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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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我们提供的拓扑学Topology及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Functions on Smooth Manifolds

In previous sections, we introduced topological spaces, including the special case of (smooth) manifolds. Very often, a space can be equipped with continuous functions defined on it. In this section, we focus on real-valued functions of the form $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ defined on a topological space $X$, also called scalar functions; see Figure 1.8(a) for the graph of a function $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Scalar functions appear commonly in practice that describe space/data of interest (e.g., the elevation function defined on the surface of the Earth). We are interested in the topological structures behind scalar functions. In this section, we limit our discussion to nicely behaved scalar functions (called Morse functions) defined on smooth manifolds. Their topological structures are characterized by the so-called critical points which we will introduce below. Later in the book we will also discuss scalar functions on simplicial complex domains, as well as more complex maps defined on a space $X$, for example, a multivariate function $f: X \rightarrow \mathbb{R}^d$

In what follows, for simplicity of presentation, we assume that we consider smooth ( $C^{\infty}$-continuous) functions and smooth manifolds embedded in $\mathbb{R}^d$, even though often we only require the functions (resp. manifolds) to be $C^2$ continuous (resp. $C^2$-smooth).

To provide intuition, let us start with a smooth scalar function defined on the real line, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$; the graph of such a function is shown in Figure 1.8(b). Recall that the derivative of a function at a point $x \in \mathbb{R}$ is defined as
$$
D f(x)=\frac{d}{d x} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} .
$$ The value $D f(x)$ gives the rate of change of the value of $f$ at $x$. This can be visualized as the slope of the tangent line of the graph of $f$ at $(x, f(x))$. The critical points of $f$ are the set of points $x$ such that $D f(x)=0$. For a function defined on the real line, there are two types of critical points in the generic case: maxima and minima, as marked in Figure 1.8(b).

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Morse Functions and Morse Lemma

From the first-order derivatives of a function we can determine critical points. We can learn more about the “type” of the critical points by inspecting the second-order derivatives of $f$.

A critical point $x$ of $f$ is nondegenerate if its Hessian matrix, Hessian $(x)$, is nonsingular (has nonzero determinant); otherwise, it is a degenerate critical point.

For example, consider $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^3-3 x y^2$. The origin $(0,0)$ is a degenerate critical point often referred to as a “monkey saddle:” see Figure 1.9(d), where the graph of the function around $(0,0)$ goes up and down three times (instead of twice as for a nondegenerate saddle shown in Figure 1.9b). It turns out that, as a consequence of the Morse Lemma below, nondegenerate critical points are always isolated whereas the degenerate ones may not be so. A simple example is $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^2$, where all points on the $y$-axis are degenerate critical points. The local neighborhood of nondegenerate critical points can be completely characterized by the following Morse Lemma.

Proposition 1.2. (Morse Lemma) Given a smooth function $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ defined on a smooth $m$-manifold $M$, let $p$ be a nondegenerate critical point of $f$. Then there is a local coordinate system in a neighborhood $U(p)$ of $p$ so that (i) the coordinate of $p$ is $(0,0, \ldots, 0)$, and (ii) locally for every point $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)$ in neighborhood $U(p)$,
$f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots-x_s^2+x_{s+1}^2 \cdots+x_m^2, \quad$ for some $s \in[0, m]$.
The number s of minus signs in the above quadratic representation of $f(x)$ is called the index of the critical point $p$.

A critical point $x$ of $f$ is nondegenerate if its Hessian matrix, Hessian $(x)$, is nonsingular (has nonzero determinant); otherwise, it is a degenerate critical point.

For example, consider $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^3-3 x y^2$. The origin $(0,0)$ is a degenerate critical point often referred to as a “monkey saddle:” see Figure 1.9(d), where the graph of the function around $(0,0)$ goes up and down three times (instead of twice as for a nondegenerate saddle shown in Figure 1.9b). It turns out that, as a consequence of the Morse Lemma below, nondegenerate critical points are always isolated whereas the degenerate ones may not be so. A simple example is $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^2$, where all points on the $y$-axis are degenerate critical points. The local neighborhood of nondegenerate critical points can be completely characterized by the following Morse Lemma.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Functions on Smooth Manifolds

在前面的部分中，我们介绍了拓扑空间，包括（光滑) 流形的特例。很多时候，空间可以配备定义在其 上的连续功能。在本节中，我们关注形式的实值函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ 在拓扑空间上定义 $X$ ，也称为标量函 数；函数图见图 1.8(a) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. 标量函数通常出现在描述感兴趣的空间/数据的实践中（例如，在地 球表面定义的高程函数）。我们对标量函数背后的拓扑结构感兴趣。在本节中，我们将讨论限制在光滑 流形上定义的表现良好的标量函数（称为莫尔斯函数）。它们的拓扑结构以所谓的临界点为特征，我们 将在下面介绍。在本书的后面，我们还将讨论单纯复数域上的标量函数，以及定义在空间上的更复杂的 映射 $X$ ，例如，多元函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}^d$
在下文中，为了简单起见，我们假设我们考虑平滑 ( $C^{\infty}$-continuous) 函数和平滑流形嵌入 $\mathbb{R}^d$ ，尽管我 们通常只需要函数 (resp.流形) 是 $C^2$ 连续的 (分别 $C^2$-光滑的)。
为了提供直觉，让我们从定义在实线上的平滑标量函数开始， $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$; 这种函数的图形如图 1.8(b) 所示。回想一下函数在一点的导数 $x \in \mathbb{R}$ 定义为
$$
D f(x)=\frac{d}{d x} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} .
$$
价值 $D f(x)$ 给出值的变化率 $f$ 在 $x$. 这可以看作是图的切线的斜率 $f$ 在 $(x, f(x))$. 的关键点 $f$ 是点集 $x$ 这样 $D f(x)=0$. 对于定义在实线上的函数，一般情况下有两种临界点：最大值和最小值，如图 1.8(b) 所示。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Morse Functions and Morse Lemma

从函数的一阶导数我们可以确定临界点。我们可以通过检查的二阶导数来更多地了解临界点的“类型” $f$.
一个临界点 $x$ 的 $f$ 是非退化的，如果它的 Hessian 矩阵 $\operatorname{Hessian}(x)$ ，是非奇异的（具有非零行列式）；否 则，它就是退化临界点。
例如，考虑 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{\text {被定义为 }} f(x, y)=x^3-3 x y^2$. 起源 $(0,0)$ 是一个退化的临界点，通常被称为 “猴鞍”: 见图 1.9(d)，其中函数图围绕 $(0,0)$ 上下三次 (而不是图 1.9b 中所示的非退化鞍座的两次)。事 实证明，由于下面的莫尔斯引理，非退化临界点总是孤立的，而退化临界点可能不是这样。一个简单的 例子是 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $f(x, y)=x^2$ ，其中所有点都在 $y$ 轴是退化临界点。非退化临界点的局部 邻域可以完全由以下莫尔斯引理表征。
提案 1.2。 (莫尔斯引理) 给定一个平滑函数 $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ 定义在光滑 $m$-歧管 $M$ ，让 $p$ 是一个非退化的 临界点 $f$. 那么在一个邻域内就有一个局部坐标系 $U(p)$ 的 $p$ 使得 (i) 的坐标 $p$ 是 $(0,0, \ldots, 0)$ ， 以及 (ii) 本 地的每个点 $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)$ 在附近 $U(p)$ ， $f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots-x_s^2+x_{s+1}^2 \cdots+x_m^2 ， \quad$ 对于一些 $s \in[0, m]$.
上述二次表示中减号的个数 $\mathrm{s} f(x)$ 称为临界点的指标 $p$.
一个临界点 $x$ 的 $f$ 是非退化的，如果它的 Hessian 矩阵 $\operatorname{Hessian}(x)$ ，是非奇异的（具有非零行列式）；否 则，它就是退化临界点。
例如，考虑 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $f(x, y)=x^3-3 x y^2$. 起源 $(0,0)$ 是一个退化的临界点，通常被称为 “猴鞍”: 见图 1.9(d)，其中函数图围绕 $(0,0)$ 上下三次 (而不是图 1.9b 中所示的非退化鞍座的两次)。事 实证明，由于下面的莫尔斯引理，非退化临界点总是孤立的，而退化临界点可能不是这样。一个简单的 例子是 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $f(x, y)=x^2$ ，其中所有点都在 $y$ 轴是退化临界点。非退化临界点的局部 邻域可以完全由以下莫尔斯引理表征。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Maps, Homeomorphisms, and Homotopies

The equivalence of two topological spaces is determined by how the points that comprise them are connected. For example, the surface of a cube can be deformed into a sphere without cutting or gluing it because they are connected the same way. They have the same topology. This notion of topological equivalence can be formalized via functions that send the points of one space to points of the other while preserving the connectivity.

This preservation of connectivity is achieved by preserving the open sets. A function from one space to another that preserves the open sets is called a continuous function or a map. Continuity is a vehicle to define topological equivalence, because a continuous function can send many points to a single point in the target space, or send no points to a given point in the target space. If the former does not happen, that is, when the function is injective, we call it an embedding of the domain into the target space. True equivalence is given by a homeomorphism, a bijective function from one space to another which has continuity as well as a continuous inverse. This ensures that open sets are preserved in both directions.

Definition 1.15. (Continuous function; Map) A function $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ from the topological space $\mathbb{T}$ to another topological space $\mathbb{U}$ is continuous if for every open set $Q \subseteq \mathbb{U}, f^{-1}(Q)$ is open. Continuous functions are also called maps.
Definition 1.16. (Embedding) A map $g: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ is an embedding of $\mathbb{V}$ into $\mathbb{U}$ if $g$ is injective.

A topological space can be embedded into a Euclidean space by assigning coordinates to its points so that the assignment is continuous and injective. For example, drawing a triangle on paper is an embedding of $\mathbb{S}^1$ into $\mathbb{R}^2$. There are topological spaces that cannot be embedded into a Euclidean space, or even into a metric space – these spaces cannot be represented by any metric.

Next we define a homeomorphism that connects two spaces that have essentially the same topology.

Definition 1.17. (Homeomorphism) Let $\mathbb{T}$ and $\mathbb{U}$ be topological spaces. A homeomorphism is a bijective map $h: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ whose inverse is continuous too.

Two topological spaces are homeomorphic if there exists a homeomorphism between them.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Manifolds

A manifold is a topological space that is locally connected in a particular way. A 1-manifold has this local connectivity looking like a segment. A 2manifold (with boundary) has the local connectivity looking like a complete or partial disk. In layman’s terms, a 2-manifold has the structure of a piece of paper or rubber sheet, possibly with the houndaries glued together to form a closed surface – a category that includes disks, spheres, tori, and Möbius bands.

Definition 1.22. (Manifold) A topological space $M$ is an m-manifold, or simply a manifold, if every point $x \in M$ has a neighborhood homeomorphic to $\mathbb{B}_o^m$ or $\mathbb{H}^m$. The dimension of $M$ is $m$.

Every manifold can be partitioned into boundary and interior points. Observe that these words mean very different things for a manifold than they do for a metric space or topological space.

Definition 1.23. (Boundary; Interior) The interior Int $M$ of an $m$-manifold $M$ is the set of points in $M$ that have a neighborhood homeomorphic to $\mathbb{B}_o^m$. The boundary $\mathrm{Bd} M$ of $M$ is the set of points $M \backslash \operatorname{Int} M$. The boundary $\operatorname{Bd} M$, if not empty, consists of the points that have a neighborhood homeomorphic to $\mathbb{H}^m$. If $\mathrm{Bd} M$ is the empty set, we say that $M$ is without boundary.

A single point, a 0 -ball, is a 0 -manifold without boundary according to this definition. The closed disk $\mathbb{B}^2$ is a 2-manifold whose interior is the open disk $\mathbb{B}_o^2$ and whose boundary is the circle $\mathbb{S}^1$. The open disk $\mathbb{B}_o^2$ is a 2-manifold whose interior is $\mathbb{B}_o^2$ and whose boundary is the empty set. This highlights an important difference between Definitions $1.13$ and $1.23$ of “boundary”: when $\mathbb{B}_o^2$ is viewed as a point set in the space $\mathbb{R}^2$, its boundary is $\mathbb{S}^1$ according to Definition 1.13; but viewed as a manifold, its boundary is empty according to Definition 1.23. The boundary of a manifold is always included in the manifold.

The open disk $\mathbb{B}_o^2$, the Euclidean space $\mathbb{R}^2$, the sphere $\mathbb{S}^2$, and the torus are all connected 2-manifolds without boundary. The first two are homeomorphic to each other, but the last two are not. The sphere and the torus in $\mathbb{R}^3$ are compact (bounded and closed with respect to $\mathbb{R}^3$ ) whereas $\mathbb{B}_o^2$ and $\mathbb{R}^2$ are not.

A $d$-manifold, $d \geq 2$, can have orientations whose formal definition we skip here. Informally, we say that a 2-manifold $M$ is non-orientable if, starting from a point $p$, one can walk on one side of $M$ and end up on the opposite side of $M$ upon returning to $p$. Otherwise, $M$ is orientable. Spheres and balls are orientable, whereas the Möbius band in Figure 1.7(a) is a non-orientable 2-manifold with boundary.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Maps, Homeomorphisms, and Homotopies

两个拓扑空间的等价性取决于组成它们的点的连接方式。例如，立方体的表面可以变形为球体而无需切 割或粘合，因为它们的连接方式相同。它们具有相同的拓扑结构。这种拓扑等价的概念可以通过将一个 空间的点发送到另一个空间的点同时保持连通性的函数来形式化。
这种连通性的保存是通过保存开集来实现的。从一个空间到另一个空间并保留开集的函数称为连续函数 或映射。连续性是定义拓扑等价性的载体，因为连续函数可以将许多点发送到目标空间中的单个点，或 者不发送任何点到目标空间中的给定点。如果前者没有发生，即函数是单射的，我们称它为域到目标空 间的嵌入。真正的等价性由同胚给出，同胚是从一个空间到另一个空间的双射函数，它具有连续性和连 续逆。这确保开集在两个方向上都得到保留。
定义 1.15。(Continuous function; Map) 一个函数 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ 从拓扑空间 $\mathbb{T}$ 到另一个拓扑空间 $\mathbb{U}$ 是连续 的如果对于每个开集 $Q \subseteq \mathbb{U}, f^{-1}(Q)$ 开了。连续函数也称为映射。
定义 1.16。（嵌入）地图 $g: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ 是一个嵌入 $\mathbb{V}$ 进入 $\mathbb{U}$ 如果 $g$ 是单射的。
拓扑空间可以通过为它的点分配坐标来嵌入到欧几里得空间中，这样分配是连续的和单射的。例如，在 纸上画一个三角形是嵌入 $\mathbb{S}^1$ 进入 $\mathbb{R}^2$. 有些拓扑空间不能嵌入到欧几里得空间，甚至不能嵌入到度量空间 一一这些空间不能用任何度量表示。
接下来我们定义一个同胚连接两个具有基本相同拓扑结构的空间。
定义 1.17。(同胚) 让 $\mathbb{T}$ 和 $\mathbb{U}$ 是拓扑空间。同胚是双射映射 $h: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{U}$ 它的逆也是连续的。
如果两个拓扑空间之间存在同胚，则它们是同胚的。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Manifolds

流形是以特定方式局部连接的拓扑空间。一个1-流形具有看起来像一个段的这种局部连通性。2 流形 (带边界) 具有看起来像完整或部分磁盘的本地连接。用外行的话来说，2-流形具有一张纸或橡胶板的结 构，可能有边界粘在一起形成一个封闭的表面一一这一类别包括圆盘、球体、环面和莫比乌斯带。
定义 1.22。(流形) 拓扑空间 $M$ 是一个 $\mathrm{m}$-流形，或者只是一个流形，如果每个点 $x \in M$ 有一个邻域同 肧于 $\mathbb{B}_o^m$ 要么 $\mathbb{H}^m$. 的维度 $M$ 是 $m$.
每个流形都可以划分为边界点和内部点。请注意，这些词对于流形的含义与它们对于度量空间或拓扑空 间的含义截然不同。
定义 1.23。（边界；内部) 内部 Int $M$ 的 $m$-歧管 $M$ 是点集 $M$ 有一个邻域同胚于 $\mathbb{B}_o^m$. 边界 $\mathrm{Bd} M$ 的 $M$ 是 点集 $M \backslash \operatorname{Int} M$. 边界 $\mathrm{Bd} M$ ，如果不为空，则由邻域同胚于 $\mathbb{H}^m$. 如果 $\mathrm{Bd} M$ 是空集，我们说 $M$ 是无边 界的。
根据这个定义，一个点，一个 0 -球，是一个没有边界的 0 -流形。封闭的磁盘 $\mathbb{B}^2$ 是一个 2 流形，其内部 是开放圆盘 $\mathbb{B}_o^2$ 以圆为界 $\mathbb{S}^1$. 打开的磁盘 $\mathbb{B}_o^2$ 是一个 2-流形，其内部是 $\mathbb{B}_o^2$ 并且其边界为空集。这突出了定
1.13；但作为流形来看，根据定义 1.23，它的边界是空的。流形的边界总是包含在流形中。
打开的磁盘 $\mathbb{B}_o^2$ ，欧氏空间 $\mathbb{R}^2$ ，球体 $\mathbb{S}^2$ ，环面都是无边界连接的 2-流形。前两个是彼此同胚的，但后两个 不是。中的球体和环面 $\mathbb{R}^3$ 是紧凑的（相对于 $\mathbb{R}^3$ ) 然而 $\mathbb{B}_o^2$ 和 $\mathbb{R}^2$ 不是。
一种 $d$-歧管， $d \geq 2$ ，可以有方向，我们在这里跳过其正式定义。非正式地，我们说一个 2-流形 $M$ 是不可 定向的，如果从一个点开始 $p$ ，一个人可以走在一侧 $M$ 并最终在对面 $M$ 回到 $p$. 除此以外， $M$ 是可定向 的。球体和球是可定向的，而图 1.7(a) 中的莫比乌斯带是一个不可定向的有边界的 2-流形。

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有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Space

The basic object in a topological space is a ground set whose elements are called points. A topology on these points specifies how they are connected by listing what points constitute a neighborhood – the so-called open set.

The expression “rubber-sheet topology” commonly associated with the term “topology” exemplifies this idea of connectivity of neighborhoods. If we bend and stretch a sheet of rubber, it changes shape but always preserves the neighborhoods in terms of the points and how they are connected.

We first introduce basic notions from point set topology. These notions are prerequisites for more sophisticated topological ideas – manifolds, homeomorphism, isotopy, and other maps – used later to study algorithms for topological data analysis. Homeomorphisms, for example, offer a rigorous way to state that an operation preserves the topology of a domain, and isotopy offers a rigorous way to state that the domain can be deformed intoo aa shape without ever colliding with itself.

Perhaps it is more intuitive to understand the concept of topology in the presence of a metric because then we can use the metric balls such as Euclidean balls in a Euclidean space to define neighborhoods – the open sets. Topological spaces provide a way to abstract out this idea without a metric or point coordinates, so they are more general than metric spaces. In place of a metric, we encode the connectivity of a point set by supplying a list of all of the open sets. This list is called a system of subsets of the point set. The point set and its system together describe a topological space.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metric Space Topology

Metric spaces are a special type of topological space commonly encountered in practice. Such a space admits a metric that specifies the scalar distance between every pair of points satisfying certain axioms.

Definition 1.8. (Metric space) A metric space is a pair ( $\mathbb{T}, d)$ where $\mathbb{T}$ is a set and $d$ is a distance function $d: \mathbb{T} \times \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying the following properties:

• $\mathrm{d}(p, q)=0$ if and only if $p=q$ for all $p \in \mathbb{T}$;
• $\mathrm{d}(p, q)=\mathrm{d}(q, p)$ for all $p, q \in \mathbb{\pi}$;
• $\mathrm{d}(p, q) \leq \mathrm{d}(p, r)+\mathrm{d}(r, q)$ for all $p, q, r \in \mathbb{T}$.
  It can be shown that the three axioms above imply that $\mathrm{d}(p, q) \geq 0$ for every pair $p, q \in \mathbb{T}$. In a metric space $\mathbb{T}$, an open metric ball with center $c$ and radius $r$ is defined to be the point set $B_o(c, r)={p \in \mathbb{T}: \mathrm{d}(p, c)<r}$. Metric balls define a topology on a metric space.

Definition 1.9. (Metric space topology) Given a metric space $\mathbb{T}$, all metric balls $\left{B_o(c, r) \mid c \in \mathbb{T}\right.$ and $\left.0<r \leq \infty\right}$ and their union constituting the open sets define a topology on $\mathbb{T}$.

All definitions for general topological spaces apply to metric spaces with the above defined topology. However, we give alternative definitions using the concept of limit points which may be more intuitive.

As we have mentioned already, the heart of topology is the question of what it means for a set of points to be connected. After all, two distinct points cannot be adjacent to each other; they can only be connected to one another by passing through uncountably many intermediate points. The idea of limit points helps express this concept more concretely, specifically in the case of metric spaces. We use the notation $\mathrm{d}(\cdot, \cdot)$ to express minimum distances between point sets $P, Q \subseteq \mathbb{T}:$
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d}(p, Q)=\inf {\mathrm{d}(p, q): q \in Q} \
& \mathrm{d}(P, Q)=\inf {\mathrm{d}(p, q): p \in P, q \in Q}
\end{aligned}
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Space

拓扑空间中的基本对象是一个基集，其元素称为点。这些点上的拓扑通过列出构成邻域的点（即所谓的开集）来指定它们是如何连接的。

通常与术语“拓扑”相关联的“橡皮布拓扑”表达体现了这种邻里连通性的想法。如果我们弯曲和拉伸一块橡胶，它会改变形状，但始终会保留点及其连接方式方面的邻域。

我们首先介绍点集拓扑的基本概念。这些概念是更复杂的拓扑思想的先决条件——流形、同胚、同位素和其他映射——后来用于研究拓扑数据分析的算法。例如，同胚提供了一种严格的方式来说明操作保留了域的拓扑结构，而同位素提供了一种严格的方式来说明域可以变形为某种形状而不会与自身发生碰撞。

也许在存在度量的情况下理解拓扑的概念更直观，因为这样我们就可以使用欧几里得空间中的度量球（例如欧几里得球）来定义邻域——开集。拓扑空间提供了一种在没有度量或点坐标的情况下抽象出这个想法的方法，因此它们比度量空间更通用。我们通过提供所有开放集的列表来对点集的连通性进行编码，而不是度量。该列表称为点集子集的系统。点集及其系统共同描述了一个拓扑空间。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metric Space Topology

度量空间是实践中经常遇到的一种特殊类型的拓扑空间。这样的空间接受一个度量，该度量指定满足某 些公理的每对点之间的标量距离。
定义 1.8。(度量空间)一个度量空间是一对( $\mathbb{T}, d)$ 在哪里 $\mathbb{T}$ 是一个集合并且 $d$ 是一个距离函数 $d: \mathbb{T} \times \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足以下性质:

• $\mathrm{d}(p, q)=0$ 当且仅当 $p=q$ 对所有人 $p \in \mathbb{T}$;
• $\mathrm{d}(p, q)=\mathrm{d}(q, p)$ 对所有人 $p, q \in \pi$;
• $\mathrm{d}(p, q) \leq \mathrm{d}(p, r)+\mathrm{d}(r, q)$ 对所有人 $p, q, r \in \mathbb{T}$.
  可以证明，上面的三个公理意味着 $\mathrm{d}(p, q) \geq 0$ 每对 $p, q \in \mathbb{T}$. 在度量空间 $\mathbb{T}$, 一个中心为空心的公 制球 $c$ 和半径 $r$ 被定义为点集 $B_o(c, r)=p \in \mathbb{T}: \mathrm{d}(p, c)<r$. 度量球定义度量空间上的拓扑。
  定义 1.9。 (度量空间拓扑) 给定一个度量空间 $\mathbb{T}$ ，所有公制球 个拓扑T⿺丄⺊.
  一般拓扑空间的所有定义都适用于具有上述定义拓扑的度量空间。但是，我们使用可能更直观的极限点 概念给出替代定义。
  正如我们已经提到的，拓扑的核心问题是连接一组点意味着什么。毕竟，两个不同的点不能彼此相邻； 它们只能通过无数个中间点才能相互连接。极限点的概念有助于更具体地表达这个概念，特别是在度量 空间的情况下。我们使用符号 $\mathrm{d}(\cdot, \cdot)$ 表达点集之间的最小距离 $P, Q \subseteq \mathbb{T}$ :
  $$
  \mathrm{d}(p, Q)=\inf \mathrm{d}(p, q): q \in Q \quad \mathrm{~d}(P, Q)=\inf \mathrm{d}(p, q): p \in P, q \in Q
  $$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuous Maps and Homeomorphisms

The concept of continuous maps often appears as the first notion in a book on calculus or analysis. The epsilon-delta definition of continuity of a function on the real line was first given by Bolzano in 1817 . Generalizing it without using the metric structure, one may define continuous maps between topological spaces. In Section 3.1, we shall formulate a definition of continuity that includes all kinds of continuities as special cases and study various properties of this general continuity. The essential concept of homeomorphisms between topological spaces comes out in Section $3.2$.
In this book, the words map and function are used interchangeably.
Let $X$ be a topological space with a subset $A \subseteq X$. The identity map is the map
$$
\text { id: } \begin{aligned}
X & \rightarrow X \
x & \mapsto x .
\end{aligned}
$$
It is a notion on the level of sets, rather than the level of topological spaces. As a result, the identity map from a topological space $A=(X, \Omega)$ to another space $B=\left(X, \Omega_{B}\right)$ is not continuous when $B$ has an open set that is not open in $A$. The inclusion from $A$ to $X$ is the map
$$
\begin{aligned}
\iota: A & \rightarrow X \
x & \mapsto x .
\end{aligned}
$$
Let $Y$ be a topological space with a subset $B \subseteq Y$. A map
$$
f: X \rightarrow Y
$$ is a constant map if the image $f(X)$ is a singleton. Let
$$
f(A) \subseteq B .
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuous maps

Definition 3.1. A map
$$
f:\left(X, \Omega_{X}\right) \rightarrow\left(Y, \Omega_{Y}\right)
$$
between topological spaces is open if every open set of $X$ is mapped to an open set of $Y$. The map $f$ is closed if every closed set of $X$ is mapped to a closed set of $Y$. The map $f$ is continuous if the preimage of any open set of $Y$ is an open set of $X$. It is continuous at a point $x \in X$ if the set $f^{-1}(V)$ is a neighborhood of $x$ for every neighborhood $V$ of $f(x)$.

Example $3.2$ exhibits that the notion of continuity in topology and that in calculus are different.
Example 3.2. Consider topological spaces $\left(X, \Omega_{\mathbb{R}}\right)$ and $\left(Y, \Omega_{Y}\right)$, where
$$
X=Y=[0,2] .
$$
If $\Omega_{Y}=\Omega_{\mathbb{R}}$, then the function
$$
\begin{aligned}
f: X & \rightarrow Y \
x & \mapsto \begin{cases}x, & \text { if } x \in[0,1), \
3-x, & \text { if } x \in[1,2]\end{cases}
\end{aligned}
$$
is not continuous. This coincides with what we learnt from analysis. If the topology $\Omega_{Y}$ is induced from the arrow, then the function
$$
\begin{aligned}
f: X & \rightarrow Y \
x & \mapsto \begin{cases}x, & \text { if } x \in[0,1], \
x+1, & \text { if } x \in(1,2]\end{cases}
\end{aligned}
$$
is continuous! This is different from what we know from analysis.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuous Maps and Homeomorphisms

连续映射的概念通常作为微积分或分析书籍中的第一个概念出现。1817 年，Bolzano 首次给出了实线上函数连续性 的 epsilon-delta 定义。在不使用度量结构的情况下对其进行概括，可以定义拓扑空间之间的连续映射。在 $3.1$ 节 中，我们将制定一个连续性的定义，包括作为特例的各种连续性，并研究这种一般连续性的各种性质。拓扑空间之 间同胚的基本概念出现在第 $3.2$.
在本书中，地图和函数这两个词可以互换使用。
让 $X$ 是具有子集的拓扑空间 $A \subseteq X$. 身份图是地图
id: $X \rightarrow X x \quad \mapsto x .$
它是关于集合水平的概念，而不是拓扑空间水平的概念。结果，来自拓扑空间的恒等映射 $A=(X, \Omega)$ 到另一个空 间 $B=\left(X, \Omega_{B}\right)$ 不连续时 $B$ 有一个末开集的开集 $A$. 包含来自 $A$ 至 $X$ 是地图
$$
\iota: A \rightarrow X x \quad \mapsto x .
$$
让 $Y$ 是具有子集的拓扑空间 $B \subseteq Y$. 一张地图
$$
f: X \rightarrow Y
$$
是一个常数映射，如果图像 $f(X)$ 是单例。让
$$
f(A) \subseteq B
$$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Continuous maps

定义 3.1。一张地图
$$
f:\left(X, \Omega_{X}\right) \rightarrow\left(Y, \Omega_{Y}\right)
$$
如果每个开集的拓扑空间之间是开的 $X$ 映射到一个开放的集合 $Y$. 地图 $f$ 如果每个闭合集都是闭合的 $X$ 映射到一个闭 集 $Y$. 地图 $f$ 如果任何开放集的原像是连续的 $Y$ 是一个开集 $X$. 在一点上是连续的 $x \in X$ 如果集合 $f^{-1}(V)$ 是一个社 区 $x$ 对于每个社区 $V$ 的 $f(x)$.
例子 $3.2$ 表明拓扑学中的连续性概念和微积分中的连续性概念是不同的。
例 3.2。考虑拓扑空间 $\left(X, \Omega_{\mathbb{R}}\right)$ 和 $\left(Y, \Omega_{Y}\right)$ ，在哪里
$$
X=Y=[0,2] .
$$
如果 $\Omega_{Y}=\Omega_{\mathbb{R}}$ ，那么函数
$$
f: X \rightarrow Y x \mapsto{x, \quad \text { if } x \in[0,1), 3-x, \quad \text { if } x \in[1,2]
$$
不是连续的。这与我们从分析中学到的一致。如果拓扑 $\Omega_{Y}$ 由箭头引出，则函数
$$
f: X \rightarrow Y x \quad \mapsto{x, \quad \text { if } x \in[0,1], x+1, \quad \text { if } x \in(1,2]
$$
是连续的：这与我们从分析中得知的不同。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Exercises 2

2.1) The set $K \cup{0}$ is closed in the real line, where $K$ is the set of unit fractions.
2.2) A topology is defined by assigning the open sets of a set $X$ in Definition 2.1. Can it be defined by assigning the closed sets of $X$ ?
2.3) Can we define a topology by assigning the neighborhoods?
2.4) Find a smallest topological space which is neither discrete nor indiscrete. Is it unique?
2.5) Is there a topology which is both a particular point topology and an excluded point topology?
2.6) Find a topological space $(X, \Omega)$ with a set $A \subset X$ satisfying
(a) $A$ is neither open nor closed;
(b) $A$ is the union of an infinite number of closed sets; and
(c) $A$ is the intersection of an infinite number of open sets.
2.7) Dèscribè all néighborhoods of a point in
(a) a discrete space;
(b) an indiscrete space;
(c) the arrow;
(d) a particular point space;
(e) the Sierpiński space.
2.8) The terminology “basis” in linear algebra and the terminology “base” in topology, as English words, have the same plural form “bases”. What can we say about their differences as mathematical concepts?

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Selected Solutions

2.1) The complement of the set is the union
$$
(-\infty, 0) \cup\left{\left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right): n \in \mathbb{Z}^{+}\right} \cup(1,+\infty)
$$
of open sets.
2.2) Yes. Here is a list of axioms for assigning the closed sets:
(a) the empty set $\emptyset$ and $X$ are closed;
(b) the union of any finite number of closed sets is closed;
(c) the intersection of any collection of closed sets is closed.
2.3) Yes. Here is a list of axioms for assigning the collection $\mathcal{N}{x}$ of neighborhoods to each point $x$ : (a) If $x \in X$ and $U \in \mathcal{N}{x}$, then $x \in U$.
(b) If $x \in X$ and $U_{1}, U_{2} \in \mathcal{N}{x}$, then $$ U{1} \cap U_{2} \in \mathcal{N}{x} $$ (c) If $x \in X, U \in \mathcal{N}{x}$, and $U \subset V$, then
$$
V \in \mathcal{N}{x} . $$ (d) If $x \in X$ and $U \in \mathcal{N}{x}$, then
$$
\left{y \in V: V \in \mathcal{N}{y}\right} \in \mathcal{N}{x} .
$$
2.6) The interval $[0,1)$ in $\mathbb{R}$.
2.8) In linear algebra, a set $B$ of elements in a vector space $V$ is called a basis if every element of $V$ may be written in a unique way as a finite linear combination of elements of $B$. In contrast to a basis, it is not necessary for a base to be maximal. For example, any open set can be added to a base to form a new base. Moreover, a topological space may have disjoint bases of distinct sizes. For example, the standard topology on the real line has a base of all open intervals with rational ends, and another base of all open intervals with irrational ends.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Exercises 2

2.1) 集合 $K \cup 0$ 在实线中闭合，其中 $K$ 是单位分数的集合。
2.2）拓扑是通过分配一个集合的开集来定义的 $X$ 在定义 $2.1$ 中。是否可以通过分配闭集来定义 $X$ ?
2.3) 我们可以通过分配邻域来定义拓扑吗?
2.4) 找到一个既不是离散也不是不离散的最小拓扑空间。它是独一无二的吗?
2.5) 是否存在既是特定点拓扑又是排除点拓扑的拓扑?
2.6) 寻找拓扑空间 $(X, \Omega)$ 用一套 $A \subset X$ 满足
（一） $A$ 既不开放也不封闭；
(b) $A$ 是无限多闭集的并集；(
c) $A$ 是无限个开集的交集。
2.7) 描述
(a) 离散空间中一个点的所有邻域；
(b) 杂乱无章的空间；
(c) 箭头；
(d) 一个特定的点空间；
(e) 谢尔宾斯基空间。
2.8) 线性代数中的术语“基础”和拓扑学中的术语“基础”，作为英文单词，具有相同的复数形式“基础”。对于它们作为 数学概念的差异，我们能说些什么?

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Selected Solutions

2.1) 集合的补集是并集
$(-$ linfty, 0) \cup\left } { \backslash \text { left(\frac } { 1 } { n + 1 } , \backslash \text { frac } { 1 } n } \backslash \text { right): } n \backslash \text { in } \backslash \text { mathbb } { Z } ^ { \wedge } { + } \backslash \text { right } } \backslash c u p ( 1 , + \backslash i n f t y )
的开集。
2.2) 是的。以下是分配闭集的公理列表:
(a) 空集 $\emptyset$ 和 $X$ 已关闭;
(b) 任何有限数量的封闭集的并集是封闭的；
(c) 任何闭集的交集都是闭集。
2.3) 是的。这是分配集合的公理列表 $\mathcal{N} x$ 每个点的邻域 $x$ : (a) 如果 $x \in X$ 和 $U \in \mathcal{N} x$ ，然后 $x \in U$.
(b) 如果 $x \in X$ 和 $U_{1}, U_{2} \in \mathcal{N} x$ ，然后
$$
U 1 \cap U_{2} \in \mathcal{N} x
$$
(c) 如果 $x \in X, U \in \mathcal{N} x$ ，和 $U \subset V$ ，然后
$$
V \in \mathcal{N} x .
$$
(d) 如果 $x \in X$ 和 $U \in \mathcal{N} x$ ，然后
\left } { y \backslash \text { in } \mathrm { V } : \mathrm { V } \backslash \text { in } \backslash \text { mathcal } { \mathrm { N } } { \mathrm { y } } \backslash \text { right } } \backslash \text { in } \backslash \text { mathcal } { \mathrm { N } } { \mathrm { x } } \text { 。 }
2.6) 区间 $[0,1)$ 在 $\mathbb{R}$.
2.8) 在线性代数中，一个集合 $B$ 向量空间中的元素 $V$ 如果每个元素都称为基 $V$ 可以用一种独特的方式写成元素的有 限线性组合 $B$. 与基相比，基不一定是最大的。例如，可以将任何开集添加到碱基以形成新碱基。此外，拓扑空间可 能具有不同大小的不相交基。例如，实线上的标准拓扑有一个基是所有开区间的有理端点，另一个基是所有开区间 的无理端点。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写拓扑学Topology这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metrics and the metric topology

This section is devoted to a special kind of topological spaces – the metric spaces. A parallel context is Sutherland’s book [38], which puts an emphasis on metric spaces.
The Cartesian product of two sets $X$ and $Y$ is the set
$$
X \times Y={(x, y): x \in X, y \in Y} .
$$
It is also called the direct product. The Cartesian product of $n$ copies of a set $\bar{X}$ is usually denoted as $\bar{X}^{n}$. A function
$$
f: X^{n} \rightarrow \mathbb{C}
$$
is said to be symmetric if
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=f\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n}}\right)
$$
for any rearrangement $\left(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n}\right)$ of the subscripts $1,2, \ldots, n$, where $\mathbb{C}$ is the set of complex numbers.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Spaces

Exercises $2.19$ and $2.20$ give other two ways of self-production of metrics.
The concept of norm in linear algebra, functional analysis and related areas has a close relationship with metrics. Let $X$ be a set. A function
$$
f: X \rightarrow \mathbb{R}
$$
is subadditive if
$$
f(x+y) \leq f(x)+f(y)
$$
for any $x, y \in X$. Let $V$ be a vector space over $\mathbb{R}$. A seminorm on $V$ is a function
$$
|\cdot|: V \rightarrow \mathbb{R}
$$
that is subadditive and absolutely scalable:
$$
|\lambda v|=|\lambda| \cdot|v|, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall v \in V .
$$
The trivial seminorm is the function that maps every vector to zero. Any seminorm is positive semi-definite, i.e.,
$$
|v| \geq 0, \quad \forall v \in V .
$$
In fact, the absolute scalability implies
$$
|0|=0 \quad \text { and } \quad|-v|=|v| .
$$
Taking $u=-v$ in the subadditivity condition that
$$
|u+v| \leq|u|+|v|
$$
we obtain $|v| \geq 0$. A seminorm is a norm if it is definite, that is, if it satisfies the implication
$$
|v|=0 \Rightarrow v=0
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Metrics and the metric topology

本节专门讨论一种特殊的拓扑空间一一度量空间。一个平行的背景是 Sutherland 的书 [38]，它强调度量空间。 两组的笛卡尔积 $X$ 和 $Y$ 是集合
$$
X \times Y=(x, y): x \in X, y \in Y .
$$
它也被称为直接产品。的笛卡尔积 $n$ 一套副本 $\bar{X}$ 通常表示为 $\bar{X}^{n}$.一个函数
$$
f: X^{n} \rightarrow \mathbb{C}
$$
称是对称的，如果
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=f\left(x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, \ldots, x_{i_{n}}\right)
$$
对于任何重排 $\left(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n}\right)$ 的下标 $1,2, \ldots, n$ ， 在哪里 $\mathbb{C}$ 是复数的集合。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Spaces

练习2.19和 $2.20$ 给出其他两种自我生产指标的方法。
线性代数、泛函分析及相关领域中的范数概念与度量有着密切的关系。让 $X$ 成为一个集合。一个函数
$$
f: X \rightarrow \mathbb{R}
$$
是次可加的，如果
$$
f(x+y) \leq f(x)+f(y)
$$
对于任何 $x, y \in X$. 让 $V$ 是一个向量空间 $\mathbb{R}$. 半规范 $V$ 是一个函数
$$
|\cdot|: V \rightarrow \mathbb{R}
$$
这是次加法且绝对可扩展的:
$$
|\lambda v|=|\lambda| \cdot|v|, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall v \in V .
$$
平凡半范式是将每个向量映射为零的函数。任何半范数都是半正定的，即
$$
|v| \geq 0, \quad \forall v \in V .
$$
事实上，绝对的可扩展性意味看
$$
|0|=0 \quad \text { and } \quad|-v|=|v| .
$$
服用 $u=-v$ 在次可加性条件下
$$
|u+v| \leq|u|+|v|
$$
我们获得 $|v| \geq 0$. 一个半范数是一个范数，如果它是确定的，也就是说，如果它满足蕴涵
$$
|v|=0 \Rightarrow v=0
$$

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金融工程代写

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological structures

It took a long time in forming the following definition of a topological space. According to Munkres [30, page 75], “mathematicians … wanted, of course, a definition that was as broad as possible, so that it would include as special cases all the various examples that were useful in mathematics … but they also wanted the definition to be narrow enough that the standard theorems about these familiar spaces would hold for topological spaces in general.”
Definition 2.1. A topology on a set $X$ is a collection $\Omega \in 2^{X}$ satisfying the axioms
(1) $\emptyset \in \Omega$ and $X \in \Omega$;
(2) the union of any members of $\Omega$ lies in $\Omega$; and
(3) the intersection of any two members of $\Omega$ lies in $\Omega$.
A topological space is a pair $(X, \Omega)$, where $\Omega$ is a topology on $X$. An open set in $(X, \Omega)$ is a member in $\Omega$. A closed set in $(X, \Omega)$ is a subset $A \subseteq X$ such that $X \backslash A \in \Omega$. A clopen set in $(X, \Omega)$ is a subset $A \subseteq X$ that is both closed and open. A neighborhood of a point $p \in X$ is a subset $U \subseteq X$ such that $p \in O \subseteq U$ for some open set $O \in \Omega$.

Throughout this book, we use the letter $\Omega$ to denote an open set, ${ }^{4}$ and the letter $U$ a neighborhood since it is the first letter of the German word “umgebung”, which means neighborhood. The definition of a neighborhood follows the Nicolas Bourbaki group $5[11,12]$.
Example 2.2. Are the following pairs $(X, \Omega)$ topological spaces?
(1) $X=\mathbb{R}$ is the set of real numbers, and
$$
\Omega={\text { infinite subsets of } \mathbb{R}} \cup{\emptyset} .
$$
Answer. No.
(2) $X=\mathbb{R}^{2}$ is the set of points on the plane, and $\Omega={$ opén disks céntérẽd át thé úigin $} \cup{\emptyset, X}$.
Answer. Yes.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Point position with respect to a set

We introduce some terminologies on point positions with respect to a set.
Definition 2.14. Let $X$ be a topological space with a subset $A \subseteq X$. $\mathrm{A}$ limit point of $A$ is a point $p \in X$ such that
$$
(A \backslash{P}) \cap U \neq \emptyset
$$
for any neighborhood $U$ of $p$. An isolated point of $A$ is a point $p \in A$ such that
$(A \backslash{p}) \cap U=\emptyset$
for some neighborhood $U$ of $p$. The set $A$ is perfect if it is closed and has no isolated points. The closure of $A$ is the union of $A$ and its limit points, denoted $\bar{A}$, i.e.,
$$
\bar{A}={p \in X: N \cap A \neq \emptyset \text { for any neighborhood } N \text { of } p} .
$$
An adherent point of $A$ is a point in the closure $\bar{A}$. An interior point of $A$ is a point having a neighborhood in $A$. The interior of $A$, denoted $A^{\circ}$, is the set of interior points. An exterior point of $A$ is a point that has a neighborhood in the complement
$$
A^{c}=X \backslash A .
$$
The exterior of $A$ is the set $\left(A^{c}\right)^{\circ}$ of exterior points. A boundary point of $A$ is a point such that each of its neighborhood meets both $A$ and $A^{c}$. The boundary of $A$ is the set $\bar{A} \backslash A^{\circ}$ of boundary points, denoted $\partial A$. When one expresses the closure of $A$ with an emphasis on the operation of taking closure, he may use the symbol $\mathrm{Cl}(A)$ (or $\mathrm{Cl}_{X} A$ when there is a possibility of confusion). The symbols $\operatorname{Int}(A), \operatorname{Ext}(A)$, and $\operatorname{Bd}(A)$ are used in the similar manner.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological structures

形成以下拓扑空间的定义花了很长时间。根据 Munkres [30， page 75]， “数学家……当然想要一个尽可能广泛的定 义，以便将所有在数学中有用的各种例子都作为特例包括在内……但他们也想要定义足够窄，以至于关于这些熟悤空 间的标准定理通常适用于拓扑空间。”
定义 2.1。集合上的拓扑 $X$ 是一个集合 $\Omega \in 2^{X}$ 满足公理
(1) $\emptyset \in \Omega$ 和 $X \in \Omega$;
(2) 任何成员的工会 $\Omega$ 在于 $\Omega$; (
3) 任意两个成员的交集 $\Omega$ 在于 $\Omega$.
拓扑空间是一对 $(X, \Omega)$ ，在哪里 $\Omega$ 是一个拓扑 $X$. 一个开放的集合 $(X, \Omega)$ 是成员 $\Omega$. 一个封闭的集合 $(X, \Omega)$ 是一个 子集 $A \subseteq X$ 这样 $X \backslash A \in \Omega$. 一个 cloopen 设置在 $(X, \Omega)$ 是一个子集 $A \subseteq X$ 既封闭又开放。一个点的邻域 $p \in X$ 是一个子集 $U \subseteq X$ 这样 $p \in O \subseteq U$ 对于一些开放集 $O \in \Omega$.
在本书中，我们使用字母 $\Omega$ 表示一个开集， ${ }^{4}$ 和信 $U$ 邻里，因为它是德语单词“umgebung”的第一个字母，意思是邻 里。邻里的定义遵循 Nicolas Bourbaki 群 $5[11,12]$.
例 2.2。是以下对 $(X, \Omega)$ 拓扑空间?
(1) $X=\mathbb{R}$ 是实数的集合，并且
$$
\Omega=\text { infinite subsets of } \mathbb{R} \cup \emptyset .
$$
回答。编号
(2) $X=\mathbb{R}^{2}$ 是平面上的点集，并且 $\Omega=$ \$opéndiskscéntérẽdatthéúigin $\$ \cup \emptyset, X$.
回答。是的。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Point position with respect to a set

我们介绍了一些关于集合的点位置的术语。
定义 2.14。让 $X$ 是具有子集的拓扑空间 $A \subseteq X$. A极限点 $A$ 是一个点 $p \in X$ 这样
$$
(A \backslash P) \cap U \neq \emptyset
$$
对于任何社区 $U$ 的 $p .$ 个个孤立的点 $A$ 是一个点 $p \in A$ 这样
$(A \backslash p) \cap U=\emptyset$
对于某些社区 $U$ 的 $p$. 套装 $A$ 如果它是封闭的并且没有孤立点是完美的。的关闭 $A$ 是联合 $A$ 及其极限点，表示为 $\bar{A}$ ， 那是，
$$
\bar{A}=p \in X: N \cap A \neq \emptyset \text { for any neighborhood } N \text { of } p .
$$
一个附着点 $A$ 是闭包中的一个点 $\bar{A}$.一个内点 $A$ 是一个有邻域的点 $A$. 的内部 $A$, 表示 $A^{\circ}$ ，是内部点的集合。一个外点 $A$ 是在补码中有邻域的点
$$
A^{c}=X \backslash A \text {. }
$$
的外观 $A$ 是集合 $\left(A^{c}\right)^{\circ}$ 的外部点。一个边界点 $A$ 是一个点，使得它的每个邻域都满足 $A$ 和 $A^{c}$. 的边界 $A$ 是集合 $\bar{A} \backslash A^{\circ}$ 边界点，表示 $\partial A$. 当一个人表示关闭 $A$ 强调关闭操作，他可以使用符号 $\mathrm{Cl}(A)$ (或者 $\mathrm{Cl}_{X} A$ 当有可能混淆时) 。符 号Int $(A), \operatorname{Ext}(A)$ ，和 $\mathrm{Bd}(A)$ 以类似的方式使用。

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金融工程代写

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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如果你也在 怎样代写拓扑学Topology这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写拓扑学Topology方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写拓扑学Topology代写方面经验极为丰富，各种代写拓扑学Topology相关的作业也就用不着说。

我们提供的拓扑学Topology及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic fields

In the $1860 \mathrm{~s}$, the Scottish physicist James Clerk Maxwell gathered together all that was known at the time about electricity and magnetism and showed that it all followed from a small set of equations now known as the Maxwell equations. In modern vector notation and SI units, the differential form of these laws is given by
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}, \quad \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \
\nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_{0}\left(J+\epsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right)
\end{gathered}
$$
The electric and magnetic fields can be computed from the scalar potential $\phi(r, t)$ and the vector potential $A(\boldsymbol{r}, t)$,
$$
\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A} \quad \text { and } \quad \boldsymbol{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{d t} .
$$
The potentials $\phi$ and $\boldsymbol{A}$ are not entirely well-defined: for any function $f(\boldsymbol{r}, t)$, the gauge transformations
$$
A \rightarrow A+\nabla f \quad \text { and } \quad \phi \rightarrow \phi-\frac{\partial f}{\partial t}
$$
leave $\boldsymbol{E}$ and $\boldsymbol{B}$ unchanged, along with all other physically measurable quantities. This ambiguity in the potentials is sometimes useful, since it can often be utilized to put them into a form that simplifies a given problem. However, it also introduces conceptual difficulties and raises the question of whether the potentials are physically ‘real’ in the same way the directly measurable $\boldsymbol{E}$ and $\boldsymbol{B}$ fields are. We will see later that the gauge invariance in fact has geometric and topological meaning.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic potentials and gauge invariance

Returning to the gauge potential $A_{\mu}$ defined above, the effect of the electromagnetic field acting on a particle of charge $q$ may be introduced via the minimal coupling principle, replacing the free-particle four momentum $p_{\mu}=-i \hbar \partial / \partial x_{\mu}$ by the canonical momentum
$$
p_{\mu}=-i \hbar\left(\partial / \partial x_{\mu}\right)+q A_{\mu}
$$
Here we are using relativistic four-vector notation, where $\mu=0$ corresponds to the time-like component and $\mu=1,2,3$ are the space-like components:
$$
\begin{gathered}
A_{\mu}={\phi, \boldsymbol{A}} \
\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}=\left{\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right} \
p_{\mu}={E, \boldsymbol{p}} .
\end{gathered}
$$

The Schrödinger equation is then of the form
$$
\left(\frac{1}{2 m}(i \hbar \nabla+q A)^{2}+q \phi\right) \psi(\boldsymbol{x}, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t)
$$
Note that the transition to the canonical momentum may also be viewed as starting from the field-free Schrödinger equation,
$$
\frac{\hbar^{2}}{2 m} V^{2} \psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t),
$$
and replacing the ordinary derivatives $\partial_{\mu} \equiv \partial / \partial x_{\mu}(\mu=0,1,2,3)$ by the covariant derivatives
$$
D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{i q}{\hbar} A_{\mu}
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic fields

在里面 $1860 \mathrm{~s}$, 苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 收集了当时已知的关于电和磁的所 有知识，并表明这一切都来自现在称为麦克斯韦方程的一小组方程。在现代矢量符号和 SI 单位中，这些定律的微 分形式由下式给出
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}, \quad \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_{0}\left(J+\epsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right)
$$
可以从标量势计算电场和磁场 $\phi(r, t)$ 和矢量势 $A(r, t)$,
$$
\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A} \quad \text { and } \quad \boldsymbol{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{d t} .
$$
潜力 $\phi$ 和 $\boldsymbol{A}$ 不是完全定义好的: 对于任何函数 $f(\boldsymbol{r}, t)$, 规范变换
$$
A \rightarrow A+\nabla f \quad \text { and } \quad \phi \rightarrow \phi-\frac{\partial f}{\partial t}
$$
离开 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不变，以及所有其他物理上可测量的量。势中的这种模糊性有时很有用，因为它通常可以用来将它们 放入简化给定问题的形式中。然而，它也引入了概念上的困难，并提出了潜在的物理“真实”的问题，就像直接测量 的一样。 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 领域是。稍后我们将看到规范不变性实际上具有几何和拓扑意义。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic potentials and gauge invariance

回到规范电位 $A_{\mu}$ 如上所述，电磁场作用于带电粒子的效应 $q$ 可以通过最小耦合原理引入，代替自由粒子四动量 $p_{\mu}=-i \hbar \partial / \partial x_{\mu}$ 由规范动量
$$
p_{\mu}=-i \hbar\left(\partial / \partial x_{\mu}\right)+q A_{\mu}
$$
这里我们使用相对论的四向量符号，其中 $\mu=0$ 对应于类时间分量和 $\mu=1,2,3$ 是类空间组件:
薛定谔方程则为
$$
\left(\frac{1}{2 m}(i \hbar \nabla+q A)^{2}+q \phi\right) \psi(\boldsymbol{x}, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t)
$$
请注意，向规范动量的转变也可以看作是从无场薛定谔方程开始的，
$$
\frac{\hbar^{2}}{2 m} V^{2} \psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t),
$$
并替换普通衍生品 $\partial_{\mu} \equiv \partial / \partial x_{\mu}(\mu=0,1,2,3)$ 由协变导数
$$
D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{i q}{\hbar} A_{\mu}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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我们提供的拓扑学Topology及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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• Statistical Computing 统计计算
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Aharanov–Bohm effect

A second demonstration of the importance of topology in physics came with the Aharonov-Bohm effect [8]. Consider a charged particle moving in the vicinity of a current carrying solenoid. There is a magnetic field $\boldsymbol{B} \neq 0$ inside the solenoid, but the field vanishes outside. The vector potential, $\boldsymbol{A}$, however is nonzero everywhere, inside and out. Prior to the rise of the Aharonov-Bohm effect, it was believed that the field $\boldsymbol{B}$ was the physically important variable and that $\boldsymbol{A}$ was simply a mathematical convenience of no physical significance. However, Aharonov and Bohm showed that when the particle circles the solenoid in a closed loop $\mathcal{C}$, staying entirely in the $\boldsymbol{B}=0$ region, there is nevertheless a phase shift given by
$$
\Delta \phi=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{C}} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \cdot d \boldsymbol{l}=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{S}} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{s},
$$
and that this shift is an integer multiple of $2 \pi$. The existence of the Aharonov-Bohm effect was verified in an experiment by Chambers in 1960 [9].

The solenoid contains a singularity in the vector potential. One can therefore view the solenoid as a hole in the space of allowed field configurations. The quantization arises from the topological fact that curves in $A$-space that enclose the solenoid are non-contractible. The integer $n$ here counts the number of times the loop encloses the singularity: it is a winding number. This winding number characterizes the distinct homotopy classes (see chapters 3 and 5) of the field. The Aharanov-Bohm phase accumulated as the electron circles the solenoid is an example of the geometric Berry phase to be discussed in chapter 9 .

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology in optics

By the 1990s and 2000s, many of the topology-related structures previously found in other areas of physics began to come up in optics. For example, vortices and vortex lines, winding numbers and linking numbers, and even non-orientable Möbius strips have all made appearances in various areas of optics. Further, the Aharonov-Bohm effect is a special case of the geometric or Berry phase; the first known description of a geometric phase appeared in a study of polarization optics in the 1950s, although its significance was not widely recognized for decades.

All of these topics will be described in coming chapters. The range of optical phenomena in which topology plays a role has become large, so in a book of this size some of them will necessarily be treated only in the briefest of terms, but hopefully enough of a flavor will be given to interest the reader in pursuing a deeper study via the provided references.

As general references to the broader background material, we list a few useful texts here. Many excellent introductions to algebraic and differential topology may be found, including [10-15]. Numerous reviews covering applications of topology to gauge field theory, particle physics, and condensed matter physics also exist, which physicists and engineers may find more accessible; these include [16-20]. The history of topology and of its applications in physics are reviewed in [21] and [22], respectively.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Aharanov–Bohm effect

Aharonov-Bohm 效应 [8] 再次证明了拓扑在物理学中的重要性。考虑在载流螺线管附近移动的带电粒子。有磁场 $\boldsymbol{B} \neq 0$ 在螺线管内，但场在外面消失。向量势， $\boldsymbol{A}$, 然而，无论从内部还是外部，它都是非零的。在阿哈罗诺夫玻姆效应兴起之前，人们认为场 $\boldsymbol{B}$ 是物理上重要的变量，并且 $\boldsymbol{A}$ 只是一种没有物理意义的数学便利。然而，

Aharonov 和 Bohm 表明，当粒子在闭合回路中环绕螺线管时 $\mathcal{C}{1}$ 完全停留在 $\boldsymbol{B}=0$ 区域，仍然存在由下式给出的 相移 $$ \Delta \phi=\frac{e}{\hbar c} \int{\mathcal{C}} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \cdot d \boldsymbol{l}=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{S}} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{s}
$$
并且这个移位是的整数倍 $2 \pi .1960$ 年，钱伯斯在一项实验中验证了 Aharonov-Bohm 效应的存在 [9]。
螺线管在矢量势中包含一个奇点。因此，人们可以将螺线管视为允许的场配置空间中的一个孔。量化源于拓扑事 实，即曲线在 $A$ – 包围螺线管的空间是不可收缩的。整数 $n$ 这里计算循环包围奇点的次数：它是一个绕组数。这个 缠绕数表征了该领域不同的同伦类（见第 3 章和第 5 章) 。当电子绕螺线管旋转时男积的 Aharanov-Bohm 相是 第 9 章讨论的几何贝里相的一个例子。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology in optics

到 1990 年代和 2000 年代，以前在其他物理领域发现的许多与拓扑相关的结构开始出现在光学中。例如，漩涡和涡线、缠绕数和连接数，甚至不可定向的莫比乌斯带都出现在光学的各个领域。此外，Aharonov-Bohm 效应是几何或贝里相位的特例；几何相位的第一个已知描述出现在 1950 年代的偏振光学研究中，尽管其重要性几十年来并未得到广泛认可。

所有这些主题都将在接下来的章节中介绍。拓扑学在其中发挥作用的光学现象的范围已经变得很大，因此在一本如此大小的书中，其中一些必然只用最简短的术语来处理，但希望能给读者带来足够的味道以引起读者的兴趣通过提供的参考资料进行更深入的研究。

作为对更广泛背景材料的一般参考，我们在这里列出了一些有用的文本。可以找到许多关于代数和微分拓扑的优秀介绍，包括 [10-15]。还存在许多涵盖拓扑在规范场论、粒子物理学和凝聚态物理学中的应用的评论，物理学家和工程师可能会发现这些评论更容易获得；其中包括 [16-20]。[21] 和 [22] 分别回顾了拓扑的历史及其在物理学中的应用。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology and physics

Although earlier moments, such as Euler’s use of graph theory to investigate the Konigsberg bridges problem (1736) could be singled out as the beginning of the study of topology, the subject only really became an important area of mathematics with the work of Poincare in the $1880 \mathrm{~s}$ and $1890 \mathrm{~s}$. While investigating the properties of solutions to differential equations, and especially problems in celestial mechanics, he was led to the study of smooth mappings between surfaces, to fixed points, singularities of vector fields, and other topics that would now be considered topological. He went on to give the first definitions of homotopy and homology and to lay the foundations of modern algebraic topology. Poincaré’s topological studies of solutions to differential equations as curves on manifolds was continued in the early 20 th century by Birkhoff and others, with the results eventually being systematically applied to mechanical systems by Kolmogorov, Arnold, and Moser. Simultaneously, other branches of the subject, such as differential topology and combinatorial topology began expanding, leading to a number of fixcd point theorems and to the clarification of useful concepts such as compactness, connectedness, and dimension.

Aspects of topology, then known as analysis situs or geometria situs, had made appearances in physics before this, of course. For example, Gauss’ law and Ampère’s law in electrodynamics are both topological in nature: they involve line or surface integrals that remain invariant under continuous deformations of the underlying curve or surface; in modern terminology, we would say that these integrals (the electric and magnetic fluxes) are topological invariants. In fact, integer linking numbers (chapter 5) made their first appearance in a study by Gauss of Ampère’s law.
Similarly, in fluid mechanics the study of vortices has a long history. Then, starting in the 1860s, Peter Tait and William Thomson (Lord Kelvin) tried to model atoms as knotted vortex lines in the ether. The motivations included the fact that the multiplicity of different atoms could be explained by the variety of different ways a vortex line could be knotted, and the fact that the stability of atoms could be attributed to the inability to untie a knot without cutting it open; in other words, atomic stability follows from topological stability of the knots. Different spectral lines could also be explained by different vibrational modes of the structure. The work of Tait and Kelvin led to knot theory becoming a major branch of topology, but after the idea of a space-filling ether was abandoned, knots disappeared from physics for almost a century, until they re-emerged in superstring theory and statistical mechanics, and then in other areas like optics.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Dirac monopoles

Although never seen experimentally, the possibility of isolated magnetic charges or monopoles has long been studied theoretically, starting with the work of Paul Dirac in the 1930 s [2]. In analogy to electric charges, a point-like magnetic monopole should produce a magnetic field (in SI units)
$$
\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} g}{4 \pi r^{2}} \hat{r}=-\nabla V(r),
$$
where $g$ is the magnetic charge and $V=\mu_{0} g / 4 \pi r$ is the magnetic scalar potential. Because of the identity
$$
\nabla^{2}\left(\frac{1}{r}\right)=-4 \pi \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}),
$$
the magnetic analog of Gauss’ law is
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B}=g \mu_{0} \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})
$$
where $\delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$ is the three-dimensional Dirac delta function and the magnetic charge density is $\rho_{m}(\boldsymbol{r})=g \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$.

Recall that when a particle of momentum $\boldsymbol{p}$ propagates with displacement $\boldsymbol{r}$, the wavefunction picks up a phase factor,
$$
\psi \rightarrow \psi e^{i p \cdot r / \hbar}
$$
The phase of a single wavefunction at a given point has no physical relevance, but the phase difference between points is meaningful, since it is measurable through interference effects. When there is a field present, the minimal coupling procedure of electromagnetism leads (for a particle of charge $e$ ) to an effective shifting of the momentum,
$$
\boldsymbol{p} \rightarrow \boldsymbol{p}-{ }_{c}^{e} A .
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology and physics

虽然早期的时刻，例如欧拉使用图论来研究柯尼斯堡桥问题（1736 年）可以被单独列为拓扑研究的开端，但随着庞加莱的工作，该主题才真正成为数学的一个重要领域。1880 s和1890 s. 在研究微分方程解的性质，特别是天体力学问题时，他被引导研究曲面之间的平滑映射、到不动点、向量场的奇异性以及其他现在被认为是拓扑的主题。他接着给出了同伦和同调的第一个定义，并奠定了现代代数拓扑的基础。Poincaré 对作为流形曲线的微分方程解的拓扑研究在 20 世纪初由 Birkhoff 等人继续进行，其结果最终被 Kolmogorov、Arnold 和 Moser 系统地应用于机械系统。同时，该学科的其他分支，例如微分拓扑和组合拓扑开始扩展，

当然，在此之前，拓扑学的各个方面，当时被称为分析位点或几何位点，已经出现在物理学中。例如，电动力学中的高斯定律和安培定律本质上都是拓扑学的：它们涉及在基础曲线或曲面的连续变形下保持不变的线积分或曲面积分；在现代术语中，我们会说这些积分（电通量和磁通量）是拓扑不变量。事实上，整数连接数（第 5 章）首次出现在高斯安培定律的研究中。
同样，在流体力学中，涡旋的研究也有着悠久的历史。然后，从 1860 年代开始，Peter Tait 和 William Thomson（开尔文勋爵）试图将原子建模为以太中打结的涡线。动机包括这样一个事实，即不同原子的多样性可以通过涡旋线可以打结的各种不同方式来解释，以及原子的稳定性可以归因于不打结就无法解开结。换句话说，原子稳定性源于结的拓扑稳定性。不同的谱线也可以通过结构的不同振动模式来解释。Tait 和 Kelvin 的工作导致结理论成为拓扑学的一个主要分支，但是在空间填充以太的想法被放弃后，结从物理学中消失了近一个世纪，

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Dirac monopoles

虽然从末在实验中看到过，但长期以来一直在理论上研究孤立磁荷或单极子的可能性，从 Paul Dirac 在 1930 年 代的工作开始 [2]。与电荷类似，点状磁单极子应产生磁场 (以 SI 为单位)
$$
\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} g}{4 \pi r^{2}} \hat{r}=-\nabla V(r),
$$
在哪里 $g$ 是磁荷和 $V=\mu_{0} g / 4 \pi r$ 是磁标量势。因为身份
$$
\nabla^{2}\left(\frac{1}{r}\right)=-4 \pi \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}),
$$
高斯定律的磁类比是
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B}=g \mu_{0} \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})
$$
在哪里 $\delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$ 是三维狄拉克 $\delta$ 函数，磁荷密度是 $\rho_{m}(\boldsymbol{r})=g \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$.
回想一下，当一个动量粒子 $\boldsymbol{p}$ 以位移传播 $\boldsymbol{r}$ ，波函数拾取一个相位因子，
$$
\psi \rightarrow \psi e^{i p \cdot r / \hbar}
$$
给定点的单个波函数的相位没有物理相关性，但点之间的相位差是有意义的，因为它可以通过干涉效应来测量。当 存在场时，电磁场的最小耦合过程会导致（对于带电粒子 $e$ ) 有效地转移动量，
$$
\boldsymbol{p} \rightarrow \boldsymbol{p}-{ }_{c}^{e} A .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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