分类: 数值方法作业代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Ordinary Differential Equations

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Ordinary Differential Equations

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|An Example

We take a simple autonomous non-linear scalar ODE to show how to calculate Picard iterates:
$$
y^{\prime}=f(y)=y^{2}, \quad y\left(t_{0}\right)=a
$$
whose solution is given by:
$$
y(t)=\frac{a}{1-a\left(t-t_{0}\right)}
$$
We now compute the Picard iterates (3.4) for this ODE in order to determine the values of $t$ for which the ODE has a solution. For convenience, let us take $a=1, t_{0}=0$. Some simple integration shows that:
$$
\begin{aligned}
&\phi_{1}(t)=1 \
&\phi_{1}(t)=1+\int_{0}^{t} f\left(\phi_{0}\right) d t=1+t \
&\phi_{2}(t)=1+\int_{0}^{t} f\left(\phi_{1}\right) d t=1+t+t^{2}+t^{3} / 3 \
&\phi_{3}(t)=1+t+t^{2}+t^{3}+\frac{2 t^{4}}{3}+\frac{t^{5}}{3}+\frac{t^{6}}{9}+\frac{t^{7}}{63}
\end{aligned}
$$
We can see that the series is beginning to look like $\frac{1}{1-t}=\sum_{j=0}^{\infty} t^{\jmath}$. We know that this series is convergent for $|t|<1$. A nice exercise is to compute the Picard iterates in the most general case (that is, $a \neq 1, t_{0} \neq 0$ ) and to determine under which circumstances the ODE (3.6) has a solution. In this case we have represented the solution of an ODE as a series, and we then analysed this series for which there are many convergence results, such as the root test and the ratio test.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Riccati ODE

The Riccati ODE is a non-linear ODE of the form:
$$
y^{\prime}=P(x)+Q(x) y+R(x) y^{2}+N(x, y)
$$
This ODE has many applications, for example to interest-rate models (Duffie and Kan (1996)). In some cases a closed-form solution to Equation (3.10) is possible, but in this book our focus is on approximating it using the finite difference method.

We now discuss the relationship between the Riccati equation and the pricing of a zero-coupon bond $P(t, T)$, which is a contract that offers one dollar at maturity $T$. By definition, an affine term structure model assumes that $P(t, T)$ has the form:
$$
P(t, T)=\exp [A(t, T)-B(t, T) r(t)]
$$
Let us assume that the short-term interest rate is described by the following stochastic differential equation (SDE):
$$
d r=\mu(t, r) d t+\sigma(t, r) d W_{t}
$$
where $W_{t}$ is a standard Brownian motion under the risk-neutral equivalent measure and $\mu$ and $\sigma$ are given functions.

Duffie and Kan proved that $P(t, T)$ is exponential-affine if and only if the drift $\mu$ and volatility $\sigma$ have the form:
$$
\mu(t, r)=\alpha(t) r+\beta(t), \quad \sigma(t, r)=\sqrt{\gamma(t) r+\delta(t)}
$$
where $\alpha(t), \beta(t), \gamma(t)$ and $\delta(t)$ are given functions of $t$.
The coefficients $A(t, T)$ and $B(t, T)$ in this case are determined by the following ordinary differential equations:
$$
\frac{d B}{d t}=\frac{\gamma(t)}{2} B(t, T)^{2}-\alpha(t) B(t, T)-1, B(T, T)=0
$$
and:
$$
\frac{d A}{d t}=\beta(t) B(t, T)-\frac{\delta(t)}{2} B(t, T)^{2}, A(T, T)=0
$$
The first Equation (3.11) for $B(t, T)$ is the Riccati equation and the second one (3.12) is solved easily from the first one by integration.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Predator-Prey Models

ODEs can be used as simple models of population growth, for example, by assuming that the rate of reproduction of a population of size $P$ is proportional to the existing population and to the amount of available resources. The ODE is:
$$
\frac{d P}{d t}=r P\left(1-\frac{P}{K}\right), P(0)=P_{0}
$$
where $r$ is the growth rate and $K$ is the carrying capacity. The initial population is $P_{0}$. It is easy to check the following identities:
$$
P(t)=\frac{K P_{0} e^{r t}}{K+P_{0}\left(e^{r t}-1\right)} \text { and } \lim _{t \rightarrow \infty} P(t)=K .
$$
Transformation of this equation leads to the logistic ODE:
$$
\frac{d n}{d \tau}=n(1-n)
$$
where $n$ is the population in units of carrying capacity $(n=P / K)$ and $\tau$ measures time in units of $1 / r$.

For systems, we can consider the predator-prey model in an environment consisting of foxes and rabbits:
$$
\begin{aligned}
&\frac{d r(t)}{d t}=-a r(t) f(t)+b r(t) \
&\frac{d f(t)}{d t}=-p f(t)+q f(t) r(t)
\end{aligned}
$$
where:
$$
\begin{aligned}
r(t) &=\text { number of rabbits at time } t \
f(t) &=\text { number of foxes at time } t \
b r(t) &=\text { birth rate of rabbits } \
-a r(t) f(t) &=\text { death rate of rabbits } \
b &=\text { unit birth rate of rabbits } \
-p f(t) &=\text { death rate of foxes } \
q f(t) r(t) &=\text { birth rate of foxes } \
q &=\text { unit birth rate of foxes. }
\end{aligned}
$$
The ODE system (3.14) is a model of a closed ecological environment in which foxes and rabbits are the only kinds of animals. Rabbits eat grass (of which there is a constant supply), procreate and are eaten by foxes. All foxes eat rabbits, procreate and die of geriatric diseases.

System (3.14) is sometimes called the Lotka-Volterra equations, which are an example of a more general Kolmogorov model to model the dynamics of ecological systems with predator-prey interactions, competition, disease and mutualism (Lotka (1956)).

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Ordinary Differential Equations

数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|An Example

我们采用一个简单的自治非线性标量 ODE 来展示如何计算 Picard 迭代:
是′=F(是)=是2,是(吨0)=一种
其解决方案由下式给出:
是(吨)=一种1−一种(吨−吨0)
我们现在计算这个 ODE 的 Picard 迭代 (3.4) 以确定吨ODE 有一个解决方案。为了方便,我们取一种=1,吨0=0. 一些简单的整合表明:
φ1(吨)=1 φ1(吨)=1+∫0吨F(φ0)d吨=1+吨 φ2(吨)=1+∫0吨F(φ1)d吨=1+吨+吨2+吨3/3 φ3(吨)=1+吨+吨2+吨3+2吨43+吨53+吨69+吨763
我们可以看到这个系列开始看起来像11−吨=∑j=0∞吨Ÿ. 我们知道这个系列是收敛的|吨|<1. 一个很好的练习是在最一般的情况下计算 Picard 迭代(即,一种≠1,吨0≠0) 并确定 ODE (3.6) 在何种情况下有解。在这种情况下,我们将 ODE 的解表示为一个系列,然后我们分析了这个系列,其中有很多收敛结果,例如根检验和比率检验。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Riccati ODE

Riccati ODE 是以下形式的非线性 ODE:
是′=磷(X)+问(X)是+R(X)是2+ñ(X,是)
这个 ODE 有很多应用,例如利率模型(Duffie 和 Kan (1996))。在某些情况下,方程(3.10)的封闭形式的解是可能的,但在本书中,我们的重点是使用有限差分法对其进行近似。

我们现在讨论里卡蒂方程和零息债券定价之间的关系磷(吨,吨),这是一种在到期时提供一美元的合约吨. 根据定义,仿射期限结构模型假设磷(吨,吨)具有以下形式:
磷(吨,吨)=经验⁡[一种(吨,吨)−乙(吨,吨)r(吨)]
让我们假设短期利率由以下随机微分方程 (SDE) 描述:
dr=μ(吨,r)d吨+σ(吨,r)d在吨
在哪里在吨是风险中性等价测度下的标准布朗运动,并且μ和σ被赋予功能。

Duffie 和 Kan 证明了磷(吨,吨)是指数仿射的当且仅当漂移μ和波动性σ有以下形式:
μ(吨,r)=一种(吨)r+b(吨),σ(吨,r)=C(吨)r+d(吨)
在哪里一种(吨),b(吨),C(吨)和d(吨)被赋予函数吨.
系数一种(吨,吨)和乙(吨,吨)在这种情况下,由以下常微分方程确定:
d乙d吨=C(吨)2乙(吨,吨)2−一种(吨)乙(吨,吨)−1,乙(吨,吨)=0
和:
d一种d吨=b(吨)乙(吨,吨)−d(吨)2乙(吨,吨)2,一种(吨,吨)=0
第一个方程(3.11)为乙(吨,吨)是 Riccati 方程,第二个方程 (3.12) 很容易通过积分从第一个方程求解。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Predator-Prey Models

ODE 可以用作人口增长的简单模型,例如,通过假设磷与现有人口和可用资源量成正比。ODE 是:
d磷d吨=r磷(1−磷ķ),磷(0)=磷0
在哪里r是增长率和ķ是承载能力。初始人口为磷0. 很容易检查以下身份:
磷(吨)=ķ磷0和r吨ķ+磷0(和r吨−1) 和 林吨→∞磷(吨)=ķ.
该方程的变换导致逻辑 ODE:
dndτ=n(1−n)
在哪里n是以承载能力为单位的人口(n=磷/ķ)和τ以单位测量时间1/r.

对于系统,我们可以考虑由狐狸和兔子组成的环境中的捕食者-猎物模型:
dr(吨)d吨=−一种r(吨)F(吨)+br(吨) dF(吨)d吨=−pF(吨)+qF(吨)r(吨)
在哪里:
r(吨)= 一次兔子的数量 吨 F(吨)= 一次狐狸的数量 吨 br(吨)= 兔子的出生率  −一种r(吨)F(吨)= 兔子的死亡率  b= 兔单位出生率  −pF(吨)= 狐狸的死亡率  qF(吨)r(吨)= 狐狸出生率  q= 狐狸的单位出生率。 
ODE系统(3.14)是一个封闭的生态环境模型,其中狐狸和兔子是唯一的动物。兔子吃草(其中有源源不断的供应),繁殖并被狐狸吃掉。所有的狐狸都吃兔子,生育并死于老年病。

系统 (3.14) 有时被称为 Lotka-Volterra 方程,它是更通用的 Kolmogorov 模型的一个例子,用于模拟具有捕食者-猎物相互作用、竞争、疾病和共生关系的生态系统动力学 (Lotka (1956))。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| STIFF ODEs

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
An Optimization Algorithm for Exponential Curve Model of Single Pile  Bearing Capacity | SpringerLink
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| STIFF ODEs

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|STIFF ODEs

We now discuss special classes of ODEs that arise in practice and whose numerical solution demands special attention. These are called stiff systems whose solutions consist of two components; first, the transient solution that decays quickly in time, and second, the steady-state solution that decays slowly. We speak of fast transient and slow transient, respectively. As a first example, let us examine the scalar linear initial value problem:
$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}+a y=1, \quad t \in(0, T], \quad a>0 \text { is a constant } \
y(0)=A
\end{array}\right.
$$
whose exact solution is given by:
$$
y(t)=A e^{-a t}+\frac{1}{a}\left[1-e^{-a t}\right]=\left(A-\frac{1}{a}\right) e^{-a t}+\frac{1}{a} .
$$
In this case the transient solution is the exponential term, and this decays very fast (especially when the constant $a$ is large) for increasing $t$. The steady-state solution is a constant, and this is the value of the solution when $t$ is infinity. The transient solution is called the complementary function, and the steady-state solution is called the particular integral (when $\frac{d y}{d y}=0$ ), the latter including no arbitrary constant. The stiffness in the above example is caused when the value $a$ is large; in this case traditional finite difference schemes can produce unstable and highly oscillating solutions. One remedy is to define very small time steps. Special finite difference techniques have been developed that remain stable even when the parameter $a$ is large. These are the exponentially fitted schemes, and they have a number of variants. The variant described in Liniger and Willoughby (1970) is motivated by finding a fitting factor for a general initial value problem and is chosen in such a way that it produces an exact solution for a certain model problem. To this end, let us examine the scalar ODE:
$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y(t)), t \in(0, T]
$$
and let us approximate it using the Theta method:
$$
y_{n+1}-y_{n}=\Delta t\left[(1-\theta) f_{n+1}+\theta f_{n}\right], f_{n}=f\left(t_{n}, y_{n}\right)
$$
where the parameter $\theta$ has not yet been specified. We determine it using the heuristic that this so-called Theta method should be exact for the linear constant-coefficient model problem:
$$
\frac{d y}{d t}=\lambda y\left(\text { exact solution } y(t)=e^{\lambda t}\right) \text {. }
$$
Based on this heuristic and by using the exact solution from (2.43) in scheme (2.42) $(f(t, y)=\lambda y)$, we get the value (you should check that this formula is correct; it is a bit

of algebra). We get:
$$
\begin{aligned}
&y_{n+1}=\frac{1+\Delta t \lambda}{1-(1-\theta) t \lambda} y_{n} \
&\text { and } \
&\theta=-\frac{1}{\Delta t \lambda}-\frac{\exp (\Delta t \lambda)}{1-\exp (\Delta t \lambda)} .
\end{aligned}
$$
Note: this is a different kind of exponential fitting.
We need to determine if this scheme is stable (in some sense). To answer this question, we introduce some concepts.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTERMEZZO: EXPLICIT SOLUTIONS

A special case of an initial value problem is when the number of dimensions $n$ in an initial value problem is equal to 1 . In this case we speak of a scalar problem, and it is

useful to study these problems if one wishes to get some insights into how finite difference methods work. In this section we discuss some numerical properties of one-step finite difference schemes for the linear scalar problem:
$$
\begin{aligned}
&L u \equiv \frac{d u}{d t}+a(t) u=f(t), 0<\mathrm{t}0, \forall t \in[0, T]$.
The reader can check that the one-step methods (Equations (2.10), (2.11) and (2.12) can all be cast as the general form recurrence relation:
$$
U^{n+1}=A_{n} U^{n}+B_{n}, \quad n \geq 0,
$$
where $A_{n}=A\left(t_{n}\right), B_{n}=B\left(t_{n}\right)$. Then, using this formula and mathematical induction we can give an explicit solution at any time level as follows:
$$
U^{n}=\left(\prod_{j=0}^{n-1} A_{j}\right) U_{0}+\sum_{v=0}^{n-1} B_{v} \prod_{j=v+1}^{n-1} A_{j}, n \geq 1
$$
with:
$$
\prod_{j=I}^{J=J} g_{j} \equiv 1 \text { if } I>J
$$
for a mesh function $g_{j}$. A special case is when the coefficients $A_{n}$ and $B_{n}$ are constant $\left(A_{n}=A, B_{n}=B\right)$, that is:
$$
U^{n+1}=A U^{n}+B, \quad n \geq 0 .
$$
Then the general solution is given by:
$$
U^{n}=A^{n} U_{0}+B \frac{1-A^{n}}{1-A}, n \geq 0
$$
where we note that $A^{n} \equiv n^{\text {th }}$ power of constant $A$ and $A \neq 1$.
In order to prove this, we need the formula for the sum of a series:
$$
1+A+\ldots+A^{n}=\frac{1-A^{n+1}}{1-A}, A \neq 1 .
$$
For a readable introduction to difference schemes, we refer the reader to Goldberg (1986).

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|EXISTENCE AND UNIQUENESS RESULTS

We turn our attention to a more general initial value problem for a non-linear system of ODEs:
$$
\left{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(t, y), \quad t \in \mathbb{R} \
y(0)=A
\end{array}\right.
$$
where:
$$
y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{n}, f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}
$$
and:
$$
f(t, y)=\left(f_{1}(t, y), \ldots, f_{n}(t, y)\right)^{\top} \text { where } f_{j}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, j=1, \ldots, n .
$$
43

Some of the important questions to be answered are:

  • Does System (3.1) have a unique solution?
    = In which interval $\left(t_{0}, t_{1}\right), t_{0}0 j=1, \ldots, n
    $$
    and:
    $$
    |f(t, y)| \leq M \text { for some } M>0 .
    $$
    Theorem 3.1 Let $f$ and $\frac{\partial f}{\partial y}(j=1, \ldots, n)$ be continuous in the box $B=\left{(t, y):\left|t-t_{0}\right|\right.$ $\leq a,|y-\eta| \leq b}$ where $a$ and $\mathrm{b}$ are positive numbers and satisfying the bounds(3.2) and (3.3) for (t, $y$ ) in B. Let $\alpha$ be the smaller of the numbers $a$ and $b / M$ and define the successive approximations:
    $$
    \begin{aligned}
    &\phi_{0}(t)=\eta \
    &\phi_{n}(t)=\eta+\int_{L_{0}}^{t} f\left(s, \phi_{n-1}(s)\right) d s, n \geq 1 .
    \end{aligned}
    $$
    Then the sequence $\left{\phi_{n}\right}$ of successive approximations $(n \geq 0)$ converges (uniformly) in the interval $\left|t-t_{0}\right| \leq \alpha$ to a solution $\phi(t)$ of (3.1) that satisfies the initial condition $\phi\left(t_{0}\right)=\eta$.

Method (3.4) is called the Picard iterative method and it is used to prove the existence of the solution of systems of ODE (3.1). It is mainly of theoretical value, as it should not necessarily be seen as a practical way to construct a numerical solution. However, it does give us insights into the qualitative properties of the solution. On the other hand, it is a useful exercise to construct the sequence of iterates in Equation (3.4) for some simple cases.
We note that the IVP (3.1) can be written as an integral equation as follows:
$$
y(t)=y_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(s, y(s)) d s
$$
where $y_{0}=A=y\left(t_{0}\right)$.
It can be proved that the solution of (3.1) is also the solution of (3.5) and vice versa. We see then that Picard iteration is based on (3.5) and that we wish to have the iterates converging to a solution of (3.5).

GraphPad Prism 9 Curve Fitting Guide - Equation: Exponential growth
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| STIFF ODEs

数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|STIFF ODEs

我们现在讨论在实践中出现的特殊类别的 ODE,其数值解需要特别注意。这些被称为刚性系统,其解决方案由两个组件组成;第一,随时间快速衰减的瞬态解,第二,缓慢衰减的稳态解。我们分别谈到快速瞬态和慢速瞬态。作为第一个例子,让我们检查标量线性初始值问题:
$$
\left{d是d吨+一种是=1,吨∈(0,吨],一种>0 是一个常数  是(0)=一种\对。
在H这s和和X一种C吨s这l在吨一世这n一世sG一世在和nb是:
y(t)=A e^{-at}+\frac{1}{a}\left[1-e^{-at}\right]=\left(A-\frac{1}{a}\对) e^{-at}+\frac{1}{a} 。
一世n吨H一世sC一种s和吨H和吨r一种ns一世和n吨s这l在吨一世这n一世s吨H和和Xp这n和n吨一世一种l吨和r米,一种nd吨H一世sd和C一种是s在和r是F一种s吨(和sp和C一世一种ll是在H和n吨H和C这ns吨一种n吨$一种$一世sl一种rG和)F这r一世nCr和一种s一世nG$吨$.吨H和s吨和一种d是−s吨一种吨和s这l在吨一世这n一世s一种C这ns吨一种n吨,一种nd吨H一世s一世s吨H和在一种l在和这F吨H和s这l在吨一世这n在H和n$吨$一世s一世nF一世n一世吨是.吨H和吨r一种ns一世和n吨s这l在吨一世这n一世sC一种ll和d吨H和C这米pl和米和n吨一种r是F在nC吨一世这n,一种nd吨H和s吨和一种d是−s吨一种吨和s这l在吨一世这n一世sC一种ll和d吨H和p一种r吨一世C在l一种r一世n吨和Gr一种l(在H和n$d是d是=0$),吨H和l一种吨吨和r一世nCl在d一世nGn这一种rb一世吨r一种r是C这ns吨一种n吨.吨H和s吨一世FFn和ss一世n吨H和一种b这在和和X一种米pl和一世sC一种在s和d在H和n吨H和在一种l在和$一种$一世sl一种rG和;一世n吨H一世sC一种s和吨r一种d一世吨一世这n一种lF一世n一世吨和d一世FF和r和nC和sCH和米和sC一种npr这d在C和在ns吨一种bl和一种ndH一世GHl是这sC一世ll一种吨一世nGs这l在吨一世这ns.这n和r和米和d是一世s吨这d和F一世n和在和r是s米一种ll吨一世米和s吨和ps.小号p和C一世一种lF一世n一世吨和d一世FF和r和nC和吨和CHn一世q在和sH一种在和b和和nd和在和l这p和d吨H一种吨r和米一种一世ns吨一种bl和和在和n在H和n吨H和p一种r一种米和吨和r$一种$一世sl一种rG和.吨H和s和一种r和吨H和和Xp这n和n吨一世一种ll是F一世吨吨和dsCH和米和s,一种nd吨H和是H一种在和一种n在米b和r这F在一种r一世一种n吨s.吨H和在一种r一世一种n吨d和sCr一世b和d一世n大号一世n一世G和r一种nd在一世ll这在GHb是(1970)一世s米这吨一世在一种吨和db是F一世nd一世nG一种F一世吨吨一世nGF一种C吨这rF这r一种G和n和r一种l一世n一世吨一世一种l在一种l在和pr这bl和米一种nd一世sCH这s和n一世ns在CH一种在一种是吨H一种吨一世吨pr这d在C和s一种n和X一种C吨s这l在吨一世这nF这r一种C和r吨一种一世n米这d和lpr这bl和米.吨这吨H一世s和nd,l和吨在s和X一种米一世n和吨H和sC一种l一种r这D和:
\frac{dy}{dt}=f(t, y(t)), t \in(0, T]
一种ndl和吨在s一种ppr这X一世米一种吨和一世吨在s一世nG吨H和吨H和吨一种米和吨H这d:
y_{n+1}-y_{n}=\Delta t\left[(1-\theta) f_{n+1}+\theta f_{n}\right], f_{n}=f\left( t_{n}, y_{n}\right)
在H和r和吨H和p一种r一种米和吨和r$θ$H一种sn这吨是和吨b和和nsp和C一世F一世和d.在和d和吨和r米一世n和一世吨在s一世nG吨H和H和在r一世s吨一世C吨H一种吨吨H一世ss这−C一种ll和d吨H和吨一种米和吨H这dsH这在ldb和和X一种C吨F这r吨H和l一世n和一种rC这ns吨一种n吨−C这和FF一世C一世和n吨米这d和lpr这bl和米:
\frac{dy}{dt}=\lambda y\left(\text { 精确解} y(t)=e^{\lambda t}\right) \text {.
$$
基于此启发式并使用方案 (2.42) 中 (2.43) 的精确解(F(吨,是)=λ是),我们得到值(你应该检查这个公式是否正确;它有点

代数)。我们得到:
是n+1=1+Δ吨λ1−(1−θ)吨λ是n  和  θ=−1Δ吨λ−经验⁡(Δ吨λ)1−经验⁡(Δ吨λ).
注意:这是一种不同的指数拟合。
我们需要确定这个方案是否稳定(在某种意义上)。为了回答这个问题,我们引入一些概念。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTERMEZZO: EXPLICIT SOLUTIONS

初始值问题的一个特例是当维数n在初始值问题中等于 1 。在这种情况下,我们谈到一个标量问题,它是

如果希望对有限差分方法的工作原理有所了解,则对研究这些问题很有用。在本节中,我们讨论线性标量问题的一步有限差分格式的一些数值性质:
\begin{aligned} &L u \equiv \frac{d u}{d t}+a(t) u=f(t), 0<\mathrm{t}0, \forall t \in[0, T]$。读者可以检查一步法(方程(2.10),(2.11)和(2.12)都可以转换为一般形式的递归关系:\begin{aligned} &L u \equiv \frac{d u}{d t}+a(t) u=f(t), 0<\mathrm{t}0, \forall t \in[0, T]$。读者可以检查一步法(方程(2.10),(2.11)和(2.12)都可以转换为一般形式的递归关系:
U ^ {n + 1} = A_ {n} U ^ {n} + B_ {n}, \quad n \ geq 0,
在H和r和$一种n=一种(吨n),乙n=乙(吨n)$.吨H和n,在s一世nG吨H一世sF这r米在l一种一种nd米一种吨H和米一种吨一世C一种l一世nd在C吨一世这n在和C一种nG一世在和一种n和Xpl一世C一世吨s这l在吨一世这n一种吨一种n是吨一世米和l和在和l一种sF这ll这在s:
U^{n}=\left(\prod_{j=0}^{n-1} A_{j}\right) U_{0}+\sum_{v=0}^{n-1} B_{v } \prod_{j=v+1}^{n-1} A_{j}, n \geq 1
在一世吨H:
\prod_{j=I}^{J=J} g_{j} \equiv 1 \text { 如果 } I>J
F这r一种米和sHF在nC吨一世这n$Gj$.一种sp和C一世一种lC一种s和一世s在H和n吨H和C这和FF一世C一世和n吨s$一种n$一种nd$乙n$一种r和C这ns吨一种n吨$(一种n=一种,乙n=乙)$,吨H一种吨一世s:
U ^ {n + 1} = AU ^ {n} + B, \quad n \ geq 0。
吨H和n吨H和G和n和r一种ls这l在吨一世这n一世sG一世在和nb是:
U ^ {n} = A ^ {n} U_ {0} + B \ frac {1-A ^ {n}} {1-A},n \ geq 0
在H和r和在和n这吨和吨H一种吨$一种n≡nth $p这在和r这FC这ns吨一种n吨$一种$一种nd$一种≠1$.一世n这rd和r吨这pr这在和吨H一世s,在和n和和d吨H和F这r米在l一种F这r吨H和s在米这F一种s和r一世和s:
1+A+\ldots+A^{n}=\frac{1-A^{n+1}}{1-A}, A \neq 1 。
$$
对于差分方案的可读介绍,我们将读者推荐给 Goldberg (1986)。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|EXISTENCE AND UNIQUENESS RESULTS

我们将注意力转向一个更一般的 ODE 非线性系统的初始值问题:
$$
\left{是′=F(吨,是),吨∈R 是(0)=一种\对。
在H和r和:
y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{n}, f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}
一种nd:
f(t, y)=\left(f_{1}(t, y), \ldots, f_{n}(t, y)\right)^{\top} \text { 其中 } f_{j}: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, j=1, \ldots, n 。43
美元

需要回答的一些重要问题是:

  • 系统(3.1)是否有唯一的解决方案?
    = 在哪个区间(吨0,吨1),吨00j=1,…,n一种nd:|F(吨,是)|≤米 对于一些 米>0.吨H和这r和米3.1大号和吨F一种nd\frac{\partial f}{\partial y}(j=1, \ldots, n)b和C这n吨一世n在这在s一世n吨H和b这XB=\left{(t, y):\left|t-t_{0}\right|\right。\ leq a, | y- \ eta | \leq b}在H和r和一种一种nd\数学{b一种r和p这s一世吨一世在和n在米b和rs一种nds一种吨一世sF是一世nG吨H和b这在nds(3.2)一种nd(3.3)F这r(吨,是)一世n乙.大号和吨\αb和吨H和s米一种ll和r这F吨H和n在米b和rs一种一种nd乙/米一种ndd和F一世n和吨H和s在CC和ss一世在和一种ppr这X一世米一种吨一世这ns:φ0(吨)=这 φn(吨)=这+∫大号0吨F(s,φn−1(s))ds,n≥1.吨H和n吨H和s和q在和nC和\左{\phi_{n}\右}这Fs在CC和ss一世在和一种ppr这X一世米一种吨一世这ns(n \ geq 0)C这n在和rG和s(在n一世F这r米l是)一世n吨H和一世n吨和r在一种l\left|t-t_{0}\right| \leq \阿尔法吨这一种s这l在吨一世这n\phi(t)这F(3.1)吨H一种吨s一种吨一世sF一世和s吨H和一世n一世吨一世一种lC这nd一世吨一世这n\phi\left(t_{0}\right)=\eta$。

方法(3.4)称为Picard迭代法,用于证明ODE(3.1)系统解的存在性。它主要具有理论价值,因为它不一定被视为构造数值解的实用方法。但是,它确实让我们深入了解了解决方案的定性属性。另一方面,对于一些简单的情况,构造方程(3.4)中的迭代序列是一个有用的练习。
我们注意到IVP(3.1)可以写成一个积分方程如下:
是(吨)=是0+∫吨0吨F(s,是(s))ds
在哪里是0=一种=是(吨0).
可以证明(3.1)的解也是(3.5)的解,反之亦然。然后我们看到 Picard 迭代基于 (3.5) 并且我们希望迭代收敛到 (3.5) 的解。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Scalar Non-Linear Problems and Predictor-Corrector Method

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Scalar Non-Linear Problems and Predictor-Corrector Method

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Scalar Non-Linear Problems and Predictor-Corrector Method

Real-life problems are very seldom linear. In general, we model applications using nonlinear IVPs:
$$
\left{\begin{array}{l}
u^{\prime} \equiv \frac{d u}{d t}=f(t, u), t \in(0, T] \
u(0)=A .
\end{array}\right.
$$
Here $f(t, u)$ is a non-linear function in $u$ in general. Of course, Equation (2.28) contains Equation (2.1) as a special case. However, it is not possible to come up with an exact solution for (2.28) in general, and we must resort to some numerical techniques. Approximating (2.28) poses challenges because the resulting difference schemes may also be non-linear, thus forcing us to solve the discrete system at each time level by Newton’s method or some other non-linear solver. For example, consider applying the trapezoidal method to (2.28):
$$
u_{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left[f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1}, u_{n+1}\right)\right] n=0, \ldots, N-1
$$
where $f(t, u)$ is non-linear. Here see that the unknown term $u$ is on both the left-and right-hand sides of the equation, and hence it is not possible to solve the problem explicitly in the way that we did for the linear case. However, not all is lost, and to this end we introduce the predictor-corrector method that consists of a set consisting of two difference schemes; the first equation uses the explicit Euler method to produce an intermediate solution called a predictor that is then used in what could be called a modified trapezoidal rule:
Predictor: $\bar{u}{n+1}=u{n}+k f\left(t_{n}, u_{n}\right)$
Corrector: $u_{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left[f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1}, \bar{u}{n+1}\right)\right]$ or: $$ u{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left{f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1}, u_{n}+k f\left(t_{n}, u_{n}\right)\right)\right} .
$$
The predictor-corrector is used in practice; it can be used with non-linear systems and stochastic differential equations (SDE). We discuss this topic in Chapter $13 .$

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Extrapolation

We give an introduction to a technique that allows us to improve the accuracy of finite difference schemes. This is called Richardson extrapolation in general. We take a specific case to show the essence of the method, namely the implicit Euler method (2.11).

We know that it is first-order accurate and that it has good stability properties. We now apply the method on meshes of size $k$ and $k / 2$, and we can show that the approximate solutions can represented as follows:
$$
\begin{aligned}
&v^{k}=u+m k+0\left(k^{2}\right) \
&v^{k / 2}=u+m \frac{k}{2}+0\left(k^{2}\right)
\end{aligned}
$$
Then:
$$
w^{k / 2} \equiv 2 v^{k / 2}-v^{k}=u+0\left(k^{2}\right)
$$
Thus, $w^{k / 2}$ is a second-order approximation to the solution of (2.1).
The constant $m$ is independent of $k$, and this is why we can eliminate it in the first equations to get a scheme that is second-order accurate. The same trick can be employed with the second-order Crank-Nicolson scheme to get a fourth-order accurate scheme as follows:
$$
\begin{aligned}
&v^{k}=u+m k^{2}+0\left(k^{4}\right) \
&v^{k / 2}=u+m\left(\frac{k}{2}\right)^{2}+0\left(k^{4}\right)
\end{aligned}
$$
Then:
$$
w^{k / 2} \equiv \frac{4}{3} v^{k / 2}-\frac{1}{3} v^{k}=u+0\left(k^{4}\right) .
$$
In general, with extrapolation methods we state what accuracy we desire, and the algorithm divides the interval $[0, T]$ into smaller subintervals until the difference between the solutions on consecutive meshes is less than a given tolerance.

A thorough introduction to extrapolation techniques for ordinary and partial differential equations (including one-factor and multifactor parabolic equations) can be found in Marchuk and Shaidurov (1983).

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|FOUNDATIONS OF DISCRETE TIME APPROXIMATIONS

We discuss the following properties of a finite difference approximation to an ODE:

  • Consistency
  • Stability
  • Convergence.
    These topics are also relevant when we discuss numerical methods for partial differential equations.

In order to reduce the scope of the problem (for the moment), we examine the simple scalar non-linear initial value problem (IVP) defined by:
$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{d X}{d t}=\mu(t, X), 0<t \leq T \
X(0)=X_{0} \text { given. }
\end{array}\right.
$$

We assume that this system has a unique solution in the interval $[0, T]$. In general it is impossible to find an exact solution of Equation (2.31), and we resort to some kind of numerical scheme. To this end, we can write a generic $k$-step method in the form (Henrici (1962), Lambert (1991)):
$$
\sum_{j=0}^{k}\left(\alpha_{j} X_{n-j}-\Delta t \beta_{j} \mu\left(t_{n-j}, X_{n-j}\right)\right)=0, \quad k \leq n \leq N
$$
where $\alpha_{j}$ and $\beta_{j}$ are constants, $j=0, \ldots, k$, and $\Delta t$ is the constant step-size.
Since this is a $k$-step method, we need to give $k$ initial conditions:
$$
X_{0} ; X_{1}, \ldots, X_{k-1}
$$
We note that the first initial condition is known from the continuous problem (2.31) while the determination of the other $k-1$ numerical initial conditions is a part of the numerical problem. These $k-1$ numerical initial conditions must be chosen with care if we wish to avoid producing unstable schemes. In general, we compute these values by using Taylor’s series expansions or by one-step methods.

We discuss consistency of scheme (2.32). This is a measure of how well the exact solution of (2.31) satisfies (2.32). Consistency states that the difference equation (2.32) formally converges to the differential equation in (2.31) when $\Delta t$ tends to zero. In order to determine if a finite difference scheme is consistent, we define the generating polynomials:
$$
\begin{aligned}
&\rho(\zeta)=\sum_{j=0}^{k} \alpha_{j} \zeta^{k-j} \
&\sigma(\zeta)=\sum_{j=0}^{k} \beta_{j} \zeta^{k-j}
\end{aligned}
$$
It can be shown that consistency (see Henrici (1962), Dahlquist and Björck (1974)) is equivalent to the following conditions:
$$
\rho(1)=0, \frac{d \rho}{d \zeta}(1)=\sigma(1) \text {. }
$$
Let us take the explicit Euler method applied to IVP (2.31):
$$
X_{n}-X_{n-1}=\Delta t \mu\left(t_{n}, X_{n-1}\right), n=1, \ldots, N .
$$
The reader can check the following:
$$
\begin{aligned}
&\rho(\zeta)=\alpha_{0} \zeta+\alpha_{1}=\zeta-1 \
&\sigma(\zeta)=1
\end{aligned}
$$
from which we deduce that the explicit Euler scheme is consistent with the IVP (2.31) by checking with Equation (2.35).

Evaluation of multi-exponential curve fitting analysis of oxygen-quenched  phosphorescence decay traces for recovering microvascular oxygen tension  histograms | SpringerLink
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数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Scalar Non-Linear Problems and Predictor-Corrector Method

现实生活中的问题很少是线性的。通常,我们使用非线性 IVP 对应用程序进行建模:
$$
\left{在′≡d在d吨=F(吨,在),吨∈(0,吨] 在(0)=一种.\对。
H和r和$F(吨,在)$一世s一种n这n−l一世n和一种rF在nC吨一世这n一世n$在$一世nG和n和r一种l.这FC这在rs和,和q在一种吨一世这n(2.28)C这n吨一种一世ns和q在一种吨一世这n(2.1)一种s一种sp和C一世一种lC一种s和.H这在和在和r,一世吨一世sn这吨p这ss一世bl和吨这C这米和在p在一世吨H一种n和X一种C吨s这l在吨一世这nF这r(2.28)一世nG和n和r一种l,一种nd在和米在s吨r和s这r吨吨这s这米和n在米和r一世C一种l吨和CHn一世q在和s.一种ppr这X一世米一种吨一世nG(2.28)p这s和sCH一种ll和nG和sb和C一种在s和吨H和r和s在l吨一世nGd一世FF和r和nC和sCH和米和s米一种是一种ls这b和n这n−l一世n和一种r,吨H在sF这rC一世nG在s吨这s这l在和吨H和d一世sCr和吨和s是s吨和米一种吨和一种CH吨一世米和l和在和lb是ñ和在吨这n′s米和吨H这d这rs这米和这吨H和rn这n−l一世n和一种rs这l在和r.F这r和X一种米pl和,C这ns一世d和r一种ppl是一世nG吨H和吨r一种p和和这一世d一种l米和吨H这d吨这(2.28):
u_{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left[f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1} , u_{n+1}\right)\right] n=0, \ldots, N-1
在H和r和$F(吨,在)$一世sn这n−l一世n和一种r.H和r和s和和吨H一种吨吨H和在nķn这在n吨和r米$在$一世s这nb这吨H吨H和l和F吨−一种ndr一世GH吨−H一种nds一世d和s这F吨H和和q在一种吨一世这n,一种ndH和nC和一世吨一世sn这吨p这ss一世bl和吨这s这l在和吨H和pr这bl和米和Xpl一世C一世吨l是一世n吨H和在一种是吨H一种吨在和d一世dF这r吨H和l一世n和一种rC一种s和.H这在和在和r,n这吨一种ll一世sl这s吨,一种nd吨这吨H一世s和nd在和一世n吨r这d在C和吨H和pr和d一世C吨这r−C这rr和C吨这r米和吨H这d吨H一种吨C这ns一世s吨s这F一种s和吨C这ns一世s吨一世nG这F吨在这d一世FF和r和nC和sCH和米和s;吨H和F一世rs吨和q在一种吨一世这n在s和s吨H和和Xpl一世C一世吨和在l和r米和吨H这d吨这pr这d在C和一种n一世n吨和r米和d一世一种吨和s这l在吨一世这nC一种ll和d一种pr和d一世C吨这r吨H一种吨一世s吨H和n在s和d一世n在H一种吨C这在ldb和C一种ll和d一种米这d一世F一世和d吨r一种p和和这一世d一种lr在l和:磷r和d一世C吨这r:$在¯n+1=在n+ķF(吨n,在n)$C这rr和C吨这r:$在n+1=在n+ķ2[F(吨n,在n)+F(吨n+1,在¯n+1)]$这r:u{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left{f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1} , u_{n}+kf\left(t_{n}, u_{n}\right)\right)\right} 。
$$
预测器-校正器在实践中使用;它可用于非线性系统和随机微分方程 (SDE)。我们将在第 1 章讨论这个主题13.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Extrapolation

我们介绍了一种技术,该技术使我们能够提高有限差分方案的准确性。这通常称为理查森外推。我们以一个具体的案例来说明该方法的本质,即隐式欧拉法(2.11)。

我们知道它是一阶精确的,并且具有良好的稳定性。我们现在将该方法应用于大小的网格ķ和ķ/2,我们可以证明近似解可以表示如下:
在ķ=在+米ķ+0(ķ2) 在ķ/2=在+米ķ2+0(ķ2)
然后:
在ķ/2≡2在ķ/2−在ķ=在+0(ķ2)
因此,在ķ/2是 (2.1) 解的二阶近似。
常数米独立于ķ,这就是为什么我们可以在第一个方程中消除它以获得二阶精确的方案。可以对二阶 Crank-Nicolson 方案使用相同的技巧来获得四阶精确方案,如下所示:
在ķ=在+米ķ2+0(ķ4) 在ķ/2=在+米(ķ2)2+0(ķ4)
然后:
在ķ/2≡43在ķ/2−13在ķ=在+0(ķ4).
一般来说,通过外推方法,我们会说明我们想要的准确度,并且算法会划分区间[0,吨]到更小的子区间,直到连续网格上的解之间的差异小于给定的容差。

可以在 Marchuk 和 Shaidurov (1983) 中找到对常微分方程和偏微分方程(包括单因子和多因子抛物线方程)外推技术的全面介绍。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|FOUNDATIONS OF DISCRETE TIME APPROXIMATIONS

我们讨论 ODE 的有限差分逼近的以下性质:

  • 一致性
  • 稳定
  • 收敛。
    当我们讨论偏微分方程的数值方法时,这些主题也很重要。

为了缩小问题的范围(目前),我们研究了由以下定义的简单标量非线性初始值问题(IVP):
$$
\left{dXd吨=μ(吨,X),0<吨≤吨 X(0)=X0 给定的。 \对。
$$

我们假设这个系统在区间内有唯一解[0,吨]. 一般来说,不可能找到方程(2.31)的精确解,我们求助于某种数值方案。为此,我们可以写一个泛型ķ-step 方法的形式(Henrici (1962), Lambert (1991)):
∑j=0ķ(一种jXn−j−Δ吨bjμ(吨n−j,Xn−j))=0,ķ≤n≤ñ
在哪里一种j和bj是常数,j=0,…,ķ, 和Δ吨是恒定步长。
由于这是一个ķ-step 方法,我们需要给出ķ初始条件:
X0;X1,…,Xķ−1
我们注意到第一个初始条件是从连续问题(2.31)中知道的,而另一个初始条件的确定ķ−1数值初始条件是数值问题的一部分。这些ķ−1如果我们希望避免产生不稳定的方案,则必须谨慎选择数值初始条件。通常,我们通过使用泰勒级数展开或一步法来计算这些值。

我们讨论方案(2.32)的一致性。这是对 (2.31) 的精确解满足 (2.32) 的程度的度量。一致性表明差分方程(2.32)正式收敛到(2.31)中的微分方程,当Δ吨趋于零。为了确定一个有限差分格式是否一致,我们定义了生成多项式:
ρ(G)=∑j=0ķ一种jGķ−j σ(G)=∑j=0ķbjGķ−j
可以证明一致性(参见 Henrici (1962)、Dahlquist 和 Björck (1974))等价于以下条件:
ρ(1)=0,dρdG(1)=σ(1). 
让我们将显式欧拉方法应用于 IVP (2.31):
Xn−Xn−1=Δ吨μ(吨n,Xn−1),n=1,…,ñ.
读者可以检查以下内容:
ρ(G)=一种0G+一种1=G−1 σ(G)=1
从中我们通过检查方程(2.35)推导出显式欧拉方案与IVP(2.31)一致。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
GraphPad Prism 9 Curve Fitting Guide - Exponential plateau
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Common Schemes

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Common Schemes

We now introduce a number of important and useful difference schemes that approximate the solution of Equation (2.1). These schemes will pop up all over the place in later chapters. Understanding how the schemes work in a simpler context will help you appreciate them when we tackle partial differential equations based on the Black-Scholes model. They also help in our understanding of notation, jargon, and syntax.
The main schemes are:

  • Explicit Euler
  • Implicit Euler
  • Crank-Nicolson (or Box scheme)
  • The trapezoidal method.
    The explicit Euler method is given by:
    $$
    \begin{aligned}
    &\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n} u^{n}=f^{n}, n=0, \ldots, N-1 \
    &u^{0}=A
    \end{aligned}
    $$

whereas the implicit Euler method is given by:
$$
\begin{aligned}
&\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n+1} u^{n+1}=f^{n+1}, n=0, \ldots, N-1 \
&u^{0}=A
\end{aligned}
$$
Notice the difference: in Equation (2.10) the solution at level $n+1$ can be directly calculated in terms of the solution at level $n$, while in Equation (2.11) we must rearrange terms in order to calculate the solution at level $n+1$.

The next scheme is called the Crank-Nicolson or box scheme, and it can be seen as an average of explicit and implicit Euler schemes. It is given as (see notation in Equation (2.7)):
$\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n, \frac{1}{2}} u^{n, \frac{1}{2}}=f^{n, \frac{1}{2}}, n=0, \ldots, N-1$ $u^{0}=A$ where $u^{n, \frac{1}{2}} \equiv \frac{1}{2}\left(u^{n}+u^{n+1}\right)$
It is useful to know that the three schemes can be merged into one generic scheme as it were by introducing a parameter $\theta$ (the scheme is sometimes called the Theta method):
$$
\begin{aligned}
&L(k) u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n, \theta} u^{n, \theta}=f^{n, \theta} \
&u^{n, \theta} \equiv \theta u^{n}+(1-\theta) u^{n+1}, 0 \leq \theta \leq 1 \
&f^{n, \theta} \equiv f\left(\theta t_{n}+(1-\theta) t_{n+1}\right)
\end{aligned}
$$
and the special cases are given by:
$$
\begin{aligned}
&\theta=1, \text { explicit Euler } \
&\theta=0, \text { implicit Euler } \
&\theta=\frac{1}{2}, \text { Crank-Nicolson. }
\end{aligned}
$$
The solution of Equation (2.13) is given by:
$$
u^{n+1, \theta} \equiv u^{n+1,}=\frac{\left(1-k \theta a^{n, \theta}\right) u^{n}+k f^{n, \theta}}{1+k(1-\theta) a^{n, \theta}} .
$$
This equation is useful because it can be mapped to $\mathrm{C}++$ code and will be used by other schemes by defining the appropriate value of the parameter $\theta$.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Discrete Maximum Principle

Having developed some difference schemes, we would like to have a way of determining if the discrete solution is a good approximation to the exact solution in some sense. Although we do not deal with this issue in great detail, we do look at stability and convergence issues.

Definition 2.1 The one-step difference scheme $L(k)$ of the form (2.13) is said to be positive if:
$$
L(k) w^{n} \geq 0, n=0, \ldots, N-1, w^{0} \geq 0
$$
implies that $w^{n} \geq 0 \forall n=0, \ldots, N$. Here, $w^{n}$ is a mesh function defined at the mesh points $t_{n}$.

Based on this definition, we see that the implicit Euler scheme is always positive while the explicit Euler scheme is positive if the term:
$$
1-k a^{n} \geq 0 \text { or } k \leq \frac{1}{a^{n}}, n \geq 0
$$
is positive. Thus, if the function $a(t)$ achieves large values (and this happens in practice), we will have to make $k$ very small in order to produce good results. Even worse, if $k$ does not satisfy the constraint in (2.18) then the discrete solution looks nothing like the exact solution, and so-called spurious oscillations occur. This phenomenon occurs in other finite difference schemes, and we propose a number of remedies later in this book.
Definition $2.2$ A difference scheme is stable if its solution is based in much the same way as the solution of the continuous problem (2.1) (see Theorem 2.1), that is:
$$
\left|u^{n}\right| \leq \frac{N}{\alpha}+|A|, \quad n \geq 0
$$
where:
$$
a\left(t_{n}\right) \geq \alpha, n \geq 0,\left|f\left(t_{n}\right)\right| \leq N, n \geq 0
$$
and:
$$
u^{0}=A
$$

Based on the fact that a scheme is stable and consistent (see Dahlquist and Björck (1974)), we can state in general that the error between the exact and discrete solutions is bounded by some polynomial power of the step-size $k$ :
$$
\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k^{p}, \quad p=1,2, \ldots, n \geq 0
$$
where $M$ is a constant that is independent of $k$. For example, in the case of schemes $2.10$, $2.11$ and $2.12$ we have:
Implicit Euler: $\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k, n=0, \ldots, N$
Crank-Nicolson (Box): $\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k^{2}, n=0, \ldots, N$
Explicit Euler: $\left|u^{n}-u\left(t_{n}\right)\right| \leq M k, n=0, \ldots, N$ if $1-a^{n} k>0$.
Thus, we see that the Box method is second-order accurate and is better than the implicit Euler scheme, which is only first-order accurate.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Exponential Fitting

We now introduce a special class of schemes with desirable properties. These are schemes that are suitable for problems with rapidly increasing or decreasing solutions. In the literature these are called stiff or singular perturbation problems (see Duffy (1980)). We can motivate these schemes in the present context. Let us take the problem (2.1) when $a(t)$ is constant and $f(t)$ is zero. The solution $u(t)$ is given by a special case of (2.2), namely:
$$
u(t)=A e^{-a t} .
$$
If $a$ is large then the derivatives of $u(t)$ tend to increase; in fact, at $t=0$, the derivatives are given by:
$$
\frac{d^{k} u(0)}{d t^{k}}=A(-a)^{k}, \quad k=0,1,2, \ldots
$$
The physical interpretation of this fact is that a boundary layer exits near $t=0$ where $u$ is changing rapidly, and it has been shown that classical finite difference schemes fail to give acceptable answers when $a$ is large (typically values between 1000 and 10000). We get so-called spurious oscillations, and this problem is also encountered when solving one-factor and multifactor Black-Scholes equations using finite difference methods. We have resolved this problem using so-called exponentially fitted schemes. We motivate the scheme in the present context, and later chapters describe how to apply it to more complicated cases.

In order to motivate the fitted scheme, consider the case of constant $a(t)$ and $f(t)=0$. We wish to produce a difference scheme in such a way that the discrete solution is equal to the exact solution at the mesh points for this constant-coefficient case. We introduce a so-called fitting factor $\sigma$ in the new scheme:
$$
\left{\begin{array}{l}
\sigma\left(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}\right)+a^{n, \theta} u^{n, \theta}=f^{n, \theta}, n=0, \ldots, N-1,0 \leq \theta \leq 1 \
u^{0}=A .
\end{array}\right.
$$
The motivation for finding the fitting factor is to demand that the exact solution of (2.1) (which is known) has the same values as the discrete solution of (2.24) at the mesh points.

Plugging the exact solution (2.22) into $(2.24)$ and doing some simple arithmetic, we get the following representation for the fitting factor $\sigma$ :
$$
\sigma=\frac{a k\left(\theta+(1-\theta) e^{-a k}\right)}{1-e^{-a k}}
$$
Having found the fitting factor for the constant coefficient case, we generalise to a scheme for the case (2.1) as follows:
$$
\begin{aligned}
&\sigma^{n, \theta} \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k}+a^{n, \theta} u^{n, \theta}=f^{n, \theta}, n=0, \ldots, N-1,0 \leq \theta \leq 1 \
&u^{0}=A \
&\sigma^{n, \theta}=\frac{a^{n, \theta}\left(\theta+(1-\theta) e^{-a^{n, \theta} k}\right)}{1-e^{-a^{n}, \theta_{k}}} k .
\end{aligned}
$$
In practice we work with a number of special cases:
In the final case coth $(x)$ is the hyperbolic cotangent function.

Data Fitting in Python Part I: Linear and Exponential Curves | Emily Grace  Ripka
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数值方法代写

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我们现在介绍一些重要且有用的差分方案,它们近似于方程(2.1)的解。这些方案将在后面的章节中到处出现。当我们处理基于 Black-Scholes 模型的偏微分方程时,了解这些方案如何在更简单的环境中工作将有助于您理解它们。它们还有助于我们理解符号、行话和语法。
主要方案有:

  • 显式欧拉
  • 隐式欧拉
  • Crank-Nicolson(或 Box 方案)
  • 梯形法。
    显式欧拉方法由下式给出:
    在n+1−在nķ+一种n在n=Fn,n=0,…,ñ−1 在0=一种

而隐式欧拉方法由下式给出:
在n+1−在nķ+一种n+1在n+1=Fn+1,n=0,…,ñ−1 在0=一种
注意区别:在方程(2.10)中,水平的解n+1可以根据水平的解直接计算n,而在等式(2.11)中,我们必须重新排列项才能计算水平的解n+1.

下一个方案称为 Crank-Nicolson 或盒方案,它可以看作是显式和隐式 Euler 方案的平均值。它被给出(见公式(2.7)中的符号):
在n+1−在nķ+一种n,12在n,12=Fn,12,n=0,…,ñ−1 在0=一种在哪里在n,12≡12(在n+在n+1)
知道这三个方案可以通过引入一个参数合并为一个通用方案是很有用的θ(该方案有时称为 Theta 方法):
大号(ķ)在n≡在n+1−在nķ+一种n,θ在n,θ=Fn,θ 在n,θ≡θ在n+(1−θ)在n+1,0≤θ≤1 Fn,θ≡F(θ吨n+(1−θ)吨n+1)
特殊情况由下式给出:
θ=1, 显式欧拉  θ=0, 隐式欧拉  θ=12, 曲柄-尼科尔森。 
方程 (2.13) 的解由下式给出:
在n+1,θ≡在n+1,=(1−ķθ一种n,θ)在n+ķFn,θ1+ķ(1−θ)一种n,θ.
这个方程很有用,因为它可以映射到C++代码并将通过定义参数的适当值被其他方案使用θ.

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在开发了一些差分方案之后,我们希望有一种方法来确定离散解在某种意义上是否是精确解的良好近似。虽然我们没有非常详细地处理这个问题,但我们确实关注稳定性和收敛性问题。

定义 2.1 一阶差分方案大号(ķ)如果满足以下条件,则称 (2.13) 形式的为正数:
大号(ķ)在n≥0,n=0,…,ñ−1,在0≥0
暗示在n≥0∀n=0,…,ñ. 这里,在n是在网格点处定义的网格函数吨n.

基于这个定义,我们看到隐式欧拉方案总是正的,而显式欧拉方案是正的,如果以下项:
1−ķ一种n≥0 或者 ķ≤1一种n,n≥0
是积极的。因此,如果函数一种(吨)达到大的价值(这在实践中发生),我们将不得不使ķ非常小才能产生良好的效果。更糟糕的是,如果ķ不满足 (2.18) 中的约束,则离散解看起来不像精确解,并且会出现所谓的寄生振荡。这种现象发生在其他有限差分格式中,我们在本书后面提出了一些补救措施。
定义2.2如果差分方案的解决方案与连续问题 (2.1) 的解决方案基本相同(参见定理 2.1),则差分方案是稳定的,即:
|在n|≤ñ一种+|一种|,n≥0
在哪里:
一种(吨n)≥一种,n≥0,|F(吨n)|≤ñ,n≥0
和:
在0=一种

基于一个方案是稳定和一致的这一事实(参见 Dahlquist 和 Björck (1974)),我们可以概括地说,精确解和离散解之间的误差受步长的一些多项式幂的限制ķ :
|在n−在(吨n)|≤米ķp,p=1,2,…,n≥0
在哪里米是一个独立于ķ. 例如,在方案的情况下2.10, 2.11和2.12我们有:
隐式欧拉:|在n−在(吨n)|≤米ķ,n=0,…,ñ
曲柄-尼科尔森(盒子):|在n−在(吨n)|≤米ķ2,n=0,…,ñ
显式欧拉:|在n−在(吨n)|≤米ķ,n=0,…,ñ如果1−一种nķ>0.
因此,我们看到 Box 方法具有二阶精度,并且优于仅具有一阶精度的隐式 Euler 方案。

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我们现在介绍一类具有理想性质的特殊方案。这些方案适用于解决方案快速增加或减少的问题。在文献中,这些被称为刚性或奇异扰动问题(参见 Duffy (1980))。我们可以在目前的情况下激发这些计划。让我们把问题(2.1)当一种(吨)是恒定的并且F(吨)为零。解决方案在(吨)由 (2.2) 的一个特例给出,即:
在(吨)=一种和−一种吨.
如果一种大,然后的导数在(吨)趋于增加;事实上,在吨=0,导数由下式给出:
dķ在(0)d吨ķ=一种(−一种)ķ,ķ=0,1,2,…
这一事实的物理解释是边界层存在于附近吨=0在哪里在正在迅速变化,并且已经表明经典的有限差分格式在以下情况下无法给出可接受的答案一种很大(通常值在 1000 到 10000 之间)。我们得到所谓的寄生振荡,在使用有限差分法求解单因子和多因子 Black-Scholes 方程时也会遇到这个问题。我们已经使用所谓的指数拟合方案解决了这个问题。我们在当前上下文中提出该方案,后面的章节将描述如何将其应用于更复杂的情况。

为了激发拟合方案,考虑常数的情况一种(吨)和F(吨)=0. 我们希望以这样一种方式产生一个差分方案,即对于这种常数系数情况,离散解等于网格点处的精确解。我们引入一个所谓的拟合因子σ在新方案中:
$$
\left{σ(在n+1−在nķ)+一种n,θ在n,θ=Fn,θ,n=0,…,ñ−1,0≤θ≤1 在0=一种.\对。
$$
寻找拟合因子的动机是要求 (2.1) 的精确解(已知)在网格点处与 (2.24) 的离散解具有相同的值。

将精确解(2.22)代入(2.24)并做一些简单的算术,我们得到拟合因子的以下表示σ :
σ=一种ķ(θ+(1−θ)和−一种ķ)1−和−一种ķ
找到常系数情况的拟合因子后,我们推广到情况(2.1)的方案如下:
σn,θ在n+1−在nķ+一种n,θ在n,θ=Fn,θ,n=0,…,ñ−1,0≤θ≤1 在0=一种 σn,θ=一种n,θ(θ+(1−θ)和−一种n,θķ)1−和−一种n,θķķ.
在实践中,我们处理一些特殊情况:
在最后的情况下 coth(X)是双曲余切函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Ordinary Differential Equations

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Finite Element Method | SpringerLink
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Ordinary Differential Equations

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Qualitative Properties of the Solution and Maximum Principle

Before we introduce difference schemes for (2.1), we discuss a number of results that allow us to describe how the solution $u$ behaves. First, we wish to conclude that if the initial value $A$ and inhomogeneous term $f(t)$ are positive, then the solution $u(t)$ should also be positive for any value $t$ in $[0, T]$. This so-called positivity or monotonicity result should be reflected in our difference schemes (not all schemes possess this property). Second, we wish to know how the solution $u(t)$ grows or decreases as a function of time. The following two results deal with these issues.

Lemma 2.1 (Positivity). Let the operator $L$ be defined in Equation (2.1), and let $w$ be a well-behaved function satisfying the inequalities:
$$
\begin{aligned}
&L w(t) \geq 0 \forall t \in[0, T] \
&w(0) \geq 0
\end{aligned}
$$

Then the following result holds true:
$$
w(t) \geq 0 \forall t \in[0, T] .
$$
Roughly speaking, this lemma states that you cannot get a negative solution from positive input.
You can verify it by examining Equation (2.2) because all terms are positive. The following result gives bounds on the growth of $u(t)$.
Theorem 2.1 Let $u(t)$ be the solution of Equation (2.1). Then:
$$
|u(t)| \leq \frac{N}{\alpha}+|A| \forall t \in[0, T]
$$
where
$$
|f(t)| \leq N \forall t \in[0, T] .
$$
This result states that the value of the solution is bounded by the input data. In other words, it is a well-posed problem.

We wish to replicate these properties in our difference schemes for Equation (2.1). For completeness, we show the steps to be executed in order to produce the result in Equation (2.2).
$$
\text { Let } I(t)=\exp \left(\int_{0}^{t} a(s) d s\right), \quad I^{-1}(t)=\exp \left(-\int_{0}^{t} a(s) d s\right) \text {. }
$$
Then from Equation (2.1) we see:
$$
I(t)\left(\frac{d u}{d t}+a u\right)=I(t) f(t)
$$
or:
$$
\frac{d}{d t}(I(t) u)=I(t) f(t) .
$$
Integrating this equation between $t=0$ and $t=\xi$ gives:
$$
\begin{aligned}
&\left.\int_{0}^{\xi} \frac{d}{d t}(I(t) u) d t=\int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t \text { (and using the fact that } I(0)=1\right) \
&I(\xi) u(\xi)=u(0)+\int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t \
&u(\xi)=u(0) I^{-1}(\xi)+I^{-1}(\xi) \int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t \
&=\exp \left(-\int_{0}^{\xi} a(s) d s\right) u(0)+\exp \left(-\int_{0}^{\xi} a(s) d s\right) \int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t
\end{aligned}
$$

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Rationale and Generalisations

The IVP Equation (2.1) is a model for all the linear time-dependent differential equations that we encounter in this book. We no longer think in terms of scalar problems in which the functions in Equation (2.1) are scalar-valued, but we can view an ODE at different levels of abstraction. To this end, we focus on the generic homogeneous $O D E$ with solution $u(t)$ :
$$
\frac{d u}{d t}=A u, t>0 .
$$
This equation subsumes several special cases:

  1. The variable $A$ is a square matrix, and then Equation (2.4) represents a system of ODEs. This is a very important area of research having many applications in science, engineering, and finance.
  2. The variable $A$ is an ordinary or partial differential operator, and then Equation (2.4) represents an ODE in a Hilbert or Banach space.
  3. The variable $A$ is a tridiagonal or block tridiagonal matrix that originates from a semi-discretisation in space of a time-dependent partial differential equation (PDE) using the Method of Lines (MOL) as discussed in Chapter $20 .$
  4. The formal solution of $(2.4)$ is:
    $$
    u(t)=u(0) e^{A t}, \quad t>0
    $$
    In other words, we express the solution in terms of the exponential function of a matrix or of a differential operator. In the former case, there are many ways to compute the exponential of a matrix (see Moler and Van Loan (2003)).
  5. The solution of Equation (2.4) can be simplified by matrix or operator splitting of the operator $A$ :
    $$
    \begin{aligned}
    &A=A_{1}+A_{2} \
    &\frac{d u}{d t}=A_{1} u \
    &\frac{d u}{d t}=A_{2} u .
    \end{aligned}
    $$
    For example, we can split a matrix $A$ into two simpler matrices, or we can split an operator $A$ into its convection and diffusion components. In other words, we solve Equation (2.4) as a sequence of simpler problems in (2.6). These topics will be discussed in Chapters 18,22 , and 23 .
  6. The initial value problem (2.1) was originally used as a model test of finite difference methods in (Dahlquist (1956)). The resulting results and insights are helpful when dealing more complex IVPs.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|DISCRETISATION OF INITIAL VALUE PROBLEMS: FUNDAMENTALS

We now discuss finding an approximate solution to Equation (2.1) using the finite difference method. We introduce several popular schemes as well as defining standardised notation.

The interval or range where the solution of Equation $(2.1)$ is defined is $[0, T]$. When approximating the solution using finite difference equations, we use a discrete set of points in $[0, T]$ where the discrete solution will be calculated. To this end, we divide $[0, T]$ into $N$ equal intervals of length $k$, where $k$ is a positive number called the step size. (We also use the symbol $\Delta t$ to denote the step size in many cases.) We number these discrete points as shown in Figure 2.1. In general all coefficients and discrete functions will be defined at these mesh points only. We adopt the following notation:
$$
\begin{aligned}
&a^{n}=a\left(t_{n}\right), f^{n}=f\left(t_{n}\right) \
&a^{n, \theta}=a\left(\theta t_{n}+(1-\theta) t_{n+1}\right), 0 \leq \theta \leq 1,0 \leq n \leq N-1 \
&u^{n, \theta}=\theta u^{n}+(1-\theta) u^{n+1}, 0 \leq n \leq N-1 \text { (function to be calculated). }
\end{aligned}
$$
Not only do we have to approximate functions at mesh points, but we also have to come up with a scheme to approximate the derivative appearing in Equation (2.1). There are several possibilities, and they are based on divided differences. For example, the following divided differences approximate the first derivative of $u$ at the mesh point $t_{n}=n * k$;
$$
\left.\begin{array}{l}
D_{+} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k} \
D_{-} u^{n} \equiv \frac{u^{n}-u^{n-1}}{k} \
D_{0} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n-1}}{2 k}
\end{array}\right}
$$
The first two divided differences are called one-sided differences and give first-order accuracy to the derivative, while the last divided difference is called a centred approximation to the derivative. In fact, by using a Taylor’s expansion (assuming sufficient

smoothness of $u$ ), we can prove the following:
$$
\left{\begin{array}{l}
\left|D_{\pm} u\left(t_{n}\right)-u^{\prime}\left(t_{n}\right)\right| \leq M k, n=0,1, \ldots \
\left|D_{0} u\left(t_{n}\right)-u^{\prime}\left(t_{n}\right)\right| \leq M k^{2}, n=0,1, \ldots
\end{array}\right.
$$
Note that the first two approximations use two consecutive mesh points while the last formula uses three consecutive mesh points.

We now decide on how to approximate Equation (2.1) using finite differences. To this end, we need to introduce two new concepts:

  • One-step and multistep methods
  • Explicit and implicit schemes.
    A one-step method is a finite difference scheme that calculates the solution at time-level $n+1$ in terms of the solution at time-level $n$. No information at levels $n-1$, $n-2$, or previous levels is needed in order to calculate the solution at level $n+1$. A multistep method, on the other hand, is a difference scheme where the solution at level $n+1$ is determined by values at levels $n, n-1$ and possibly previous time levels. Multistep methods are more complicated than one-step methods, and we concentrate solely on the latter methods in this book.

An explicit difference scheme is one where the solution at time $n+1$ can be calculated from the information at level $n$ directly. No extra arithmetic is needed: for example, using division or matrix inversion. An implicit finite difference scheme is one in which the terms involving the approximate solution at level $n+1$ are grouped together and only then can the solution at this level be found. Obviously, implicit methods are more difficult to program than explicit methods because we must solve a system of equations at each time step.

Preservation of Bifurcations of Hamiltonian Boundary Value Problems Under  Discretisation | SpringerLink
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数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Qualitative Properties of the Solution and Maximum Principle

在我们介绍 (2.1) 的差分方案之前,我们讨论了一些结果,这些结果使我们能够描述解决方案在行为。首先,我们希望得出结论,如果初始值一种和不齐项F(吨)为正,则解在(吨)对于任何值也应该是正数吨在[0,吨]. 这种所谓的正性或单调性结果应该反映在我们的差分方案中(并非所有方案都具有此属性)。二、想知道怎么解决在(吨)随时间增加或减少。以下两个结果处理了这些问题。

引理 2.1(积极性)。让运营商大号在等式(2.1)中定义,并让在是满足不等式的表现良好的函数:
大号在(吨)≥0∀吨∈[0,吨] 在(0)≥0

那么以下结果成立:
在(吨)≥0∀吨∈[0,吨].
粗略地说,这个引理表明你不能从正输入中得到负解。
您可以通过检查等式 (2.2) 来验证它,因为所有项都是正数。以下结果给出了增长的界限在(吨).
定理 2.1 让在(吨)是方程(2.1)的解。然后:
|在(吨)|≤ñ一种+|一种|∀吨∈[0,吨]
在哪里
|F(吨)|≤ñ∀吨∈[0,吨].
该结果表明解决方案的值受输入数据的限制。换句话说,这是一个适定问题。

我们希望在方程(2.1)的差分方案中复制这些属性。为了完整起见,我们展示了为产生等式 (2.2) 中的结果而要执行的步骤。
 让 一世(吨)=经验⁡(∫0吨一种(s)ds),一世−1(吨)=经验⁡(−∫0吨一种(s)ds). 
然后从方程(2.1)我们看到:
一世(吨)(d在d吨+一种在)=一世(吨)F(吨)
或者:
dd吨(一世(吨)在)=一世(吨)F(吨).
积分之间的这个方程吨=0和吨=X给出:
∫0Xdd吨(一世(吨)在)d吨=∫0X一世(吨)F(吨)d吨 (并使用以下事实 一世(0)=1) 一世(X)在(X)=在(0)+∫0X一世(吨)F(吨)d吨 在(X)=在(0)一世−1(X)+一世−1(X)∫0X一世(吨)F(吨)d吨 =经验⁡(−∫0X一种(s)ds)在(0)+经验⁡(−∫0X一种(s)ds)∫0X一世(吨)F(吨)d吨

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IVP 方程(2.1)是我们在本书中遇到的所有线性时间相关微分方程的模型。我们不再考虑方程 (2.1) 中的函数是标量值的标量问题,但我们可以在不同抽象级别上查看 ODE。为此,我们专注于泛型同构这D和有溶液在(吨) :
d在d吨=一种在,吨>0.
这个等式包含了几种特殊情况:

  1. 变量一种是一个方阵,则方程 (2.4) 表示一个 ODE 系统。这是一个非常重要的研究领域,在科学、工程和金融领域有许多应用。
  2. 变量一种是普通或偏微分算子,则方程 (2.4) 表示希尔伯特或巴纳赫空间中的 ODE。
  3. 变量一种是一个三对角矩阵或块三对角矩阵,它源自使用线法 (MOL) 对时间相关偏微分方程 (PDE) 进行空间半离散化,如第 1 章所述20.
  4. 的正式解决方案(2.4)是:
    在(吨)=在(0)和一种吨,吨>0
    换句话说,我们用矩阵或微分算子的指数函数来表达解。在前一种情况下,有很多方法可以计算矩阵的指数(参见 Moler 和 Van Loan (2003))。
  5. 方程(2.4)的解可以通过矩阵或算子的算子拆分来简化一种 :
    一种=一种1+一种2 d在d吨=一种1在 d在d吨=一种2在.
    例如,我们可以拆分一个矩阵一种分成两个更简单的矩阵,或者我们可以拆分一个运算符一种分为对流和扩散成分。换句话说,我们将方程(2.4)求解为(2.6)中的一系列更简单的问题。这些主题将在第 18、22 和 23 章中讨论。
  6. 初始值问题 (2.1) 最初在 (Dahlquist (1956)) 中用作有限差分方法的模型检验。在处理更复杂的 IVP 时,得到的结果和见解很有帮助。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|DISCRETISATION OF INITIAL VALUE PROBLEMS: FUNDAMENTALS

我们现在讨论使用有限差分法寻找方程(2.1)的近似解。我们介绍了几种流行的方案以及定义标准化符号。

方程解的区间或范围(2.1)被定义为[0,吨]. 当使用有限差分方程逼近解时,我们使用一组离散的点[0,吨]将计算离散解的位置。为此,我们分[0,吨]进入ñ等长间隔ķ, 在哪里ķ是一个正数,称为步长。(我们也使用符号Δ吨在许多情况下表示步长。)我们对这些离散点进行编号,如图 2.1 所示。一般来说,所有系数和离散函数都将仅在这些网格点处定义。我们采用以下符号:
一种n=一种(吨n),Fn=F(吨n) 一种n,θ=一种(θ吨n+(1−θ)吨n+1),0≤θ≤1,0≤n≤ñ−1 在n,θ=θ在n+(1−θ)在n+1,0≤n≤ñ−1 (要计算的函数)。 
我们不仅要逼近网格点处的函数,而且我们还必须提出一个方案来逼近方程(2.1)中出现的导数。有几种可能性,它们是基于分歧的。例如,以下划分的差异近似于的一阶导数在在网格点吨n=n∗ķ;
\left.\begin{array}{l} D_{+} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k} \ D_{-} u^{ n} \equiv \frac{u^{n}-u^{n-1}}{k} \ D_{0} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{ n-1}}{2 k} \end{数组}\right}\left.\begin{array}{l} D_{+} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k} \ D_{-} u^{ n} \equiv \frac{u^{n}-u^{n-1}}{k} \ D_{0} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{ n-1}}{2 k} \end{数组}\right}
前两个划分的差异称为单边差分,并为导数提供一阶精度,而最后一个划分的差异称为导数的中心近似。事实上,通过使用泰勒展开式(假设足够

光滑度在),我们可以证明如下:
$$
\left{|D±在(吨n)−在′(吨n)|≤米ķ,n=0,1,… |D0在(吨n)−在′(吨n)|≤米ķ2,n=0,1,…\对。
$$
请注意,前两个近似使用两个连续的网格点,而最后一个公式使用三个连续的网格点。

我们现在决定如何使用有限差分逼近方程(2.1)。为此,我们需要引入两个新概念:

  • 一步法和多步法
  • 显式和隐式方案。
    一步法是一种有限差分方案,它在时间级计算解n+1就时间层面的解决方案而言n. 没有级别信息n−1, n−2,或者需要以前的级别才能计算级别的解决方案n+1. 另一方面,多步法是一种差分方案,其中水平的解决方案n+1由级别的值决定n,n−1可能还有以前的时间水平。多步法比一步法更复杂,本书只关注后一种方法。

显式差分方案是一种在时间上的解决方案n+1可以从级别的信息中计算出来n直接地。不需要额外的算术:例如,使用除法或矩阵求逆。隐式有限差分格式是其中涉及级别近似解的项n+1组合在一起,然后才能找到该级别的解决方案。显然,隐式方法比显式方法更难编程,因为我们必须在每个时间步求解方程组。

离散化下哈密顿边值问题分岔的保持  施普林格链接
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数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Lipschitz Continuous Functions

我们现在检查将一个度量空间映射到另一个度量空间的函数。特别是,我们讨论了连续性和 Lipschitz 连续性的概念。
在度量空间的背景下讨论这些概念很方便。
定义 1.7 让(X,d1)和(是,d2)是两个度量空间。一个函数F从X进入是据说在该点是连续的一种∈X如果对于每个e>0存在一个d>0这样:
d2(F(X),F(一种))<e 每当 d1(X,一种)<d

这是第节中连续性概念的概括1.2(定义 1.1)。我们应该注意到,这个定义是指一个函数在一个点上的连续性。因此,函数可以在某些点是连续的,而在其他点是不连续的。
定义1.8一个函数F从度量空间(X,d1)进入度量空间(是,d2)被称为在集合上一致连续和⊂X如果对于每个e>0存在一个d>0这样:
d2(F(X),F(是))<e 每当 X,是∈和 和 d1(X,是)<d
如果函数F是一致连续的,则它是连续的,但反过来不一定是正确的。统一连续性适用于集合中的所有点和,而法向连续性仅在单个点上定义。

定义 1.9 让F:[一种,b]→R是一个实值函数,假设我们可以找到两个常数米和一种这样|F(X)−F(是)|≤米|X−是|一种,∀X,是∈[一种,b]. 然后我们说F满足有序的 Lipschitz 条件一种,我们写F∈唇⁡(一种).
我们举个例子。让F(X)=X2在区间[一种,b].
然后:
|F(X)−F(是)|=|X2−是2|=|(X+是)(X−是)|≤(|X|+|是|)|X−是| ≤米|X−是|, 在哪里 米=2最大限度(|一种|,|b|).
因此F∈唇⁡(1).
与 Lipschitz 连续性相关的概念称为收缩。
定义 1.10 让(X,d1)和(是,d2)是度量空间。转变吨从X进入是如果存在一个数字,则称为收缩λ∈(0,1)这样:
d2(吨(X),吨(是))≤λd1(X,是) 对全部 X,是∈X
通常,收缩将一对点映射到另一对更靠近的点。收缩总是持续的。

发现和应用收缩映射的能力具有相当大的理论和数值价值。例如,可以通过应用不动点定理来证明随机微分方程 (SDE) 具有唯一解:

  • Brouwer 不动点定理
  • 角谷不动点定理
  • 巴拿赫不动点定理
  • Schauder 不动点定理
    我们的兴趣在于以下不动点定理。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

在本章中,我们介绍了一类微分方程,其中最高阶导数是一个。此外,这些方程只有一个独立变量(在几乎所有应用中都扮演时间的角色)。简而言之,这些被称为常微分方程 (ODE) 正是因为它依赖于单个变量。

ODE 出现在许多应用领域,例如力学、生物学、工程、动力系统、经济学和金融学等。正是出于这个原因,我们用两个专门的章节来介绍它们。
本章讨论了以下主题:

  • ODE 的励志示例
  • ODE 的定性性质
  • ODE 初值问题的常见有限差分格式
  • 一些理论基础。
    在第 3 章中,我们继续讨论 ODE,包括代码示例C++和 Python。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|BACKGROUND AND PROBLEM STATEMENT

在本节中,我们将介绍本书的第一个微分方程。它是一个标量一阶线性常微分方程(ODE),我们将从几个定性和定量的角度对其进行分析。

考虑有界区间[0,吨]在哪里吨>0. 例如,该间隔可以表示时间或距离。在大多数情况下,我们会将此间隔视为代表时间值。在区间中,我们定义了 ODE 的初始值问题 (IVP):
大号在=在′(吨)+一种(吨)在(吨)=F(吨),吨∈[0,吨] 和 一种(吨)≥一种>0,∀吨∈[0,吨] 在(0)=一种
在哪里大号是一阶线性微分算子,涉及关于时间变量的导数,并且一种=一种(吨)是一个严格的正函数[0,吨]. 术语F(吨)称为非均匀强迫项,它独立于在. 最后,IVP 的解决方案必须指定为吨=0; 这就是所谓的初始条件。
一般来说,问题(2.1)有一个唯一的解决方案:
在(吨)=一世1(吨)+一世2(吨) 一世1(吨)=一种经验⁡(−∫0吨一种(s)ds) 一世2(吨)=经验⁡(−∫0吨一种(s)ds)∫0吨经验⁡(∫0X一种(s)ds))F(X)dX
(参见 Hochstadt (1964),其中所谓的积分因子用于确定解。)

的一个特殊情况(2.1)是当右手项F(吨)为零并且一种(吨)是恒定的;在这种情况下,解变成一个没有任何积分的简单指数项,这将在我们稍后检查差分方案以确定它们的可行性时使用。特别是,除非引入一些修改,否则对于上述特殊情况表现不佳的方案将不适合更一般或更复杂的问题。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考 请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Lipschitz Continuous Functions

如果你也在 怎样代写数值方法numerical methods这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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我们提供的数值方法numerical methods及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Epistemology - Wikipedia
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Lipschitz Continuous Functions

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Lipschitz Continuous Functions

We now examine functions that map one metric space into another one. In particular, we discuss the concepts of continuity and Lipschitz continuity.
It is convenient to discuss these concepts in the context of metric spaces.
Definition 1.7 Let $\left(X, d_{1}\right)$ and $\left(Y, d_{2}\right)$ be two metric spaces. A function $f$ from $X$ into $Y$ is said to be continuous at the point $\mathrm{a} \in X$ if for each $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that:
$$
d_{2}(f(x), f(a))<\varepsilon \text { whenever } d_{1}(x, a)<\delta
$$

This is a generalisation of the concept of continuity in Section $1.2$ (Definition 1.1). We should note that this definition refers to the continuity of a function at a single point. Thus, a function can be continuous at some points and discontinuous at other points.
Definition $1.8$ A function $f$ from a metric space $\left(X, d_{1}\right)$ into a metric space $\left(Y, d_{2}\right)$ is said to be a uniformly continuous on a set $E \subset X$ if for each $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that:
$$
d_{2}(f(x), f(y))<\varepsilon \text { whenever } x, y \in E \text { and } d_{1}(x, y)<\delta
$$
If the function $f$ is uniformly continuous, then it is continuous, but the converse is not necessarily true. Uniform continuity holds for all points in the set $E$, whereas normal continuity is only defined at a single point.

Definition 1.9 Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be a real-valued function and suppose that we can find two constants $M$ and $\alpha$ such that $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|^{\alpha}, \forall x, y \in[a, b]$. Then we say that $f$ satisfies a Lipschitz condition of order $\alpha$, and we write $f \in \operatorname{Lip}(\alpha)$.
We take an example. Let $f(x)=x^{2}$ on the interval $[a, b]$.
Then:
$$
\begin{aligned}
&|f(x)-f(y)|=\left|x^{2}-y^{2}\right|=|(x+y)(x-y)| \leq(|x|+|y|)|x-y| \
&\leq M|x-y| \text {, where } M=2 \max (|a|,|b|) .
\end{aligned}
$$
Hence $f \in \operatorname{Lip}(1)$.
A concept related to Lipschitz continuity is called a contraction.
Definition 1.10 Let $\left(X, d_{1}\right)$ and $\left(Y, d_{2}\right)$ be metric spaces. A transformation $T$ from $X$ into $Y$ is called a contraction if there exists a number $\lambda \in(0,1)$ such that:
$$
d_{2}(T(x), T(y)) \leq \lambda d_{1}(x, y) \text { for all } x, y \in X
$$
In general, a contraction maps a pair of points into another pair of points that are closer together. A contraction is always continuous.

The ability to discover and apply contraction mappings has considerable theoretical and numerical value. For example, it is possible to prove that stochastic differential equations (SDEs) have unique solutions by the application of fixed point theorems:

  • Brouwer’s fixed point theorem
  • Kakutani’s fixed point theorem
  • Banach’s fixed point theorem
  • Schauder’s fixed point theorem
    Our interest here lies in the following fixed point theorem.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

In this chapter we introduce a class of differential equations in which the highest order derivative is one. Furthermore, these equations have a single independent variable (which in nearly all applications plays the role of time). In short, these are termed ordinary differential equations (ODEs) precisely because of the dependence on a single variable.

ODEs crop up in many application areas, such as mechanics, biology, engineering, dynamical systems, economics and finance, to name just a few. It is for this reason that we devote two dedicated chapters to them.
The following topics are discussed in this chapter:

  • Motivational examples of ODEs
  • Qualitative properties of ODEs
  • Common finite difference schemes for initial value problems for ODEs
  • Some theoretical foundations.
    In Chapter 3 we continue with our discussion of ODEs, including code examples in $\mathrm{C}++$ and Python.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|BACKGROUND AND PROBLEM STATEMENT

In this section we introduce the very first differential equation of this book. It is a scalar first-order linear ordinary differential equation (ODE), and we shall analyse it from several qualitative and quantitative viewpoints.

Consider a bounded interval $[0, T]$ where $T>0$. This interval could represent time or distance, for example. In most cases we shall view this interval as representing time values. In the interval we define the initial value problem (IVP) for an ODE:
$$
\begin{aligned}
&L u=u^{\prime}(t)+a(t) u(t)=f(t), t \in[0, T] \text { with } a(t) \geq \alpha>0, \forall t \in[0, T] \
&u(0)=A
\end{aligned}
$$
where $L$ is a first-order linear differential operator involving the derivative with respect to the time variable and $a=a(t)$ is a strictly positive function in $[0, T]$. The term $f(t)$ is called the inhomogeneous forcing term, and it is independent of $u$. Finally, the solution to the IVP must be specified at $t=0$; this is the so-called initial condition.
In general, the problem (2.1) has a unique solution given by:
$$
\begin{aligned}
&u(t)=I_{1}(t)+I_{2}(t) \
&I_{1}(t)=A \exp \left(-\int_{0}^{t} a(s) d s\right) \
&\left.I_{2}(t)=\exp \left(-\int_{0}^{t} a(s) d s\right) \int_{0}^{t} \exp \left(\int_{0}^{x} a(s) d s\right)\right) f(x) d x
\end{aligned}
$$
(See Hochstadt (1964), where the so-called integration factor is used to determine a solution.)

A special case of $(2.1)$ is when the right-hand term $f(t)$ is zero and $a(t)$ is constant; in this case the solution becomes a simple exponential term without any integrals, and this will be used later when we examine difference schemes to determine their feasibility. In particular, a scheme that behaves badly for the above special case will be unsuitable for more general or more complex problems unless some modifications are introduced.

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Lipschitz Continuous Functions

数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Lipschitz Continuous Functions

我们现在检查将一个度量空间映射到另一个度量空间的函数。特别是,我们讨论了连续性和 Lipschitz 连续性的概念。
在度量空间的背景下讨论这些概念很方便。
定义 1.7 让(X,d1)和(是,d2)是两个度量空间。一个函数F从X进入是据说在该点是连续的一种∈X如果对于每个e>0存在一个d>0这样:
d2(F(X),F(一种))<e 每当 d1(X,一种)<d

这是第节中连续性概念的概括1.2(定义 1.1)。我们应该注意到,这个定义是指一个函数在一个点上的连续性。因此,函数可以在某些点是连续的,而在其他点是不连续的。
定义1.8一个函数F从度量空间(X,d1)进入度量空间(是,d2)被称为在集合上一致连续和⊂X如果对于每个e>0存在一个d>0这样:
d2(F(X),F(是))<e 每当 X,是∈和 和 d1(X,是)<d
如果函数F是一致连续的,则它是连续的,但反过来不一定是正确的。统一连续性适用于集合中的所有点和,而法向连续性仅在单个点上定义。

定义 1.9 让F:[一种,b]→R是一个实值函数,假设我们可以找到两个常数米和一种这样|F(X)−F(是)|≤米|X−是|一种,∀X,是∈[一种,b]. 然后我们说F满足有序的 Lipschitz 条件一种,我们写F∈唇⁡(一种).
我们举个例子。让F(X)=X2在区间[一种,b].
然后:
|F(X)−F(是)|=|X2−是2|=|(X+是)(X−是)|≤(|X|+|是|)|X−是| ≤米|X−是|, 在哪里 米=2最大限度(|一种|,|b|).
因此F∈唇⁡(1).
与 Lipschitz 连续性相关的概念称为收缩。
定义 1.10 让(X,d1)和(是,d2)是度量空间。转变吨从X进入是如果存在一个数字,则称为收缩λ∈(0,1)这样:
d2(吨(X),吨(是))≤λd1(X,是) 对全部 X,是∈X
通常,收缩将一对点映射到另一对更靠近的点。收缩总是持续的。

发现和应用收缩映射的能力具有相当大的理论和数值价值。例如,可以通过应用不动点定理来证明随机微分方程 (SDE) 具有唯一解:

  • Brouwer 不动点定理
  • 角谷不动点定理
  • 巴拿赫不动点定理
  • Schauder 不动点定理
    我们的兴趣在于以下不动点定理。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

在本章中,我们介绍了一类微分方程,其中最高阶导数是一个。此外,这些方程只有一个独立变量(在几乎所有应用中都扮演时间的角色)。简而言之,这些被称为常微分方程 (ODE) 正是因为它依赖于单个变量。

ODE 出现在许多应用领域,例如力学、生物学、工程、动力系统、经济学和金融学等。正是出于这个原因,我们用两个专门的章节来介绍它们。
本章讨论了以下主题:

  • ODE 的励志示例
  • ODE 的定性性质
  • ODE 初值问题的常见有限差分格式
  • 一些理论基础。
    在第 3 章中,我们继续讨论 ODE,包括代码示例C++和 Python。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|BACKGROUND AND PROBLEM STATEMENT

在本节中,我们将介绍本书的第一个微分方程。它是一个标量一阶线性常微分方程(ODE),我们将从几个定性和定量的角度对其进行分析。

考虑有界区间[0,吨]在哪里吨>0. 例如,该间隔可以表示时间或距离。在大多数情况下,我们会将此间隔视为代表时间值。在区间中,我们定义了 ODE 的初始值问题 (IVP):
大号在=在′(吨)+一种(吨)在(吨)=F(吨),吨∈[0,吨] 和 一种(吨)≥一种>0,∀吨∈[0,吨] 在(0)=一种
在哪里大号是一阶线性微分算子,涉及关于时间变量的导数,并且一种=一种(吨)是一个严格的正函数[0,吨]. 术语F(吨)称为非均匀强迫项,它独立于在. 最后,IVP 的解决方案必须指定为吨=0; 这就是所谓的初始条件。
一般来说,问题(2.1)有一个唯一的解决方案:
在(吨)=一世1(吨)+一世2(吨) 一世1(吨)=一种经验⁡(−∫0吨一种(s)ds) 一世2(吨)=经验⁡(−∫0吨一种(s)ds)∫0吨经验⁡(∫0X一种(s)ds))F(X)dX
(参见 Hochstadt (1964),其中所谓的积分因子用于确定解。)

的一个特殊情况(2.1)是当右手项F(吨)为零并且一种(吨)是恒定的;在这种情况下,解变成一个没有任何积分的简单指数项,这将在我们稍后检查差分方案以确定它们的可行性时使用。特别是,除非引入一些修改,否则对于上述特殊情况表现不佳的方案将不适合更一般或更复杂的问题。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考 请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| FUNCTIONS AND IMPLICIT FORMS

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Partial Derivatives - Mathonline
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| FUNCTIONS AND IMPLICIT FORMS

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|FUNCTIONS AND IMPLICIT FORMS

Some problems use functions of two variables that are written in the implicit form:
$$
f(x, y)=0 .
$$
In this case we have an implicit relationship between the variables $x$ and $y$. We assume that $y$ is a function of $x$. The basic result for the differentiation of this implicit function is:
$$
d f \equiv \frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y=0
$$
or:
$$
\frac{d y}{d x}=-\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}
$$
We now use this result by posing the following problem. Consider the transformation:
$$
\left.\begin{array}{l}
u=u(x, y) \
v=v(x, y)
\end{array}\right} \text { original equations }
$$
and suppose we wish to transform back:
$$
\left.\begin{array}{l}
x=x(u, v) \
y=y(u, v)
\end{array}\right} \text { find } x, y \text { (inverse functions). }
$$
To this end, we examine the following differentials:
$$
\begin{aligned}
&d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y \
&d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y
\end{aligned}
$$

Let us assume that we wish to find $d x$ and $d y$, given that all other quantities are known. Some arithmetic applied to Equation (1.13) (two equations in two unknowns!) results in:
$$
\begin{aligned}
&d x=\left(\frac{\partial v}{\partial y} d u-\frac{\partial u}{\partial y} d v\right) / J \
&d y=\left(-\frac{\partial v}{\partial x} d u+\frac{\partial u}{\partial x} d v\right) / J
\end{aligned}
$$
where $J$ is the Jacobian determinant defined by:
$$
J=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{array}\right|=\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}
$$
We can thus conclude the following result.
Theorem $1.1$ The functions $x=F(u, v)$ and $y=G(u, v)$ exist if:
$$
\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}
$$
are continuous at $(a, b)$ and if the Jacobian determinant is non-zero at $(a, b)$.
Let us take the example:
$$
u=x^{2} / y, v=y^{2} / x
$$
You can check that the Jacobian is given by:
$$
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\left|\begin{array}{cc}
2 x / y & -x^{2} / y^{2} \
-y^{2} / x^{2} & 2 y / x
\end{array}\right|=3 \neq 0
$$
Solving for $x$ and $y$ gives:
$$
x=u^{2 / 3} v^{1 / 3}, y=u^{1 / 3} v^{2 / 3}
$$
You need to be comfortable with partial derivatives. A good reference is Widder (1989).

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Metric Spaces

We work with sets and other mathematical structures in which it is possible to assign a so-called distance function or metric between any two of their elements. Let us suppose that $X$ is a set, and let $x, y$ and $z$ be elements of $X$. Then a metric $d$ on $X$ is a non-negative real-valued function of two variables having the following properties:
$$
\begin{aligned}
&D 1: d(x, y) \geq 0 ; \quad d(x, y)=0 \text { if and only if } x=y \
&D 2: d(x, y)=d(y, x) \
&D 3: d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y) \text { where } x, y, z \in X
\end{aligned}
$$
The concept of distance is a generalisation of the difference between two real numbers or the distance between two points in $n$-dimensional Euclidean space, for example.
Having defined a metric $d$ on a set $X$, we then say that the pair $(X, d)$ is a metric space. We give some examples of metrics and metric spaces:

  1. We define the set $X$ of all continuous real-valued functions of one variable on the interval $[a, b]$ (we denote this space by $C[a, b])$ ), and we define the metric:
    $$
    d(f, g)=\max {|f(t)-g(t)| ; t \in[a, b]}
    $$
    Then $(X, d)$ is a metric space.
  2. $n$-dimensional Euclidean space, consisting of vectors of real or complex numbers of the form:
    $$
    x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)
    $$
    with metric: $d(x, y)=\max \left{\left|x_{j}-y_{j}\right| ; j=1, \ldots, n\right}$ or using the notation for a norm $d(x, y)=|x-y|_{\infty}$.
  3. Let $L^{2}[a, b]$ be the space of all square-integrable functions on the interval $[a, b]$ :
    $$
    \int_{a}^{b}|f(x)|^{2} d x<\infty .
    $$
    We can then define the distance between two functions $f$ and $g$ in this space by the metric:
    $$
    d(f, g)=|f-g|_{2} \equiv\left{\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{2}\right}^{1 / 2}
    $$
    This metric space is important in many branches of mathematics, including probability theory and stochastic calculus.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Cauchy Sequences

We define the concept of convergence of a sequence of elements of a metric space $X$ to some element that may or may not be in $X$. We introduce some definitions that we state for the set of real numbers, but they are valid for any ordered field, which is basically a set of numbers for which every non-zero element has a multiplicative inverse and there is a certain ordering between the numbers in the field.

Definition 1.4 A sequence $\left(a_{n}\right)$ of elements on the real line $\mathbb{R}$ is said to be convergent if there exists an element $a \in \mathbb{R}$ such that for each positive element $\varepsilon$ in $\mathbb{R}$ there exists a positive integer $n_{0}$ such that:
$$
\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \text { whenever } n \geq n_{0} . $$ A simple example is to show that the sequence $\left{\frac{1}{n}\right}, n \geq 1$ converges to 0 . To this end, let $\varepsilon$ be a positive real number. Then there exists a positive integer $n_{0}>1 / \varepsilon$ such that $\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon$ whenever $n \geq n_{0}$.

Definition $1.5$ A sequence $\left(a_{n}\right)$ of elements of an ordered field $F$ is called a Cauchy sequence if for each $\varepsilon>0$ in $F$ there exists a positive integer $n_{0}$ such that:
$$
\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \text { whenever } m, n \geq n_{0} .
$$
In other words, the terms in a Cauchy sequence get close to each other while the terms of a convergent sequence get close to some fixed element. A convergent sequence is always a Cauchy sequence, but a Cauchy sequence whose elements belong to a field $F$ does not necessarily converge to an element in $F$. To give an example, let us suppose that $F$ is the set of rational numbers; consider the sequence of integers defined by the Fibonacci recurrence relation:
$$
\begin{aligned}
&F_{0}=0 \
&F_{1}=1 \
&F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad n \geq 2 .
\end{aligned}
$$

It can be shown that:
$$
\begin{aligned}
&F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\alpha^{n}-\beta^{n}\right] \
&\text { where } \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2} .
\end{aligned}
$$
Now define the sequence of rational numbers by:
$$
x_{n}=F_{n} / F_{n-1}, \quad n \geq 1 .
$$
We can show that:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} x{n}=\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text { (the Golden Ratio) }
$$
and this limit is not a rational number. The Fibonacci numbers are useful in many kinds of applications, such as optimisation (finding the minimum or maximum of a function) and random number generation.

We define a complete metric space $X$ as one in which every Cauchy sequence converges to an element in $X$. Examples of complete metric spaces are:

  • Euclidean space $\mathbb{R}^{n}$.
  • The metric space $C[a, b]$ of continuous functions on the interval $[a, b]$.
  • By definition, Banach spaces are complete normed linear spaces. A normed linear space has a norm based on a metric, as follows $d(x, y)=|x-y|$.
  • $L^{p}(0,1)$ is the Banach space of functions $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ defined by the norm
    $$
    |f|_{p}=\left(\int_{0}^{1}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}<\infty \text { for } 1 \leq p<\infty .
    $$
    Definition 1.6 An open cover of a set $E$ in a metric space $X$ is a collection $\left{G_{j}\right}$ of open subsets of $X$ such that $E \subset \cup_{j} G_{j}$.

Finally, we say that a subset $K$ of a metric space $X$ is compact if every open cover of $K$ contains a finite subcover, that is $K \subset \cup_{j=1}^{N} G_{j}$ for some finite $N$.

MATH2111 Higher Several Variable Calculus: Partial derivatives definition
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| FUNCTIONS AND IMPLICIT FORMS

数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|FUNCTIONS AND IMPLICIT FORMS

一些问题使用以隐式形式编写的两个变量的函数:
F(X,是)=0.
在这种情况下,我们在变量之间存在隐式关系X和是. 我们假设是是一个函数X. 这个隐函数微分的基本结果是:
dF≡∂F∂XdX+∂F∂是d是=0
或者:
d是dX=−∂F/∂X∂F/∂是
我们现在通过提出以下问题来使用这个结果。考虑转换:
\left.\begin{array}{l} u=u(x, y) \ v=v(x, y) \end{array}\right} \text { 原始方程 }\left.\begin{array}{l} u=u(x, y) \ v=v(x, y) \end{array}\right} \text { 原始方程 }
并假设我们希望转换回来:
\left.\begin{array}{l} x=x(u, v) \ y=y(u, v) \end{array}\right} \text { find } x, y \text { (反函数)。}\left.\begin{array}{l} x=x(u, v) \ y=y(u, v) \end{array}\right} \text { find } x, y \text { (反函数)。}
为此,我们检查以下差异:
d在=∂在∂XdX+∂在∂是d是 d在=∂在∂XdX+∂在∂是d是

假设我们希望找到dX和d是,假设所有其他数量都是已知的。应用于方程 (1.13) 的一些算术(两个未知数中的两个方程!)导致:
dX=(∂在∂是d在−∂在∂是d在)/Ĵ d是=(−∂在∂Xd在+∂在∂Xd在)/Ĵ
在哪里Ĵ是由下式定义的雅可比行列式:
Ĵ=|∂在∂X∂在∂是 ∂在∂X∂在∂是|=∂(在,在)∂(X,是)
因此,我们可以得出以下结果。
定理1.1功能X=F(在,在)和是=G(在,在)如果存在,则存在:
∂在∂X,∂在∂是,∂在∂X,∂在∂是
是连续的(一种,b)如果雅可比行列式在(一种,b).
让我们举个例子:
在=X2/是,在=是2/X
您可以检查雅可比是否由下式给出:
∂(在,在)∂(X,是)=|2X/是−X2/是2 −是2/X22是/X|=3≠0
解决X和是给出:
X=在2/3在1/3,是=在1/3在2/3
您需要对偏导数感到满意。Widder (1989) 是一个很好的参考。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Metric Spaces

我们使用集合和其他数学结构,其中可以在它们的任何两个元素之间分配所谓的距离函数或度量。让我们假设X是一个集合,并且让X,是和和成为元素X. 然后是一个指标d在X是具有以下性质的两个变量的非负实值函数:
D1:d(X,是)≥0;d(X,是)=0 当且仅当 X=是 D2:d(X,是)=d(是,X) D3:d(X,是)≤d(X,和)+d(和,是) 在哪里 X,是,和∈X
距离的概念是对两个实数之间的差或两个点之间的距离的概括。n维欧几里得空间,例如。
定义了一个指标d在一组X,然后我们说这对(X,d)是度量空间。我们给出了一些度量和度量空间的例子:

  1. 我们定义集合X区间上一个变量的所有连续实值函数[一种,b](我们用这个空间来表示C[一种,b])),我们定义度量:
    d(F,G)=最大限度|F(吨)−G(吨)|;吨∈[一种,b]
    然后(X,d)是度量空间。
  2. n维欧几里得空间,由以下形式的实数或复数向量组成:
    X=(X1,…,Xn),是=(是1,…,是n)
    有公制:d(x, y)=\max \left{\left|x_{j}-y_{j}\right| ; j=1, \ldots, n\right}d(x, y)=\max \left{\left|x_{j}-y_{j}\right| ; j=1, \ldots, n\right}或使用规范的符号d(X,是)=|X−是|∞.
  3. 让大号2[一种,b]是区间上所有平方可积函数的空间[一种,b] :
    ∫一种b|F(X)|2dX<∞.
    然后我们可以定义两个函数之间的距离F和G在这个空间中的度量:
    d(f, g)=|fg|_{2} \equiv\left{\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{2}\right}^{1 / 2}d(f, g)=|fg|_{2} \equiv\left{\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{2}\right}^{1 / 2}
    这个度量空间在许多数学分支中都很重要,包括概率论和随机微积分。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Cauchy Sequences

我们定义了度量空间的一系列元素的收敛概念X到一些可能在也可能不在的元素X. 我们介绍了一些我们为实数集陈述的定义,但它们对任何有序域都有效,有序域基本上是一组数字,其中每个非零元素都有一个乘法逆元,并且数字之间存在一定的顺序在该领域。

定义 1.4 一个序列(一种n)实线上的元素R如果存在一个元素,则称它是收敛的一种∈R这样对于每个正元素e在R存在一个正整数n0这样:
|一种n−一种|<e 每当 n≥n0.一个简单的例子是证明序列\left{\frac{1}{n}\right}, n \geq 1\left{\frac{1}{n}\right}, n \geq 1收敛到 0 。为此,让e为正实数。那么存在一个正整数n0>1/e这样|1n−0|=1n<e每当n≥n0.

定义1.5一个序列(一种n)有序字段的元素F被称为柯西序列,如果对于每个e>0在F存在一个正整数n0这样:
|一种n−一种米|<e 每当 米,n≥n0.
换句话说,柯西序列中的项彼此接近,而收敛序列中的项接近某个固定元素。收敛序列总是一个柯西序列,但它的元素属于一个域的柯西序列F不一定收敛到一个元素F. 举个例子,让我们假设F是有理数的集合;考虑由斐波那契递归关系定义的整数序列:
F0=0 F1=1 Fn=Fn−1+Fn−2,n≥2.

可以证明:
Fn=15[一种n−bn]  在哪里 一种=1+52b=1−52.
现在定义有理数序列:
Xn=Fn/Fn−1,n≥1.
我们可以证明:
林n→∞Xn=一种=1+52 (黄金比例) 
而且这个极限不是有理数。斐波那契数在多种应用中都很有用,例如优化(找到函数的最小值或最大值)和随机数生成。

我们定义一个完整的度量空间X作为一个其中每个柯西序列收敛到一个元素X. 完整度量空间的示例是:

  • 欧几里得空间Rn.
  • 度量空间C[一种,b]区间上的连续函数[一种,b].
  • 根据定义,Banach 空间是完全范数线性空间。一个带范数的线性空间有一个基于度量的范数,如下d(X,是)=|X−是|.
  • 大号p(0,1)是函数的巴拿赫空间F:[0,1]→R由规范定义
    |F|p=(∫01|F(X)|pdX)1/p<∞ 为了 1≤p<∞.
    定义 1.6 集合的开盖和在度量空间X是一个集合\left{G_{j}\right}\left{G_{j}\right}的开放子集X这样和⊂∪jGj.

最后,我们说一个子集ķ度量空间的X如果每个打开的盖子是紧凑的ķ包含一个有限子覆盖,即ķ⊂∪j=1ñGj对于一些有限的ñ.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Taylor’s Theorem

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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
MATH2111 Higher Several Variable Calculus: Partial derivatives definition
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Taylor’s Theorem

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Taylor’s Theorem

Taylor’s theorem allows us to expand a function as a series involving higher-order derivatives of a function. We take the Cauchy form (with exact remainder):
$f$ is $n$ times differentiable
$$
f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(b-a)^{k}}{k !} f^{(k)}(a)+R_{n}
$$
where:
$$
R_{n}=\frac{(b-\xi)^{n} f^{(n)}(\xi)}{n !}, a<\xi<b
$$

and:
$$
\begin{aligned}
&f^{\prime}=f^{(1)}=\frac{d f}{d x}, f^{(2)}=\frac{d^{2} f}{d x^{2}} \
&f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)^{\prime}=\frac{d}{d x}\left(f^{(n-1)}(x)\right)
\end{aligned}
$$
We conclude with a discussion of the exponential function. It is the only functi that is the same as its derivative. To see this, we use the formal definition (1.7) of derivative (and noting that $e^{x} e^{y}=e^{x+y}, x, y \in \mathbb{R}$ ):
$$
\frac{d}{d x} e^{x}=\lim {h \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}\right)=e^{x} \lim {h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}, x \in \mathbb{R}
$$
We summarise some useful properties of the exponential function:
$$
\begin{aligned}
&e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \
&e^{x}=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \ &\frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} \ &e^{x+y}=e^{x} e^{y} \ &y=\log x \Longleftrightarrow x=e^{y} \ &\log (a b)=\log a+\log b . \ &\frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{x}=e^{x} \forall n \geq 1 \ &e^{x}=\sum{k=0}^{n-1} \frac{x^{k}}{k !}+\mathbb{R}{n} \text { where } \mathbb{R}{n}=\frac{x^{n}}{n !} e^{\xi}, \xi<x .
\end{aligned}
$$

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Big O and Little o Notation

For many applications we need a definition of the asymptotic behaviour of quantities such as functions and series; in particular we wish to find bounds on mathematical expressions and applications in computer science. To this end, we introduce the Landau symbols $\mathrm{O}$ and $\mathrm{o}$.
Definition $1.2$ (O-Notation).
$$
\begin{aligned}
&f(x)=O(g(x)) \text { as } x \rightarrow \infty \text { if } \exists M>0, \exists x_{0} \text { s.t. } \
&|f(x)| \leq M|g(x)| \text { for } x>x_{0} \
&f(x)=O(g(x)) \text { as } x \rightarrow a \text { if }|f(x)| \leq M|g(x)| \text { for }|x-a|<\delta \
&\text { Unified definition: } \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}<\infty
\end{aligned}
$$

An example is:
$$
\begin{aligned}
&f(x) \equiv 6 x^{4}-7 x^{2}+2 \
&g(x) \equiv x^{4} \
&f(x)=O(g(x)) \text { as } x \rightarrow \infty \
&f_{n} \equiv 2 n^{3}+6 n^{2}+5(\log n)^{3} \
&f_{n}=O\left(n^{3}\right) \text { as } n \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
Definition $1.3$ (o-Notation).
$$
\begin{aligned}
&f(x)=o(g(x)) \text { as } x \rightarrow \infty \
&\text { if } \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0 .
\end{aligned}
$$
An example is:
$$
\begin{aligned}
&2 x=o\left(x^{2}\right) \
&2 x^{2} \neq o\left(x^{2}\right) \
&1 / x=o(1) .
\end{aligned}
$$
We note that complexity analysis applies to both continuous and discrete functions.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|PARTIAL DERIVATIVES

In general, we are interested in functions of two (or more) variables. We consider a function of the form:
$$
z=f(x, y) .
$$
The variables $x$ and $y$ can take values in a given bounded or unbounded interval. First, we say that $f(x, y)$ is continuous at $(a, b)$ if the limit:
$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x, y)
$$
exists and is equal to $f(a, b)$. We now need definitions for the derivatives of $f$ in the $x$ and $y$ directions.

In general, we calculate the partial derivatives by keeping one variable fixed and differentiating with respect to the other variable; for example:
$$
\begin{aligned}
&z=f(x, y)=e^{k x} \cos m y \
&\frac{\partial z}{\partial x}=k e^{k x} \cos m y \
&\frac{\partial z}{\partial y}=-m e^{k x} \sin m y .
\end{aligned}
$$

We now discuss the situation when we introduce a change of variables into some problem and then wish to calculate the new partial derivatives. To this end, we start with the variables $(x, y)$, and we define new variables $(u, v)$. We can think of these as ‘original’ and ‘transformed’ coordinate axes, respectively. Now define the function $z(u, v)$ as follows:
$$
z=z(u, v), u=u(x, y), v=v(x, y)
$$
This can be seen as a function of a function. The result that we are interested in is the following: if $z$ is a differentiable function of $(u, v)$ and $u, v$ are themselves continuous functions of $x, y$, with partial derivatives, then the following rule holds:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \
&\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}
\end{aligned}
$$
This is a fundamental result that we shall apply in this chapter. We take a simple example of Equation (1.11) to show how things work. To this end, consider the Laplace equation in Cartesian geometry:
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
We now wish to transform this equation into an equation in a circular region defined by the polar coordinates:
$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta
$$
The derivative in $r$ is given by:
$$
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial u}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial u}{\partial y}
$$
and you can check that the derivative with respect to $\theta$ is:
$$
\frac{\partial u}{\partial \theta}=-r \sin \theta \frac{\partial u}{\partial x}+r \cos \theta \frac{\partial u}{\partial y}
$$
hence:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial x}=\cos \theta \frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r} \sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \
&\frac{\partial u}{\partial y}=\sin \theta \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r} \cos \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}
\end{aligned}
$$

and:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)-\frac{1}{r} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \
&\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\sin \theta \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\frac{1}{r} \cos \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) .
\end{aligned}
$$
Combining these results allows us to write Laplace’s equation in polar coordinates as follows:
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0 .
$$
Thus, the original heat equation in Cartesian coordinates is transformed to a PDE of convection-diffusion type in polar coordinates.

We can find a solution to this problem using the Separation of Variables method, for example.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考| Taylor’s Theorem

数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Taylor’s Theorem

泰勒定理允许我们将函数扩展为涉及函数的高阶导数的序列。我们采用 Cauchy 形式(有精确余数):
F是n次可微
F(b)=∑ķ=0n−1(b−一种)ķķ!F(ķ)(一种)+Rn
在哪里:
Rn=(b−X)nF(n)(X)n!,一种<X<b

和:
F′=F(1)=dFdX,F(2)=d2FdX2 F(n)(X)=(F(n−1)(X))′=ddX(F(n−1)(X))
我们以对指数函数的讨论结束。它是唯一与其导数相同的函数。为了看到这一点,我们使用导数的正式定义(1.7)(并注意到和X和是=和X+是,X,是∈R ):
ddX和X=林H→0(和X+H−和XH)=和X林H→0和H−1H=和X,X∈R
我们总结了指数函数的一些有用性质:
和X=∑n=0∞Xnn! 和X=林n→∞(1+Xn)n ddX和X=和X 和X+是=和X和是 是=日志⁡X⟺X=和是 日志⁡(一种b)=日志⁡一种+日志⁡b. dndXn和X=和X∀n≥1 和X=∑ķ=0n−1Xķķ!+Rn 在哪里 Rn=Xnn!和X,X<X.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Big O and Little o Notation

对于许多应用,我们需要定义数量的渐近行为,例如函数和级数;特别是我们希望找到数学表达式和计算机科学应用的界限。为此,我们引入朗道符号这和这.
定义1.2(O 表示法)。
F(X)=这(G(X)) 作为 X→∞ 如果 ∃米>0,∃X0 英石  |F(X)|≤米|G(X)| 为了 X>X0 F(X)=这(G(X)) 作为 X→一种 如果 |F(X)|≤米|G(X)| 为了 |X−一种|<d  统一定义: 林X→一种F(X)G(X)<∞

一个例子是:
F(X)≡6X4−7X2+2 G(X)≡X4 F(X)=这(G(X)) 作为 X→∞ Fn≡2n3+6n2+5(日志⁡n)3 Fn=这(n3) 作为 n→∞
定义1.3(o 表示法)。
F(X)=这(G(X)) 作为 X→∞  如果 林X→∞F(X)G(X)=0.
一个例子是:
2X=这(X2) 2X2≠这(X2) 1/X=这(1).
我们注意到复杂性分析适用于连续和离散函数。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|PARTIAL DERIVATIVES

一般来说,我们对两个(或更多)变量的函数感兴趣。我们考虑以下形式的函数:
和=F(X,是).
变量X和是可以在给定的有界或无界区间内取值。首先,我们说F(X,是)是连续的(一种,b)如果限制:
林X→一种F(X,是)
存在并且等于F(一种,b). 我们现在需要定义F在里面X和是方向。

通常,我们通过保持一个变量固定并相对于另一个变量微分来计算偏导数;例如:
和=F(X,是)=和ķX因⁡米是 ∂和∂X=ķ和ķX因⁡米是 ∂和∂是=−米和ķX罪⁡米是.

我们现在讨论当我们将变量的变化引入某个问题然后希望计算新的偏导数时的情况。为此,我们从变量开始(X,是), 我们定义新变量(在,在). 我们可以将它们分别视为“原始”和“转换”坐标轴。现在定义函数和(在,在)如下:
和=和(在,在),在=在(X,是),在=在(X,是)
这可以看作是函数的函数。我们感兴趣的结果如下:如果和是一个可微函数(在,在)和在,在本身是的连续函数X,是,具有偏导数,则以下规则成立:
∂和∂X=∂和∂在∂在∂X+∂和∂在∂在∂X ∂和∂是=∂和∂在∂在∂是+∂和∂在∂在∂是
这是我们将在本章中应用的一个基本结果。我们以方程(1.11)的一个简单例子来说明事情是如何工作的。为此,考虑笛卡尔几何中的拉普拉斯方程:
∂2在∂X2+∂2在∂是2=0
我们现在希望将此方程转换为由极坐标定义的圆形区域中的方程:
X=r因⁡θ,是=r罪⁡θ
中的导数r是(谁)给的:
∂在∂r=∂在∂X∂X∂r+∂在∂是∂是∂r=因⁡θ∂在∂X+罪⁡θ∂在∂是
你可以检查关于的导数θ是:
∂在∂θ=−r罪⁡θ∂在∂X+r因⁡θ∂在∂是
因此:
∂在∂X=因⁡θ∂在∂r−1r罪⁡θ∂在∂θ ∂在∂是=罪⁡θ∂在∂r+1r因⁡θ∂在∂θ

和:
∂2在∂X2=因⁡θ∂∂r(∂在∂X)−1r罪⁡θ∂∂θ(∂在∂X) ∂2在∂是2=罪⁡θ∂∂r(∂在∂是)+1r因⁡θ∂∂θ(∂在∂是).
结合这些结果,我们可以在极坐标中写出拉普拉斯方程如下:
∂2在∂r2+1r∂在∂r+1r2∂2在∂θ2=0.
因此,笛卡尔坐标中的原始热方程被转换为极坐标中的对流扩散类型的 PDE。

例如,我们可以使用变量分离方法找到解决此问题的方法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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Can you logically explain concepts in integral calculus first, then move on  to differential calculus? - Quora
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Uniform Continuity

In general terms, uniform continuity guarantees that $f(x)$ and $f(y)$ can be made as close to each other as we please by requiring that $x$ and $y$ be sufficiently close to each other. This is in contrast to ordinary continuity, where the distance between $f(x)$ and $f(y)$ may depend on $x$ and $y$ themselves. In other words, in Definition $1.1 \delta$ depends only on $\epsilon$ and not on the points in the domain. Continuity itself is a local property because a function $f$ is or is not continuous at a particular point and continuity can be determined by looking at the values of the function in an arbitrary small neighbourhood of that point. Uniform continuity, on the other hand, is a global property of $f$ because the definition

refers to pairs of points rather than individual points. The new definition in this case for a function $f$ defined in an interval $I$ is:
$$
\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \text { s.t. } \forall x, y \in I:|x-y|<\delta \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon . $$ Let us take an example of a uniformly continuous function: $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=3 x+7 $$ Then $|f(x)-f(y)|=|3 x+7-(3 y+7)|=3|x-y|<3 \delta<\epsilon, \quad(x, y \in \mathbb{R})$. Choose $\delta=\epsilon / 3$. In general, a continuous function on a closed interval is uniformly continuous. An example is: $$ f(x)=x^{2} \text { on } I=[0,2] $$ Let $x, y \in I$. Then: $$ |f(x)-f(y)|=(x+y)|x-y|<(2+2) \delta=\epsilon . $$ Choose $\delta=\epsilon / 4$. An example of a function that is continuous and nowhere differentiable is the Weierstrass function that we can write as a Fourier series: $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} \cos \left(b^{n} \pi x\right), \quad 01+\frac{3}{2} \pi$.
This is a jagged function that appears in models of Brownian motion. Each partial sum is continuous, and hence by the uniform limit theorem (which states that the uniform limit of any sequence of continuous functions is continuous), the series (1.6) is continuous.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Classes of Discontinuous Functions

A function that is not continuous at some point is said to be discontinuous at that point. For example, the Heaviside function (1.2) is not continuous at $x=0$. In order to determine if a function is continuous at a point $x$ in an interval $(a, b)$ we apply the test:
$$
\begin{aligned}
&f(x+)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { for all sequences }\left{t_{n}\right} \text { in }(x, b) \text { s.t. } t_{n} \rightarrow x \
&f(x-)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { for all sequences }\left{t_{n}\right} \text { in }(a, x) \text { s.t. } t_{n} \rightarrow x \
&\exists \lim {t \rightarrow x} f(t) \Leftrightarrow f(x+)=f(x-)=\lim {t \rightarrow x} f(t)=f(x) .
\end{aligned}
$$

There are two (simple discontinuity) main categories of discontinuous functions:

  • First kind: $f(x+)=\lim {t \rightarrow x+} f(t)$ and $f(x-)=\lim {t \rightarrow x-} f(t)$ exists. Then either we have $f(x+) \neq f(x-)$ or $f(x+)=f(x-) \neq f(x)$.
  • Second kind: a discontinuity that is not of the first kind.
    Examples are:
    $$
    \begin{aligned}
    &f(x)=\left{\begin{array}{l}
    1, x \text { rational }(x \in \mathbb{Q}) \
    0, x \text { not rational, } x \notin \mathbb{Q} \
    \text { 2nd kind: Neither } f(x+) \text { nor } f(x-) \text { exists. }
    \end{array}\right. \
    &f(x)= \begin{cases}x+2, \quad-3<x<-2 \
    -x-2, \quad-2 \leq x<0 \
    x+2, \quad 0 \leq x<1 \
    \text { Simple discontinuity at } x=0 .\end{cases}
    \end{aligned}
    $$
    You can check that this latter function has a discontinuity of the first kind at $x=0$.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|DIFFERENTIAL CALCULUS

The derivative of a function is one of its fundamental properties. It represents the rate of change of the slope of the function: in other words, how fast the function changes with respect to changes in the independent variable. We focus on real-valued functions of a real variable.

Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Then the derivative of $f$ at $x$ (if it exists) is defined by the limit for $x \in[a, b]$ :
$\varphi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}(t \neq x)$, $f^{\prime}(x)=\lim {t \rightarrow x} \varphi(t)$ or $\frac{d f(x)}{d x}=f^{\prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} .$
This limit may not exist at certain points, and it is possible to define right-hand and left-hand limits, that is, one-sided derivatives.
Some results that we learn in high school are:
$$
\begin{aligned}
&(f+g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \
&(f g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \
&\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{g(x) f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x) f(x)}{g^{2}(x)}(g(x) \neq 0)
\end{aligned}
$$

A composite function is a function that we can differentiate using the chain rule that we state as follows:
$x \in[a, b], \quad \exists f^{\prime}(x)$ with $g$ differentiable at $f(x)$.
Then:
$$
\begin{aligned}
&h(t) \equiv g(f(t)), \quad a \leq t \leq b \text { has derivative } \
&h^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x) .
\end{aligned}
$$
A simple example of use is:
$$
\begin{aligned}
f(x) &=x^{2}, \quad g(y)=2 y+1 \
h(x) &=g(f(x))=g\left(x^{2}\right)=2 x^{2}+1 \
h^{\prime}(x) &=g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x)=4 x(=2 * 2 x)
\end{aligned}
$$
More challenging examples of composite functions are:
$$
\begin{aligned}
&f(x)=\left{\begin{array}{l}
x \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \
0, \quad x=0
\end{array}\right. \
&f^{\prime}(x)=\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0
\end{aligned}
$$
$f^{\prime}(0)$ does not exist.
$f(x)=\left{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \ 0, \quad x=0\end{array}\right.$
$f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
$f^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=0 .$

Differential Calculus - Definition, Formulas, Rules, Examples
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数值方法代写

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一般而言,统一连续性保证F(X)和F(是)可以通过要求使彼此尽可能接近X和是彼此足够接近。这与普通的连续性形成对比,其中之间的距离F(X)和F(是)可能取决于X和是他们自己。换句话说,在定义1.1d只取决于ε而不是在域中的点上。连续性本身是一个局部属性,因为一个函数F在特定点是或不连续的,并且可以通过查看该点的任意小邻域中的函数值来确定连续性。另一方面,一致连续性是F因为定义

指点对而不是单个点。在这种情况下,函数的新定义F在区间内定义一世是:
∀e>0∃d>0 英石 ∀X,是∈一世:|X−是|<d⇒|F(X)−F(是)|<ε.让我们举一个一致连续函数的例子:F:R→R,F(X)=3X+7然后|F(X)−F(是)|=|3X+7−(3是+7)|=3|X−是|<3d<ε,(X,是∈R). 选择d=ε/3. 一般来说,闭区间上的连续函数是一致连续的。一个例子是:F(X)=X2 在 一世=[0,2]让X,是∈一世. 然后:|F(X)−F(是)|=(X+是)|X−是|<(2+2)d=ε.选择d=ε/4. 一个连续且无处可微的函数的一个例子是 Weierstrass 函数,我们可以写成傅里叶级数: $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} \cos \left(b^{n} \pi x\right), \quad 01+\frac{3}{2} \pi$。
这是出现在布朗运动模型中的锯齿函数。每个部分和都是连续的,因此根据一致极限定理(它表明任何连续函数序列的一致极限是连续的),级数 (1.6) 是连续的。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Classes of Discontinuous Functions

在某一点不连续的函数在该点称为不连续函数。例如,Heaviside 函数 (1.2) 在X=0. 为了确定一个函数在某个点是否连续X在一个区间(一种,b)我们应用测试:
\begin{aligned} &f(x+)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n} \right} \text { in }(x, b) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &f(x-)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \ rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n}\right} \text { in }(a, x) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &\存在 \lim {t \rightarrow x} f(t) \Leftrightarrow f(x+)=f(x-)=\lim {t \rightarrow x} f(t)=f(x) 。\end{对齐}\begin{aligned} &f(x+)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n} \right} \text { in }(x, b) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &f(x-)=q \text { if } f\left(t_{n}\right) \ rightarrow q, n \rightarrow \infty \text { 对于所有序列 }\left{t_{n}\right} \text { in }(a, x) \text { st } t_{n} \rightarrow x \ &\存在 \lim {t \rightarrow x} f(t) \Leftrightarrow f(x+)=f(x-)=\lim {t \rightarrow x} f(t)=f(x) 。\end{对齐}

不连续函数有两种(简单不连续)主要类别:

  • 第一类:F(X+)=林吨→X+F(吨)和F(X−)=林吨→X−F(吨)存在。那么要么我们有F(X+)≠F(X−)或者F(X+)=F(X−)≠F(X).
  • 第二类:不属于第一类的不连续性。
    例如:
    $$
    \begin{aligned}
    &f(x)=\left{1,X 合理的 (X∈问) 0,X 不理性, X∉问  第二种:都没有 F(X+) 也不 F(X−) 存在。 \对。\
    &f(x)={X+2,−3<X<−2 −X−2,−2≤X<0 X+2,0≤X<1  简单的不连续性 X=0.
    \end{aligned}
    $$
    你可以检查后一个函数在X=0.

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函数的导数是其基本性质之一。它表示函数斜率的变化率:换句话说,函数相对于自变量变化的变化速度。我们专注于实变量的实值函数。

让F:R→R. 然后的导数F在X(如果存在)由限制定义X∈[一种,b] :
披(吨)=F(吨)−F(X)吨−X(吨≠X), F′(X)=林吨→X披(吨)或者dF(X)dX=F′(X)=林H→0F(X+H)−F(X)H.
这个极限在某些点上可能不存在,可以定义右手和左手极限,即单边导数。
我们在高中学到的一些成果是:
(F+G)′(X)=F′(X)+G′(X) (FG)′(X)=F′(X)G(X)+F(X)G′(X) (FG)′(X)=G(X)F′(X)−G′(X)F(X)G2(X)(G(X)≠0)

复合函数是我们可以使用如下所述的链式法则来区分的函数:
X∈[一种,b],∃F′(X)和G可微分于F(X).
然后:
H(吨)≡G(F(吨)),一种≤吨≤b 有导数  H′(X)=G′(F(X))F′(X).
一个简单的使用示例是:
F(X)=X2,G(是)=2是+1 H(X)=G(F(X))=G(X2)=2X2+1 H′(X)=G′(F(X))F′(X)=4X(=2∗2X)
复合函数更具挑战性的例子是:
$$
\begin{aligned}
&f(x)=\left{X罪⁡1X,X≠0 0,X=0\对。\
&f^{\prime}(x)=\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0
\end{对齐}
$$
F′(0)不存在。
$f(x)=\左{X2罪⁡1X,X≠0 0,X=0\对。f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, \quad x \neq 0f^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=0 .$

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Continuous function - Wikipedia
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Real Analysis Foundations for this Book

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

In this chapter we introduce a number of mathematical concepts and methods that underlie many of the topics in this book. The most urgent attention points revolve around functions of real variables, their properties and the ways they are used in applications. We discuss the most important topics from real analysis to help us in our understanding of partial differential equations (PDEs). A definition of real analysis is:
In mathematics, real analysis is the branch of mathematical analysis that studies the behavior of real numbers, sequences and series of real numbers, and real functions. Some particular properties of real-valued sequences and functions that real analysis studies include convergence, limits, continuity, smoothness, differentiability and integrability.

Real analysis is distinguished from complex analysis, which deals with the study of complex numbers and their functions.
(Wikipedia)
A related branch of mathematics is calculus, which we learn at school:
Calculus, originally called infinitesimal calculus or ‘the calculus of infinitesimals’, is the mathematical study of continuous change, in the same way that geometry is the study of shape and algebra is the study of generalizations of arithmetic operations.

It has two major branches, differential calculus and integral calculus; the former concerns instantaneous rates of change, and the slopes of curves, while integral calculus concerns accumulation of quantities, and areas under or between curves. These two branches are related to each other by the fundamental theorem of calculus, and they make use of the fundamental notions of convergence of infinite sequences and infinite series to a well-defined limit.
(Wikipedia)
In practice, there is a distinction between calculus and real analysis. Calculus entails techniques (and tricks) to differentiate and integrate functions. It does not discuss the conditions under which a function is continuous or differentiable. It assumes that it is allowed to carry out these operations on functions. Real analysis, on the other hand, does discuss these issues and more; for example:

  • Continuous functions: How do we recognise them and prove that a function is continuous?
    = The different kinds of discontinuous functions.
  • Differential calculus from a real-analysis viewpoint.
  • Taylor’s theorem.
    = An introduction to metric spaces and Cauchy sequences.
    In our opinion, these topics are necessary prerequisites for the rest of this book. Knowledge of vector (linear) analysis and numerical linear algebra is also a prerequisite for computational finance. To this end, we devote Chapters 4 and 5 to these topics. Finally, complex variables and complex functions (which are at the heart of complex analysis) are introduced in Chapter 16 . We use the notation $\forall$ to mean ‘for all’ and $\exists$ to mean ‘there exists’.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|CONTINUOUS FUNCTIONS

In this section we are mainly concerned with real-valued functions of a real variable, that is $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. In rough terms, a continuous function is one that can be drawn by hand without taking the pen from paper. In other words, a continuous function does not have jumps or breaks, but it is allowed to have sharp bends and kinks. Examples of continuous functions are:
$$
\begin{aligned}
&f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2} \
&f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\max (0, x)
\end{aligned}
$$
We can see that these functions are continuous just by drawing them. The first function is ‘smoother’ than the second function, the latter being similar to a one-factor call or put payoff on the one hand and a Rectified Linear Unit (ReLU) activation function

on the other hand (Goodfellow, Bengio and Courville (2016)). Intuitively, a function $f$ is continuous if $f(x) \rightarrow f(p)$ when $x \rightarrow p$, no matter how $x$ approaches $p$. Alternatively, small changes in $x$ lead to small changes in $f(x)$.

If we formally differentiate the above ReLU function (1.1), we get the famous discontinuous Heaviside function:
$$
H(x)=\left{\begin{array}{l}
0, x<0 \
1, x \geq 0
\end{array}\right.
$$
A discontinuous function is one that is not continuous. Another discontinuous function is:
$x \in \mathbb{R},[x] \equiv$ largest integer $n$ s.t. $n \leq x \leq n+1 .$
Define $f(x)=[x]$; let $p \in \mathbb{Z}$ (integer).
Then taking left and right limits gives different answers, showing that the function is not continuous.

  1. $x<p \Rightarrow f(x)=p-1$
  2. $x>p \Rightarrow f(x)=p$
    Thus $\lim {x \rightarrow p-} f(x)=p-1, \lim {x \rightarrow p+} f(x)=p$.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Formal Definition of Continuity

The following definition is based on the fact that small changes in $x$ lead to small changes in $f(x)$.
Definition $1.1$
$$
\begin{aligned}
&\lim {x \rightarrow p} f(x)=A \text { means } \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \text { s.t. } \ &|f(x)-A|<\varepsilon \text { when } 0<|x-p|<\delta . \end{aligned} $$ Some properties of continuous functions $f(x)$ and $g(x)$ are: $$ \begin{aligned} &\lim {x \rightarrow p}(f(x) \pm g(x))=\lim {x \rightarrow p} f(x) \pm \lim {x \rightarrow p} g(x) \
&\lim {x \rightarrow p}(f(x) g(x))=\lim {x \rightarrow p} f(x) \lim {x \rightarrow p} g(x) \ &\lim {x \rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim {x \rightarrow p} f(x)}{\lim {x \rightarrow p} g(x)}, \quad g(x) \neq 0 .
\end{aligned}
$$

It can be a mathematical challenge to prove that a function is continuous using the above ‘epsilon-delta’ approach in Definition 1.1. One approach is to use the well-known technique of splitting the problem into several mutually exclusive cases, solving each case separately and then merging the corresponding partial solutions to form the desired solution. To this end, let us examine the square root function:
$$
f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, f(x)=\sqrt{x} .
$$
We show that there exists $\delta>0$ such that for $x \geq 0$ :
$$
|x-y|<\delta \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}|<\epsilon \forall y \in \mathbb{R}^{+} . $$ Then: $$ \sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$ We now consider two cases: Case $1: x>0$. Then:
$$
|x-y|<\delta \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{x}}=\frac{\delta}{\sqrt{x}}=\epsilon
$$
Choose $\delta=\epsilon \sqrt{x}$.
Case $2: x=0$. Then:
$$
|x-y|<\delta \Rightarrow|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{y}{\sqrt{y}}=\sqrt{y}=\epsilon
$$
Hence:
$$
|-y|=|y|<\delta \Rightarrow \sqrt{y}=\epsilon \Rightarrow \sqrt{\delta}<\epsilon \Rightarrow \delta<\epsilon^{2}
$$
Choose $\delta=\epsilon^{2}$.
We have thus proved that the square root function is continuous.

Calculus I - The Definition of the Limit
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Real Analysis Foundations for this Book

数值方法代写

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES

在本章中,我们介绍了许多构成本书许多主题的数学概念和方法。最紧迫的关注点围绕着实变量的函数、它们的属性以及它们在应用程序中的使用方式。我们讨论了实际分析中最重要的主题,以帮助我们理解偏微分方程 (PDE)。实分析的定义是:
在数学中,实分析是数学分析的一个分支,它研究实数、实数序列和级数以及实函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平滑性、可微性和可积性。

实分析与复分析不同,复分析涉及复数及其函数的研究。
(维基百科)
一个相关的数学分支是微积分,我们在学校学习:
微积分,最初称为无穷小微积分或“无穷小微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何是对形状的研究一样代数是对算术运算的推广的研究。

它有两个主要分支,微积分和积分;前者关注瞬时变化率和曲线的斜率,而积分微积分关注数量的累积,以及曲线下方或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分基本定理相互关联,它们利用无限序列和无限级数收敛到明确定义的极限的基本概念。
(维基百科)
在实践中,微积分和实数分析是有区别的。微积分需要技术(和技巧)来区分和整合功能。它没有讨论函数连续或可微的条件。它假定允许对函数执行这些操作。另一方面,实际分析确实讨论了这些问题以及更多问题。例如:

  • 连续函数:我们如何识别它们并证明函数是连续的?
    = 不同种类的不连续函数。
  • 从实分析的观点看微分。
  • 泰勒定理。
    = 度量空间和柯西序列的介绍。
    我们认为,这些主题是本书其余部分的必要先决条件。矢量(线性)分析和数值线性代数的知识也是计算金融的先决条件。为此,我们将第 4 章和第 5 章专门讨论这些主题。最后,第 16 章介绍了复变量和复函数(它们是复分析的核心)。我们使用符号∀意思是“为所有人”和∃意思是“存在”。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|CONTINUOUS FUNCTIONS

在本节中,我们主要关注实变量的实值函数,即F:R→R. 粗略地说,连续函数是无需从纸上拿笔就可以用手绘制的函数。换句话说,连续函数没有跳跃或中断,但允许有急剧的弯曲和扭结。连续函数的例子有:
F:R→R,F(X)=X2 F:R→R,F(X)=最大限度(0,X)
我们可以看到这些函数只是通过绘制它们是连续的。第一个函数比第二个函数“更平滑”,后者类似于单因素调用或一方面支付收益和一个整流线性单元 (ReLU) 激活函数

另一方面(Goodfellow、Bengio 和 Courville (2016))。直观地说,一个函数F是连续的,如果F(X)→F(p)什么时候X→p, 不管怎样X方法p. 或者,在X导致小的变化F(X).

如果我们对上述 ReLU 函数 (1.1) 进行形式化微分,我们得到著名的不连续 Heaviside 函数:
$$
H(x)=\left{0,X<0 1,X≥0\对。
$$
不连续函数是不连续的。另一个不连续函数是:
X∈R,[X]≡最大整数n英石n≤X≤n+1.
定义F(X)=[X]; 让p∈从(整数)。
然后取左右极限给出了不同的答案,表明该函数是不连续的。

  1. X<p⇒F(X)=p−1
  2. X>p⇒F(X)=p
    因此林X→p−F(X)=p−1,林X→p+F(X)=p.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Formal Definition of Continuity

以下定义基于以下事实:X导致小的变化F(X).
定义1.1
林X→pF(X)=一种 方法 ∀e>0∃d>0 英石  |F(X)−一种|<e 什么时候 0<|X−p|<d.连续函数的一些性质F(X)和G(X)是:林X→p(F(X)±G(X))=林X→pF(X)±林X→pG(X) 林X→p(F(X)G(X))=林X→pF(X)林X→pG(X) 林X→pF(X)G(X)=林X→pF(X)林X→pG(X),G(X)≠0.

使用定义 1.1 中的上述“epsilon-delta”方法来证明一个函数是连续的可能是一个数学挑战。一种方法是使用众所周知的技术,将问题拆分为几个互斥的案例,分别解决每个案例,然后合并相应的部分解决方案以形成所需的解决方案。为此,让我们检查平方根函数:
F:R+→R+,F(X)=X.
我们证明存在d>0这样对于X≥0 :
|X−是|<d⇒|X−是|<ε∀是∈R+.然后:X−是=X−是X+是我们现在考虑两种情况:1:X>0. 然后:
|X−是|<d⇒|X−是|≤|X−是|X=dX=ε
选择d=εX.
案子2:X=0. 然后:
|X−是|<d⇒|X−是|=|X−是|X+是=是是=是=ε
因此:
|−是|=|是|<d⇒是=ε⇒d<ε⇒d<ε2
选择d=ε2.
因此,我们证明了平方根函数是连续的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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