分类: 数学代考

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|МАТН5210

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数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|МАТН5210

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|The Matrix of a Linear Transformation

We end this chapter on a point of great importance: that every linear transformation $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$ amounts to multiplication by a matrix A. In this case, we say that $\mathbf{A}$ represents $T$ :

Definition 5.1. A linear transformation $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$ is represented by a matrix A when we can compute $T$ using multiplication by $\mathbf{A}$. In other words, A represents $T$ when we have
$$
T(\mathbf{x})=\mathbf{A} \mathbf{x}
$$
for all inputs $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$.
As the course proceeds, we’ll learn how to answer almost any question about a linear transformation-like the basic mapping questions listed in Section $3.6$ above – by analyzing the matrix that represents it. We’ll begin acquiring tools for that kind of analysis in Chapter 2. First though, we want to show how to find the matrix that represents a given linear map.
We start with Observation 1.12, which shows how to expand any vector $\mathbf{x}:=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbf{R}^m$ as a linear combination of standard basis vectors in a simple way:
$$
\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2+\cdots+x_m \mathbf{e}_m
$$
If we expand a vector $\mathbf{x}$ this way, and then map it into $\mathbf{R}^n$ using a linear transformation $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$, the linearity rules (Definition 4.1) yield $$
\begin{aligned}
T(\mathbf{x}) & =T\left(x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2+\cdots+x_m \mathbf{e}_m\right) \
& =T\left(x_1 \mathbf{e}_1\right)+T\left(x_2 \mathbf{e}_2\right)+\cdots+T\left(x_m \mathbf{e}_m\right) \
& =x_1 T\left(\mathbf{e}_1\right)+x_2 T\left(\mathbf{e}_2\right)+\cdots+x_m T\left(\mathbf{e}_m\right)
\end{aligned}
$$
This reveals a powerful fact:

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|The Linear System

We now begin to focus on answering the basic mapping questions for linear transformations; that is, for linear mappings
$$
T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n
$$
As we observed in Theorem 5.6, every linear transformation is represented by a matrix, via matrix/vector multiplication. Specifically, we have the formula
$$
T(\mathbf{x})=\mathbf{A} \mathbf{x}
$$
where $\mathbf{A}$ is the matrix whose columns are given by the $T\left(\mathbf{e}_j\right)$ ‘s. For this reason, we can usually reduce questions about the mapping $T$ to calculations involving the matrix $\mathbf{A}$.
In this chapter, we focus on the question of pre-image:
Problem: Given a linear transformation $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$, and a point $\mathbf{b}$ in the range of $T$ how can we find all points in the pre-image $T^{-1}(\mathbf{b})$.

Since every linear map amounts to multiplication by a matrix (and conversely, multiplication by any matrix A defines a linear map), finding $T^{-1}(\mathbf{b})$ is the same as solving $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ for $\mathbf{x}$. When $T$ is represented by $\mathbf{A}$, we have $T(\mathbf{x})=\mathbf{A} \mathbf{x}$, so the Problem above is exactly the same as this equivalent problem: Given an $n \times m$ matrix $\mathbf{A}$, and a vector $\mathbf{b} \in \mathbf{R}^n$, how can we find every $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$ that solves the matrix/vector equation
$$
\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}
$$
This statement of the problem is nice and terse, but to solve it, we first need to expand its symbols in terms of matrix entries and coordinates. We start with $\mathbf{A}$.

As an $n \times m$ matrix, A has $n$ rows and $m$ columns. Doublesubscripting its entries in the usual way,

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|МАТН5210

几何变换代考

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|The Matrix of a Linear Transformation

我们以一个非常重要的观点结束本章: 每一个线生变换 $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$ 相当于乘以矩阵 $\mathrm{A}_{\circ}$ 在这种情况下,我们说 $\mathbf{A}$ 代表 $T$ :
定义 5.1。线性变换 $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$ 当我们可以计算时,由矩阵 A 表示 $T$ 使用乘法 $\mathbf{A}$. 换句话 说,A代表 $T$ 当我们有
$$
T(\mathbf{x})=\mathbf{A x}
$$
对于所有输入 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$.
随着课程的进行,我们将学习如何回答几乎所有关于线性变换的问题一一比如第节中列出的基 本映射问题3.6上面一一通过分析代表它的矩阵。我们将在第 2 章开始获取用于此类分析的工 具。不过,首先,我们想展示如何找到表示给定线性映射的矩阵。
我们从观察 $1.12$ 开始,它展示了如何展开任何向量 $\mathbf{x}:=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbf{R}^m$ 以简单的 方式作为标准基向量的线性组合:
$$
\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2+\cdots+x_m \mathbf{e}_m
$$
如果我们展开一个向量 $\mathbf{x}$ 这样,然后映射到 $\mathbf{R}^n$ 使用线生变换 $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$ ,线性规则(定 义 4.1)产生
$$
T(\mathbf{x})=T\left(x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2+\cdots+x_m \mathbf{e}_m\right) \quad=T\left(x_1 \mathbf{e}_1\right)+T\left(x_2 \mathbf{e}_2\right)+\cdots+T\left(x_m\right.
$$
这揭示了一个强有力的事实:

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|The Linear System

我们现在开始专注于回答线性变换的基本映射问题; 也就是说,对于线生映射
$$
T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n
$$
正如我们在定理 $5.6$ 中观察到的,每个线性变换都通过矩阵/向量乘法由矩阵表示。具体来 说,我们有公式
$$
T(\mathbf{x})=\mathbf{A} \mathbf{x}
$$
在哪里 $\mathbf{A}$ 是矩阵,其列由 $T\left(\mathbf{e}_j\right)$ 的。出于这个原因,我们通常可以减少有关映射的问题 $T$ 涉及 矩阵的计算 $\mathbf{A}$.
在本章中,我们关注原像的问题:
问题: 给定一个线性变换 $T: \mathbf{R}^m \rightarrow \mathbf{R}^n$ ,和一个点 $\mathbf{b}$ 在范围内 $T$ 我们如何找到原像中的所有 点 $T^{-1}(\mathbf{b})$.
由于每个线性映射相当于乘以一个矩阵(相反,乘以任何矩阵 $A$ 定义一个线性映射),发现 $T^{-1}(\mathbf{b})$ 和求解一样 $T(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ 为了 $\mathbf{x}$. 什么时候 $T$ 代表 $\mathbf{A}$ ,我们有 $T(\mathbf{x})=\mathbf{A} \mathbf{x}$ ,所以上面 的问题与这个等价问题完全相同: 给定一个 $n \times m$ 矩阵 $\mathbf{A}$, 和一个向量 $\mathbf{b} \in \mathbf{R}^n$ ,我们怎样才 能找到每一个 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$ 求解矩阵/向量方程
$$
\mathbf{A x}=\mathbf{b}
$$
这个问题的陈述简洁明了,但要解决它,我们首先需要根据矩阵条目和坐标扩展它的符号。我 们从 $\mathbf{A}$.
作为一个 $n \times m$ 矩阵,A有 $n$ 行和 $m$ 列。以通常的方式对其条目进行双重订阅,

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH319

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数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH319

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Mappings and Transformations

The functions we study in Linear Algebra usually have domains and/or ranges in one of the numeric vector spaces $\mathbf{R}^n$ we introduced in Section 1.

DEFINITION 3.1. A function with numeric vector inputs or outputs is called a mapping or transformation – synonymous terms. A mapping, or transformation is thus simply a function described by a diagram of the form
$$
F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m
$$
where $n>1$ and/or $m>1$. Typically, we use uppercase letters like $F$, $G$, or $H$ to label mappings, and from now on, we try to reserve the word function for the case of scalar outputs $(m=1)$.
Example 3.2. A simple mapping
$$
J: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2
$$
is given by the rule
$$
J(x, y)=(-y, x)
$$
This formula makes it easy to compute $J(x, y)$ for any specific input $(x, y) \in \mathbf{R}^2$. For instance, we have
$$
J(1,2)=(-2,1), \quad J(-3,5)=(-5,-3), \quad \text { and } \quad J(0,0)=(0,0)
$$
Is $J$ one-to-one and/or onto? We leave that as part of Exercise 32 below.

While the domain and range of $J$ are the same, other mappings often have domains and ranges that differ, as the following examples illustrate.
Example $3.3$. The rule
$$
F(x, y, z, w)=(x-y, z+w)
$$
has four scalar entries in its input, but only two in its output.

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Linearity

Recall that both scalar multiplication and matrix/vector multiplication distribute over vector addition (Propositions $1.6$ and 1.25). The definition of linearity generalizes those distributivity rules:

Definition 4.1. A mapping $F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ is linear if it has both these properties:
i) F commutes with vector addition, meaning that for any two inputs $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^m$, we have
$$
F(\mathbf{x}+\mathbf{y})=F(\mathbf{x})+F(\mathbf{y})
$$
ii) $F$ commutes with scalar multiplication, meaning that for any input $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$ and any scalar $c \in \mathbf{R}$, we have
$$
F(c \mathbf{x})=c F(\mathbf{x})
$$
Linear mappings are often called linear transformations, and for this reason the favorite symbol for a linear mapping is the letter $T$.
ExAmple $4.2$. The mapping $T: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2$ given by
(2) $T(a, b)=(2 b, 3 a)$
is linear.
To verify this, we have to show that $T$ has both properties in Definition $4.1$ above.

First property: $T$ commutes with addition: We have to show that for any two vectors $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2\right)$, and $\mathbf{y}=\left(y_1, y_2\right)$, we have
(3) $\quad T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})$
We do so by expanding each side of the equation separately in coordinates, and checking that they give the same result. On the left, we have
$$
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\left(\left(\begin{array}{l}
x_1 \
x_2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
y_1 \
y_2
\end{array}\right)\right)=T\left(x_1+y_1, x_2+y_2\right)
$$
and now the rule for $T$, namely (2), reduces this to $T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\left(2\left(x_2+y_2\right), 3\left(x_1+y_1\right)\right)=\left(2 x_2+2 y_2, 3 x_1+3 y_1\right)$

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH319

几何变换代考

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Mappings and Transformations

我们在线性代数中学习的函数通常在一个数值向量空间中有定义域和/或范围 $\mathbf{R}^n$ 我们在第 1 节 中介绍过。
定义 3.1。具有数字向量输入或输出的函数称为映射或变换一一同义词。因此,映射或转换只 是一个由形式图描述的函数
$$
F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m
$$
在哪里 $n>1$ 和/或 $m>1$. 通常,我们使用大写字母,例如 $F , G$ , 或者 $H$ 标记映射,从现在 开始,我们尝试为标量输出的情况保留词函数 $(m=1)$.
示例 3.2。一个简单的映射
$$
J: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2
$$
由规则给出
$$
J(x, y)=(-y, x)
$$
这个公式很容易计算 $J(x, y)$ 对于任何特定的输入 $(x, y) \in \mathbf{R}^2$. 例如,我们有
$$
J(1,2)=(-2,1), \quad J(-3,5)=(-5,-3), \quad \text { and } \quad J(0,0)=(0,0)
$$
是 $J$ 一对一和/或到? 我们将其作为下面练习 32 的一部分。
而领域和范围 $J$ 相同,其他映射通常具有不同的域和范围,如以下示例所示。 例子 $3.3$. 规则
$$
F(x, y, z, w)=(x-y, z+w)
$$
输入中有四个标量条目,但输出中只有两个。

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Linearity

回想一下,标量乘法和矩阵/向量乘法都分布在向量加法上(命题1.6和 1.25)。线性的定义概 括了这些分配规则:
定义 4.1。映射 $F: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ 如果它同时具有以下两个属性,则它是线性的:
i) $F$ 通过矢量加法交换,这意味着对于任何两个输入 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^m$ ,我们有
$$
F(\mathbf{x}+\mathbf{y})=F(\mathbf{x})+F(\mathbf{y})
$$
二) $F$ 与标量乘法交换,这意味着对于任何输入 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^m$ 和任何标量 $c \in \mathbf{R}$ ,我们有
$$
F(c \mathbf{x})=c F(\mathbf{x})
$$
线性映射通常称为线性变换,因此线性映射最喜欢的符号是字母 $T$.
例子 $4.2$. 映射 $T: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2$ 由
(2)给出 $T(a, b)=(2 b, 3 a)$
是线性的。
为了验证这一点,我们必须证明 $T$ 在定义中具有两个属性 $4.1$ 多于。
第一个属性: $T$ 与加法通勤: 我们必须证明对于任何两个向量 $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2\right)$ ,和 $\mathbf{y}=\left(y_1, y_2\right)$, 我们有
(3) $T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})$
我们通过在坐标中分别展开等式的每一边,并检查它们是否给出相同的结果来做到这一点。在 左边,我们有
$$
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\left(\left(x_1 x_2\right)+\left(y_1 y_2\right)\right)=T\left(x_1+y_1, x_2+y_2\right)
$$
现在的规则 $T$ ,即 (2),将其简化为
$$
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\left(2\left(x_2+y_2\right), 3\left(x_1+y_1\right)\right)=\left(2 x_2+2 y_2, 3 x_1+3 y_1\right)
$$

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Numeric Vectors

The overarching goal of this book is to impart a sure grasp of the numeric vector functions known as linear transformations. Students will have encountered functions before. We review and expand that familiarity in Section 2 below, and we define linearity in Section 4. Before we can properly discuss these matters though, we must introduce numeric vectors and their basic arithmetic.

DEfinition $1.1$ (Vectors and scalars). A numeric vector (or just vector for short) is an ordered $n$-tuple of the form $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. Here, each $x_i$-the $i$ th entry (or $i$ th coordinate) of the vector-is a real number.

The $(x, y)$ pairs often used to label points in the plane are familiar examples of vectors with $n=2$, but we allow more than two entries as well. For instance, the triple $(3,-1 / 2,2)$, and the 7-tuple $(1,0,2,0,-2,0,-1)$ are also numeric vectors.
In the linear algebraic setting, we usually call single numbers scalars. This helps highlight the difference between numeric vectors and individual numbers.

Vectors can have many entries, so to clarify and save space, we often label them with single bold letters instead of writing out all their entries. For example, we might define
$$
\begin{aligned}
\mathbf{x} & :=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \
\mathbf{a} & :=\left(a_1, a_2, a_3, a_4\right) \
\mathbf{b} & :=(-5,0,1)
\end{aligned}
$$
and then use $\mathbf{x}$, a, or $\mathbf{b}$ to indicate the associated vector. We use boldface to distinguish vectors from scalars. For instance, the same letters, without boldface, would typically represent scalars, as in $x=5$, $a=-4.2$, or $b=\pi$.
Often, we write numeric vectors vertically instead of horizontally, in which case $\mathbf{x}, \mathbf{a}$, and $\mathbf{b}$ above would look like this:

$$
\mathbf{x}=\left(\begin{array}{r}
x_1 \
x_2 \
\vdots \
x_m
\end{array}\right), \quad \mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \
a_2 \
a_3 \
a_4
\end{array}\right), \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{r}
-5 \
0 \
1
\end{array}\right)
$$
In our approach to the subject (unlike some others) we draw absolutely no distinction between
$$
\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \text { and }\left(\begin{array}{r}
x_1 \
x_2 \
\vdots \
x_n
\end{array}\right)
$$
These are merely different notations for the same vector – the very same mathematical object.

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Functions

Now that we’re familiar with numeric vectors and matrices, we can consider vector functions – functions that take numeric vectors as inputs and produce them as outputs. The ultimate goal of this book is to give students a detailed understanding of linear vector functions, both algebraically, and geometrically. Here and in Section 3, we lay out the basic vocabulary for the kinds of questions one seeks to answer for any vector function, linear or not. Then, in Section 4, we introduce linearity, and with these building blocks all in place, we can at least state the main questions we’ll be answering in later chapters.
2.1. Domain, image, and range. Roughly speaking, a function is an input-output rule. Here is is a more precise formal definition.
DEFINITION 2.2. A function is an input/output relation specified by three data:
i) A domain set $X$ containing all allowed inputs,
ii) A range set $Y$ containing all allowed outputs, and
iii) A rule $f$ that assigns exactly one output $f(x)$ to every input $x$ in the domain.

We typically signal all three of these at once with a simple diagram like this:
$$
f: X \rightarrow Y
$$
For instance, if we apply the rule $T(x, y)=x+y$ to any input pair $(x, y) \in \mathbf{R}^2$, we get a scalar output in $\mathbf{R}$, and we can summarize this situation by writing $T: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$.

Technically, function and mapping are synonyms, but we will soon reserve the term function for the situation where (as with $T$ above) the range is just $\mathbf{R}$. When the range is $\mathbf{R}^n$ for some $n>1$, we typically prefer the term mapping or transformation.

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|MATH312

几何变换代考

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Numeric Vectors

本书的首要目标是传授对称为线性变换的数值向量函数的可靠掌握。学生以前会遇到函数。我 们在下面的第 2 节中回顾和扩展这种熟悉程度,并在第 4 节中定义线性。不过,在我们可以正 确讨论这些问题之前,我们必须介绍数值向量及其基本算法。
定义 $1.1$ (矢量和标量)。数字向量 (或简称向量) 是有序的 $n$-形式的元组 $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. 在这里,每一个 $x_i$-这 $i$ 第条目(或 $i$ 向量的第坐标) 是一个实数。
这 $(x, y)$ 通常用于标记平面中的点的对是向量的常见示例 $n=2$, 但我们也允许两个以上的条 目。例如,三元组 $(3,-1 / 2,2)$ ,和 7 元组 $(1,0,2,0,-2,0,-1)$ 也是数值向量。
在线性代数设置中,我们通常称单数标量。这有助于突出数字向量和单个数字之间的差异。
矢量可以有很多条目,所以为了清楚和节省空间,我们通常用单个粗体字母标记它们,而不是 写出所有条目。例如,我们可以定义
$$
\mathbf{x}:=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \mathbf{a} \quad:=\left(a_1, a_2, a_3, a_4\right) \mathbf{b}:=(-5,0,1)
$$
然后使用 $\mathbf{x}$ ,一个,或b表示相关的向量。我们使用粗体来区分向量和标量。例如,没有粗体 的相同字母通常表示标量,如 $x=5, a=-4.2$ ,或者 $b=\pi$.
通常,我们垂直而不是水平地写数字向量,在这种情况下 $\mathbf{x}, \mathbf{a}$ ,和 $\mathbf{b}$ 上面看起来像这样:
$$
\mathbf{x}=\left(x_1 x_2 \vdots x_m\right), \quad \mathbf{a}=\left(a_1 a_2 a_3 a_4\right), \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{lll}
-5 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
在我们处理该主题的方法中(与其他一些方法不同),我们绝对不区分
$$
\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \text { and }\left(x_1 x_2 \vdots x_n\right)
$$
这些只是同一个向量的不同符号一一同一个数学对象。

数学代写|几何变换代写transformation geometry代考|Functions

现在我们已经熟悉了数值向量和矩阵,我们可以考虑向量函数一一将数值向量作为输入并将其 作为输出的函数。本书的最终目标是让学生从代数和几何角度详细了解刬性向量函数。在这里 和第 3 节中,我们列出了人们试图针对任何向量函数 (无论是否为线性) 回答的各种问题的基 本词汇。然后,在第 4 节中,我们介绍了线性,有了这些构建块,我们至少可以陈述我们将在 后面的章节中回答的主要问题。
2.1. 域 图像和范围。粗略地说,一个函数就是一个输入输出规则。这是一个更精确的正式定 义
定义 2.2。 函数是由三个数据指定的输入/输出关系:
i) 域集 $X$ 包含所有允许的输入,
ii) 范围集 $Y$ 包含所有允许的输出,以及
iii) 规则 $f$ 恰好分配一个输出 $f(x)$ 对每个输入 $x$ 在域中。
我们通常使用如下简单的图表同时发出所有这三个信号:
$$
f: X \rightarrow Y
$$
例如,如果我们应用规则 $T(x, y)=x+y$ 任何输入对 $(x, y) \in \mathbf{R}^2$ , 我们得到一个标量输出 $\mathbf{R}$ ,我们可以通过写作来总结这种情况 $T: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$. 围只是 $\mathbf{R}$. 当范围是 $\mathbf{R}^n$ 对于一些 $n>1$ ,我们通常更喜欢术语映射或转换。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2050

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数学分析学是数学的一个分支,涉及连续函数、极限和相关理论,如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2050

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Power Series

Let $a_k, k=0,1,2, \ldots$, be a sequence of real numbers. The series of functions
$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_k x^k+\ldots
$$
is called power series with coefficients $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$
A power series satisfies one of the following:
(i) the series converges only at $x=0$;
(ii) the series converges at any $x \in \mathbb{R}$;
(iii) there exists a real number $\varrho>0$ such that the series converges for $|x|<\varrho$ and does not converge for $|x|>\varrho$.

In particular, the convergence set of the power series (1.24), i.e. the set of points $x \in \mathbb{R}$ at which (1.24) converges, is an interval centred at the origin, namely: just ${0}$ in case (i), the whole $\mathbb{R}$ in case (ii), and an interval between $-\varrho, \varrho$ in case (iii). To prove these claims let us begin with the following result.

Theorem 1 If the power series (1.24) converges at some $\xi \neq 0$, it converges totally on any closed, bounded interval contained in $(-|\xi|,|\xi|)$.
Proof The convergence of the numerical series
$$
a_0+a_1 \xi+a_2 \xi^2+\ldots+a_k \xi^k+\ldots
$$
implies that the sequence $a_k \xi^k$ is infinitesimal as $k \rightarrow+\infty$, and hence bounded. Put equivalently, there exists $M>0$ such that
$$
\left|a_k \xi^k\right| \leq M, \quad \forall k \in \mathbb{N} .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Taylor Series

Let $f(x)$ be a real function defined on an interval $(a, b)$ in $\mathbb{R}$ and let $x_0 \in(a, b)$ be a point. We seek to establish whether there exists a power series centred at $x_0$ that converges on $(a, b)$ to $f$, which is usually phrased by saying that $f$ can be expanded in power series around $x_0$ on the interval $(a, b)$.
The first result in this direction goes as follows.
Theorem 1 If the power series
$$
\sum_{k=0}^{\infty} a_k\left(x-x_0\right)^k
$$
has convergence radius $\varrho>0$, its sum $f(x)$ is differentiable infinitely many times for $\left|x-x_0\right|<Q$. and for any $m \in \mathbb{N}$ the mth derivative equals
$$
f^{(m)}(x)=\sum_{k=m}^{\infty} k(k-1) \cdots(k-m+1) a_k\left(x-x_0\right)^{k-m}
$$
Furthermore, $f$ admits a series expansion of the form
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k
$$
Proof Formula (1.36) arises by repeatedly applying Theorem 6 of the previous section (in particular, the theorem on differentiating power series). Putting $x=x_0$ in (1.36), all terms after the first vanish, and $f^{(m)}\left(x_0\right)=m ! a_m$ for every $m \in \mathbb{N}$. Substituting $a_k=f^{(k)}\left(x_0\right) / k$ ! in (1.35) gives (1.37).

By Theorem 1 we know that if $f$ can be expanded in power series around $x_0$ on $(a, b)$, then on some neighbourhood of $x_0$ inside $(a, b)$, of the form $\left|x-x_0\right|<\varrho$, we necessarily have that
(i) $f$ is differentiable infinitely many times when $\left|x-x_0\right|<\varrho$;

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2050

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Power Series

让 $a_k, k=0,1,2, \ldots$, 是一个实数序列。系列功能
$$
a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_k x^k+\ldots
$$
称为带系数的幂级数 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots$
幂级数满足以下条件之一:
(i) 该级数仅收敛于 $x=0$;
(ii) 该系列收敛于任何 $x \in \mathbb{R}$;
(iii) 存在实数 $\varrho>0$ 使得该系列收敛于 $|x|<\varrho$ 并且不收敛于 $|x|>\varrho$.
特别地,幂级数 (1.24) 的收敛集,即点集 $x \in \mathbb{R}(1.24)$ 收敛的是一个以原点为中心的区间,即: 0 在情 况 (i) 中,整个 $\mathbb{R}$ 在情况 (ii) 中,以及之间的间隔一 $\varrho, \varrho$ 在情况 (iii) 中。为了证明这些说法,让我们从以 下结果开始。
定理 1 如果幂级数 (1.24) 收敛于某一点 $\xi \neq 0$ ,它完全收敛于包含在 $(-|\xi|,|\xi|)$.
证明数列的收敛性
$$
a_0+a_1 \xi+a_2 \xi^2+\ldots+a_k \xi^k+\ldots
$$
意味着序列 $a_k \xi^k$ 是无限小的 $k \rightarrow+\infty$ ,因此有界。等价地说,存在 $M>0$ 这样
$$
\left|a_k \xi^k\right| \leq M, \quad \forall k \in \mathbb{N}
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Taylor Series

让 $f(x)$ 是定义在区间上的实函数 $(a, b)$ 在 $\mathbb{R}$ 然后让 $x_0 \in(a, b)$ 成为一个点。我们试图确定是否存在以以 下为中心的幂级数 $x_0$ 收敛于 $(a, b)$ 到 $f$ ,这通常是这样说的 $f$ 可以围绕幂级数展开 $x_0$ 在间隔上 $(a, b)$. 这个方向的第一个结果如下。
定理 1 如果幂级数
$$
\sum_{k=0}^{\infty} a_k\left(x-x_0\right)^k
$$
有收敛半径 $\varrho>0$, 它的总和 $f(x)$ 可微分无数次 $\left|x-x_0\right|<Q$. 对于任何 $m \in \mathbb{N m}$ 阶导数等于
$$
f^{(m)}(x)=\sum_{k=m}^{\infty} k(k-1) \cdots(k-m+1) a_k\left(x-x_0\right)^{k-m}
$$
此外, $f$ 承认形式的一系列扩展
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k
$$
证明公式 (1.36) 是通过重复应用上一节的定理 6 (特别是关于微分幂级数的定理) 而产生的。推杆 $x=x_0$ 在 (1.36) 中,第一项之后的所有项都消失了,并且 $f^{(m)}\left(x_0\right)=m ! a_m$ 每一个 $m \in \mathbb{N}$. 代入 $a_k=f^{(k)}\left(x_0\right) / k !$ 在 (1.35) 中给出 (1.37)。
由定理 1 我们知道如果 $f$ 可以围绕幂级数展开 $x_0$ 在 $(a, b)$ ,然后在 $x_0$ 里面 $(a, b)$ ,形式 $\left|x-x_0\right|<\varrho$, 我 们必然有
(i) $f$ 可微分无数次当 $\left|x-x_0\right|<\varrho$;

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Uniform Convergence and Monotonicity

In this section we shall discuss two classical results regarding uniform convergence under a monotonicity hypothesis. The first theorem (by Dini) assumes monotonicity in the parameter $k$, the second one supposes monotonicity in the variable $x$.

Theorem 1 (Dini) Let $I=[a, b]$ be a closed and bounded interval and consider a sequence $f_k: I \rightarrow \mathbb{R}$ of continuous functions, monotone in $k$ (for instance, increasing: $f_k(x) \leq f_{k+1}(x)$ for any $\left.k \in \mathbb{N}, x \in I\right)$, and pointwise convergent on $[a, b]$ to some continuous function $f$. Then $f_k$ converges uniformly to $f$ on $[a, b]$.
Proof Consider, for example, an increasing sequence $f_k$, that is to say $f_k(x) \leq$ $f_{k+1}(x) \leq f(x)$ for any $k \in \mathbb{N}$ and any $x \in I=[a, b]$.

Suppose, by contradiction, that $f_k$ does not converge uniformly to $f$ on $[a, b]$. This means there exists $\varepsilon_0>0$ such that for any $v \in \mathbb{N}$ we can find $k>v$ and $x \in[a, b]$ for which
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|=f(x)-f_k(x) \geq \varepsilon_0 .
$$
Hence for any $v=h \in \mathbb{N}$, there exist $k_h \rightarrow+\infty$ and $x_h \in[a, b]$ such that
$$
f\left(x_h\right)-f_{k_h}\left(x_h\right) \geq \varepsilon_0 .
$$
But the monotonicity of $f_k$ in $k$ forces $f_{k_h} \geq f_i$ when $k_h \geq i$. So we obtain
$$
f\left(x_h\right)-f_i\left(x_h\right) \geq \varepsilon_0, \quad \forall h \in \mathbb{N}, \quad \forall i \leq k_h .
$$
The sequence $x_h$, being bounded, admits a subsequence $x_{h_j}$ converging to a point $x_0$ of the interval $[a, b]$. Taking the limit as $j \rightarrow+\infty$ in
$$
f\left(x_{h_j}\right)-f_i\left(x_{h_j}\right) \geq \varepsilon_0, \quad \forall h_j \in \mathbb{N}, \quad \forall i \leq k_{h_j},
$$
due to the continuity of $f$ and $f_i$ we have
$$
f\left(x_0\right)-f_i\left(x_0\right) \geq \varepsilon_0 \quad \forall i \in \mathbb{N} .
$$
Taking the limit when $i \rightarrow+\infty$ we reach the contradiction $0 \geq \varepsilon_0$.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Series of Functions

If $f_k$ is a sequence of real functions defined on the subset $I$ of $\mathbb{R}$, we indicate by $s_k$ the sequence of partial sums
$$
\begin{aligned}
& s_1=f_1 \
& s_2=f_1+f_2 \
& \ldots \ldots \ldots \
& s_k=f_1+f_2+\ldots+f_k \
& \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{aligned}
$$
The sequence of functions $s_k$ is called series (of functions) with general term $f_k$, and we shall also use for it the expression
$$
f_1+f_2+\ldots+f_k+\ldots
$$
If, for any $x \in I$, the numerical series with general term $f_k(x)$
$$
f_1(x)+f_2(x)+\ldots+f_k(x)+\ldots
$$
is convergent, i.e. if the sequence $s_k(x)$ converges (it has finite limit) for every $x \in I$, one says that the series of functions (1.18) converges pointwise on $I$.

When the sequence of functions $s_k$ converges uniformly on $I$, we say the series of functions (1.18) converges uniformly on $I$. In either case, the limit of $s_k$ as $k \rightarrow+\infty$ is called sum of the series of general term $f_k$, and we denote it by
$$
\sum_{k=1}^{\infty} f_k
$$
At times, (1.19) also indicates the series of general term $f_k$, apart from its sum. Often, as in the case of numerical series, one uses distinct summation indices for a series’ general term and (for example) the sequence of partial sums of a convergent series:
$$
\begin{aligned}
s_k & =\sum_{i=1}^k f_i, \quad \forall k \in \mathbb{N} \
f & =\lim {k \rightarrow+\infty} s_k=\lim {k \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^k f_i=\sum_{i=1}^{\infty} f_i
\end{aligned}
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2060

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Uniform Convergence and Monotonicity

在本节中,我们将讨论关于单调性假设下一致收敛的两个经典结果。第一个定理(由 Dini 提出)假定参 数的单调性 $k$ ,第二个假设变量的单调性 $x$.
定理 1 (Dini) 让 $I=[a, b]$ 是一个封闭的有界区间并考虑一个序列 $f_k: I \rightarrow \mathbb{R}$ 的连续函数,单调在 $k$ (例 如,增加: $f_k(x) \leq f_{k+1}(x)$ 对于任何 $\left.k \in \mathbb{N}, x \in I\right)$ ,并且逐点收敛于 $[a, b]$ 到某个连续函数 $f$. 然后 $f_k$ 一致地收敛于 $f$ 在 $[a, b]$.
证明 例如,考虑一个递增序列 $f_k$ ,也就是说 $f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \leq f(x)$ 对于任何 $k \in \mathbb{N}$ 和任何 $x \in I=[a, b]$
假设,自相矛盾, $f_k$ 不一致地收敛到 $f$ 在 $[a, b]$. 这意味着存在 $\varepsilon_0>0$ 这样对于任何 $v \in \mathbb{N}$ 我们可以找 $k>v$ 和 $x \in[a, b]$ 为了哪个
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|=f(x)-f_k(x) \geq \varepsilon_0 .
$$
因此对于任何 $v=h \in \mathbb{N}$ ,存在 $k_h \rightarrow+\infty$ 和 $x_h \in[a, b]$ 这样
$$
f\left(x_h\right)-f_{k_h}\left(x_h\right) \geq \varepsilon_0 .
$$
但是单调性 $f_k$ 在 $k$ 军队 $f_{k_h} \geq f_i$ 什么时候 $k_h \geq i$. 所以我们得到
$$
f\left(x_h\right)-f_i\left(x_h\right) \geq \varepsilon_0, \quad \forall h \in \mathbb{N}, \quad \forall i \leq k_h .
$$
序列 $x_h$ ,有界, 承认子序列 $x_{h_j}$ 收敛于一点 $x_0$ 间隔的 $[a, b]$. 取极限为 $j \rightarrow+\infty$ 在
$$
f\left(x_{h_j}\right)-f_i\left(x_{h_j}\right) \geq \varepsilon_0, \quad \forall h_j \in \mathbb{N}, \quad \forall i \leq k_{h_j},
$$
由于连续性 $f$ 和 $f_i$ 我们有
$$
f\left(x_0\right)-f_i\left(x_0\right) \geq \varepsilon_0 \quad \forall i \in \mathbb{N} .
$$
取极限时 $i \rightarrow+\infty$ 我们遇到了矛盾 $0 \geq \varepsilon_0$.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Series of Functions

如果 $f_k$ 是在子集上定义的一系列实函数 $I$ 的 $\mathbb{R}$ ,我们表示 $s_k$ 部分和的序列
$$
s_1=f_1 \quad s_2=f_1+f_2 \ldots \ldots . \quad s_k=f_1+f_2+\ldots+f_k \ldots \ldots \ldots \ldots
$$
函数的顺序 $s_k$ 称为系列 (函数),具有通用术语 $f_k$ ,我们也将为它使用表达式
$$
f_1+f_2+\ldots+f_k+\ldots
$$
如果,对于任何 $x \in I$ ,具有通项的数列 $f_k(x)$
$$
f_1(x)+f_2(x)+\ldots+f_k(x)+\ldots
$$
是收敛的,即如果序列 $s_k(x)$ 对每个收敛(它有有限的限制) $x \in I$ ,表示函数级数 (1.18) 逐点收敛于 $I$.
当函数序列 $s_k$ 均匀收敛于 $I$ ,我们说函数级数 (1.18) 一致收敛于 $I$. 在任何一种情况下,限制 $s_k$ 作为 $k \rightarrow+\infty$ 称为通项级数的和 $f_k$ ,我们用
$$
\sum_{k=1}^{\infty} f_k
$$
有时,(1.19) 也表示一般项的系列 $f_k$ ,除了它的总和。通常,在数值级数的情况下,人们对级数的一般项 和 (例如) 收敛级数的部分和序列使用不同的求和指数:
$$
s_k=\sum_{i=1}^k f_i, \quad \forall k \in \mathbb{N} f \quad=\lim k \rightarrow+\infty s_k=\lim k \rightarrow+\infty \sum_{i=1}^k f_i=\sum_{i=1}^{\infty} f_i
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH307

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数学分析学是数学的一个分支,涉及连续函数、极限和相关理论,如微分、积分、度量、无限序列、数列和分析函数。

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数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH307

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Sequences of Functions: Pointwise and Uniform Convergence

Let $I$ be a set of real numbers and $f_k: I \rightarrow \mathbb{R}$ a sequence of real functions defined on $I$. One says that $f_k$ converges to the function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ pointwise on $I$ whenever
$$
\lim {k \rightarrow+\infty} f_k(x)=f(x), \quad \forall x \in I . $$ In other words, if for any $\varepsilon>0$ and any $x \in I$ there exists $v{\varepsilon, x} \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \quad \forall k>v_{\varepsilon, x} .
$$
In general, given $\varepsilon>0$, the number $v_{\varepsilon, x}$ depends on the point $x$; if, instead, this number is independent of $x$, one speaks of uniform convergence.

Precisely, we say that $f_k$ converges uniformly on $I$ to $f$ if, for any $\varepsilon>0$, there exists $v_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \quad \forall k>v_{\varepsilon}, \quad \forall x \in I .
$$
Equivalently, $f_k$ converges uniformly on $I$ to $f$ if, for any $\varepsilon>0$, there exists $v_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ such that
$$
\sup \left{\left|f_k(x)-f(x)\right|: x \in I\right}<\varepsilon, \quad \forall k>v_{\varepsilon} .
$$
Another way to express the same is saying that $f_k$ converges uniformly on $I$ to $f$ if the following condition on the limit of a numerical sequence holds
$$
\lim _{k \rightarrow+\infty} \sup \left{\left|f_k(x)-f(x)\right|: x \in I\right}=0 .
$$

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|First Theorems on Uniform Convergence

Let us start by describing the continuity property of the uniform limit of continuous functions. Suppose $f_k: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is a sequence of continuous functions on the subset $I$ of $\mathbb{R}$, and assume that $f_k$ converges uniformly on $I$ to the function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$; we shall prove that $f$ is continuous on $I$. Observe that this result does not hold if we only assume that $f_k$ converges to $f$ pointwise. This is what happens, for instance, in Example 2 of the previous section, where the discontinuous function (1.2) is the pointwise limit of the sequence of continuous functions (1.1).
Theorem (Continuity of Limits) Let $f_k: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a sequence of continuous functions that converges uniformly on I to the function $f$. Then $f$ is continuous.

Proof Let us verify that $f$ is continuous at $x_0$, for any given $x_0 \in I$. By the uniform convergence hypothesis, given $\varepsilon>0$, there exists $v$ such that
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \quad \forall k>v, \quad \forall x \in I .
$$
Let us choose $k_0>v$; then clearly for any $x \in I$ we have
$$
\begin{aligned}
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right| & \leq\left|f(x)-f_{k_0}(x)\right|+\left|f_{k_0}(x)-f_{k_0}\left(x_0\right)\right|+\left|f_{k_0}\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\right| \leq \
& <\varepsilon+\left|f_{k_0}(x)-f_{k_0}\left(x_0\right)\right|+\varepsilon . \end{aligned} $$ Because of the continuity of $f_{k_0}$ it is possible to find $\delta>0$ such that
$$
x \in I, \quad\left|x-x_0\right|<\delta \Rightarrow\left|f_{k_0}(x)-f_{k_0}\left(x_0\right)\right|<\varepsilon
$$
and so for $x \in I,\left|x-x_0\right|<\delta$, we obtain
$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<3 \varepsilon .
$$
More generally, we have the following result.

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH307

数学分析代考

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Sequences of Functions: Pointwise and Uniform Convergence

让 $I$ 是一组实数并且 $f_k: I \rightarrow \mathbb{R}$ 定义的一系列实函数 $I$. 有人说 $f_k$ 收玫于函数 $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ 逐点上 $I$ 每当
$$
\lim k \rightarrow+\infty f_k(x)=f(x), \quad \forall x \in I .
$$
换句话说,如果对于任何 $\varepsilon>0$ 和任何 $x \in I$ 那里存在 $v \varepsilon, x \in \mathbb{N}$ 这样
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \quad \forall k>v_{\varepsilon, x} .
$$
一般来说,给定 $\varepsilon>0$ ,号码 $v_{\varepsilon, x}$ 取决于点 $x$; 相反,如果这个数字独立于 $x$ ,有人说一致收敛。
准确地说,我们说 $f_k$ 均匀收敛于 $I$ 到 $f$ 如果,对于任何 $\varepsilon>0$ ,那里存在 $v_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ 这样
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \quad \forall k>v_{\varepsilon}, \quad \forall x \in I .
$$
等价地, $f_k$ 均匀收敛于 $I$ 到 $f$ 如果,对于任何 $\varepsilon>0$ ,那里存在 $v_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ 这样
另一种表达方式是说 $f_k$ 均匀收敛于 $I$ 到 $f$ 如果以下关于数列极限的条件成立

数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|First Theorems on Uniform Convergence

让我们从描述连续函数一致极限的连续性开始。认为 $f_k: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是子集上的一系列连续函数 $I$ 的 $\mathbb{R}$ ,并假设 $f_k$ 均匀收敛于 $I$ 到函数 $f: I \rightarrow \mathbb{R}$; 我们将证明 $f$ 是连续的 $I$. 观察到如果我们只假设这个结果不 成立 $f_k$ 收敛于 $f$ 逐点地。这就是发生的情况,例如,在上一节的示例 2 中,其中不连续函数 (1.2) 是连续 函数序列 (1.1) 的逐点极限。
定理 (极限的连续性) 让 $f_k: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是在 |上一致收敛到函数的一系列连续函数 $f$. 然后 $f$ 是连续 的。
证明 让我们验证一下 $f$ 是连续的 $x_0$ ,对于任何给定的 $x_0 \in I$. 根据一致收敛假设,给定 $\varepsilon>0$ ,那里存在 $v$ 这样
$$
\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \quad \forall k>v, \quad \forall x \in I .
$$
让我们选择 $k_0>v$ ;那么显然对于任何 $x \in I$ 我们有
$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right| \leq\left|f(x)-f_{k_0}(x)\right|+\left|f_{k_0}(x)-f_{k_0}\left(x_0\right)\right|+\left|f_{k_0}\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\right| \leq \quad<\varepsilon+\mid f_{k_0} $$ 因为连续性 $f_{k_0}$ 有可能找到 $\delta>0$ 这样
$$
x \in I, \quad\left|x-x_0\right|<\delta \Rightarrow\left|f_{k_0}(x)-f_{k_0}\left(x_0\right)\right|<\varepsilon
$$
等等 $x \in I,\left|x-x_0\right|<\delta$ ,我们获得
$$
\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<3 \varepsilon .
$$
更一般地,我们有以下结果。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MTH2106

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线性代数是平坦的微分几何,在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的,线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MTH2106

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|The Dimension of a Subspace

It can be shown that if a subspace $H$ has a basis of $p$ vectors, then every basis of $H$ must consist of exactly $p$ vectors. (See Exercises 27 and 28 .) Thus the following definition makes sense.
The dimension of a nonzero subspace $H$, denoted by $\operatorname{dim} H$, is the number of vectors in any basis for $H$. The dimension of the zero subspace ${0}$ is defined to be zero. ${ }^2$
The space $\mathbb{R}^n$ has dimension $n$. Every basis for $\mathbb{R}^n$ consists of $n$ vectors. A plane through 0 in $\mathbb{R}^3$ is two-dimensional, and a line through $\mathbf{0}$ is one-dimensional.

EXAMPLE 2 Recall that the null space of the matrix $A$ in Example 6 in Section $2.8$ had a basis of 3 vectors. So the dimension of $\operatorname{Nul} A$ in this case is 3 . Observe how each basis vector corresponds to a free variable in the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$. Our construction always produces a basis in this way. So, to find the dimension of $\mathrm{Nul} A$, simply identify and count the number of free variables in $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.
The rank of a matrix $A$, denoted by rank $A$, is the dimension of the column space of $A$.
Since the pivot columns of $A$ form a basis for $\operatorname{Col} A$, the rank of $A$ is just the number of pivot columns in $A$.

The row reduction in Example 3 reveals that there are two free variables in $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$, because two of the five columns of $A$ are not pivot columns. (The nonpivot columns correspond to the free variables in $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.) Since the number of pivot columns plus the number of nonpivot columns is exactly the number of columns, the dimensions of Col $A$ and $\mathrm{Nul} A$ have the following useful connection. (See the Rank Theorem in Section $4.6$ for additional details.)
The Rank Theorem
If a matrix $A$ has $n$ columns, then $\operatorname{rank} A+\operatorname{dim} \operatorname{Nul} A=n$.
The following theorem is important for applications and will be needed in Chapters 5 and 6. The theorem (proved in Section 4.5) is certainly plausible, if you think of a $p$-dimensional subspace as isomorphic to $\mathbb{R}^p$. The Invertible Matrix Theorem shows that $p$ vectors in $\mathbb{R}^p$ are linearly independent if and only if they also span $\mathbb{R}^p$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Column Space and Null Space of a Matrix

Subspaces of $\mathbb{R}^n$ usually occur in applications and theory in one of two ways. In both cases, the subspace can be related to a matrix.
The column space of a matrix $A$ is the set $\operatorname{Col} A$ of all linear combinations of the columns of $A$.
If $A=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]$, with the columns in $\mathbb{R}^m$, then $\operatorname{Col} A$ is the same as Span $\left{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\right}$. Example 4 shows that the column space of an $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ matrix is a subspace of $\mathbb{R}^m$. Note that $\operatorname{Col} A$ equals $\mathbb{R}^m$ only when the columns of $A$ span $\mathbb{R}^m$. Otherwise, $\operatorname{Col} A$ is only part of $\mathbb{R}^m$.

EXAMPLE 4 Let $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & -4 \ -4 & 6 & -2 \ -3 & 7 & 6\end{array}\right]$ and $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}3 \ 3 \ -4\end{array}\right]$. Determine whether $\mathbf{b}$ is in the column space of $A$.

SOLUTION The vector $\mathbf{b}$ is a linear combination of the columns of $A$ if and only if $\mathbf{b}$ can be written as $A \mathbf{x}$ for some $\mathbf{x}$, that is, if and only if the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ has a solution. Row reducing the augmented matrix $\left[A \begin{array}{ll}A & \mathbf{b}\end{array}\right]$,
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -3 & -4 & 3 \
-4 & 6 & -2 & 3 \
-3 & 7 & 6 & -4
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -3 & -4 & 3 \
0 & -6 & -18 & 15 \
0 & -2 & -6 & 5
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -3 & -4 & 3 \
0 & -6 & -18 & 15 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
we conclude that $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ is consistent and $\mathbf{b}$ is in $\operatorname{Col} A$.

The solution of Example 4 shows that when a system of linear equations is written in the form $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$, the column space of $A$ is the set of all $\mathbf{b}$ for which the system has a solution.
The null space of a matrix $A$ is the set $\mathrm{Nul} A$ of all solutions of the homogeneous equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$
When $A$ has $n$ columns, the solutions of $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ belong to $\mathbb{R}^n$, and the null space of $A$ is a subset of $\mathbb{R}^n$. In fact, $\mathrm{Nul} A$ has the properties of a subspace of $\mathbb{R}^n$.
The null space of an $m \times n$ matrix $A$ is a subspace of $\mathbb{R}^n$. Equivalently, the set of all solutions of a system $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ of $m$ homogeneous linear equations in $n$ unknowns is a subspace of $\mathbb{R}^n$.
PROOF The zero vector is in $\operatorname{Nul} A$ (because $A 0=0$ ). To show that $\mathrm{Nul} A$ satisfies the other two properties required for a subspace, take any $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ in $\mathrm{Nul} A$. That is, suppose $A \mathbf{u}=\mathbf{0}$ and $A \mathbf{v}=\mathbf{0}$. Then, by a property of matrix multiplication,
$$
A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A \mathbf{u}+A \mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}
$$
Thus $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ satisfies $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$, and so $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ is in $\operatorname{Nul} A$. Also, for any scalar $c, A(c \mathbf{u})=$ $c(A \mathbf{u})=c(0)=\mathbf{0}$, which shows that $c \mathbf{u}$ is in $\mathrm{Nul} A$.

To test whether a given vector $\mathbf{v}$ is in $\operatorname{Nul} A$, just compute $A \mathbf{v}$ to see whether $A \mathbf{v}$ is the zero vector. Because $\mathrm{Nul} A$ is described by a condition that must be checked for each vector, we say that the null space is defined implicitly. In contrast, the column space is defined explicitly, because vectors in Col A can be constructed (by linear combinations) from the columns of $A$. To create an explicit description of $\mathrm{Nul} A$, solve the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ and write the solution in parametric vector form. (See Example 6 , below.) ${ }^2$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MTH2106

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|The Dimension of a Subspace

可以证明,如果一个子空间 $H$ 有一个基础 $p$ 向量,然后是的每个基础 $H$ 必须完全由 $p$ 载体。(见刃题 27 和 28。)因此下面的定义是有道理的。
非零子空间的维数 $H$ ,表示为 $\operatorname{dim} H$ ,是任何基础上的向量数 $H$. 零子空间的维数 0 被定义为零。 ${ }^2$ 空间 $\mathbb{R}^n$ 有维度 $n$. 每个基础 $\mathbb{R}^n$ 由组成 $n$ 载体。通过 0 英寸的平面 $\mathbb{R}^3$ 是二维的,一条线穿过 $\mathbf{0}$ 是一维的。
示例 2 回想一下矩阵的零空间 $A$ 在示例 6 中 $2.8$ 有3个向量的基础。所以维度 $\mathrm{Nul} A$ 在这种情况下是 3 。 观察每个基向量如何对应于方程中的一个自由变量 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$. 我们的建设总是以这种方式产生基础。所 以,要找到的维度 $\mathrm{Nul} A$ ,简单地识别和计算自由变量的数量 $A \mathbf{x}=0$.
矩阵的秩 $A$ ,用秩表示 $A$, 是列空间的维数 $A$.
由于枢轴列 $A$ 打下基础 $\operatorname{Col} A$ ,排名 $A$ 只是中的数据透视列的数量 $A$.
示例 3 中的行缩减表明有两个自由变量 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ ,因为五列中的两列 $A$ 不是数据透视列。(非数据透视 列对应于中的自由变量 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.) 由于主元列数加上非主元列数正好等于列数,因此 $\mathrm{Col}$ 的维度 $A$ 和 $\mathrm{Nul} A$ 有以下有用的联系。(见第节中的等级定理4.6有关更多详细信息。)
等级定理
如果一个矩阵 $A$ 拥有 $n$ 列,然后 $\operatorname{rank} A+\operatorname{dim} \mathrm{Nul} A=n$.
下面的定理对应用很重要,第 5 章和第 6 章会用到。这个定理(在 $4.5$ 节中证明)当然是合理的,如果 你想到 $p$-维子空间同构于 $\mathbb{R}^p$. 可逆矩阵定理表明 $p$ 载体在 $\mathbb{R}^p$ 是线性独立的当且仅当它们也跨越 $\mathbb{R}^p$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Column Space and Null Space of a Matrix

的子空间 $\mathbb{R}^n$ 通常以两种方式之一出现在应用程序和理论中。在这两种情况下,子空间都可以与矩阵相 关。
矩阵的列空间 $A$ 是集合Col $A$ 的列的所有线性组合 $A$.
如果 $A=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]$ ,其中的列 $\mathbb{R}^m$ ,然后 $\operatorname{Col} A$ 与跨度相同
Veft{ $\left.\backslash m a t h b f{a} _1, \backslash d o t s, \backslash m a t h b f{a} _n \backslash r i g h t\right}$. 示例 4 显示了一个列空间 $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ 矩阵是一个子空间 $\mathbb{R}^m$. 注意 $\operatorname{Col} A$ 等于 $\mathbb{R}^m$ 只有当列 $A$ 跨度 $\mathbb{R}^m$. 否则, $\operatorname{Col} A$ 只是一部分 $\mathbb{R}^m$. $A$.
解决方案向量 $\mathbf{b}$ 是列的线性组合 $A$ 当且仅当 $\mathbf{b}$ 可以写成 $A \mathbf{x}$ 对于一些 $\mathbf{x}$ ,也就是说,当且仅当方程 $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有一个解决方案。行减少增广矩阵 $\left[\begin{array}{ll}A A & \mathbf{b}\end{array}\right]$ ,
我们的结论是 $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是一致的并且 $\mathbf{b}$ 在 $\operatorname{Col} A$.
例 4 的解表明,当线性方程组写成以下形式时 $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ ,的列空间 $A$ 是所有的集合 $\mathbf{b}$ 系统对此有解决方 案。
矩阵的零空间 $A$ 是集合 $\mathrm{Nul} A$ 齐次方程的所有解 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$
什么时候 $A$ 拥有 $n$ 列,解决方案 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 属于 $\mathbb{R}^n$ ,和零空间 $A$ 是一个子集 $\mathbb{R}^n$. 实际上, $\mathrm{Nul} A$ 具有子空间 的属性 $\mathbb{R}^n$.
的零空间 $m \times n$ 矩阵 $A$ 是一个子空间 $\mathbb{R}^n$. 等价地,一个系统的所有解的集合 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的 $m$ 齐次线性方程 组 $n$ 末知数是的子空间 $\mathbb{R}^n$.
证明 零向量在 $\mathrm{Nul} A$ (因为 $A 0=0$ ). 为了表明 $N u l A$ 满足子空间所需的其他两个属性,取任意 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 在 $\mathrm{Nul} A$. 也就是说,假设 $A \mathbf{u}=\mathbf{0}$ 和 $A \mathbf{v}=\mathbf{0}$. 然后,根据矩阵乘法的性质,
$$
A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A \mathbf{u}+A \mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}
$$
因此 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 满足 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ ,所以 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 在 $\mathrm{Nul} A$. 此外,对于任何标量 $c, A(c \mathbf{u})=$ $c(A \mathbf{u})=c(0)=\mathbf{0}$, 这表明 $c \mathbf{u}$ 在 $\mathrm{Nul} A$.
测试给定的向量是否 $\mathbf{v}$ 在 $\mathrm{Nul} A$ ,只需计算 $A \mathbf{v}$ 看看是否 $A \mathbf{v}$ 是零向量。因为 $\mathrm{Nul} A$ 由必须为每个向量检查 的条件描述,我们说零空间是隐式定义的。相反,列空间是明确定义的,因为 Col A 中的向量可以(通过 线性组合) 从 $A$. 创建一个明确的描述 $N u l A$ ,解方程 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ 并将解写成参数向量形式。(参见下面的示 例 6。) ${ }^2$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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线性代数是平坦的微分几何,在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的,线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Perspective Projections

A three-dimensional object is represented on the two-dimensional computer screen by projecting the object onto a viewing plane. (We ignore other important steps, such as selecting the portion of the viewing plane to display on the screen.) For simplicity, let the $x y$-plane represent the computer screen, and imagine that the eye of a viewer is along the positive $z$-axis, at a point $(0,0, d)$. A perspective projection maps each point $(x, y, z)$ onto an image point $\left(x^, y^, 0\right)$ so that the two points and the eye position, called the center of projection, are on a line. See Figure 6(a).

The triangle in the $x z$-plane in Figure 6(a) is redrawn in part (b) showing the lengths of line segments. Similar triangles show that
$$
\frac{x^}{d}=\frac{x}{d-z} \quad \text { and } \quad x^=\frac{d x}{d-z}=\frac{x}{1-z / d}
$$
Similarly,
$$
y^*=\frac{y}{1-z / d}
$$
Using homogeneous coordinates, we can represent the perspective projection by a matrix, say, $P$. We want $(x, y, z, 1)$ to map into $\left(\frac{x}{1-z / d}, \frac{y}{1-z / d}, 0,1\right)$. Scaling these coordinates by $1-z / d$, we can also use $(x, y, 0,1-z / d)$ as homogeneous coordinates for the image. Now it is easy to display $P$. In fact,
$$
P\left[\begin{array}{l}
x \
y \
z \
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 / d & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x \
y \
z \
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
x \
y \
0 \
1-z / d
\end{array}\right]
$$
EXAMPLE 8 Let $S$ be the box with vertices $(3,1,5),(5,1,5),(5,0,5),(3,0,5)$, $(3,1,4),(5,1,4),(5,0,4)$, and $(3,0,4)$. Find the image of $S$ under the perspective projection with center of projection at $(0,0,10)$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Column Space and Null Space of a Matrix

Subspaces of $\mathbb{R}^n$ usually occur in applications and theory in one of two ways. In both cases, the subspace can be related to a matrix.
The column space of a matrix $A$ is the set $\operatorname{Col} A$ of all linear combinations of the columns of $A$.
If $A=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]$, with the columns in $\mathbb{R}^m$, then $\operatorname{Col} A$ is the same as Span $\left{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\right}$. Example 4 shows that the column space of an $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ matrix is a subspace of $\mathbb{R}^m$. Note that $\operatorname{Col} A$ equals $\mathbb{R}^m$ only when the columns of $A$ span $\mathbb{R}^m$. Otherwise, $\operatorname{Col} A$ is only part of $\mathbb{R}^m$.

EXAMPLE 4 Let $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & -4 \ -4 & 6 & -2 \ -3 & 7 & 6\end{array}\right]$ and $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}3 \ 3 \ -4\end{array}\right]$. Determine whether $\mathbf{b}$ is in the column space of $A$.

SOLUTION The vector $\mathbf{b}$ is a linear combination of the columns of $A$ if and only if $\mathbf{b}$ can be written as $A \mathbf{x}$ for some $\mathbf{x}$, that is, if and only if the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ has a solution. Row reducing the augmented matrix $\left[A \begin{array}{ll}A & \mathbf{b}\end{array}\right]$,
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -3 & -4 & 3 \
-4 & 6 & -2 & 3 \
-3 & 7 & 6 & -4
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -3 & -4 & 3 \
0 & -6 & -18 & 15 \
0 & -2 & -6 & 5
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -3 & -4 & 3 \
0 & -6 & -18 & 15 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
we conclude that $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ is consistent and $\mathbf{b}$ is in $\operatorname{Col} A$.

The solution of Example 4 shows that when a system of linear equations is written in the form $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$, the column space of $A$ is the set of all $\mathbf{b}$ for which the system has a solution.
The null space of a matrix $A$ is the set $\mathrm{Nul} A$ of all solutions of the homogeneous equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$
When $A$ has $n$ columns, the solutions of $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ belong to $\mathbb{R}^n$, and the null space of $A$ is a subset of $\mathbb{R}^n$. In fact, $\mathrm{Nul} A$ has the properties of a subspace of $\mathbb{R}^n$.
The null space of an $m \times n$ matrix $A$ is a subspace of $\mathbb{R}^n$. Equivalently, the set of all solutions of a system $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ of $m$ homogeneous linear equations in $n$ unknowns is a subspace of $\mathbb{R}^n$.
PROOF The zero vector is in $\operatorname{Nul} A$ (because $A 0=0$ ). To show that $\mathrm{Nul} A$ satisfies the other two properties required for a subspace, take any $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ in $\mathrm{Nul} A$. That is, suppose $A \mathbf{u}=\mathbf{0}$ and $A \mathbf{v}=\mathbf{0}$. Then, by a property of matrix multiplication,
$$
A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A \mathbf{u}+A \mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}
$$
Thus $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ satisfies $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$, and so $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ is in $\operatorname{Nul} A$. Also, for any scalar $c, A(c \mathbf{u})=$ $c(A \mathbf{u})=c(0)=\mathbf{0}$, which shows that $c \mathbf{u}$ is in $\mathrm{Nul} A$.

To test whether a given vector $\mathbf{v}$ is in $\operatorname{Nul} A$, just compute $A \mathbf{v}$ to see whether $A \mathbf{v}$ is the zero vector. Because $\mathrm{Nul} A$ is described by a condition that must be checked for each vector, we say that the null space is defined implicitly. In contrast, the column space is defined explicitly, because vectors in Col A can be constructed (by linear combinations) from the columns of $A$. To create an explicit description of $\mathrm{Nul} A$, solve the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ and write the solution in parametric vector form. (See Example 6 , below.) ${ }^2$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1051

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Perspective Projections

通过将物体投影到观察平面上,三维物体在二维计算机屏幕上呈现。(我们忽略其他重要步㡜,例如选择 要在屏幕上显示的视图平面部分。) 为简单起见,让 $x y$-plane 代表计算机屏幕,并想象观众的眼睛沿着 正面 $z$-轴,在一点 $(0,0, d)$. 透视投影映射每个点 $(x, y, z)$ 到图像点 $\$ V \mathrm{eft}\left(\mathrm{X}^{\wedge}, y^{\wedge} , 0 \backslash r i g h t\right) \$$ 上,这样两 个点和眼睛位置 (称为投影中心) 在一条线上。见图 6(a)。
中的三角形 $x z$ 图 6(a) 中的平面在 (b) 部分重新绘制,显示线段的长度。相似三角形表明
$\left\langle f r a c\left{x^{\wedge}\right}{d}=|f r a c{x}{d z} \backslash q u a d| t e x t{\right.$ 和 $\left.} \backslash q u a d x^{\wedge}=\right| f r a c{d x}{d z}=\backslash f r a c{x}{1-z / d}$
相似地,
$$
y^*=\frac{y}{1-z / d}
$$
使用齐次坐标,我们可以用矩阵表示透视投影,比如说, $P$. 我们想要 $(x, y, z, 1)$ 映射到 $\left(\frac{x}{1-z / d}, \frac{y}{1-z / d}, 0,1\right)$. 缩放这些坐标 $1-z / d$ ,我们也可以使用 $(x, y, 0,1-z / d)$ 作为图像的齐次坐 标。现在很容易显示 $P$. 实际上,
$$
P[x y z 1]=\left[\begin{array}{llllllllllllllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 / d & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
x y z & -1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
x & 0 & 1
\end{array}\right.
$$
例 8 让 $S$ 是有顶点的盒子 $(3,1,5),(5,1,5),(5,0,5),(3,0,5) ,(3,1,4),(5,1,4),(5,0,4)$ , 和 $(3,0,4)$. 找到图像 $S$ 在投影中心位于的透视投影下 $(0,0,10)$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Column Space and Null Space of a Matrix

通过将物体投影到观察平面上,三维物体在二维计算机屏幕上呈现。(我们忽略其他重要步㡜,例如选择 要在屏幕上显示的视图平面部分。) 为简单起见,让 $x y$-plane 代表计算机屏幕,并想象观众的眼睛沿着 正面 $z$-轴,在一点 $(0,0, d)$. 透视投影映射每个点 $(x, y, z)$ 到图像点 $\$ V \mathrm{eft}\left(\mathrm{X}^{\wedge}, y^{\wedge} , 0 \backslash r i g h t\right) \$$ 上,这样两 个点和眼睛位置 (称为投影中心) 在一条线上。见图 6(a)。
中的三角形 $x z$ 图 6(a) 中的平面在 (b) 部分重新绘制,显示线段的长度。相似三角形表明
$\left\langle f r a c\left{x^{\wedge}\right}{d}=|f r a c{x}{d z} \backslash q u a d| t e x t{\right.$ 和 $\left.} \backslash q u a d x^{\wedge}=\right| f r a c{d x}{d z}=\backslash f r a c{x}{1-z / d}$
相似地,
$$
y^*=\frac{y}{1-z / d}
$$
使用齐次坐标,我们可以用矩阵表示透视投影,比如说, $P$. 我们想要 $(x, y, z, 1)$ 映射到 $\left(\frac{x}{1-z / d}, \frac{y}{1-z / d}, 0,1\right)$. 缩放这些坐标 $1-z / d$ ,我们也可以使用 $(x, y, 0,1-z / d)$ 作为图像的齐次坐 标。现在很容易显示 $P$. 实际上,
$$
P[x y z 1]=\left[\begin{array}{llllllllllllllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 / d & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
x y z & -1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
x & 0 & 1
\end{array}\right.
$$
例 8 让 $S$ 是有顶点的盒子 $(3,1,5),(5,1,5),(5,0,5),(3,0,5) ,(3,1,4),(5,1,4),(5,0,4)$ , 和 $(3,0,4)$. 找到图像 $S$ 在投影中心位于的透视投影下 $(0,0,10)$.
因此 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 满足 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ ,所以 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 在 $\mathrm{Nul} A$. 此外,对于任何标量 $c, A(c \mathbf{u})=$ $c(A \mathbf{u})=c(0)=\mathbf{0}$, 这表明 $c \mathbf{u}$ 在 $\mathrm{Nul} A$.
测试给定的向量是否 $\mathbf{v}$ 在 $\mathrm{Nul} A$, 只需计算 $A \mathbf{v}$ 看看是否 $A \mathbf{v}$ 是零向量。因为 $\mathrm{Nul} A$ 由必须为每个向量检查 的条件描述,我们说零空间是隐式定义的。相反,列空间是明确定义的,因为 Col A 中的向量可以(通过 线性组合)从 $A$. 创建一个明确的描述 $\mathrm{Nul} A$ ,解方程 $A \mathrm{x}=\mathbf{0}$ 并将解写成参数向量形式。(参见下面的示 例 6。)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1014

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线性代数是平坦的微分几何,在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的,线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。

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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1014

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|APPLICATIONS TO COMPUTER GRAPHICS

Computer graphics are images displayed or animated on a computer screen. Applications of computer graphics are widespread and growing rapidly. For instance, computeraided design (CAD) is an integral part of many engineering processes, such as the aircraft design process described in the chapter introduction. The entertainment industry has made the most spectacular use of computer graphics – from the special effects in Amazing Spider-Man 2 to PlayStation 4 and Xbox One.

Most interactive computer software for business and industry makes use of computer graphics in the screen displays and for other functions, such as graphical display of data, desktop publishing, and slide production for commercial and educational presentations. Consequently, anyone studying a computer language invariably spends time learning how to use at least two-dimensional (2D) graphics.

This section examines some of the basic mathematics used to manipulate and display graphical images such as a wire-frame model of an airplane. Such an image (or picture) consists of a number of points, connecting lines or curves, and information about how to fill in closed regions bounded by the lines and curves. Often, curved lines are approximated by short straight-line segments, and a figure is defined mathematically by a list of points.

Among the simplest 2D graphics symbols are letters used for labels on the screen. Some letters are stored as wire-frame objects; others that have curved portions are stored with additional mathematical formulas for the curves.

EXAMPLE 1 The capital letter $\mathrm{N}$ in Figure 1 is determined by eight points, or vertices. The coordinates of the points can be stored in a data matrix, $D$.
$x$-coordinate $\left[\begin{array}{cccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \ 0 & .5 & .5 & 6 & 6 & 5.5 & 5.5 & 0 \ 0 & 0 & 6.42 & 0 & 8 & 8 & 1.58 & 8\end{array}\right]=D$
In addition to $D$, it is necessary to specify which vertices are connected by lines, but we omit this detail.

The main reason graphical objects are described by collections of straight-line segments is that the standard transformations in computer graphics map line segments onto other line segments. (For instance, see Exercise 27 in Section 1.8.) Once the vertices that describe an object have been transformed, their images can be connected with the appropriate straight lines to produce the complete image of the original object.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Homogeneous 3D Coordinates

By analogy with the $2 \mathrm{D}$ case, we say that $(x, y, z, 1)$ are homogeneous coordinates for the point $(x, y, z)$ in $\mathbb{R}^3$. In general, $(X, Y, Z, H)$ are homogeneous coordinates for $(x, y, z)$ if $H \neq 0$ and
$$
x=\frac{X}{H}, \quad y=\frac{Y}{H}, \quad \text { and } \quad z=\frac{Z}{H}
$$
Each nonzero scalar multiple of $(x, y, z, 1)$ gives a set of homogeneous coordinates for $(x, y, z)$. For instance, both $(10,-6,14,2)$ and $(-15,9,-21,-3)$ are homogeneous coordinates for $(5,-3,7)$.

The next example illustrates the transformations used in molecular modeling to move a drug into a protein molecule.
EXAMPLE 7 Give $4 \times 4$ matrices for the following transformations:
a. Rotation about the $y$-axis through an angle of $30^{\circ}$. (By convention, a positive angle is the counterclockwise direction when looking toward the origin from the positive half of the axis of rotation-in this case, the $y$-axis.)
b. Translation by the vector $\mathbf{p}=(-6,4,5)$.
SOLUTION
a. First, construct the $3 \times 3$ matrix for the rotation. The vector $\mathbf{e}_1$ rotates down toward the negative $z$-axis, stopping at $\left(\cos 30^{\circ}, 0,-\sin 30^{\circ}\right)=(\sqrt{3} / 2,0,-.5)$. The vector $\mathbf{e}_2$ on the $y$-axis does not move, but $\mathbf{e}_3$ on the $z$-axis rotates down toward the positive $x$-axis, stopping at $\left(\sin 30^{\circ}, 0, \cos 30^{\circ}\right)=(.5,0, \sqrt{3} / 2)$. See Figure 5. From Section $1.9$, the standard matrix for this rotation is
$$
\left[\begin{array}{ccc}
\sqrt{3} / 2 & 0 & .5 \
0 & 1 & 0 \
-.5 & 0 & \sqrt{3} / 2
\end{array}\right]
$$
So the rotation matrix for homogeneous coordinates is
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
\sqrt{3} / 2 & 0 & .5 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
-.5 & 0 & \sqrt{3} / 2 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
b. We want $(x, y, z, 1)$ to map to $(x-6, y+4, z+5,1)$. The matrix that does this is
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & -6 \
0 & 1 & 0 & 4 \
0 & 0 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|MATH1014

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|APPLICATIONS TO COMPUTER GRAPHICS

计算机图形是在计算机屏幕上显示或动画显示的图像。计算机图形学的应用广泛且发展迅速。例如,计算 机辅助设计 (CAD) 是许多工程过程不可或缺的一部分,例如本章介绍中描述的飞机设计过程。娱乐业对 计算机图形的使用最为引人注目一一从《超凡蜘蛛侠 $2 》$ 的特效到 PlayStation 4 和 Xbox One。
大多数用于商业和工业的交互式计算机软件都在屏幕显示和其他功能中使用计算机图形,例如数据的图形 显示、桌面出版以及商业和教育演示的幻灯片制作。因此,任何学习计算机语言的人都会花时间学习如何 至少使用二维 (2D) 图形。
本节检查一些用于操作和显示图形图像 (例如飞机的线框模型) 的基本数学。这样的图像 (或图片) 由许 多点、连接线或曲线以及有关如何填充由直线和曲线限定的封闭区域的信息组成。通常,曲线由短直线段 近似,图形由点列表在数学上定义。
最简单的 2D 图形符号之一是用于屏幕上标签的字母。一些字母存储为线框对象;其他具有弯曲部分的文 件与曲线的附加数学公式一起存储。
示例 1 大写字母 $\mathrm{N}$ 在图 1 中,由八个点或顶点确定。点的坐标可以存储在数据矩阵中, $D$. $x$-协调
$\left[\begin{array}{llllllllllllllllllllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 0 & .5 & .5 & 6 & 6 & 5.5 & 5.5 & 0 & 0 & 0 & 6.42 & 0 & 8 & 8 & 1.58 & 8\end{array}\right]$ 此外 $D$ ,有必要指定哪些顶点由线连接,但我们省略了这个细节。
图形对象由直线段的集合描述的主要原因是计算机图形中的标准变换将线段映射到其他线段上。(例如, 参见第 $1.8$ 节中的练习 27。) 一旦描述对象的顶点被变换,它们的图像就可以用适当的直线连接以产生 原始对象的完整图像。

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Homogeneous 3D Coordinates

类比于 $2 \mathrm{D}$ 案例,我们说 $(x, y, z, 1)$ 是点的齐次坐标 $(x, y, z)$ 在 $\mathbb{R}^3$.一般来说, $(X, Y, Z, H)$ 是齐次坐 标 $(x, y, z)$ 如果 $H \neq 0$ 和
$$
x=\frac{X}{H}, \quad y=\frac{Y}{H}, \quad \text { and } \quad z=\frac{Z}{H}
$$
每个非零标量倍数 $(x, y, z, 1)$ 给出一组齐次坐标 $(x, y, z)$. 例如,两者 $(10,-6,14,2)$ 和 $(-15,9,-21,-3)$ 是齐次坐标 $(5,-3,7)$.
下一个示例说明了分子建模中用于将药物转移到蛋白质分子中的转换。
例 7 给 $4 \times 4$ 用于以下转换的矩阵:
a。旋转关于 $y$-轴通过一个角度 $30^{\circ}$. (按照惯例,正角是从旋转轴的正半边看原点时的逆时针方向一一在 这种情况下, $y$-轴。)
$\mathrm{b}$ 。向量翻译 $\mathbf{p}=(-6,4,5)$.
解决
方案 首先,构建 $3 \times 3$ 旋转矩阵。载体 $\mathbf{e}_1$ 向下旋转到负 $z$-轴,停在
$\left(\cos 30^{\circ}, 0,-\sin 30^{\circ}\right)=(\sqrt{3} / 2,0,-.5)$. 载体 $\mathbf{e}_2$ 在 $y$-轴不移动,但 $\mathbf{e}_3$ 在 $z$-axis 向下旋转到正 $x$ 轴,停在 $\left(\sin 30^{\circ}, 0, \cos 30^{\circ}\right)=(.5,0, \sqrt{3} / 2)$. 参见图 5。从部分 $1.9$ ,这个旋转的标准矩阵是
所以齐次坐标的旋转矩阵是
b. 我们想要 $(x, y, z, 1)$ 映射到 $(x-6, y+4, z+5,1)$. 这样做的矩阵是

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MTH3022

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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型,它在复平面上覆盖着几个,一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MTH3022

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

In this section we will count the cells in the chains $\varphi, \tau$, and $\psi$ that were defined in the previous section. Note that
$$
\begin{gathered}
\varphi=\sum_r(A K)^r \eta \
\tau=\sum_r(-K A)^r H \varphi \
\psi=\sum_r(-K A)^r K \nu
\end{gathered}
$$
We will show that the number of nondegenerate cubical cells in one of these chains is bounded by $C^n$, by parametrizing the cells with trees.

Suppose $z$ is a point in $Z_I$, with $|I|=n$. Consider the chain $F(K A)^r z$. It is a sum of cells of the form
$$
F K_{k_r} \alpha_r \ldots K_{k_1} \alpha_1 z
$$
Each of these cells is an $r$-cube. Our main construction will be to describe the points in these cells using graphs (which are trees).

Fix a sequence $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$. In particular there is a sequence of indices $I=$ $I_0, I_1, \ldots, I_r$ such that $\alpha_j: I_{j-1} \rightarrow I_j$. We will associate a graph to this choice as follows. The vertices are arrayed in $r+1$ rows, with the top row having $n+2$ vertices and bottom row having $n+r+2$ vertices. The $j$ th row from the top has $n+j+2$ vertices. The vertices are numbered from right to left in each row, beginning with 0 , and we denote the $k$ th vertex in the $j$ th row by $v_{j k}$. The vertices at the ends of the rows, $v_{j 0}$ and $v_{j(n+j+1)}$, are called side vertices. The edges of the graph go from vertices in one row to vertices in the next. There is an edge connecting $v_{j-1 i}$ to $v_{j k}$ if and only if $\alpha_j^{+}(k)=i$. Thus in each row except the bottom one, there is exactly one vertex with two edges emanating from below, and all of the other vertices have one edge below. The edges, when drawn as straight lines, do not intersect, because the maps $\alpha^{+}$ are order preserving. The edges drawn from $v_{j 0}$ to $v_{j+10}$ and from $v_{j(n+j+1)}$ to $v_{(j+1)(n+j+2)}$ are called side edges.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

We can decompose the graph into strands, with the strands joining forks. The forks are the vertices which are connected to three edges (in other words the vertices $v_{j k}$ such that $\alpha_{j+1}^{+}(k)=\alpha_{j+1}^{+}(k+1)=k$ ), as well as, by convention, the top and bottom vertices. The strands are the unbroken sequences of edges joining forks, in other words the sequences of edges which meet at interior vertices with only two edges. Side strands are those consisting of side edges. The graph formed by the forks and strands considered as vertices and edges, is a union of binary trees. If a number is assigned to each non-side edge, then one obtains a number for each non-side strand as follows. Suppose $\sigma$ is a strand, composed of edges $e_1, \ldots, e_m$. Set
$$
t(\sigma)=\min \left(1, t\left(e_1\right)+\ldots+t\left(e_m\right)\right) .
$$
In the above construction, the point $u$ depends only on the numbers $t(\sigma)$ assigned to the strands. Here is another description of the construction of $u$. For each strand $\sigma$ there are indices $i(\sigma)$ and $j(\sigma)$, representing the indices corresponding to the left and right sides of the edges in the strand, respectively. If the strand $\sigma$ contains an edge ending in a vertex $v_{j k}$, then $i(\sigma)=i_{j, k-1}$ and $j(\sigma)=i_{j, k}$. (The notation $i(e)$ and $j(e)$ will also be used for an edge $e$.) Realize the tree geometrically, with a strand $\sigma$ represented by a line segment of length 1. Let $T$ denote the geometric realization of the tree. Then the function $t$ from the set of strands into $[0,1]$, and the initial point $z$, determine a map $\Psi_{z, t}: T \rightarrow Z$. Write $z=\left(z_1, \ldots, z_n\right)$. The top vertices of the tree go to the points $z_k \in Z$. The left and right side strands are mapped to $P$ and $Q$ respectively. If $\sigma$ is any strand, $\Psi_{z, t}$ maps the segment corresponding to $\sigma$ into $Z$ using the flow $f_{i(\sigma) j(\sigma)}$, beginning with the point corresponding to the fork $v$ at the top of $\sigma$, and moving at speed $t(\sigma)$. The beginning point $\Psi_{z, t}(v)$ has already been constructed inductively. If $p$ is a point on the segment $\sigma$, at distance $y$ below the fork $v, \Psi_{z, t}(p)=f_{i(\sigma) j(\sigma)}\left(\Psi_{z, t}(v), t(\sigma) y\right)$. Finally, the the values of $\Psi_{z, t}$ on the $n+r$ bottom vertices provide the points $u_1, \ldots, u_{n+r}$ to determine $u=u(z, t) \in Z_{I_r}$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MTH3022

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

在本节中,我们将计算链中的单元格 $\varphi, \tau$ ,和 $\psi$ 在上一节中定义的。注意
$$
\varphi=\sum_r(A K)^r \eta \tau=\sum_r(-K A)^r H \varphi \psi=\sum_r(-K A)^r K \nu
$$
我们将证明这些链之一中非退化立方晶胞的数量受限于 $C^n$ ,通过用树参数化细胞。
认为 $z$ 是一个点 $Z_I$ ,和 $|I|=n$. 考虑链条 $F(K A)^r z$. 它是以下形式的单元格的总和
$$
F K_{k_r} \alpha_r \ldots K_{k_1} \alpha_1 z
$$
这些细胞中的每一个都是一个 $r$-立方体。我们的主要结构是使用图形 (树) 来描述这些单元格中的点。
修复序列 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$. 特别是有一系列指数 $I=I_0, I_1, \ldots, I_r$ 这样 $\alpha_j: I_{j-1} \rightarrow I_j$. 我们将如下所示将 图表与该选择相关联。顶点排列在 $r+1$ 行,顶行有 $n+2$ 顶点和底行有 $n+r+2$ 顶点。这 $j$ 从上数第 th 排有 $n+j+2$ 顶点。顶点在每一行中从右到左编号,从 0 开始,我们表示 $k$ 中的第个顶点 $j$ 排在 $v_{j k}$. 行末尾的顶点, $v_{j 0}$ 和 $v_{j(n+j+1)}$ ,称为边顶点。图的边从一行中的顶点到下一行中的顶点。有边连接 $v_{j-1 i}$ 到 $v_{j k}$ 当且仅当 $\alpha_j^{+}(k)=i$. 因此,在每一行中,除了底部的一行,只有一个顶点有两条边从下面发出, 而所有其他顶点都有一条边在下面。绘制为直线时,边缘不相交,因为地图 $\alpha^{+}$保持秩序。从绘制的边缘 $v_{j 0}$ 到 $v_{j+10}$ 从 $v_{j(n+j+1)}$ 到 $v_{(j+1)(n+j+2)}$ 称为侧边。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|THE MAIN LEMMA

我们可以将图分解成链,链连接叉。叉子是连接到三个边的顶点(换句话说,顶点 $v_{j k}$ 这样 $\alpha_{j+1}^{+}(k)=\alpha_{j+1}^{+}(k+1)=k$ ,以及按照惯例,顶部和底部顶点。链是连接叉的边的连续序列,换句 话说,边的序列在只有两条边的内部顶点处相遇。侧股是由侧边组成的股。由被视为顶点和边的叉和链形 成的图是二叉树的并集。如果为每个非侧边分配了一个数字,则如下所示为每个非侧边链获得一个数字。 认为 $\sigma$ 是一条链,由边组成 $e_1, \ldots, e_m$. 放
$$
t(\sigma)=\min \left(1, t\left(e_1\right)+\ldots+t\left(e_m\right)\right) .
$$
在上面的构造中,要点 $u$ 只取决于数字 $t(\sigma)$ 分配给股。这是对构造的另一种描述 $u$. 对于每一股 $\sigma$ 有指数 $i(\sigma)$ 和 $j(\sigma)$ ,分别表示对应于链中边缘的左侧和右侧的索引。如果链 $\sigma$ 包含以顶点结束的边 $v_{j k}$ ,然后 $i(\sigma)=i_{j, k-1}$ 和 $j(\sigma)=i_{j, k}$. (符号 $i(e)$ 和 $j(e)$ 也将用于边缘 $e$.) 在几何上实现树,用一根线 $\sigma$ 由长度为 1 的线段表示。让 $T$ 表示树的几何实现。然后是函数 $t$ 从一组股到 $[0,1]$ ,和初始点 $z$ ,确定一张地图 $\Psi_{z, t}: T \rightarrow Z$. 写 $z=\left(z_1, \ldots, z_n\right)$. 树的顶部顶点去点 $z_k \in Z$. 左侧和右侧链映射到 $P$ 和 $Q$ 分别。如 $t(\sigma)$. 起点 $\Psi_{z, t}(v)$ 已经被归纳构造。如果 $p$ 是线段上的一个点 $\sigma$ ,在远处 $y$ 在叉子下面 $v, \Psi_{z, t}(p)=f_{i(\sigma) j(\sigma)}\left(\Psi_{z, t}(v), t(\sigma) y\right)$. 最后,价值 $\Psi_{z, t}$ 在 $n+r$ 底部顶点提供点 $u_1, \ldots, u_{n+r}$ 确定 $u=u(z, t) \in Z_{I_r}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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