数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MATH4314

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|A Partial Zeta Function

Suppose $D$ is a fundamental domain for a number field $K$ with degree $[K: \mathbb{Q}]=n=r_1+2 r_2$. Let
$$X=X_D={\boldsymbol{x} \in D \mid N(\boldsymbol{x}) \leq 1}$$
be the restricted fundamental domain. For $t$ in $\mathbb{R}, N(t \boldsymbol{x})=t^n N(\boldsymbol{x})$. Let $L$ be a lattice in $\mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n$. For a real number $s$, define the partial zeta function $Z(s)=Z(L, D, s)$ by
$$Z(s)=\sum_{\boldsymbol{x} \in L \cap D} \frac{1}{|N(\boldsymbol{x})|^{\mid}} .$$
Clearly, $Z(s)$ depends on $L$ and $D$.
Theorem 6.18. The series for $Z(s)$ on the right of (6.20) converges for $s>1$ and
$$\lim _{s \rightarrow 1+}(s-1) Z(s)=\mu(X) / \mu(L) .$$
Proof. For $t \in \mathbb{R}, t>0$ and $S \subseteq \mathbb{R}^n$, let
$$t S={t \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} \in S} .$$

Since $L$ is discrete and $X$ is bounded, the number
$$\nu(t)=|t X \cap L|=\left|X \cap \frac{1}{t} L\right|$$
of points common to both $t X$ and $L$ is finite. Moreover, if $\Delta=\mu(L)$, then
$$v:=\mu(X)=\lim _{t \rightarrow \infty} \Delta \frac{\nu(t)}{t^n} .$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Dedekind Zeta Function

Let $K$ be a number field of degree $[K: \mathbb{Q}]=n=r_1+2 r_2$. Recall that for $s=\sigma+i t$ in $\mathbb{C}, \sigma>1$, the Dedekind zeta function $\zeta_K(s)$ of $K$ is defined by
$$\zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{a}} \frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}$$
where the summation is over all nonzero integral ideals $\mathfrak{a}$ of $\mathcal{O}K$. In particular, if $K=\mathbb{Q}$, all the integral ideals $\mathfrak{a}$ are of the form $\mathfrak{a}=n \mathbb{Z}$ for $n$ in $\mathbb{N}$, and $N(\mathfrak{a})=n$. Hence the Dedekind zeta function $$\zeta{\mathbb{Q}}(s)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^s}$$
is just the Riemann zeta fuction $\zeta(s)$.
Let $h=h_K$ be the class number of $K$ and $\left{C_1, \ldots, C_h\right}$ be its ideal class group. We write (6.28) as
$$\zeta_K(s)=\sum_{j=1}^h \zeta_{C_j}(s),$$
where
$$\zeta_{C_j}(s)=\sum_{\mathfrak{b}} \frac{1}{N(\mathfrak{b})^s}$$
the summation being over all integral ideals $\mathfrak{b}$ in $C_j$.
We will restrict $s$ to be in $\mathbb{R}$, and show that

1. each $\zeta_{C_j}(s)$ converges for $s>1$ and
2. $\lim {s \rightarrow 1+}(s-1) \zeta{C_j}(s)$ exists, and is independent of $j=1, \ldots, h$.

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|A Partial Zeta Function

$$X=X_D=\boldsymbol{x} \in D \mid N(\boldsymbol{x}) \leq 1$$

$$Z(s)=\sum_{x \in L \cap D} \frac{1}{|N(\boldsymbol{x})|^{\mid}}$$

$$\lim {s \rightarrow 1+}(s-1) Z(s)=\mu(X) / \mu(L)$$ 证明。为了 $t \in \mathbb{R}, t>0$ 和 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ ， 让 $$t S=t \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} \in S$$ 自从 $L$ 是离散的并且 $X$ 是有界的，数 $$\nu(t)=|t X \cap L|=\left|X \cap \frac{1}{t} L\right|$$ 两者的共同点 $t X$ 和 $L$ 是有限的。此外，如果 $\Delta=\mu(L)$ ，然后 $$v:=\mu(X)=\lim {t \rightarrow \infty} \Delta \frac{\nu(t)}{t^n}$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Dedekind Zeta Function

$$\zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{a}} \frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}$$

$$\zeta \mathbb{Q}(s)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^s}$$

$$\zeta_K(s)=\sum_{j=1}^h \zeta_{C_j}(s)$$

$$\zeta_{C_j}(s)=\sum_{\mathfrak{b}} \frac{1}{N(\mathfrak{b})^s}$$

1. 每个 $\zeta_{C_j}(s)$ 收敛于 $s>1$ 和
2. $\lim s \rightarrow 1+(s-1) \zeta C_j(s)$ 存在，并且独立于 $j=1, \ldots, h$.

有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MATH3303

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Fundamental Domains

In order to compute the constant $\kappa$ in the class number formula (6.1), we also need to study the so-called fundamental domain of $K$. Once again, recall our notation:

1. $K \subseteq \mathbb{C}$ is a number field,
2. $[K: \mathbb{Q}]=n=r_1+2 r_2$,
3. $r=r_1+r_2-1$
4. $W_K=\left{\eta \in K \mid \eta^m=1\right.$ for some $m$ in $\left.\mathbb{N}\right}$.
We put $w=\left|W_K\right|$. We also choose a set $u_1, \ldots, u_r$ of fundamental units of K.

Then, the set $\left{\lambda\left(u_1\right), \ldots, \lambda\left(u_r\right)\right}$ is a basis, over $\mathbb{R}$, of the $r$-dimensional subspace $V \subseteq \mathbb{R}^{r_1+r_2}$ given by
$$\lambda_1+\cdots+\lambda_{r_1+r_2}=0$$
The vector $\boldsymbol{u}=(\underbrace{1, \ldots, 1 ; 2, \ldots, 2}{r_1 1 s ; r_2 2 s}) \notin V$. Hence, any vector $\boldsymbol{v}$ in $\mathbb{R}^{r_1+r_2}$ has a unique representation $$\boldsymbol{v}=a_1 \lambda\left(u_1\right)+\cdots+a_r \lambda\left(u_r\right)+a \boldsymbol{u},$$ with $a, a_j$ in $\mathbb{R}$. As before, let $l$ be the homomorphism from the multiplicative group $\mathcal{L}=$ $\left(\mathbb{R}^{\times}\right)^{r_1} \times\left(\mathbb{C}^{\times}\right)^{r_2}$ to the additive group $\mathbb{R}^{r_1+r_2}$, given by $$l\left(x_1, \ldots, x{r_1} ; z_1, \ldots, z_{r_2}\right)=\left(\log \left|x_1\right|, \ldots, \log \left|x_{r_1}\right| ; \log \left|z_1\right|^2, \ldots, \log \left|z_{r_2}\right|^2\right) .$$
Definition 6.4. A set $D$ is called a fundamental domain for $K$ if $D$ consists of the vectors $\boldsymbol{x}$ in $\mathcal{L}$, such that

1. $l(\boldsymbol{x})=a_1 \lambda\left(u_1\right)+\cdots+a_r \lambda\left(u_r\right)+a \boldsymbol{u}$ with
$$0 \leq a_j<1(j=1, \ldots, r),$$
2. $0 \leq \operatorname{Arg}(\boldsymbol{x}(1))<\frac{2 \pi}{w}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Riemann Zeta Function

The most famous zeta function is the Riemann zeta function $\zeta(s)$ defined for $s=\sigma+i t$ in $\mathbb{C}$ with $\sigma>1$ by
$$\zeta(s)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^s}$$
However, throughout this chapter, we shall assume that $t=0$, that is $s \in \mathbb{R}$.
Theorem 6.17. The series for $\zeta(s)$ in $(6.18)$ converges for $s>1$ and
$$\lim _{s \rightarrow 1+}(s-1) \zeta(s)=1$$

Proof. Let $s>1$. For $x \in(1, \infty), \frac{1}{x^s}$ is a decreasing function. Hence,
$$\int_m^{m+1} \frac{d x}{x^s}<\frac{1}{m^s}<\int_{m-1}^m \frac{d x}{x^s} .$$ Therefore, for $N>2$,
$$\int_1^N \frac{d x}{x^s}<\sum_{m=1}^N \frac{1}{m^s}<1+\int_1^N \frac{d x}{x^s},$$
which gives
$$\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}<\zeta(s)<1+\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s},$$
i.e.
$$\frac{1}{s-1}<\zeta(s)<1+\frac{1}{s-1}$$
Multiply this inequality throughout by $s-1$ and let $s \rightarrow 1+$, to obtain (6.19).

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Fundamental Domains

1. $K \subseteq \mathbb{C}$ 是一个数字字段，
2. $[K: \mathbb{Q}]=n=r_1+2 r_2$ ，
3. $r=r_1+r_2-1$ 我们把 $w=\left|W_K\right|$. 我们也选了一套 $u_1, \ldots, u_r$ K的基本单位。 空间 $V \subseteq \mathbb{R}^{r_1+r_2}$ 由
$$\lambda_1+\cdots+\lambda_{r_1+r_2}=0$$
载体 $\boldsymbol{u}=(\underbrace{1, \ldots, 1 ; 2, \ldots, 2} r_1 1 s ; r_2 2 s) \notin V$. 因此，任何向量 $\boldsymbol{v}$ 在 $\mathbb{R}^{r_1+r_2}$ 有独特的表现
$$\boldsymbol{v}=a_1 \lambda\left(u_1\right)+\cdots+a_r \lambda\left(u_r\right)+a \boldsymbol{u}$$
和 $a, a_j$ 在 $\mathbb{R}$. 和以前一样，让 $l$ 是乘法群的同态 $\mathcal{L}=\left(\mathbb{R}^{\times}\right)^{r_1} \times\left(\mathbb{C}^{\times}\right)^{r_2}$ 到添加剂组 $\mathbb{R}^{r_1+r_2}$ ，由
$$l\left(x_1, \ldots, x r_1 ; z_1, \ldots, z_{r_2}\right)=\left(\log \left|x_1\right|, \ldots, \log \left|x_{r_1}\right| ; \log \left|z_1\right|^2, \ldots, \log \left|z_{r_2}\right|^2\right) .$$
定义 6.4。一套 $D$ 称为基本域 $K$ 如果 $D$ 由向量组成 $\boldsymbol{x}$ 在 $\mathcal{L}$ ，这样
1.ll $l(\boldsymbol{x})=a_1 \lambda\left(u_1\right)+\cdots+a_r \lambda\left(u_r\right)+a \boldsymbol{u}$ 和
$$0 \leq a_j<1(j=1, \ldots, r),$$
4. $0 \leq \operatorname{Arg}(x(1))<\frac{2 \pi}{w}$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Riemann Zeta Function

$$\zeta(s)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^s}$$

$$\lim {s \rightarrow 1+}(s-1) \zeta(s)=1$$ 证明。让 $s>1$. 为了 $x \in(1, \infty), \frac{1}{x^s}$ 是减函数。因此， $$\int_m^{m+1} \frac{d x}{x^s}<\frac{1}{m^s}<\int{m-1}^m \frac{d x}{x^s} .$$

$$\int_1^N \frac{d x}{x^s}<\sum_{m=1}^N \frac{1}{m^s}<1+\int_1^N \frac{d x}{x^s}$$

$$\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}<\zeta(s)<1+\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}$$
IE
$$\frac{1}{s-1}<\zeta(s)<1+\frac{1}{s-1}$$

有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MATH6370

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Domains

A nonzero element $a$ of a ring $A$ (always commutative) is called a zero divisor if $a b=0$ for a nonzero $b$ in $A$. In the ring $\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}, 2,3$, and 4 are the only divisors of zero. A field has no divisor of zero. A ring without zero divisors is called an integral domain or simply a domain. We have already discussed many integral domains which are not fields, e.g. $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{Z}[\omega]$ and $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ for $d \neq 0$, a square-free integer, which are relevant to our subject.

An element $u$ in $A$ is a unit if $u v=1$ for some $v$ in $B$. For example, the only units in the ring $\mathbb{Z}$ are $\pm 1$.

Definition 2.7. A domain $A$ is a Euclidean domain if there is a map which assigns to each nonzero element $\alpha$ of $A$ a non-negative integer $d(\alpha)$ such that for all nonzero $\alpha, \beta$ in $A$,
i) $d(\alpha) \leq d(\alpha \beta)$, and
ii) $A$ has elements $q$ (the quotient) and $\gamma$ (the remainder) so that $\alpha=q \beta+\gamma$ and either $\gamma=0$ or $d(\gamma)<d(\beta)$.

With the Euclidean algorithm, both $\mathbb{Z}$ and the ring $k[x]$ of polynomials over a field $k$ are Euclidean domains. For $\mathbb{Z}, d(\alpha)=|\alpha|$ and for $k[x], d(f(x))=$ $\operatorname{deg} f(x)$.

Example 2.8. For an $\alpha=a+b i$ in the field $\mathbb{Q}[i]$, the conjugate of $\alpha$ is the element $\bar{\alpha}=a-b i$ of $\mathbb{Q}[i]$. The norm of $\alpha$ is the rational number $N(\alpha)=$ $\alpha \bar{\alpha}=a^2+b^2$ which is non-negative and $=0$ if and only if $\alpha=0$. Moreover, $N(\alpha \beta)=N(\alpha) N(\beta)$. We show that the ring $\mathbb{Z}[i]$ is norm Euclidean, i.e. $d(\alpha)=N(\alpha)$ makes $\mathbb{Z}[i]$ a Euclidean domain.

The condition i) in the definition is obvious. For ii) let $\alpha=a+i b, \beta=c+i d$ be in $\mathbb{Z}[i]$. Then
\begin{aligned} \frac{\alpha}{\beta} & =\frac{a c+b d}{c^2+d^2}+\frac{b c-a d}{c^2+d^2} i \ & =A+i B, \text { say. } \end{aligned}
Note that $A$ and $B$ are in $\mathbb{Q}$, and not necessarily in $\mathbb{Z}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z[i]

Let $A$ be the ring $\mathbb{Z}[i]$ of Gaussian integers and $p=2,3,4, \ldots$ a rational prime. This $p$ may or may not be a prime element of $A$. To find exactly when it is, recall the famous theorem of Fermat on the sum of two squares, which was proved by Euler (cf. [8, p. 48]).

Theorem 2.14 (Fermat). An odd prime $p$ in $\mathbb{Z}$ is a sum of two squares $\left(p=a^2+b^2\right)$ if and only if $p=4 k+1$ for $k$ in $\mathbb{N}$.

The norm of any divisor of $\alpha=a+i b$ must be a divisor of $N(\alpha)=a^2+b^2$, and for $\alpha=\beta \gamma$ with $\beta, \gamma$ both non-units, $1<N(\beta)<N(\alpha)$ (only the units have norm 1). Therefore, if $a^2+b^2$ is a prime, then $\alpha$ has to be a prime in $\mathbb{Z}[i]$. We have thus proved the following fact:

Theorem 2.15. A prime $p$ is a sum of two squares, $p=a^2+b^2 \Leftrightarrow p$ is $a$ product $(a+i b)(a-i b)$ of two primes $a \pm i b$ in $\mathbb{Z}[i]$.

For $p=2$, its two prime factors $1+i, 1-i$ in $\mathbb{Z}[i]$ are associates: $1+i=i(1-i)$. Therefore,
$$2=i(1-i)^2 .$$
We say that 2 ramifies in $\mathbb{Z}[i]$. By Fermat’s Theorem (Theorem $2.15$ ), $p \equiv 1$ $(\bmod 4) \Leftrightarrow p$ is a product
$$p=\pi_1 \pi_2$$
of two primes $\pi_1, \pi_2$ in $\mathbb{Z}[i]$. Moreover, $\pi_1$ and $\pi_2$ are complex conjugates of each other and hence they are distinct. This discussion can be wrapped up as follows: In order to do that, observe that ${1, i}$ is a $\mathbb{Z}$-bases of $\mathbb{Z}[i]$ and so is its conjugate ${1,-i}$. These two bases make a $2 \times 2$ matrix
$$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & i \ 1 & -i \end{array}\right)$$
with $|\operatorname{det}(A)|=2$, called the discriminant of $\mathbb{Q}(i)$.

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Domains

ii) $A$ 有元素 $q$ (商) 和 $\gamma$ (余数) 这样 $\alpha=q \beta+\gamma$ 和 $\gamma=0$ 或者 $d(\gamma)<d(\beta)$.

$$\frac{\alpha}{\beta}=\frac{a c+b d}{c^2+d^2}+\frac{b c-a d}{c^2+d^2} i \quad=A+i B, \text { say } .$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z[i]

$$2=i(1-i)^2 .$$

$$p=\pi_1 \pi_2$$

$$A=\left(\begin{array}{lll} 1 & i 1 & -i \end{array}\right)$$

有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|МATH6633

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Basic Concepts

A group is a pair $(G, )$ of a nonempty set $G$ and a binary operation $$on G, i.e. a map G \times G \ni(x, y) \rightarrow x * y \in G, called the group law on G with the following properties: i) The group law is associative: for all x y, z in G,(x * y) * z=x *(y * z), ii) there is an element e in G, called the identity, such that e * x=x * e=x for all x in G and iii) for each x in G there is a y in G, such that x * y=y * x=e. We denote y by x^{-1}, the inverse of x. We call the group (G, *) Abelian if for all x, y in G, x * y=y * x. In this case * is usually denoted by +, x^{-1} by -x, and e by 0 . We call -x the additive inverse of x. Often the product x * y is written simply as x y and x^{-1} is called the multiplicative inverse of x. It turns out that e and x^{-1} are unique. The most familiar examples of Abelian groups are (G,+) with G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} and \mathbb{C}. An example of a nonAbelian group is the general linear group G L(n, \mathbb{Z}) of n \times n matrices with integer entries and determinant \pm 1 under matrix multiplication. A ring is set A with at least two distinct elements, denoted by 0 and 1 having two binary operations (addition and multiplication) such that i) (A,+) is an Abelian group with 0 as its identity, ii) 1 x=x 1=x for all x in A and iii) the multiplication is associative and distributive over the addition:$$
x(y+z)=x y+x z \text { and }(x+y) z=x z+y z .
$$Remark. Some authors don’t require that 0 \neq 1, but we will. 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Examples of Galois Groups First, let K / k be any field extension, not necessarily finite. Let \alpha in K be a root of a polynomial$$
f(x)=c_0+c_1 x+\cdots+c_n x^n
$$over k. If \sigma \in \operatorname{Gal}(K / k), then$$
\begin{aligned}
f(\sigma(\alpha)) & =c_0+c_1 \sigma(\alpha)+\cdots+c_n(\sigma(\alpha))^n \
& =\sigma(f(\alpha))=\sigma(0)=0 .
\end{aligned}
$$Thus \sigma(\alpha) is also a root of f(x). This simple observation will be crucial to what follows. Let K be a quadratic field, a field extension of \mathbb{Q} of degree 2. Then one checks that (Exercise 16) K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})={r+s \sqrt{d} \mid r, s \in \mathbb{Q}} for a square-free integer d \neq 0,1. Example 2.1. Let us take d=-1. There are exactly two automorphisms of K whose restrictions to \mathbb{Q} is the identity map on \mathbb{Q}. The identity map 1 on K itself and \sigma which takes i to its conjugate, the other root -i of x^2+1. Thus \operatorname{Gal}(K / k) \cong{\pm 1} and \mathbb{Q}(i) is a Galois extension of \mathbb{Q}. Example 2.2. Now take d=-3. Then \mathbb{Q}(\omega)={r+s \omega \mid r, s \in \mathbb{Q}}. The Galois group \operatorname{Gal}(K / k) consists of two elements, the identity automorphism 1 of K and the automorphism \sigma of K such that \sigma(\omega)=\bar{\omega}. [Note that \bar{\omega}=\omega^2=\frac{1}{\omega}.] Hence \mathbb{Q}(\omega) / \mathbb{Q} is also an Abelian extension. Example 2.3. Let \alpha be the real cube root of 2, \alpha=\sqrt[3]{2}, K=\mathbb{Q}(\alpha) the smallest subfield of \mathbb{C} containing \alpha. The other cube roots of 2 which are \omega \alpha and \omega^2 \alpha are not in K. Thus there is only one element in the Galois group \operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q}), namely the identity element of the group \operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q}). Since [K: \mathbb{Q}]=3 but |\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})|=1, the extension K / \mathbb{Q} is not Galois. 代数数论代考 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Basic Concepts 一组是一对 (G, ) 非空集的 G 和二元运算 \$$ on $G$ ， 即一张地图 $G \times G \ni(x, y) \rightarrow x * y \in G$ ，称群 律为 $G$ 具有以下性质:
i) 群律是结合律: 对所有 $x y, z$ 在 $G,(x * y) * z=x *(y * z)$,
ii) 有一个元素 $e$ 在 $G$ ，称为身份，这样 $e * x=x * e=x$ 对全部 $x$ 在 $G$ iii
)每个 $x$ 在 $G$ 有一个 $y$ 在 $G$, 这样 $x * y=y * x=e$.

) 乘法对加法具有结合性和分配性:
$$x(y+z)=x y+x z \text { and }(x+y) z=x z+y z .$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Examples of Galois Groups

$$f(x)=c_0+c_1 x+\cdots+c_n x^n$$

$$f(\sigma(\alpha))=c_0+c_1 \sigma(\alpha)+\cdots+c_n(\sigma(\alpha))^n \quad=\sigma(f(\alpha))=\sigma(0)=0 .$$

$[K: \mathbb{Q}]=3$ 但 $|\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})|=1$ ，延伸 $K / \mathbb{Q}$ 不是伽罗华。

有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Math676

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory?

Number Theory is the study of numbers, in particular the whole numbers $1,2,3, \ldots$, also called the natural numbers. The set of natural numbers is denoted by $\mathbb{N}$. Leaving aside the unit 1 , these numbers fall into two categories: The indivisible numbers $2,3,5,7, \ldots$ are the primes, and the rest $4,6,8,9,10, \ldots$ composed of primes, are the composite numbers. The following basic facts, with proofs, about these numbers were already known to Euclid around 300 B.C.
Theorem 1.1. There are infinitely many primes.
Theorem $1.2$ (Fundamental Theorem of Arithmetic). Every natural number $n>1$ is a unique product
$$n=p_1^{e_1} \ldots p_r^{e_r} \quad(r \geq 1)$$
of powers of distinct primes $p_1, \ldots, p_r$, taken in some order.
By looking at the list of primes, one can ask several naive but still unanswered questions. For example, is there an endless supply of twin primes? We call a pair of primes $q, p$ twin primes if $p=q+2$. [This is the closest two odd primes can be to each other.] A glance at the list
$$3,5 ; 5,7 ; 11,13 ; 17,19 ; 29,31 ; \ldots$$
suggests that there are infinitely many pairs of twin primes, but no one has ever been able to prove this so far. Another big problem in number theory is the unproven conjecture of Goldbach, which asserts that every even number larger than 2 is a sum of two primes.

Many questions in number theory arise naturally in the study of geometry. The most fundamental fact in Euclidean geometry is the theorem of Pythagoras, which may be called the fundamental theorem of geometry. Actually, it was known to the Egyptians and Babylonians about two thousand years earlier, but they had no rigorous proof of it like Euclid did.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Methods of Proving Theorems in Number Theory

The method that has been used since antiquity is the unique factorization. Let us recall Euclid’s proof of Theorem 1.1.

It follows from the unique factorization (1.1) that any $n>1$ is either a prime or has a prime factor. To prove Theorem $1.1$ by contradiction, suppose there are only finitely many primes, say $p_1, \ldots, p_r$. Now consider the number $n=p_1 \ldots p_r+1$. It is not a prime because it is larger than every prime $p_j$. So, it has a prime factor, say $p_1$. Therefore $n=p_1 a$ for an integer $a$. This implies that $1=p\left(a-p_2 \ldots p_r\right)$. This is a contradiction because 1 has no prime factor.

Another example of such a proof is the proof below by Euler (1770) of the following claim of Fermat (1657): 27 is the only cube that exceeds a square by 2 . In modern terminology, $(3, \pm 5)$ are the only points with integer coordinates on the elliptic curve
$$y^2=x^3-2 .$$
Proof. In the ring $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]={a+b \sqrt{-2} \mid a, b \in \mathbb{Z}}$, which is a UFD (see Exercise 8, Chapter 2), we use the factorization
$$x^3=y^2+2=(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2}) .$$
In general, in a UFD, if $\alpha, \beta$ have no common factor other than units, and $\alpha \beta=\gamma^m$ for an integer $m>0$, then $\alpha=\alpha_1^m$ and $\beta=\beta_1^m$ for some $\alpha_1, \beta_1$ in it. Therefore
$$y+\sqrt{-2}=(a+b \sqrt{-2})^3 \text { for } a, b \in \mathbb{Z} .$$
By expanding $(a+b \sqrt{-2})^3$ and comparing the real/imaginary parts, we get
$$1=b\left(3 a^2-2 b^2\right), y=a^3-6 a b^2 .$$
But the first equation in (1.7) can hold only if $b=1$ and $a=\pm 1$. This implies $y=\pm 5$.

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory?

$$n=p_1^{e_1} \ldots p_r^{e_{+}} \quad(r \geq 1)$$

$$3,5 ; 5,7 ; 11,13 ; 17,19 ; 29,31 ; \ldots$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Methods of Proving Theorems in Number Theory

$$y^2=x^3-2 .$$

$$x^3=y^2+2=(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2}) .$$

$$y+\sqrt{-2}=(a+b \sqrt{-2})^3 \text { for } a, b \in \mathbb{Z} .$$

$$1=b\left(3 a^2-2 b^2\right), y=a^3-6 a b^2 .$$

有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MAST90136

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Norms of ideals

Let $K$ be a number field, and $\mathcal{O}K$ be its ring of integers. Definition 3.1.1. – Let $0 \neq I \subseteq \mathcal{O}_K$ be an ideal. Define the norm of $I$ to be $$\mathrm{N}(I)=#\left(\mathcal{O}_K / I\right)=\left[\mathcal{O}_K: I\right] .$$ Proposition 3.1.2. – 1. If $I=(x)$ for some $x \in \mathcal{O}_K$, then $\mathrm{N}(I)=\left|\mathrm{N}{K / \mathbb{Q}}(x)\right|$.

1. We have $\mathrm{N}(I J)=\mathrm{N}(I) \mathrm{N}(J)$ for any ideals $I, J \subseteq \mathcal{O}_K$.
2. For $n \in \mathbb{Z}{\geq 0}$, there exist only finitely many ideals $I \subseteq \mathcal{O}_K$ such that $\mathrm{N}(I)=n$. Proof. – (1) Let $\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ be a $\mathbb{Z}$-basis of $\mathcal{O}_K$. Then there exists a matrix $C \in$ $\mathrm{M}{n \times n}(\mathbb{Z})$ such that
$$\left(x \alpha_1, \cdots, x \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) C .$$
It follows that
$$\mathrm{N}(I)=\left[\mathcal{O}K: I\right]=\left[\sum_i \mathbb{Z} \cdot \alpha_i: \sum_i \mathbb{Z} \cdot x \alpha_i\right]=|\operatorname{det}(C)|$$ But by definition, $\mathrm{N}{K / \mathbb{Q}}(x)=\operatorname{det}(C)$.
(2) By Theorem 2.2.4, it suffices to show that
$$\mathrm{N}\left(\prod_{i=1}^r \mathfrak{p}i\right)=\mathrm{N}\left(\mathfrak{p}_1\right) \mathrm{N}\left(\prod{i=2}^r \mathfrak{p}i\right)$$ for any prime ideals $\mathfrak{p}_1, \cdots, \mathfrak{p}_r$. First, note that $k\left(\mathfrak{p}_1\right):=\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}_1$ is a finite field, since $\mathfrak{p}_1 \subseteq \mathcal{O}_K$ is maximal. We claim that $\prod{i=2}^r \mathfrak{p}i / \prod{i=1}^r \mathfrak{p}i$ is a $k\left(\mathfrak{p}_1\right)$-vector space of dimension 1. Assuming this claim, we see that $$\frac{\left[\mathcal{O}_K: \prod{i=1}^r \mathfrak{p}i\right]}{\left[\mathcal{O}_K: \prod{i=2}^r \mathfrak{p}i\right]}=\left[\prod{i=2}^r \mathfrak{p}i: \prod{i=1}^r \mathfrak{p}i\right]=# k\left(\mathfrak{p}_1\right)=\mathrm{N}\left(\mathfrak{p}_1\right)$$ which is clearly equivalent to the assertion needed. It remains to prove the claim. Since $\prod{i=1}^r \mathfrak{p}i \neq \prod{i=2}^r \mathfrak{p}i$ by Theorem $2.2 .4$, there exists $x \in \prod{i=2}^r \mathfrak{p}i$ but $x \notin \prod{i=1}^r \mathfrak{p}_i$. Then we

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Relative different and discriminant

Let $L / K$ be a finite extension of number fields.
Definition 3.3.1. – For a non-zero prime ideal $\mathfrak{P}$ of $\mathcal{O}L$, we put $$\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{P})=\mathfrak{p}^{f(\mathfrak{P} / \mathfrak{p})},$$
where $\mathfrak{p}=\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}K$, and $f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})=\left[\mathcal{O}_L / \mathfrak{P}: \mathcal{O}_K / \mathfrak{p}\right]$ is the residue degree of $\mathfrak{P} / \mathfrak{p}$. For an arbitrary fractional ideal $I=\prod{i=1}^r \mathfrak{P}i^{a_i}$, we put $$\mathrm{N}{L / K}(I):=\prod_{i=1}^r \mathrm{~N}\left(\mathfrak{P}i\right)^{a_i}$$ Then $\mathrm{N}{L / K}(I)$ is a fractional ideal of $K$, and we call it the norm of $I$ relative to $L / K$.
Lemma 3.3.2.

1. We have $\mathrm{N}{L / K}(I J)=\mathrm{N}{L / K}(I) \mathrm{N}_{L / K}(J)$ for any fractional ideals $I, J$ of $L$.
2. When $K=\mathbb{Q}$, then we have $\mathrm{N}_{L / \mathbb{Q}}(I)=(\mathrm{N}(I))$ for any fractional ideal $I$ of $L$, where $\mathrm{N}(I) \in \mathbb{Q}^{\times}$is the absolute norm of $I$ defined in Section 3.1.
3. If $I=J \mathcal{O}L$ for some ideal $J \subseteq \mathcal{O}_K$, then $\mathrm{N}{L / K}(I)=J^{[L: K]}$.
4. If $M / L$ is another finite extension, then one has
$$\mathrm{N}{M / K}(I)=\mathrm{N}{L / K}\left(\mathrm{~N}_{M / L}(I)\right)$$
for any fractional ideal I of $M$.
Proof. – Statement (1) is immediate from the definition. Statement (2) follows from the fact that, if $\mathfrak{P}$ is a prime of $\mathcal{O}_L$ above $p$, then $p^{f(\mathfrak{P} \mid p)}=#\left(\mathcal{O}_L / \mathfrak{P}\right)$. To prove (3), we may
5. assume that $J=\mathfrak{p}$ is a prime of $\mathcal{O}K$. If $\mathfrak{p} \mathcal{O}_L=\prod{i=1}^g \mathfrak{P}i^{e_i}$ is the prime decomposition of $\mathfrak{p}$ in $\mathcal{O}_L$, then $$\mathrm{N}{L / K}\left(\mathfrak{p} \mathcal{O}L\right)=\prod{i=1}^g \mathrm{~N}{L / K}\left(\mathfrak{P}_i\right)^{e_i}=\mathfrak{p}^{\sum{i=1}^g e_i f_i}=\mathfrak{p}^{[L: K]} 6.$$

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Norms of ideals

1. 我们有 $\mathrm{N}(I J)=\mathrm{N}(I) \mathrm{N}(J)$ 为了任何理想 $I, J \subseteq \mathcal{O}_K$.
2. 为了 $n \in \mathbb{Z} \geq 0$, 只存在有限多个理想 $I \subseteq \mathcal{O}K$ 这样 $\mathrm{N}(I)=n$. 证明。-(1) 让 $\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 是一个 $\mathbb{Z}$-基 础 $\mathcal{O}_K$. 那么存在一个矩阵 $C \in \mathrm{M} n \times n(\mathbb{Z})$ 这样 $$\left(x \alpha_1, \cdots, x \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) C .$$ 它遵循 $$\mathrm{N}(I)=[\mathcal{O} K: I]=\left[\sum_i \mathbb{Z} \cdot \alpha_i: \sum_i \mathbb{Z} \cdot x \alpha_i\right]=|\operatorname{det}(C)|$$ 但根据定义， $\mathrm{N} K / \mathbb{Q}(x)=\operatorname{det}(C)$. (2) 由定理2.2.4，足以证明 $$\mathrm{N}\left(\prod{i=1}^r \mathfrak{p} i\right)=\mathrm{N}\left(\mathfrak{p}1\right) \mathrm{N}\left(\prod i=2^r \mathfrak{p} i\right)$$ 对于任何素理想 $\mathfrak{p}_1, \cdots, \mathfrak{p}_r$. 首先，请注意 $k\left(\mathfrak{p}_1\right):=\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}_1$ 是一个有限域，因为 $\mathfrak{p}_1 \subseteq \mathcal{O}_K$ 是最大的。 -vectorspaceofdimension1.Assumingthisclaim, weseethat $\$ ffrac $\left{\backslash \mathrm{left}\left[\backslash m a t h c a l{O}{-} \mathrm{K}\right.\right.$ : 待证明这一说法。自从 $\prod i=1^r \mathfrak{p} i \neq \prod i=2^r \mathfrak{p} i$ 通过定理 $2.2 .4$ ，那里存在 $x \in \prod i=2^r \mathfrak{p} i$ 但 $x \notin \prod i=1^r \mathfrak{p}_i$. 然后我们

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Relative different and discriminant

$$\mathrm{N} L / K(\mathfrak{P})=\mathfrak{p}^{f(\mathfrak{P} / \mathfrak{p})},$$

1. 我们有 $\mathrm{N} L / K(I J)=\mathrm{N} L / K(I) \mathrm{N}_{L / K}(J)$ 对于任何分数理想 $I, J$ 的 $L$.
2. 什么时候 $K=\mathbb{Q}{\text {～那么我们有 }} \mathrm{N}{L / \mathbb{Q}}(I)=(\mathrm{N}(I))$ 对于任何分数理想 $I$ 的 $L$ ，在哪里N $\mathrm{N}(I) \in \mathbb{Q}^{\times}$是绝对 规范 $I$ 在第 $3.1$ 节中定义。
3. 如果 $I=J \mathcal{O} L$ 为了一些理想 $J \subseteq \mathcal{O}_K$ ，然后 $\mathrm{N} L / K(I)=J^{[L: K]}$.
4. 如果 $M / L$ 是另一个有限扩展，那么有
$$\mathrm{N} M / K(I)=\mathrm{N} L / K\left(\mathrm{~N}_{M / L}(I)\right)$$
对于任何分数理想 $\mid M$.
证明。-声明 (1) 直接来自定义。陈述 (2) 是从以下事实得出的：如果 $\mathfrak{P}$ 是素数 $\mathcal{O}_L$ 以上 $p$ ，然后 $\mathrm{K}} \backslash \mathrm{left}(\backslash m$ athfrak ${\mathrm{p}} \backslash$ mathcal ${\mathrm{O}}$ LIright $=\mid$ prod ${\mathrm{i}=1} \wedge \mathrm{g} \backslash$ mathrm ${\sim \mathrm{N}} \mathrm{L} /$
$6 . \$ \$$统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MATH3303 如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic number theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 代数数论是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。 我们提供的代数数论Algebraic number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Preliminaries on Noetherian rings All rings in this section are commutative. Proposition 2.1.1. – Let R be a ring, and M be an R-module. The following statements are equivalent: 1. Every submodule of M (including M itself) is finitely generated. 2. For any increasing chain of ideals N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots \subseteq N_n \subseteq N_{n+1} \subseteq \cdots, there exists an integer m such that N_n=N_{n+1} for all n \geq m. 3. Every non-empty subset \mathcal{S} of submodules of M contains a maximal element N under inclusion, i.e. if N^{\prime} \in \mathcal{S} contains N, then N=N^{\prime}. Proof. – We prove first (1) \Longrightarrow (2). Given an increasing chain of submodules N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots N_n \subseteq \cdots, put N_{\infty}=\cup_{n \geq 1} N_n. Write N_{\infty}=\left(x_1, \cdots, x_r\right). If m \geq 1 is large enough so that all x_i \in N_m, then N_n=N_{\infty} for all n \geq m. For (2) \Longrightarrow (3), we assume that \mathcal{S} does not contain any maximal element. Take an arbitrary N_1 \in \mathcal{S}. Since N_1 is not maximal, there exists N_2 \in \mathcal{S} such that N_1 \subsetneq N_2. Continuing this process, we produce an increasing chain of ideals N_1 \subsetneq N_2 \subsetneq \cdots N_n \subsetneq N_{n+1} \subsetneq \cdots, whose existence contradicts with (2). Finally, we prove (3) \Longrightarrow (1). It is enough to prove that M is finitely generated, since the same arguments apply with M replaced by any submodule N \subseteq M. Consider the set \mathcal{S} consisting of all finitely generated submodules of M. Then \mathcal{S} is non-empty, because (0) \in \mathcal{S}. Let N \in \mathcal{S} be a maximal element. For any x \in M, N^{\prime}=N+R \cdot x is also finitely generated and N \subseteq N^{\prime}. Then one has N=N^{\prime} by the maximality of N. This implies that x \in N, i.e. N=M. Definition 2.1.2. – (1) We say an R-module M is Noetherian if it satisfies the equivalent conditions in the previous Proposition. (2) We say a ring R is Noetherian, if R itself is Noetherian as an R-module. Proposition 2.1.3. – Let 0 \rightarrow M_1 \rightarrow M \rightarrow M_2 \rightarrow 0 be a short exact sequence of R-modules. Then M is Noetherian if and only if both M_1 and M_2 are Noetherian. 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Dedekind domains Definition 2.2.1. – An integral domain A is called a Dedekind domain if it is Noetherian and integrally closed, and every non-zero prime is maximal. Example 2.2.2. – (1) Every principal ideal domain is a Dedekind domain, e.g. \mathbb{Z}, \mathbb{F}_p[X], \mathbb{C}[X]. (2) For any number field K, \mathcal{O}_K is a Dedekind domain. (3) Let k be a field, F(x, y) \in k[x, y] such that F(x, y), F_x^{\prime}(x, y) and F_y^{\prime}(x, y) has no common zeros. Then k[x, y] /(F(x, y)) is a Dedekind domain. Definition 2.2.3. – Let A be a domain with fractional field K. Then a fractional ideal I of A is a sub- A-module of K such that there exists d \in A with d I \subset A. If I and J are both fractional ideals of A, then$$
I+J={x \in K \mid x=a+b, a \in I, b \in J}, \quad I \cdot J=\left{x=\sum_i a_i b_i \mid a_i \in I, b_i \in J\right}
$$are both fractional ideals. The main result of this section is the following Theorem 2.2.4. – Let A be a Dedekind domain. Every ideal I of A has a factorization I=\mathfrak{p}1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r} where \mathfrak{p}_i are distinct prime ideals and a_i \in \mathbb{Z}{\geq 0}; moreover, the factorization of I is unique up to order, i.e. if I has two such factorizations \mathfrak{p}_1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}=\mathfrak{q}_1^{b_1} \cdots \mathfrak{q}_s^{b_s}, then r=s and for each 1 \leq i \leq r, there exists a unique j such that \mathfrak{p}_i=\mathfrak{q}_j and a_i=b_j. To prove this theorem, we need some preparation. Lemma 2.2.5. – Let A be a Noetherian ring. Then every ideal I \neq 0 of A contains a product of prime ideals. Proof. – Let \mathcal{S} be the set of ideals that do not contain any product of prime ideals. Suppose that \mathcal{S} is non-empty. Since A is Noetherian, \mathcal{S} admits a maximal element, say I. Then I must not be a prime ideal. Thus there exist a, b \in R such that a, b \notin I but a b \in I. Then consider I_1=I+(a) and I_2=I+(b). Then I \subsetneq I_i for i=1,2. By the maximality of I, both I_1 and I_2 will contain a product of prime ideals. But it follows from$$
I_1 I_2 \subseteq(a b)+a I+b I+I^2 \subseteq I
$$that I should also contain a product of prime ideals. This is a contradiction. 代数数论代考 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Preliminaries on Noetherian rings 本节中的所有环都是可交换的。 提案 2.1.1。-让 R 是一个戒指，并且 M 豆 R-模块。以下语句是等效的: 1. 每个子模块 M （包含 M 本身）是有限生成的。 2. 对于任何递增的理想链 N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots \subseteq N_n \subseteq N_{n+1} \subseteq \cdots, 存在一个整数 m 这样 N_n=N_{n+1} 对所 有人 n \geq m. 3. 每个非空子集 \mathcal{S} 的子模块 M 包含最大元素 N 包含在内，即如果 N^{\prime} \in \mathcal{S} 包含 N ，然后 N=N^{\prime}. 证明。- 我们首先证明 (1) \Longrightarrow (2). 鉴于子模块链不断增加 N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots N_n \subseteq \cdots ，放 N_{\infty}=\cup_{n \geq 1} N_n. 写 N_{\infty}=\left(x_1, \cdots, x_r\right). 如果 m \geq 1 足够大，所以所有 x_i \in N_m ， 然后 N_n=N_{\infty} 对所有人 n \geq m. 对于 (2) \Longrightarrow(3) ，我们假设 \mathcal{S} 不包含任何最大元素。采取任意 N_1 \in \mathcal{S}. 自从 N_1 不是最大的，存在 N_2 \in \mathcal{S} 这 样 N_1 \subsetneq N_2. 继续这个过程，我们产生了越来越多的理想链 N_1 \subsetneq N_2 \subsetneq \cdots N_n \subsetneq N_{n+1} \subsetneq \cdots ， 其存在与 (2) 矛盾。 最后，我们证明 (3) \Longrightarrow(1). 足以证明 M 是有限生成的，因为相同的论点适用于 M 被任何子模块替换 N \subseteq M .考虑集合 \mathcal{S} 由所有有限生成的子模块组成 M. 然后 \mathcal{S} 是非空的，因为 (0) \in \mathcal{S}. 让 N \in \mathcal{S} 是一个极大的元素。对 于任何 x \in M, N^{\prime}=N+R \cdot x 也是有限生成的，并且 N \subseteq N^{\prime}. 然后一个有 N=N^{\prime} 的最大值 N. 这意味若 x \in N, \mathrm{IE} N=M. 定义 2.1.2。 – (1) 我们说一个 R-模块 M 如果它满足前面命题中的等价条件，则它是 Noetherian。 (2) 我们说一个环 R 是诺特式的，如果 R 本身是诺特的 R-模块。 提案 2.1.3。-让0 \rightarrow M_1 \rightarrow M \rightarrow M_2 \rightarrow 0 是一个简短的精确序列 R-模块。然后 M 是诺特式当且仅当两者 M_1 和 M_2 是诺特主义者。 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Dedekind domains 定义 2.2.1。-一个完整的域 A 如果它是 Noetherian 并且是整闭的，并且每个非零素数都是最大的，则称为 Dedekind 域。 示例 2.2.2。-(1) 每个主理想域都是 Dedekind 域，例如 \mathbb{Z} ， \mathbb{F}_p[X], \mathbb{C}[X]. (2) 对于任意数字字段 K, \mathcal{O}_K 是戴德金域。 (3) 请注意 k 成为一个领域， F(x, y) \in k[x, y] 这样 F(x, y), F_x^{\prime}(x, y) 和 F_y^{\prime}(x, y) 没有共同的零点。然后 k[x, y] /(F(x, y)) 是戴德金域。 定义 2.2.3。-让 A 是一个带小数域的域 K. 然后是一个分数理想 I 的 A 是一个子 A-模块的 K 这样就存在 d \in A 和 d I \subset A. 如果 I 和 J 都是分数理想 A ，然后 都是分数理想。 本节的主要结果是下面的 定理2.2.4。-设 A 为 Dedekind 域。 \mathrm{A} 的每个理想I 都有一个因式分解 I=\mathfrak{p} 1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_T} 在哪里 \mathfrak{p}_i 是不同的素理 想和 a_i \in \mathbb{Z} \geq 0; 此外，因式分解 I 根据顺序是唯一的，即如果我有两个这样的因式分解 \mathfrak{p}_1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}=\mathfrak{q}_1^{b_1} \cdots \mathfrak{q}_s^{b_s} ，然后 r=s 并为每个 1 \leq i \leq r ，存在唯一的 j 这样 \mathfrak{p}_i=\mathfrak{q}_j 和 a_i=b_j. 为了证明这个定理，我们需要做一些准备。 引理 2.2.5。-让 A 成为诺特环。那么每一个理想 I \neq 0 A 包含素理想的乘积。 证明。-让 \mathcal{S} 是不包含任何素理想乘积的理想集。假设 \mathcal{S} 是非空的。自从 A 是诺特主义者， \mathcal{S} 承认一个最大的元 素，比如说 I. 然后 I 一定不是素理想。因此存在 a, b \in R 这样 a, b \notin I 但 a b \in I. 然后考虑 I_1=I+(a) 和 I_2=I+(b). 然后 I \subsetneq I_i 为了 i=1,2. 通过最大值 I ，两个都 I_1 和 I_2 将包含主要理想的产物。但它遵循$$
I_1 I_2 \subseteq(a b)+a I+b I+I^2 \subseteq I
$$那 I 还应该包含素理想的产物。这是一个矛盾。 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MTH2106 如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic number theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 代数数论是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富，各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。 我们提供的代数数论Algebraic number theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Algebraic integers Definition 1.1.1. – Let A \subset B be an extension of rings. We say an element x \in B is integral over A if there exists a monic polynomial f(T)=T^n+a_1 T^{n-1}+\cdots+a_n \in A[T] such that f(x)=0. We say B is integral over A, if every x \in B is integral over A. Example 1.1.2. – (1) \mathbb{Z}[i] is integral over \mathbb{Z}. (2) Let L / K be an extension of fields. Then L is integral over K if and only if L / K is an algebraic extension. Proposition 1.1.3. – Let A \subset B be an extension of rings, x \in B. Then the following statements are equivalent: 1. x is integral over A. 2. the subring A[x] \subset B is a finite generated A-module. 3. x belongs to a subring B^{\prime} \subset B such that B^{\prime} is finitely generated as an A-module. \alpha_1, \cdots, \alpha_n of the A-module B^{\prime}. Since x B^{\prime} \subset B^{\prime}, there exists a U \in \mathrm{M}_{n \times n}(A) such that$$
x\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) U \Longleftrightarrow\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)\left(x I_n-U\right)=0 .
$$Let V be the cofactor matrix of x I_n-U. Then one has$$
\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)\left(x I_n-U\right) V=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \operatorname{det}\left(x I_n-U\right)=0 .
$$As 1 \in B^{\prime} is a linear combination of \alpha_i ‘s, we get \operatorname{det}\left(x I_n-U\right)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n=0. Corollary 1.1.4. – Let A \subset B be extensions of rings. Then the elements of B which are integral over A form a subring of B. Proof. – Given x, y \in B integral over A, we need to show that x+y and x y are also integral over A. Actually, one sees easily that A[x, y] is a finitely generated A-module, and concludes using Proposition 1.1.3(3). 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Traces and norms Definition 1.2.1. – Let L / K be a finite extension of fields, and x \in L. We view L as a finite dimensional K-vector space, and denote by$$
\phi_x: L \rightarrow L
$$the K-linear endomorphism on L defined by the multiplication by x. We have \phi_x \in End _K(L). We put \operatorname{Tr}{L / K}(x)=\operatorname{Tr}\left(\phi_x\right), and call it the trace of x (relative to L / K ); put \mathrm{N}{L / K}(x)=\operatorname{det}\left(\phi_x\right), and call it the norm of x (relative to L / K ). Lemma 1.2.2. – Let L / K be a finite extension of fields, and x \in L. 1. One has$$
\operatorname{Tr}{L / K}(x)=[L: K(x)] \operatorname{Tr}{K(x) / K}(x) \quad \text { and } \quad \mathrm{N}{L / K}(x)=\mathrm{N}{K(x) / K}(x)^{[L: K(x)]} .
$$2. If f(T)=T^n+a_1 T^{n-1}+\cdots a_n \in K[T] is the minimal polynomial of x over K, then \operatorname{Tr}{K(x) / K}(x)=-a_1 and \mathrm{N}{K(x) / K}(x)=(-1)^n a_n. Proof. – Exercise. From now on, we assume that all the fields encountered are number fields. Proposition 1.2.3. – Let L / K be a finite separable extension of fields, and n=[L: K]. Fix an algebraically closed field \Omega, and an embedding \tau: K \hookrightarrow \Omega. Then 3. there exists exactly n distinct embeddings \sigma_1, \cdots, \sigma_n: L \hookrightarrow \Omega such that \left.\sigma_i\right|_K=\tau for 1 \leq i \leq n; 4. the n embeddings \sigma_1, \cdots, \sigma_n are linearly independent over \Omega. Proof. – (1) By induction on n, one reduces to the case where L=K(x) for some x \in L. In this case, let f(T)=T^n+a_1 T^{n-1}+\cdots a_n be the minimal polynomial of x over K so that L \cong K[T] /(f(T)). Put f^\tau(T)=T^n+\tau\left(a_1\right) T^{n-1}+\cdots+\tau\left(a_n\right) \in \Omega[T], and let \alpha_1, \cdots, \alpha_n \in \Omega be the roots of f^\tau(T). Then the \alpha_i ‘s must be distinct (because f(T) is separable). For each \alpha_i, there exists a unique embedding \sigma_i: L \hookrightarrow \Omega extending \tau such that \sigma_i(x)=\alpha_i. Conversely, if \sigma: L \hookrightarrow \Omega is an extension of \tau, then it must send x to some \alpha_i, hence it must coincide with one of the \sigma_i ‘s. 代数数论代考 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Algebraic integers 定义 1.1.1。-让 A \subset B 是环的延伸。我们说一个元素 x \in B 是不可或缺的 A 如果存在一元多项式 f(T)=T^n+a_1 T^{n-1}+\cdots+a_n \in A[T] 这样 f(x)=0. 我们说 B 是不可或缺的 A ，如果每个 x \in B 是不 可或缺的 A. 示例 1.1.2。-(1) \mathbb{Z}[i] 是不可或缺的 \mathbb{Z}. (2) 让 L / K 成为领域的延伸。然后 L 是不可或缺的 K 当且仅当 L / K 是一个代数扩展。 提案 1.1.3。- 让 A \subset B 是环的延伸， x \in B. 那么下面的语句是等价的: 1. x 是不可或缺的 A. 2. 子环 A[x] \subset B 是有限生成的 \mathrm{A} 模。 3. x 属于子环 B^{\prime} \subset B 这样 B^{\prime} 有限生成为 \mathrm{A} 模。 \alpha_1, \cdots, \alpha_n 的 A-模块 B^{\prime}. 自从 x B^{\prime} \subset B^{\prime} ，存在一个 U \in \mathrm{M}_{n \times n}(A) 这样$$
x\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) U \Longleftrightarrow\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)\left(x I_n-U\right)=0 .
$$让 V 是的辅因子矩阵 x I_n-U. 然后一个有$$
\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)\left(x I_n-U\right) V=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \operatorname{det}\left(x I_n-U\right)=0
$$作为 1 \in B^{\prime} 是线性组合 \alpha_i 的，我们得到 \operatorname{det}\left(x I_n-U\right)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n=0. 推论 1.1.4。-让 A \subset B 是环的延伸。然后是元素 B 这是不可或缺的 A 形成一个子环 B. 证明。-鉴于 x, y \in B 积分超过 A ，我们需要证明 x+y 和 x y 也是不可或缺的 A. 其实，很容易看出 A[x, y] 是有 限生成的 A-模块，并使用命题 1.1.3(3) 得出结论。 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Traces and norms 定义 1.2.1。-让 L / K 是域的有限扩展，并且 x \in L. 我们查看 L 作为有限维 K-向量空间，并表示为$$
\phi_x: L \rightarrow L


1. 一个有
$\operatorname{Tr} L / K(x)=[L: K(x)] \operatorname{Tr} K(x) / K(x) \quad$ and $\quad \mathrm{N} L / K(x)=\mathrm{N} K(x) / K(x)^{[L: K(x)]}$.
2. 如果 $f(T)=T^n+a_1 T^{n-1}+\cdots a_n \in K[T]$ 是的最小多项式 $x$ 超过 $K$ ，然后 $\operatorname{Tr} K(x) / K(x)=-a_1$ 和 $\mathrm{N} K(x) / K(x)=(-1)^n a_n$.
证明。-锻炼。
从现在开始，我们假设遇到的所有字段都是数字字段。
提案 1.2.3。- 让 $L / K$ 是域的有限可分扩展，并且 $n=[L: K]$. 修正一个代数闭域 $\Omega$, 和一个嵌入 $\tau: K \hookrightarrow \Omega$. 然后
3. 确实存在 $n$ 不同的嵌入 $\sigma_1, \cdots, \sigma_n: L \hookrightarrow \Omega$ 这样 $\left.\sigma_i\right|_K=\tau$ 为了 $1 \leq i \leq n$;
4. 这 $n$ 嵌入 $\sigma_1, \cdots, \sigma_n$ 线性独立于 $\Omega$.
证明。 – (1) 通过归纳 $n$, 一个减少到的情况下 $L=K(x)$ 对于一些 $x \in L$. 在这种情况下，让 $f(T)=T^n+a_1 T^{n-1}+\cdots a_n$ 是的最小多项式 $x$ 超过 $K$ 以便 $L \cong K[T] /(f(T))$. 放
$f^\tau(T)=T^n+\tau\left(a_1\right) T^{n-1}+\cdots+\tau\left(a_n\right) \in \Omega[T]$ ， 然后让 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in \Omega$ 成为的根源 $f^\tau(T)$.
然后 $\alpha_i$ 的必须是不同的 (因为 $f(T)$ 是可分离的) 。对于每个 $\alpha_i$ ， 存在唯一嵌入 $\sigma_i: L \hookrightarrow \Omega$ 延伸 $\tau$ 这样 $\sigma_i(x)=\alpha_i$. 相反，如果 $\sigma: L \hookrightarrow \Omega$ 是的延伸 $\tau$ ，那么它必须发送 $x$ 对一些 $\alpha_i$ ，因此它必须与其中一个重 合 $\sigma_i$ 的。

有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。