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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Finite Difference Approximations

Another approach to boundary value problems for ordinary differential equations, is to directly approximate the derivatives. This is particularly useful for second-order differential equations, such as the equations for diffusion (6.2.3). The basic idea is to approximate $d^2 y / d x^2$ with the finite difference approximation $(y(x+h)-2 y(x)+$ $y(x-h)) / h^2=d^2 y / d x^2(x)+\mathcal{O}\left(h^2\right)$. If we use equally spaced points $x_j=a+$ $j h, n h=L$, then (6.2.3)

$D \frac{d^2 c}{d x^2}=b c \quad$ becomes
We need boundary conditions for the two end points, and these are $c(L)=c_{\text {end }}$ and $d c / d x(0)=0$. Discretizing these in the obvious way, we get $c_n=c_{\text {end }}$ and $\left(c_1-c_0\right) / h=0$. Note that the second equation uses the one-sided difference approximation. Using the centered difference approximation is not useful here as that would require $c_{-1}$, which is not available. This gives a linear system

Multiplying the first row by $D / h$ gives a symmetric matrix $A_h$. Provided $D, b>0$, $-A_h$ is also positive definite. To see that $-A_h$ is positive definite, note that
$$
-\boldsymbol{c}^T A_h \boldsymbol{c}=\left(D / h^2\right)\left[\sum_{j=0}^{n-2}\left(c_{j+1}-c_j\right)^2+c_{n-1}^2\right]+b \sum_{j=1}^{n-1} c_j^2 .
$$
The condition number of $A_h$ is $\mathcal{O}\left(h^{-2}\right)$. There is also the bound $\left|A_h^{-1}\right|_2 \leq 4 L^2 /\left(\pi^2 D\right)$ for all $h$. Solving this linear system can be done using standard sparse matrix techniques.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Partial Differential Equations—Elliptic Problems

Partial differential equations come in a number of different essential types, which are best exemplified in two spatial dimensions below:
(6.3.1) $\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x, y) \quad$ (Poisson equation)
(6.3.2) $\frac{\partial u}{\partial t}=D\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y) \quad$ (Diffusion equation)
(6.3.3) $\quad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y) \quad$ (Wave equation)
The Poisson equation is an example of an elliptic partial differential equation; the diffusion (or heat) equation is an example of a parabolic partial differential equation; while the wave equation is an example of a hyperbolic partial differential equation.
To understand the difference between these different types, consider $u(x, y)=$ $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ for the Poisson equation, and $u(t, x, y)=\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+\right.\right.$ $\left.\left.k_y y\right)\right)$ for the diffusion and wave equations. The corresponding $f(x, y)$ and $f(t, x, y)$ that gives these solutions are
$f(x, y)=-\left(k_x^2+k_y^2\right) \exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ for Poisson equation,
$f(t, x, y)=\left(i k_t+D\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right) \quad$ for diffusion equation, and $f(t, x, y)=\left(-k_t^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right) \quad$ for the wave equation.
The wave equation is different from the others as if $k_t^2=c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)$ then $f(t, x, y)=$ 0 . This means that information can travel in the direction $k=\left(k_t, k_x, k_y\right)$ in the solution $u(t, x, y)$ even with $f(t, x, y)=0$ for all $(t, x, y)$.

For the diffusion equation, we get $k_t$ imaginary for $k_x$ and $k_y$ real: $k_t=i D\left(k_x^2+\right.$ $\left.k_y^2\right)$ so $\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)=\exp \left(-D\left(k_x^2+k_y^2\right) t+i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ which decays exponentially as $t$ increases. This means that high frequency components of $u(t, x, y)$ decay rapidly as $t$ increases. Flipping the sign of $\partial u / \partial t$ changes rapid exponential decay to rapid exponential growth, which is very undesirable. So the sign of $\partial u / \partial t$ is very important for diffusion equations.

For the Poisson equation, if $\boldsymbol{k}=\left(k_x, k_y\right) \neq \mathbf{0}$ a component of the solution $u(x, y)$ of the form $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ must be reflected in $f(x, y)$. Furthermore, the coefficient of $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ is $-1 /\left(k_x^2+k_y^2\right)$ times the coefficient of $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ in $f(x, y)$. So the coefficient of a high frequency component $\left(\left(k_x, k_y\right)\right.$ large $)$ in the solution is much less than the corresponding coefficient of $f(x, y)$. Thus the solution $u(x, y)$ is generally much smoother than $f(x, y)$.

数值分析代考

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解决常微分方程边值问题的另一种方法是直接逼近导数。这对于二阶微分方程特别有用，例如扩散方程 (6.2.3)。基本思想是近似 $d^2 y / d x^2$ 用有限差分近似 $(y(x+h)-2 y(x)+$ $y(x-h)) / h^2=d^2 y / d x^2(x)+\mathcal{O}\left(h^2\right)$. 如果我们使用等距点 $x_j=a+j h, n h=L$ ，那么 (6.2.3) $D \frac{d^2 c}{d x^2}=b c \quad$ 变成
我们需要两个端点的边界条件，这些是 $c(L)=c_{\text {end }}$ 和 $d c / d x(0)=0$. 以明显的方式将这些离散化，我 们得到 $c_n=c_{\text {end }}$ 和 $\left(c_1-c_0\right) / h=0$. 请注意，第二个方程使用单边差分近似。使用中心差分近似在 这里没有用，因为那需要 $c_{-1}$ ，这是不可用的。这给出了一个线性系统
将第一行乘以 $D / h$ 给出一个对称矩阵 $A_h$. 假如 $D, b>0,-A_h$ 也是正定的。看到那个 $-A_h$ 是正定的， 注意
$$
-\boldsymbol{c}^T A_h \boldsymbol{c}=\left(D / h^2\right)\left[\sum_{j=0}^{n-2}\left(c_{j+1}-c_j\right)^2+c_{n-1}^2\right]+b \sum_{j=1}^{n-1} c_j^2
$$
的条件数 $A_h$ 是 $\mathcal{O}\left(h^{-2}\right)$. 也有界 $\left|A_h^{-1}\right|_2 \leq 4 L^2 /\left(\pi^2 D\right)$ 对全部 $h$. 可以使用标准稀疏矩阵技术求解此线 性系统。

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偏微分方程有许多不同的基本类型，最好在下面的两个空间维度中举例说明:
(6.3.1) $\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x, y) \quad$ (泊松方程)
$(6.3 .2) \frac{\partial u}{\partial t}=D\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y)$
(扩散方程)
(6.3.3) $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+f(t, x, y) \quad$ (波动方程)
泊松方程是椭圆偏微分方程的一个例子；扩散（或热）方程是抛物线偏微分方程的一个例子；而波动方程 是双曲偏微分方程的一个例子。
要了解这些不同类型之间的区别，请考虑 $u(x, y)=\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于泊松方程，和 $u(t, x, y)=\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于扩散和波动方程。相应的 $f(x, y)$ 和 $f(t, x, y)$ 给出这些解 决方案的是
$f(x, y)=-\left(k_x^2+k_y^2\right) \exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于泊松方程，
$f(t, x, y)=\left(i k_t+D\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right) \quad$ 对于扩散方程，和
$f(t, x, y)=\left(-k_t^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)\right) \exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)$ 对于波动方程。
波动方程与其他的不同，好像 $k_t^2=c^2\left(k_x^2+k_y^2\right)$ 然后 $f(t, x, y)=0$ 。这意味着信息可以沿着 $k=\left(k_t, k_x, k_y\right)$ 在溶液中 $u(t, x, y)$ 即使 $f(t, x, y)=0$ 对全部 $(t, x, y)$.
对于扩散方程，我们得到 $k_t$ 假想的 $k_x$ 和 $k_y$ 真实的: $k_t=i D\left(k_x^2+k_y^2\right)$ 所以
$\exp \left(i\left(k_t t+k_x x+k_y y\right)\right)=\exp \left(-D\left(k_x^2+k_y^2\right) t+i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 呈指数衰减为 $t$ 增加。这意 味着高频分量 $u(t, x, y)$ 迅速衰减为 $t$ 增加。翻转标志 $\partial u / \partial t$ 将快速指数衰减变为快速指数增长，这是非 常不可取的。所以标志 $\partial u / \partial t$ 对于扩散方程非常重要。
对于泊松方程，如果 $\boldsymbol{k}=\left(k_x, k_y\right) \neq \mathbf{0}$ 解决方案的一个组成部分 $u(x, y)$ 形式的 $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 必须反映在 $f(x, y)$. 此外，系数 $\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 是 $-1 /\left(k_x^2+k_y^2\right)$ 乘以系数
$\exp \left(i\left(k_x x+k_y y\right)\right)$ 在 $f(x, y)$. 所以高频分量的系数 $\left(\left(k_x, k_y\right)\right.$ 大的) 在解决方案中远小于相应的系数 $f(x, y)$. 因此解决方案 $u(x, y)$ 通常比 $f(x, y)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Shooting Methods

Shooting methods aim to use the solution map $S: x(a) \mapsto \boldsymbol{x}(b)$ of the differential equation $d \boldsymbol{x} / d t=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ to help solve the problem. The equation $\mathbf{0}=$ $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{x}(b))$ can be written as $0=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)))$. For this we can use Newton’s method, for example. This requires computing an estimate of the Jacobian matrix
$$
\nabla_{\boldsymbol{x}(a)}[\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)))]=\nabla_{\boldsymbol{x}1} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)))+\nabla{\boldsymbol{x}2} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a))) \nabla \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)) . $$ We need to determine $\nabla \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a))$. Let $\boldsymbol{x}\left(t ; \boldsymbol{x}_0\right)$ be the solution of the differential equation $d x / d t=f(t, x)$ with $\boldsymbol{x}(a)=x_0$. If $\Phi(t)=\nabla{x_0} \boldsymbol{x}\left(t ; x_0\right)$ then
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \Phi(t) & =\frac{d}{d t} \nabla_{x_0} x\left(t ; x_0\right)=\nabla_{x_0} \frac{d}{d t} x\left(t ; x_0\right) \
& =\nabla_{x_0}\left[f\left(t, x\left(t ; x_0\right)\right)\right] \
& =\nabla_x f\left(t, x\left(t ; x_0\right)\right) \nabla_{x_0} x\left(t ; x_0\right) \
& =\nabla_x f\left(t, x\left(t ; x_0\right)\right) \Phi(t) .
\end{aligned}
$$

This is the variational equation for the differential equation $d x d t=f(t, \boldsymbol{x})$. For initial conditions for $\Phi$, we note that $\boldsymbol{x}\left(a ; \boldsymbol{x}0\right)=\boldsymbol{x}_0$. So $\Phi(a)=\nabla{x_0} \boldsymbol{x}\left(a ; \boldsymbol{x}0\right)=$ $\nabla{x_0} x_0=I$. Then $x(t)$ and $\Phi(t)$ can be computed together using a standard numerical ODE solver applied to
$$
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
x \
\Phi
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
f(t, x) \
\nabla_x f(t, x) \Phi
\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{l}
x(a) \
\Phi(a)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
x_0 \
I
\end{array}\right] .
$$
This does require computing the Jacobian matrix of $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ with respect to $\boldsymbol{x}$. This can be done using symbolic computation, numerical differentiation formulas (see Section 5.5.1.1), or automatic differentiation (see Section 5.5.2).

Once $\Phi(t)$ has been computed, $\nabla \boldsymbol{S}\left(\boldsymbol{x}_0\right)=\Phi(b)$, and we can apply Newton’s method.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Multiple Shooting

The most important issue with shooting methods is that the condition number of the Jacobian matrix $\Phi(t)$ in the variational equation (6.2.10) typically grows exponentially as $t \rightarrow \infty$. This can result in extremely ill-conditioned equations to solve for the starting point. We can avoid this extreme ill-conditioning by sub-dividing the interval $[a, b]$ into smaller pieces $a=t_0<t_1<\cdots<t_m=b$. Then to solve $g(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{x}(b))=\mathbf{0}$ where $d \boldsymbol{x} / d t=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ we now have additional equations to satisfy so that $\boldsymbol{x}\left(t_j^{+}\right)=\boldsymbol{x}\left(t_j^{-}\right)$at every interior break point $t_j, j=1,2, \ldots, m-1$. We have the functions $\boldsymbol{S}j\left(\boldsymbol{x}_j\right)=z\left(t{j+1}\right)$ where $d z / d t=\boldsymbol{f}(t, z(t))$ and $z\left(t_j\right)=\boldsymbol{x}j$. As for the standard shooting algorithm, $\nabla \boldsymbol{S}_j\left(\boldsymbol{x}_j\right)$ can be computed by means of the variational equation (6.2.10) except that $\nabla \boldsymbol{S}_j\left(\boldsymbol{x}_j\right)=\Phi_j\left(t{j+1}\right)$ where $\Phi_j\left(t_j\right)=I$. Provided we make $L\left|t_{j+1}-t_j\right|$ modest, the condition number of each $\Phi\left(t_{j+1}\right)$ should also be modest, and the overall system should not be ill-conditioned. The overall linear system to be solved for each step of Newton’s method for solving $g(x(a), \boldsymbol{x}(b))=\mathbf{0}$ is Ill-conditioning can still occur, but then it will be inherent in the problem, not an artifact of the shooting method. Also, the multiple shooting matrix is relatively sparse, so block-sparse matrix techniques can be used. For example, we can apply a block LU factorization to the matrix in (6.2.12), utilizing the block sparsity of the matrix. If $x(t) \in \mathbb{R}^n$ then (6.2.12) can be solved in $\mathcal{O}\left(m n^3\right)$ operations. Of course, LU factorization without pivoting can be numerically unstable. On the other hand, a block QR factorization can be performed in $\mathcal{O}\left(m n^3\right)$ operations without the risk of numerical instability, and the block sparsity of the matrix is still preserved.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Shooting Methods

拍摄方法旨在使用解图 $S: x(a) \mapsto \boldsymbol{x}(b)$ 微分方程 $d \boldsymbol{x} / d t=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ 帮助解决问题。方程式 $0=$ $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{x}(b))$ 可以写成 $0=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)))$. 例如，为此我们可以使用牛顿法。这需要计算雅可比 矩阵的估计值
$$
\nabla_{\boldsymbol{x}(a)}[\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)))]=\nabla_{\boldsymbol{x} 1} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a)))+\nabla \boldsymbol{x} 2 \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a))) \nabla \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a))
$$
我们需要确定 $\nabla \boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}(a))$. 让 $\boldsymbol{x}\left(t ; \boldsymbol{x}0\right)$ 是微分方程的解 $d x / d t=f(t, x)$ 和 $\boldsymbol{x}(a)=x_0$. 如果 $\Phi(t)=\nabla x_0 \boldsymbol{x}\left(t ; x_0\right)$ 然后 $$ \frac{d}{d t} \Phi(t)=\frac{d}{d t} \nabla{x_0} x\left(t ; x_0\right)=\nabla_{x_0} \frac{d}{d t} x\left(t ; x_0\right) \quad=\nabla_{x_0}\left[f\left(t, x\left(t ; x_0\right)\right)\right]=\nabla_x f\left(t, x\left(t ; x_0\right)\right)
$$
这是微分方程的变分方程 $d x d t=f(t, \boldsymbol{x})$. 对于初始条件 $\Phi$, 我们注意到 $\boldsymbol{x}(a ; \boldsymbol{x} 0)=\boldsymbol{x}_0$. 所以 $\Phi(a)=\nabla x_0 \boldsymbol{x}(a ; \boldsymbol{x} 0)=\nabla x_0 x_0=I$. 然后 $x(t)$ 和 $\Phi(t)$ 可以使用应用到的标准数值 ODE 求解器一 起计十算
$$
\frac{d}{d t}[x \Phi]=\left[f(t, x) \nabla_x f(t, x) \Phi\right], \quad[x(a) \Phi(a)]=\left[x_0 I\right]
$$
这确实需要计算雅可比矩阵 $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ 关于 $\boldsymbol{x}$. 这可以使用符号计算、数值微分公式（参见第 5.5.1.1 节) 或 自动微分 (参见第 5.5 .2 节) 来完成。
一次 $\Phi(t)$ 已被计算， $\nabla \boldsymbol{S}\left(\boldsymbol{x}_0\right)=\Phi(b)$ ，我们可以应用牛顿法。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Multiple Shooting

射击方法最重要的问题是雅可比矩阵的条件数 $\Phi(t)$ 在变分方程 (6.2.10) 中，通常呈指数增长 $t \rightarrow \infty$. 这 可能会导致极度病态的方程式求解起点。我们可以通过细分间隔来避免这种极端的病态 $[a, b]$ 分成小块 $a=t_0<t_1<\cdots<t_m=b$. 然后去解决 $g(\boldsymbol{x}(a), \boldsymbol{x}(b))=\mathbf{0}$ 在哪里 $d \boldsymbol{x} / d t=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ 我们现在有 额外的方程来满足 $\boldsymbol{x}\left(t_j^{+}\right)=\boldsymbol{x}\left(t_j^{-}\right)$在每个内部断点 $t_j, j=1,2, \ldots, m-1$. 我们有功能 $\boldsymbol{S} j\left(\boldsymbol{x}j\right)=z(t j+1)$ 在哪里 $d z / d t=\boldsymbol{f}(t, z(t))$ 和 $z\left(t_j\right)=\boldsymbol{x} j$. 至于标准的拍摄算法， $\nabla \boldsymbol{S}_j\left(\boldsymbol{x}_j\right)$ 可 以通过变分方程 (6.2.10) 计算，除了 $\nabla \boldsymbol{S}_j\left(\boldsymbol{x}_j\right)=\Phi_j(t j+1)$ 在哪里 $\Phi_j\left(t_j\right)=I$. 只要我们让 $L\left|t{j+1}-t_j\right|$ 谦虚，每个的条件数 $\Phi\left(t_{j+1}\right)$ 也要适度，整体系统不能有病态。牛顿法求解每一步要求解 的整体线性系统 $g(x(a), \boldsymbol{x}(b))=\mathbf{0}$ 就是状态不佳还是会出现，但那会是固有的问题，不是拍摄方法的 人为因素。此外，多重射击矩阵相对稀疏，因此可以使用块稀疏矩阵技术。例如，我们可以利用矩阵的块 稀疏性对 (6.2.12) 中的矩阵应用块 $\mathrm{LU}$ 分解。如果 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 那么 (6.2.12) 可以求解 $\mathcal{O}\left(m n^3\right)$ 操作。当 然，没有主元的 LU 分解在数值上可能不稳定。另一方面，块 $\mathrm{QR}$ 分解可以在 $\mathcal{O}\left(m n^3\right)$ 操作没有数值不 稳定的风险，并且矩阵的块稀疏性仍然保留。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Use of Automatic Differentiation

Automatic differentiation is such a wonderful technique, there is tendency to apply it indiscriminately. Some recent work, such as [131], can seem to promote this point of view. However, automatic differentiation is not infallible. To illustrate this, consider using the bisection method to solve $f(x, p)=0$ for $x$ : the solution $x$ is implicitly a function of $p: x=x(p)$. Provided for $p \approx p_0$ we have $f(a, p)<0$ and $f(b, p)>0$ for given fixed numbers $a<b$, bisection will give the solution $x(p)$ for $p \approx p_0$. However, in the bisection algorithm (Algorithm 40), we first look at $c=(a+b) / 2$ and evaluate $f(c, p)$ and use the sign of this function value to determine how to update the endpoints $a$ and $b$. Since $a$ and $b$ are constant, $\partial a / \partial p=\partial a / \partial p=0$, and so $\partial c / \partial p=0$. Continuing through the bisection algorithm we find that the solution returned has $\partial x^* / \partial p=0$. Which is wrong.
From the Implicit Function Theorem we have
$$
\begin{aligned}
0 & =\frac{\partial f}{\partial x}(x, p) \frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial f}{\partial p}(x, p), \
\frac{\partial x}{\partial p} & =-\left(\frac{\partial f}{\partial p}(x, p)\right) /\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, p)\right)
\end{aligned}
$$
Once the solution $x(p)$ is found, we can find the derivatives $\partial f / \partial p$ and $\partial f / \partial x$ using automatic differentiation. We can then compute $\partial x / \partial p$ using the above formula, regardless of how $x(p)$ is computed. In a multivariate setting, the computation of derivatives of the solution $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{p})$ of equations $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})=\mathbf{0}$ with respect to a parameter $p$ will involve solving a linear system of equations: $\nabla_p \boldsymbol{x}(\boldsymbol{p})=$ $-\nabla_x f(x, p)^{-1} \nabla_p f(x, p)$

Automatic differentiation is also heavily used in machine learning and neural networks. The main neural network training algorithm backpropagation is essentially an application of the main ideas of automatic differentiation [18] combined with a version of gradient descent.

If gradients $\nabla f(\boldsymbol{x})$ can be computed in $\mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x})))$ operations, what about second derivatives? Can we compute Hess $f(\boldsymbol{x})$ in $\mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x})))$ operations? The answer is no. Take, for example, the function $f(\boldsymbol{x})=\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right)^2$. The computation of $f(\boldsymbol{x})$ only requires oper $(f(\boldsymbol{x}))=2 n+1$ arithmetic operations. Then
$$
\begin{aligned}
\nabla f(\boldsymbol{x}) & =4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{x}, \
\text { Hess } f(\boldsymbol{x}) & =4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T .
\end{aligned}
$$
For general $\boldsymbol{x}$, Hess $f(x)$ has $n^2$ non-zero entries $\left(\frac{1}{2} n(n+1)\right.$ independent entries), so we cannot expect to “compute” Hess $f(\boldsymbol{x})$ in $\mathcal{O}(n)$ operations.
However, we can compute
$$
\text { Hess } \begin{aligned}
f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} & =\left[4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T\right] \boldsymbol{d} \
& =4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{d}+8 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{d}\right)
\end{aligned}
$$
in just $7 n+2=\mathcal{O}(n)$ arithmetic operations. In general, we can compute Hess $f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}$ in $\mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x})))$. We can do this by applying the forward mode to compute
$$
\left.\frac{d}{d s} \nabla f(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{d})\right|_{s=0}=\text { Hess } f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}
$$
where we use the reverse mode for computing $\nabla f(z)$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Basic Theory

We start with an equivalent expression of the initial value problem (6.1.1):
$$
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}0+\int{t_0}^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}(s)) d s \quad \text { for all } t .
$$
Peano proved the existence and uniqueness of solutions to the initial value problem using a fixed point iteration [200] named in his honor:
(6.1.3) $\quad \boldsymbol{x}{k+1}(t)=\boldsymbol{x}_0+\int{t_0}^t \boldsymbol{f}\left(s, \boldsymbol{x}_k(s)\right) d s \quad$ for all $t$ for $k=0,1,2, \ldots$,
with $\boldsymbol{x}_0(t)=\boldsymbol{x}_0$ for all $t$. To show that the iteration (6.1.3) is well defined and converges, we need to make some assumptions about the right-hand side function $f$.
Most specifically we assume that $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ is continuous in $(t, \boldsymbol{x})$ and Lipschitz continuous in $\boldsymbol{x}$ : there must be a constant $L$ where
(6.1.4) $|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad$ for all $t, \boldsymbol{u}$, and $\boldsymbol{v}$.
Caratheodory extended Peano’s existence theorem to allow for $\boldsymbol{f}(t, x)$ continuous in $\boldsymbol{x}$ and measurable in $t$ with a bound $|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})| \leq m(t) \varphi(|\boldsymbol{x}|)$ with $m(t) \geq 0$ integrable in $t$ over $\left[t_0, T\right], \varphi$ continuous, and $\int_1^{\infty} d r / \varphi(r)=\infty$. Uniqueness holds if the Lipschitz continuity condition (6.1.4) holds with an integrable function $L(t)$ :
(6.1.5) $|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L(t)|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad$ for all $t, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$.
We will focus on the case where $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ is continuous in $t$ and Lipschitz in $\boldsymbol{x}$ (6.1.4) since numerical estimation of integrals of general measurable functions is essentially impossible.

Theorem 6.1 Suppose $\boldsymbol{f}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ is continuous and (6.1.4) holds. Then the initial value problem (6.1.1) has a unique solution $\boldsymbol{x}(\cdot)$.

Proof We use the Peano iteration (6.1.3) to show the solution to the integral form (6.1.2) of (6.1.1) has a unique solution. To do that we show that the iteration (6.1.3) is a contraction mapping (Theorem 3.3) on the space of continuous functions $\left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$ for $\delta=1 /(2 L)$. This establishes the existence and uniqueness of the solution $x:\left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$. To show existence and uniqueness beyond this, let $t_1=t_0+\delta$ and $\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}\left(t_0+\delta\right)$.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Use of Automatic Differentiation

自动微分是一种如此美妙的技术，有滥用它的倾向。最近的一些工作，例如 [131]，似乎可以促进这种观 点。然而，自动微分并不是万无一失的。为了说明这一点，考虑使用二分法来解决 $f(x, p)=0$ 为了 $x$ : 解决方案 $x$ 隐式地是函数 $p: x=x(p)$. 为…提供 $p \approx p_0$ 我们有 $f(a, p)<0$ 和 $f(b, p)>0$ 对于给定的 固定数字 $a<b$, 二分法将给出解决方案 $x(p)$ 为了 $p \approx p_0$. 然而，在二分算法（算法 40）中，我们首先 看 $c=(a+b) / 2$ 并评估 $f(c, p)$ 并使用此函数值的符号来确定如何更新端点 $a$ 和 $b$. 自从 $a$ 和 $b$ 是恒定的， $\partial a / \partial p=\partial a / \partial p=0$ ，所以 $\partial c / \partial p=0$. 继续二分算法，我们发现返回的解有 $\partial x^* / \partial p=0$. 这是错 误的。
从隐函数定理我们有
$$
0=\frac{\partial f}{\partial x}(x, p) \frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial f}{\partial p}(x, p), \frac{\partial x}{\partial p}=-\left(\frac{\partial f}{\partial p}(x, p)\right) /\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, p)\right)
$$
一旦解决 $x(p)$ 找到了，我们可以找到导数 $\partial f / \partial p$ 和 $\partial f / \partial x$ 使用自动微分。然后我们可以计算 $\partial x / \partial p$ 使 用上面的公式，不管怎样 $x(p)$ 被计算。在多变量设置中，计算解的导数 $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{p})$ 方程组 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})=\mathbf{0}$ 关于 参数 $p$ 将涉及求解线性方程组: $\nabla_p \boldsymbol{x}(\boldsymbol{p})=-\nabla_x f(x, p)^{-1} \nabla_p f(x, p)$
自动微分也大量用于机器学习和神经网络。主要的神经网络训练算法反向传播本质上是自动微分 [18] 的 主要思想与梯度下降的一个版本相结合的应用。
如果渐变 $\nabla f(\boldsymbol{x})$ 可以计算在 $\mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x})))$ 操作，二阶导数呢? 我们可以计算赫斯吗 $f(\boldsymbol{x})$ 在 $\mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x})))$ 操作? 答案是不。以函数为例 $f(\boldsymbol{x})=\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right)^2$. 的计算 $f(\boldsymbol{x})$ 只需要操作 $(f(\boldsymbol{x}))=2 n+1$ 算术运算。然后
$$
\nabla f(\boldsymbol{x})=4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{x}, \text { Hess } f(\boldsymbol{x})=4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T
$$
对于一般 $\boldsymbol{x}$ ，赫斯 $f(x)$ 有 $n^2$ 非零项 $\left(\frac{1}{2} n(n+1)\right.$ 独立条目 )，所以我们不能指望 “计算”赫斯 $f(\boldsymbol{x})$ 在 $\mathcal{O}(n)$ 操作。
然而，我们可以计算
Hess $f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}=\left[4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) I+8 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T\right] \boldsymbol{d}=4\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{d}+8 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{d}\right)$
在短短 $7 n+2=\mathcal{O}(n)$ 算术运算。一般来说，我们可以计算 $\operatorname{Hess} f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}$ 在 $\mathcal{O}(\operatorname{oper}(f(\boldsymbol{x})))$. 我们可以 通过应用正向模式来计算
$$
\left.\frac{d}{d s} \nabla f(\boldsymbol{x}+s \boldsymbol{d})\right|_{s=0}=\operatorname{Hess} f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}
$$
我们使用反向模式进行计算 $\nabla f(z)$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Basic Theory

我们从初始值问题 (6.1.1) 的等价表达式开始:
$$
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x} 0+\int t_0^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}(s)) d s \quad \text { for all } t .
$$
Peano 使用以他的名字命名的不动点迭代 [200] 证明了初始值问题解的存在性和唯一性:
(6.1.3) $\boldsymbol{x} k+1(t)=\boldsymbol{x}_0+\int t_0{ }^t \boldsymbol{f}\left(s, \boldsymbol{x}_k(s)\right) d s \quad$ 对全部 $t$ 为了 $k=0,1,2, \ldots$,
与 $\boldsymbol{x}_0(t)=\boldsymbol{x}_0$ 对全部 $t$. 为了表明迭代 (6.1.3) 定义明确且收玫，我们需要对右侧函数做一些假设 $f$.
最具体地说，我们假设 $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ 是连续的 $(t, \boldsymbol{x})$ 和 Lipschitz 连续 $\boldsymbol{x}$ : 必须有一个常数 $L$ 其中
(6.1.4) $|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad$ 对全部 $t, \boldsymbol{u} ， \quad$ 和 $\boldsymbol{v}$.
Caratheodory 扩展了 Peano 的存在定理以允许 $\boldsymbol{f}(t, x)$ 连续在 $\boldsymbol{x}$ 并且可以测量 $t$ 有界限
$|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})| \leq m(t) \varphi(|\boldsymbol{x}|)$ 和 $m(t) \geq 0$ 整合于 $t$ 超过 $\left[t_0, T\right], \varphi$ 连续的，并且 $\int_1^{\infty} d r / \varphi(r)=\infty$. 如果 Lipschitz 连续性条件 (6.1.4) 对可积函数成立，则唯一性成立 $L(t)$ :
(6.1.5) $|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u})-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v})| \leq L(t)|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| \quad$ 对全部 $t, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$.
我们将重点关注以下情况 $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ 是连续的 $t$ 和利普希茨在 $\boldsymbol{x}(6.1 .4)$ 由于一般可测函数积分的数值估计基本 上是不可能的。
定理 6.1 假设 $\boldsymbol{f}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是连续的并且 (6.1.4) 成立。则初值问题 (6.1.1) 有唯一解 $\boldsymbol{x}(\cdot)$.
证明 我们使用 Peano 迭代 (6.1.3) 来证明 (6.1.1) 的积分形式 (6.1.2) 的解有唯一解。为此，我们证明迭代 (6.1.3) 是连续函数空间上的收缩映射 (定理 3.3) $\left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$ 为了 $\delta=1 /(2 L)$. 这确立了解决 方案的存在性和唯一性 $x:\left[t_0, t_0+\delta\right] \rightarrow \mathbb{R}^n$. 为了显示超出此范围的存在性和唯一性，让 $t_1=t_0+\delta$ 和 $\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}\left(t_0+\delta\right)$.

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Forward Mode

Forward mode is the simplest approach for automatic differentiation, both conceptually and in practice. This idea is sometimes implemented as dual numbers in programming languages that allow overloaded arithmetic operations and functions. A dual number is a pair $x=(x . v, x . d)$ where $x . v$ represents the value of the number, and $x . d$ its derivative with respect to some single parameter, say $d x / d s$. Ordinary numbers are treated as constants, and so are represented as $(v, 0)$ where $v$ is the number.
Operations on dual numbers $x$ and $y$ can be described as
$$
\begin{aligned}
x+y & =(x \cdot v+y \cdot v, x \cdot d+y \cdot d) \
x-y & =(x \cdot v-y \cdot v, x \cdot d-y \cdot d) \
x \cdot y & =(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v) \
x / y & =\left(x \cdot v / y \cdot v,(x \cdot d \cdot y \cdot v-x \cdot v \cdot y \cdot d) /(y \cdot v)^2\right) \
f(x) & =\left(f(x \cdot v), f^{\prime}(x \cdot v) \cdot x \cdot d\right)
\end{aligned}
$$
This can be extended to handle higher order derivatives, such as triple numbers $x=$ $(x . v, x . d, x . c)$ where $x . d=d x / d s$ and $x . c=d^2 x / d s^2$. Then for triple numbers, for example, the arithmetic rules include
$$
\begin{aligned}
& x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot c+2 x \cdot d \cdot y \cdot d+x \cdot c \cdot y \cdot v) \
& f(x)=\left(f(x \cdot v), f^{\prime}(x \cdot v) \cdot x \cdot d, f^{\prime}(x \cdot v) x \cdot c+f^{\prime \prime}(x \cdot v)(x \cdot d)^2\right)
\end{aligned}
$$
The derivatives computed would be exact if the underlying arithmetic were exact. Thus the only errors in the computed derivatives are due to roundoff error. This does not guarantee accurate results, but they rarely fail.

Forward mode automatic differentiation is suitable where there is one, or a small number, of independent variables with respect to which we wish to computed derivatives. If we wish to compute gradients for many inputs, we need a different method.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reverse Mode

The reverse mode of automatic differentiation is best suited to compute gradients of a single output function with respect to many inputs. The basic idea has been rediscovered multiple times that we know of, but the modern approach can be traced back at least to Seppo Linnainmaa in his PhD thesis that was later published [163]. For this, we need to conceptually flatten the execution of a piece of code so that it is written as a “straight-line code” with branches and loops removed. For example, the loop
should be written as it is executed:
$$
\begin{aligned}
& x_1 \leftarrow f\left(x_0\right) \
& x_2 \leftarrow f\left(x_1\right) \
& x_3 \leftarrow f\left(x_2\right) \
& x_4 \leftarrow f\left(x_3\right)
\end{aligned}
$$
The index $j$ in $x_j$ indicates a potentially new value for the variable ” $x$ ” for each pass through the body of the loop.

In reverse mode automatic differentiation, this execution path and the values of variables along this path must be saved, at least at strategically important points of the execution of the original code. This can be represented in a computational graph of the execution of the code. Note that in the computational graph, each variable must only be assigned a value once. If a value of a variable is over-written, then we create a new variable for the computational graph, as shown in the example of the loop above.
The code
$$
\begin{aligned}
& u \leftarrow r \cdot s \
& v \leftarrow r^s \
& x \leftarrow \varphi(u, v) \
& y \leftarrow x \cdot r
\end{aligned}
$$
can be represented by the computational graph in Figure 5.5.2.
We compute the partial derivatives $\partial y / \partial z$ for $z$ each of the variables in the computational graph as we go back through the computational graph.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Forward Mode

前向模式是最简单的自动微分方法，无论是在概念上还是在实践中。这个想法有时在允许重载算术运算和 函数的编程语言中实现为双数。双数是一对 $x=(x . v, x . d)$ 在哪里 $x . v$ 表示数字的值，并且 $x . d$ 它关于 某个单一参数的导数，比如说 $d x / d s$. 普通数被视为常数，因此表示为 $(v, 0)$ 在哪里 $v$ 是数字。 双数运算 $x$ 和 $y$ 可以描述为
$$
x+y=(x \cdot v+y \cdot v, x \cdot d+y \cdot d) x-y \quad=(x \cdot v-y \cdot v, x \cdot d-y \cdot d) x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v
$$
这可以扩展到处理高阶导数，例如三重数 $x=(x . v, x . d, x . c)$ 在哪里 $x . d=d x / d s$ 和 $x . c=d^2 x / d s^2$. 那么对于三重数，例如，算术规则包括
$$
x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot c+2 x \cdot d \cdot y \cdot d+x \cdot c \cdot y \cdot v) \quad f(x)
$$
如果基础算法是精确的，则计算出的导数将是精确的。因此，计算出的导数中唯一的误差是由于舍入误差 造成的。这并不能保证准确的结果，但它们很少会失败。
正向模式自动微分适用于我们希望计算导数的一个或少量自变量的情况。如果我们㹷望为许多输入计算梯 度，我们需要一种不同的方法。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reverse Mode

自动微分的反向模式最适合计算单个输出函数相对于多个输入的梯度。据我们所知，基本思想已被多次重 新发现，但现代方法至少可以追溯到 Seppo Linnainmaa 在其后来发表的博士论文中 [163]。为此，我们 需要在概念上将一段代码的执行扁平化，使其写成去除了分支和循环的“直线代码”。例如，循环 应该在执行时写成:
$$
x_1 \leftarrow f\left(x_0\right) \quad x_2 \leftarrow f\left(x_1\right) x_3 \leftarrow f\left(x_2\right) \quad x_4 \leftarrow f\left(x_3\right)
$$
指标 $j$ 在 $x_j$ 指示变量的潜在新值” $x$ ” 每次通过循环体。
在逆向模式自动微分中，这条执行路径和沿着这条路径的变量值必须被保存，至少在原始代码执行的战略 要点。这可以在代码执行的计算图中表示。请注意，在计算图中，每个变量只能被赋值一次。如果变量的 值被覆盖，那么我们为计算图创建一个新变量，如上面的循环示例所示。 代码
$$
u \leftarrow r \cdot s \quad v \leftarrow r^s x \leftarrow \varphi(u, v) \quad y \leftarrow x \cdot r
$$
可以用图 5.5.2 中的计算图来表示。
我们计算偏导数 $\partial y / \partial z$ 为了 $z$ 当我们返回计算图时，计算图中的每个变量。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写数值分析numerical analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation over Triangulations

Triangulations give a way of dividing a region up into triangles in two dimensions, or tetrahedra in three dimensions, or simplices in higher dimensions. If we can interpolate using polynomials over each triangle, then we can create a piecewise polynomial interpolant over the entire region. However, we want the interpolant on each triangle to be consistent with the interpolant on the neighboring triangles so that the combined interpolant is at least continuous over the triangulated region (Figure 4.3.4).

A triangulation is not simply a union of non-overlapping triangles. The triangles must meet each other in a specific way: if $T_1$ and $T_2$ are two triangles then $T_1 \cap T_2$ is either

• empty,
• a common vertex of $T_1$ and $T_2$, or
• a common edge of $T_1$ and $T_2$.
  Note that the common edge must be an entire edge, not a partial edge, as shown in Figure 4.3.5.

Simply interpolating in each triangle does not guarantee that the interpolant is continuous on each common edge. We want the interpolant on each side of a common edge to be the same so that the overall interpolant is continuous.

Consider piecewise linear interpolation; if the two values on a common edge are identical, then the interpolants on each triangles sharing the edge will match on that edge. For a pair of triangles that meet at a vertex, the values of the interpolants on the different triangles must also match.

Since the values at interpolation points can be treated as independent quantities, these matching conditions imply that each vertex must be an interpolation point, and each edge must have two interpolation points. Piecewise linear interpolation on a triangulation then requires three interpolation points on each triangle, which must therefore be the vertices of each triangle.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Creating Interpolants with Continuous First Derivatives

Creating interpolation systems that guarantee continuous first derivatives across triangles in a triangulation is a surprisingly tricky thing to do. Unlike in one dimension, increasing the degree of the polynomial inside the triangle also increases the number of conditions needed to match first derivatives across the boundary. The simplest is the Argyris element illustrated in Figure 4.3.7.

In Figure 4.3.7, the dot means interpolation of the value at that point, the small circle around a point means interpolating the first derivatives at that point, and the larger circle means interpolating the second derivatives at that point. The short perpendicular line segments indicate interpolation of the normal derivative to the edge at the intersection point of the edge and the line segment. The interpolating polynomials have degree 5 . The dimension of the space of degree 5 polynomials of two variables is $\left(\begin{array}{c}5+2 \ 2\end{array}\right)=21$. This exactly matches the number of independent values to be interpolated. At each vertex we interpolate the function value, two first derivatives $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y)$, and three second derivatives $\left(\partial^2 f / \partial x^2, \partial^2 f / \partial x \partial y\right.$, $\partial^2 f / \partial y^2$ ) giving six values interpolated for each vertex. This gives 18 interpolated values for the vertices, plus three more the normal derivative values at the midpoints of each edge gives a total of 21 values to interpolate.

To see that Argyris element interpolants are continuous across edges, we note that on an edge the interpolating polynomial must have matching values, first and second derivatives, at the ends of the edge. The derivatives are, of course, scalar derivatives as along the edge we should consider tangential derivatives. This gives six values interpolated by a degree 5 polynomial in one variable. These six values are sufficient to uniquely specify the degree 5 polynomial on the edge. Since these six interpolated values are the same on both sides of the edge in question, the values of the interpolant must match across a common edge of two Argyris triangles.

But to have continuous first derivatives across the boundary, we also need the normal derivatives to match on each sides of the edge. Each edge is straight, so if $p(\boldsymbol{x})$ is degree 5 polynomial in two variables, on each edge $\partial p / \partial n(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{n}^T \nabla p(\boldsymbol{x})$ is a polynomial of degree $5-1=4$, since $\boldsymbol{n}$ is constant on each edge. The normal derivative $\partial p / \partial n$ is interpolated at each end of an edge, as is the first tangential derivative of $\partial p / \partial n$ at each end. Furthermore, since the Argyris element interpolates the normal derivative at the midpoint of each edge, we have five values to interpolate on the edge for $\partial p / \partial n$. This means that $\partial p / \partial n$ is a uniquely specified polynomial of degree 4 . Tangential derivatives of $p(\boldsymbol{x})$ along the edge are uniquely specified as the values of $p(\boldsymbol{x})$ on the edge are uniquely specified by the values and derivatives interpolated on that edge. Thus, the gradient $\nabla p(\boldsymbol{x})$ is uniquely specified on an edge by the values and derivatives interpolated on that edge.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation over Triangulations

三角剖分提供了一种将区域划分为二维三角形、三维四面体或更高维度单纯形的方法。如果我们可以在每 个三角形上使用多项式进行揷值，那么我们就可以在整个区域上创建分段多项式揷值。但是，我们希望每 个三角形上的揷值与相邻三角形上的揷值一致，以便组合的揷值至少在三角化区域上是连续的（图 $4.3 .4) \circ$
三角剖分不仅仅是非重學三角形的并集。三角形必须以特定方式彼此相交：如果 $T_1$ 和 $T_2$ 那么是两个三角 形 $T_1 \cap T_2$ 或者是

• 空的，
• 的一个公共顶点 $T_1$ 和 $T_2$ ，或者
• 的共同边缘 $T_1$ 和 $T_2$.
  注意公共边必须是整条边，不能是部分边，如图4.3.5所示。
  简单地在每个三角形中揷值并不能保证揷值在每个公共边上都是连续的。我们莃望公共边每一侧的揷值相 同，以便整体揷值是连续的。
  考虑分段线性揷值；如果公共边上的两个值相同，则共享该边的每个三角形上的揷值将在该边上匹配。对 于在顶点相交的一对三角形，不同三角形上的揷值值也必须匹配。
  由于揷值点处的值可以被视为独立的量，这些匹配条件意味着每个顶点必须是一个揷值点，并且每条边必 须有两个揷值点。三角剖分的分段线性揷值需要每个三角形上的三个揷值点，因此它们必须是每个三角形 的顶点。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Creating Interpolants with Continuous First Derivatives

创建保证三角剖分中三角形连续一阶导数的揷值系统是一件非常棘手的事情。与一维不同，增加三角形内 多项式的次数也会增加跨越边界匹配一阶导数所需的条件数。最简单的是图 $4.3 .7$ 中所示的 Argyris 元 素。
图4.3.7中，圆点表示在该点揷值，小圆圈表示在该点揷值一阶导数，大圆圈表示在该点揷值二阶导数。 短垂直线段表示在边缘和线段的交点处对边缘的法线导数进行揷值。内揷多项式的次数为 5 。两个变量的 5次多项式空间的维数为 $(5+22)=21$. 这与要揷值的独立值的数量完全匹配。在每个顶点我们揷值函 数值，两个一阶导数 $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y)$, 和三个二阶导数 $\left(\partial^2 f / \partial x^2, \partial^2 f / \partial x \partial y, \partial^2 f / \partial y^2\right)$ 给每个顶 点揷值六个值。这为顶点提供了 18 个揷值，再加上每条边中点的三个法线导数值，总共提供了 21 个要 揷值的值。
为了看到 Argyris 元素揷值在边上是连续的，我们注意到在边上揷值多项式必须在边的末端具有匹配值， 一阶和二阶导数。导数当然是标量导数，因为沿着边缘我们应该考虑切向导数。这给出了由一个变量中的 5 次多项式揷值的六个值。这六个值足以唯一指定边上的 5 次多项式。由于这六个内揷值在相关边的两侧 相同，因此内揷值必须在两个 Argyris 三角形的公共边上匹配。
但是为了在边界上有连续的一阶导数，我们还需要法线导数在边缘的每一侧都匹配。每条边都是直的，所 以如果 $p(\boldsymbol{x})$ 是两个变量的 5 次多项式，在每条边上 $\partial p / \partial n(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{n}^T \nabla p(\boldsymbol{x})$ 是次数的多项式 $5-1=4$ ，自从 $\boldsymbol{n}$ 在每条边上都是常数。正常导数 $\partial p / \partial n$ 在边缘的每一端进行揷值，作为的一阶切向 导数 $\partial p / \partial n$ 在每一端。此外，由于 Argyris 元素在每条边的中点对法线导数进行揷值，因此我们有五个值 要在边上揷值 $\partial p / \partial n$. 这意味着 $\partial p / \partial n$ 是唯一指定的 4 次多项式。的切向导数 $p(\boldsymbol{x})$ 沿着边缘被唯一指定 为值 $p(\boldsymbol{x})$ 边上的值由揷值在该边上的值和导数唯一指定。因此，梯度 $\nabla p(\boldsymbol{x})$ 由在该边上揷值的值和导数 在边上唯一指定。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reference Triangles

A way to prove properties about interpolation methods over triangles is to start with a reference triangle or reference element $\widehat{K}$, and then transfer properties from the reference triangle $K$ to a given triangle (or other shape) via an affine function or transformation: $\boldsymbol{T}_K(\widehat{\boldsymbol{x}})=A_K \widehat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b}_K$ with $A_K$ an invertible matrix. For example, we can take the reference element $\widehat{K}$ to be the triangle with vertices $\widehat{v}_1=(0,0)$, $\widehat{\boldsymbol{v}}_2=(1,0)$, and $\widehat{\boldsymbol{v}}_3=(0,1)$. For a triangle $K$ with vertices $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$, we can set $\boldsymbol{b}_K=\boldsymbol{v}_1$ and $A_K=\left[\boldsymbol{v}_2-\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_3-\boldsymbol{v}_1\right]$. This is illustrated in Figure 4.3.3.

Any function $f: K \rightarrow \mathbb{R}$ can be represented by a function $\widehat{f}: \widehat{K} \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
\widehat{f}(\widehat{\boldsymbol{x}})=f\left(A_K \widehat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b}_K\right) .
$$
It is easy to see that $f$ is a polynomial of degree $k$ if and only if $\widehat{f}$ is a polynomial of degree $k$. Note that $x=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3$ is a representation of $x \in K$ by barycentric coordinates, and $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T}_K(\widehat{\boldsymbol{x}})$, then the barycentric coordinates of $\widehat{\boldsymbol{x}}$ in $\widehat{K}$ are also $\left(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\right)$. So if $f$ is the linear interpolant of data values at the vertices of $K\left(f\left(\boldsymbol{v}_i\right)=y_i\right)$, then $\widehat{f}$ is the linear interpolant of those same values at the vertices of $\widehat{K}\left(\widehat{f}\left(\widehat{v}_i\right)=y_i\right)$. The Lagrange interpolation points are, in fact, constant in terms of the barycentric coordinates. The vertices have barycentric coordinates $$
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
$$
The barycentric coordinates of the midpoints for quadratic Lagrange interpolation are
$$
\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right),\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right),\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) .
$$
The barycentric coordinates for degree $d$ Lagrange interpolation are
$$
\left(\frac{i}{d}, \frac{j}{d}, \frac{d-i-j}{d}\right), \quad i, j=0,1, \ldots, d, i+j \leq d
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Error Estimates

As in the one-dimensional case, the error estimates will depend on the size of the triangles. We can measure the size of each triangle or other shape by means of the diameter
$$
h_K=\operatorname{diam}(K)=\max _{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in K}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|_2 .
$$
In two and higher dimensions, however, this is not the only quantity that is important. Triangles can be long and thin, or relatively “chunky”. For convex $K$, one way to measure this is to look at the radius of the largest ball that can fit in $K$ :
(4.3.11) $\rho_K=\sup {\rho \mid$ there is a ball $B(x, \rho) \subset K$ for some $\boldsymbol{x} \in K}$.

Brenner and Scott [31, p. 99] define a chunkiness parameter $\gamma_K:=h_K / \rho_K \geq 1$. Note that smaller $\gamma_K$ means “chunkier” $K$. Thin but long triangles have $\rho_K$ small in comparison to $h_K$ making $\gamma_K$ large. Another measure of “chunkiness” is $\widetilde{\gamma}K:=$ $h_K / \operatorname{vol}_d(K)^{1 / d}$ for $K \subset \mathbb{R}^d$. Here “vol ${ }_d(R)$ ” is the $d$-dimensional volume of a region $R$; for $d=2$ this is just the area of $R$, and for $d=1$ it is just the total length of $R$. For measuring the size and smoothness of functions on a region $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ we use $W^{m, p}(\Omega)$, or Sobolev, norms and semi-norms; $m$ indicates the degree of differentiability, and $1 \leq p \leq \infty$ the exponent used: in terms of multi-indexes, $$ \begin{aligned} |f|{W^{m, p}(\Omega)} & =\left[\sum_{\alpha:|\alpha| \leq m} \int_{\Omega}\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}\right|^p d x\right]^{1 / p}, \
|f|{W^{m, p}(\Omega)} & =\left[\sum{\alpha:|\alpha|=m} \int_{\Omega}\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}\right|^p d x\right]^{1 / p} .
\end{aligned}
$$
Note that
$$
|f|_{W^{m m, p}(\Omega)}=\left[\sum_{k=0}^m|f|{W^{k, p}(\Omega)}^p\right]^{1 / p} . $$ If $p=\infty$ we use $$ \begin{aligned} |f|{W^{m, \infty}(\Omega)} & =\max {\boldsymbol{x} \in \Omega} \max {\alpha:|\alpha| \leq m}\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial \boldsymbol{x}^\alpha}(\boldsymbol{x})\right|, \
|f|{W^{m, \infty}(\Omega)} & =\max {\boldsymbol{x} \in \Omega} \max _{\alpha:|\alpha|=m}\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial \boldsymbol{x}^\alpha}(\boldsymbol{x})\right| .
\end{aligned}
$$

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reference Triangles

证明三角形揷值方法属性的一种方法是从参考三角形或参考元素开始 $\widehat{K}$ ，然后从参考三角形传递属性 $K$ 通 过仿射函数或变换到给定的三角形 (或其他形状) : $\boldsymbol{T}_K(\widehat{\boldsymbol{x}})=A_K \widehat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b}_K$ 和 $A_K$ 一个可逆矩阵。例 如，我们可以取参考元素 $\widehat{K}$ 成为有顶点的三角形 $\hat{v}_1=(0,0) ， \widehat{\boldsymbol{v}}_2=(1,0)$ ，和 $\widehat{\boldsymbol{v}}_3=(0,1)$. 对于三角 形 $K$ 有顶点 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$ ，我们可以设 $\boldsymbol{b}_K=\boldsymbol{v}_1$ 和 $A_K=\left[\boldsymbol{v}_2-\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_3-\boldsymbol{v}_1\right]$. 如图 4.3.3 所示。
任何功能 $f: K \rightarrow \mathbb{R}$ 可以用一个函数来表示 $\widehat{f}: \widehat{K} \rightarrow \mathbb{R}$ 由
$$
\widehat{f}(\widehat{\boldsymbol{x}})=f\left(A_K \widehat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b}_K\right) .
$$
很容易看出 $f$ 是次数的多项式 $k$ 当且仅当 $\widehat{f}$ 是次数的多项式 $k$. 注意 $x=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3$ 是代表 $x \in K$ 通过重心坐标，和 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T}_K(\widehat{\boldsymbol{x}})$ ，然后是重心坐标 $\widehat{\boldsymbol{x}}$ 在 $\widehat{K}$ 也是 $\left(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\right)$. 因此，如果 $f$ 是顶点处 数据值的线性揷值 $K\left(f\left(\boldsymbol{v}_i\right)=y_i\right)$ ，然后 $\widehat{f}$ 是顶点处相同值的线性揷值 $\widehat{K}\left(\widehat{f}\left(\hat{v}_i\right)=y_i\right)$. 事实上， 拉格朗日揷值点在重心坐标方面是恒定的。顶点具有重心坐标
$$
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
$$
二次拉格朗日揷值的中点的重心坐标为
$$
\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right),\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right),\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) .
$$
度数的重心坐标 $d$ 拉格朗日揷值是
$$
\left(\frac{i}{d}, \frac{j}{d}, \frac{d-i-j}{d}\right), \quad i, j=0,1, \ldots, d, i+j \leq d
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Error Estimates

与一维情况一样，误差估计将取决于三角形的大小。我们可以通过直径来测量每个三角形或其他形状的大 小
$$
h_K=\operatorname{diam}(K)=\max {\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in K}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|_2 . $$ 然而，在二维和更高维度中，这并不是唯一重要的量。三角形可以又长又细，或者相对“矮胖”。对于凸 $K$ 一种测量方法是查看可以放入的最大球的半径 $K$ : (4.3.11) $\rho_K=\sup \rho \mid \$$ thereisaball $\$ B(x, \rho) \subset K \$$ forsome $\$ \boldsymbol{x} \in K$ 布伦纳和斯科特 $\left[31 ，\right.$ p. 99]定义一个chunkiness参数 $\gamma_K:=h_K / \rho_K \geq 1$. 请注意，较小的 $\gamma_K$ 意思是 “更粗壮” $K$. 细而长的三角形有 $\rho_K$ 比较小 $h_K$ 制作 $\gamma_K$ 大的。另一种衡量“块度”的方法是 $\tilde{\gamma} K:=$ $h_K / \operatorname{vol}_d(K)^{1 / d}$ 为了 $K \subset \mathbb{R}^d$. 这里“卷 ${ }_d(R)^“$ 是个 $d$ 区域的维体积 $R$; 为了 $d=2$ 这只是 $R$, 对于 $d=1$ 它只是总长度 $R$. 用于测量区域上函数的大小和平滑度 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 我们用 $W^{m, p}(\Omega)$ ，或 Sobolev，范数和半 范数; $m$ 表示可微性的程度，并且 $1 \leq p \leq \infty$ 使用的指数：就多指标而言， $$ |f| W^{m, p}(\Omega)=\left[\sum{\alpha:|\alpha| \leq m} \int_{\Omega}\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}\right|^p d x\right]^{1 / p},|f| W^{m, p}(\Omega)=\left[\sum \alpha:|\alpha|=m \int_{\Omega}\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^\alpha}\right|^p d x\right.
$$
注意
$$
|f|{W^{m m, p}(\Omega)}=\left[\sum{k=0}^m|f| W^{k, p}(\Omega)^p\right]^{1 / p} .
$$
如果 $p=\infty$ 我们用
$$
|f| W^{m, \infty}(\Omega)=\max \boldsymbol{x} \in \Omega \max \alpha:|\alpha| \leq m\left|\frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial \boldsymbol{x}^\alpha}(\boldsymbol{x})\right|,|f| W^{m, \infty}(\Omega) \quad=\max \boldsymbol{x} \in \Omega \max _{\alpha:|\alpha|=}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Higher Order Splines in One Variable

There is a natural generalization of cubic splines in one variable based on the minimization principles (4.2.1) for piecewise linear interpolation and (4.2.6) for cubic splines. We can ask to find
(4.2.10) $\min s \int{x_0}^{x_n} s^{\prime \prime \prime}(x)^2 d x \quad$ subject to $s\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1,2, \ldots, n$.
The minimizer $s$ of (4.2.10) is piecewise quintic (fifth order) polynomial that has continuous fourth derivatives (not just third derivatives). Combining these conditions with the interpolation property gives $6 n-4$ equations for $6 n$ unknown coefficients of $s(x)=a_i x^5+b_i x^4+c_i x^3+d_i x^2+e_i x+f_i$ for $x_i \leq x \leq x_{i+1}$. What four extra conditions are imposed give different types of quintic splines. Natural quintic splines have the properties that $s^{\prime}(x)=s^{\prime \prime}(x)=0$ at $x=x_0, x_n$; clamped quintic splines have the properties that $s^{\prime}\left(x_0\right)=y_0^{\prime}, s^{\prime \prime}\left(x_0\right)=y_0^{\prime \prime}, s^{\prime}\left(x_n\right)=y_n^{\prime}$, and $s^{\prime \prime}\left(x_n\right)=y_n^{\prime \prime}$ are all specified. Computing one of these quintic splines given the interpolation data involves solving a penta-diagonal (5-diagonal) symmetric positive-definite linear system.

Quintic splines have the advantage of slightly better smoothness and less oscillation in the interpolants. They have the disadvantage of greater computational cost to implement.
Exercises.
(1) Use not-a-knot cubic splines to interpolate $f(x)=e^{-x} /(1+x)$ over $[0,1]$ using $n+1$ equally spaced interpolation points with $n=5,10,20,40,100$. Estimate the maximum error between $f$ and the spline interpolants using 1001 points equally spaced over $[0,1]$. Plot the maximum error against $n$. Estimate the exponent $\alpha$ where the maximum error is asymptotically $C h^\alpha$. Does this confirm the theoretical error estimate of $\mathcal{O}\left(h^4\right)$ ?
(2) Numerically estimate the Lebesgue constant of not-a-knot spline interpolation by finding $\max {0 \leq x \leq 1} \sum{k=0}^n\left|\ell_k(x)\right|$ where $\ell_k$ is the not-a-knot spline function interpolating $\ell_k\left(x_j\right)=1$ if $j=k$ and zero if $j \neq k$. Use equally spaced interpolation points $x_j=j / n$ for $j=0,1,2, \ldots, n$. Do this for $n=5,10,20,40,100$.
(3) To see the exponential decay of perturbations, compute the not-a-knot spline interpolant of the data $y_j=0$ for $0 \leq j \leq N$ except that $y_{N / 2}=1$ assuming $N$ even; also set $x_j=j, j=0,1,2, \ldots, N$. Do this for $N=100$. Estimate the exponential rate of decay of the spline interpolant $s\left(x_j\right)$ as $|j-N / 2|$ increases. Repeat this with $x_j=j / N$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation over Triangles

In one dimension, the basic shapes are usually very simple: intervals. In two dimensions, there is a much greater choice, and in three dimensions, the set of basic shapes is even larger.

In two dimensions, we focus on triangles. Polygons can be decomposed into triangles. Domains with curved boundaries can be approximated by unions of nonoverlapping triangles. The triangles in the union should be “non-overlapping” at least in the sense that intersections of different triangles in the union are either vertices or edges. In three dimensions, we focus on tetrahedra, and simplices in four and higher dimensions, where similar methods and behavior apply.

For many calculations, it is convenient to use barycentric coordinates to represent points in a triangle:
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{x}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1+\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3 \quad \text { where } \
& 0 \leq \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \text { and } \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1,
\end{aligned}
$$
and $v_1, v_2, v_3$ are the vertices of the triangle. Note that the triangle $T$ with these vertices is the set of all convex combinations of $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$; we write $T=\operatorname{co}\left{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3\right}$. Furthermore, each point in $T$ can be represented uniquely in the form of (4.3.1). The barycentric coordinates for a given point $\boldsymbol{x} \in T$ are written as $\lambda_1(\boldsymbol{x}), \lambda_2(\boldsymbol{x}), \lambda_3(\boldsymbol{x})$. Note that the vector of barycentric coordinates $\boldsymbol{\lambda}(\boldsymbol{x})$ is an affine function of $\boldsymbol{x}$ : $\boldsymbol{\lambda}(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$ for some matrix $A$ and vector $\boldsymbol{b}$.
Given a function $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ we have the linear interpolant given by
$$
p(\boldsymbol{x})=f\left(\boldsymbol{v}_1\right) \lambda_1(\boldsymbol{x})+f\left(\boldsymbol{v}_2\right) \lambda_2(\boldsymbol{x})+f\left(\boldsymbol{v}_3\right) \lambda_3(\boldsymbol{x}) .
$$
Computing the barycentric coordinates can be done using some linear algebra: since $\boldsymbol{x}=\left[\boldsymbol{v}_1\left|\boldsymbol{v}_2\right| \boldsymbol{v}_3\right] \boldsymbol{\lambda}$ and $1=[1|1| 1] \boldsymbol{\lambda}$ we can combine them into
$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{c}
1 \
x
\end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \
v_1 & v_2 & v_3
\end{array}\right] \lambda, \
\lambda & =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \
\boldsymbol{v}_1 & v_2 & v_3
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l}
1 \
\boldsymbol{x}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Higher Order Splines in One Variable

根据分段线性揷值的最小化原则 (4.2.1) 和三次样条的 (4.2.6)，一个变量中的三次样条自然泛化。我们可 以要求找到
(4.2.10)min $s \int x_0^{x_n} s^{\prime \prime \prime}(x)^2 d x \quad$ 受制于 $s\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1,2, \ldots, n$.
最小化器 $s(4.2 .10)$ 的 (4.2.10) 是具有连续四阶导数（不仅仅是三阶导数）的分段五次（五阶）多顶式。 将这些条件与揷值特性结合起来给出 $6 n-4$ 方程式 $6 n$ 的末知系数
$s(x)=a_i x^5+b_i x^4+c_i x^3+d_i x^2+e_i x+f_i$ 为了 $x_i \leq x \leq x_{i+1}$. 施加的四个额外条件给出了 不同类型的五次样条。自然五次样条具有以下特性 $s^{\prime}(x)=s^{\prime \prime}(x)=0$ 在 $x=x_0, x_n$; 钳位五次样条具 有以下属性 $s^{\prime}\left(x_0\right)=y_0^{\prime}, s^{\prime \prime}\left(x_0\right)=y_0^{\prime \prime}, s^{\prime}\left(x_n\right)=y_n^{\prime}$ ，和 $s^{\prime \prime}\left(x_n\right)=y_n^{\prime \prime}$ 都是指定的。在给定揷值 数据的情况下计算这些五次样条之一涉及求解五对角线 (5 对角线) 对称正定线性系统。
五次样条的优点是平滑度稍好，揷值振荡较少。它们的缺点是实施起来计算成本更高。 练习。
(1) 使用非结三次样条揷值 $f(x)=e^{-x} /(1+x)$ 超过 $[0,1]$ 使用 $n+1$ 等距揷值点
$n=5,10,20,40,100$. 估计之间的最大误差 $f$ 样条揷值使用 1001 个等距分布的点 $[0,1]$. 绘制最大误差 $n$. 估计指数 $\alpha$ 其中最大误差是渐近的 $C h^\alpha$. 这是否证实了理论误差估计 $\mathcal{O}\left(h^4\right)$ ?
(2) 计算非结样条揷值的勒贝格常数 $\max 0 \leq x \leq 1 \sum k=0^n\left|\ell_k(x)\right|$ 在哪里 $\ell_k$ 是非节点样条函数揷 值 $\ell_k\left(x_j\right)=1$ 如果 $j=k$ 如果为零 $j \neq k$. 使用等距揷值点 $x_j=j / n$ 为了 $j=0,1,2, \ldots, n$. 这样做是 为了 $n=5,10,20,40,100$.
(3) 要查看扰动的指数衰减，计算数据的非结样条揷值 $y_j=0$ 为了 $0 \leq j \leq N$ 除了那个 $y_{N / 2}=1$ 假设 $N$ 甚至; 还设置 $x_j=j, j=0,1,2, \ldots, N$. 这样做是为了 $N=100$. 估计样条揷值的指数衰减率 $s\left(x_j\right)$ 作 为 $|j-N / 2|$ 增加。重复这个 $x_j=j / N$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation over Triangles

在一维空间中，基本形状通常非常简单：间隔。在二维中，有更多的选择，在三维中，基本形状的集合更 大。
在二维中，我们关注三角形。多边形可以分解成三角形。具有弯曲边界的域可以通过非重叒三角形的并集 来近似。联合中的三角形应该是“不重曡的”，至少在联合中不同三角形的交点是顶点或边的意义上。在三 个维度中，我们专注于四面体，以及四个和更高维度的单纯形，在这些维度中应用类似的方法和行为。
对于许多计算，使用重心坐标来表示三角形中的点会很方便:
$\boldsymbol{x}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1+\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3 \quad$ where $\quad 0 \leq \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ and $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$
和 $v_1, v_2, v_3$ 是三角形的顶点。注意三角形 $T$ 这些顶点是所有凸组合的集合 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$; 我们写 可以用 (4.3.1) 的形式唯一表示。给定点的重心坐标 $\boldsymbol{x} \in T$ 被写成 $\lambda_1(\boldsymbol{x}), \lambda_2(\boldsymbol{x}), \lambda_3(\boldsymbol{x})$. 请注意，重 心坐标的矢量 $\boldsymbol{\lambda}(\boldsymbol{x})$ 是仿射函数 $\boldsymbol{x}: \boldsymbol{\lambda}(\boldsymbol{x})=A \boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$ 对于一些矩阵 $A$ 和矢量 $\boldsymbol{b}$.
给定一个函数 $f: T \rightarrow \mathbb{R}$ 我们有线性揷值
$$
p(\boldsymbol{x})=f\left(\boldsymbol{v}_1\right) \lambda_1(\boldsymbol{x})+f\left(\boldsymbol{v}_2\right) \lambda_2(\boldsymbol{x})+f\left(\boldsymbol{v}_3\right) \lambda_3(\boldsymbol{x}) .
$$
计算重心坐标可以使用一些线性代数来完成: 因为 $\boldsymbol{x}=\left[\boldsymbol{v}_1\left|\boldsymbol{v}_2\right| \boldsymbol{v}_3\right] \boldsymbol{\lambda}$ 和 $1=[1|1| 1] \boldsymbol{\lambda}$ 我们可以将它们组合成

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金融工程代写

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Quadratic Convergence of Newton’s Method

Newton’s method generates, under appropriate conditions, a sequence $\left{x_n\right}_{n=0}^{\infty}$ with the property that $x_n$ tends to a zero $x^$ of the function $f$ as $n \rightarrow \infty$. But this is a theoretical result; will it still hold true on a computer, with finite precision arithmetic and a finite amount of time? The finite precision arithmetic is not so much of an issue with Newton’s method, since if we are in the interval in which convergence is guaranteed, a small round-off error will likely leave us in that interval and convergence is still assured from that point. What we need is a convergence criterion (or stopping criterion) for the method, so that we know how to choose an $n$ sufficiently large that $x_n$ is approximately equal to the limit $x^$ of the sequence. For bisection this was easily handled, since the width of the current bracket was a measure of the uncertainty in our knowledge of the root. More generally, we define the absolute error in an approximation $x_n$ to a (typically unknown) true value $x^$ to be the quantity $$ \alpha=\left|x^-x_n\right|
$$
and we define the relative error in $x_n$ as an approximation to $x^*$ to be the quantity $$
\rho=\left|x^-x_n\right| /\left|x^\right|
$$
if $x^$ is nonzero. This may be a more useful measure of the error when $\left|x^\right|$ is far from unity, since it’s generally unreasonable to ask for an absolute error of $10^{-8}$ when the answer is on the order of millions, for example. If $\rho$ is about $10^{-k}$ then the computed value $x_n$ is correct to about $k$ decimal places.

For the secant method and Newton’s method we do not have a bracket and so we cannot estimate $\alpha$ or $\rho$ with certainty. Ideally we would like to terminate the algorithm when $\alpha$ (or $\rho$ ) is less than some tolerance $\tau$ (say, relative error of no more than $1 \%$, that is, $\rho=.01$. It is tempting to use the residual error $\left|f\left(x_n\right)\right|$ as that is already computed by the algorithm,
$$
\left|f\left(x_n\right)\right|<\tau
$$
but it is possible for this to be small even though $x$ is far from $x^$ (see Fig. 1, where $x^=6$ ). Because of this the criterion $|f(x)|<\tau$ should be used only in conjunction with at least one other criterion, or when there is sufficient knowledge of the $f$ in question to be sure that this is a safe convergence criterion.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Modifications of Newton’s Method

Although we could construct a method with order of convergence higher than that of Newton’s method, it’s usually pointless to do so. Once Newton’s method gets a few decimal places of accuracy it will only take a small number of additional iterations to get all the accuracy one might need. Even if the asymptotic error constant $M$ is large, Newton’s method is still as fast as one is likely to need a method to be to solve nonlinear equations in one variable in a practical situation. Of course, it could take a long time for the method to get this close to the solution, but Newton’s method is an extraordinarily robust root-finder.

However, note that bisection, inverse linear interpolation, and the secant method each require us to compute a single new value of $f(x)$ each iteration, whereas Newton’s method requires both a new value of $f(x)$ and a new value of $f^{\prime}(x)$. Typically the computation of $f(x)$ (and $f^{\prime}(x)$ ) is the most time-consuming step, by far, of any of these methods, and the time required for the other arithmetic operations performed in combining those values is negligible. If this is not the case-if $f(x)$ is cheap (in terms of computation time) to evaluate-virtually any method will be acceptable. But is not uncommon for values of $f(x)$ to be computed by another program, that could easily take as much as several minutes to solve an ODE or PDE numerically or to perform a simulation in order to produce a single value of $f(x)$. When $f(x)$ is expensive to compute, Newton’s method might be less attractive than a method that uses more iterations but for which the total number of function evaluations required to achieve a desired tolerance is smaller overall. Focusing only on number of iterations, as we have thus far, can be misleading! A method that converges of order 3 or higher will typically require higher-order derivatives and will use more function evaluations per iteration. This means that such a method often is not actually an improvement over Newton’s method in terms of run-time, even though it would use fewer iterations. Additionally such methods are usually more difficult to code.

Newton’s method has other advantages. One which we will not pursue here that if $x_0$ is complex then Newton’s method can converge to complex roots of $f(x)=0$, which can be useful when such roots are desired. One of the biggest advantages of Newton’s method is that it generalizes in a natural way to nonlinear systems of equations. If we must solve a nonlinear system such as
$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=0 \
& g(x, y)=0
\end{aligned}
$$
for a simultaneous root $\left(x^, y^\right)$ of $f$ and $g$, then attempting to bracket it is going to be quite difficult, but Newton’s method (using partial derivatives with respect to $x$ and $y$ ) works fine. While there are many choices for a one-dimensional (that is, single variable) zero-finding algorithm, in several dimensions a nonlinear rootfinding problem is typically solved by some variant of Newton’s method. For this reason we will now discuss several such variants. You should bear in mind that the real need for, and advantages of, these variants are most apparent in the several variables case (discussed later in the text).

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Quadratic Convergence of Newton’s Method

$n \rightarrow \infty$. 但这是理论上的结果；它在计算机上是否仍然适用，具有有限精度的算法和有限的时间? 有 限精度算法对于牛顿法来说并不是什么大问题，因为如果我们处于保证收敛的区间内，一个小的舍入误 差可能会使我们留在该区间内，并且从该点开始仍然可以保证收敛。我们需要的是该方法的收敛准则 (或停止准则)，以便我们知道如何选择一个 $n$ 足够大 $x_n$ 约等于极限 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 的顺序。对于二分法，这很容 易处理，因为当前括号的宽度是我们对根知识的不确定性的度量。更一般地，我们在近似中定义绝对误 差 $x_n$ 到一个 (通常末知的) 真值 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是数量
$$
\alpha=\left|x^{-} x_n\right|
$$
我们定义相对误差 $x_n$ 作为近似值 $x^*$ 是数量
如果 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是非零的。这可能是一个更有用的错误衡量标准 是不合理的 $10^{-8}$ 例如，当答案大约为数百万时。如果 $\rho$ 是关于 $10^{-k}$ 然后是计算值 $x_n$ 大约是正确的 $k$ 小 数位。
对于割线法和牛顿法，我们没有括号，所以我们无法估计 $\alpha$ 或者 $\rho$ 确定无疑。理想情况下，我们布望在 以下情况下终止算法 $\alpha$ (或者 $\rho$ ) 小于一定公差 $\tau$ (比如说，相对误差不超过 $1 \%$ ，那是， $\rho=.01$. 使用 残差很诱人 $\left|f\left(x_n\right)\right|$ 因为已经由算法计算，
$$
\left|f\left(x_n\right)\right|<\tau
$$
但它有可能很小，即使 $x$ 远缡 $\mathrm{x}^{\wedge}$ (见图 1，其中 $x^{=}=6$ ). 因为这个标准 $|f(x)|<\tau$ 应仅与至少一项其他 标准结合使用，或者在充分了解 $f$ 有问题以确保这是一个安全的收敛标准。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Modifications of Newton’s Method

虽然我们可以构造一个收敛阶数高于牛顿法的方法，但这样做通常毫无意义。一旦牛顿法获得了小数点 后几位的精度，它只需要少量的额外迭代就可以获得可能需要的所有精度。即使渐近误差常数 $M$ 很 大，但牛顿法仍然像在实际情况下可能需要一种方法来求解一个变量的非线性方程一样快。当然，该方 法可能需要很长时间才能接近解，但牛顿法是一种非常强大的求根方法。
但是，请注意二分法、逆线性揷值法和正割法都需要我们计算一个新的值 $f(x)$ 每次迭代，而牛顿法都 需要一个新值 $f(x)$ 和一个新的价值 $f^{\prime}(x)$. 通常计算 $f(x)$ （和 $\left.f^{\prime}(x)\right)$ 是迄今为止所有这些方法中最耗 时的步㡜，并且在组合这些值时执行的其他算术运算所需的时间可以忽略不计。如果不是这样一一如果 $f(x)$ 评估成本低 (就计算时间而言) ――几乎任何方法都可以接受。但对于值的情况并不少见 $f(x)$ 由 另一个程序计算，这可能很容易花费几分钟来以数值方式求解 ODE 或 PDE 或执行模拟以产生单个值 $f(x)$. 什么时候 $f(x)$ 由于计算成本高昂，牛顿法可能不如使用更多迭代但实现所需容差所需的函数评 估总数总体较小的方法更具吸引力。到目前为止，只关注迭代次数可能会产生误导! 收敛 3 阶或更高 阶的方法通常需要更高阶的导数，并且每次迭代将使用更多的函数评估。这意味着这种方法在运行时间 方面通常并不是对牛顿方法的改进，尽管它会使用更少的迭代次数。此外，此类方法通常更难编码。
牛顿法还有其他优点。我们不会在这里追求的一个，如果 $x_0$ 是复杂的，那么牛顿法可以收敛到复根 $f(x)=0$ ，这在需要这样的根时很有用。牛顿法的最大优点之一是它可以自然地推广到非线性方程 组。如果我们必须求解一个非线性系统，例如
$$
f(x, y)=0 \quad g(x, y)=0
$$
作正常。虽然一维 (即单变量) 找零算法有多种选择，但在多个维度上，非线性求根问题通常通过牛顿 法的某些变体来解决。出于这个原因，我们现在将讨论几个这样的变体。您应该记住，这些变体的真正 需要和优势在多变量情况下最为明显 (稍后在文本中讨论)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Newton’s Method

The bisection and inverse linear interpolation methods are too slow for many applications; typically these methods gain one additional correct significant figure for every several iterations. For example, if the error at step $n$ of the bisection method is $\varepsilon$ then to reduce it to $\varepsilon / 10$, which corresponds to gaining one more correct significant figure in the answer, requires $m$ additional bisections, where
$$
\begin{aligned}
\varepsilon / 2^m & =\varepsilon / 10 \
2^m & =10 \
m & =\log _2(10) \
& \doteq 3.3219 .
\end{aligned}
$$
Every correct significant figure costs us about 3 iterations. The inverse linear interpolation method exhibits generally similar behavior.

These algorithms are sometimes used where program length is a consideration. For example, bisection was used in early calculators because the code for it takes so little memory. However, the slow convergence is a problem when function evaluations are expensive, and in many problems of interest the function evaluations are very expensive. (In fact, function evaluations taking a lot of time is virtually a defining feature of scientific computing.) Another difficulty is that these methods require an initial bracket. In Sec. $1.6$ we’ll look at one way an initial bracket might be found algorithmically. But we must address the question: What do we do if we cannot find one?

Suppose that $f$ is a continuous function. If we pick two initial points $x_0, x_1$ which do not necessarily form a bracket, we can still interpolate a linear function to $f$
$$
y=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0} x+\left(f\left(x_1\right)-\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0} x_1\right)
$$
and use its $x$-intercept
$$
x_2=x_1-f\left(x_1\right) \frac{x_1-x_0}{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}
$$
as an improved estimate of the location of a zero of $f$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Fixed Point Theorem

It has been said that “a good proof is one that makes us wiser.” We are going to study Newton’s method in some detail and establish sufficient conditions for it to converge to a zero of the function in which we are interested. In doing so we will gain a better understanding of how and why the method works and just how rapidly it converges.

In using Newton’s method we choose an initial guess $x_0$ and then iterate it in what is in essence a feedback loop: We always set
$$
\begin{aligned}
x_k & =x_{k-1}-f\left(x_{k-1}\right) / f^{\prime}\left(x_{k-1}\right) \
& =N_f\left(x_{k-1}\right)
\end{aligned}
$$
$(k=1,2, \ldots)$, where the function
$$
N_f(x)=x-f(x) / f^{\prime}(x)
$$
is sometimes called the Newton transform of $f$. An iteration of this form, where for some function $g$ we perform the operation
$$
x_k=g\left(x_{k-1}\right)
$$
repeatedly, is called a fixed point iteration (or functional iteration), and any $x^$ such that $$ x^=g\left(x^*\right)
$$
is called a fixed point of $g$. A fixed point is therefore a point where the graph of $y=g(x)$ crosses the line $y=x$. Newton’s method is of this form: Every simple zero of $f$ corresponds to a fixed point of $N_f$. When Newton’s method converges, it means that the fixed point iteration
$$
x_k=N_f\left(x_{k-1}\right)
$$
is converging to a fixed point of $N_f$. That fixed point is a root of the underlying equation $f(x)=0$ that we are actually trying to solve.

We will first consider fixed point iterations in more generality and then specialize them to Newton’s method. This is useful because iterations in the form of Eq. (3.1) appear frequently in numerical analysis.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Newton’s Method

二分法和逆线性揷值法对于许多应用来说太慢了；通常，这些方法每几次迭代都会获得一个额外的正确 有效数字。例如，如果错误在步漈 $n$ 二分法的是 $\varepsilon$ 然后将其减少到 $\varepsilon / 10$ ，这对应于在答案中多获得一位 正确的有效数字，需要 $m$ 额外的二等分，其中
$$
\varepsilon / 2^m=\varepsilon / 102^m \quad=10 m=\log _2(10) \quad \doteq 3.3219
$$
每个正确的有效数字都会花费我们大约 3 次迭代。逆线性揷值法表现出大致相似的行为。
这些算法有时用于需要考虑程序长度的地方。例如，早期的计算器中使用了二分法，因为它的代码占用 的内存很少。然而，当函数评估代价高昂时，收敛速度慢是一个问题，并且在许多感兴趣的问题中，函 数评估非常昂贵。（事实上，函数评估花费大量时间实际上是科学计算的一个定义特征。）另一个困 难是这些方法需要一个初始支架。在秒。1.6我们将研究一种可能通过算法找到初始括号的方法。但我 们必须解决一个问题: 如果找不到，我们该怎么办?
假设 $f$ 是连续函数。如果我们选择两个初始点 $x_0, x_1$ 不一定形成括号，我们仍然可以揷入一个线性函数 来 $f$
$$
y=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0} x+\left(f\left(x_1\right)-\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0} x_1\right)
$$
并使用它的 $x$-截距
$$
x_2=x_1-f\left(x_1\right) \frac{x_1-x_0}{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}
$$
作为对零的位置的改进估计 $f$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Fixed Point Theorem

有人说，”好的证明能让我们变得更聪明。”我们将详细研究牛顿法，并建立足够的条件使其收敛到我们 感兴趣的函数的零点。通过这样做，我们将更好地理解该方法如何工作、为什么工作以及它收敛的速 度。
在使用牛顿法时，我们选择一个初始猜测 $x_0$ 然后在本质上是一个反馈循环中迭代它：我们总是设置
$$
x_k=x_{k-1}-f\left(x_{k-1}\right) / f^{\prime}\left(x_{k-1}\right) \quad=N_f\left(x_{k-1}\right)
$$
$(k=1,2, \ldots)$ ，其中函数
$$
N_f(x)=x-f(x) / f^{\prime}(x)
$$
有时被称为牛顿变换 $f$. 这种形式的迭代，其中对于某些功能 $g$ 我们执行操作
$$
x_k=g\left(x_{k-1}\right)
$$
重复，称为不动点迭代 (或功能迭代)，并且任何 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 这样
$$
x^{=} g\left(x^*\right)
$$
称为不动点 $g$. 因此，固定点是图形的一个点 $y=g(x)$ 越线 $y=x$. 牛顿法的形式如下： $f$ 对应于固定点 $N_f$. 当牛顿法收敛时，意味着不动点迭代
$$
x_k=N_f\left(x_{k-1}\right)
$$
收敛于一个不动点 $N_f$. 该不动点是基础方程的根 $f(x)=0$ 我们实际上正在努力解决。
我们将首先考虑更普遍的不动点迭代，然后将它们专门用于牛顿法。这很有用，因为以方程式的形式进 行迭代。(3.1) 在数值分析中经常出现。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|NONLINEAR EQUATIONS

The first method we will consider is the method of exhaustive search (also called direct, graphical, or incremental search). Suppose that $f$ is continuous on some (not necessarily finite) interval. By the Intermediate Value Theorem, if we can find two points $a, b$ such that $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs, then a zero of $f$ must lie in $(a, b)$. One way to find such a pair of points is to pick some number $x_0$ as an initial guess as to the location of a root and successively evaluate the function at
$$
x_0, x_1=x_0+h, x_2=x_0+2 h, x_3=x_0+3 h, \ldots
$$
where $h>0$ is called the step size (or grid size). When a change of sign is detected, we say that we have bracketed a root in this interval of width $h$. (The interval $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ over which the change of sign occurs is called a bracket; see Fig. 1, where the endpoints form a bracket.) At this point we may repeat the process over the smaller interval $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ with a smaller $h$ in order to bracket the root more precisely.

The exhaustive search method is equivalent to plotting the function and looking for an interval in which it crosses the $x$-axis. This is very inefficient, so let’s look for a better approach. Suppose that we have found a bracket $[a, b]$ for a zero of a continuous function (by any means). Rather than searching the entire interval with a finer step size, we might reason that the midpoint
$$
m=\frac{a+b}{2}
$$
is a better estimate of the location of the true zero $x^$ of $f$ than either $a$ or $b$; after all, $\left|a-x^\right|$ could be as large as the width $w=(b-a)$ of the interval if $x^$ is near $b$, and similarly for $\left|b-x^\right|$, but
$$
\left|m-x^\right| \leq \frac{1}{2} w $$ since $x^$ lies either in the interval to the right or to the left of $m$ (or both, in the extremely unlikely case that $x^*=m$ ). This is the idea behind the bisection method (or binary search): If $f$ is continuous on some interval and $\left[x_0, x_1\right]$ is a bracket, that is, if $f\left(x_0\right) f\left(x_1\right)<0$, then we set $$
x_2=\frac{x_0+x_1}{2}
$$
and compute $f\left(x_2\right)$. If $f\left(x_2\right)=0$, we are done; otherwise either $f\left(x_2\right)$ and $f\left(x_0\right)$ have opposite signs, in which case $\left[x_0, x_2\right]$ is a new bracket half the size of the previous one, or $f\left(x_2\right)$ and $f\left(x_1\right)$ have opposite signs, in which case $\left[x_2, x_1\right]$ is a new bracket half the size of the previous one. In either case we have reduced our uncertainty as to the location of the true zero $x^*$ by $50 \%$ at the cost of a single new function evaluation (namely the computation of $f\left(x_2\right)$ ). We may now repeat this process on the new interval, finding its midpoint $x_3$ and then a smaller bracket with $x_3$ as an endpoint, and so on, until a sufficiently narrow bracket is obtained.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|BISECTION AND INVERSE LINEAR INTERPOLATION

which is a pretty good point estimate of $\pi / 2=1.57079 \ldots$, and as $\cos (1.5649)=$ $5.8963 \times 10^{-3}$ is positive it leads to the new bracket $[1.5649,2]$ which is slightly smaller than the bracket $[1.5,2]$ found by bisection after one step. The next step gives
$$
\begin{aligned}
x_3 & =x_2-f\left(x_2\right) \frac{x_2-x_1}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \
& =1.5649-\cos (1.5649) \frac{1.5649-2}{\cos (1.5649)-\cos (2)} \
& \doteq 1.5710
\end{aligned}
$$
(where we would be re-using the previously computed cosine values rather than re-computing them.) Since $\cos (1.5710)<0$, the new bracket is $[1.5649,1.5710]$. Its width is $1.5710-1.5649=0.0061$, a vast improvement over the corresponding width of $.25$ for bisection, and the midpoint of this interval is an excellent estimate of the root.

Inverse linear interpolation will converge to some zero of the function in the bracket; however, the rate at which it converges will depend on how nearly linear $f(x)$ is near its zero. If $f(x)$ is well approximated by a straight line over the bracket, the method will usually be faster than bisection. (A function and bracket as in Fig. 4 will result in excruciatingly slow convergence until the bracket is very small.) We have given up the guaranteed slow-but-steady-wins-the-race speed of bisection for a likely but neither guaranteed nor easily predictable improvement.

In the next section we will consider a much faster algorithm known as Newton’s method. Once again a price will be paid: We will require that the function be differentiable as well. Faster methods will require more assumptions and will offer fewer guarantees. But first: MATLAB ${ }^{(\mathrm{R}}$.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|NONLINEAR EQUATIONS

我们要考虑的第一种方法是穷举搜索法 (也称为直接搜索、图形搜索或增量搜索) 。假设 $f$ 在某个 (不 一定是有限的) 区间上是连续的。根据中值定理，如果我们能找到两点 $a, b$ 这样 $f(a)$ 和 $f(b)$ 有相反的 符号，然后是零 $f$ 必须躬在 $(a, b)$. 找到这样一对点的一种方法是选择一些数字 $x_0$ 作为对根位置的初始 猜测，并连续评估函数
$$
x_0, x_1=x_0+h, x_2=x_0+2 h, x_3=x_0+3 h, \ldots
$$
在哪里 $h>0$ 称为步长 (或网格大小) 。当检测到符号变化时，我们说我们在这个宽度区间内包含了一 个根 $h$. (间隔 $\left.x_i, x_{i+1}\right]$ 发生符号变化的括号称为括号；参见图 1，其中端点形成一个括号。) 此时我 们可以在较小的间隔内重复该过程 $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ 用更小的 $h$ 为了更精确地括起根。
穷举搜索法相当于绘制函数并寻找它与 $x$-轴。这是非常低效的，所以让我们寻找更好的方法。假设我 们找到了一个括号 $[a, b]$ 对于连续函数的零 (无论如何) 。与其以更精细的步长搜索整个区间，我们可 能会推断中点
$$
m=\frac{a+b}{2}
$$
是对真零位置的更好估计 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 的 $f$ 比任何一个 $a$ 或者 $b$; 毕竟，左|轴^右|可能和宽度一样大 $w=(b-a)$ 区间的如果 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 近 $b$, 同样对于 $\left|b^2\right| \mathrm{bx} \mathrm{x}^{\wedge}\left|\frac{1}{\mid}\right|$ ，但
自从攵位于区间的右边或左边 $m$ (或两者兼而有之，在极不可能的情况下 $x^=m$ ). 这是二分法 (或 二进制搜索) 背后的思想: 如果 $f$ 在某个区间上是连续的，并且 $\left[x_0, x_1\right]$ ]是一个括号，也就是说，如果 $f\left(x_0\right) f\left(x_1\right)<0$ ，然后我们设置 $$ x_2=\frac{x_0+x_1}{2} $$ 并计算 $f\left(x_2\right)$. 如果 $f\left(x_2\right)=0$ ，我们完了; 否则要么 $f\left(x_2\right)$ 和 $f\left(x_0\right)$ 符号相反，在这种情况下 $\left[x_0, x_2\right]$ 是一个新的括号，是前一个括号的一半大小，或者 $f\left(x_2\right)$ 和 $f\left(x_1\right)$ 符号相反，在这种情况下 $\left[x_2, x_1\right]$ 是一个新的支架，其大小是先前支架的一半。在任何一种情况下，我们都减少了关于真零位置 的不确定性 $x^$ 经过 $50 \%$ 以单个新函数评估为代价（即计算 $f\left(x_2\right)$ ). 我们现在可以在新的间隔上重复这 个过程，找到它的中点 $x_3$ 然后是一个较小的支架 $x_3$ 作为端点，依此类推，直到获得足够窄的括号。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|BISECTION AND INVERSE LINEAR INTERPOLATION

这是一个很好的点估计 $\pi / 2=1.57079 \ldots$. 并作为 $\cos (1.5649)=5.8963 \times 10^{-3}$ 是积极的，它 会导致新的支架 $[1.5649,2]$ 比支架略小 $[1.5,2]$ 一步后通过二分找到。下一步给出
$$
x_3=x_2-f\left(x_2\right) \frac{x_2-x_1}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \quad=1.5649-\cos (1.5649) \frac{1.5649-2}{\cos (1.5649)-\cos (2)} \doteq
$$
(我们将重新使用先前计算的余弦值而不是重新计算它们。) 因为 $\cos (1.5710)<0$, 新的括号是 $[1.5649,1.5710]$. 它的宽度是 $1.5710-1.5649=0.0061 ，$ 相对于相应宽度的巨大改进. 25 对于二 分法，这个区间的中点是根的极好估计。
逆线性揷值将收敛到括号中函数的某个零；然而，它收敛的速度将取决于接近线性的程度 $f(x)$ 接近于 零。如果 $f(x)$ 由括号上的直线很好地近似，该方法通常比二分法更快。（图 4 中的函数和括号将导致 极其缓慢的收敛，直到括号非常小。）我们已经放弃了保证缓慢但稳定的二分法速度，以获得可能但既 不能保证也没有容易预测的改进。
在下一节中，我们将考虑一种更快的算法，称为牛顿法。将再次付出代价：我们将要求函数也是可微 的。更快的方法将需要更多的假设并提供更少的保证。但首先：MATLAB ${ }^{(\mathrm{R}}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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