分类：数学代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Rolle’s theorezn and Mean value theorems

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写实分析Real Analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中，实分析是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。

实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写实分析Real analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写实分析Real analysis代写方面经验极为丰富，各种代写实分析Real analysis相关的作业也就用不着说。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Rolle’s theorezn and Mean value theorems

Theorem 9.5.1. (Rolle’s theorem)
Let a function $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be such that
(i) $f$ is continuous on $[a, b]$,
(ii) $f$ is differentiable at every point of $(a, b)$, and
(iii) $f(a)=f(b)$.
Then there exists at least one point $\xi$ in $(a, b)$ such that $f^{\prime}(\xi)=0$.
Proof. Since $f$ is continuous on $[a, b], f$ is bounded on $[a, b]$.
Let $\sup {x \in[a, b]} f(x)=M, \inf {x \in[a, b]} f(x)=m$.
By the property of continuity there exists a point $c$ in $[a, b]$ such that $f(c)=M$ and there exists point $d$ in $[a, b]$ such that $f(d)=m$.
Two cases arise.
Case 1. $M=m$.
In this case $f(x)=M$ for all $x \in[a, b]$. Therefore $f^{\prime}(x)=0$ for all $x \in[a, b]$. The theorem holds trivially in this case.
Case 2. $M \neq m$.
In this case at least one of $M$ and $m$, if not both, must be unequal to $f(a)$ (and $f(b)$ ).
Let $M \neq f(a)$. Then $c \neq a, c \neq b . \therefore a0$. Then $\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Corollary. Rolle’s theorem for polynomials

If a polynomial function $f$ has at least two real roots, then between any two real roots there exists at least one real root of the derived polynomial function $f^{\prime}$.
Let $\alpha, \beta$ be two real roots of the polynomial function $f, \alpha<\beta$.
Then (i) $f$ is continuous on $[\alpha, \beta]$, (ii) $f$ is differentiable on $(\alpha, \beta)$ and (iii) $f(\alpha)=f(\beta)$

Therefore by Rolle’s theorem, there exists at least one real number $\xi$ in $(\alpha, \beta)$ such that $f^{\prime}(\xi)=0$. That is, $\xi$ is a real root of the derived polynomial function $f^{\prime}$.
Geometrical Interpretation.
If a function $f$ has a graph which is a continuous curve on the interval $[a, b]$; and the curve has a tangent at every point on it with abscissa between $a$ and $b$; and the ordinates $f(a), f(b)$ are equal, then there exists at least one point $\xi$ in $(a, b)$ such that the tangent to the curve at $(\xi, f(\xi))$ is parallel to the $\mathrm{x}$-axis.

If $p(x)$ is a polynomial of degree $>1$ and $k \in \mathbb{R}$, prove that between any two real roots of $p(x)=0$ there is a real root of $p^{\prime}(x)+k p(x)=0$.
Let $f(x)=e^{k x} p(x), x \in \mathbb{R}$.
Then $f^{\prime}(x)=e^{k x}\left[k p(x)+p^{\prime}(x)\right], x \in \mathbb{R}$.
Let $\alpha, \beta$ be two real roots of $p(x)$ and $\alpha<\beta$. Then $p(\alpha)=0, p(\beta)=0$.
Therefore $f(\alpha)=e^{k \alpha} p(\alpha)=0$. $f(\beta)=e^{k \beta} p(\beta)=0$.
$f$ is continuous on $[\alpha, \beta] ; f^{\prime}(x)$ exists for all $x \in(\alpha, \beta)$; and $f(\alpha)=$ $f(\beta)$.
By Rolle’s theorem, $f^{\prime}(\gamma)=0$ for some $\gamma$ in $(\alpha, \beta)$.
or, $e^{k \gamma}\left[k p(\gamma)+p^{\prime}(\gamma)\right]=0$.
This implies $k p(\gamma)+p^{\prime}(\gamma)=0$, since $e^{k \gamma} \neq 0$.
That is, $\gamma$ is a root of $k p(x)+p^{\prime}(x)=0$, where $\alpha<\gamma<\beta$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Rolle’s theorezn and Mean value theorems

定理9.5.1。(罗尔定理)
设函数$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$是这样的
(i) $f$在$[a, b]$上连续;
(ii) $f$在$(a, b)$的每一点都是可微的，并且
(iii) $f(a)=f(b)$。
那么在$(a, b)$中至少存在一个点$\xi$使得$f^{\prime}(\xi)=0$。
证明。因为$f$在$[a, b]$上连续$[a, b], f$在上有界。
让$\sup {x \in[a, b]} f(x)=M, \inf {x \in[a, b]} f(x)=m$。
根据连续性的性质，在$[a, b]$中存在一个点$c$使得$f(c)=M$，在$[a, b]$中存在一个点$d$使得$f(d)=m$。
出现了两种情况。
情况1。$M=m$。
在本例中，所有$x \in[a, b]$为$f(x)=M$。因此$f^{\prime}(x)=0$对于所有$x \in[a, b]$。这个定理在这种情况下成立。
情况2。$M \neq m$。
在这种情况下，至少$M$和$m$中的一个(如果不是两个)必须不等于$f(a)$(和$f(b)$)。
让$M \neq f(a)$。然后$c \neq a, c \neq b . \therefore a0$。然后$\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Corollary. Rolle’s theorem for polynomials

如果多项式函数$f$至少有两个实根，则在任意两个实根之间至少存在一个导出的多项式函数$f^{\prime}$的实根。
设$\alpha, \beta$是多项式函数$f, \alpha<\beta$的两个实根。
则(i) $f$在$[\alpha, \beta]$上连续，(ii) $f$在$(\alpha, \beta)$上可微，(iii) $f(\alpha)=f(\beta)$

因此，根据罗尔定理，在$(\alpha, \beta)$中至少存在一个实数$\xi$，使得$f^{\prime}(\xi)=0$。也就是说，$\xi$是导出的多项式函数$f^{\prime}$的实根。
几何解释。
如果一个函数$f$在区间$[a, b]$上有一个连续曲线;曲线上每一点都有切线横坐标在$a$和$b$之间;纵坐标$f(a), f(b)$相等，则在$(a, b)$中至少存在一个$\xi$点，使得曲线在$(\xi, f(\xi))$处的切线平行于$\mathrm{x}$轴。

如果$p(x)$是次次$>1$和次次$k \in \mathbb{R}$的多项式，则证明$p(x)=0$的任意两个实根之间存在$p^{\prime}(x)+k p(x)=0$的一个实根。
让$f(x)=e^{k x} p(x), x \in \mathbb{R}$。
然后$f^{\prime}(x)=e^{k x}\left[k p(x)+p^{\prime}(x)\right], x \in \mathbb{R}$。
设$\alpha, \beta$为$p(x)$和$\alpha<\beta$的两个实根。然后$p(\alpha)=0, p(\beta)=0$。
因此$f(\alpha)=e^{k \alpha} p(\alpha)=0$。$f(\beta)=e^{k \beta} p(\beta)=0$。
$f$是连续的，$[\alpha, \beta] ; f^{\prime}(x)$存在于所有的$x \in(\alpha, \beta)$;还有$f(\alpha)=$$f(\beta)$。
根据罗尔定理，$f^{\prime}(\gamma)=0$对于$(\alpha, \beta)$中的$\gamma$。
或者，$e^{k \gamma}\left[k p(\gamma)+p^{\prime}(\gamma)\right]=0$。
这意味着$k p(\gamma)+p^{\prime}(\gamma)=0$，因为$e^{k \gamma} \neq 0$。
也就是说，$\gamma$是$k p(x)+p^{\prime}(x)=0$的根，其中$\alpha<\gamma<\beta$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Uniform continuity

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Uniform continuity

Let $I$ be an interval and a function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $I$. Let $c \in I$. Then for a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a positive $\delta$ such that for all $x \in N(c, \delta) \cap I,|f(x)-f(c)|<\epsilon$. ‘If we move to another point $c^{\prime} \in I$ and keep the same $\epsilon$ fixed then it may happen that the same $\delta$ does not work but a smaller $\delta$ may be neressary for $c^{\prime}$ to fulfil the requirement of the condition for continuity. Thus $\delta$ depends, not only on $\epsilon$ but also on the point $c$ and therefore $\delta$ can be expressed as $\delta(\epsilon, c)$. Let $\delta_0=\inf {\delta(\epsilon, c): c \in I} . \delta_0 \geq 0$ since $\delta(\epsilon, c)>0$ for all $c \in I$.

If $\delta_0>0$, then for all $c \in I$ and $x \in N\left(c, \delta_0\right) \cap I,|f(x)-f(c)|<\epsilon$. That is, $\delta_0$ works uniformly over the entire interval $I$ in the sense that for any two points $x_1, x_2 \in I$ satisfying $\left|x_1-x_2\right|<\delta_0,\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\epsilon$ holds. In this case $f$ is said to be uniformly continuous on $I$.

Every function continuous on an interval $I$ may not be uniformly continuous on $I$, because a positive $\delta_0$ as $\inf {\delta(\epsilon, c): c \in I}$ may not be available.

Definition. A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be uniformly continuous on $I$ if corresponding to a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a positive $\delta$ such that for any two points $x_1, x_2$ in $I$
$$
\left|x_2-x_1\right|<\delta \Rightarrow\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|<\epsilon
$$
Note 1. The definition of uniform continuity shows that uniform continuity is a property of the function on an interval (or on a set) but continuity is a property of the function at a point. This is expressed by saying that continuity of a function is a local property while uniform continuity of a function is a global property.

It follows from the definition of uniform contiruity that if a function $f$ be uniformly continuous on an interval $I$, then it is also uniformly continuous on any subinterval $I_1 \subset I$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Worked Examples

Show that the function $f$ defined by $f(x)=\frac{1}{x}, x \in[1, \infty)$ is uniformly continuous on $[1, \infty)$.
Let $c \geq 1$. Then for all $x \geq 1$,
$|f(x)-f(c)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{c}\right|=\left|\frac{x-c}{c x}\right| \leq|x-c|$, since $|c x| \geq 1$.
Let us choose $\epsilon>0$. Then for all $x \geq 1$, satisfying $|x-c|<\epsilon$, $|f(x)-f(c)|<\epsilon$, whatever $c(\geq 1)$ may be.
This shows that $f$ is uniformly continuous on $[1, \infty)$.
$1 ;$

Show that the function $f$ defined by $f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$ is uniformly continuous on $\mathbb{R}$.
Let $c \in \mathbb{R}$. Then for all $x \in \mathbb{R}$,
$$
\begin{aligned}
&|f(x)-f(c)|=|\sin x-\sin c|=2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right|\left|\cos \frac{x+c}{2}\right| \
& \leq 2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right| \
& \leq 2 \cdot \frac{|x-c|}{2}, \text { since }|\sin x| \leq|x| \
& \text { for all } x \in \mathbb{R} .
\end{aligned}
$$
Let us choose $\epsilon>0$. Then for all $x \in \mathbb{R}$, satisfying $|x-c|<\epsilon$, $|f(x)-f(c)|<\epsilon$, whatever $c(\in \mathbb{R})$ may be.
This shows that $f$ is uniformly continuous on $\mathbb{R}$.

Let $f(x)=x^2, x \in \mathbb{R}$. Show that $f$ is uniformly continuous on any closed interval $[a, b], a \geq 0$; but $f$ is not uniformly continuous on $[a, \infty), a \geq 0$.

If we choose $\delta=\frac{\epsilon}{2 b}$, then for any two points $x_1, x_2$ in $[a, b]$ satisfying $\left|x_2-x_1\right|<\delta$, the inequality $\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|<\epsilon$ holds.
This shows that $f$ is uniformly continuous on $[a, b], a \geq 0$.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Uniform continuity

设$I$为区间，函数$f: I \rightarrow \mathbb{R}$在$I$上连续。让$c \in I$。那么对于一个预分配的正$\epsilon$，存在一个正$\delta$，使得对于所有的$x \in N(c, \delta) \cap I,|f(x)-f(c)|<\epsilon$。“如果我们移动到另一个点$c^{\prime} \in I$并保持相同的$\epsilon$固定，那么可能会发生相同的$\delta$不起作用，但是$c^{\prime}$可能需要更小的$\delta$来满足连续性条件的要求。”因此$\delta$不仅依赖于$\epsilon$，而且依赖于$c$点，因此$\delta$可以表示为$\delta(\epsilon, c)$。让$\delta_0=\inf {\delta(\epsilon, c): c \in I} . \delta_0 \geq 0$ since $\delta(\epsilon, c)>0$ for all $c \in I$。

在区间$I$上连续的每个函数在$I$上不一定是一致连续的，因为像$\inf {\delta(\epsilon, c): c \in I}$这样的正的$\delta_0$可能不可用。

定义。一个函数$f: I \rightarrow \mathbb{R}$在$I$上是一致连续的，如果对应于一个预先指定的正的$\epsilon$，存在一个正的$\delta$，使得对于$I$上的任意两点$x_1, x_2$
$$
\left|x_2-x_1\right|<\delta \Rightarrow\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|<\epsilon
$$
注1。一致连续性的定义表明一致连续性是函数在区间(或集合)上的性质，而连续性是函数在一点上的性质。这可以表示为:函数的连续性是一个局部性质，而函数的一致连续性是一个全局性质。

由一致连续性的定义可知，如果一个函数$f$在区间$I$上一致连续，那么它在任意子区间$I_1 \subset I$上也是一致连续的。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Worked Examples

证明$f(x)=\frac{1}{x}, x \in[1, \infty)$定义的函数$f$在$[1, \infty)$上是一致连续的。
让$c \geq 1$。那么对于所有$x \geq 1$，
$|f(x)-f(c)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{c}\right|=\left|\frac{x-c}{c x}\right| \leq|x-c|$, since $|c x| \geq 1$。
让我们选择$\epsilon>0$。然后对于所有的$x \geq 1$，满意的$|x-c|<\epsilon$, $|f(x)-f(c)|<\epsilon$，不管$c(\geq 1)$是什么。
这表明$f$在$[1, \infty)$上一致连续。
$1 ;$

证明$f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$定义的函数$f$在$\mathbb{R}$上是一致连续的。
让$c \in \mathbb{R}$。那么对于所有$x \in \mathbb{R}$，
$$
\begin{aligned}
&|f(x)-f(c)|=|\sin x-\sin c|=2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right|\left|\cos \frac{x+c}{2}\right| \
& \leq 2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right| \
& \leq 2 \cdot \frac{|x-c|}{2}, \text { since }|\sin x| \leq|x| \
& \text { for all } x \in \mathbb{R} .
\end{aligned}
$$
让我们选择$\epsilon>0$。然后对于所有的$x \in \mathbb{R}$，满意的$|x-c|<\epsilon$, $|f(x)-f(c)|<\epsilon$，不管$c(\in \mathbb{R})$是什么。
这表明$f$在$\mathbb{R}$上一致连续。

让$f(x)=x^2, x \in \mathbb{R}$。证明$f$在任意闭区间$[a, b], a \geq 0$上是一致连续的;但是$f$在$[a, \infty), a \geq 0$上不是均匀连续的。

如果我们选择$\delta=\frac{\epsilon}{2 b}$，那么对于$[a, b]$中任意两点$x_1, x_2$满足$\left|x_2-x_1\right|<\delta$，不等式$\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|<\epsilon$成立。
这表明$f$在$[a, b], a \geq 0$上一致连续。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limits of composite functions

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limits of composite functions

Theorem 8.3.1. Let $A \subset \mathbb{R}$ and $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Let $g: D \rightarrow \mathbb{R}$ where $f(A) \subset D$.
Let $c$ be a limit point of $A$ and $\lim {x \rightarrow:} f(x)=l$. (i) If $l \in D$ and $g$ is continuous at $l$ then $\lim {x \rightarrow c} g f(x)=g(l)$.

(ii) If $l \notin D$ but $l \in D^{\prime}$ and $\lim {y \rightarrow l} g(y)=m$ then $\lim {x \rightarrow c} g f(x)=m$.
Proof. (i) Since $g$ is continuous at $l$, for a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a positive $\delta$ such that
$|g(y)-g(l)|<\epsilon$ for all $y \in N(l, \delta) \cap D$.
Since $\lim {x \rightarrow c} f(x)=l$, there exists a positive $\delta_1$ such that $f(x) \in N(l, \delta)$ for all $x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A$. Since $f(A) \subset D, x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow f(x) \in N(l, \delta) \cap D$. Therefore $x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow|g(y)-g(l)|<\epsilon$ i.e., $x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow|g f(x)-g(l)|<\epsilon$. This proves $\lim {x \rightarrow c} g f(x)=g(l)$.
(ii) Since $\lim _{y \rightarrow l} g(y)=m$, for a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a positive $\delta$ such that $|g(y)-m|<\epsilon$ for all $y \in N^{\prime}(l, \delta) \cap D$.

Since $\lim {x \rightarrow c} f(x)=l$, there exists a positive $\delta_1$ such that $f(x) \in N(l, \delta)$ for all $x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A$. Since $f(A) \subset D, x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow f(x) \in N(l, \delta) \cap D$ $\Rightarrow f(x) \in N^{\prime}(l, \delta) \cap D$, since $l \notin D$. Therefore $x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow|g(y)-m|<\epsilon$ i.e., $|g f(x)-m|<\epsilon$. This proves $\lim {x \rightarrow c} g f(x)=m$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Extension of the theorem

Let $A \subset \mathbb{R}$ and $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Let $g: D \rightarrow \mathbb{R}$ where $f(A) \subset D$.
(a) Let $c$ be a limit point of $A$ and $\lim {x \rightarrow c} f(x)=\infty$. If for some $b \in \mathbb{R},(b, \infty) \subset D$ and $\lim {y \rightarrow \infty} g(y)=m$ then $\lim _{x \rightarrow c} g f(x)=m$, where $m \in \mathbb{R}$, or $m=\infty$, or $m=-\infty$.

(b) Let $c$ be a limit point of $A$ and $\lim {x \rightarrow C} f(x)=-\infty$. If for some $b \in \mathbb{R},(-\infty, b) \subset D$ and $\lim {y \rightarrow \infty} g\left(y^{\prime}\right)=m$ then $\lim {x \rightarrow c} g f(x)=$ $m$, where $m \in \mathbb{R}$, or $m=\infty$, or $m:=-\infty$. (c) For some $a \in \mathbb{R}$, let $(a, \infty) \subset A$ and $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l$.
(i) If $l \in D$ and $g$ is continuous at $l$ then $\lim {x \rightarrow \infty} g f(x)=g(l)$. (ii) If $l \notin D$ but $l \in D^{\prime}$ and $\lim {y \rightarrow l} g(y)=m$ then $\lim {x \rightarrow \infty} g f(x)=m$ where $m \in \mathbb{R}$, or $m=\infty$, or $m=-\infty$. (d) For some $a \in \mathbb{R}$, let $(-\infty, a) \subset A$ and $\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=l$.
(i) If $l \in D$ and $g$ is continuous at $l$ then $\lim {x \rightarrow-\infty} g f(x)=g(l)$. (ii) If $l \notin D$ but $l \in D^{\prime}$ and $\lim {y \rightarrow l} g(y)=m$ then $\lim _{x \rightarrow-\infty} g f(x)=m$, where $m \in \mathbb{R}$, or $m=\infty$, or $m=-\infty$.

Some other similar extensions of the theorem can be formulated.
A word of caution: $m=\infty(-\infty)$ stands for the plirase “lim $g f(x)=$ $\infty(-\infty)^{\prime \prime}$

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limits of composite functions

定理8.3.1。让$A \subset \mathbb{R}$和$f: A \rightarrow \mathbb{R}$。让$g: D \rightarrow \mathbb{R}$在哪里$f(A) \subset D$。
设$c$为$A$和$\lim {x \rightarrow:} f(x)=l$的极限点。(i)如果$l \in D$和$g$在$l$连续，则$\lim {x \rightarrow c} g f(x)=g(l)$。

(ii)如果$l \notin D$但$l \in D^{\prime}$和$\lim {y \rightarrow l} g(y)=m$则$\lim {x \rightarrow c} g f(x)=m$。
证明。(i)由于$g$在$l$连续，对于预先指定的正$\epsilon$，存在正$\delta$，使得
$|g(y)-g(l)|<\epsilon$为所有$y \in N(l, \delta) \cap D$。
由于$\lim {x \rightarrow c} f(x)=l$，存在一个正的$\delta_1$，使得$f(x) \in N(l, \delta)$对于所有$x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A$。自从$f(A) \subset D, x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow f(x) \in N(l, \delta) \cap D$。因此$x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow|g(y)-g(l)|<\epsilon$即$x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow|g f(x)-g(l)|<\epsilon$。这证明了$\lim {x \rightarrow c} g f(x)=g(l)$。
(ii)由于$\lim _{y \rightarrow l} g(y)=m$，对于预先分配的正数$\epsilon$存在一个正数$\delta$，因此$|g(y)-m|<\epsilon$对于所有$y \in N^{\prime}(l, \delta) \cap D$。

由于$\lim {x \rightarrow c} f(x)=l$，存在一个正的$\delta_1$，使得$f(x) \in N(l, \delta)$对于所有$x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A$。自从$f(A) \subset D, x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow f(x) \in N(l, \delta) \cap D$$\Rightarrow f(x) \in N^{\prime}(l, \delta) \cap D$，自从$l \notin D$。因此$x \in N^{\prime}\left(c, \delta_1\right) \cap A \Rightarrow|g(y)-m|<\epsilon$即$|g f(x)-m|<\epsilon$。这证明了$\lim {x \rightarrow c} g f(x)=m$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Extension of the theorem

让$A \subset \mathbb{R}$和$f: A \rightarrow \mathbb{R}$。让$g: D \rightarrow \mathbb{R}$在哪里$f(A) \subset D$。
(a)设$c$为$A$和$\lim {x \rightarrow c} f(x)=\infty$的极限点。如果是$b \in \mathbb{R},(b, \infty) \subset D$和$\lim {y \rightarrow \infty} g(y)=m$，那么是$\lim _{x \rightarrow c} g f(x)=m$，也就是$m \in \mathbb{R}$, $m=\infty$, $m=-\infty$。

(b)设$c$为$A$和$\lim {x \rightarrow C} f(x)=-\infty$的极限点。如果是$b \in \mathbb{R},(-\infty, b) \subset D$和$\lim {y \rightarrow \infty} g\left(y^{\prime}\right)=m$，那么是$\lim {x \rightarrow c} g f(x)=$$m$，比如$m \in \mathbb{R}$, $m=\infty$, $m:=-\infty$。(c)对于一些$a \in \mathbb{R}$，让$(a, \infty) \subset A$和$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l$。
(i)如果$l \in D$和$g$在$l$连续，则$\lim {x \rightarrow \infty} g f(x)=g(l)$。(ii)如果$l \notin D$，但$l \in D^{\prime}$和$\lim {y \rightarrow l} g(y)=m$，则$\lim {x \rightarrow \infty} g f(x)=m$，如$m \in \mathbb{R}$，或$m=\infty$，或$m=-\infty$。(d)对于一些$a \in \mathbb{R}$，让$(-\infty, a) \subset A$和$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=l$。
(i)如果$l \in D$和$g$在$l$连续，则$\lim {x \rightarrow-\infty} g f(x)=g(l)$。(ii)如果$l \notin D$，但$l \in D^{\prime}$和$\lim {y \rightarrow l} g(y)=m$，则$\lim _{x \rightarrow-\infty} g f(x)=m$，其中$m \in \mathbb{R}$，或$m=\infty$，或$m=-\infty$。

这个定理的其他一些类似的扩展也可以公式化。
提醒一句:$m=\infty(-\infty)$代表恳求“lim” $g f(x)=$ $\infty(-\infty)^{\prime \prime}$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Polar Coordinates

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写复分析Complex analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析Complex analysis的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（见轮廓积分的方法）。

复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写复分析Complex function方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写复分析Complex function代写方面经验极为丰富，各种代写复分析Complex function相关的作业也就用不着说。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Polar Coordinates

The expression $x+\mathrm{i} y$ for a complex number is intimately related to Cartesian coordinates $(x, y)$ in the plane. It turns out often to be useful to work with polar coordinates $(r, \theta)$, which we recall correspond to a point distance $r$ from the origin making an angle $\theta$ measured from the positive $x$-axis in an anticlockwise direction, Figure 1.5. Of course we measure $\theta$ in radians. These coordinate systems are related as follows:
$$
\begin{aligned}
& x=r \cos \theta \
& y=r \sin \theta
\end{aligned}
$$

Therefore
$$
r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|
$$
where $z=x+\mathrm{i} y$.
Finding $\theta$ is slightly trickier because it is not unique. Any value of $\theta$ for which (1.19) holds is called an argument of $z$. The article ‘an’ is used to reflect the lack of uniqueness: if $\theta$ is an argument then so is $\theta+2 k \pi$ for any integer $k$. With the understanding that $\theta$ is unique only up to multiples of $2 \pi$, we may use the notation
$$
\theta=\arg z
$$
Often the choice of $\theta$ is rendered unique by imposing some convention: for example, we may insist that $\theta$ is chosen in the interval $[0,2 \pi)$, or in $(-\pi, \pi]$. The unique value of $\theta$ in the interval $(-\pi, \pi]$ is known as the principal value of the argument. (We follow standard practice in taking this particular interval. Its main advantage is that $\theta$ then behaves nicely near the positive real axis, where $\theta=0$. But this is a technical point that only acquires importance much later. The non-uniqueness of $\theta$ is a phenomenon with tremendous ramifications in the theory, as we shall see.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Complex Numbers Cannot be Ordered

The real numbers may be given an ordering (the usual one, $>$ ) which has among its properties the following:
If $x \neq 0$ then either $x>0$ or $-x>0$, but not both
If $x, y>0$ then $x+y>0, x y>0$

No such ordering can be defined on the complex numbers. Suppose for a contradiction that one can. Since $\mathrm{i} \neq 0,(1.20)$ implies that either $\mathrm{i}>0$ or $-\mathrm{i}>0$. Then (1.21) implies that either $-1=\mathrm{i} \cdot \mathrm{i}>0$ or $-1=(-\mathrm{i}) \cdot(-\mathrm{i})>0$. At the same time, $1=(-1)^2>0$. But then both 1 and -1 are greater than 0 , contrary to (1.20).

It is therefore not possible to use inequalities, analogous to those for reals, when discussing complex numbers. Any inequality that occurs must involve only real numbers, possibly related to the given complex numbers. For example, if $z \in \mathbb{C}$ then
$$
z>1
$$
makes no sense, but either of
$$
|z|>1
$$
or
$$
\operatorname{re}(z)>1
$$
is acceptable. (They do not mean the same thing!) As a convention, if we write a statement such as
$$
\varepsilon>0
$$
this will automatically imply that $\varepsilon$ is assumed to be a real number.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Overview of the Book

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Polar Coordinates

复数的表达式$x+\mathrm{i} y$与平面上的笛卡尔坐标$(x, y)$密切相关。事实证明，使用极坐标$(r, \theta)$通常是有用的，我们记得极坐标对应于从原点到原点的点距离$r$，形成一个从正$x$ -轴逆时针方向测量的角度$\theta$，见图1.5。当然我们用弧度来测量$\theta$。这些坐标系的关系如下:
$$
\begin{aligned}
& x=r \cos \theta \
& y=r \sin \theta
\end{aligned}
$$

因此
$$
r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|
$$
在哪里$z=x+\mathrm{i} y$。
找到$\theta$有点棘手，因为它不是唯一的。任何符合(1.19)的$\theta$值都称为$z$的实参。文章“an”用于反映缺乏唯一性:如果$\theta$是一个参数，那么对于任何整数$k$, $\theta+2 k \pi$也是一个参数。理解到$\theta$在$2 \pi$的倍数之前是唯一的，我们可以使用这个符号
$$
\theta=\arg z
$$
通常，通过强加一些约定，$\theta$的选择是唯一的:例如，我们可以坚持在$[0,2 \pi)$或$(-\pi, \pi]$区间内选择$\theta$。$\theta$在$(-\pi, \pi]$区间内的唯一值称为参数的主值。(我们按照标准做法取这个特定的区间。它的主要优点是$\theta$在正实轴附近表现良好，其中$\theta=0$。但这是一个技术问题，直到很久以后才变得重要起来。正如我们将看到的，$\theta$的非唯一性是一个在理论中具有巨大分支的现象。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Complex Numbers Cannot be Ordered

实数可以给出一个顺序(通常的顺序，$>$)，其性质如下:
如果是$x \neq 0$，那么要么$x>0$要么$-x>0$，但不能两者都有
如果$x, y>0$那么 $x+y>0, x y>0$

在复数上不能定义这样的排序。假设一个矛盾可以。因为$\mathrm{i} \neq 0,(1.20)$意味着$\mathrm{i}>0$或$-\mathrm{i}>0$。然后(1.21)意味着$-1=\mathrm{i} \cdot \mathrm{i}>0$或$-1=(-\mathrm{i}) \cdot(-\mathrm{i})>0$。同时，$1=(-1)^2>0$。但是1和-1都大于0，与(1.20)相反。

因此，在讨论复数时，不可能使用与实数类似的不等式。出现的任何不等式必须只涉及实数，可能与给定的复数有关。例如，如果$z \in \mathbb{C}$那么
$$
z>1
$$
这说不通，但是
$$
|z|>1
$$
或
$$
\operatorname{re}(z)>1
$$
是可以接受的。(它们的意思不一样!)按照惯例，如果我们写一个声明，比如
$$
\varepsilon>0
$$
这将自动暗示$\varepsilon$被假定为实数。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Overview of the Book

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Overview of the Book

It is often useful to set the development of a mathematical theory in its historical context, but it is not always necessary to fight the historical battles again. In this text we give honour where we can to those pioneers who carved their way through uncharted mathematical territory. But more recent developments let us see the theory itself in a new light. To the modern ear the very name ‘complex analysis’ carries misleading overtones: it suggests complexity in the sense of complication. The older meaning, ‘composite’, was perhaps appropriate when the ‘real part’ of a complex number had a quite different status from that of the ‘imaginary part’. But nowadays a complex number is a perfectly integrated whole. To think of complex analysis as if it were, so to speak, two copies of real analysis, is to place undue emphasis on the algebra at the expense of the geometry, which in the long run has been far more influential. And in fact complex numbers are not more complicated than reals: in some ways, they are simpler. For instance, polynomials always have roots. Likewise, complex analysis is often simpler than real analysis: for example, every differentiable function is differentiable as often as we please, and has a power series expansion.

In preparing our approach to the subject we have adopted two basic organising principles. The first is the direct generalisation of real analysis to the complex case. Definitions, of limits, continuity, differentiation, and integration are natural extensions of the corresponding real notions. Since nowadays any student taking a course in complex analysis may be assumed to have made a study of the real counterpart, many battles have already been won. We can refer students to their accumulated knowledge, pausing only to phrase it appropriately. This saves time and energy, allowing us to proceed straight to the heart of the subject, where the interesting differences occur. Invariably this happens because the plane has a richer geometry than the line, and this leads to our second major organising principle: geometric insight is valuable and should be cultivated. Of course this insight must be translated into sound formal arguments; this can often be done using modern topological notions.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Construction of the Complex Numbers

We begin with the definition that emerged from the insights of Wallis, Wessel, Argand, Gauss, and Hamilton:

DEFINITION 1.1. A complex number is an ordered pair $(x, y)$ of real numbers. Addition and multiplication of complex numbers are defined by:
$$
\begin{aligned}
\left(x_1, y_1\right)+\left(x_2, y_2\right) & =\left(x_1+x_2, y_1+y_2\right) \
\left(x_1, y_1\right)\left(x_2, y_2\right) & =\left(x_1 x_2-y_1 y_2, x_1 y_2+x_2 y_1\right)
\end{aligned}
$$
For example,
$$
(3,5)(2,7)=(3 \cdot 2-5 \cdot 7,3 \cdot 7+5 \cdot 2)=(-29,31)
$$

This definition is the culmination of several centuries of struggle to understand complex numbers, and it shows how elusive a simple idea can be. Before we see what these pairs have to do with $\sqrt{-1}$, however, let us establish some of their properties.

THEOREM 1.2. The set of complex numbers, with the operations defined by (1.1, 1.2), is a field. That is, the following axioms hold: if $z_1=\left(x_1, y_1\right), z_2=\left(x_2, y_2\right)$, and $z_3=$ $\left(x_3, y_3\right)$ are complex numbers, then
(a) Addition and multiplication are commutative:
$$
\begin{aligned}
z_1+z_2 & =z_2+z_1 \
z_1 z_2 & =z_2 z_1
\end{aligned}
$$
(b) Addition and multiplication are associative:
$$
\begin{aligned}
\left(z_1+z_2\right)+z_3 & =z_1+\left(z_2+z_3\right) \
\left(z_1 z_2\right) z_3 & =z_1\left(z_2 z_3\right)
\end{aligned}
$$
(c) There is an additive identity $(0,0)$ :
$$
z_1+(0,0)=z_1
$$
(d) There is a multiplicative identity $(1,0)$ :
$$
z_1(1,0)=z_1
$$
(e) Each element has an additive inverse:
$$
(x, y)+(-x,-y)=(0,0)
$$
(f) Each element other than $(0,0)$ has a multiplicative inverse:
$$
(x, y)\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2}\right)=(1,0)
$$
(g) Multiplication distributes over addition:
$$
z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1 z_2+z_1 z_3
$$

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Overview of the Book

将数学理论的发展置于其历史背景中通常是有用的，但并不总是需要再次进行历史斗争。在这篇文章中，我们尽可能地向那些在未知的数学领域开辟道路的先驱们表示敬意。但最近的发展让我们从新的角度来看待这个理论本身。对于现代人来说，“复杂分析”这个名字本身就带有误导的含义:它暗示了复杂意义上的复杂性。当复数的“实部”与“虚部”处于完全不同的地位时，“合数”这个旧的意思可能是合适的。但现在复数是一个完美的整体。如果把复杂分析看作是真正分析的两个副本，就会过分强调代数，而忽略几何，而从长远来看，几何的影响要大得多。事实上，复数并不比实数复杂:在某些方面，它们更简单。例如，多项式总是有根的。同样，复分析通常比实分析更简单:例如，每个可微函数都是可微的，并且有幂级数展开。

在准备处理这个问题的方法时，我们采用了两个基本的组织原则。第一个是将实际分析直接推广到复杂情况。极限、连续性、微分和积分的定义是相应的真实概念的自然延伸。如今，任何学习复杂分析课程的学生都可能被认为研究过真正的复杂分析，因此许多斗争已经取得了胜利。我们可以让学生参考他们积累的知识，只在适当的时候停下来。这节省了时间和精力，使我们能够直接进入主题的核心，也就是有趣的差异发生的地方。这种情况总是会发生，因为平面比直线具有更丰富的几何形状，这就引出了我们的第二个主要组织原则:几何洞察力是有价值的，应该加以培养。当然，这种见解必须转化为合理的形式论证;这通常可以使用现代拓扑概念来完成。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Construction of the Complex Numbers

我们从沃利斯、韦塞尔、阿甘、高斯和汉密尔顿的见解中产生的定义开始:

1.1.定义复数是一对有序的实数$(x, y)$。复数的加法和乘法定义为:
$$
\begin{aligned}
\left(x_1, y_1\right)+\left(x_2, y_2\right) & =\left(x_1+x_2, y_1+y_2\right) \
\left(x_1, y_1\right)\left(x_2, y_2\right) & =\left(x_1 x_2-y_1 y_2, x_1 y_2+x_2 y_1\right)
\end{aligned}
$$
例如，
$$
(3,5)(2,7)=(3 \cdot 2-5 \cdot 7,3 \cdot 7+5 \cdot 2)=(-29,31)
$$

这个定义是几个世纪以来人们努力理解复数的结果，它表明了一个简单的概念是多么难以捉摸。然而，在我们了解这些对与$\sqrt{-1}$有什么关系之前，让我们先建立它们的一些性质。

定理1.2。具有(1.1,1.2)定义的运算的复数集合是一个字段。也就是说，下列公理成立:如果$z_1=\left(x_1, y_1\right), z_2=\left(x_2, y_2\right)$和$z_3=$$\left(x_3, y_3\right)$是复数，则
(a)加法和乘法是可交换的:
$$
\begin{aligned}
z_1+z_2 & =z_2+z_1 \
z_1 z_2 & =z_2 z_1
\end{aligned}
$$
(b)加法和乘法是相关联的:
$$
\begin{aligned}
\left(z_1+z_2\right)+z_3 & =z_1+\left(z_2+z_3\right) \
\left(z_1 z_2\right) z_3 & =z_1\left(z_2 z_3\right)
\end{aligned}
$$
(c)有一个附加的同一性$(0,0)$:
$$
z_1+(0,0)=z_1
$$
(d)有一个乘法同一性$(1,0)$:
$$
z_1(1,0)=z_1
$$
(e)每个元素有一个可加逆:
$$
(x, y)+(-x,-y)=(0,0)
$$
(f)除了$(0,0)$以外的每个元素都有一个乘法逆:
$$
(x, y)\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{-y}{x^2+y^2}\right)=(1,0)
$$
(g)乘法分布于加法之上:
$$
z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1 z_2+z_1 z_3
$$

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Coherent Sheaf Extension

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Theorem B wi th Ihunds

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Coherent Sheaf Extension

For the definition and properties of gap-sheaves $f^{[n]}$ used here, refer to the Appendix.
(11.1) Theorem (Coherent Sheaf Extension on Ring Domains) Suppose $0 \leqq a<b$ in $\mathbb{R}^N, D$ is an open subset of $\mathbb{C}^n, \because$ is a coherent analytic sheaf on $D \times G^N(a, b)$ such that $7^{[n+1]}=7$. Then 7 extends uniquely to a coherent analytic sheaf $\tilde{z}$ on $D \times \Delta^N\left(\right.$ b) such that $\tilde{z}^{[n+1]}=\tilde{z}$.
Proof. The uniqueness of $\tilde{7}$ follows from the extension theory of sections of gap-sheaves (see (A.18) of the Appen$\mathrm{dix})$.
For the existence of $\tilde{7}$, we consider first the special case where
i) D is bounded and Stein
ii) $\operatorname{codh} \approx \geqq n+3$
iii) $Z$ is flat with respect to the natural projection $\tilde{\pi}: \mathrm{D} \times \mathrm{G}^{\mathrm{N}}(\mathrm{a}, \mathrm{b}) \longrightarrow \mathrm{D}$.
For $m \in N$ sufficiently large, there exist
$$
\begin{gathered}
0<a<\beta \text { in } \mathbb{R} \
a<a^{\prime}<b^{\prime}<b \text { in } \mathbb{R}^N
\end{gathered}
$$
such that
$$
G^N\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \subset \subset\left{\left.z \in \mathbb{C}^N\left|\alpha<\sum_{i=1}^N\right| z_i\right|^{2 m}<\beta\right} \subset \subset \quad G^N(a, b) . $$ For $\varepsilon>0$ sufficiently small, $D \times G^N\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$ is contained in
$$
\left{(t, z) \in D \times\left.\mathbb{C}^N|\alpha+\varepsilon<\varepsilon| t\right|^2+\sum_{i=1}^N\left|z_i\right|^{2 m}<\beta-\varepsilon\right}
$$
Let
$$
\begin{aligned}
\alpha^{\prime} & =\alpha+\frac{\varepsilon}{2} \
\alpha^{\prime \prime} & =\alpha+\varepsilon \
\beta^{\prime} & =\beta-\frac{\varepsilon}{2} \
\beta^{\prime \prime} & =\beta-\varepsilon \
\varphi(t, z) & =\varepsilon|\mathrm{t}|^2+\sum_{i=1}^N\left|z_i\right|^{2 m}
\end{aligned}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Blow-downs

(12.1) A holomorphic map $\pi: X \longrightarrow S$ is said to be strongly l-pseudoconvex if there exist a $c^2$ function $\varphi: X \longrightarrow\left(-\infty, c_\right) \subset(-\infty, \infty)$ and a real number $c$ such that
i) $\pi \mid{\varphi \leqq c}$ is proper for $c<c_$ ii) $\varphi$ is strongly l-pseudoconvex on $\left{\varphi>c_{#}\right}$. (When the additional condition ${\varphi \leqq c}={\varphi }}$ is added, this definition agrees with a special case of strongly (p,q)-pseudoconvex-pseudoconcave maps.)
For $f \in \Gamma\left(x, 0_X\right)$ and $x \in X$ let $f(x)$ denote the image of the germ of $f$ at $x$ under the natural map
$$
\vartheta_{X, x} \rightarrow \vartheta_{X, x} / m_{X, x}=\mathbb{C} \text {. }
$$
We are going to prove the following result concerning blowing down. If $\pi: X \longrightarrow S$ is strongly 1 -pseudoconvex and $S$ is Stein, then $X$ is holomorphically convex (that is, for every discrete sequence $\left{x_\nu\right}$ in $x$ there exists $f \in \Gamma\left(x, 0_X\right)$ such that $f\left(x_\nu\right) \longrightarrow \infty$ as $\left.\nu \longrightarrow \infty\right)$. Once we have the holomorphic convexity of $X$, we can blow down $X$ by the Reduction Theorem of Remmert (whose generalization to the unreduced case can be proved in a way analogous to the reduced case $[30]$ ).
For $c_{#}<c<c_{\hbar}$ let $X^c={\varphi<c}$ and $\pi^c=\pi \mid X^c$.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Coherent Sheaf Extension

关于此处使用的间隙轴$f^{[n]}$的定义和特性，请参阅附录。
(11.1)定理(环域上的相干束扩展)假设$\mathbb{R}^N, D$中的$0 \leqq a0$足够小，$D \times G^N\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$包含在
$$
\left{(t, z) \in D \times\left.\mathbb{C}^N|\alpha+\varepsilon<\varepsilon| t\right|^2+\sum_{i=1}^N\left|z_i\right|^{2 m}<\beta-\varepsilon\right}
$$
让
$$
\begin{aligned}
\alpha^{\prime} & =\alpha+\frac{\varepsilon}{2} \
\alpha^{\prime \prime} & =\alpha+\varepsilon \
\beta^{\prime} & =\beta-\frac{\varepsilon}{2} \
\beta^{\prime \prime} & =\beta-\varepsilon \
\varphi(t, z) & =\varepsilon|\mathrm{t}|^2+\sum_{i=1}^N\left|z_i\right|^{2 m}
\end{aligned}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Blow-downs

(12.1)如果存在一个$c^2$函数$\varphi: X \longrightarrow\left(-\infty, c_\right) \subset(-\infty, \infty)$和一个实数$c$，则称全纯映射$\pi: X \longrightarrow S$是强l-伪凸的
I) $\pi \mid{\varphi \leqq c}$适合$cc_{#}\right}$上是强l-伪凸。(当附加条件${\varphi \leqq c}={\varphi }}$加入时，此定义与强(p,q)-伪凸-伪凹映射的特殊情况一致。)
对于$f \in \Gamma\left(x, 0_X\right)$和$x \in X$，让$f(x)$表示在自然地图下$x$的$f$胚芽的图像
$$
\vartheta_{X, x} \rightarrow \vartheta_{X, x} / m_{X, x}=\mathbb{C} \text {. }
$$
我们将证明以下关于吹风的结果。如果$\pi: X \longrightarrow S$是强1伪凸并且$S$是Stein，那么$X$是全纯凸的(也就是说，对于$x$中的每个离散序列$\left{x_\nu\right}$存在$f \in \Gamma\left(x, 0_X\right)$使得$f\left(x_\nu\right) \longrightarrow \infty$为$\left.\nu \longrightarrow \infty\right)$)。一旦我们有了$X$的全纯凸性，我们就可以用Remmert的约简定理(它对未约简情况的推广可以用类似于约简情况$[30]$的方式来证明)来推翻$X$。
对于$c_{#}<c<c_{\hbar}$，请输入$X^c={\varphi<c}$和$\pi^c=\pi \mid X^c$。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limits at infinity

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Hypergeometric series

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limits at infinity

Definition. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(c, \infty) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. We say that $f$ tends to $l(\in \mathbb{R})$ as $x \rightarrow \infty$ if corresponding to a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a real number $G>c$ such that $|f(x)-l|<\epsilon$ for all $x>G$.
In this case we write $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l$. Definition. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(-\infty, c) \subset$ $D$ for some $c \in \mathbb{R}$. We say that $f$ tends to $l(\in \mathbb{R})$ as $x \rightarrow-\infty$ if corresponding to a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a real number $G{x \rightarrow-\infty} f(x)=l$.
Note. In order that we may enquire if $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ exists, the domain $D$ of $f$ must be such that $(c, \infty) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$.

In order that we may enquire if $\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)$ exists, the domain $D$ of $f$ must be such that $(-\infty, c) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. Sequential criterion. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(c, \infty) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. Then $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l(\in \mathbb{R})$ if and only if for every sequence $\left{x_n\right}$ in $(c, \infty)$ diverging to $\infty$, the sequence $\left{f\left(x_n\right)\right}$ converges to $l$.

Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(-\infty, c) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. Then $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l(\in \mathbb{R})$ if and only if for every sequence $\left{x_n\right}$ in $(-\infty, c)$ diverging to $-\infty$, the sequence $\left{f\left(x_n\right)\right}$ converges to $l$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Infinite lixnits at infinity

Definition. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(c, \infty) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. If corresponding to a pre-assigned positive number $G$ there exists a real number $k>c$ such that
$$
f(x)>G(\text { or }<-G) \text { for all } x>k
$$
then we say that $f$ tends to $\infty$ (or, $-\infty$ ) as $x \rightarrow \infty$.
In this case we write $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$ (or, $-\infty$ ). Definition. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(-\infty, c) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. If corresponding to a pre-assigned positive number $G$ there exists a real number $kG \text { (or }<-G \text { ) for all } x{x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty($ or, $-\infty)$.

Sequential criterion.
Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(c, \infty) \subset D$ for some $c \in \mathbb{R}$. Then $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$ (or, $-\infty$ ) if and only if for every sequence $\left{x_n\right}$ in $(c, \infty)$ diverging to $\infty$, the sequence $\left{f\left(x_n\right)\right}$ diverges to $\infty$ (or, $-\infty)$.

Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $(-\infty, c) \subset D$ for some $\left{x_n\right}$ in $(-\infty, c)$ diverging to $-\infty$, the sequence $\left{f\left(x_n\right)\right}$ div’rges to $\infty$ (or, $-\infty$ ).

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limits at infinity

定义。让 $D \subset \mathbb{R}$ 和 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个函数。让 $(c, \infty) \subset D$ 对一些人来说 $c \in \mathbb{R}$．我们说 $f$ 倾向于 $l(\in \mathbb{R})$ as $x \rightarrow \infty$ 如果对应于预先分配的正数 $\epsilon$ 存在一个实数 $G>c$ 这样 $|f(x)-l|<\epsilon$ 对所有人 $x>G$．
在这种情况下，我们写 $\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l$．定义。让 $D \subset \mathbb{R}$ 和 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个函数。让 $(-\infty, c) \subset$ $D$ 对一些人来说 $c \in \mathbb{R}$．我们说 $f$ 倾向于 $l(\in \mathbb{R})$ as $x \rightarrow-\infty$ 如果对应于预先分配的正数 $\epsilon$ 存在一个实数 $G{x \rightarrow-\infty} f(x)=l$．
注意。以便我们可以询问 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，域 $D$ 的 $f$ 必须是这样的 $(c, \infty) \subset D$ 对一些人来说 $c \in \mathbb{R}$．

为了我们可以查询$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)$是否存在，$f$的域$D$必须是$(-\infty, c) \subset D$对于某些$c \in \mathbb{R}$。顺序标准。设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。用$(c, \infty) \subset D$表示$c \in \mathbb{R}$。那么$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=l(\in \mathbb{R})$当且仅当对于$(c, \infty)$中的每个序列$\left{x_n\right}$发散到$\infty$，序列$\left{f\left(x_n\right)\right}$收敛到$l$。

设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。用$(-\infty, c) \subset D$表示$c \in \mathbb{R}$。那么$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l(\in \mathbb{R})$当且仅当对于$(-\infty, c)$中的每个序列$\left{x_n\right}$发散到$-\infty$，序列$\left{f\left(x_n\right)\right}$收敛到$l$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Infinite lixnits at infinity

定义。设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。用$(c, \infty) \subset D$表示$c \in \mathbb{R}$。如果对应于一个预分配的正数$G$，则存在一个实数$k>c$，使得
$$
f(x)>G(\text { or }<-G) \text { for all } x>k
$$
然后我们说$f$趋向于$\infty$(或者，$-\infty$)为$x \rightarrow \infty$。
在本例中，我们写$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$(或$-\infty$)。定义。设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。用$(-\infty, c) \subset D$表示$c \in \mathbb{R}$。如果对应于一个预分配的正数$G$，则存在一个实数$kG \text { (or }<-G \text { ) for all } x{x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty($或$-\infty)$。

顺序标准。
设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。用$(c, \infty) \subset D$表示$c \in \mathbb{R}$。然后$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$(或，$-\infty$)当且仅当对于$(c, \infty)$中的每个序列$\left{x_n\right}$发散到$\infty$，序列$\left{f\left(x_n\right)\right}$发散到$\infty$(或，$-\infty)$)。

设$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$为一个函数。让$(-\infty, c) \subset D$对于$(-\infty, c)$中的一些$\left{x_n\right}$发散到$-\infty$，序列$\left{f\left(x_n\right)\right}$发散到$\infty$(或$-\infty$)。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Hypergeometric series

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Hypergeometric series

$$
1+\frac{\alpha \cdot \beta}{1 . \gamma} x+\frac{\alpha(\alpha+1) \beta(\beta+1)}{1.2 \cdot \gamma(\gamma+1)} x^2+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2) \beta(\beta+1)(\beta+2)}{1.2 .3 \cdot \gamma(\gamma+1)(\gamma+2)} x^3+\cdots
$$
where $\alpha, \beta, \gamma, x>0$.
Ignoring the first term, let $\sum_1^{\infty} u_n$ be the series.
Then $u_n=\frac{\alpha(\alpha+1) \cdots(\alpha+n-1) \beta(\beta+1) \cdots(\beta+n-1)}{1.2 \cdots \cdot n \gamma(\gamma+1) \cdots(\gamma+n-1)} x^n$ for $n \geq 1$.
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(\alpha+n)(\beta+n)}{(1+n)(\gamma+n)} x$ and $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u{n+1}}{u_n}=x$.
By D’Alembert’s ratio test, $\Sigma u_n$ is convergent if $01$.
When $x=1$,
$$
\begin{aligned}
& \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n+1)(n+\gamma)}{(n+\alpha)(n+\beta)} \
& =1+\left(\frac{(\gamma+1-\alpha-\beta) n+(\gamma-\alpha \beta)}{n^2+(\alpha+\beta) n+\alpha \beta}\right) \
& =1+\left(\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{\gamma-\alpha \beta}{n^2}\right)\left[1+\frac{\alpha+\beta}{n}+\frac{\alpha \beta}{n^2}\right]^{-1} \
& =1+\left(\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{\gamma-\alpha \beta}{n^2}\right)\left[1-\frac{\alpha+\beta}{n}-\frac{\alpha \beta}{n^2}+\cdots\right] \
& =1+\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{1}{n^2}[(\gamma-\alpha \beta)-(\alpha+\beta)(\gamma+1-\alpha-\beta)+\text { terms containing }
\end{aligned}
$$
$\frac{1}{n}$ and higher powers of $\frac{1}{n}$ ]
$=1+\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{\phi(n)}{n^2}$, where $\lim _{n \rightarrow \infty} \phi(n)$ is finite and therefore ${\phi(n)}$ is bounded.
By Gauss’s test, when $x=1$,
$\Sigma u_n$ is convergent if $\gamma+1-\alpha-\beta>1$ and
$\Sigma u_n$ is divergent if $\gamma+1-\alpha-\beta \leq 1$.
Therefore the series is convergent if $01$. When $x=1$, the series is convergent if $\gamma>\alpha+\beta$ and divergent if $\gamma \leq \alpha+\beta$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Series of arbitrary terms

Let $\Sigma u_n$ be a series of positive and negative real numbers.
Let $u_n^{\prime}=\left|u_n\right|$. Then $\Sigma u_n^{\prime}$ is a series of positive real numbers.
If $\Sigma u_n^{\prime}$ is convergent then $\Sigma u_n$ is said to be an absolutely convergent series.
Theorem 6.4.1. An absolutely convergent series is convergent.
Proof. Let $\Sigma u_n$ be a series of positive and negative real numbers and be absolutely convergent. Then $\Sigma\left|u_n\right|$ is a convergent series of positive terms.

Let us choose a positive $\epsilon$. Then there exists a natural number $m$ such that
||$u_{n+1}|+| u_{n+2}|+\cdots+| u_{n+p}||<\epsilon$ for all $n \geq m$ and for every natural number $p$.

That is, $\left|u_{n+1}\right|+\left|u_{n+2}\right|+\cdots+\left|u_{n+p}\right|<\epsilon$ for all $n \geq m$ and for every natural number $p$.
But $\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right| \leq\left|u_{n+1}\right|+\left|u_{n+2}\right|+\cdots+\left|u_{n+p}\right|$.
Therefore $\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\epsilon$ for all $n \geq m$ and for every natural number. $p$.
By Cauchy’s principle of convergence, $\Sigma u_n$ is convergent.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Hypergeometric series

$$
1+\frac{\alpha \cdot \beta}{1 . \gamma} x+\frac{\alpha(\alpha+1) \beta(\beta+1)}{1.2 \cdot \gamma(\gamma+1)} x^2+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2) \beta(\beta+1)(\beta+2)}{1.2 .3 \cdot \gamma(\gamma+1)(\gamma+2)} x^3+\cdots
$$
在哪里$\alpha, \beta, \gamma, x>0$。
忽略第一项，设$\sum_1^{\infty} u_n$为级数。
然后$u_n=\frac{\alpha(\alpha+1) \cdots(\alpha+n-1) \beta(\beta+1) \cdots(\beta+n-1)}{1.2 \cdots \cdot n \gamma(\gamma+1) \cdots(\gamma+n-1)} x^n$代表$n \geq 1$。
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(\alpha+n)(\beta+n)}{(1+n)(\gamma+n)} x$和$\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u{n+1}}{u_n}=x$。
通过达朗贝尔比值检验，$\Sigma u_n$收敛于$01$。
当$x=1$，
$$
\begin{aligned}
& \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n+1)(n+\gamma)}{(n+\alpha)(n+\beta)} \
& =1+\left(\frac{(\gamma+1-\alpha-\beta) n+(\gamma-\alpha \beta)}{n^2+(\alpha+\beta) n+\alpha \beta}\right) \
& =1+\left(\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{\gamma-\alpha \beta}{n^2}\right)\left[1+\frac{\alpha+\beta}{n}+\frac{\alpha \beta}{n^2}\right]^{-1} \
& =1+\left(\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{\gamma-\alpha \beta}{n^2}\right)\left[1-\frac{\alpha+\beta}{n}-\frac{\alpha \beta}{n^2}+\cdots\right] \
& =1+\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{1}{n^2}[(\gamma-\alpha \beta)-(\alpha+\beta)(\gamma+1-\alpha-\beta)+\text { terms containing }
\end{aligned}
$$
$\frac{1}{n}$和更高次幂$\frac{1}{n}$]
$=1+\frac{\gamma+1-\alpha-\beta}{n}+\frac{\phi(n)}{n^2}$，其中$\lim _{n \rightarrow \infty} \phi(n)$是有限的因此${\phi(n)}$是有界的。
根据高斯的测试，当$x=1$，
$\Sigma u_n$是收敛的，如果$\gamma+1-\alpha-\beta>1$和
$\Sigma u_n$是发散的$\gamma+1-\alpha-\beta \leq 1$。
因此级数是收敛的如果$01$。当$x=1$时，级数为$\gamma>\alpha+\beta$收敛，为$\gamma \leq \alpha+\beta$发散。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Series of arbitrary terms

设$\Sigma u_n$为一系列正负实数。
让$u_n^{\prime}=\left|u_n\right|$。那么$\Sigma u_n^{\prime}$是一系列正实数。
如果$\Sigma u_n^{\prime}$是收敛的，那么$\Sigma u_n$就是一个绝对收敛的级数。
定理6.4.1。绝对收敛的级数是收敛的。
证明。设$\Sigma u_n$为一系列正负实数，且绝对收敛。那么$\Sigma\left|u_n\right|$是一个收敛的正项级数。

让我们选择一个积极的$\epsilon$。那么存在一个自然数$m$，使得
|| $u_{n+1}|+| u_{n+2}|+\cdots+| u_{n+p}||<\epsilon$适用于所有$n \geq m$和所有自然数$p$。

也就是说，对于所有$n \geq m$和所有自然数$p$，都是$\left|u_{n+1}\right|+\left|u_{n+2}\right|+\cdots+\left|u_{n+p}\right|<\epsilon$。
但是$\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right| \leq\left|u_{n+1}\right|+\left|u_{n+2}\right|+\cdots+\left|u_{n+p}\right|$。
因此$\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\epsilon$适用于所有$n \geq m$和所有自然数。$p$。
根据柯西收敛原理，$\Sigma u_n$是收敛的。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

Posted on 2023年6月6日2023年6月6日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

Let $\left{u_n\right}$ be a real sequence. A real number $l$ is said to be a subsequential limit of the sequence $\left{u_n\right}$ if there exists a subsequence of $\left{u_n\right}$ that converges to $l$.

Theorem 5.12.1. A real number $l$ is a subsequential limit of a sequence $\left{u_n\right}$ if and only if every neighbourhood of $l$ contains infinitely many elements of the sequence $\left{u_n\right}$.

Proof. Let $l$ be a subsequential limit of the sequence $\left{u_n\right}$. Then there exists a subsequence $\left{u_{r_n}\right}$ such that $\lim {n \rightarrow \infty} u{r_n}=l$.

Let us choose a positive $\epsilon$. Then there exists a natural number $k$ such that $l-\epsilon<u_{r_n}<l+\epsilon$ for all $n \geq k$.
Therefore $l-\epsilon<u_n<l+\epsilon$ for infinitely many values of $n$.
Since $\epsilon$ is arbitrary, every neighbourhood of $l$ contains infinite number of elements of the sequence $\left{u_n\right}$.

Conversely, let the sequence $\left{u_n\right}$ be such that for each pre-assigned positive $\epsilon$ the $\epsilon$-neighbourhood of $l$ contains infinitely many elements of the sequence.

Let $\epsilon=1$. Then $l-1r_1\right)$ in $S_2$ such that $l-\frac{1}{2}<u_{r_2}<l+\frac{1}{2}$.

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Characterisation of a compact set

Fheorem 5.13.1. Let $K$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$ : Then $K$ is compact if and only if every sequence in $K$ has a subsequence convergent to a point in $K$.
Proof. Let $K$ be a compact set. Let $\left{x_n\right}$ be a sequence in $K$.
Since $K$ is compact, $K$ is a closed and hounded set. Since $\left{x_n\right}$ is a sequence in $K$, it is a bounded sequence and by Bolzano-Weierstrass theorem it has a convergent subsequence, say $\left{x_{r_n}\right}$. Let $\lim {n \rightarrow \infty} x{r_n}=l$.
We prove that $l \in K$.
Let $l \notin K$. Then $l \in \mathbb{R}-K$. Since $K$ is a closed set, it follows that $\mathbb{R}-K$ is an open set and $l$ is an interior point of $\mathbb{R}-K$. So there exists a neighbourhood $N(l)$ of $l$ such that $N(l) \subset \mathbb{R}-K$.

Hence $N(l)$ contains no element of the sequence $\left{x_{r_n}\right}$ and therefore $l$ cannot be the limit of the sequence $\left{x_{r_n}\right}$, a contradiction.
Therefore $l \in K$.

Thus every sequence in $K$ has a subsequence convergent to a point in $K$.

Conversely, suppose that $K$ is a non-empty subset of $\mathbb{R}$ with the property that every sequence in $K$ has a subsequence convergent to a point in $K$. Let $T$ be an infinite subset of $K$.
Let $x_1 \in T, x_2 \in T-\left{x_1\right}, x_3 \in T-\left{x_1, x_2\right}, \ldots \ldots$
Continuing thus we obtain a sequence $\left{x_n\right}$ of distinct elements in $K$. By hypothesis there is a subsequence $\left{x_{r_n}\right}$ which converges to some point $x$ in $K$. Therefore $x$ is a limit point of the set $T$.

Thus $K$ is such that every infinite subset of $K$ has a limit point in $K$ and therefore $K$ is compact.
[Theorem 3.16.4] This completes the proof.

实分析代写

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Subsequential limit

让$\left{u_n\right}$成为一个真实的序列。如果存在一个收敛于$l$的$\left{u_n\right}$子序列，则实数$l$被称为序列$\left{u_n\right}$的子序列极限。

定理5.12.1。实数$l$是数列$\left{u_n\right}$的子序列极限，当且仅当$l$的每个邻域包含数列$\left{u_n\right}$的无穷多个元素。

证明。设$l$为序列$\left{u_n\right}$的子序列极限。然后存在一个子序列$\left{u_{r_n}\right}$，使得$\lim {n \rightarrow \infty} u{r_n}=l$。

让我们选择一个积极的$\epsilon$。那么存在一个自然数$k$，使得$l-\epsilon<u_{r_n}<l+\epsilon$对于所有$n \geq k$。
因此对于无穷多个$n$的值是$l-\epsilon<u_n<l+\epsilon$。
因为$\epsilon$是任意的，所以$l$的每个邻域都包含无穷多个序列$\left{u_n\right}$的元素。

反过来，设序列$\left{u_n\right}$对于每一个预分配的正$\epsilon$, $l$的$\epsilon$ -邻域包含该序列的无穷多个元素。

让$\epsilon=1$。然后$l-1r_1\right)$在$S_2$这样的$l-\frac{1}{2}<u_{r_2}<l+\frac{1}{2}$。

数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Characterisation of a compact set

forem 5.13.1。设$K$为$\mathbb{R}$的非空子集:则$K$是紧的，当且仅当$K$中的每个序列都有收敛于$K$中的一个点的子序列。
证明。设$K$为紧集。设$\left{x_n\right}$为$K$中的一个序列。
因为$K$是紧凑的，所以$K$是一个封闭的集合。由于$\left{x_n\right}$是$K$中的一个序列，因此它是一个有界序列，并且根据Bolzano-Weierstrass定理，它有一个收敛子序列，例如$\left{x_{r_n}\right}$。让$\lim {n \rightarrow \infty} x{r_n}=l$。
我们证明$l \in K$。
让$l \notin K$。然后$l \in \mathbb{R}-K$。因为$K$是一个闭集，所以$\mathbb{R}-K$是一个开集，$l$是$\mathbb{R}-K$的一个内点。所以存在一个$l$的邻域$N(l)$使得$N(l) \subset \mathbb{R}-K$。

因此$N(l)$不包含序列$\left{x_{r_n}\right}$的元素，因此$l$不可能是序列$\left{x_{r_n}\right}$的极限，这是一个矛盾。
因此$l \in K$。

因此，$K$中的每个序列都有一个收敛于$K$中的一个点的子序列。

相反，假设$K$是$\mathbb{R}$的非空子集，其性质是$K$中的每个序列都有收敛到$K$中的一个点的子序列。设$T$是$K$的无限子集。
让$x_1 \in T, x_2 \in T-\left{x_1\right}, x_3 \in T-\left{x_1, x_2\right}, \ldots \ldots$
继续这样，我们得到了$K$中不同元素的序列$\left{x_n\right}$。假设有一个子序列$\left{x_{r_n}\right}$收敛于$K$中的某一点$x$。因此$x$是集合$T$的一个极限点。

因此$K$使得$K$的每一个无限子集在$K$中都有一个极限点，因此$K$是紧致的。
[定理3.16.4]这就完成了证明。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups

Posted on 2023年6月5日2023年6月5日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写黎曼曲面Riemann surface这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写黎曼曲面Riemann surface方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写黎曼曲面Riemann surface代写方面经验极为丰富，各种代写黎曼曲面Riemann surface相关的作业也就用不着说。

我们提供的黎曼曲面Riemann surface及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups

We can now officially define the main object of study of this chapter, one-parameter semigroups on Riemann surfaces.

Definition 5.2.1. Let $X$ be a Riemann surface. A one-parameter semigroup of holomorphic maps (briefly, a one-parameter semigroup) on $X$ is a continuous semigroup homomorphism $\Phi$ from $\mathbb{R}^{+}$to $\operatorname{Hol}(X, X)$ endowed with the composition. A one-parameter group of holomorphic maps on $X$ is a continuous group homomorphism from $(\mathbb{R},+)$ to $\operatorname{Hol}(X, X)$. When $t \in \mathbb{R}^{+}$and $z \in X$, we shall often write $\Phi_t(z)$ or $\Phi(t, z)$ instead of $\Phi(t)(z)$. The trivial one-parameter semigroup is the trivial homomorphism $\Phi_t \equiv \operatorname{id}_X$ for all $t \in \mathbb{R}^{+}$. Finally, we shall say that a nontrivial one-parameter semigroup is periodic if there exists $t_0>0$ such that $\Phi_{t_0} \equiv \mathrm{id}_X$.

Remark 5.2.2. The definition of one-parameter semigroup as a continuous map $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$ has as an immediate consequence the fact that also the map, still denoted by $\Phi$, from $\mathbb{R}^{+} \times X$ to $X$ sending $(t, z)$ in $\Phi_t(z)$ is continuous.

Remark 5.2.3. If $\Phi_{t_0} \equiv \mathrm{id}X$, then $\Phi{k t_0} \equiv \mathrm{id}X$ for all $k \in \mathbb{N}$. Furthermore, if $t>t_0$, writing $t=s+k t_0$ with $k=\left\lfloor t / t_0\right\rfloor \in \mathbb{N}$ and $s \in\left[0, t_0\right)$ we see that $\Phi_t \equiv \Phi_s$, and hence $\Phi$ is completely determined by $\Phi{\left[0, t_0\right]}$.

Our first result shows that not every function can be imbedded in a one-parameter semigroup

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups on Riemann surfaces

The aim of this section is to thoroughly investigate one-parameter semigroups on Riemann surfaces different from the unit disk, postponing the study of one-parameter semigroups on $\mathbb{D}$ to the remaining sections of this chapter.
Our task is made possible by the following.
Proposition 5.3.1. Let $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$ be a one-parameter semigroup on a Riemann surface $X$ with non-Abelian fundamental group. Then $\Phi$ is trivial.
Proof. By Theorem 2.6.2, we should have $\Phi_t \equiv \mathrm{id}_X$ for small $t$, and hence for all $t$.
So, we are left with just a few cases to investigate; let us start with the Riemann sphere.

Proposition 5.3.2. Let $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(\widehat{\mathbb{C}}, \widehat{\mathbb{C}})$ be a nontrivial one-parameter semigroup on the Riemann sphere $\widehat{\mathbb{C}}$. Then $\Phi$ extends to a one-parameter group, still denoted by $\Phi$, and there is $\gamma \in \operatorname{Aut}(\widehat{\mathbb{C}})$ such that either:
(i) $y^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=z+$ at for some $a \in \mathbb{C}^$, or (ii) $\gamma^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=e^{-b t} z$ for some $b \in \mathbb{C}^$.
In case (i), $\Phi$ has a unique fixed point with spectral value 0 and it is never periodic. In case (ii), $\Phi$ has two distinct fixed points with spectral value respectively $\pm b$; moreover, $\Phi$ is periodic if and only if $b \in \mathbb{R}^* i$ and then it has period $2 \pi /|b|$.

Proof. By Propositions 5.2.4 and 5.2.5, $\Phi$ extends to a one-parameter group, because the compactness of $\widehat{\mathbb{C}}$ implies that any injective holomorphic self-map of $\widehat{\mathbb{C}}$ is also surjective, and hence an automorphism.

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups

现在我们可以正式定义本章的主要研究对象，黎曼曲面上的单参数半群。

5.2.1.定义设$X$为黎曼曲面。在$X$上的全纯映射的单参数半群(简称为单参数半群)是一个从$\mathbb{R}^{+}$到$\operatorname{Hol}(X, X)$的具有复合的连续半群同态$\Phi$。$X$上全纯映射的单参数群是从$(\mathbb{R},+)$到$\operatorname{Hol}(X, X)$的连续群同态。当$t \in \mathbb{R}^{+}$和$z \in X$时，我们经常写$\Phi_t(z)$或$\Phi(t, z)$而不是$\Phi(t)(z)$。平凡单参数半群是所有$t \in \mathbb{R}^{+}$的平凡同态$\Phi_t \equiv \operatorname{id}X$。最后，我们将说一个非平凡单参数半群是周期的，如果存在$t_0>0$使得$\Phi{t_0} \equiv \mathrm{id}_X$。

5.2.2.将单参数半群定义为连续映射$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$的直接结果是，在$\Phi_t(z)$中发送$(t, z)$的从$\mathbb{R}^{+} \times X$到$X$的映射(仍然表示为$\Phi$)也是连续的。

5.2.3.如果是$\Phi_{t_0} \equiv \mathrm{id}X$，那么所有的$k \in \mathbb{N}$都是$\Phi{k t_0} \equiv \mathrm{id}X$。此外，如果$t>t_0$，用$k=\left\lfloor t / t_0\right\rfloor \in \mathbb{N}$和$s \in\left[0, t_0\right)$写$t=s+k t_0$，我们看到$\Phi_t \equiv \Phi_s$，因此$\Phi$完全由$\Phi{\left[0, t_0\right]}$决定。

我们的第一个结果表明，不是每个函数都可以嵌入到单参数半群中

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|One-parameter semigroups on Riemann surfaces

本节的目的是深入研究不同于单位盘的黎曼曲面上的单参数半群，将$\mathbb{D}$上的单参数半群的研究推迟到本章的其余部分。
我们的任务是通过以下方式实现的。
提案5.3.1。设$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$为黎曼曲面$X$上具有非阿贝尔基群的单参数半群。那么$\Phi$是微不足道的。
证明。根据定理2.6.2，对于小的$t$，我们应该有$\Phi_t \equiv \mathrm{id}_X$，因此对于所有的$t$。
所以，我们只剩下几个案例需要调查;让我们从黎曼球开始。

提案5.3.2。设$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \operatorname{Hol}(\widehat{\mathbb{C}}, \widehat{\mathbb{C}})$为黎曼球$\widehat{\mathbb{C}}$上的非平凡单参数半群。然后$\Phi$扩展为一个单参数组，仍然用$\Phi$表示，并且$\gamma \in \operatorname{Aut}(\widehat{\mathbb{C}})$使得:
(i) $y^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=z+$ at对于一些$a \in \mathbb{C}^$，或(ii) $\gamma^{-1} \circ \Phi_t \circ \gamma(z)=e^{-b t} z$对于一些$b \in \mathbb{C}^$。
在(i)情况下，$\Phi$有一个唯一的不动点，其谱值为0，且不具有周期性。在情形(ii)中，$\Phi$有两个不同的不动点，其光谱值分别为$\pm b$;而且，$\Phi$是周期的当且仅当$b \in \mathbb{R}^* i$它的周期是$2 \pi /|b|$。

证明。通过命题5.2.4和5.2.5,$\Phi$推广到一个单参数群，因为$\widehat{\mathbb{C}}$的紧性意味着$\widehat{\mathbb{C}}$的任何单射全纯自映射也是满射，因此是自同构。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写