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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH4307

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH4307

数学代写|数论作业代写number theory代考|Answers to Selected Supplementary Problems

1.13. (a) True since $644=7(92)$. (b) True since $644=-7(-92)$.
(c) False since the remainder is 4 , not $0 . \quad$ (d) True since $2916=$ $243(12)$
(e) True since $16 m-12=4(4 m-3)$. (f) True since $-7 m=$ $m(-7)$.
(g) False since the remainder is $3 m$, not 0 . (h) True since $-k^{3}+$ $2 k=k\left(-k^{2}+2\right)$.
1.15. (a) $487=14(34)+11$, i.e., $q=34$ and $r=11$.
(b) $-386=27(-15)+19$, i.e., $q=-15$ and $r=19$.
1.16. Since $486=15 a+6$, we get $a=480 / 15=32$.
1.17. $44=2^{2} \cdot 11,111=3 \cdot 37$, so $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
1.19. (a) $F_{9}=34, F_{10}=55, F_{11}=89, F_{12}=144$.
1.20. (a) $84 . \quad$ (b) $525 .$
1.22. (a) $44=\left(2^{2}\right)(11)$ and $111=(3)(37)$, so $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
(b) $111=44(2)+23,44=23(1)+21,23=21(1)+2,21=2(10)+1$.
1.23. By the Euclidean Algorithm, we have $71=23(3)+2$ and $23=2(11)+1$.

Hence $1=23-2(11)=23-(71-23(3))(11)=23(34)+71(-11)$, so $x=34$ and $y=-11$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Listing Primes: The Sieve of Eratosthenes

A second question we now ask is, How can we list all of the prime numbers up to some positive value $n \geq 2$ ? A method to do this is known as the Sieve of Eratosthenes, named in honor of Eratosthenes $(276 \mathrm{BC}-194 \mathrm{BC})$, who appears to be the first to make use of this process. The process, described below, is quite efficient as long as $n$ isn’t too large.

We begin by listing all of the numbers from 2 to $n$. Then since 2 is prime, we leave it in the list and delete all multiples of 2 (except 2 itself) up to and including $n$. That knocks out all the even numbers in our list larger than 2 . We then leave 3 and delete all larger multiples of 3 . The next value not already deleted is 5 , so we leave it and delete all multiples of 5 . We continue this process with 7 which is yet to be deleted, then 11, ctc. The numbers remaining in the list give all primes up to $n$. A question you might have is, When can we stop this process so that we have indeed listed all the primes up to $n$ ? You are asked in Problem $2.2$ to show that we need only process primes which are less than or equal to the square root of $n$.

Example 2.2. We illustrate the Sieve of Eratosthenes by finding all primes up to $n=50$. We begin by listing all of the positive integers from 2 through 50 . By what we just stated, we need only process $2,3,5$, and 7 since $11>\sqrt{50}$.
$\begin{array}{rrrrrrrrrr} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 48 & 49 & 50\end{array}$
We boldface the number 2 as the first item in this list (since we know it is prime), and then cross out each multiple of 2 that is greater than 2. It is important to note that no actual arithmetic must be done here! We simply start at 2, skip by the amount of 2 (which gets us to the number 4), cross out the 4 , then skip by another 2 to get to 6 , cross out the 6 , and so on. This stage of the process is quite straightforward. This now leaves us with the following table.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH4307

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Answers to Selected Supplementary Problems

1.13。 (a) 真因为 $644=7(92)$. (b) 真因为 $644=-7(-92)$.
(c) 假,因为余数是 4 ,不是 $0 . \quad$ (d) 真因为 $2916=243(12)$
(e) 真因为 $16 m-12=4(4 m-3)$. (f) 真因为 $-7 m=m(-7)$.
(g) 假,因为余数是 $3 m$ ,而不是 0 。(h) 真因为 $-k^{3}+2 k=k\left(-k^{2}+2\right)$.
1.15。(一个) $487=14(34)+11$ ,那是, $q=34$ 和 $r=11$.
(二) $-386=27(-15)+19$ , 那是, $q=-15$ 和 $r=19$.
1.16。自从 $486=15 a+6$ ,我们得到 $a=480 / 15=32$.
1.17. $44=2^{2} \cdot 11,111=3 \cdot 37$ ,所以 $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
1.19。 (-个) $F_{9}=34, F_{10}=55, F_{11}=89, F_{12}=144$.
1.20。(一个) 84 . (b) 525 .
1.22。(一个) $44=\left(2^{2}\right)(11)$ 和 $111=(3)(37)$ ,所以 $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
(二) $111=44(2)+23,44=23(1)+21,23=21(1)+2,21=2(10)+1$.
1.23。根据欧几里得算法,我们有 $71=23(3)+2$ 和 $23=2(11)+1$.
因此1 $1=23-2(11)=23-(71-23(3))(11)=23(34)+71(-11)$, 所以 $x=34$ 和 $y=-11$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Listing Primes: The Sieve of Eratosthenes

我们现在要问的第二个问题是,我们如何列出所有素数,直到某个正值 $n \geq 2 ?$ 一种方法被称为埃拉托色尼筛,以纪 念埃拉托色尼而命名 $(276 \mathrm{BC}-194 \mathrm{BC})$ ,谁似平是第一个利用这个过程的人。下面描述的过程非常有效,只要 $n$ 不是太大。
我们首先列出从 2 到 $n$. 然后因为 2 是素数,我们将它留在列表中并删除所有 2 的倍数(除了 2 本身),包括 $n$. 这 会㓭除我们列表中大于 2 的所有偶数。然后我们留下 3 并删除所有更大的 3 倍数。下一个尚末删除的值是 5 ,因此 给出了所有素数 $n$. 你可能有一个问题,我们什么时候可以停止这个过程,以便我们确实列出了所有素数 $n$ ? 你在问题 中被问到 $2.2$ 表明我们只需要处理小于或等于平方根的素数 $n$.
例 2.2。我们通过找出所有素数来说明埃拉托色尼筛法 $n=50$. 我们首先列出从 2 到 50 的所有正整数。正如我们刚 オ所说,我们只需要处理 $2,3,5$, 和 7 以来 $11>\sqrt{50}$. 我们将数字 2 加粗作为该列表中的第一项(因为我们知道它是素数),然后删除大于 2 的每个 2 的倍数。重要的是 要注意,这里不必进行实际的算术运算!我们只是从 2 开始,跳过 2 的数量(这使我们到达数字 4 ),划掉 4 ,然 后再跳过 2 到达 6 ,划掉 6 ,依此类推。该过程的这个阶段非常简单。现在给我们留下了下表。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisors

1.17. Find $\operatorname{gcd}(44,111)$ using factorization into powers of prime numbers.
1.18. For a positive integer $a$, what are the possibilities for the quantity $\operatorname{gcd}(a+3, a)$ ? Find specific examples to demonstrate each possibility. Now prove your conjecture. (Hint: Suppose $d$ divides both $a$ and $a+3$, then by Lemma $1.1$ Part (ii) $\cdots$.)
1.19. The sequence of numbers $1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ is known as the sequence of Fibonacci number. After the first two values, a given number is obtained as the sum of the previous two numbers. We denote this sequence of positive integers by $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots$, in honor of Fibonacci who first wrote about these numbers in his book “Liber Abaci,” which was published in $1202 .$
(a) Above we have written $F_{1}$ through $F_{8}$. Write down $F_{y}$ through $F_{12}$.
(b) Prove that for any positive integer $k \geq 1, \operatorname{gcd}\left(F_{k}, F_{k+1}\right)=1$, i.e., prove that any two consecutive Fibonacci numbers are relatively prime. (Hint: Suppose $d$ divides both $F_{k+1}$ and $F_{k}$; then by Lemma 1.1 Part (ii) (or (iii)) it divides their difference, which is what by the definition of these numbers? Hence $d$ must divide $F_{k}$ and $F_{k-1}$. Continue this process, concluding finally that we must have $d=1$.
1.20. (a) What is $\operatorname{lcm}(21,28)$ ?
(b) What is $\operatorname{lcm}(21,25)$ ? (See Solved Problem 1.8.)
1.21. Prove that $\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gcd}(a, b)}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

1.22. Find $\operatorname{gcd}(44,111)$ using the Euclidean Algorithm.
1.23. The numbers 23 and 71 are relatively prime since both are themselves prime. Find integers $(x, y)$ such that $23 x+71 y=1$.
1.24. (a) Find $\operatorname{gcd}(381,3837)$ using the Euclidean Algorithm.
(b) Find integers $(x, y)$ such that $\operatorname{gcd}(381,3837)=381 x+3837 y$.
1.25. How many steps must the Euclidean Algorithm take to find the gcd of two positive integers $a$ and $b$ ? We have seen through examples and problems that it can vary, but what is the “worst case?” It can be shown that if $a$ is the first divisor, then the total number of steps can be no more than 7 times the number of decimal digits of $a$.
(a) Suppose the first divisor $a$ is between a billion and 9 billion (and the dividend $b$ is larger). What is the maximum number of steps to discover $\operatorname{gcd}(a, b)$ by the Euclidean Algorithm?
(b) Returning to the Fibonacci numbers (Supplementary Problem 1.19), we saw that $F_{11}=89$ and $F_{12}=144$. According to the above information, what is the maximum number of steps needed to compute $\operatorname{gcd}\left(F_{11}, F_{12}\right)$ using the Euclidean Algorithm? Now do the actual computation and check the number of steps. (Note: This part illustrates that computing the gcd of two adjacent Fibonacci numbers using the Euclidean Algorithm goes about as slowly as possible.)

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisors

1.17。寻找 $\operatorname{acd}(44,111)$ 使用因式分解为素数的幂。
1.18。对于一个正整数 $a$, 数量的可能性是什么 $\operatorname{gcd}(a+3, a)$ ? 找到具体的例子来展示每一种可能性。现在证明你的 猜想。(提示:假设 $d$ 将两者分开 $a$ 和 $a+3$ ,然后由引理 $1.1$ 第 (ii) 部分 $\cdots$ )
1.19。数字序列 $1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ 被称为斐波那契数列。在前两个值之后,得到一个给定的数字作为前两 个数字的总和。我们将这个正整数序列表示为 $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots$, 以纪念斐波那契,他在他的书“Liber Abaci”中首次 写到这些数字,该书发表于 1202 .
(a) 上面我们写了 $F_{1}$ 通过 $F_{8}$. 写下 $F_{y}$ 通过 $F_{12}$.
(b) 证明对于任何正整数 $k \geq 1, \operatorname{gcd}\left(F_{k}, F_{k+1}\right)=1$ ,即证明任何两个连续的斐波那契数都是互质的。(提示: 假 设 $d$ 将两者分开 $F_{k+1}$ 和 $F_{k}$; 然后通过引理 $1.1$ 第 (ii) 部分 (或 (iii)) 它划分它们的差异,这些数字的定义是什么? 因此 $d$ 必须分开 $F_{k}$ 和 $F_{k-1}$. 继续这个过程,最后得出结论,我们必须有 $d=1$.
1.20。(一) 什么是 $\operatorname{lcm}(21,28)$ ?
(b) 什么是 $\operatorname{lcm}(21,25)$ ? (见已解决的问题 1.8。)
1.21。证明 $\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gcd}(a, b)}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

1.22。寻找gcd $(44,111)$ 使用欧几里得算法。
1.23。数字 23 和 71 是相对质数,因为它们本身都是质数。查找整数 $(x, y)$ 这样 $23 x+71 y=1$.
1.24。(a) 查找 $\operatorname{gcd}(381,3837)$ 使用欧几里得算法。
(b) 求整数 $(x, y)$ 这样 $\operatorname{gcd}(381,3837)=381 x+3837 y$.
1.25。欧几里得算法需要多少步才能找到两个正整数的 $g c d a$ 和 $b$ ? 我们已经通过例子和问题看到了它可能会有所不 同,但“最坏的情况”是什么? 可以证明,如果 $a$ 是第一个除数,那么总步数不能超过小数位数的7倍 $a$.
(a) 假设第一个除数 $a$ 介于 10 亿和 90 亿之间(以及股息 $b$ 更大)。发现的最大步数是多少 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 欧几里得算法?
(b) 回到斐波那契数列(补充问题 1.19),我们看到 $F_{11}=89$ 和 $F_{12}=144$. 根据以上信息,计算需要的最大步数 是多少 $\operatorname{gcd}\left(F_{11}, F_{12}\right)$ 使用欧几里得算法? 现在进行实际计算并检查步数。(注意:这部分说明了使用欧几里得算 法计算两个相邻斐波那契数的 gcd 尽可能慢。)

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

Given two positive integers $a$ and $b$, how do we compute their greatest common divisor? If $a$ and $b$ are relatively small, one way (which we shall discuss in some detail in our next chapter) is to factor them both into their representation as a product of powers of prime numbers and observe what factors are in common. However, if at least one of the integers $a$ and $b$ is large, this method can be difficult and relatively inefficient. Euclid, in Book VII of his Elements, describes a very efficient procedure for computing greatest common divisors. Before stating his method, let us look at a couple of examples.

Example 1.4. (a) What is $\operatorname{gcd}(420,378)$ ? As suggested above, one way is to factor them both: $420=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ and $378=2 \cdot 3^{3} \cdot 7$. These factorizations have in common 2,3 and 7 , so $\operatorname{gcd}(420,378)=$ $2 \cdot 3 \cdot 7=42$.
(b) What is $\operatorname{gcd}(858,1092)$ ? We could factor again, but it does not look easy. We are seeing that the larger the numbers become, the more difficult the factorization method becomes. Here is a better method.

Theorem 1.3. (Euclidean Algorithm) Let a and b be positive integers. If $a$ divides $b$, then the $\operatorname{gcd}(a, b)=a$. Otherwise, repeatedly using the Division Algorithm, there exists a strictly decreasing sequence of positive integers $r_{1}, \ldots, r_{n}$ so that
$$
\begin{aligned}
b &=a q_{1}+r_{1} \
a &=r_{1} q_{2}+r_{2} \
r_{1} &=r_{2} q_{3}+r_{3} \
& \vdots \
r_{n-2} &=r_{n-1} q_{n}+r_{n} \
r_{n-1} &=r_{n} q_{n+1}+0 .
\end{aligned}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Division Algorithm

1.4. (a) Using the Division Algorithm, find the quotient $q$ and the remainder $r$ when $b=711$ is divided by $a=23$.
(b) Do the same as in Part (a) for dividing $b=-135$ by $a=31$.
Solution:
(a) $711=23(30)+21$, i.e., $q=30$ and $r=21$.
(b) $-135=31(-5)+20$, i.e., $q=-5$ and $r=20$.
1.5. In the Division Algorithm, suppose that the dividend $b=259$, the quotient $q=12$, and the remainder $r=7$. What is the divisor $a$ ?
Solution:
Since $259=12 a+7$, we get $a=252 / 12=21$.
Greatest Common Divisors
1.6. Find $\operatorname{gcd}(35,180)$ using factorization into powers of prime numbers.
Solution:
$35=5 \cdot 7,180=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, so $\operatorname{gcd}(35,180)=5$.
1.7. Find $\operatorname{gcd}(224,468)$ using factorization into powers of prime numbers.
Solution:
$$
221=2^{5} \cdot 7,168=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 13 \text {, so } \operatorname{gcd}(221,168)=2^{2}=1 \text {. }
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Euclidean Algorithm

给定两个正整数 $a$ 和 $b$ ,我们如何计算它们的最大公约数? 如果 $a$ 和 $b$ 相对较小,一种方法 (我们将在下一章详细讨 论) 是将它们都分解为素数幂的乘积,并观察它们的共同点。但是,如果至少有一个整数 $a$ 和 $b$ 很大,这种方法可能 很困难并且效率相对较低。Euclid 在其 Elements 的第 VII 卷中描述了一种非常有效的计算最大公约数的过程。在说 明他的方法之前,让我们看几个例子。
例 1.4。(一) 什么是 $\operatorname{gcd}(420,378)$ ? 如上所述,一种方法是将它们都考虑在内: $420=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ 和 $378=2 \cdot 3^{3} \cdot 7$. 这些因式分解有共同点 2,3 和 7 ,所以 $\operatorname{gcd}(420,378)=2 \cdot 3 \cdot 7=42$.
(b) 什么是 $\operatorname{gcd}(858,1092)$ ? 我们可以再次考虑因素,但这看起来并不容易。我们看到数字越大,分解方法就越困 难。这里有一个更好的方法。
定理 1.3。(欧几里得算法) 令 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 为正整数。如果 $a$ 划分 $b$ ,那么 $\operatorname{gcd}(a, b)=a$. 否则,重复使用除法算法,存在 严格递减的正整数序列 $r_{1}, \ldots, r_{n}$ 以便
$$
b=a q_{1}+r_{1} a \quad=r_{1} q_{2}+r_{2} r_{1}=r_{2} q_{3}+r_{3} \quad \vdots r_{n-2}=r_{n-1} q_{n}+r_{n} r_{n-1} \quad=r_{n} q_{n+1}+0 .
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Division Algorithm

1.4. (a) 使用除法算法,求商 $q$ 和其余的 $r$ 什么时候 $b=711$ 被除以 $a=23$.
(b) 做与 $(\mathrm{a})$ 部分相同的除法 $b=-135$ 经过 $a=31$.
解决方案: (
一) $711=23(30)+21$ ,那是, $q=30$ 和 $r=21$.
(二) $-135=31(-5)+20$ , 那是, $q=-5$ 和 $r=20$.
1.5。在除法算法中,假设被除数 $b=259$ ,商 $q=12$ ,和余数 $r=7$. 什么是除数 $a$ ?
解决方案:
由于 $259=12 a+7$ ,我们得到 $a=252 / 12=21$.
最大公约数
1.6。寻找 $\operatorname{gcd}(35,180)$ 使用因式分解为素数的幂。
解决方案:
$35=5 \cdot 7,180=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ,所以 $\operatorname{gcd}(35,180)=5$.
1.7. 寻找 $\operatorname{gcd}(224,468)$ 使用因式分解为素数的幂。
解决方窣:
$$
221=2^{5} \cdot 7,168=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 13, \text { so } \operatorname{gcd}(221,168)=2^{2}=1
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MAST90136

数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

Definition: Suppose $b$ is an integer and $a$ is a non-zero integer. We say that $a$ divides $b$ if there is an integer $q$ so that $b=a q$. If there are such integers, we denote the fact that $a$ divides $b$ by using the notation $a \mid b$.

Be aware that the notation $a \mid b$ is a sentence with the verb being “divides.” Contrast this with the notation $\frac{a}{b}$, which is an element of the rational numbers $\mathbb{Q}$ (see Appendix $B$, not a sentence.

Example 1.1. Clearly $2 \mid 8$ since $8=2(4) ; 36 \mid 108$ since $108=$ $36(3) ; 3 \mid(-36)$ since $-36=3(-12)$; and for any integer $m, 3 \mid(15 m+$ 3) since $15 m+3=3(5 m+1)$. On the other hand, 3 does not divide 13 as there is no integer $q$ with $13=3 q$.

In the following lemma, we provide a few basic properties involving the divisibility of integers. (Note: A “lemma” is a “helping theorem,” i.e., an often easily proved result which is then used to establish bigger results.)
Lemma 1.1. Let $a, b, c, d$ be integers with $a>0$ and $d>0$.
(i) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(b+c)$;
(ii) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(b-c)$;
(iii) If $a \mid b$ and $a \mid c$, then $a \mid(m b+n c)$ for any integers $m$ and $n$;
(iv) If $d \mid a$ and $a \mid b$, then $d \mid b$.
Proof. To prove Part (i), we may assume that $b=a q$ and $c=a s$ where $q$ and $s$ are integers. Then $b+c=a q+a s=a(q+s)$ so that $a$ divides $b+c$ (since $q+s$ is an integer). The proof of Part (ii) is similar and hence omitted. Proofs of the remaining parts are left to the reader in Supplementary Problem 1.14.

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Division Algorithm

What if a positive integer $a$ does not divide an integer $b$ ? Here is where the seemingly simple but very important Division Algorithm comes into play when doing computations in $\mathbb{Z}$.

Theorem 1.2. (Division Algorithm) Let $a$ and $b$ be integers with $a>0$. Then there are integers $q$ and $r$ with $0 \leq r<a$ so that $b=a q+r$.

This is simply a formal statement of the long division process. The integer $b$ is often called the dividend, $a$ the divisor, $q$ the quotient, and $r$ the remainder. The key is that the remainder $r$ must be non-negative and must be less than the divisor $a$. It is clear that $a \mid b$ if and only if $r=0$.

Example 1.2. Given $b=436$ and $a=17$, we can compute by long division that $436=17(25)+11$. Note that, as required, the remainder 11 is greater than or equal to 0 and is less than the divisor 17. Given $b=-67$ and $a=12$, we get $-67=12(-6)+5$, so in this case the quotient $-6$ is negative, but again the remainder 5 must be non-negative and below the divisor 12 .

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数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

定义: 假设 $b$ 是一个整数并且 $a$ 是一个非零整数。我们说 $a$ 划分 $b$ 如果有一个整数 $q$ 以便 $b=a q$. 如果存在这样的整 数,我们表示 $a$ 划分 $b$ 通过使用符号 $a \mid b$.
请注意,符号 $a \mid b$ 是一个动词为“divides”的句子。将此与符号进行对比 $\frac{a}{b}$ ,它是有理数的一个元素 $\mathbb{Q}$ (参见附录 $B$ ,而不是一句话。
例 1.1。清楚地 $2 \mid 8$ 自从 $8=2(4) ; 36 \mid 108$ 自从 $108=36(3) ; 3 \mid(-36)$ 自从 $-36=3(-12)$; 对于任何整数 $m, 3 \mid(15 m+3)$ 因为 $15 m+3=3(5 m+1)$. 另一方面, 3 不能整除 13 ,因为没有整数 $q$ 和 $13=3 q$.
在下面的引理中,我们提供了一些涉及整数整除性的基本性质。(注意: “引理”是“帮助定理”,即一个经常容易证明 的结果,然后用于建立更大的结果。)
引理 1.1。让 $a, b, c, d$ 是整数 $a>0$ 和 $d>0$.
(一) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ,然后 $a \mid(b+c)$ ;
(ii) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ,然后 $a \mid(b-c)$;
(iii) 如果 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ ,然后 $a \mid(m b+n c)$ 对于任何整数 $m$ 和 $n$;
(iv) 如果 $d \mid a$ 和 $a \mid b$ ,然后 $d \mid b$.
证明。为了证明第 (i) 部分,我们可以假设 $b=a q$ 和 $c=a s$ 在哪里 $q$ 和 $s$ 是整数。然后
$b+c=a q+a s=a(q+s)$ 以便 $a$ 划分 $b+c$ (自从 $q+s$ 是一个整数)。(ii) 部分的证明类似,因此省略。其余 部分的证明留给读者在补充问题 $1.14$ 中。

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Division Algorithm

如果一个正整数怎么办 $a$ 不除整数 $b$ ? 这是看似简单但非常重要的除法算法在进行计算时发挥作用的地方 $\mathbb{Z}$.
定理 1.2。(除法算法) 让 $a$ 和 $b$ 是整数 $a>0$. 然后有整数 $q$ 和 $r$ 和 $0 \leq r<a$ 以便 $b=a q+r$.
这只是对长除法过程的正式陈述。整数 $b$ 通常被称为股息, $a$ 除数, $q$ 商,和 $r$ 其余的。关键是剩下的 $r$ 必须是非负数 且必须小于除数 $a$. 很清楚 $a \mid b$ 当且仅当 $r=0$.
例 1.2。给定 $b=436$ 和 $a=17$ ,我们可以通过长除法计算出 $436=17(25)+11$. 注意,根据需要,余数 11 大 于或等于 0 并且小于除数 17。给定 $b=-67$ 和 $a=12$ ,我们得到 $-67=12(-6)+5$ ,所以在这种情况下,商 $-6$ 是负数,但余数 5 必须是非负数并且低于除数 12 。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH 1001

数学代写|数论作业代写number theory代考|Coprime Numbers

Natural numbers $m$ and $n$ are called coprime, if $(m, n)=1$. An interesting real-life technical application of coprime numbers is depicted in Fig. 1.5. It shows two gear ratios. In the left part of the figure, the larger wheel has 20 teeth and the smaller one 10 teeth. If there is one tooth slightly damaged on the larger wheel (it is marked with a dot in Fig. 1.5), then it fits into exactly the same gap in the smaller wheel after each turn of the larger wheel. Just at this gap, the smaller wheel will be very quickly worn out. In the right part of Fig. $1.5$ we see two wheels with 25 and 12 teeth. Since $(25,12)=1$, there will be completely uniform wear. Let us still note that the ratio of the teeth is actually almost the same in both cases: 2 and $2.083 .$

Here is another practical use of coprime numbers. The fixed part of the caliper is equipped with a scale in which each centimeter is divided into $10 \mathrm{~mm}$. On the moving part, the so-called vernier is divided into 10 equally long pieces, which together have $9 \mathrm{~mm}$ (see Fig. 1.6). The fact that 9 and 10 are coprime allows us to determine the dimensions of small objects with precision to the nearest tenth of a millimeter. When measuring, we determine which line of the vernier merges with some line on the millimeter scale of the caliper. So many tenths of a millimeter is then added to the measured millimeters (i.e. to their largest integer value). If we were to choose instead of $9 \mathrm{~mm}$ another length that divides $10 \mathrm{~mm}$, then several lines could merge so we would not know which data applies.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

To calculate the greatest common divisor $(m, n)$ of two large natural numbers $m \geq n$ the well-known Euclidean algorithm is often used. It can be briefly characterized as follows:

If $n$ divides $m$, then $(m, n)=n$, otherwise we have
$$
(m, n)=(n, z),
$$
where $z \geq 1$ is the remainder when dividing the number $m$ by the number $n$. Since $z<m$, larger problem is thus converted to a smaller one. The next steps of the algorithm then proceed similarly. The original problem is thus reduced to smaller and smaller parts until we get the remainder 0 .
For instance, if $m=54$ and $n=16$, then by the Euclidean algorithm we get
$$
(54,16)=(16,6)=(6,4)=(4,2)=2 .
$$
Now let us imagine that we have a squared paper with dimensions $54 \times 16$ (see Fig. 1.7). From this we will gradually cut off squares as large as possible and we will perform this as long as possible (see [188]), i.e., in the first step we cut off 3 squares $16 \times 16$, in the next step we cut 2 squares $6 \times 6$, etc. The length of the side of the square that we have left, is the result of the Euclidean algorithm, i.e. the largest common divisor of numbers 54 and 16 .

If the numbers $m$ and $n$ are coprime, the Euclidean algorithm ends with the least possible square $1 \times 1$. For example, two consecutive natural numbers are always coprime.

To calculate the least common multiple of $[m, n]$, it is also useful to apply the Euclidean algorithm first, because $(m, n) \leq[m, n]$, and then use the relation (1.2). We return to the Euclidean algorithm in Theorem 7.7.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH 1001

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Coprime Numbers

自然数米和n被称为互质,如果(米,n)=1. 图 1.5 描绘了一个有趣的现实生活中互质数的技术应用。它显示了两个传动比。在图的左侧,较大的轮子有 20 个齿,较小的轮子有 10 个齿。如果大轮上的一个齿有轻微损坏(在图 1.5 中用点标记),那么在大轮每转一圈后,它就完全适合小轮的相同间隙。就在这个间隙,较小的轮子会很快磨损。在图的右边部分。1.5我们看到两个轮子有 25 和 12 个齿。自从(25,12)=1,会有完全均匀的磨损。让我们仍然注意到,在这两种情况下,牙齿的比例实际上几乎相同:2 和2.083.

这是互质数的另一个实际用途。卡尺的固定部分装有刻度,每厘米分为10 米米. 在运动部分,所谓的游标被分成10个等长的部分,它们共同具有9 米米(见图 1.6)。9 和 10 互质这一事实使我们能够以最接近十分之一毫米的精度确定小物体的尺寸。测量时,我们确定游标的哪条线与卡尺毫米刻度上的某条线合并。然后将如此多的十分之几毫米添加到测量的毫米中(即添加到它们的最大整数值)。如果我们选择而不是9 米米另一个分开的长度10 米米,然后几行可以合并,所以我们不知道哪些数据适用。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

计算最大公约数 $(m, n)$ 两个大的自然数 $m \geq n$ 经常使用著名的欧几里得算法。它可以简单地描述如下:
如果 $n$ 划分 $m$ ,然后 $(m, n)=n$, 否则我们有
$$
(m, n)=(n, z)
$$
在哪里 $z \geq 1$ 是除数时的余数 $m$ 按号码 $n$. 自从 $z<m$ ,因此较大的问题转换为较小的问题。然后算法的后续步骙 类似地进行。因此,原始问题被简化为越来越小的部分,直到我们得到余数 0 。
例如,如果 $m=54$ 和 $n=16$ ,然后通过欧几里得算法我们得到
$$
(54,16)=(16,6)=(6,4)=(4,2)=2 .
$$
现在让我们假设我们有一张带有尺寸的方形纸54 $\times 16$ (见图 1.7) 。从这里我们将逐渐切掉尽可能大的正方
形,并且我们将尽可能长时间地执行此操作(参见 [188]),即在第一步中我们切掉 3 个正方形 $16 \times 16$, 在下一 步中我们切出 2 个正方形 $6 \times 6$ 等。我们留下的正方形边的长度是欧几里得算法的结果,即数字 54 和 16 的最大 公约数。
如果数字 $m$ 和 $n$ 互质,欧几里得算法以最小可能平方结束 $1 \times 1$. 例如,两个连续的自然数总是互质的。
计算最小公倍数 $[m, n]$ ,首先应用欧几里得算法也很有用,因为 $(m, n) \leq[m, n]$ ,然后使用关系式 (1.2)。我 们回到定理 $7.7$ 中的欧几里得算法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

如果你也在 怎样代写数论number theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

数学代写|数论作业代写number theory代考|Simple Criteria of Divisibility

We say that $d$ divides (without remainder) a natural number $n$, if there exists $k \in \mathbb{N}$ such that $n=d \cdot k$. In this case we shall write
$$
d \mid n
$$
for instance, $3 \mid 6$. The number $d$ is called a divisor of the number $n$ and the numbers 1 and $n$ are called trivial divisors of $n$. If $1<d<n$, then $d$ is called a nontrivial divisor, and if $d<n$, then $d$ is called a proper divisor of $n$. If $m$ does not divide $n$, we shall write $m \nmid n$, for instance, $5 \nmid 6$. Similar definitions can also be introduced for integer numbers when $m \neq 0$. An integer divisible by 2 is called even, otherwise odd.
Theorem 1.1 A natural number $n$ written in the decimal system is divisible by
(a) two, if its last digit is even,
(b) three, if the sum of all its digits is divisible by 3 ,
(c) four, if the number formed by the last two digits of $n$ is divisible by 4 ,
(d) five, if its last digit is 0 or 5 ,
(e) $\operatorname{six}$, if it is even and divisible by 3 ,
(f) seven, if twice the number of hundreds increased by the number formed by the last two digits is divisible by 7,
(g) eight, if the number formed by the last three digits of $n$ is divisible by 8 ,
(h) nine, if the sum of all its digits is divisible by 9 ,
(i) ten, if its last digit is 0 .

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Least Common Multiple and the Greatest

Let $m$ and $n$ be arbitrary natural numbers. Denote by $M \subset \mathbb{N}$ a subset of all common multiples of $m$ and $n$. The set $M$ is clearly nonempty, because it contains e.g. the product $m n$. Since $\mathbb{N}$ is well ordered, $M$ must contain a smallest element, which we denote by $[m, n]$ and call the least common multiple of the numbers $m, n \in \mathbb{N}$. Thus, it is the smallest natural number divisible by both $m$ and $n$.

Similarly, the greatest common divisor of two integer numbers $m$ and $n$, which are not zero at the same time, is the largest integer that divides both $m$ and $n$. The greatest common divisor of numbers $m$ and $n$ will be denoted by $(m, n)$.

A basic property of the largest common divisor and least common multiple is obviously
$$
(m, n)=(n, m), \quad[m, n]=[n, m] .
$$
For $k, m, n \in \mathbb{N}$ the following distributive properties hold
$$
[k,(m, n)]=([k, m],[k, n]) \text { and }(k,[m, n])=[(k, m),(k, n)] .
$$

Theorem $1.2$ For any natural numbers $m$ and $n$ we have
$$
m n=(m, n)[m, n] .
$$
Proof Denote by $d \geq 1$ an arbitrary common divisor of $m$ and $n$. Then $\frac{m}{d}$ and $\frac{n}{d}$ are natural numbers, $\frac{m}{d} n$ is an integer multiple of the number $n$, and $\frac{n}{d} m$ is an integer multiple of the number $m$. Therefore, $\frac{m n}{d}$ is a common multiple of the numbers $m$ and $n$. Now if $d$ is the greatest common divisor of the numbers $m$ and $n$, then $\frac{m n}{d}$ has to be the least common multiple $m$ and $n$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Simple Criteria of Divisibility

我们说 $d$ 将一个自然数相除 (无余数) $n$, 如果存在 $k \in \mathbb{N}$ 这样 $n=d \cdot k$. 在这种情况下,我们将写
$$
d \mid n
$$
例如,3 3 . 号码 $d$ 被称为数的除数 $n$ 和数字 1 和 $n$ 被称为平凡除数 $n$. 如果 $1<d<n$ ,然后 $d$ 称为非平凡除数, 如果 $d<n$ ,然后 $d$ 被称为一个适当的除数 $n$. 如果 $m$ 不分 $n$ ,我们要写 $m \nmid n$ ,例如, $5 \nmid 6$. 也可以对整数引入 类似的定义,当 $m \neq 0$. 能被 2 整除的整数称为偶数,否则称为奇数。
定理 $1.1$ 自然数 $n$ 用十进制写的可以被
(a) 2整除,如果它的最后一位是偶数,
(b) 三,如果所有数字的总和可以被 3 整除,
(c) 四,如果最后两位组成的数字的位数 $n$ 能被 4 整除,
(d) 5 ,如果最后一位是 0 或 5 ,
(e)six,如果它是偶数并且能被 3 整除,
(f) 七,如果百位数的两倍加上最后两位数字组成的数字可以被 7 整除,
(g) 八,如果最后三位数字组成的数字的 $n$ 可被 8 整除,
(h) 九,如果其所有数字的总和可被 9 整除,
(i) 十,如果其最后一位为 0 。

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Least Common Multiple and the Greatest

让 $m$ 和 $n$ 是任意自然数。表示为 $M \subset \mathbb{N}$ 的所有公倍数的子集 $m$ 和 $n$. 套装 $M$ 显然是非空的,因为它包含例如产品 $m n$. 自从 $\mathbb{N}$ 井井有条, $M$ 必须包含一个最小元素,我们将其表示为 $[m, n]$ 并调用数字的最小公倍数 $m, n \in \mathbb{N}$. 因此,它是能被两者整除的最小自然数 $m$ 和 $n$.
同样,两个整数的最大公约数 $m$ 和 $n$ ,同时不为零,是除以两者的最大整数 $m$ 和 $n$. 数的最大公约数 $m$ 和 $n$ 将表示 为 $(m, n)$.
最大公约数和最小公倍数的一个基本性质显然是
$$
(m, n)=(n, m), \quad[m, n]=[n, m] .
$$
为了 $k, m, n \in \mathbb{N}$ 下列分配性质成立
$$
[k,(m, n)]=([k, m],[k, n]) \text { and }(k,[m, n])=[(k, m),(k, n)] .
$$
定理 $1.2$ 对于任何自然数 $m$ 和 $n$ 我们有
$$
m n=(m, n)[m, n]
$$
证明由 $d \geq 1$ 的任意公约数 $m$ 和 $n$. 然后 $\frac{m}{d}$ 和 $\frac{n}{d}$ 是自然数, $\frac{m}{d} n$ 是数字的整数倍 $n$ ,和 $\frac{n}{d} m$ 是数字的整数倍 $m$. 所 以, $\frac{m n}{d}$ 是数字的公倍数 $m$ 和 $n$. 现在如果 $d$ 是数字的最大公约数 $m$ 和 $n$ ,然后 $\frac{m n}{d}$ 必须是最小公倍数 $m$ 和 $n$.

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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回归分析代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility and Congruence

In one of the oldest Chinese books I-Ching (Book of Changes), which dates approximately from the 8 th century $\mathrm{BC}$, there is a picture (so-called hexagram) containing $8 \times 8$ boxes. Each box contains 6 broken or full horizontal lines (see Fig. 1.1). The broken line indicates the old Chinese principle yin and the full principle of yang, which are in opposition. Yin is associated with the Moon, humidity, darkness, Earth, woman, and passivity, yang on the other hand with the Sun, drought, light, heaven, man, and activity.

The prominent German mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) associated this hexagram with the discovery of a binary system. Considering zero instead of the broken line and one instead of the full line, the symbols in particular boxes from left to right (starting from the top line) can be interpreted as the numbers $0,1,2,3, \ldots$ written in the binary system. The first number in the upper left corner is therefore zero, even though this notation was not used for operations with numbers in the 8th century BC. The last number in the lower right corner corresponds to 63 , which is written as 111111 in the binary system. The use of zero nowadays seems completely natural, but its discovery and in particular, its symbolic representation signified great progress in mathematics over the entire world (cf. Fig. 1.2).

Although the ancient Chinese did not perform with the symbols yin-yang any arithmetic operations, we cannot deny they were the first to represent numbers by the binary system. The discovery of the binary system found practical application only in today’s computer age, i.e. almost three thousand years later. Computers display and process all information (including numbers) in the binary system. This is the easiest way in electronic circuits of a computer to process data. Thus, the functioning of e-mail, scanners, copiers, digital cameras, compact disks $\mathrm{CD}$ and DVD, cell phones, and the worldwide network of Internet is actually based on the ancient Chinese principles of yin $(=0)$ and yang $(=1)$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Natural Numbers

From ancient times people used the numbers $1,2,3, \ldots$ to express the number of some objects. The oldest use of zero was recorded in India. For a long time, zero was not even considered to be a number. Moreover, at present historians still do not have a year zero (but it is used by astronomers).

Sometimes we encounter the question of whether zero is or is not a natural number. Unfortunately, it is not possible to give a clear answer to this question of the YES/NO type, since whether or not we consider zero to be a natural number is a matter of definition. It is advisable to include zero in the set of natural numbers, for example, when determining the number of elements of finite sets, because the number of elements of the empty set is zero.

On the other hand, there are good reasons why it is sometimes advantageous not to include zero in the set of natural numbers. This is, for example, to avoid division by zero or when raising natural numbers to a natural power. In particular, the symbol $0^{0}$ cannot be unambiguously assigned to one value that would naturally correspond to standard arithmetical operations with real numbers. For example, for $n=1,2, \ldots$ we have $0^{n}=0$, while $n^{0}=1$. Archimedes’ axiom presented below could not be applied if 0 would be a natural number. It is also not possible to define reasonably the least common multiple of, for example, the numbers 0 and 3 , as we shall see in Sect. 1.4. Therefore, more often zero is not considered to be a natural number.
The set of natural numbers (positive integers) will be denoted by
$$
\mathbb{N}={1,2,3, \ldots}
$$
It took a long time for mathematicians to figure out how in fact, natural numbers should be introduced. Among several options, the following four axioms formulated around 1891 hy the Italian mathematician Giuseppe Peano (1858-1939) were defined. ‘They use a special function “successor”, truthfully characterize the set of natural numbers and are called Peano’s axioms after him:
(A1) There exists a unique natural number that is not a successor of any natural numbers. We will denote this number by the symbol 1 .
(A2) Each natural number has exactly one successor.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MAST90136

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility and Congruence

在中国最古老的书籍之一《易经》中,大约可以追溯到 8 世纪乙C,有一个图片(所谓的卦)包含8×8盒子。每个方框包含 6 条虚线或全水平线(见图 1.1)。虚线表示中国旧原理阴和阳的完整原理,它们是对立的。阴与月亮、湿度、黑暗、地球、女人和被动有关,而阳与太阳、干旱、光明、天堂、男人和活动有关。

著名的德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716 年)将这个卦与二元系统的发现联系起来。考虑到零而不是虚线和一而不是实线,从左到右(从顶行开始)特定框中的符号可以解释为数字0,1,2,3,…写在二进制系统中。因此,左上角的第一个数字为零,尽管这种符号在公元前 8 世纪并未用于数字运算。右下角最后一个数字对应 63 ,在二进制中写为 111111 。如今,零的使用似乎很自然,但它的发现,特别是它的符号表示,标志着全世界数学的巨大进步(参见图 1.2)。

虽然古代中国人没有用阴阳符号进行任何算术运算,但我们不能否认他们是第一个用二进制表示数字的人。二进制系统的发现仅在今天的计算机时代,即近三千年后才得到实际应用。计算机显示和处理二进制系统中的所有信息(包括数字)。这是计算机电子电路中处理数据的最简单方法。因此,电子邮件、扫描仪、复印机、数码相机、光盘的功能CDDVD、手机、互联网的全球网络实际上是基于中国古代的阴学原理(=0)然后(=1).

数学代写|数论作业代写number theory代考|Natural Numbers

自古以来,人们就使用数字1,2,3,…表示一些物体的数量。最古老的零使用记录在印度。很长一段时间,零甚至不被认为是一个数字。此外,目前历史学家还没有零年(但它被天文学家使用)。

有时我们会遇到零是不是自然数的问题。不幸的是,不可能对这个是/否类型的问题给出明确的答案,因为我们是否认为零是自然数是一个定义问题。建议在自然数集中包含零,例如,在确定有限集的元素个数时,因为空集的元素个数为零。

另一方面,有充分的理由说明为什么在自然数集中不包括零有时是有利的。例如,这是为了避免除以零或将自然数提高到自然幂时。特别是,符号00不能明确地分配给一个自然对应于实数标准算术运算的值。例如,对于n=1,2,…我们有0n=0, 尽管n0=1. 如果 0 是自然数,则无法应用下面介绍的阿基米德公理。也不可能合理地定义数字 0 和 3 的最小公倍数,正如我们将在第 3 节中看到的那样。1.4. 因此,更多的时候零不被认为是自然数。
自然数集(正整数)将表示为

ñ=1,2,3,…
数学家花了很长时间才弄清楚实际上应该如何引入自然数。在几个选项中,意大利数学家朱塞佩·皮亚诺(Giuseppe Peano,1858-1939)在 1891 年左右制定了以下四个公理。’他们使用一个特殊的函数’successor’,真实地刻画了自然数的集合,并在他之后被称为Peano公理:
(A1) 存在一个唯一的自然数,它不是任何自然数的后继。我们将用符号 1 来表示这个数字。
(A2) 每个自然数只有一个后继。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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STATA代写机器学习/统计学习代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|PMATH650

如果你也在 怎样代写数论number theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论作业代写number theory代考|PMATH650

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

This section contains some basic number-theoretic definitions and results which you ought to know. Proofs in this section are abbreviated or omitted, and you should be able to supply proofs for yourself. If necessary, this material can be found in any work on elementary number theory. The most popular of the classic texts are regularly revised, thereby offering a proven exposition together with additions which bring the content and presentation up to date. From a very crowded field we mention Hardy and Wright $[28],[29]$, Niven and Zuckerman $[45],[46]$ and Baker [10].

Lemma 1.10. The division algorithm. If $a$ and $b$ are integers with $b>0$, then there exist integers $q$ and $r$ such that $a=b q+r$ and $0 \leq r<b$.

Using the division algorithm recursively gives the Euclidean algorithm for computing the greatest common divisor of two integers, not both zero.

Lemma 1.11. The Bézout property. If $a$ and $b$ are integers, not both zero, and $g$ is the greatest common divisor of $a$ and $b$, then there exist integers $x$ and $y$ such that $a x+b y=g$.

Given specific $a$ and $b$, you should know how to use the Euclidean algorithm to find $g, x$ and $y$.

Lemma 1.12. If $a$ and $m$ have no common factor and $a \mid m n$, then $a \mid n$.
Definition 1.4. Let $m$ be a positive integer. We say that integers a and b are congruent modulo $m$, written $a \equiv b(\bmod m)$, if $m \mid a-b$.

To “reduce an integer $a$ modulo $m$ ” means to find an integer $b$ such that $a \equiv b(\bmod m)$ and $b$ lies in a “suitable” range, usually $0 \leq b<m$. That this can always be done is a consequence of the division algorithm. Although congruence notation is just another way of expressing a divisibility relation, and in that sense “nothing new”, it is very useful because congruence shares many of the basic properties of equality.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF er

In the actual details of the final proof, Hermite’s method is (at least for the earlier results) not too difficult. However, the motivation behind the proof can be obscure. Therefore, instead of giving the proofs straight away, we shall start by trying to explain the aims and ideas behind a relatively simple case. We wish to generalise results of Chapter 1 by showing that if $r$ is rational then $e^{r}$ is irrational, with the obvious exception that $e^{0}=1$.

As usual we seek a proof by contradiction: take $r=a / b$ with $a \neq 0$, and suppose that $e^{r}=p / q$. Following the method of Theorem $1.9$, we try to obtain a contradiction by constructing an integer that lies between 0 and 1 . Hermite’s idea, which originated in his study of approximations to $e^{x}$, was to consider the definite integral
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x
$$
and to identify a function $f$ which will give us what we want. Integrating by parts yields
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r) e^{r}-f(0)\right)-\int_{0}^{r} f^{\prime}(x) e^{x} d x
$$
and since the integral on the right-hand side has very much the same form as that on the left, we may apply the same procedure repeatedly to obtain
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^{r}-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right)
$$
Here the right-hand side purports to contain two infinite series and therefore must be treated with caution, but if we choose $f$ to be a polynomial, then the sums will actually involve a finite number of terms only, and we shall have no convergence problems. We write
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
so that
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=F(r) e^{r}-F(0)
$$
and the next step is to make some sort of evaluation of the right-hand side. An idea that will help is to notice that $F(0)$ will be simple if $f$ has a large number of derivatives that vanish at $x=0$; that is, $f(x)$ should have many factors of $x$. Similarly, $f(x)$ should have many factors of $r-x$ in order to keep $F(r)$ simple. So we set
$$
f(x)=c x^{n}(r-x)^{n}
$$
where $c$, a constant, and $n$ are yet to be chosen. Now
$$
\begin{aligned}
f^{(k)}(0) &=k ! \times\left{\text { coefficient of } x^{k}\right} \
&=k ! c\left(\begin{array}{c}
n \
k-n
\end{array}\right) r^{2 n-k}(-1)^{k-n}
\end{aligned}
$$
if $n \leq k \leq 2 n$, and $f^{(k)}(0)=0$ otherwise. Recall that our aim is to make the integral (2.1), or something similar, an integer. The expression for $f^{(k)}(0)$ contains a factor $r^{2 n-k}$, and this could have a denominator as big as $b^{n}$. Therefore, we choose $c=b^{n} ;$ then $f^{(k)}(0)$ is always an integer, and so is $F(0)$. Either by invoking the symmetry of $f$ or by direct calculation, we note that
$$
\begin{aligned}
f(r-x)=f(x) & \Rightarrow(-1)^{k} f^{(k)}(r-x)=f^{(k)}(x) \
& \Rightarrow f^{(k)}(r)=(-1)^{k} f^{(k)}(0)
\end{aligned}
$$
Therefore, $F(r)$ is an integer too, and so is
$$
q \int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=p F(r)-q F(0)
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|PMATH650

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

本节包含一些您应该知道的基本数论定义和结果。本节中的证明被缩写或省略,您应该能够自己提供证明。如有必 要,可以在任何有关初等数论的著作中找到该材料。最受欢迎的经典文本会定期进行修订,从而提供经过验证的阐 述以及使内容和演示保持最新的补充。在一个非常拥挤的领域,我们提到了哈代和赖特 $[28],[29]$, 尼文和祖克幔 $[45],[46]$ 和贝克 $[10]$ 。
引理 $1.10$ 。除法算法。如果 $a$ 和 $b$ 是整数 $b>0$, 那么存在整数 $q$ 和 $r$ 这样 $a=b q+r$ 和 $0 \leq r<b$.
递归地使用除法算法给出了计算两个整数的最大公约数的欧几里得算法,而不是两个整数。
引理 1.11。Bézout 财产。如果 $a$ 和 $b$ 是整数,不都是零,并且 $g$ 是的最大公约数 $a$ 和 $b$ ,那么存在整数 $x$ 和 $y$ 这样 $a x+b y=g$
鉴于具体 $a$ 和 $b$ ,你应该知道如何使用欧几里得算法找到 $g, x$ 和 $y$.
引理 1.12。如果 $a$ 和 $m$ 没有公因数并且 $a \mid m n$ ,然后 $a \mid n$.
定义 1.4。让 $m$ 为正整数。我们说整数 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 是模数全等的 $m$, 写 $a \equiv b(\bmod m)$ , 如果 $m \mid a-b$.
为了”减少一个整数 $a$ 模块 $m^{\prime \prime}$ 的意思是找一个整数 $b$ 这样 $a \equiv b(\bmod m)$ 和 $b$ 位于“合适”的范围内,通常
$0 \leq b<m$. 总能做到这一点是除法算法的结果。尽管全等表示法只是表示可分关系的另一种方式,并且在这个意
义上”没什么新意”,但它非常有用,因为全等具有许多相等的基本属性。

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF er

在最终证明的实际细节中,Hermite 的方法 (至少对于早期的结果) 并不太难。然而,证明背后的动机可能是模湖的。
因此,与其直接给出证明,不如从试图解释一个相对简单的安例奜局的目的和相法开始。我们希望通过证明如果 $r$ 那么是 理性的 $e^{r}$ 是非理性的,但明显的例外是 $e^{0}=1$.
像往常一样,我们寻求反证法: 取 $r=a / b$ 和 $a \neq 0$ ,并假设 $e^{r}=p / q$. 遁循定理的方法 $1.9$ ,我们试图通过构造一个介 于 0 和 1 之间的整数来获得矛盾。Hermite 的相法,起源于他对近似值的研究 $e^{x}$ ,是考虑定积分
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x
$$
并确定一个功能 $f$ 这会合我们煛要的。按零件产量积分
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r) e^{r}-f(0)\right)-\int_{0}^{r} f^{\prime}(x) e^{x} d x
$$
并且由于右边的积分与左边的积分形烒非常相似,我们可以重复应用相同的过程得到
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^{r}-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right)
$$
这里右手边声称包含两个无限级数,因此必须漌慎对待,但如果我们选择 $f$ 如果是多项式,那么这些和实际上只涉及有限 数量的项,我们不会有收㪉问题。我们写
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
以便
$$
\int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=F(r) e^{r}-F(0)
$$
下一步是对右伅进行某种评估。一个有邦助的相法是注意到 $F(0)$ 会很简单,如果 $f$ 有大量的导数消失在 $x=0$; 那是, $f(x)$ 应该有很多因素 $x$. 相似地, $f(x)$ 应该有很多因素 $r-x$ 为了保持 $F(r)$ 简单的。所以我们设置
$$
f(x)=c x^{n}(r-x)^{n}
$$
在哪里 $c$,一个常数, 和 $n$ 还没有被选中。现在
\begin{aligned } f \wedge { ( k ) } ( 0 ) \& = k \text { ! \timesไleft } { \backslash \text { text } { } \mathrm { x } ^ { \wedge } { k } \backslash \text { right } } \text { 的系数 } \backslash \& = k \mathrm { ~ ! ~ c l
如果 $n \leq k \leq 2 n$ ,和 $f^{(k)}(0)=0$ 否则。回相一下,我们的目标是使积分 $(2.1)$ 或翜似的东西成为整数。表达式为 $f^{(k)}(0)$ 包含一个因子 $r^{2 n-k}$ ,这可能有一个大的分母 $b^{n}$. 因此,我们选择 $c=b^{n}$;然后 $f^{(k)}(0)$ 总是一个整数,所以是 $F(0)$. 要么通过调用对称性 $f$ 或通过直接计算,我们注意到
$$
f(r-x)=f(x) \Rightarrow(-1)^{k} f^{(k)}(r-x)=f^{(k)}(x) \quad \Rightarrow f^{(k)}(r)=(-1)^{k} f^{(k)}(0)
$$
所以, $F(r)$ 也是 个整数,所以是
$$
q \int_{0}^{r} f(x) e^{x} d x=p F(r)-q F(0)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH538101

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  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH538101

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

Once we get beyond radical expressions and decimals, irrationality proofs, for the most part, become significantly harder. A notable exception is the irrationality of the exponential constant $e$. Apart from the intrinsic interest of the result, its proof provides our first glimpse of an idea which will recur again and again in irrationality arguments, and which we shall employ extensively in Chapters 2 and $5 .$

Theorem 1.9. The exponential constant $e$ is irrational.
Proof. Assume that $e=p / q$ is rational. That is,
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots,
$$
and for any positive integer $n$, we have
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R,
$$
where $R$ (which depends on $n$ ) is given by
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
We can estimate $R$ in terms of a geometric series:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots=\frac{1}{n} .
$$
In particular, choose $n=q$. Then
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
is clearly an integer; but using (1.1), we have $0<R<1$. This is impossible, and so $e$ is irrational.

Observe that this proof relies essentially on an infinite series for $e$, and therefore has to involve concepts of calculus. In some sense this may be surprising, as number theory is usually thought of as studying discrete systems while calculus is the science of the continuous; in another sense there should be no surprise, as it is not even possible to define the number $e$ without recourse to calculus techniques. Whether it is in fact a surprise or not, we shall find that many of our future proofs will be expressed in terms of calculus.

数学代写|数论作业代写number theory代考|OTHER RESULTS, AND SOME OPEN QUESTIONS

It is known that $\pi$ is irrational: we shall prove this in the next chapter. It is not hard to see that at least one of the numbers $\pi+e$ and $\pi e$ must be irrational (in fact, at least one must be transcendental – see Chapter 3 ); although, most likely, both are irrational, this has not been proved for either one individually. As a consequence of a difficult result due to Gelfond and Schneider (Theorem $5.18$ ) we know that $e^{\pi}$ is irrational; however it is still unknown whether or not $\pi^{e}$ is irrational. It can also be shown that various numbers such as, for example, $e^{\sqrt{2}}$ and $2^{\sqrt{2}}$ are irrational. However, the irrationality of $\pi^{\sqrt{2}}$ and $2^{e}$, and that of the Euler-Mascheroni constant
$$
\gamma=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)=0.57721 \cdots $$ remain undecided. Another problem which has attracted much attention is to investigate the irrationality of the numbers $\zeta(n)$. Here $n \geq 2$ is an integer and $\zeta$ is the Riemann zeta function defined by $$ \zeta(s)=\sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots
$$
for $s>1$. By methods of complex integration we can show that if $n$ is even then $\zeta(n)$ is a rational number times $\pi^{n}$, and this is known to be irrational. On the other hand, it is much harder to find out anything of interest about $\zeta(n)$ for odd $n$. In 1978 the French mathematician R. Apéry sensationally proved that $\zeta(3)$ is irrational. His complicated argument had the appearance of being completely unmotivated, and all of the techniques he had used would have been available two centuries earlier: for these reasons, few people believed that the proof could possibly be correct. Nevertheless it was found possible eventually to confirm all of Apéry’s assertions and thereby establish what has been called “a proof that Euler missed”. A brief (but not easy!) account of Apéry’s work is given in [66].

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH538101

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

一旦我们超越了激进的表达式和小数,在大多数情况下,非理性证明就会变得更加困难。一个值得注意的例外是指数常 数的非理性e. 除了结果的内在兴趣之外,它的证明让我们第一次看到了一个想法,这个想法将在非理性论证中一次又一 次地出现,我们将在第 2 章和第 2 章中广泛使用。 5 .
定理 1.9。指数常数 $e$ 是不合理的。
证明。假使,假设 $e=p / q$ 是理性的。那是,
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots
$$
对于任何正整数 $n$ ,我们有
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R
$$
在哪里 $R$ (这取决于 $n$ ) 是 (谁) 给的
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
我们可以估计 $R$ 就几何级数而言:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots=\frac{1}{n}
$$
特别是选择 $n=q$. 然后
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
显然是一个整数;但是使用 $(1.1)$ ,我们有 $0<R<1$. 这是不可能的,所以 $e$ 是不合理的。
观㟯到这个证明本质上依赖于一个无限级数 $e$ ,因此必须涉及微积分的概念。从某种意义上说,这可能令人惊讶,因为数 论通常被认为是研究离散系统,而微积分是连续的科学。在另一种意义上,这应该不足为奇,因为甚至无法定义数字 $e$ 不 求助于微积分技术。不管这实际上是否令人惊讶,我们会发现我们末来的许多证明将用微积分来表达。

数学代写|数论作业代写number theory代考|OTHER RESULTS, AND SOME OPEN QUESTIONS

众所周知 $\pi$ 是非理性的:我们将在下一章证明这一点。不难看出,至少有一个数字 $\pi+e$ 和 $\pi e$ 必须是非理性的(事实 上,至少有一个必须是超验的―一见第 3 章);尽管很可能两者都是不合理的,但这还没有单独证明。由于 Gelfond 和 Schneider 的困难结果(定理 $5.18$ ) 我们知道 $e^{\pi}$ 是不合理的;但是否与否仍是末知数 $\pi^{e}$ 是不合理的。还可以表明,各 种数字,例如, $e^{\sqrt{2}}$ 和 $2^{\sqrt{2}}$ 是不合理的。然而,非理性 $\pi^{\sqrt{2}}$ 和 $2^{e}$ ,和欧拉-马斯切罗尼常数
$$
\gamma=\lim n \rightarrow \infty\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)=0.57721 \cdots
$$
仍末决定。另一个备受关注的问题是调查数字的不合理性 $\zeta(n)$. 这里 $n \geq 2$ 是一个整数并且 $\zeta$ 是由定义的黎曼 zeta 函数
$$
\zeta(s)=\sum k=1^{\infty} \frac{1}{k^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots
$$
为了 $s>1$. 通过复积分的方法,我们可以证明,如果 $n$ 就在那时 $\zeta(n)$ 是有理数次 $\pi^{n}$ ,这被认为是不合理的。另一方面, 要找到任何感兴趣的东西要困难得多 $\zeta(n)$ 对于奇数 $n .1978$ 年,法国数学家 R. Apéry 轰动地证明了 $\zeta(3)$ 是不合理的。他 复杂的论证看起来完全没有动机,而他使用的所有技术在两个世纪前就可以使用:由于这些原因,很少有人相信这个证 明可能是正确的。然而,最终发现有可能证实阿佩里的所有断言,从而建立所调的“欧拉遗漏的证据”。[66] 中给出了 Apéry 工作的简要(但不容易!)说明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH312

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH312

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL SURDS

The following result is well known, and was, essentially, proved by Pythagoras or one of his followers.
Theorem 1.1. $\sqrt{2}$ is irrational.
Proof by contradiction. Suppose that $\sqrt{2}=p / q$, where $p$ and $q$ are integers with no common factor, and with $q \neq 0$. Squaring both sides and multiplying by $q^{2}$, we have $p^{2}=2 q^{2}$. Thus $p^{2}$ is even and so $p$ is even, say $p=2 r$. Substituting for $p$ gives $q^{2}=2 r^{2}$ and so $q$ is even. Thus $p$ and $q$ have a common factor of 2 , and this contradicts our initial assumption. Therefore, $\sqrt{2}$ is irrational.

Plato records that his teacher Theodorus proved the irrationality of $\sqrt{n}$ for $n$ up to 17. Historians of mathematics have wondered why he stopped just here; the question is made harder by the fact that we don’t know exactly how Theodorus’ proof ran. The following proof of the irrationality of $\sqrt{n}$ for certain values of $n$ suggests a possible reason for stopping just before $n=17$.
First, if $n=4 k$, then the irrationality of $\sqrt{n}$ is equivalent to that of $\sqrt{k}$; and if $n=4 k+2$, then the method used above for $n=2$ can be employed with only minor changes. So we concentrate on odd values of $n$. If $n$ is odd and $\sqrt{n}=p / q$, then $n q^{2}=p^{2}$ and $p$ and $q$ must both be odd; substituting $p=2 r+1$ and $q=2 s+1$ and rearranging yields
$$
4 n\left(s^{2}+s\right)-4\left(r^{2}+r\right)+n-1=0 .
$$
Consider the case $n=4 k+3$. Cancelling 2 from the above equation gives
$$
2 n\left(s^{2}+s\right)-2\left(r^{2}+r\right)+2 k+1=0
$$
which is clearly impossible as the left-hand side is odd. This method does not work directly for $n=4 k+1$, so we consider as a subsidiary case $n=8 k+5$. Substituting as above and cancelling 4 we obtain
$$
n\left(s^{2}+s\right)-\left(r^{2}+r\right)+2 k+1=0
$$
but as $r^{2}+r$ and $s^{2}+s$ are both even, this is again impossible.
The remaining possibility is that $n=8 k+1$; but it appears that this case has to be split up into still further subcases, and the proof becomes much more complicated (try it!), so we shall stop here. Therefore, we have proved the following.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

The following well-known result characterises rational numbers in terms of their decimals. Note that the eventually periodic decimal expansions include the finite expansions, for instance, $0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots$.

Theorem 1.7. Rationality of decimals. A real number $\alpha$ is rational if and only if it has an eventually periodic decimal expansion.

Proof. Firstly, suppose that $\alpha$ has an eventually periodic expansion. Without loss of generality we may assume that $0<\alpha<1$, say
$$
\alpha=0 . a_{1} a_{2} \cdots a_{s} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots .
$$
Let $a$ and $b$ be the non-negative integers with digits $a_{1} a_{2} \cdots a_{s}$ and $b_{1} b_{2} \cdots b_{t}$ respectively; then
$$
\alpha=\frac{a}{10^{s}}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^{s}}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}},
$$
which is rational. Conversely, suppose that $\alpha=p / q$ is rational, and initially assume that neither 2 nor 5 is a factor of $q$. Choose $t=\phi(q)$, where $\phi$ is Euler’s function: see definition $1.6$ in the appendix to this chapter. By Euler’s Theorem we have
$$
10^{t} \equiv 1 \quad(\bmod q)
$$
and so $q$ is a factor of $10^{t}-1$, say $10^{t}-1=q r$. Hence we can write
$$
\alpha=\frac{p r}{10^{t}-1}=a+\frac{b}{10^{t}-1}
$$
here we have used the division algorithm to guarantee that $0 \leq b<10^{t}-1$. We can thus write $b$ as a number of $t$ digits, say $b=b_{1} b_{2} \cdots b_{t}$; it is possible that $b_{1}$ is zero. Similarly, write $a=a_{1} a_{2} \cdots a_{s}$. Then
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^{t}}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_{1} a_{2} \cdots a_{s}, b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots
$$ and we see that $\alpha$ has an eventually periodic decimal expansion. To complete the proof we must also consider the case when $q$ has 2 or 5 as a factor. Let $q=2^{m} 5^{n} q^{\prime}$, where neither 2 nor 5 is a factor of $q^{\prime}$; then
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^{n} 5^{m} p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}},
$$
say; by the previous argument, the decimal expansion of $10^{m+n} \alpha$ is eventually periodic. The expansion of $\alpha$ contains exactly the same digits (with the decimal point shifted $m+n$ places), so it too is eventually periodic.

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数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL SURDS

以下结果是众所周知的,并且基本上由毕达哥拉斯或其追随者之一证明。
定理 1.1。 $\sqrt{2}$ 是不合理的。
反证法。假设 $\sqrt{2}=p / q$ ,在哪里 $p$ 和 $q$ 是没有公因数的整数,并且有 $q \neq 0$. 两边平方并乘以 $q^{2}$ ,我们有 $p^{2}=2 q^{2}$. 因此 $p^{2}$ 是什等 $p$ 甚至,说 $p=2 r$. 代替 $p$ 给 $q^{2}=2 r^{2}$ 所以 $q$ 甚至。因此 $p$ 和 $q$ 有一个公因数 2 ,这与我们 最初的假设相矛盾。所以, $\sqrt{2}$ 是不合理的。
柏拉图记载他的老师西奥多罗斯证明了 $\sqrt{n}$ 为了 $n$ 最多 17 岁。数学史家想知道他为什么就停在这里;由于我们不确 切知道 Theodorus 的证明是如何运行的,这个问题变得更加困难。下列不合理性的证明 $\sqrt{n}$ 对于某些值 $n$ 建议之前 停止的可能原因 $n=17$.
首先,如果 $n=4 k$ ,那么不合理 $\sqrt{n}$ 相当于 $\sqrt{k}$; 而如果 $n=4 k+2$ ,那么上面使用的方法 $n=2$ 只需稍作改动 即可使用。所以我们专注于奇数值 $n$. 如果 $n$ 是奇怪的并且 $\sqrt{n}=p / q$ ,然后 $n q^{2}=p^{2}$ 和 $p$ 和 $q$ 都必须是奇数;替 代 $p=2 r+1$ 和 $q=2 s+1$ 并重新安排产量
$$
4 n\left(s^{2}+s\right)-4\left(r^{2}+r\right)+n-1=0 .
$$
考虑案例 $n=4 k+3$. 从上面的等式中取消 2 给出
$$
2 n\left(s^{2}+s\right)-2\left(r^{2}+r\right)+2 k+1=0
$$
这显然是不可能的,因为左边是奇怪的。此方法不适用于直接 $n=4 k+1$, 所以我们考虑作为一个从属情况 $n=8 k+5$. 如上所述代入并取消4我们得到
$$
n\left(s^{2}+s\right)-\left(r^{2}+r\right)+2 k+1=0
$$
但作为 $r^{2}+r$ 和 $s^{2}+s$ 两者都是偶数,这又是不可能的。
剩下的可能性是 $n=8 k+1$; 但似乎这个案例必须分成更多的子案例,并且证明变得更加复杂(试试看! ),所 以我们将在这里停止。因此,我们证明了以下几点。

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以下众所周知的结果用小数来描述有理数。请注意,最终周期性十进制扩展包括有限扩展,例如,
$$
0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots
$$
定理 1.7。小数的合理性。一个实数 $\alpha$ 当且仅当它具有最㚵的周期性十进制展开时是有理的。
证明。首先,假设 $\alpha$ 有一个最終的周期性扩展。不失一般性,我们可以假设 $0<\alpha<1$ ,说
$$
\alpha=0 . a_{1} a_{2} \cdots a_{s} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots
$$
让 $a$ 和 $b$ 是带数字的非负繁数 $a_{1} a_{2} \cdots a_{8}$ 和 $b_{1} b_{2} \cdots b_{t}$ 分别; 然后
$$
\alpha=\frac{a}{10^{s}}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^{s}}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}}
$$
这是合理的。相反,假设 $\alpha=p / q$ 是理性的,并且最初假设 2 和 5 都不是 $q$. 选择 $t=\phi(q)$ ,在哪里 $\phi$ 是欧拉函数:见 定义1.6在本章的附录中。根据欧拉定理,我们有
$$
10^{t} \equiv 1 \quad(\bmod q)
$$
所以 $q$ 是一个因素 $10^{t}-1$ ,说 $10^{t}-1=q r$. 因此我们可以写
$$
\alpha=\frac{p r}{10^{t}-1}=a+\frac{b}{10^{t}-1}
$$
这里我们使用了除法算法来保证 $0 \leq b<10^{t}-1$. 我们可以这样写 $b$ 作为一些 $t$ 数字,说 $b=b_{1} b_{2} \cdots b_{t}$; 它可能是 $b_{1}$ 为 零。同样,写 $a=a_{1} a_{2} \cdots a_{8}$.然后
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^{t}}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_{1} a_{2} \cdots a_{s}, b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots
$$
我们看到了 $\alpha$ 有一个最终周期性的十进制展开。为了完成证明,我们还必须考虑以下情呪 $q$ 有 2 或 5 作为一个因素。让 $q=2^{m} 5^{n} q^{\prime}$ ,其中 2 和 5 都不是 $q^{\prime}$; 然后
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^{n} 5^{m} p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}
$$
说; 由前面的论点, 十进制展开 $10^{m+n} \alpha$ 最终是周期性的。的扩展 $\alpha$ 包念完全相同的数字(小数点移位 $m+n$ 地方), 所以它最终也是周期性的。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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