数学代写|拓扑学代写Topology代考|MATH3061
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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Functions on Smooth Manifolds
In previous sections, we introduced topological spaces, including the special case of (smooth) manifolds. Very often, a space can be equipped with continuous functions defined on it. In this section, we focus on real-valued functions of the form $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ defined on a topological space $X$, also called scalar functions; see Figure 1.8(a) for the graph of a function $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Scalar functions appear commonly in practice that describe space/data of interest (e.g., the elevation function defined on the surface of the Earth). We are interested in the topological structures behind scalar functions. In this section, we limit our discussion to nicely behaved scalar functions (called Morse functions) defined on smooth manifolds. Their topological structures are characterized by the so-called critical points which we will introduce below. Later in the book we will also discuss scalar functions on simplicial complex domains, as well as more complex maps defined on a space $X$, for example, a multivariate function $f: X \rightarrow \mathbb{R}^d$
In what follows, for simplicity of presentation, we assume that we consider smooth ( $C^{\infty}$-continuous) functions and smooth manifolds embedded in $\mathbb{R}^d$, even though often we only require the functions (resp. manifolds) to be $C^2$ continuous (resp. $C^2$-smooth).
To provide intuition, let us start with a smooth scalar function defined on the real line, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$; the graph of such a function is shown in Figure 1.8(b). Recall that the derivative of a function at a point $x \in \mathbb{R}$ is defined as
$$
D f(x)=\frac{d}{d x} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} .
$$ The value $D f(x)$ gives the rate of change of the value of $f$ at $x$. This can be visualized as the slope of the tangent line of the graph of $f$ at $(x, f(x))$. The critical points of $f$ are the set of points $x$ such that $D f(x)=0$. For a function defined on the real line, there are two types of critical points in the generic case: maxima and minima, as marked in Figure 1.8(b).
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Morse Functions and Morse Lemma
From the first-order derivatives of a function we can determine critical points. We can learn more about the “type” of the critical points by inspecting the second-order derivatives of $f$.
A critical point $x$ of $f$ is nondegenerate if its Hessian matrix, Hessian $(x)$, is nonsingular (has nonzero determinant); otherwise, it is a degenerate critical point.
For example, consider $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^3-3 x y^2$. The origin $(0,0)$ is a degenerate critical point often referred to as a “monkey saddle:” see Figure 1.9(d), where the graph of the function around $(0,0)$ goes up and down three times (instead of twice as for a nondegenerate saddle shown in Figure 1.9b). It turns out that, as a consequence of the Morse Lemma below, nondegenerate critical points are always isolated whereas the degenerate ones may not be so. A simple example is $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^2$, where all points on the $y$-axis are degenerate critical points. The local neighborhood of nondegenerate critical points can be completely characterized by the following Morse Lemma.
Proposition 1.2. (Morse Lemma) Given a smooth function $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ defined on a smooth $m$-manifold $M$, let $p$ be a nondegenerate critical point of $f$. Then there is a local coordinate system in a neighborhood $U(p)$ of $p$ so that (i) the coordinate of $p$ is $(0,0, \ldots, 0)$, and (ii) locally for every point $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)$ in neighborhood $U(p)$,
$f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots-x_s^2+x_{s+1}^2 \cdots+x_m^2, \quad$ for some $s \in[0, m]$.
The number s of minus signs in the above quadratic representation of $f(x)$ is called the index of the critical point $p$.
A critical point $x$ of $f$ is nondegenerate if its Hessian matrix, Hessian $(x)$, is nonsingular (has nonzero determinant); otherwise, it is a degenerate critical point.
For example, consider $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^3-3 x y^2$. The origin $(0,0)$ is a degenerate critical point often referred to as a “monkey saddle:” see Figure 1.9(d), where the graph of the function around $(0,0)$ goes up and down three times (instead of twice as for a nondegenerate saddle shown in Figure 1.9b). It turns out that, as a consequence of the Morse Lemma below, nondegenerate critical points are always isolated whereas the degenerate ones may not be so. A simple example is $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x, y)=x^2$, where all points on the $y$-axis are degenerate critical points. The local neighborhood of nondegenerate critical points can be completely characterized by the following Morse Lemma.

拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Functions on Smooth Manifolds
在前面的部分中,我们介绍了拓扑空间,包括(光滑) 流形的特例。很多时候,空间可以配备定义在其 上的连续功能。在本节中,我们关注形式的实值函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ 在拓扑空间上定义 $X$ ,也称为标量函 数;函数图见图 1.8(a) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. 标量函数通常出现在描述感兴趣的空间/数据的实践中(例如,在地 球表面定义的高程函数)。我们对标量函数背后的拓扑结构感兴趣。在本节中,我们将讨论限制在光滑 流形上定义的表现良好的标量函数(称为莫尔斯函数)。它们的拓扑结构以所谓的临界点为特征,我们 将在下面介绍。在本书的后面,我们还将讨论单纯复数域上的标量函数,以及定义在空间上的更复杂的 映射 $X$ ,例如,多元函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}^d$
在下文中,为了简单起见,我们假设我们考虑平滑 ( $C^{\infty}$-continuous) 函数和平滑流形嵌入 $\mathbb{R}^d$ ,尽管我 们通常只需要函数 (resp.流形) 是 $C^2$ 连续的 (分别 $C^2$-光滑的)。
为了提供直觉,让我们从定义在实线上的平滑标量函数开始, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$; 这种函数的图形如图 1.8(b) 所示。回想一下函数在一点的导数 $x \in \mathbb{R}$ 定义为
$$
D f(x)=\frac{d}{d x} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} .
$$
价值 $D f(x)$ 给出值的变化率 $f$ 在 $x$. 这可以看作是图的切线的斜率 $f$ 在 $(x, f(x))$. 的关键点 $f$ 是点集 $x$ 这样 $D f(x)=0$. 对于定义在实线上的函数,一般情况下有两种临界点:最大值和最小值,如图 1.8(b) 所示。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Morse Functions and Morse Lemma
从函数的一阶导数我们可以确定临界点。我们可以通过检查的二阶导数来更多地了解临界点的“类型” $f$.
一个临界点 $x$ 的 $f$ 是非退化的,如果它的 Hessian 矩阵 $\operatorname{Hessian}(x)$ ,是非奇异的(具有非零行列式);否 则,它就是退化临界点。
例如,考虑 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{\text {被定义为 }} f(x, y)=x^3-3 x y^2$. 起源 $(0,0)$ 是一个退化的临界点,通常被称为 “猴鞍”: 见图 1.9(d),其中函数图围绕 $(0,0)$ 上下三次 (而不是图 1.9b 中所示的非退化鞍座的两次)。事 实证明,由于下面的莫尔斯引理,非退化临界点总是孤立的,而退化临界点可能不是这样。一个简单的 例子是 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $f(x, y)=x^2$ ,其中所有点都在 $y$ 轴是退化临界点。非退化临界点的局部 邻域可以完全由以下莫尔斯引理表征。
提案 1.2。 (莫尔斯引理) 给定一个平滑函数 $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ 定义在光滑 $m$-歧管 $M$ ,让 $p$ 是一个非退化的 临界点 $f$. 那么在一个邻域内就有一个局部坐标系 $U(p)$ 的 $p$ 使得 (i) 的坐标 $p$ 是 $(0,0, \ldots, 0)$ , 以及 (ii) 本 地的每个点 $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)$ 在附近 $U(p)$ , $f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots-x_s^2+x_{s+1}^2 \cdots+x_m^2 , \quad$ 对于一些 $s \in[0, m]$.
上述二次表示中减号的个数 $\mathrm{s} f(x)$ 称为临界点的指标 $p$.
一个临界点 $x$ 的 $f$ 是非退化的,如果它的 Hessian 矩阵 $\operatorname{Hessian}(x)$ ,是非奇异的(具有非零行列式);否 则,它就是退化临界点。
例如,考虑 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $f(x, y)=x^3-3 x y^2$. 起源 $(0,0)$ 是一个退化的临界点,通常被称为 “猴鞍”: 见图 1.9(d),其中函数图围绕 $(0,0)$ 上下三次 (而不是图 1.9b 中所示的非退化鞍座的两次)。事 实证明,由于下面的莫尔斯引理,非退化临界点总是孤立的,而退化临界点可能不是这样。一个简单的 例子是 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $f(x, y)=x^2$ ,其中所有点都在 $y$ 轴是退化临界点。非退化临界点的局部 邻域可以完全由以下莫尔斯引理表征。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。