## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|MATH3905

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数学物理方法Mathematical Methods方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数学物理方法Mathematical Methods代写方面经验极为丰富，各种代写数学物理方法Mathematical Methods相关的作业也就用不着说。

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## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|HIGHER ORDER DERIVATIVES

Until now we have concentrated on the first derivative of a function. We can also define the second derivative, i.e. the gradient of the gradient. We use the definition of equation (1.1) but replace $f(x)$ with $f^{\prime}(x)$ :
$$f^{\prime \prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h},$$ or, equivalently, $$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\lim {\delta x \rightarrow 0} \frac{y^{\prime}(x+\delta x)-y^{\prime}(x)}{\delta x} .$$
Similarly, we can define the third, fourth and higher order derivatives. Often the $n$th derivative of a function $y=f(x)$ is written as $f^{(n)}(x)$, or $d^{n} y / d x^{n}$. Note the parentheses around the superscript $(n)$ in $f^{(n)}(x)$ to distinguish it from $(f(x))^{n}$. In practice we continue to differentiate the result after each differentiating (tidying up the expressions as we go) until we get to the required derivative.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|STATIONARY POINTS

A common application of differentiation is to find the maxima or minima of functions.

Let $y=f(x)$. A point at which $d y / d x=0$ is called a stationary point of the function $f(x)$. Equivalently, at a stationary point of $f(x)$, we have $f^{\prime}(x)=0$. See Figure 1.3.

• A stationary point of $y=f(x)$ is a minimum if, at this point, $d^{2} y / d x^{2}>0$
• A stationary point of $y=f(x)$ is a maximum if, at this point, $d^{2} y / d x^{2}<0$
• A stationary point of $y=f(x)$ is (usually) a stationary point of inflection if, at this point, $d^{2} y / d x^{2}=0$ (i.e. the derivative has a maximum or minimum).

Example $1.11$ Find the stationary points of the function $y=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x+24$ and determine whether they are maxima, minima, or points of inflection.
We begin by finding $d y / d x$ :
\begin{aligned} d y / d x &=6 x^{2}+6 x-36 \ &=6\left(x^{2}+x-6\right) \ &=6(x+3)(x-2) \end{aligned}
Then we set $d y / d x=0$ and solve for $x$, which gives $x=-3$ and $x=2$. So the stationary points are $x=-3, x=2$. Now we calculate the second derivative,
$$d^{2} y / d x^{2}=6(2 x+1),$$
and evaluate it at the stationary points.
At $x=-3, d^{2} y / d x^{2}<0$, so this is a maximum, at $x=2, d^{2} y / d x^{2}>0$, so this is a minimum.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|HIGHER ORDER DERIVATIVES

$$f^{\prime \prime}(x)=\lim h \rightarrow 0 \frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h},$$

$$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\lim \delta x \rightarrow 0 \frac{y^{\prime}(x+\delta x)-y^{\prime}(x)}{\delta x} .$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|STATIONARY POINTS

• 的一个静止点 $y=f(x)$ 是最小值，如果此时， $d^{2} y / d x^{2}>0$
• 的一个静止点 $y=f(x)$ 是最大值，如果此时， $d^{2} y / d x^{2}<0$
• 的一个静止点 $y=f(x)$ 是 (通常) 一个平稳的拐点，如果，在这一点上， $d^{2} y / d x^{2}=0$ (即导数有最大 值或最小值)。
例子1.11找到函数的驻点 $y=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x+24$ 并确定它们是最大值、最小值还是拐点。 我们首先找到 $d y / d x$ :
$$d y / d x=6 x^{2}+6 x-36=6\left(x^{2}+x-6\right)=6(x+3)(x-2)$$
然后我们设置 $d y / d x=0$ 并解决 $x$ ，这使 $x=-3$ 和 $x=2$. 所以静止点是 $x=-3, x=2$. 现在我们计算二阶 导数，
$$d^{2} y / d x^{2}=6(2 x+1)$$
并在静止点对其进行评估。
在 $x=-3, d^{2} y / d x^{2}<0$ ，所以这是一个最大值，在 $x=2, d^{2} y / d x^{2}>0$ ，所以这是最小值。

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|AMTH246

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## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|PRODUCT (AND QUOTIENT) RULE

Suppose now that we want the derivative of a product of two functions in 1.1, $y(x)=u(x) v(x)$, say. We might guess that this is $\frac{d u}{d x} \frac{d v}{d x}$. You can readily check that this is wrong by applying it to a simple example, say $y=x^{2}=x \times x$. The correct derivative of the product of two functions, like $y(x)=u(x) v(x)$, is the sum of two terms as follows:
$$\frac{d y}{d x}=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x} \text {, equivalently } \quad(u v)^{\prime}=u v^{\prime}+v u^{\prime} .$$
This is known as the product rule or the Leibniz rule. An alternative way to remember the product rule is as follows:
$$d(u v)=u d v+v d u .$$
Example 1.4 If $y=x \sin (x)$, what is $d y / d x$ ?
Let $u=x, v=\sin (x)$. Then we have that
$$\frac{d u}{d x}=1, \quad \frac{d v}{d x}=\cos (x) .$$
Therefore, by equation (1.5),
$$\frac{d y}{d x}=x \cdot \cos (x)+\sin (x) \cdot 1=x \cos (x)+\sin (x) .$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|IMPLICIT DIFFERENTIATION

Sometimes it is convenient to find the derivative $d y / d x$ from an equation like $f(y)=g(x)$ without first solving for $y$ as a function of $x$. This is little more than an application of the chain rule.
Example 1.7 Find $d y / d x$ if $y=\sin ^{-1}(x)$. (Note that $\sin ^{-1}(x)$ is the inverse sine function, also called $\arcsin (x)$; it is not the same as $1 / \sin (x) .)$

We begin by transforming to something more familiar. If $y=\sin ^{-1}(x)$
$$x=\sin (y)$$
and differentiating both sides with respect to $x$ and using the chain rule we have
\begin{aligned} \mathrm{L} &=\frac{d}{d x}(\sin (y))=\frac{d y}{d x} \frac{d}{d y}(\sin (y)) \ &=\frac{d y}{d x} \cos (y) \end{aligned}
Rearranging for $d y / d x$ gives
$$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos (y)} \text {. }$$
We want the answer as a function of $x$ so we have to get $\cos (y)$ in terms of $x$ given that $\sin (y)=x$. We first substitute for $\cos (y)$ using $\sin ^{2}(y)+\cos ^{2}(y)=1$. Then,
$$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\left(1-\sin ^{2}(y)\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2}}$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|PRODUCT (AND QUOTIENT) RULE

$$\frac{d y}{d x}=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x}, \text { equivalently } \quad(u v)^{\prime}=u v^{\prime}+v u^{\prime}$$

$$d(u v)=u d v+v d u .$$

$$\frac{d u}{d x}=1, \quad \frac{d v}{d x}=\cos (x)$$

$$\frac{d y}{d x}=x \cdot \cos (x)+\sin (x) \cdot 1=x \cos (x)+\sin (x) .$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|IMPLICIT DIFFERENTIATION

$$x=\sin (y)$$

$$\mathrm{L}=\frac{d}{d x}(\sin (y))=\frac{d y}{d x} \frac{d}{d y}(\sin (y)) \quad=\frac{d y}{d x} \cos (y)$$

$$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos (y)}$$

$$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\left(1-\sin ^{2}(y)\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2}}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|MATH1012

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## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|DEFINITION OF A DERIVATIVE

The derivative of a function is the slope (or gradient) of the tangent to the graph of the function at any point; i.e. it is the slope approached by the line between two points on the graph as they get closer (Figure 1.1). By the “slope” we mean (as usual) the change in height divided by the horizontal displacement. To use this definition to calculate the slopes of graphs we put it into more formal language.

More formally, the clerivative of a function $y=f(x)$ is the function $f^{\prime}(x)$ or $d y / d x$ defined by
$$f^{\prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} .$$ Equivalently, in a commonly used alternative notation, we write $\delta x$ in place of $h$ to emphasize that we are making a small increment in $x$. We also sometimes write $y=y(x)$ instead of $y=f(x)$ to indicate that $y$ is a function of $x$. The definition is then written $$\frac{d y}{d x}=\lim {\delta x \rightarrow 0} \frac{y(x+\delta x)-y(x)}{\delta x} .$$
For a function of the form $y=f(x)$ we use the notation $f^{\prime}(x)$, $y^{\prime}$ and $d y / d x$ interchangeably. The definition expresses in an exact manner the fact that the derivative at $x$ is the slope of the tangent at $x$. In order to use it we need a way of taking the limit. The following example shows how this is done for a simple function such as a power of $x$.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|SOME BASIC DERIVATIVES

You should already know (or be willing to take on trust for the present) the derivatives in Table 1.1.

Note: the trigonometric functions are introduced in section A.4 of Appendix A and the logarithm in Section A.3. Throughout this course $\ln (x)$ will be written for $\log {e}(x)$, the “natural logarithm.” It is common to use $\log (x)=\log {10}(x)$, and the use of any other base is indicated explicitly, as in $\log _{2}(x)$. The derivatives in the table may be taken as given.

The derivative of the sum of two functions is the sum of the derivatives. This means that if $f(x)$ and $g(x)$ are both functions of $x$ then
$$\frac{d}{d x}(f+g)=\frac{d f}{d x}+\frac{d g}{d x}$$
Exercise 1.2 What is $d y / d x$ if
(i) $y=x^{n}+c$ where $c$ is a constant and $n$ an integer
(ii) $y=x^{-3}+x^{4}$
(iii) $y=2 \sin (x)=\sin (x)+\sin (x)$
(iv) $y=\sin (x)+\cos (x)$.
We also learn rules for the derivative of a “function of a function” and of a product, which enable us to construct the derivatives of quite complicated expressions from the table without having to return to the basic definition.

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|DEFINITION OF A DERIVATIVE

$$f^{\prime}(x)=\lim h \rightarrow 0 \frac{f(x+h)-f(x)}{h} .$$

$$\frac{d y}{d x}=\lim \delta x \rightarrow 0 \frac{y(x+\delta x)-y(x)}{\delta x} .$$

## 数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|SOME BASIC DERIVATIVES

$$\frac{d}{d x}(f+g)=\frac{d f}{d x}+\frac{d g}{d x}$$

(一) $y=x^{n}+c$ 在哪里 $c$ 是一个常数并且 $n$ 一个整数
\begin{aligned} &\text { (ii) } y=x^{-3}+x^{4} \ &\text { ( }) y=2 \sin (x)=\sin (x)+\sin (x) \ &\text { (四) } y=\sin (x)+\cos (x) \text {. } \end{aligned}

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。