符 号,我们定义
$$
\star_{i=1}^{k} a_{i} \stackrel{\text { def }}{=}\left(\cdots\left(\left(a_{1} \star a_{2}\right) \star a_{3}\right) \cdots a_{k-1}\right) \star a_{k}
$$
在这个符号中,我们从左到右执行(1.4) 中的操作。请注意,如果 $k=1$ ,表达式等于元素 $a_{1}$.
我们通过(强)归纳证明 $n$, 中的每个运算表达式(1.4)等于 $\boldsymbol{x} i=1^{n} a i$
基础步骤与 $n \geq 3$ 正是假设 $\star$ 是关联的。我们现在假设这个命题对所有整数都是真的 $k$ 和 $3 \leq k \leq n$. 考虑一个操作 表达式 (1.4),涉及 $n+1$ 条款。假设不失一般性,最后执行的操作发生在 $j$ 和 $(j+1)$ 项,即
由于两个操作表达式都涉及 $n$ 项或更少,由归纳假设
$$
q=\left(\star_{i=1}^{j} a_{i}\right) \star\left(\star_{i=j+1}^{n} a_{i}\right) .
$$
此外,
$q=\left(\star_{i=1}^{j} a_{i}\right) \star\left(a_{j+1} \star\left(\star_{i=j+2}^{n} a_{i}\right)\right) \quad$ by the induction hypothesis $\quad=\left(\left(\star_{i=1}^{j} a_{i}\right) \star a_{j+1}\right) \star\left(\star_{i}^{n}\right.$
重复这个 $n-j-2$ 更多次,我们得出结论
$$
q=\star_{i=1}^{n+1} a_{i}
$$
命题如下。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math3020A

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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Group Axioms

As we now jump into group theory with both feet, the reader might not immediately see the value in the definition of a group. The plethora of examples we provide subsequent to the definition will begin to showcase the breadth of applications.
Definition 1.2.1
A group is a pair $(G, )$ where $G$ is a set and $$ is a binary operation on $G$ that satisfies the following properties:
(1) associativity: $(a * b) * c=a *(b * c)$ for all $a, b, c \in G$;
(2) identity: there exists $e \in G$ such that $a * e=e * a=a$ for all $a \in G$;
(3) inverses: for all $a \in G$, there exists $b \in G$ such that $a * b=b * a=e$.
By Proposition A.2.16, if any binary operation has an identity, then that identity is unique. Similarly, any element in a group has exactly one inverse element.
Proposition 1.2.2
Let $(G, *)$ be a group. Then for all $a \in G$, there exists a unique inverse element to $a$.

Proof. Let $a \in G$ be arbitrary and suppose that $b_{1}$ and $b_{2}$ satisfy the properties of the inverse axiom for the element $a$. Then
$$
\begin{aligned}
b_{1} &=b_{1} * e & & \text { by identity axiom } \
&=b_{1} *\left(a * b_{2}\right) & & \text { by inverse axiom } \
&=\left(b_{1} * a\right) * b_{2} & & \text { by associativity } \
&=e * b_{2} & & \text { by definition of } b_{1} \
&=b_{2} & & \text { by identity axiom. }
\end{aligned}
$$
Therefore, for all $a \in G$ there exists a unique inverse.
Since every group element has a unique inverse, our notation for inverses can reflect this. We denote the inverse element of $a$ by $a^{-1}$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|A Few Examples

It is important to develop a robust list of examples of groups that show the breadth and restriction of the group axioms.

Example 1.2.4. The pairs $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+)$, and $(\mathbb{C},+)$ are groups. In each case, addition is associative and has 0 as the identity element. For a given element $a$, the additive inverse is $-a$.

Example 1.2.5. The pairs $\left(\mathbb{Q}^{}, \times\right),\left(\mathbb{R}^{}, \times\right)$, and $\left(\mathbb{C}^{}, \times\right)$ are groups. Recall that $A^{}$ mean $A-{0}$ when $A$ is a set that includes 0 . In each group, 1 is the multiplicative identity, and, for a given element $a$, the (multiplicative) inverse is $\frac{1}{a}$. Note that $\left(\mathbb{Z}^{*}, x\right)$ is not a group because it fails the inverse axiom. For example, there is no nonzero integer $b$ such that $2 b=1$.

On the other hand $\left(\mathbb{Q}^{>0}, x\right)$ and $\left(\mathbb{R}^{>0}, x\right)$ are groups. Multiplication is a binary operation on $\mathbb{Q}^{>0}$ and on $\mathbb{R}^{>0}$, and it satisfies all the axioms.

Example 1.2.6. A vector space $V$ is a group under vector addition with $\overrightarrow{0}$ as the identity. The (additive) inverse of a vector $\vec{v}$ is $-\vec{v}$. Note that the scalar multiplication of a vector spaces has no bearing on the group properties of vector addition.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math3020A

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Group Axioms

当我们现在双脚跳入群论时,读者可能不会立即看到群定义中的价值。我们在定义之后提供的大量示例将开始展示 应用程序的广度。
定义 $1.2 .1$
群是一对 $(G,$, 在哪里 $G$ 是一个集合,\$\$是一个二元运算 $G$ 满足以下性质:
(1) 关联性: $(a * b) * c=a *(b * c)$ 对所有人 $a, b, c \in G$;
(2)身份: 存在 $e \in G$ 这样 $a * e=e * a=a$ 对所有人 $a \in G$;
(3) 逆: 对所有 $a \in G$ , 那里存在 $b \in G$ 这样 $a * b=b * a=e$.
根据命题 A.2.16,如果任何二元运算具有恒等式,则该恒等式是唯一的。类似地,组中的任何元素都只有一个逆元 素。
命题 1.2.2
让 $(G, *)$ 成为一个群体。那么对于所有人 $a \in G$ ,存在唯一的逆元 $a$.
证明。让 $a \in G$ 是任意的,并假设 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ 满足元素的逆公理的性质 $a$. 然后
$b_{1}=b_{1} * e \quad$ by identity axiom $\quad=b_{1} *\left(a * b_{2}\right) \quad$ by inverse axiom $=\left(b_{1} * a\right) * b_{2}$
因此,对于所有 $a \in G$ 存在唯一的逆。
由于每个群元素都有一个唯一的逆,我们的逆符号可以反映这一点。我们表示 $a$ 经过 $a^{-1}$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|A Few Examples

重要的是开发一个强大的组示例列表,以显示组公理的广度和限制。
示例 1.2.4。对 $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+)$ ,和 $(\mathbb{C},+)$ 是群体。在每种情况下,加法都是关联的,并且以 0 作为标 识元素。对于给定的元素 $a$, 加法逆为 $-a$.
示例 1.2.5。对 $(\mathbb{Q}, \times),(\mathbb{R}, \times)$ ,和 $(\mathbb{C}, \times)$ 是群体。回顾 $A$ 意思是 $A-0$ 什么时候 $A$ 是一个包含 0 的集合。在每 个组中, 1 是乘法恒等式,并且,对于给定的元素 $a$ , (乘法) 逆是 $\frac{1}{a}$. 注意 $\left(\mathbb{Z}^{*}, x\right)$ 不是一个群,因为它不符合逆 公理。例如,没有非零整数 $b$ 这样 $2 b=1$.
另一方面 $\left(\mathbb{Q}^{>0}, x\right)$ 和 $\left(\mathbb{R}^{>0}, x\right)$ 是群体。乘法是二元运算 $\mathbb{Q}^{>0}$ 和上 $\mathbb{R}^{>0}$ ,并且满足所有公理。
示例 1.2.6。向量空间 $V$ 是向量加法下的群 $\overrightarrow{0}$ 作为身份。向量的(加法) 逆 $\vec{v}$ 是 $-\vec{v}$. 请注意,向量空间的标量乘法 与向量加法的群性质无关。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Dihedral Symmetries

Let $n \geq 3$ and consider a regular $n$-sided polygon, $P_{n}$. Call $V=$ $\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}$ the set of vertices of $P_{n}$ as a subset of the Euclidean plane $\mathbb{R}^{2}$. For simplicity, we often imagine the center of $P_{n}$ at the origin and that the vertex $v_{1}$ on the positive $x$-axis.

A symmetry of a regular $n$-gon is a bijection $\sigma: V \rightarrow V$ that is the restriction of a bijection $F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, that leaves the overall vertex-edge structure of $P_{n}$ in place; i.e., if the unordered pair $\left{v_{i}, v_{j}\right}$ are the end points of an edge of the regular $n$-gon, then $\left{\sigma\left(v_{i}\right), \sigma\left(v_{j}\right)\right}$ is also an edge.

Consider, for example, a regular hexagon $P_{6}$ and the bijection $\sigma: V \rightarrow V$ such that $\sigma\left(v_{1}\right)=v_{2}, \sigma\left(v_{2}\right)=v_{1}$, and $\sigma$ stays fixed on all the other vertices. Then $\sigma$ is not a symmetry of $P_{6}$ because it fails to preserve the vertex-edge structure of the hexagon. As we see in Figure $1.1$, though $\left{v_{2}, v_{3}\right}$ is an edge of the hexagon, while $\left{\sigma\left(v_{2}\right), \sigma\left(v_{3}\right)\right}$ are not the endpoints of an edge of the hexagon.

To count the number of bijections on the set $V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}$, we note that a bijection $f: V \rightarrow V$ can map $f\left(v_{1}\right)$ to any element in $V$; then it can map $f\left(v_{2}\right)$ to any element in $V \backslash\left{f\left(v_{1}\right)\right}$; then it can map $f\left(v_{3}\right)$ to any element in $V \backslash\left{f\left(v_{1}\right), f\left(v_{2}\right)\right}$; and so on. Hence, there are
$$
n \times(n-1) \times(n-2) \times \cdots \times 2 \times 1=n !
$$
distinct bijections on $V$.
However, a symmetry $\sigma \in D_{n}$ can map $\sigma\left(v_{1}\right)$ to any element in $V(n$ options), but then $\sigma$ must map $v_{2}$ to a vertex adjacent to $\sigma\left(v_{1}\right)$ (2 options). Once $\sigma\left(v_{1}\right)$ and $\sigma\left(v_{2}\right)$ are known, all remaining $\sigma\left(v_{i}\right)$ for $3 \leq i \leq n$ are determined. In particular, $\sigma\left(v_{3}\right)$ must be the vertex adjacent to $\sigma\left(v_{2}\right)$ that is not $\sigma\left(v_{1}\right) ; \sigma\left(v_{4}\right)$ must be the vertex adjacent to $\sigma\left(v_{3}\right)$ that is not $\sigma\left(v_{2}\right)$; and so on. This reasoning leads to the following proposition.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Abstract Notation

We introduce a notation that is briefer and aligns with the abstract notation that we will regularly use in group theory.

Having fixed an integer $n \geq 3$, denote by $r$ the rotation of angle $2 \pi / n$, by $s$ the reflection through the $x$-axis, and by $\iota$ the identity function. In other words,
$$
r=R_{2 \pi / n}, \quad s=F_{0}, \quad \text { and } \quad \iota=R_{0} \text {. }
$$
In abstract notation, similar to our habit of notation for multiplication of real variables, we write $a b$ to mean $a \circ b$ for two elements $a, b \in D_{n}$. Borrowing from a theorem in the next section (Proposition 1.2.13), since $\circ$ is associative, an expression such as $r r s r$ is well-defined, regardless of the order in which we pair terms to perform the composition. In this example, with $n=4$,
$$
r r s r=R_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2} \circ F_{0} \circ R_{\pi / 2}=R_{\pi} \circ F_{0} \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 4} .
$$
To simplify notations, if $a \in D_{n}$ and $k \in \mathbb{N}^{*}$, then we write $a^{k}$ to represent
$$
a^{k}=\overbrace{a a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
Hence, we write $r^{2} s r$ for $r r s r$. Since composition o is not commutative, $r^{3} s$ is not necessarily equal to $r^{2} s r$.
From Proposition 1.1.3, it is not hard to see that
$$
r^{k}=R_{2 \pi k / n} \quad \text { and } \quad r^{k} s=F_{\pi k / n}
$$
where $k$ satisfies $0 \leq k \leq n-1$. Consequently, as a set
$$
D_{n}=\left{\iota, r, r^{2}, \ldots, r^{n-1}, s, r s, r^{2} s, \ldots, r^{n-1} s\right}
$$
The symbols $r$ and $s$ have a few interesting properties. First, $r^{n}=\iota$ and $s^{2}=\iota$. These are obvious as long as we do not forget the geometric meaning of the functions $r$ and $s$. Less obvious is the equality in the following proposition.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Dihedral Symmetries

让 $n \geq 3$ 并考虑一个常规的 $n$ 边多边形, $P_{n}$. 称呼 $V=\mathrm{~ l e f t { v _ { 1 } , ~ V _ { 2 } , ~ V d o t s , ~ V _ { { n }}$ 得平面的子集 $\mathbb{R}^{2}$. 为简单起见,我们经常想象 $P_{n}$ 在原点和那个顶点 $v_{1}$ 在积极的 $x$-轴。
正则对称 $n$-gon 是双射 $\sigma: V \rightarrow V$ 这是双射的限制 $F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ,这留下了整体的顶点边缘结构 $P_{n}$ 到位; 即, 如果无序对 Vleft{v_{{i}, v_{j}\right} 是正则的一条边的端点 $n$-gon,然后 $\mathrm{~ ע l e f t { \ s i g m a l l e f t ( v _ { i }}$
例如,考虑一个正六边形 $P_{6}$ 和双射 $\sigma: V \rightarrow V$ 这样 $\sigma\left(v_{1}\right)=v_{2}, \sigma\left(v_{2}\right)=v_{1}$ , 和 $\sigma$ 保持固定在所有其他顶点 上。然后 $\sigma$ 不是对称的 $P_{6}$ 因为它末能保留六边形的顶点边缘结构。如图所示 $1.1$ ,尽管 left{v_{{2}, V__{3}\right } } \text { 是六 } $\mathrm{~ 边 形 的 一 条 边 , 而 l l e f t { \ s i g m a l l e f t ( v _ { 2 } | r i g h t ) , ~ I s i g m a l l e f t ( v _ { ( 3 }}$ 任何元素 $V$; 然后它可以映射 $f\left(v_{2}\right) \mathrm{~ 中 的 任 何 元 素 ⿰ V ⿱ ⺌}$ 的任何元素 $V \mathrm{~ \ b a c k s l a s h l l e f t ( f ) l e f t ( V _ { { 1 } \ r i g h t ) , ~ f ^ l e f t (}$
$$
n \times(n-1) \times(n-2) \times \cdots \times 2 \times 1=n !
$$
不同的双射 $V$.
然而,对称 $\sigma \in D_{n}$ 可以映射 $\sigma\left(v_{1}\right)$ 中的任何元素 $V\left(n\right.$ 选项),但随后 $\sigma$ 必须映射 $v_{2}$ 到相邻的顶点 $\sigma\left(v_{1}\right)$ (2 个选 项)。一次 $\sigma\left(v_{1}\right)$ 和 $\sigma\left(v_{2}\right)$ 是已知的,所有剩余的 $\sigma\left(v_{i}\right)$ 为了 $3 \leq i \leq n$ 被确定。尤其是, $\sigma\left(v_{3}\right)$ 必须是相邻的顶 点 $\sigma\left(v_{2}\right)$ 那不是 $\sigma\left(v_{1}\right) ; \sigma\left(v_{4}\right)$ 必须是相邻的顶点 $\sigma\left(v_{3}\right)$ 那不是 $\sigma\left(v_{2}\right)$; 等等。这个推理导致了以下命题。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Abstract Notation

我们引入了一种更简洁的符号,并且与我们将在群论中经常使用的抽象符号保持一致。
固定一个整数 $n \geq 3$ ,表示为 $r$ 角度的旋转 $2 \pi / n$ ,经过 $s$ 通过反射 $x$-轴,并通过身份功能。换句话说,
$$
r=R_{2 \pi / n}, \quad s=F_{0}, \quad \text { and } \quad \iota=R_{0} .
$$
在抽象符号中,类似于我们对实变量乘法的符号习惯,我们写 $a b$ 意思是 $a \circ b$ 对于两个元素 $a, b \in D_{n}$. 借用下一节 中的一个定理 (命题 1.2.13),因为 0 是关联的,表达式如rrsr是明确定义的,无论我们将术语配对以执行组合的 顺序如何。在这个例子中,与 $n=4$ ,
$$
r r s r=R_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2} \circ F_{0} \circ R_{\pi / 2}=R_{\pi} \circ F_{0} \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 4} .
$$
为了简化符号,如果 $a \in D_{n}$ 和 $k \in \mathbb{N}^{*}$ ,然后我们写 $a^{k}$ 代表
$$
a^{k}=\overbrace{a a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
因此,我们写 $r^{2} s r$ 为了 $r r s r$. 由于组合 0不可交换, $r^{3} s$ 不一定等于 $r^{2} s r$.
从命题 $1.1 .3$ 不难看出
$$
r^{k}=R_{2 \pi k / n} \quad \text { and } \quad r^{k} s=F_{\pi k / n}
$$
在哪里 $k$ 满足 $0 \leq k \leq n-1$. 因此,作为一个集合
D_{n}=\left{\iota, $r, r^{\wedge}{2}$, Vdots, $r^{\wedge}{n-1}, s, r s, r^{\wedge}{2} s, \backslash$ dots, $r^{\wedge}{n-1} s \backslash$ 右 $}$
符号 $r$ 和 $s$ 有一些有趣的属性。第一的, $r^{n}=\iota$ 和 $s^{2}=\iota$. 只要我们不忘记函数的几何意义,这些都是显而易见的 $r$ 和s. 以下命题中的等式不太明显。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|History of Ring Theory

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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|History of Ring Theory

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Noncommutative ring theory

Algebra textbooks usually give the definition of a ring first and follow it with examples. Of course the examples came first, and the abstract definition later-much later. So we begin with examples.

Among the most important examples of rings are the integers, polynomials, and matrices. “Simple” extensions of these examples are at the roots of ring theory. Specifically, we have in mind the following three examples:
(a) The integers $Z$ can be thought of as the appropriate subdomain of the field $Q$ of rationals in which to do number theory. (The rationals themselves are unsuitable for that purpose: every rational is divisible by every other (nonzero) rational.) Take a simple extension field $Q(\alpha)$ of the rationals, where $\alpha$ is an algebraic number, that is, a root of a polynomial with integer coefficients. $Q(\alpha)$ is called an algebraic number field; it consists of polynomials in $\alpha$ with rational coefficients. For example, $Q(\sqrt{3})={a+b \sqrt{3}: a, b \in Q}$.

The appropriate subdomain of $Q(\alpha)$ in which to do number theory -the “integers” of $Q(\alpha)$-consists of those elements that are roots of monic polynomials with integer coefficients, polynomials $p(x)$ in which the coefficient of the highest power of $x$ is 1 . For example, the integers of $Q(\sqrt{3})$ are ${a+b \sqrt{3}: a, b \in Z}$ (this is not obvious). This is our first example.
(b) The polynomial rings $\mathbf{R}[x]$ and $\mathbf{R}[x, y]$ in one and in two variables, respectively, share important properties but also differ in significant ways ( $\mathbf{R}$ denotes the real numbers). In particular, while the roots of a polynomial in one variable constitute a discrete set of real numbers, the roots of a polynomial in two variables constitute a curve in the plane-a so-called algebraic curve. Our second example, then, is the ring of polynomials in two (or more) variables.
(c) Square $m \times m$ matrices (for example, over the reals) can be viewed as $m^{2}$ tuples of real numbers with coordinate-wise addition and appropriate multiplication obeying the axioms of a ring. Our third example consists, more generally, of $n$-tuples $\mathbf{R}^{n}$ of real numbers with coordinate-wise addition and appropriate multiplication, so that the resulting system is a (not necessarily commutative) ring. Such systems, often extensions of the complex numbers, were called in the nineteenth and early twentieth centuries hypercomplex number systems.

In what contexts did these examples arise? What was their importance? The answers will lead us to the genesis of ring theory.

Rings fall into two broad categories: commutative and noncommutative. The abstract theories of these two categories came from distinct sources and developed in different directions. Commutative ring theory originated in algebraic number theory, algebraic geometry, and invariant theory. Central to the development of these subjects were the rings of integers in algebraic number fields and algebraic function fields, and the rings of polynomials in two or more variables.

Noncommutative ring theory began with attempts to extend the complex numbers to various hypercomplex number systems. The genesis of the theories of commutative and noncommutative rings dates back to the early nineteenth century, while their maturity was achieved only in the third decade of the twentieth century.
The following is a diagrammatic sketch of the above remarks.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Examples of Hypercomplex Number Systems

Hamilton’s invention of the quaternions was conceptually groundbreaking-_”a revolution in arithmetic which is entirely similar to the one which Lobachevsky effected

in geometry,” according to Poincaré. Indeed, both achievements were radical violations of prevailing conceptions. Like all revolutions, however, the invention of the quaternions was initially received with less than universal approbation: “I have not yet any clear view as to the extent to which we are at liberty arbitrarily to create imaginaries, and to endow them with supernatural properties,” declared Hamilton’s mathematician friend John Graves.

Most mathematicians, however, including Graves, soon came around to Hamilton’s point of view. The quaternions acted as a catalyst for the exploration of diverse “number systems,” with properties which departed in various ways from those of the real and complex numbers. Among the examples of such hypercomplex number systems are the following:
(i) Octonions
These are 8-tuples of reals which contain the quaternions and form a division algebra in which multiplication is nonassociative. They were introduced in 1844 by Cayley and independently by the very John Graves who questioned Hamilton’s “imaginaries.”
(ii) Exterior algebras
These are $n$-tuples of reals, added componentwise and multiplied via the “exterior product.” They were introduced by Grassmann in 1844 as part of a brilliant attempt to construct a vector algehra in $n$-dimensional space. Grassmann’s style was far from simple and his approach was ahead of its time.
(iii) Group algebras
In 1854 Cayley published a paper on (finite) abstract groups, at the end of which he gave a definition of a group algebra (over the real or complex numbers). He called it a system of “complex quantities” and observed that it is analogous to Hamilton’s quaternions-it is associative, noncommutative, but in general not a division algebra.
(iv) Matrices
In two papers of 1855 and 1858 Cayley introduced square matrices. He noted that they can be treated as “single quantities,” added and multiplied like “ordinary algebraic quantities,” but that “as regards their multiplication, there is the peculiarity that matrices are not in general convertible [commutative].” See Chapter 5.1.3.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Classification

Over a thirty-year period (c. $1840-1870$ ) a stock of examples of noncommutative number systems had been established. One could now begin to construct a theory. The general concept of a hypercomplex number system (in current terminology, a finite-dimensional algebra) emerged, and work began on classifying certain types

of these structures. We focus on three such developments, dealing with associative algebras. Note that such algebras are, of course, rings.
(i) Low-dimensional algebras
Of fundamental importance here was the work of Benjamin Peirce of Harvard-the first important contribution to algebra in the U.S. We are referring to his groundbreaking paper “Linear Associative Algebra” of 1870. In the last 100 pages of this 150-page paper Peirce classified algebras (i.e., hypercomplex number systems) of dimension $<6$ by giving their multiplication tables. There are, he showed, over 150 such algebras! What is important in this paper, though, is not the classification but the means used to obtain it. For here Peirce introduced concepts, and derived results, which proved fundamental for subsequent developments. Among these conceptual advances were:

(a) An “abstract” definition of a finite-dimensional algebra. Peirce defined such an algebra-he called it a “linear associative algebra”-as the totality of formal expressions of the form $\sum_{i=1}^{n} a_{i} e_{i}$, where the $e_{i}$ are “basis elements.” Addition was defined componentwise and multiplication by means of “structural constants” $c_{i j k}$, namely $e_{i} e_{j}=\sum_{k=1}^{n} c_{i j k} e_{k}$. Associativity under multiplication and distributivity were postulated, but not commutativity. This is probably the earliest explicit definition of an associative algebra.
(b) The use of complex coefficients. Peirce took the coefficients $a_{i}$ in the expressions $\sum a_{i} e_{i}$ to be complex numbers. This conscious broadening of the field of coefficients from $\mathbf{R}$ to $\mathbf{C}$ was an important conceptual advance on the road to coefficients taken from an arbitrary field.
(c) Relaxation of the requirement that an algebra have an identity. This, too, was a departure from past practice and gave an indication of Peirce’s general, abstract approach.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|History of Ring Theory

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Noncommutative ring theory

代数教科书通常先给出环的定义,然后再举例子。当然,例子是最先出现的,抽象的定义在后面——要晚得多。所以我们从例子开始。

环中最重要的例子是整数、多项式和矩阵。这些例子的“简单”扩展是环理论的根源。具体来说,我们想到了以下三个例子:
(a) 整数从可以认为是该领域的适当子域问做数论的有理数。(有理数本身不适合这个目的:每个有理数都可以被其他(非零)有理数整除。) 取一个简单的外延域问(一种)的有理数,其中一种是一个代数数,即具有整数系数的多项式的根。问(一种)称为代数数域;它由多项式组成一种有理系数。例如,问(3)=一个+b3:一个,b∈问.

适当的子域问(一种)在其中做数论 – 的“整数”问(一种)-由那些是具有整数系数的一元多项式的根的元素组成,多项式p(X)其中的最高功率系数X是 1 。例如,整数问(3)是一个+b3:一个,b∈从(这并不明显)。这是我们的第一个例子。
(b) 多项式环R[X]和R[X,是]在一个和两个变量中,分别具有重要的属性,但也存在显着差异(R表示实数)。特别是,多项式在一个变量中的根构成一组离散的实数,而多项式在两个变量中的根构成平面中的一条曲线——所谓的代数曲线。那么,我们的第二个例子是两个(或更多)变量的多项式环。
(c) 广场米×米矩阵(例如,在实数上)可以被视为米2符合环公理的坐标加法和适当乘法的实数元组。我们的第三个例子更一般地包括n-元组Rn具有坐标加法和适当乘法的实数,因此得到的系统是(不一定是可交换的)环。这种系统,通常是复数的扩展,在 19 世纪和 20 世纪初被称为超复数系统。

这些例子是在什么背景下出现的?它们的重要性是什么?答案将引导我们了解环理论的起源。

环分为两大类:可交换的和不可交换的。这两个范畴的抽象理论来源不同,发展方向不同。交换环论起源于代数数论、代数几何和不变量论。这些学科发展的核心是代数数域和代数函数域中的整数环,以及两个或多个变量中的多项式环。

非交换环理论开始于尝试将复数扩展到各种超复数系统。交换环和非交换环理论的起源可以追溯到 19 世纪初,而它们的成熟是在 20 世纪 30 年代才实现的。
以下是上述评论的示意图。

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汉密尔顿对四元数的发明在概念上是开创性的——“一场算术革命,与罗巴切夫斯基实现的革命完全相似

几何学,”根据庞加莱的说法。事实上,这两项成就都彻底违反了主流观念。然而,像所有的革命一样,四元数的发明最初并没有得到普遍认可:“我还没有清楚地看到我们在多大程度上可以任意创造想象,并赋予它们超自然的特性,”汉密尔顿的数学家朋友约翰格雷夫斯宣称。

然而,包括格雷夫斯在内的大多数数学家很快就接受了汉密尔顿的观点。四元数充当了探索各种“数系”的催化剂,其性质以各种方式偏离实数和复数的性质。此类超复数系统的示例如下:
(i) Octonions
这些是实数的 8 元组,包含四元数并形成除法代数,其中乘法是非关联的。它们是由 Cayley 于 1844 年引入的,并且是由质疑汉密尔顿的“想象”的 John Graves 独立提出的。
(ii) 外代数
这些是n-实数元组,按分量相加并通过“外积”相乘。它们是格拉斯曼在 1844 年引入的,作为在n维空间。格拉斯曼的风格远非简单,他的方法领先于时代。
(iii) 群代数
1854 年,Cayley 发表了一篇关于(有限)抽象群的论文,最后他给出了群代数(在实数或复数上)的定义。他称其为“复量”系统,并观察到它类似于汉密尔顿的四元数——它是结合的、不可交换的,但通常不是除法代数。
(iv) 矩阵
在 1855 年和 1858 年的两篇论文中,凯莱介绍了方阵。他指出,它们可以被视为“单个量”,可以像“普通代数量”一样相加和相乘,但是“关于它们的乘法,有一个特点,即矩阵通常不可转换 [commutative]。” 请参见第 5.1.3 章。

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超过三十年(c.1840−1870) 已经建立了一组非交换数系统的例子。现在可以开始构建一种理论了。超复数系统的一般概念(在当前术语中,有限维代数)出现了,并且开始对某些类型进行分类

这些结构中。我们专注于三个这样的发展,处理关联代数。请注意,这样的代数当然是环。
(i) 低维代数
这里最重要的是哈佛 Benjamin Peirce 的工作——美国对代数的第一个重要贡献 我们指的是他 1870 年的开创性论文“线性关联代数”。在最后 100 页这篇 150 页的论文 Peirce 对维度的代数(即超复数系统)进行了分类<6通过给出他们的乘法表。他展示了超过 150 个这样的代数!然而,本文重要的不是分类,而是用于获得分类的方法。在这里,Peirce 引入了概念,并得出了结果,这些结果证明是后续发展的基础。这些概念上的进步包括:

(a) 有限维代数的“抽象”定义。Peirce 将这样一个代数——他称之为“线性结合代数”——定义为以下形式的形式表达式的总和∑一世=1n一个一世和一世, 其中和一世是“基本要素”。加法是通过“结构常数”定义的组件和乘法C一世jķ,即和一世和j=∑ķ=1nC一世jķ和ķ. 假设乘法和分配下的关联性,但不是交换性。这可能是关联代数最早的明确定义。
(b) 复系数的使用。皮尔斯取系数一个一世在表达式中∑一个一世和一世是复数。这种有意识地扩大系数领域R至C是从任意领域获取系数的重要概念进步。
(c) 放宽代数有恒等式的要求。这也与过去的做法背道而驰,并表明了皮尔士的一般抽象方法。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Emergence of abstraction in group theory

The abstract point of view in group theory emerged slowly. It took over one hundred years from the time of Lagrange’s implicit group-theoretic work of 1770 for the abstract group concept to evolve. E. T. Bell discerns several stages in this process of evolution towards abstraction and axiomatization:
The entire development required about a century. Its progress is typical of the evolution of any major mathematical discipline of the recent period; first, the discovery of isolated phenomena; then the recognition of certain features common to all; next the search for further instances, their detailed calculation and classification; then the emergence of general principles making further calculations, unless needed for some definite application, superfluous; and last, the formulation of postulates crystallizing in abstract form the structure of the system investigated [2].

Although somewhat oversimplified, as all such generalizations tend to be, this is nevertheless a useful framework. Indeed, in the case of group theory, first came the “isolated phenomena”-for example, permutations, binary quadratic forms, roots of unity; then the recognition of “common features”-the concept of a finite group, encompassing both permutation groups and finite abelian groups (cf. the paper of Frobenius and Stickelberger cited above); next the search for “other instances”-in our case transformation groups; and finally the formulation of “postulates”-in this case the postulates of a group, encompassing both the finite and infinite cases. We now consider when and how the intermediate and final stages of abstraction occurred.
In 1854 Cayley gave the first abstract definition of a finite group in a paper entitled “On the theory of groups, as depending on the symbolic equation $\theta^{n}=1 . “$ (In 1858 Dedekind, in lectures on Galois theory at Göttingen, gave another. See 8.2.) Here is Cayley’s definition:
A set of symbols $1, \alpha, \beta, \ldots$, all of them different, and such that the product of any two of them (no matter in what order), or the product of any one of them into itself, belongs to the set, is said to be a group.
Cayley went on to say that:
These symbols are not in general convertible [commutative] but are associative … and it follows that if the entire group is multiplied by any one of the symbols, either as further or nearer factor [i.e., on the left or on the right], the effect is simply to reproduce the group [33].
He then presented several examples of groups, such as the quaternions (under addition), invertible matrices (under multiplication), permutations, Gauss’ quadratic forms, and groups arising in elliptic function theory. Next he showed that every abstract group is (in our terminology) isomorphic to a permutation group, a result now known as Cayley’s theorem.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Consolidation of the abstract group concept

The abstract group concept spread rapidly during the $1880 \mathrm{~s}$ and $1890 \mathrm{~s}$, although there still appeared a great many papers in the areas of permutation and transformation

groups. The abstract viewpoint was manifested in two ways:
(a) Concepts and results introduced and proved in the setting of “concrete” groups were now reformulated and reproved in an abstract setting;
(b) Studies originating in, and based on, an abstract setting began to appear.
An interesting example of the former case is the reproving by Frobenius, in an abstract setting, of Sylow’s theorem, which was proved by Sylow in 1872 for permutation groups. This was done in 1887, in a paper entitled “A new proof of Sylow’s theorem.” Although Frobennius admitted that the fact that every finite group can be repreesented by a group of permutations proves that Sylow’s theorem must hold for all finite groups, he nevertheless wished to establish the theorem abstractly:
Since the symmetric group, which is introduced into all these proofs, is totally alien to the context of Sylow’s theorem, I have tried to find a new derivation of it.
For a case study of the evolution of abstraction in group theory in connection with Sylow’s theorem see [28] and [32].

Hölder was an important contributor to abstract group theory, and was responsible for introducing a number of group-theoretic concepts abstractly. For example, in 1889 he defined the abstract notion of a quotient group. The quotient group was first seen as the group of the “auxiliary equation,” later as a homomorphic image, and only in Hölder’s time as a group of cosets. He then “completed” the proof of the JordanHölder theorem, namely that the quotient groups in a composition series are invariant up to isomorphism (see Jordan’s contribution, p. 25). For a history of the concept of quotient group see [36].

In 1893 , in a paper on groups of order $p^{3}, p q^{2}, p q r$, and $p^{4}$, Holder introduced the concept of an automorphism of a group abstractly. He was also the first to study simple groups abstractly. (Previously they were considered in concrete cases-as permutation groups, transformation groups, and so on.) As he said: “It would be of the greatest interest if a survey of all simple groups with a finite number of operations could be known.” (By “operations” Hölder meant “elements.”) He then went on to determine the simple groups of order up to 200 .

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Divergence of developments in group theory

Group theory evolved from several different sources, giving rise to various concrete theories. These theories developed independently, some for over one hundred years, beginning in 1770 , before they converged in the early 1880 s within the abstract group concept. Abstract group theory emerged and was consolidated in the next thirty to forty years. At the end of that period (around 1920) one can discern the divergence of group theory into several distinct “theories.” Here is the barest indication of some of these advances and new directions in group theory, beginning in the $1920 \mathrm{~s}$, with the names of some of the major contributors and approximate dates:
(a) Finite group theory. The major problem here, already formulated by Cayley in the 1870 s and studied by Jordan and Hölder. was to find all finite groups of a given order. The problem proved too difficult and mathematicians turned to special cases, suggested especially by Galois theory: to find all simple or all solvable groups (cf. the Feit-Thompson theorem of 1963 , and the classification of all finite simple groups in 1981). See [14], [15], [30].

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抽象代数代写

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群论中的抽象观点慢慢出现。从 1770 年拉格朗日的隐含群论工作开始,抽象群概念的演变花了一百多年的时间。ET Bell 在这个向抽象化和公理化的演变过程中发现了几个阶段:
整个开发过程大约需要一个世纪。它的进步是近代任何主要数学学科发展的典型;第一,孤立现象的发现;然后是对所有人共有的某些特征的认识;接下来搜索更多实例,对其进行详细计算和分类;然后,除非某些明确的应用需要,否则进行进一步计算的一般原理的出现是多余的;最后,以抽象形式结晶所研究的系统结构的假设的表述[2]。

尽管有些过于简单化了,所有这些概括都倾向于如此,但这仍然是一个有用的框架。确实,在群论的情况下,首先出现的是“孤立现象”——例如排列、二元二次形式、单位根;然后是对“共同特征”的认识——有限群的概念,包括置换群和有限阿贝尔群(参见上面引用的 Frobenius 和 Stickelberger 的论文);接下来搜索“其他实例”——在我们的案例转换组中;最后是“公设”的表述——在这种情况下是群的公设,包括有限和无限的情况。我们现在考虑抽象的中间和最后阶段何时以及如何发生。
1854 年,凯莱在一篇题为“论群论,取决于符号方程”的论文中给出了有限群的第一个抽象定义。θn=1.“(1858 年,戴德金在哥廷根的伽罗瓦理论讲座中给出了另一个。见 8.2。)这是凯莱的定义:
一组符号1,一种,b,…,它们都是不同的,并且它们中的任何两个的乘积(无论以什么顺序),或者它们中的任何一个到自身的乘积都属于该集合,称为一个群。
Cayley 继续说:
这些符号通常不是可转换的 [commutative] 而是关联的……因此,如果整个组乘以任何一个符号,作为更远或更近的因子 [即,在左边或在右边],效果只是重现组 [33]。
然后他提出了几个群的例子,例如四元数(加法下)、可逆矩阵(乘法下)、置换、高斯二次型和椭圆函数理论中的群。接下来他证明了每个抽象群(在我们的术语中)同构于一个置换群,这个结果现在被称为凯莱定理。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Consolidation of the abstract group concept

抽象群体概念在1880 s和1890 s, 尽管在置换和变换领域仍然出现了大量的论文

团体。抽象的观点以两种方式表现出来:
(a) 在“具体”群体的环境中引入和证明的概念和结果现在在抽象环境中重新制定和验证;
(b) 起源于并基于抽象背景的研究开始出现。
前一种情况的一个有趣的例子是 Frobenius 在抽象环境中对 Sylow 定理的验证,Sylow 在 1872 年证明了置换群。这是在 1887 年的一篇题为“西洛定理的新证明”的论文中完成的。尽管 Frobennius 承认每个有限群都可以由一组置换表示这一事实证明了 Sylow 定理必须适用于所有有限群,但他仍然希望抽象地建立该定理:
由于引入到所有这些证明中的对称群与 Sylow 定理的上下文完全不同,我试图找到它的新推导。
有关与 Sylow 定理有关的群论中抽象演变的案例研究,请参见 [28] 和 [32]。

Hölder 是抽象群论的重要贡献者,并负责抽象地引入许多群论概念。例如,他在 1889 年定义了商群的抽象概念。商群最初被视为“辅助方程”的群,后来被视为同态图像,并且仅在 Hölder 时代被视为陪集群。然后他“完成”了 JordanHölder 定理的证明,即复合级数中的商群在同构之前是不变的(参见 Jordan 的贡献,第 25 页)。有关商群概念的历史,请参见 [36]。

1893年,在一篇关于秩序群的论文中p3,pq2,pqr, 和p4,Holder抽象地引入了群的自同构的概念。他也是第一个抽象地研究单群的人。(以前它们在具体情况下被考虑——如置换群、变换群等等。)正如他所说:“如果能够知道对所有具有有限数量操作的简单群的调查,那将是最令人感兴趣的。 ” (“操作”Hölder 的意思是“元素”。)然后他继续确定高达 200 的简单组。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Divergence of developments in group theory

群论从几个不同的来源演变而来,产生了各种具体的理论。这些理论是独立发展的,有的从 1770 年开始发展了一百多年,直到 1880 年代初期才在抽象群概念中收敛。抽象群论出现并在接下来的三十到四十年得到巩固。在那个时期的末期(大约 1920 年),人们可以看出群论分化为几个不同的“理论”。以下是群论中一些进步和新方向的最简单的迹象,从1920 s,以及一些主要贡献者的名字和大致日期:
(a) 有限群论。这里的主要问题已经由 Cayley 在 1870 年代提出并由 Jordan 和 Hölder 研究。是找到给定顺序的所有有限群。这个问题被证明太难了,数学家转向特殊情况,特别是伽罗瓦理论提出的:找到所有简单的或所有可解的群(参见 1963 年的 Feit-Thompson 定理和 1981 年对所有有限单群的分类)。见[14]、[15]、[30]。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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抽象代数是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Permutation Groups

As noted earlier, Lagrange’s work of 1770 initiated the study of permutations in connection with the study of the solution of equations. It was probably the first clear instance of implicit group-theoretic thinking in mathematics. It led directly to the $\mathrm{~ w o ̄ ̄ i k s ̄ ~ o ̂ f ~ K u ̈ f f i n ̃ i , ~ A ̊ b e ́ l , ~ a ̄ n đ ~ G a ̄ l o ̄ i s ~ đ u ̈}$ to the concept of a permutation group.

Ruffini and Abel proved the unsolvability of the quintic by building on the ideas of Lagrange concerning resolvents. Lagrange showed that a necessary condition for the solvability of the general polynomial equation of degree $n$ is the existence of a resolvent of degree less than $n$. Ruffini and Abel showed that such resolvents do not exist for $n>4$. In the process they developed elements of permutation theory. It was Galois, however, who made the fundamental conceptual advances, and who is considered by many as the founder of (permutation) group theory.

He was familiar with the works of Lagrange, Abel, and Gauss on the solution of polynomial equations. But his aim went well beyond finding a method for solvability of equations. He was concerned with gaining insight into general principles, dissatisfied as he was with the methods of his predecessors: “From the beginning of this century,” he wrote, “computational procedures have become so complicated that any progress by those means has become impossible.”

Galois recognized the separation between “Galois theory”-the correspondence between fields and groups-and its application to the solution of equations, for he wrote that he was presenting “the general principles and just one application” of the theory. “Many of the early commentators on Galois theory failed to recognize this distinction, and this led to an emphasis on applications at the expense of the theory” [19].

Galois was the first to use the term “group” in a technical sense-to him it signified a collection of permutations closed under multiplication: “If one has in the same group the substitutions $S$ and $T$, one is certain to have the substitution $S T$.” He recognized that the most important properties of an algebraic equation were reflected in certain properties of a group uniquely associated with the equation-“the group of the equation.” To describe these properties he invented the fundamental notion of normal subgroup and used it to great effect.

While the issue of resolvent equations preoccupied Lagrange, Ruffini, and Abel, Galois’ basic idea was to bypass them, for the construction of a resolvent required great skill and was not based on a clear methodology. Galois noted instead that the existence of a resolvent was equivalent to the existence of a normal subgroup of prime index in the group of the equation. This insight shifted consideration from the resolvent equation to the group of the equation and its subgroups.
Galois defined the group of an equation as follows:
Let an equation be given, whose $m$ roots are $a, b, c, \ldots .$ There will always be a group of permutations of the letters $a, b, c, \ldots$ which has the following property: (1) that every function of the roots, invariant under the substitutions of that group, is rationally known [i.e., is a rational function of the coefficients and any adjoined quantities]; (2) conversely, that every function of the roots, which can be expressed rationally, is invariant under these substitutions [19].

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Abelian Groups

As noted earlier, the main source for abelian group theory was number theory, beginning with Gauss’ Disquisitiones Arithmeticae. (Note also implicit abelian group theory in Euler’s number-theoretic work [33].) In contrast to permutation theory, grouptheoretic modes of thought in number theory remained implicit until about the last third of the nineteenth century. Until that time no explicit use of the term “group” was made, and there was no link to the contemporary, flourishing theory of permutation groups. We now give a sample of some implicit group-theoretic work in number theory, especially in algebraic number theory.

Algebraic number theory arose in connection with Fermat’s Last Theorem, the insolvability in nonzero integers of $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ for $n>2$, Gauss’ theory of binary quadratic forms, and higher reciprocity laws (see Chapter 3.2). Algebraic number fields and their arithmetical properties were the main objects of study. In 1846 Dirichlet studied the units in an algebraic number field and established that (in our terminology) the group of these units is a direct product of a finite cyclic group and a free abelian group of finite rank. At about the same time Kummer introduced his “ideal numbers,” defined an equivalence relation on them, and derived, for cyclotomic fields, certain special properties of the number of equivalence classes, the so-called class number of a cyclotomic field-in our terminology, the order of the ideal class group of the cyclotomic field. Dirichlet had earlier made similar studies of quadratic fields.
In 1869 Schering, a former student of Gauss, investigated the structure of Gauss’ (group of) equivalence classes of binary quadratic forms (see Chapter 3 ). He found certain fundamental classes from which all classes of forms could be obtained by composition. In group-theoretic terms, Schering found a basis for the abelian group of equivalence classes of binary quadratic forms.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Transformation Groups

As in number theory, so in geometry and analysis, group-theoretic ideas remained implicit until the last third of the nineteenth century. Moreover, Klein’s (and Lie’s) explicit use of groups in geometry influenced the evolution of group theory concep tually rather than technically. It signified a genuine shift in the development of group theory from a preoccupation with permutation groups to the study of groups of transformations. (That is not to suggest, of course, that permutation groups were no longer studied.) This transition was also notable in that it pointed to a turn from finite groups to infinite groups.

Klein noted the connection of his work with permutation groups but also realized the departure he was making. He stated that what Galois theory and his own program have in common is the investigation of “groups of changes,” but added that “to be sure,

the objects the changes apply to are different: there [Galois theory] one deals with a finite number of discrete elements, whereas here one deals with an infinite number of elements of a continuous manifold.”‘ To continue the analogy, Klein noted that just as there is a theory of permutation groups, “we insist on a theory of transformations, a study of groups generated by transformations of a given type.”

Klein shunned the abstract point of view in group theory, and even his technical definition of a (transformation) group is deficient:
Now let there be given a sequence of transformations $A, B, C, \ldots .$ If this sequence has the property that the composite of any two of its transformations yields a transformation that again belongs to the sequence, then the latter will be called a group of transformations [33].
Klein’s work, however, broadened considerably the conception of a group and its applicability in other fields of mathematics. He did much to promote the view that group-theoretic ideas are fundamental in mathematics:
The special subject of group theory extends through all of modern mathematics. As an ordering and classifying principle, it intervenes in the most varied domains.

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抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Permutation Groups

如前所述,拉格朗日 1770 年的工作启动了与方程解研究相关的排列研究。这可能是数学中隐含群论思维的第一个明显例子。直接导致了đđ 在这̄̄一世ķs̄ 这̂F ķ在̈FF一世ñ一世, 一种̊b和́l, 一个̄nD G一个̄l这̄一世s D在̈置换群的概念。

Ruffini 和 Abel 通过建立拉格朗日关于分解的思想证明了五次方程的不可解性。拉格朗日证明了一般多项式度方程的可解性的必要条件n是否存在度数小于的解析器n. Ruffini 和 Abel 表明此类解决方案不存在n>4. 在这个过程中,他们发展了置换理论的元素。然而,是伽罗瓦在概念上取得了根本性的进步,并且被许多人认为是(置换)群论的创始人。

他熟悉拉格朗日、阿贝尔和高斯在求解多项式方程方面的著作。但他的目标远远超出了寻找方程可解性的方法。他关心的是获得对一般原理的洞察力,尽管他对前人的方法不满意:“从本世纪初开始,”他写道,“计算程序变得如此复杂,以致不可能通过这些方法取得任何进展。 ”

伽罗瓦认识到“伽罗瓦理论”(场和群之间的对应)与其在方程解中的应用之间的分离,因为他写道,他正在展示该理论的“一般原理和一种应用”。“许多伽罗瓦理论的早期评论家未能认识到这种区别,这导致了以牺牲理论为代价来强调应用”[19]。

伽罗瓦是第一个在技术意义上使用“群”一词的人——对他来说,这意味着在乘法下封闭的排列集合:“如果一个人在同一个群中,则小号和吨, 一个肯定有替代品小号吨。” 他认识到代数方程最重要的性质反映在与方程唯一相关的群的某些性质上——“方程的群”。为了描述这些性质,他发明了正规子群的基本概念,并将其运用到了极好的效果。

虽然求解方程的问题一直困扰着拉格朗日、鲁菲尼和阿贝尔,但伽罗瓦的基本思想是绕过它们,因为构造求解方程需要高超的技巧,而且不是基于明确的方法论。相反,伽罗瓦指出,解算子的存在等价于方程组中素数索引的正规子群的存在。这种见解将考虑从求解方程转移到方程组及其子组。
伽罗瓦将方程组定义如下:
给定一个方程,其米根是一个,b,C,….总会有一组字母的排列一个,b,C,…它具有以下性质:(1)根的每个函数,在该组的替换下不变,是有理已知的[即,是系数和任何相邻量的有理函数];(2) 相反,可以合理表达的根的每个函数在这些替换下都是不变的[19]。

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如前所述,阿贝尔群论的主要来源是数论,从高斯的算术研究开始。(还要注意欧拉数论著作中隐含的阿贝尔群论[33]。)与置换论相反,数论中的群论思想模式一直隐含到大约 19 世纪最后三分之一。在那之前,没有明确使用“群”这个词,也没有与当代蓬勃发展的置换群理论有任何联系。我们现在给出数论中一些隐含的群论工作的样本,特别是在代数数论中。

代数数论与费马大定理有关,即非零整数的不可解性Xn+是n=和n为了n>2,高斯的二元二次形式理论和更高的互易定律(见第 3.2 章)。代数数域及其算术性质是主要研究对象。1846 年,Dirichlet 研究了代数数域中的单位,并确定(用我们的术语)这些单位的群是有限循环群和有限秩的自由阿贝尔群的直接乘积。大约在同一时间,Kummer 介绍了他的“理想数”,在它们上定义了等价关系,并为分圆域导出了等价类数的某些特殊性质,即所谓的分圆域的类数——在我们的术语,分圆域的理想类群的顺序。狄利克雷早些时候对二次场进行了类似的研究。
1869 年,高斯的前学生先灵研究了二元二次形式的高斯(组)等价类的结构(见第 3 章)。他发现了某些基本类别,从这些基本类别中可以通过组合获得所有形式的类别。在群论方面,Schering 为二元二次形式的等价类的阿贝尔群找到了基础。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Transformation Groups

就像在数论中一样,在几何和分析中,群论的思想直到 19 世纪下半叶仍然是隐含的。此外,克莱因(和李)在几何学中明确使用群影响了群论在概念上而非技术上的演变。它标志着群论发展的真正转变,从专注于置换群转向研究变换群。(当然,这并不是说不再研究置换群。)这种转变也值得注意,因为它指出了从有限群到无限群的转变。

克莱因注意到他的工作与排列群的联系,但也意识到他正在做出的离开。他表示,伽罗瓦理论和他自己的计划的共同点是对“变化群”的调查,但补充说:“可以肯定的是,

变化适用的对象是不同的:[伽罗瓦理论]一个处理有限数量的离散元素,而这里处理一个连续流形的无限个元素。”’为了继续类比,克莱因指出由于有置换群理论,“我们坚持变换理论,研究由给定类型的变换产生的群。”

克莱因回避了群论中的抽象观点,甚至他对(变换)群的技术定义也是有缺陷的:
现在给定一个变换序列一种,乙,C,….如果这个序列具有这样的性质,即它的任意两个变换的复合产生一个再次属于该序列的变换,那么后者将被称为一组变换[33]。
然而,克莱因的工作大大拓宽了群的概念及其在其他数学领域的适用性。他做了很多工作来宣传群论思想是数学的基础:
群论这一特殊学科贯穿了所有现代数学。作为一种排序和分类原则,它介入了最多样化的领域。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Classical Algebra

The major problems in algebra at the time $(1770)$ that Lagrange wrote his fundamental memoir “Reflections on the solution of algebraic equations” concerned polynomial equations. There were “theoretical” questions dealing with the existence and nature of the roots-for example, does every equation have a root? how many roots are there? are they real, complex, positive, negative?-and “practical” questions dealing with methods for finding the roots. In the latter instance there were exact methods and approximate methods. In what follows we mention exact methods.

The Babylonians knew how to solve quadratic equations, essentially by the method of completing the square, around $1600 \mathrm{BC}$ (see Chapter 1). Algebraic methods for solving the cubic and the quartic were given around 1540 (Chapter 1). One of the major problems for the next two centuries was the algebraic solution of the quintic. This is the task Lagrange set for himself in his paper of 1770 .In this paper Lagrange first analyzed the various known methods, devised by Viète, Descartes, Euler, and Bezout, for solving cubic and quartic equations. He showed that the common feature of these methods is the reduction of such equations to auxiliary equations-the so-called resolvent equations. The latter are one degree lower than the original equations.

Lagrange next attempted a similar analysis of polynomial equations of arbitrary degree $n$. With each such equation he associated a resolvent equation, as follows: let $f(x)$ be the original equation, with roots $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$. Pick a rational function $\mathbf{R}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\right)$ of the roots and coefficients of $f(x)$. (Lagrange described methods for doing this.) Consider the different values which $\mathbf{R}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\right)$ assumes under all the $n$ ! permutations of the roots $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ of $f(x)$. If these are denoted by $y_{1}, y_{2}, y_{3}, \ldots, y_{k}$, then the resolvent equation is given by $g(x)=\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right) \cdots\left(x-y_{k}\right) .$

It is imporotant to note that the coefficients of $g(x)$ aree symmetric functions in $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$, hence they are polynomials in the elementary symmetric functions of $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$; that is, they are polynomials in the coefficients of the original equation $f(x)$. Lagrange showed that $k$ divides $n$ !-the source of what we call Lagrange’s theorem in group theory.

For example, if $f(x)$ is a quartic with roots $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$, then $\mathbf{R}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ may be taken to be $x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}$, and this function assumes three distinct values under the twenty-four permutations of $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$. Thus the resolvent equation of a quartic is a cubic. However, in carrying over this analysis to the quintic Lagrange found that the resolvent equation is of degree six.

Although Lagrange did not succeed in resolving the problem of the algebraic solvability of the quintic, his work was a milestone. It was the first time that an association was made between the solutions of a polynomial equation and the permutations of its roots. In fact, the study of the permutations of the roots of an equation was a cornerstone of Lagrange’s general theory of algebraic equations. This, he speculated, formed “the true principles of the solution of equations.” He was, of course, vindicated in this by Galois. Although Lagrange spoke of permutations without considering a “calculus” of permutations (e.g., there is no consideration of their composition or closure), it can be said that the germ of the group concept-as a group of permutations-is present in his work. For details see [12], [16], [19], [25], [33].

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Number Theory

In the Disquisitiones Arithmeticae (Arithmetical Investigations) of 1801 Gauss summarized and unified much of the number theory that preceded him. The work also suggested new directions which kept mathematicians occupied for the entire century. As for its impact on group theory, the Disquisitiones may be said to have initiated the theory of finite abelian groups. In fact, Gauss established many of the significant properties of these groups without using any of the terminology of group theory.
The groups appeared in four different guises: the additive group of integers modulo $m$, the multiplicative group of integers relatively prime to $m$, modulo $m$, the group of equivalence classes of binary quadratic forms, and the group of $n$-th roots of unity. And although these examples turned up in number-theoretic contexts, it is as abelian groups that Gauss treated them, using what are clear prototypes of modern algebraic proofs.

For example, considering the nonzero integers modulo $p$ ( $p$ a prime), he showed that they are all powers of a single element; that is, that the group $Z_{p}^{*}$ of such integers

is cyclic. Moreover, he determined the number of generators of this group, showing that it is equal to $\varphi(p-1)$, where $\varphi$ is Euler’s $\varphi$-function.

Given any element of $Z_{p}^{}$, he defined the order of the element (without using the terminology) and showed that the order of an element is a divisor of $p-1$. He then used this result to prove Fermat’s “little theorem,” namely that $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ if $p$ does not divide $a$, thus employing group-theoretic ideas to prove number-theoretic results. Next he showed that if $t$ is a positive integer which divides $p-1$, then there exists an element in $Z_{p}^{}$ whose order is $t$-essentially the converse of Lagrange’s theorem for cyclic groups.

Concerning the $n$-th roots of 1 , which he considered in connection with the cyclotomic equation, he showed that they too form a cyclic group. In relation to this group he raised and answered many of the same questions he raised and answered in the case of $Z_{p}^{*}$.

The problem of representing integers by binary quadratic forms goes back to Fermat in the early seventeenth century. (Recall his theorem that every prime of the form $4 n+1$ can be represented as a sum of two squares $x^{2}+y^{2}$.) Gauss devoted a large part of the Disquisitiones to an exhaustive study of binary quadratic forms and the representation of integers by such forms.

A binary quadratic form is an expression of the form $a x^{2}+b x y+c y^{2}$, with $a, b, c$ integers. Gauss defined a composition on such forms, and remarked that if $K_{1}$ and $K_{2}$ are two such forms, one may denote their composition by $K_{1}+K_{2}$. He then showed that this composition is associative and commutative, that there exists an identity, and that each form has an inverse, thus verifying all the properties of an abelian group.

Despite these remarkable insights, one should not infer that Gauss had the concept of an abstract group, or even of a finite abelian group. Although the arguments in the Disquisitiones are quite general, each of the various types of “groups” he considered was dealt with separately-there was no unifying group-theoretic method which he applied to all cases.
For further details see [5], [9], [25], [30], [33].

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Geometry

We are referring here to Klein’s famous and influential (but see [18]) lecture entitled “A Comparative Review of Recent Researches in Geometry,” which he delivered in 1872 on the occasion of his admission to the faculty of the University of Erlangen. The aim of this so-called Erlangen Program was the classification of geometry as the study of invariants under various groups of transformations. Here there appear groups such as the projective group, the group of rigid motions, the group of similarities, the hyperbolic group, the elliptic groups, as well as the geometries associated with them. (The affine group was not mentioned by Klein.) Now for some background leading to Klein’s Erlangen Program.

The nineteenth century witnessed an explosive growth in geometry, both in scope and in depth. New geometries emerged: projective geometry, noneuclidean geometries, differential geometry, algebraic geometry, $n$-dimensional geometry, and

Grassmann’s geometry of extension. Various geometric methods competed for supremacy: the synthetic versus the analytic, the metric versus the projective.

At mid-century a major problem had arisen, namely the classification of the relations and inner connections among the different geometries and geometric methods. This gave rise to the study of “geometric relations,” focusing on the study of properties of figures invariant under transformations. Soon the focus shifted to a study of the transformations themselves. Thus the study of the geometric relations of figures became the study of the associated transformations.

Various types of transformations (e.g., collineations, circular transformations, inversive transformations, affinities) became the objects of specialized studies. Subsequently, the logical connections among transformations were investigated, and this led to the problem of classifying transformations, and eventually to Klein’s group-theoretic synthesis of geometry.

Klein’s use of groups in geometry was the final stage in bringing order to geometry. An intermediate stage was the founding of the first major theory of classification in geometry, beginning in the $1850 \mathrm{~s}$, the Cayley-Sylvester Invariant Theory. Here the objective was to study invariants of “forms” under transformations of their variables (see Chapter 8.1). This theory of classification, the precursor of Klein’s Erlangen Program, can be said to be implicitly group-theoretic. Klein’s use of groups in geometry was, of course, explicit. (For a thorough analysis of implicit group-theoretic thinking in geometry leading to Klein’s Erlangen Program see [33].)

In the next section we will note the significance of Klein’s Erlangen Program (and his other works) for the evolution of group theory. Since the Program originated a hundred years after Lagrange’s work and eighty years after Gauss’ work, its importance for group theory can best be appreciated after a discussion of the evolution of group theory beginning with the works of Lagrange and Gauss and ending with the period around 1870 .

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Sources of group theory

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Classical Algebra

当时代数的主要问题(1770)拉格朗日写了他的基础回忆录“对代数方程解的思考”,涉及多项式方程。有一些“理论”问题涉及根的存在和性质——例如,每个方程都有根吗?有多少根?它们是真实的、复杂的、积极的、消极的吗?以及处理寻找根源的方法的“实际”问题。在后一种情况下,有精确方法和近似方法。在下文中,我们将提到确切的方法。

巴比伦人知道如何解二次方程,主要是通过完成平方的方法,大约1600乙C(见第 1 章)。大约在 1540 年(第 1 章)给出了求解三次和四次的代数方法。接下来两个世纪的主要问题之一是五次元的代数解。这是拉格朗日在 1770 年的论文中为自己设定的任务。在这篇论文中,拉格朗日首先分析了由 Viète、笛卡尔、欧拉和贝祖设计的各种已知方法,用于求解三次方程和​​四次方程。他表明,这些方法的共同特点是将这些方程简化为辅助方程,即所谓的求解方程。后者比原始方程低一级。

拉格朗日接下来尝试对任意次数的多项式方程进行类似的分析n. 对于每一个这样的方程,他都关联了一个求解方程,如下所示:F(X)是原方程,有根X1,X2,X3,…,Xn. 选择一个有理函数R(X1,X2,X3,…,Xn)的根和系数F(X). (拉格朗日描述了这样做的方法。)考虑不同的值R(X1,X2,X3,…,Xn)假设在所有n!根的排列X1,X2,X3,…,Xn的F(X). 如果这些表示为是1,是2,是3,…,是ķ,则求解方程由下式给出G(X)=(X−是1)(X−是2)⋯(X−是ķ).

值得注意的是,系数G(X)是对称函数X1,X2,X3,…,Xn, 因此它们是基本对称函数中的多项式X1,X2,X3,…,Xn; 也就是说,它们是原方程系数中的多项式F(X). 拉格朗日表明ķ划分n!——群论中我们称之为拉格朗日定理的来源。

例如,如果F(X)是有根的四次方X1,X2,X3,X4, 然后R(X1,X2,X3,X4)可能被认为是X1X2+X3X4,并且该函数在 的 24 种排列下假定三个不同的值X1,X2,X3,X4. 因此,四次的求解方程是三次的。然而,在对五次拉格朗日进行这种分析时,发现求解方程是六次的。

尽管拉格朗日没有成功解决五次的代数可解性问题,但他的工作是一个里程碑。这是第一次在多项式方程的解与其根的排列之间建立关联。事实上,对方程根的排列的研究是拉格朗日代数方程的一般理论的基石。他推测,这形成了“方程解的真正原理”。当然,伽罗瓦在这方面证明了他是正确的。尽管拉格朗日在谈到排列时没有考虑排列的“演算”(例如,没有考虑它们的组成或闭合),但可以说,群概念的萌芽——作为一组排列——存在于他的作品中. 有关详细信息,请参阅 [12]、[16]、[19]、[25]、[33]。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Number Theory

在 1801 年的 Disquisitiones Arithmeticae(算术研究)中,高斯总结并统一了他之前的大部分数论。这项工作还提出了新的方向,使数学家们占据了整个世纪。至于它对群论的影响,可以说《研究》开创了有限阿贝尔群的理论。事实上,高斯在没有使用任何群论术语的情况下建立了这些群的许多重要性质。
这些群以四种不同的形式出现:整数模的加法群米, 与 互质的整数的乘法群米, 模块米,二元二次形式的等价类群,以及n-th 统一的根源。尽管这些例子出现在数论环境中,但高斯将它们视为阿贝尔群,使用现代代数证明的清晰原型。

例如,考虑非零整数模p ( p素数),他证明了它们都是单一元素的幂;也就是说,该组从p∗这样的整数

是循环的。此外,他确定了这组发电机的数量,表明它等于披(p−1), 在哪里披是欧拉的披-功能。

给定任何元素从p,他定义了元素的顺序(不使用术语)并表明元素的顺序是p−1. 然后他用这个结果证明了费马的“小定理”,即一个p−1≡1(反对p)如果p不分一个,因此采用群论思想来证明数论结果。接下来他表明,如果吨是一个正整数,除以p−1,则存在一个元素从p谁的顺序是吨-本质上是循环群的拉格朗日定理的反面。

关于n1 的 -th 根,他将其与分圆方程结合起来考虑,他表明它们也形成了一个循环群。关于这个群体,他提出并回答了许多与他在案例中提出和回答的问题相同的问题。从p∗.

用二元二次形式表示整数的问题可以追溯到 17 世纪初的费马。(回想一下他的定理,形式的每个素数4n+1可以表示为两个平方的和X2+是2.) Gauss 将大部分论文用于详尽研究二元二次形式和用这种形式表示的整数。

二元二次形式是形式的表达式一个X2+bX是+C是2, 和一个,b,C整数。高斯在这种形式上定义了一个组合,并指出如果ķ1和ķ2是两种这样的形式,一种可以表示它们的组成ķ1+ķ2. 然后他证明了这个组合是结合和交换的,存在一个恒等式,并且每个形式都有一个逆,从而验证了阿贝尔群的所有性质。

尽管有这些非凡的见解,人们不应该推断高斯有抽象群的概念,甚至是有限阿贝尔群的概念。虽然论文中的论点很笼统,但他认为的各种“群”都是分开处理的——没有统一的群论方法,他将其应用于所有案例。
有关详细信息,请参阅 [5]、[9]、[25]、[30]、[33]。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Geometry

我们在这里指的是克莱因著名且有影响力的(但请参阅 [18])讲座,题为“最近几何研究的比较回顾”,这是他在 1872 年进入埃尔兰根大学时发表的。这个所谓的埃尔兰根纲领的目的是将几何分类为研究各种变换组下的不变量。这里出现了诸如射影群、刚体运动群、相似群、双曲群、椭圆群等群,以及与它们相关的几何。(Klein 没有提到仿射群。)现在介绍导致 Klein 的 Erlangen 程序的一些背景。

十九世纪见证了几何学在范围和深度上的爆炸式增长。出现了新的几何:射影几何、非几里得几何、微分几何、代数几何、n维几何,和

格拉斯曼的外延几何。各种几何方法争夺霸权:综合与分析,度量与投影。

世纪中叶出现了一个重大问题,即不同几何和几何方法之间的关系和内在联系的分类。这引发了对“几何关系”的研究,重点研究图形在变换下的不变性。很快,焦点转移到了对转换本身的研究。因此,对图形几何关系的研究变成了对相关变换的研究。

各种类型的变换(例如,准线、循环变换、逆变换、亲和)成为专门研究的对象。随后,变换之间的逻辑联系被研究,这导致了变换的分类问题,最终导致了克莱因对几何的群论综合。

克莱因在几何中使用群是给几何带来秩序的最后阶段。中间阶段是几何分类的第一个主要理论的建立,始于1850 s,Cayley-Sylvester 不变理论。这里的目标是研究“形式”在变量变换下的不变量(见第 8.1 章)。这种分类理论是克莱因埃尔兰根纲领的先驱,可以说是隐含的群论。当然,克莱因在几何中对群的使用是明确的。(有关导致 Klein 的 Erlangen 纲领的几何中隐含的群论思维的彻底分析,请参阅 [33]。)

在下一节中,我们将注意到克莱因的 Erlangen 纲领(以及他的其他著作)对群论演化的意义。由于该纲领起源于拉格朗日工作一百年和高斯工作八十年后,因此在讨论了从拉格朗日和高斯的工作开始到大约1870 年。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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