## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: optimality conditions

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数据分析introduction to data science方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数据分析introduction to data science代写方面经验极为丰富，各种代写数据分析introduction to data science相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: optimality conditions

Second-order sufficient conditions
THEOREM Suppose that $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is twice continuously differentiable. If $\nabla f\left(x^\right)=0$ and $\nabla^2 f\left(x^\right)$ is positive definite, i.e.,
$$s^T \nabla^2 f\left(x^*\right) s>0 \quad \text { for all } s \neq 0,$$
then $x^{\star}$ is a local minimizer of $f$.

Second-order sufficient conditions
THEOREM Suppose that $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is twice continuously differentiable. If $\nabla f\left(x^\right)=0$ and $\nabla^2 f\left(x^\right)$ is positive definite, i.e.,
$$s^T \nabla^2 f\left(x^\right) s>0 \quad \text { for all } s \neq 0,$$ then $x^$ is a local minimizer of $f$.

Iterative numerical methods: generate iterates (“guesses”) $x_0, x_1, \ldots$ such that these converge to a local minimizer, or at the very least to a stationary or critical point, i.e.,
$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x^*, \quad \text { and } \quad \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 \text {. }$$

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: algorithms

Iterative numerical methods: generate iterates (“guesses”) $x_0, x_1, \ldots$ such that these converge to a local minimizer, or at the very least to a stationary or critical point, i.e.,
$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x^{\star}, \quad \text { and } \quad \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 \text {. }$$
Two main paradigms:

1. Line Search Methods
2. Trust Region Methods
3. Iterative numerical methods: generate iterates (“guesses”) $x_0, x_1, \ldots$ such that these converge to a local minimizer, or at the very least to a stationary or critical point, i.e.,
4. $$5. \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x^{\star}, \quad \text { and } \quad \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 . 6.$$
7. Typical line search algorithm:
8. Initialize at $x_0$.
9. For $i=0,1,2, \ldots$ until stopping criterion
$2.1$ Choose a descent direction $p_i$ such that $\nabla f^T\left(x_i\right) p_i<0$.
$2.2$ Do a line search on the one dimensional function $f\left(x_i+\eta p_i\right)$ to select step size $\eta_i \geq 0$
$2.3$ Set $x_{i+1}:=x_i+\eta_i p_i$

# 数据分析代考

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: optimality conditions

$$s^T \nabla^2 f\left(x^\right) s>0 \quad \text { for all } s \neq 0,$$ 然后 $x^{\star}$ 是局部最小值 $f$. 二阶充分条件 的，即 $s^{\wedge} T \backslash$ nabla^ 2 fleft( $x^{\wedge} \backslash$ \ight) $s>0$ \quad Itext ${$ 对于所有 $}$ s $\backslash$ Ineq 0 , 然周品是同部最小值 $f$. 迭代数值方法: 生成迭代 (“猜测”) $x_0, x_1, \ldots$ 使得它们收敛到一个同部最小值，或者至少收敛到一个固定点 或临界点，即 $$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x^, \quad \text { and } \quad \nabla f\left(x^{\star}\right)=0$$

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: algorithms

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x^{\star}, \quad \text { and } \quad \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .$$

1. 线搜索方法
2. 信赖域方法
3. 迭代数值方法: 生成迭代 (“猜测”) $x_0, x_1, \ldots$ 使得它们收敛到一个同部最小值，或者至少收敛到一个固 定点或临界点，即
4. $\$ \$$5. \ \$$
6. 典型的线搜索算法:
7. 初始化于 $x_0$.
8. 为了 $i=0,1,2, \ldots$ 直到停止标准
2.1选择下降方向 $p_i$ 这样 $\nabla f^T\left(x_i\right) p_i<0$.
$2.2$ 对一维函数进行线搜索 $f\left(x_i+\eta p_i\right)$ 选择步长 $\eta_i \geq 0$
$2.3$ 放 $x_{i+1}:=x_i+\eta_i p_i$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Global and local solutions

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写机器学习 machine learning方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写机器学习 machine learning代写方面经验极为丰富，各种代写机器学习 machine learning相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Global and local solutions

$$\begin{array}{rc} \min _{x \in \mathbb{R}^n} & f(x) \ \text { such that } & c_i(x)=0 \quad i \in E \ & c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}$$
Define the feasible region as
$$\Omega:=\left{x \in \mathbb{R}^n: \begin{array}{l} c_i(x)=0 \quad i \in E \ c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}\right}$$

$$\begin{array}{cc} \min _{x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) & \ \text { such that } & c_i(x)=0 \quad i \in E \ & c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}$$
Define the feasible region as
$$\Omega:=\left{x \in \mathbb{R}^n: \begin{array}{l} c_i(x)=0 \quad i \in E \ c_i(x) \leq 0 \quad i \in 1 \end{array}\right}$$
$x^*$ is a global optimum/minimizer if $f\left(x^{\star}\right) \leq f(x)$ for all $x \in \Omega$.

$$\begin{array}{rl} \min _{x \in \mathbb{R}^n} & f(x) \ \text { such that } & c_i(x)=0 \quad i \in E \ & c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}$$
Define the feasible region as
$$\Omega:=\left{x \in \mathbb{R}^n: \begin{array}{l} c_i(x)=0 \quad i \in E \ c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}\right}$$
$x^$ is a global optimum/minimizer if $f\left(x^\right) \leq f(x)$ for all $x \in \Omega$.
$x^$ is a local optimum/minimizer if there exists $\epsilon>0$ such that $f\left(x^\right) \leq f(x)$ for all $x \in \Omega \cap B\left(x^*, \epsilon\right)$, where
$$B\left(x^{\star}, \epsilon\right):=\left{x \in \mathbb{R}^n:\left|x^{\star}-x\right| \leq \epsilon\right} .$$

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: optimality conditions

We are interested in optimality conditions because they
provide a means of guaranteeing when a candidate solution $x$ is indeed optimal (sufficient conditions)
indicate when a point is not optimal (necessary conditions)
guide in the design of algorithms since
lack of optimality $\Leftrightarrow$ indication of improvement

First order necessary condition
THEOREM Suppose that $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is continuously differentiable. If $x^{\star}$ is a local minimizer of $f$, then
$$\nabla f\left(x^*\right)=0$$

First order necessary condition
THEOREM Suppose that $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is continuously differentiable. If $x^{\star}$ is a local minimizer of $f$, then
$$\nabla f\left(x^\right)=0$$ Second-order necessary conditions THEOREM Suppose that $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is twice continuously differentiable. If $x^$ is a local minimizer of $f$, then $\nabla f\left(x^\right)=0$ and $\nabla^2 f\left(x^\right)$ is positive semi-definite, i.e.,
$$s^T \nabla^2 f\left(x^{\star}\right) s \geq 0 \quad \text { for all } s \in \mathbb{R}^n$$

# 数据分析代考

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Global and local solutions

$\min {x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x)$ such that $\quad c_i(x)=0 \quad i \in E \quad c_i(x) \leq 0 \quad i \in I$ 将可行域定义为 $$\min {x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \quad \text { such that } \quad c_i(x)=0 \quad i \in E \quad c_i(x) \leq 0 \quad i \in I$$

$x^*$ 是全局最优/最小化器，如果 $f\left(x^{\star}\right) \leq f(x)$ 对所有人 $x \in \Omega$.
$$\min {x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \text { such that } \quad c_i(x)=0 \quad i \in E \quad c_i(x) \leq 0 \quad i \in I$$ 将可行域定义为 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是全局最优/最小化器，如果 flleft( $\left.x^{\wedge} \backslash r{i g h t}\right) \backslash \operatorname{leq} \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 对所有人 $x \in \Omega$.

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Unconstrained optimization: optimality conditions

$\Leftrightarrow$ 改善迹象

$$\nabla f\left(x^*\right)=0$$

\nabla fNeft( $x^{\wedge} \backslash$ right $)=0$

$$s^T \nabla^2 f\left(x^{\star}\right) s \geq 0 \quad \text { for all } s \in \mathbb{R}^n$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数据分析代考_introduction to data science代考_The general optimization problem

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写机器学习 machine learning方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写机器学习 machine learning代写方面经验极为丰富，各种代写机器学习 machine learning相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数据分析代考_introduction to data science代考_The general optimization problem

$\begin{array}{cc}\min _{x \in \mathbb{R}^n} & f(x) \ \text { such that } & c_i(x)=0 \quad i \in E \ & c_i(x) \leq 0 \quad i \in I\end{array}$

$$\begin{array}{cc} \min _{x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \ \text { such that } & c_i(x)=0 \quad i \in E \ & c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}$$
Unconstrained optimization: $E \cup I=\emptyset$
Constrained optimization: $E \cup I \neq \emptyset$

$$\begin{array}{rc} \min _{x \in \mathbb{R}^n} & f(x) \ \text { such that } & c_i(x)=0 \quad i \in E \ & c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{array}$$
Unconstrained optimization: $E \cup I=\emptyset$
Constrained optimization: $E \cup I \neq \emptyset$
Will assume that $f, c_i, i \in E \cup I$ are all differentiable (even twice continuously differentiable) functions mapping $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Fundamental notions from calculus

For optimization theory and developing algorithms, we require tools for describing how function values change with their inputs.

When derivatives exist, we use results from Calculus; e.g., gradients and Hessians

For optimization theory and developing algorithms, we require tools for describing how function values change with their inputs.
When derivatives exist, we use results from Calculus; e.g.. gradients and Hessians
If $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable, the gradient of $g$ at $x$ is
$$\nabla g(x):=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial g(x)}{\partial x_1} \ \vdots \ \frac{\partial g(x)}{\partial x_n} \end{array}\right)$$

If $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable, the gradient of $g$ at $x$ is
$$\nabla g(x):=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial g(x)}{\partial x_1} \ \vdots \ \frac{\partial g(x)}{\partial x_n} \end{array}\right)$$
If $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is twice differentiable, the Hessian of $g$ at $x$ is
$$\nabla^2 g(x):=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial^2 g(x)}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2 g(x)}{\partial x_n \partial x_1} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial^2 g(x)}{\partial x_1 \partial x_n} & \cdots & \frac{\partial^2 g(x)}{\partial x_n^2} \end{array}\right)$$

# 数据分析代考

## 数据分析代考_introduction to data science代考_The general optimization problem

\begin{aligned} &\min {x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \text { such that } \quad c_i(x)=0 \quad i \in E \quad c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \ &\min {x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \text { such that } \quad c_i(x)=0 \quad i \in E \quad c_i(x) \leq 0 \quad i \in I \end{aligned}

$$\min _{x \in \mathbb{R}^n} \quad f(x) \text { such that } \quad c_i(x)=0 \quad i \in E \quad c_i(x) \leq 0 \quad i \in I$$

## 数据分析代考_introduction to data science代考_Fundamental notions from calculus

If $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是可微的，梯度为 $g$ 在 $x$ 是
$$\nabla g(x):=\left(\frac{\partial g(x)}{\partial x_1} \vdots \frac{\partial g(x)}{\partial x_n}\right)$$

$$\nabla g(x):=\left(\frac{\partial g(x)}{\partial x_1} \vdots \frac{\partial g(x)}{\partial x_n}\right)$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。