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数学代写|数论作业代写number theory代考|Math676

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Math676

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

This section contains some basic number-theoretic definitions and results which you ought to know. Proofs in this section are abbreviated or omitted, and you should be able to supply proofs for yourself. If necessary, this material can be found in any work on elementary number theory. The most popular of the classic texts are regularly revised, thereby offering a proven exposition together with additions which bring the content and presentation up to date. From a very crowded field we mention Hardy and Wright [28], [29], Niven and Zuckerman [45], [46] and Baker [10].

Lemma 1.10. The division algorithm. If $a$ and $b$ are integers with $b>0$, then there exist integers $q$ and $r$ such that $a=b q+r$ and $0 \leq r<b$.

Using the division algorithm recursively gives the Euclidean algorithm for computing the greatest common divisor of two integers, not both zero.

Lemma 1.11. The Bézout property. If $a$ and $b$ are integers, not both zero, and $g$ is the greatest common divisor of $a$ and $b$, then there exist integers $x$ and $y$ such that $a x+b y=g$.

Given specific $a$ and $b$, you should know how to use the Euclidean algorithm to find $g, x$ and $y$.

Lemma 1.12. If a and $m$ have no common factor and $a \mid m n$, then $a \mid n$.
Definition 1.4. Let $m$ be a positive integer. We say that integers $a$ and $b$ are congruent modulo $m$, written $a \equiv b(\bmod m)$, if $m \mid a-b$.

To “reduce an integer $a$ modulo $m$ ” means to find an integer $b$ such that $a \equiv b(\bmod m)$ and $b$ lies in a “suitable” range, usually $0 \leq b<m$. That this can always be done is a consequence of the division algorithm. Although congruence notation is just another way of expressing a divisibility relation, and in that sense “nothing new”, it is very useful because congruence shares many of the basic properties of equality.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF e^r

In the actual details of the final proof, Hermite’s method is (at least for the earlier results) not too difficult. However, the motivation behind the proof can be obscure. Therefore, instead of giving the proofs straight away, we shall start by trying to explain the aims and ideas behind a relatively simple case. We wish to generalise results of Chapter 1 by showing that if $r$ is rational then $e^r$ is irrational, with the obvious exception that $e^0=1$.

As usual we seek a proof by contradiction: take $r=a / b$ with $a \neq 0$, and suppose that $e^r=p / q$. Following the method of Theorem 1.9, we try to obtain a contradiction by constructing an integer that lies between 0 and 1 . Hermite’s idea, which originated in his study of approximations to $e^x$, was to consider the definite integral
$$
\int_0^r f(x) e^x d x,
$$
and to identify a function $f$ which will give us what we want. Integrating by parts yields
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r) e^r-f(0)\right)-\int_0^r f^{\prime}(x) e^x d x,
$$
and since the integral on the right-hand side has very much the same form as that on the left, we may apply the same procedure repeatedly to obtain
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^r-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right) .
$$
Here the right-hand side purports to contain two infinite series and therefore must be treated with caution, but if we choose $f$ to be a polynomial, then the sums will actually involve a finite number of terms only, and we shall have no

convergence problems. We write
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
so that
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=F(r) e^r-F(0),
$$
and the next step is to make some sort of evaluation of the right-hand side.

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数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|SOME ELEMENTARY NUMBER THEORY

本节包含一些您应该知道的基本数论定义和结果。本节中的证明被缩写或省略,您应该能够自己提供证 明。如有必要,可以在任何有关初等数论的蓍作中找到该材料。最受欢迎的经典文本会定期进行修订,从 而提供经过验证的阐述以及使内容和介绍保持最新的补充内容。在一个非常拥挤的领域,我们提到了 Hardy 和 Wright [28]、[29]、Niven 和 Zuckerman [45]、 [46] 以及 Baker [10]。
引理 1.10。划分算法。如果 $a$ 和 $b$ 是整数 $b>0$ ,那么存在整数 $q$ 和 $r$ 这样 $a=b q+r$ 和 $0 \leq r<b$.
递归地使用除法算法给出欧几里德算法来计算两个整数的最大公约数,而不是都为零。
引理 1.11。Bézout 财产。如果 $a$ 和 $b$ 是整数,不都是零,并且 $g$ 是的最大公约数 $a$ 和 $b$ ,那么存在整数 $x$ 和 $y$ 这样 $a x+b y=g$.
鉴于具体 $a$ 和 $b$ ,你应该知道如何使用欧几里德算法来寻找 $g, x$ 和 $y$.
引理 1.12。如果一个和 $m$ 没有公因数并且 $a \mid m n$ ,然后 $a \mid n$.
定义 1.4。让 $m$ 是一个正整数。我们说整数 $a$ 和 $b$ 是按照模块 $m ,$ 写 $a \equiv b(\bmod m)$ ,如果 $m \mid a-b$.
为了”减少一个整数 $a$ 模块 $m^{\prime \prime}$ 表示找一个整数 $b$ 这样 $a \equiv b(\bmod m)$ 和 $b$ 位于一个“合适”的范围内,通常 $0 \leq b<m$. 这总是可以做到的是除法算法的结果。尽管同余符号只是表达可除关系的另一种方式,从这 个意义上说“没什么新鲜事”,但它非常有用,因为同余具有等式的许多基本属性。

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF e^r

在最终证明的实际细节中,Hermite 的方法 (至少对于早期的结果) 并不太难。然而,证明背后的动机可 能是模糊的。因此,我们不直接给出证明,而是从尝试解释一个相对简单的案例背后的目的和想法开始。 我们㹷望通过证明如果 $r$ 那么是理性的 $e^r$ 是非理性的,明显的例外是 $e^0=1$.
像往常一样,我们通过反证法寻求证明: 取 $r=a / b$ 和 $a \neq 0$ ,并假设 $e^r=p / q$. 按照定理 $1.9$ 的方法, 我们试图通过构造一个介于 0 和 1 之间的整数来获得矛盾。Hermite 的想法,起源于他对近似值的研究 $e^x$ ,是考虑定积分
$$
\int_0^r f(x) e^x d x
$$
并确定一个功能 $f$ 这将给我们我们想要的。按部分产量积分
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r) e^r-f(0)\right)-\int_0^r f^{\prime}(x) e^x d x,
$$
并且由于右侧的积分与左侧的积分形式非常相同,我们可以重复应用相同的程序来获得
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=\left(f(r)-f^{\prime}(r)+f^{\prime \prime}(r)-\cdots\right) e^r-\left(f(0)-f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)-\cdots\right) .
$$
这里右侧声称包含两个无限级数,因此必须谨慎对待,但如果我们选择 $f$ 是一个多项式,那么和实际上只 涉及有限数量的项,我们将没有
收敛问题。我们写
$$
F(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime \prime \prime}(x)+\cdots,
$$
以便
$$
\int_0^r f(x) e^x d x=F(r) e^r-F(0)
$$
下一步是对右侧进行某种评估。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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STATA代写机器学习/统计学习代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|Math453

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

Once we get beyond radical expressions and decimals, irrationality proofs, for the most part, become significantly harder. A notable exception is the irrationality of the exponential constant $e$. Apart from the intrinsic interest of the result, its proof provides our first glimpse of an idea which will recur again and again in irrationality arguments, and which we shall employ extensively in Chapters 2 and 5.

Theorem 1.9. The exponential constant e is irrational.
Proof. Assume that $e=p / q$ is rational. That is,
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots,
$$
and for any positive integer $n$, we have
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R,
$$
where $R$ (which depends on $n$ ) is given by
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
We can estimate $R$ in terms of a geometric series:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots=\frac{1}{n} .
$$
In particular, choose $n=q$. Then
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
is clearly an integer; but using (1.1), we have $0<R<1$. This is impossible; and so $e$ is irrational.

Observe that this proof relies essentially on an infinite series for $e$, and therefore has to involve concepts of calculus. In some sense this may be surprising, as number theory is usually thought of as studying discrete systems while calculus is the science of the continuous; in another sense there should be no surprise, as it is not even possible to define the number $e$ without recourse to calculus techniques. Whether it is in fact a surprise or not, we shall find that many of our future proofs will be expressed in terms of calculus.

数学代写|数论作业代写number theory代考|OTHER RESULTS, AND SOME OPEN QUESTIONS

It is known that $\pi$ is irrational: we shall prove this in the next chapter. It is not hard to see that at least one of the numbers $\pi+e$ and $\pi e$ must be irrational (in fact, at least one must be transcendental – see Chapter 3 ); although, most likely, both are irrational, this has not been proved for either one individually. As a consequence of a difficult result due to Gelfond and Schneider (Theorem 5.18) we know that $e^\pi$ is irrational; however it is still unknown whether or not $\pi^\epsilon$ is irrational. It can also be shown that various numbers such as, for example, $e^{\sqrt{ } 2}$ and $2^{\sqrt{ } 2}$ are irrational. However, the irrationality of $\pi^{\sqrt{ } 2}$ and $2^e$, and that of the Euler-Mascheroni constant
$$
\gamma=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)=0.57721 \cdots $$ remain undecided. Another problem which has attracted much attention is to investigate the irrationality of the numbers $\zeta(n)$. Here $n \geq 2$ is an integer and $\zeta$ is the Riemann zeta function defined by $$ \zeta(s)=\sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots
$$
for $s>1$. By methods of complex integration we can show that if $n$ is even then $\zeta(n)$ is a rational number times $\pi^n$, and this is known to be irrational. On the other hand, it is much harder to find out anything of interest about $\zeta(n)$ for odd $n$. In 1978 the French mathematician R. Apéry sensationally proved that $\zeta(3)$ is irrational. His complicated argument had the appearance of being completely unmotivated, and all of the techniques he had used would have been available two centuries earlier: for these reasons, few people believed that the proof could possibly be correct. Nevertheless it was found possible eventually to confirm all of Apéry’s assertions and thereby establish what has been called “a proof that Euler missed”. A brief (but not easy!) account of Apéry’s work is given in [66].

数学代写|数论作业代写number theory代考|Math453

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

一旦我们超越了激进表达式和小数,非理性证明在很大程度上变得更加困难。一个值得注意的例外是指数 常数的不合理性 $e$. 除了结果的内在意义之外,它的证明让我们第一次瞥见了一个想法,这个想法将在非理 性论证中一次又一次地出现,我们将在第 2 章和第 5 章中广泛使用它。
定理 1.9。指数常数 $\mathrm{e}$ 是无理数。
证明。假使,假设 $e=p / q$ 是理性的。那是,
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots,
$$
并且对于任何正整数 $n$ ,我们有
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R,
$$
在哪里 $R$ (这取决于 $n$ ) 是 (谁) 给的
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
我们可以估计 $R$ 就几何级数而言:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots=\frac{1}{n} .
$$
特别地,选择 $n=q$. 然后
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
显然是一个整数;但是使用 (1.1),我们有 $0<R<1$. 这是不可能的; 所以 $e$ 是不合理的。
观察到这个证明本质上依赖于一个无穷级数 $e$ ,因此必须涉及微积分的概念。从某种意义上说,这可能令 人惊讶,因为数论通常被认为是研究离散系统,而微积分是连续的科学;从另一种意义上说,这并不奇 怪,因为甚至不可能定义数字 $e$ 无需求助于微积分技术。不管是否令人惊讶,我们都会发现我们末来的许 多证明都将用微积分来表达。

数学代写|数论作业代写number theory代考|OTHER RESULTS, AND SOME OPEN QUESTIONS

众所周知 $\pi$ 是无理数:我们将在下一章证明这一点。不难看出,至少有一个数字 $\pi+e$ 和 $\pi e$ 必须是非理性 的 (事实上,至少有一个必须是先验的一一见第 3 章) ;尽管很可能两者都是非理性的,但尚末针对其中 任何一个单独证明这一点。由于 Gelfond 和 Schneider 的困难结果(定理 5.18),我们知道 $e^\pi$ 是不合理 合理的 $\pi \sqrt{ }^2$ 和 $2^e$ , 以及 Euler-Mascheroni 常数
$$
\gamma=\lim n \rightarrow \infty\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)=0.57721 \cdots
$$
犹豫不决。另一个备受关注的问题是调查数字的不合理性。 $\zeta(n)$. 这里 $n \geq 2$ 是一个整数并且 $\zeta$ 是黎曼 zeta 函数,定义为
$$
\zeta(s)=\sum k=1^{\infty} \frac{1}{k^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots
$$
为了 $s>1$. 通过复积分的方法,我们可以证明如果 $n$ 即便如此 $\zeta(n)$ 是有理数次 $\pi^n$ ,这被认为是不合理 的。另一方面,要找到任何感兴趣的东西要困难得多 $\zeta(n)$ 对于奇数 $n .1978$ 年,法国数学家 R. Apéry 轰 动性地证明了 $\zeta(3)$ 是不合理的。他复杂的论证看起来完全没有动机,而且他使用的所有技术在两个世纪前 就已经可用:由于这些原因,很少有人相信证明可能是正确的。尽管如此,人们发现最终有可能证实 Apéry 的所有断言,从而建立所谓的“欧拉遗漏的证明”。[66] 中简要介绍了 Apéry 的工作(但并不简 单!)。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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The following result is well known, and was, essentially, proved by Pythagoras or one of his followers.
Theorem 1.1. $\sqrt{2}$ is irrational.
Proof by contradiction. Suppose that $\sqrt{2}=p / q$, where $p$ and $q$ are integers with no common factor, and with $q \neq 0$. Squaring both sides and multiplying by $q^2$, we have $p^2=2 q^2$. Thus $p^2$ is even and so $p$ is even, say $p=2 r$. Substituting for $p$ gives $q^2=2 r^2$ and so $q$ is even. Thus $p$ and $q$ have a common factor of 2 , and this contradicts our initial assumption. Therefore, $\sqrt{2}$ is irrational.

Plato records that his teacher Theodorus proved the irrationality of $\sqrt{n}$ for $n$ up to 17 . Historians of mathematics have wondered why he stopped just here; the question is made harder by the fact that we don’t know exactly how Theodorus’ proof ran. The following proof of the irrationality of $\sqrt{n}$ for certain values of $n$ suggests a possible reason for stopping just before $n=17$.
First, if $n=4 k$, then the irrationality of $\sqrt{n}$ is equivalent to that of $\sqrt{k}$; and if $n=4 k+2$, then the method used above for $n=2$ can be employed with only minor changes. So we concentrate on odd values of $n$. If $n$ is odd and $\sqrt{n}=p / q$, then $n q^2=p^2$ and $p$ and $q$ must both be odd; substituting $p=2 r+1$ and $q=2 s+1$ and rearranging yields
$$
4 n\left(s^2+s\right)-4\left(r^2+r\right)+n-1=0 .
$$
Consider the case $n=4 k+3$. Cancelling 2 from the above equation gives
$$
2 n\left(s^2+s\right)-2\left(r^2+r\right)+2 k+1=0,
$$
which is clearly impossible as the left-hand side is odd. This method does not work directly for $n=4 k+1$, so we consider as a subsidiary case $n=8 k+5$. Substituting as above and cancelling 4 we obtain
$$
n\left(s^2+s\right)-\left(r^2+r\right)+2 k+1-0 ;
$$
but as $r^2+r$ and $s^2+s$ are both even, this is again impossible.
The remaining possibility is that $n=8 k+1$; but it appears that this case has to be split up into still further subcases, and the proof becomes much more complicated (try it!), so we shall stop here. Therefore, we have proved the following.

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

The following well-known result characterises rational numbers in terms of their decimals. Note that the eventually periodic decimal expansions include the finite expansions, for instance, $0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots$.

Theorem 1.7. Rationality of decimals. A real number $\alpha$ is rational if and only if it has an eventually periodic decimal expansion.

Proof. Firstly, suppose that $\alpha$ has an eventually periodic expansion. Without loss of generality we may assume that $0<\alpha<1$, say
$$
\alpha=0 . a_1 a_2 \cdots a_s b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots .
$$
Let $a$ and $b$ be the non-negative integers with digits $a_1 a_2 \cdots a_s$ and $b_1 b_2 \cdots b_t$ respectively; then
$$
\alpha=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}},
$$
which is rational. Conversely, suppose that $\alpha=p / q$ is rational, and initially assume that neither 2 nor 5 is a factor of $q$. Choose $t=\phi(q)$, where $\phi$ is Euler’s function: see definition $1.6$ in the appendix to this chapter. By Euler’s Theorem we have
$$
10^t \equiv 1(\bmod q)
$$
and so $q$ is a factor of $10^t-1$, say $10^t-1=q r$. Hence we can write
$$
\alpha=\frac{p r}{10^t-1}=a+\frac{b}{10^t-1}
$$
here we have used the division algorithm to guarantee that $0 \leq b<10^t-1$. We can thus write $b$ as a number of $t$ digits, say $b=b_1 b_2 \cdots b_t$; it is possible that $b_1$ is zero. Similarly, write $a=a_1 a_2 \cdots a_s$. Then
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^t}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_1 a_2 \cdots a_s . b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots,
$$ and we see that $\alpha$ has an eventually periodic decimal expansion. To complete the proof we must also consider the case when $q$ has 2 or 5 as a factor. Let $q=2^m 5^n q^{\prime}$, where neither 2 nor 5 is a factor of $q^{\prime}$; then
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^n 5^m p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}},
$$
say; by the previous argument, the decimal expansion of $10^{m+n} \alpha$ is eventually periodic. The expansion of $\alpha$ contains exactly the same digits (with the decimal point shifted $m+n$ places), so it too is eventually periodic.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH3170

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL SURDS

下面的结果是众所周知的,并且基本上被毕达哥拉斯或他的追随者之一证明了。
定理 1.1。 $\sqrt{2}$ 是不合理的。
反证法。假设 $\sqrt{2}=p / q$ ,在哪里 $p$ 和 $q$ 是没有公因数的整数,并且有 $q \neq 0$. 两边平方并乘以 $q^2$ ,我们 有 $p^2=2 q^2$. 因此 $p^2$ 是偶数 $p$ 是偶数,说 $p=2 r$. 代替 $p$ 给 $q^2=2 r^2$ 所以 $q$ 甚至。因此 $p$ 和 $q$ 有公因数 2 , 这与我们最初的假设相矛盾。所以, $\sqrt{2}$ 是不合理的。
柏拉图记载他的老师西奧多罗斯证明了非理性 $\sqrt{n}$ 为了 $n$ 最多 17 个。数学史学家想知道他为什么就在这里 停下来;由于我们不确切知道 Theodorus 的证明是如何运行的,这个问题变得更加困难。不合理性的证 明如下 $\sqrt{n}$ 对于某些值 $n$ 提示之前停止的可能原因 $n=17$.
首先,如果 $n=4 k$ ,那么不合理的 $\sqrt{n}$ 相当于 $\sqrt{k}$; 而如果 $n=4 k+2$ ,那么上面使用的方法 $n=2$ 只需 稍作改动即可使用。所以我们专注于奇数值 $n$. 如果 $n$ 很奇怪并且 $\sqrt{n}=p / q$ ,然后 $n q^2=p^2$ 和 $p$ 和 $q$ 必 须都是奇数;替代 $p=2 r+1$ 和 $q=2 s+1$ 和重新排列收益率
$$
4 n\left(s^2+s\right)-4\left(r^2+r\right)+n-1=0 .
$$
考虑案例 $n=4 k+3$. 从上面的等式中消去 2 得到
$$
2 n\left(s^2+s\right)-2\left(r^2+r\right)+2 k+1=0,
$$
这显然是不可能的,因为左侧是奇数。此方法不能直接用于 $n=4 k+1$ ,所以我们认为是一个附属案例 $n=8 k+5$. 代入如上并消去 4 我们得到
$$
n\left(s^2+s\right)-\left(r^2+r\right)+2 k+1-0 ;
$$
但作为 $r^2+r$ 和 $s^2+s$ 都是偶数,这又是不可能的。
剩下的可能性是 $n=8 k+1$; 但是看起来这个案例必须被分成更多的子案例,并且证明变得更加复杂 (试试看!), 所以我们将在这里停止。因此,我们证明了以下内容。

数学代写|数论作业代写number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

以下众所周知的结果用小数来表征有理数。请注意,最终的周期性小数展开包括有限展开,例如, $0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots$.
定理 1.7。小数的合理性。实数 $\alpha$ 是合理的当且仅当它有一个最终周期性的小数展开。
证明。首先,假设 $\alpha$ 有一个最终的周期性扩张。不失一般性,我们可以假设 $0<\alpha<1$ , 说
$$
\alpha=0 . a_1 a_2 \cdots a_s b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots .
$$
让 $a$ 和 $b$ 是带数字的非负整数 $a_1 a_2 \cdots a_s$ 和 $b_1 b_2 \cdots b_t$ 分别; 然后
$$
\alpha=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^s}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}},
$$
这是理性的。相反,假设 $\alpha=p / q$ 是有理数,最初假设 2 和 5 都不是 $q$. 选择 $t=\phi(q)$ ,在哪里 $\phi$ 是欧拉 函数:见定义 $1.6$ 在本章的附录中。根据欧拉定理我们有
$$
10^t \equiv 1(\bmod q)
$$
所以 $q$ 是一个因素 $10^t-1$ ,说 $10^t-1=q r$. 因此我们可以写
$$
\alpha=\frac{p r}{10^t-1}=a+\frac{b}{10^t-1}
$$
这里我们使用除法算法来保证 $0 \leq b<10^t-1$. 我们可以这样写 $b$ 作为一些 $t$ 数字,说 $b=b_1 b_2 \cdots b_t$ ; 它可能是 $b_1$ 为零。同样,写 $a=a_1 a_2 \cdots a_s$.然后
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^t}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_1 a_2 \cdots a_s . b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots b_t b_1 b_2 \cdots
$$
我们看到了 $\alpha$ 有一个最终周期性的十进制扩展。为了完成证明,我们还必须考虑以下情况 $q$ 有 2 或 5 作为 一个因素。让 $q=2^m 5^n q^{\prime}$ ,其中 2 和 5 都不是 $q^{\prime}$ ;然后
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^n 5^m p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}
$$
说; 根据前面的论点,十进制展开 $10^{m+n} \alpha$ 最终是周期性的。的扩展 $\alpha$ 包含完全相同的数字 (小数点移动 $m+n$ 地方),所以它最终也是周期性的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisor

If $c$ and $d$ be two arbitrary integers, not simultaneously zero, then the set of common divisors of $c$ and $d$ is a finite set of integers, always containing the integers $+1$ and $-1$ (hence, their set of common divisors is non-null). Now every integer divides zero, so that if $c=d=0$, then every integer serves as a common divisor of $c$ and $d$. In this case, the set of common divisors of $c$ and $d$ turns to be infinite. In this article, we are interested on the greatest integer among the common divisors of two integers.

Definition 2.4.1. The greatest common divisor of two integers $c$ and $d$, that are not both zero, is the greatest integer which divides both $c$ and $d$.
In other words, the above definition can be formulated as
Definition 2.4.2. If $c$ and $d$ be two arbitrary integers, not simultaneously zero, the greatest common divisor of $c$ and $d$ is the common divisor e satisfying the following:

  1. $e \mid a$ and $e \mid b$.
  2. If $f \mid a$ and $f \mid b$ then $e \geq f$.
    The greatest common divisor of $c$ and $d$ is written as $(c, d)$ or $\operatorname{gcd}(c, d)$.

Example 2.4.1. The common divisors of 20 and 80 are $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10$ and $\pm$ 20. Hence $\operatorname{gcd}(20,80)=20$. Similarly, looking at sets of common divisors, we find that $(12,18)=6,(50,5)=5,(19,24)=1,(0,56)=56,(-8,-16)=8$, and $(-19,361)=19$.

We can also define the greatest common divisor of more than two integers.
Definition 2.4.3. Let $c_1, c_2, \ldots, c_n$ be integers, that are not all zero. The greatest common divisor of these integers is the greatest integer which is a common divisor of all of the integers in the set. The greatest common divisor of $c_1, c_2, \ldots, c_n$ is denoted by $\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)$ or $\operatorname{gcd}\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)$.
Example 2.4.2. We see that $(12,18,30)=6$ and $(10,15,25)=5$.
The following proposition can be used to find the greatest common divisor of a set of more than two integers.

Proposition 2.4.1. If $c_1, c_2, \ldots, c_n$ are integers, not simultaneously zero, then
$$
\operatorname{gcd}\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)=\operatorname{gcd}\left(c_1, c_2, \ldots,\left(c_{n-1}, c_n\right)\right) \text {. }
$$
Before proceeding for proof, let us explain the proposition with an example: To find the greatest common divisor of the three integers 105,140 , and 350 , we see that $\operatorname{gcd}(105,140,350)=\operatorname{gcd}(105,(140,350))=\operatorname{gcd}(105,70)=35$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclid’s Algorithm

While finding the gcd of two integers (not both 0 ), we can of course list all the common divisors and pick the greatest one amongst those. However, if $a$ and $b$ are very large integers, the process is very much time consuming. However, there is a far more efficient way of obtaining the gcd. That is known as the Euclid’s algorithm. This method essentially follows from the division algorithm for integers.
To prove the Fuclidean algorithm, the following lemma will he helpfull.
Lemma 2.4.1. If $a=q b+r$ then the $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, r)$.
Proof. Let $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ and $d_1=\operatorname{gcd}(b, r)$. Then, $d|a, d| b$ implies $d \mid(a-q b)$ 1.e, $d \mid r$. Thus $d$ is a common divisor of $b$ and $r$, hence $d \mid d_1$. Similarly, $d_1\left|b, d_1\right| r$ implies $d_1 \mid(b q+r)$ 1.e., $d_1$ divides both $a$ and $b$. Then, $d_1 \mid d$. Thus, $d=d_1$, as both $d$ and $d_1$ are positive by our definition of gcd.

Theorem 2.4.5. Euclid’s Algorithm: Let $a$ and $b(a>b)$ be any two integers If $r_1$ is the remainder when $a$ is divided by $b, r_2$ is the remainder when $b$ is divided by $r_1, r_3$ is the remainder when $r_1$ is divided by $r_2$ and so on. Thus $r_{n+1}=0$, then the last non zero remainder $r_n$ is the $\operatorname{gcd}(a, b)$.

Proof. Euclid’s algorithm is an efficient way of computing the gcd of two integers by repeated application of the above lemma. At each step the size of the integers concerned gets reduced. Suppose we want to find the gcd of two integers $a$ and $b$, neither of them being 0 . As $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(a,-b)=\operatorname{gcd}(-a, b)=\operatorname{gcd}(-a,-b)$, we may assume $a>b>0$. By performing division algorithm repeatedly, we obtain
$$
\begin{aligned}
a &=b q_1+r_1, & & 0 \leq r_1 \leq b . \
b &=r_1 q_2+r_2, & & 0 \leq r_2 \leq r_1 . \
r_1 &=r_2 q_2+r_3, & & 0 \leq r_3 \leq r_3 . \
\vdots &=\vdots & & \
r_{n-2} &=r_{n-1} q_n+r_n, & & 0 \leq r_n \leq r_{n-1} . \
r_{n-1} &=r_n q_{n+1}+r_{n+1}, & & 0 \leq r_{n+1} \leq r_n .
\end{aligned}
$$
As we have a decreasing sequence of non-negative integers $b>r_1>r_2>\ldots>$ $r_n>r_{n+1}$ we must have $r_{n+1}=0$ for some $n$. Then, by applying the previous lemma repeatedly, we find that $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}\left(r_1, b\right)=\operatorname{gcd}\left(r_2, r_1\right)=\ldots=$ $\operatorname{gcd}\left(r_{n-1}, r_{n-2}\right)=\operatorname{gcd}\left(r_n, r_{n-1}\right)=r_n$. Thus, the last non-zero remainder $r_n$ in the above process gives us the $\operatorname{gcd}(a, b)$.

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数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisor

如果 $c$ 和 $d$ 是两个任意整数,但不同时为零,则公约数的集合 $c$ 和 $d$ 是一个有限的整数集,总是包含整数 $+1$ 和 $-1$ (因此,他们的公约数集是非空的)。现在每个整数都被零除,所以如果 $c=d=0$ ,然后每个整数作为公约数 $c$ 和 $d$. 在这种情况下,公约数的集合 $c$ 和 $d$ 变为无穷大。在本文中,我们对两个整数的公约数中的最大整数感兴 趣。
定义 2.4.1。两个整数的最大公约数 和 $d$ ,两者都不为零,是除以两者的最大整数c 和 $d$.
换句话说,上述定义可以表述为
定义2.4.2。如果 $c$ 和 $d$ 是两个任意整数,不同时为零,最大公约数 $c$ 和 $d$ 是满足以下条件的公约数 e:
1.e $e a$ 和 $e \mid b$.

  1. 如果 $f \mid a$ 和 $f \mid b$ 然后 $e \geq f$.
    的最大公约数 $c$ 和 $d$ 写成 $(c, d)$ 或者 $\operatorname{gcd}(c, d)$.
    示例 2.4.1。20和 80 的公约数是 $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10$ 和 $\pm 20$. 因此 $\operatorname{gcd}(20,80)=20$. 同样,查看公约数 集,我们发现 $(12,18)=6,(50,5)=5,(19,24)=1,(0,56)=56,(-8,-16)=8$ ,和 $(-19,361)=19$.
    我们还可以定义两个以上整数的最大公约数。
    定义 2.4.3。让 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是整数,不全为零。这些整数的最大公约数是集合中所有整数的公约数最大的整 数。的最大公约数 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 表示为 $\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)$ 或者 $\operatorname{gcd}\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)$.
    示例 2.4.2。我们看到 $(12,18,30)=6$ 和 $(10,15,25)=5$.
    下面的命题可以用来找出一组多于两个整数的最大公约数。
    提案 2.4.1。如果 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是整数,不能同时为零,那么
    $$
    \operatorname{gcd}\left(c_1, c_2, \ldots, c_n\right)=\operatorname{gcd}\left(c_1, c_2, \ldots,\left(c_{n-1}, c_n\right)\right) .
    $$
    在进行证明之前,让我们用一个例子来解释这个命题: 求三个整数 105,140 和 350 的最大公约数,我们看到 $\operatorname{gcd}(105,140,350)=\operatorname{gcd}(105,(140,350))=\operatorname{gcd}(105,70)=35$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclid’s Algorithm

在找到两个整数 (不是都为 0 ) 的 $g c d$ 时,我们当然可以列出所有公约数并从中选择最大的一个。然而,如果 $a$ 和 $b$ 是非常大的整数,这个过程非常耗时。但是,有一种更有效的方法来获得 $g c d$ 。这就是众所周知的欧几里 得算法。该方法本质上遵循整数的除法算法。
为了证明 Fuclidean 算法,下面的引理会有帮助。
引理 2.4.1。如果 $a=q b+r$ 然后 $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, r)$.
证明。让 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ 和 $d_1=\operatorname{gcd}(b, r)$. 然后, $d|a, d| b$ 暗示 $d \mid(a-q b) 1$ 和, $d \mid r$. 因此 $d$ 是公约数 $b$ 和 $r$ ,因此 $d \mid d_1$. 相似地, $d_1\left|b, d_1\right| r$ 暗示 $d_1 \mid(b q+r) 1$ 和., $d_1$ 将两者分开 $a$ 和 $b$. 然后, $d_1 \mid d$. 因此, $d=d_1$ ,既 $d$ 和 $d_1$ 根据我们对 $\operatorname{gcd}$ 的定义,它们是正的。
定理 2.4.5。欧几里得算法: 让 $a$ 和 $b(a>b)$ 是任意两个整数如果 $r_1$ 余数是什么时候 $a$ 除以 $b, r_2$ 余数是什么时候 $b$ 除以 $r_1, r_3$ 余数是什么时候 $r_1$ 除以 $r_2$ 等等。因此 $r_{n+1}=0$ ,那么最后一个非零余数 $r_n$ 是个gcd $(a, b)$.
证明。欧几里德算法是一种通过重复应用上述引理来计算两个整数的 gcd 的有效方法。在每一步中,相关整数 的大小都会减少。假设我们想要找到两个整数的 $\operatorname{gcd} a$ 和 $b$, 它们都不为 0 。作为
$\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(a,-b)=\operatorname{gcd}(-a, b)=\operatorname{gcd}(-a,-b)$ ,我们可以假设 $a>b>0$. 通过反复执行除法算 法,我们得到
$$
a=b q_1+r_1, \quad 0 \leq r_1 \leq b . b \quad=r_1 q_2+r_2, \quad 0 \leq r_2 \leq r_1 . r_1=r_2 q_2+r_3, \quad 0 \leq r_3 \leq r_3
$$
因为我们有一个递減的非负整数序列 $b>r_1>r_2>\ldots>r_n>r_{n+1}$ 我们必须有 $r_{n+1}=0$ 对于一些 $n$. 然 后,通过重复应用前面的引理,我们发现 $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}\left(r_1, b\right)=\operatorname{gcd}\left(r_2, r_1\right)=\ldots=$ $\operatorname{gcd}\left(r_{n-1}, r_{n-2}\right)=\operatorname{gcd}\left(r_n, r_{n-1}\right)=r_n$. 因此,最后的非零余数 $r_n$ 在上面的过程中给了我们 $\operatorname{gcd}(a, b)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH3170

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH3170

数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

When an integer is divided by a second integer $(\neq 0)$, the quotient may or may not be an integer. For instance, $36 / 6=6$ is an integer, while $18 / 7=2.5$ is not. This observation leads to the following definition.

Definition 2.2.1. If $a$ and $b$ are integers, we say that $b$ is divisible by $a(\neq 0)$ if there exists an integer $c$ such that $b=a c$. Also, we say that $a$ is a divisor or factor of $b$, denoted by $a \mid b$. If a does not divides $b$, then we write $a \nmid b$.

Example 2.2.1. 10 is divisible by 5 because there exist an integer 2 such that $10=5 \times 2$. We say $5 \mid 10$.

Proposition 2.2.1. For any integers $a, b, c, d$ the following statements are true:

  1. $a|0,1| a, a \mid a$.
  2. $a|b \Rightarrow c a| c b, \forall c \in \mathbb{Z}$.
  3. $a \mid b$ and $b|c \Rightarrow a| c$.
  4. $a \mid b$ and $b \mid a \Rightarrow a=+b$.
  5. $a \mid b$ and $a|c \Rightarrow a|(b x+c y)$ for arbitrary integers $x$ and $y$.
    Proof. 1. Obvious.
  6. Here,
    $$
    \begin{aligned}
    a \mid b & \Rightarrow b=d a \text { for some integer } d \
    & \Rightarrow c b=d(c a) \
    & \Rightarrow c a \mid c b
    \end{aligned}
    $$
  7. Here, $a \mid b \Rightarrow b=a q$ and $c \mid d \Rightarrow d=c p$ for some integers $p$ and $q$. Therefore $c=a(p q)$. Hence $b d=a c(p q)$. Therefore $a c \mid b d$, as $p q$ is an integer.
  8. Here, $a \mid b \Rightarrow b=a p$ for some integer $p$. Also, $b \mid c \Rightarrow c=b q$ for some integer $q$. Therefore $c=b q=a(p q)$. Therefore $a \mid c$.
  9. Here, $a \mid b \Rightarrow b=a p$ for some integer $p$. Therefore $b=b p q$. Also, $b \mid a \Rightarrow a=$ $b q$ for some integer $q$ implies $p q=1$. As $p, q$ are integers either, $p=q=1$ or $p=q=-1$. Therefore $a=\pm b$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

Problem 2.3.1. For any two integers $a$ and $b$ with $b>0$, there exists unique integers $q_1$ and $r_1$ such that $a=b q_1+c r_1$ where $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$.
Solution 2.3.1. By division algorithm we have $a=b q+c r, 0 \leq r<b$.
Case I $r<\frac{b}{2}$, take $q_1=q, c=1, r_1=r$. Therefore $a=b q_1+c r_1, 0 \leq r_1<$ $\frac{b}{2}, c=\pm 1$

Case II $r>\frac{b}{2}$, therefore $0<b-r<\frac{b}{2}$ take $q_1=q_0+1, r_1=b-r$ and $c^2=-1$, therefore, $a=b q_1+c r_1$ where $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=-1$.

Case III $r=\frac{b}{2}$ then $q_1=q, c=1, r_1=r$. Therefore $a=b q_1+c r_1, r_1=\frac{b}{2}, c=1$ and if $q_1=q+1, r_1=b-r$ and $c=-1$. Therefore $a=b(q+1)-(b-$ $r)=b q_1+c r_1, \frac{b}{2}=r, c=-1$. In this case $q_1$ and $r_1$ is not unique, so $a=b q_1+c r_1, 0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$.

Problem 2.3.2. Show that every square integer is of the form $5 k$ or $5 k \pm 1$ for some $k \in \mathbb{Z}$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH3170

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Divisibility

当一个整数除以第二个整数时 $(\neq 0)$ ,商可以是也可以不是整数。例如, $36 / 6=6$ 是一个整数,而 $18 / 7=2.5$ 不是。这一观察导致了以下定义。
定义 2.2.1。如果 $a$ 和 $b$ 是整数,我们说 $b$ 被整除 $a(\neq 0)$ 如果存在整数 $c$ 这样 $b=a c$. 另外,我们说 $a$ 是除数或因 子 $b$, 表示为 $a \mid b$. 如果 $a$ 不除 $b$, 然后我们写 $a \nmid b$.
示例 2.2.1。10 可以被 5 整除,因为存在整数 2 使得 $10=5 \times 2$. 我们说 $5 \mid 10$.
提案 2.2.1。对于任何整数 $a, b, c, d$ 以下陈述是正确的:

  1. $a|0,1| a, a \mid a$.
  2. $a|b \Rightarrow c a| c b, \forall c \in \mathbb{Z}$.
  3. $a \mid b$ 和 $b|c \Rightarrow a| c$.
  4. $a \mid b$ 和 $b \mid a \Rightarrow a=+b$.
  5. $a \mid b$ 和 $a|c \Rightarrow a|(b x+c y)$ 对于任意整数 $x$ 和 $y$.
    证明。1. 显而易见。
  6. 这里,
    $$
    a \mid b \Rightarrow b=d a \text { for some integer } d \quad \Rightarrow c b=d(c a) \Rightarrow c a \mid c b
    $$
  7. 这里, $a \mid b \Rightarrow b=a q$ 和 $c \mid d \Rightarrow d=c p$ 对于一些整数 $p$ 和 $q$. 所以 $c=a(p q)$. 因此 $b d=a c(p q)$. 所以 $a c \mid b d$ ,作为 $p q$ 是一个整数。
  8. 这里, $a \mid b \Rightarrow b=a p$ 对于某个整数 $p$. 还, $b \mid c \Rightarrow c=b q$ 对于某个整数 $q$. 所以 $c=b q=a(p q)$. 所 以 $a \mid c$.
  9. 这里, $a \mid b \Rightarrow b=a p$ 对于某个整数 $p$. 所以 $b=b p q$. 还, $b \mid a \Rightarrow a=b q$ 对于某个整数 $q$ 暗示 $p q=1$. 作为 $p, q$ 都是整数, $p=q=1$ 或者 $p=q=-1$. 所以 $a=\pm b$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Worked out Exercises

问题 2.3.1。对于任意两个整数 $a$ 和 $b$ 和 $b>0$ ,存在唯一整数 $q_1$ 和 $r_1$ 这样 $a=b q_1+c r_1$ 在哪里 $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$ 解决方案 2.3.1。通过除法算法我们有 $a=b q+c r, 0 \leq r\frac{b}{2}$ ,所以 $0<b-r<\frac{b}{2}$ 拿 $q_1=q_0+1, r_1=b-r$ 和 $c^2=-1$ ,所以, $a=b q_1+c r_1$ 在哪 里 $0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=-1$.
案例三 $r=\frac{b}{2}$ 然后 $q_1=q, c=1, r_1=r$. 所以 $a=b q_1+c r_1, r_1=\frac{b}{2}, c=1$ 而如果
$q_1=q+1, r_1=b-r$ 和 $c=-1$. 所以 $a=b(q+1)-(b-r)=b q_1+c r_1, \frac{b}{2}=r, c=-1$. 在这种 情况下 $q_1$ 和 $r_1$ 不是唯一的,所以 $a=b q_1+c r_1, 0 \leq r_1<\frac{b}{2}, c=\pm 1$.
问题 2.3.2。证明每个平方整数的形式 $5 k$ 或者 $5 k \pm 1$ 对于一些 $k \in \mathbb{Z}$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|Math453

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Math453

数学代写|数论作业代写number theory代考|Completeness Properties of R

Next we are going to discuss the completeness property of $\mathbb{R}$. The discussion starts with the following definition.

Definition 1.0.1. Let $K \subset \mathbb{R}$. Then a real number $u$ is said to be an upper bound(lower bound) of $K$ if $x \in K$ and $x \leq u(x \geq u)$. If $K$ has an upper bound(lower bound), then it is called bounded above(bounded below).

Example 1.0.6. Let $K={x \in \mathbb{R}: 3<x<4}$. Note that $K$ is bounded above and 4 is the upper bound. Also $K$ is bounded below and 3 is the lower bound.
The last example raises the question, whether the upper bound 4 and the lower bound 3 is greatest or least respectively. The following definition of least upper bound and greatest lower bound will be the answer to the raised question.
Definition 1.0.2. Let $K \subset \mathbb{R}$. If $K$ is bounded above(bounded below), then an upper bound (lower bound) is said to be the least upper bound(greatest lower bound) or supremum(infimum) if it is less(greater) than every upper(lower) bounds of $K$.

Actually it is a deeper property of $\mathbb{R}$ that for any non-empty bounded above(below) subset of $K$ of $\mathbb{R}$, the least upper bound(greatest lower bound) do exists. This property of $\mathbb{R}$ is called the supremum(infimum) property. Note that we can establish these two properties are equivalent and one implies other. Furthermore, the supremum property of $\mathbb{R}$ can be treated as an axiom, known to be the completeness property of $\mathbb{R}$. The statement is as follows:

Statement 1.0.1. Axiom of least upper bound: If a set $K$ is bounded above, then it has a least upper bound i.e. there exists a unique real number $M$ satisfying

  1. $x \leq M, \forall x \in K$.
  2. for arbitrary $\epsilon(>0)$, there exists an element $\alpha \in K$ such that $M-\epsilon<\alpha \leq$ $M$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Theory of Divisibility

Mathematics is the Universe’s natural tongue. From very beginning of our existence as a species, numbers have deeply mesmerised us. Due to Carl Friedrich Gauss “Number theory is one of the oldest branches of Mathematics which established a relationship between numbers belonging to the set of real numbers”.
The pureness of Number Theory has charmed mathematicians generation after generation – each contributing to the branch that Carl Gauss described as the “Queen of Mathematics.” Today, however, a basic understanding of Number Theory is an absolute precursor to cutting-edge software engineering, specifically security-based software. Number Theory is at the heart of cryptography which is itself experiencing a engrossing period of rapid evolution, ranging from the famous RSA algorithm to the wildly-popular blockchain world.

Two clear-cut moments in history stand out as curvature points in the development of Number Theory. First, in archaic times, Fuclid put forth his GCD (Greatest Common Divisor) algorithm – a splendid set of steps that simplifies fractions to their simplest form using geometrical observations. Then, approximately two-thousand years later, Gauss formalized Euclid’s principles by com-bining Euclid’s informal writings with his own extensive proofs in the timeless Disquistiones Arithmeticae.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Math453

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Completeness Properties of R

接下来我们将讨论的完整性属性 $\mathbb{R}$. 讨论从以下定义开始。
定义 1.0.1。让 $K \subset \mathbb{R}$. 然后是实数 $u$ 据说是的上限 (下限) $K$ 如果 $x \in K$ 和 $x \leq u(x \geq u)$. 如果 $K$ 有上界 (下界),则称为上界(下界)。
示例 1.0.6。让 $K=x \in \mathbb{R}: 3<x<4$. 注意 $K$ 上面有界,4 是上界。还 $K$ 是有界的,3 是下界。 最后一个例子提出了一个问题,上限 4 和下限 3 分别是最大还是最小。以下最小上限和最大下限的定义将是所 提出问题的答案。
定义 1.0.2。让 $K \subset \mathbb{R}$. 如果 $K$ 上界 (下界),则上界 (下界) 被称为最小上界 (最大下界) 或上界 (infimum),如果它小于 (大于) 每个上界 (下界) $K$.
实际上它是一个更深层次的属性 $\mathbb{R}$ 对于任何非空有界以上(以下)的子集 $K$ 的 $\mathbb{R}$ ,最小上限(最大下限)确实 存在。此属性为 $\mathbb{R}$ 称为上界 (下界) 性质。请注意,我们可以确定这两个属性是等价的,一个暗示另一个。此 外,至高无上的财产 $\mathbb{R}$ 可以被视为一个公理,被称为完整性属性 $\mathbb{R}$. 声明如下:
声明 1.0.1。最小上界公理:如果一个集合 $K$ 是有界的,那么它有一个最小上界,即存在一个唯一的实数 $M$ 令 人满意

  1. $x \leq M, \forall x \in K$.
  2. 对于任意 $\epsilon(>0)$, 存在一个元素 $\alpha \in K$ 这样 $M-\epsilon<\alpha \leq M$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Theory of Divisibility

数学是宇宙的天然语言。从我们作为一个物种存在的一开始,数字就深深地吸引了我们。由于卡尔弗里德里希高斯“数论是数学最古老的分支之一,它建立了属于实数集的数字之间的关系”。
数论的纯粹性吸引了一代又一代的数学家——每一位都为卡尔高斯称之为“数学女王”的分支做出了贡献。然而,今天,对数论的基本理解绝对是尖端软件工程的先驱,特别是基于安全的软件。数论是密码学的核心,密码学本身正在经历一个引人入胜的快速发展时期,从著名的 RSA 算法到广受欢迎的区块链世界。

历史上有两个明确的时刻作为数论发展中的曲率点脱颖而出。首先,在古代,Fuclid 提出了他的 GCD(最大公约数)算法——一组出色的步骤,使用几何观察将分数简化为最简单的形式。然后,大约 2000 年后,高斯通过将欧几里得的非正式著作与他自己在永恒的 Disquistiones Arithmeticae 中的大量证明相结合,将欧几里得的原理形式化。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

如果你也在 怎样代写数论number theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

数学代写|数论作业代写number theory代考|Security versus Authenticity

We finish this chapter by discussing the need for authenticity as well as security in modern digital communication. In Example $6.5$ Alice decrypts Bob’s message to meet him at 8 , but how can she be sure that Bob sent the message? Perhaps it was the evil Eve who actually sent it and plans to trick her into giving up her decrypting exponent $d$ when they meet. Alice would like to know that the message from Bob is authentic. Well, it turns out that RSA can also be used to establish authenticity as well as guarantee security, via what’s called a digital signature. This can be done by having as the last packet in a message a “signature” which, unlike the main part of the message, is encoded using the sender’s public modulus and private decoding exponent.

Here’s how it works. Let us now denote Alice’s public keys by $n_A$ and $e_A$ and her private decrypting key by $d_A$. Of course Bob can also have public and private keys which we shall denote by $n_B, e_B$, and $d_B$. Now Bob wants to send the message $m$ and his signature $s$ to Alice. As before he uses her public modulus and encrypting exponent on the $m$, but for the signature part he uses his own public modulus and his private decrypting exponent. Hence Alice receives two numbers $c$ and $t$, say, which are
$$
c=m^{e_A}\left(\bmod n_A\right) ; t=s^{d_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
Now upon receipt of the pair $(c, t)$, she can decrypt both as follows:
$$
m=c^{d_A}\left(\bmod n_A\right) ; s=t^{e_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
If the message really was from Bob, the resulting digitized signature $s$, when “undigitized,” should make sense. On the other hand, if the signature was actually from anyone besides Bob, what would come out of her computation for $s$, when undigitized, would definitely not be $s$, but rather something unrecognizable.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Solved Problems

6.1. Using the exact same linear encryption scheme as in Example 6.1, my broker sends me an encrypted reply to my “SELL” message. It translates as “EKMC.” By decrypting, what is her message?
Solution:
The encoded message EKMC, translated into numbers, is the set ${4,10,12,2}$. We now subtract 12 from each of these and then multiply by the inverse of 5 in $\mathbb{Z}_{26}$, which is 21 . Modulo 26 this gives us
$$
\begin{aligned}
21({4-12,10-12,12&-12,2-12}) \equiv-5({-8,-2,0,-10}) \
& \equiv{14,10,0,24}
\end{aligned}
$$
which translates to OKAY.

Primitive Ronts and the Diffie-Hellman Key Fxchange Method
6.2. (a) Find the smallest primitive root in $\mathbb{Z}{13}$. (b) Assume that Alice and Bob are using the Diffie-Hellman key exchange method to create a common secure key and have agreed on 13 for the modulus and the answer of Part (a) as the primitive root. If Alice chooses her secret number to be $a=3$ and Bob chooses his secret number to be $b=5$, determine the common key. Solution: (a) As we saw in Example 6.3, since $\phi(13-1)=4$, there will be four primitive roots in $\mathbb{Z}{13}$. Moreover, if $k$ is the smallest exponent on an element $a$ of $\mathbb{Z}_{13}$ for which $a^k \equiv 1(\bmod 13)$, then $k$ divides $13-1=12$. Hence, testing 2 , we compute that $2^6=64 \equiv 12 \equiv$ $-1(\bmod 13)$, so $2^{12} \equiv 1(\bmod 13)$, and 12 is the smallest such exponent, so 2 is a primitive root modulo 13.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

数论作业代写

数学代写|数论作业代写数论代考|安全与真实性


我们通过讨论现代数字通信中对真实性和安全性的需求来结束本章。示例$6.5$中,Alice解密了Bob的消息,并在8点与Bob见面,但是她如何确定Bob发送了消息呢?也许是邪恶的夏娃真正发送了它,并计划在他们见面时欺骗她放弃她的解密指数$d$。Alice想知道Bob发来的消息是否真实。事实证明,通过所谓的数字签名,RSA也可以用来建立真实性和保证安全性。这可以通过在消息的最后一个包中添加一个“签名”来实现。与消息的主要部分不同,“签名”是使用发送方的公共模量和私有解码指数进行编码的


下面是它的工作原理。现在让我们用$n_A$和$e_A$表示Alice的公钥,用$d_A$表示她的私有解密密钥。当然Bob也可以有公钥和私钥,我们将用$n_B, e_B$和$d_B$来表示。现在Bob想将消息$m$和他的签名$s$发送给Alice。和前面一样,他在$m$上使用了她的公共模量和加密指数,但是对于签名部分,他使用了他自己的公共模量和他的私有解密指数。因此,Alice接收到两个数字$c$和$t$,它们分别是
$$
c=m^{e_A}\left(\bmod n_A\right) ; t=s^{d_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
现在,在接收到这对数字$(c, t)$之后,她可以按以下方式对这两个数字进行解密:
$$
m=c^{d_A}\left(\bmod n_A\right) ; s=t^{e_B}\left(\bmod n_B\right) .
$$
如果消息真的来自Bob,那么得到的数字化签名$s$,当“非数字化”时,应该是有意义的。另一方面,如果签名实际上来自Bob以外的任何人,那么她对$s$的计算得到的结果,经过非数字化处理后,肯定不是$s$,而是一些无法识别的东西。

数学代写|数论作业代写数论代考|解决的问题

使用与示例6.1完全相同的线性加密方案,我的代理向我的“SELL”消息发送一个加密回复。翻译过来就是“EKMC”。通过解密,她的信息是什么?
解决方案:
编码消息EKMC,翻译成数字,是集合${4,10,12,2}$。现在每个数减去12然后在$\mathbb{Z}_{26}$中乘以5的倒数,也就是21。取模26得到
$$
\begin{aligned}
21({4-12,10-12,12&-12,2-12}) \equiv-5({-8,-2,0,-10}) \
& \equiv{14,10,0,24}
\end{aligned}
$$
翻译成OKAY.

原始Ronts和Diffie-Hellman键Fxchange方法
(a)在$\mathbb{Z}{13}$中找到最小的原语根。(b)假设Alice和Bob正在使用Diffie-Hellman密钥交换方法来创建一个公共安全密钥,并同意以13作为模数,以(a)部分的答案作为原根。如果Alice选择她的密匙是$a=3$, Bob选择他的密匙是$b=5$,那么确定公共密匙。解决方案:(a)正如我们在例6.3中看到的,由于$\phi(13-1)=4$, $\mathbb{Z}{13}$中将有四个原语根。此外,如果$k$是$\mathbb{Z}_{13}$的元素$a$上的最小指数,对于该元素$a^k \equiv 1(\bmod 13)$,则$k$除$13-1=12$。因此,在测试2中,我们计算出$2^6=64 \equiv 12 \equiv$$-1(\bmod 13)$,因此$2^{12} \equiv 1(\bmod 13)$, 12是最小的指数,因此2是13的原根模

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

数学代写|数论作业代写number theory代考|Diffie-Hellman Key Exchange

We are now in a position to describe Diffie’s and Hellman’s idea. Let us suppose that Alice and Bob wish to communicate securely by setting up a common key only they will know. This common, secure key might be used, for example, to be the multiplier $m$ in a linear encryption system, as discussed previously. Here are the steps they follow:
(1) They agree upon a large prime $p$ to act as the modulus (in practice, $p$ may have 100 decimal digits or more!), and they agree upon a primitive root $g$ of $\mathbb{Z}_p$. We leave aside the difficulties involved in identifying such a large prime and such a primitive root, but there are quick algorithms to accomplish both of these tasks. (2) Alice chooses a number $a$ and Bob likewise chooses a number $b$, both satisfying that $2 \leq a, b \leq p-2$. For security reasons, it is essential that Alice keeps her number $a$ to herself and that Bob also keeps his number $b$ to himself.
(3) Now Alice computes $g^a(\bmod p)$ and sends this number $c$ to Bob. Bob then computes $c^b(\bmod p)$. Notice that the net effect is that Bob (without knowing $a)$ has then the value $g^{a b}(\bmod p)$, since
$$
c^b \equiv\left(g^a\right)^b \equiv g^{a b} \quad(\bmod p) .
$$
(4) In the same way, Bob calculates $g^h(\bmod p)$ and sends this number $d$ to Alice. She then computes $d^a(\bmod p)$, but again notice that she (without knowing $b$ ) has the same value
$$
d^a \equiv\left(g^b\right)^a \equiv g^{b a} \quad(\bmod p) .
$$

(5) But now $g^{a b}(\bmod p)=g^{b a}(\bmod p)$, and we have arrived at a secret common key, namely the number $g^{a b}(\bmod p)$, which Alice and Bob can now use for secure communication. Note that an evil eavesdropper Eve cannot obtain this key from the information exchange since she will only have seen the numbers $c$ and $d$. Even if Eve knows $p$ and $g$ (which Alice and Bob had to agree on to get started), she cannot compute the common key since she does not know $a$ and $b$. After a couple of examples we shall discuss this point further.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Public Key Cryptography and the RSA System

Whereas the Diffie-Hellman key exchange method depends upon Fermat’s Theorem (Theorem 5.1) and on the existence of primitive roots in the set $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime, the cryptographic system we shall now introduce, called the RSA system, depends instead on Euler’s Function and Euler’s Theorem (Theorem 5.4), as introduced in the previous chapter. The system is named after its founders Ronald Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman; see [11]. Though introduced in the late 1970’s, this system remains in wide use today for digital communications of all sorts, including in particular financial transactions such as on-line payments with a credit card.

An important new idea in the RSA system is that it involves public keys. This conceptual breakthrough showed that it is possible to avoid the dependence on private keys which themselves require secure exchange. As designed in RSA, the public keys are made possible by the fact that factorization of integers is hard, especially when the primes involved in the factorization are large.
So let us suppose that Alice now would like anyone to be able to send her a secure encrypted message which she and only she can decrypt. Here is her procedure:
(1) She selects two large primes $p$ and $q$ of the same approximate size and carefully keeps these choices private! In practice these primes need to have at least 100 decimal digits to guarantee security. She then computes her modulus $n=p q$.
(2) Now Euler’s Function and Theorem come in. She computes $\phi(n)=\phi(p q)=(p-1)(q-1)$ and keeps this value private! Now she selects a number $e$, called her encrypting exponent, which by using the Euclidean Algorithm she carefully checks is relatively prime to $\phi(n)$. (If it is not relatively prime to $\phi(n)$, she picks another $e$ and checks it, etc.) As we saw in Lemma 3.3, this calculation can be run backwards to discover the multiplicative inverse $d$ (called the decrypting exponent) of $e$ modulo $\phi(n)$. That is, for some positive integer $k$, we have $e d-k \phi(n)=1$, so that $e d=1+k \phi(n)$. Again, she keeps the value of $d$ very secret.
(3) She publishes, for all the world (including the eavesdropper Eve) to see, her modulus $n$ and her encrypting exponent $e$. This is why RSA is an example of public key cryptography. She keeps the values of $p$ and $q$ a secret, so in addition the values of $\phi(n)$ and in particular the decrypting exponent $d$ are unknown to the outside world. She is now ready to receive messages encrypted via her public $n$ and $e$ which she alone can decrypt.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH2088

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Diffie-Hellman Key Exchange

.


我们现在可以描述迪菲和海尔曼的想法了。让我们假设Alice和Bob希望通过设置一个只有他们自己知道的公共密钥来安全地通信。例如,如前所述,这个通用的安全密钥可以用作线性加密系统中的乘法器$m$。
(1)他们一致同意一个大素数$p$作为模数(实际上,$p$可能有100位或更多的小数!),他们一致同意$\mathbb{Z}_p$的原根号$g$。我们不考虑识别如此大的质数和原始根所涉及的困难,但有一些快速的算法可以完成这两项任务。(2) Alice选择一个数字$a$, Bob同样选择一个数字$b$,两者都满足$2 \leq a, b \leq p-2$。为了安全的原因,Alice把她的号码$a$留给自己,Bob也把他的号码$b$留给自己。
(3)现在Alice计算$g^a(\bmod p)$并把这个号码$c$发送给Bob。然后Bob计算$c^b(\bmod p)$。注意,最终结果是Bob(不知道$a)$的情况下,的值是$g^{a b}(\bmod p)$,因为
$$
c^b \equiv\left(g^a\right)^b \equiv g^{a b} \quad(\bmod p) .
$$
(4))以同样的方式,Bob计算$g^h(\bmod p)$并将这个数字$d$发送给Alice。然后她计算$d^a(\bmod p)$,但是再次注意到她(不知道$b$)具有相同的值
$$
d^a \equiv\left(g^b\right)^a \equiv g^{b a} \quad(\bmod p) .
$$


但是现在是$g^{a b}(\bmod p)=g^{b a}(\bmod p)$,我们已经得到了一个秘密的公共密钥,即数字$g^{a b}(\bmod p)$, Alice和Bob现在可以使用这个数字进行安全通信。请注意,邪恶的窃听者Eve无法从信息交换中获得这个密钥,因为她只会看到数字$c$和$d$。即使Eve知道$p$和$g$(这是Alice和Bob在开始之前必须同意的),她也不能计算公共密钥,因为她不知道$a$和$b$。在举了几个例子之后,我们将进一步讨论这一点

数学代写|数论作业代写数论代考|公钥密码术和RSA系统


Diffie-Hellman密钥交换方法依赖于费马定理(定理5.1)和在$p$为素数的集合$\mathbb{Z}_p$中存在原始根,而我们现在要介绍的RSA密码系统则依赖于上一章介绍的欧拉函数和欧拉定理(定理5.4)。该系统以其创始人Ronald Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman的名字命名;参见[11]。虽然该系统于20世纪70年代末引入,但时至今日仍广泛应用于各种数字通信,特别是金融交易,如信用卡在线支付


RSA系统中一个重要的新思想是它涉及到公钥。这一概念上的突破表明,有可能避免对私钥的依赖,私钥本身需要安全交换。正如在RSA中设计的那样,由于整数的因数分解非常困难,特别是当涉及因数分解的质数很大时,公钥就成为可能。所以让我们假设Alice现在希望任何人能够给她发送一条安全的加密信息,并且只有她能够解密。
(1)她选择两个大素数 $p$ 和 $q$ 差不多大小,小心翼翼地把这些选择保密!实际上,为了保证安全性,这些质数至少需要有100位小数。然后计算她的模量 $n=p q$
(2)现在引入欧拉函数和定理。她会计算 $\phi(n)=\phi(p q)=(p-1)(q-1)$ 并保持此值为私有!现在她选了一个号码 $e$她用欧几里得算法(Euclidean Algorithm)仔细检验了这个指数是相对的质数 $\phi(n)$。(如果它不是相对的 $\phi(n)$,她又选了一个 $e$ 就像我们在引理3.3中看到的,这个计算可以反向运行来发现乘法逆 $d$ 的(称为解密指数) $e$ 模 $\phi(n)$。也就是说,对于某个正整数 $k$,我们有 $e d-k \phi(n)=1$,因此 $e d=1+k \phi(n)$。再一次,她保留了 $d$ 她公开了她的模子,让全世界(包括偷听的伊芙)看到 $n$ 和她的加密指数 $e$。这就是为什么RSA是公钥密码学的一个例子。她保持着……的价值观 $p$ 和 $q$ 一个秘密,所以除了价值 $\phi(n)$ 特别是解密指数 $d$ 都不为外界所知。她现在已经准备好通过她的公众号接收加密的信息 $n$ 和 $e$ 只有她能解密

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MAST90136

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论作业代写number theory代考|MAST90136

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Basics of Encryption

Let us start by discussing the basic idea of encryption and the need for one or more keys for that encryption to work. Here is an example of a relatively simple encryption technique.

Example 6.1. Suppose I want to send the message “SELL” to my stock broker but I want the message to be encrypted so that only she knows what I want. A simple technique is called linear encryption, which in this case would involve using a modulus of 26 and two keys, a multiplier $m$ (which must be relatively prime to 26) and an adder $b$. Then if $x$ is a numerical representation of a letter (say $\mathrm{A}=0, \mathrm{~B}=1$, and so on), then my encryption of each letter $x$ will be $y=m x+b(\bmod 26)$ and her decryption would then be $x=m^{-1}(y-b)(\bmod 26)$. What she and I need to do before any communication can occur is agree on our two private keys $m$ and $b$, and, using the Euclidean Algorithm, we can each compute the multiplicative inverse $m^{-1}$ of $m$ in $\mathbb{Z}_{26}$. So, suppose we agree on $m=5$ and $b=12$. Since $\mathrm{S}=18, \mathrm{E}=4$ and $\mathrm{L}=11$, I now do the three computations modulo $26: 5(18)+12 \equiv 24,5(4)+12 \equiv 6$, and $5(11)+12 \equiv 15(\bmod 26)$, and send over to her ${24,6,15,15}$ (that is, “YGPP”). Since $m^{-1}=21$, she now computes (again modulo 26) $21(24-12) \equiv 18,21(6-12) \equiv 4$, and $21(15-12) \equiv 11$; that is, she decrypts the message to ${18,4,11,11}$, which is, of course, “SELL.”

The primary point for us in this example is that my broker and I need to share a private key (or keys) to do secure communication, but how can we securely agree on the shared keys? The point is that we need shared secure keys to communicate, but, ironically, we need other keys to communicate our desired keys, and so on. What was traditionally used was a “trusted carrier,” but who/what is that? An answer to this seemingly unsolvable situation would be some method by which a key or keys can be agreed upon with an unsecured communication exchange which does not reveal what the keys are to anyone but the two communicators, even if the process is somehow hacked by an outsider. This is what Diffie and Hellman devised in the 1970’s (see [2]). Their system, which we describe below, was for example used during the Cold War when the United States and the Soviet Union wanted to establish their “hotline,” and it continues to be used in setting up extremely fast and secure modern computer communication channels.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Primitive Roots

Before describing the Diffie-Hellman method, we need to investigate the multiplicative structure of $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime. Fermat’s Theorem tells us that if $a$ is a non-zero element of $\mathbb{Z}_p$, the integers modulo $p$, then $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$. A question is: Is $p-1$ the smallest exponent on $a$ for which the reduced answer is 1? Let’s look at a couple of examples.

Example 6.2. (a) For each non-zero element $a$ of $\mathbb{Z}_{11}$, the following chart shows the smallest power $k$ for which $a^k \equiv 1(\bmod 11)$ :

We see then that four of the ten non-zero elements $(2,6,7$ and 8) of $\mathbb{Z}{11}$ need to be raised all the way to the 10-th power to get to 1 . Such an element will be called a primitive root of $\mathbb{Z}{11}$ (see the general definition below). We also note that the number of primitive roots here, namely 4 , is given by $\phi(11-1)=4$ ( $\phi$ of course being Euler’s Function). This will in fact be true in general: the number of primitive roots of the prime $p$ is $\phi(p-1)$. Hence we have a way of counting how many primitive roots there are in $\mathbb{Z}_p$, but not necessarily an easy way to identify which elements they are.
(b) If we were to do the same experiment for $p=7$, we would find that there are two primitive roots (namely 3 and 5), i.e., two elements which must be raised all the way to the 6-th power modulo 7 to get an answer of 1 . Note that $\phi(7-1)=2$.

We make then the following definition: Suppose $a$ is a non-zero element of $\mathbb{Z}_p$ where $p$ is prime and suppose that $k$ is the smallest exponent such that $a^k \equiv 1(\bmod p)$. If $k=p-1$, then $a$ is called a primitive root of $\mathbb{Z}_p$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MAST90136

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Basics of Encryption

. The basic of Encryption


让我们从讨论加密的基本思想和加密工作需要一个或多个密钥开始。下面是一个相对简单的加密技术的例子

例6.1假设我想将消息“SELL”发送给我的股票经纪人,但我希望该消息被加密,以便只有她知道我想要什么。一种简单的技术称为线性加密,在本例中,它将涉及使用26的模数和两个密钥,一个乘数$m$(它必须相对于26为素数)和一个加法器$b$。然后,如果$x$是一个字母的数字表示(比如$\mathrm{A}=0, \mathrm{~B}=1$等等),那么我对每个字母$x$的加密将是$y=m x+b(\bmod 26)$,然后她的解密将是$x=m^{-1}(y-b)(\bmod 26)$。在进行任何通信之前,她和我需要做的是就我们的两个私钥$m$和$b$达成一致,并且使用欧氏算法,我们可以各自在$\mathbb{Z}_{26}$中计算$m$的乘法逆$m^{-1}$。那么,假设我们同意$m=5$和$b=12$。从$\mathrm{S}=18, \mathrm{E}=4$和$\mathrm{L}=11$开始,我现在做了$26: 5(18)+12 \equiv 24,5(4)+12 \equiv 6$和$5(11)+12 \equiv 15(\bmod 26)$的三个计算,并发送到她的${24,6,15,15}$(即“YGPP”)。从$m^{-1}=21$开始,她现在计算(同样对26取模)$21(24-12) \equiv 18,21(6-12) \equiv 4$和$21(15-12) \equiv 11$;也就是说,她将消息解密到${18,4,11,11}$,当然,这是“卖出”。


在这个例子中,我们的主要观点是,我的代理和我需要共享一个私钥(或多个密钥)来进行安全通信,但是我们如何安全地就共享密钥达成一致呢?关键是我们需要共享的安全密钥来通信,但讽刺的是,我们需要其他密钥来通信我们所需的密钥,以此类推。传统上使用的是“可信的载体”,但这是谁/什么?这种看似无法解决的情况的答案是,通过某种方法,可以在不安全的通信交换中商定一个或多个密钥,这种通信交换不向除两个通信方以外的任何人透露密钥是什么,即使该过程以某种方式被外部黑客入侵。这是迪菲和海尔曼在20世纪70年代设计的(见[2])。例如,他们的系统,我们将在下面描述,在冷战期间美国和苏联想要建立他们的“热线”,并继续使用它来建立极其快速和安全的现代计算机通信渠道

数学代写|数论作业代写number theory代考|Primitive Roots


在描述Diffie-Hellman方法之前,我们需要研究$\mathbb{Z}_p$的乘法结构,其中$p$是素数。费马定理告诉我们,如果$a$是$\mathbb{Z}_p$的一个非零元素,整数对$p$取模,那么$a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$。问题是:$p-1$是$a$上最小的指数吗?让我们看几个例子

(a)对于$\mathbb{Z}_{11}$的每个非零元素$a$,下表显示了$a^k \equiv 1(\bmod 11)$:

时的最小幂$k$


我们看到十个非零元素中的四个 $(2,6,7$ 和8) $\mathbb{Z}{11}$ 需要一直取到10次方才能得到1。这样的元素称为的原根 $\mathbb{Z}{11}$ (参见下面的一般定义)。我们还注意到这里的原根数,即4,是由 $\phi(11-1)=4$ ( $\phi$ 当然是欧拉函数)。这在一般情况下是成立的质数的原始根数 $p$ 是 $\phi(p-1)$。因此,我们有了一种计算有多少个原始根的方法 $\mathbb{Z}_p$
(b)如果我们要做同样的实验 $p=7$,我们会发现有两个原根(即3和5),即两个元素必须一直求到6次模7才能得到1。注意 $\phi(7-1)=2$.


我们作出以下定义:假设$a$是$\mathbb{Z}_p$的一个非零元素,其中$p$是素数,并且假设$k$是最小的指数,使得$a^k \equiv 1(\bmod p)$。如果$k=p-1$,则$a$被称为$\mathbb{Z}_p$的原语根

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH4307

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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我们提供的数论number theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH4307

数学代写|数论作业代写number theory代考|Answers to Selected Supplementary Problems

1.13. (a) True since $644=7(92)$. (b) True since $644=-7(-92)$.
(c) False since the remainder is 4 , not $0 . \quad$ (d) True since $2916=$ $243(12)$
(e) True since $16 m-12=4(4 m-3)$. (f) True since $-7 m=$ $m(-7)$.
(g) False since the remainder is $3 m$, not 0 . (h) True since $-k^{3}+$ $2 k=k\left(-k^{2}+2\right)$.
1.15. (a) $487=14(34)+11$, i.e., $q=34$ and $r=11$.
(b) $-386=27(-15)+19$, i.e., $q=-15$ and $r=19$.
1.16. Since $486=15 a+6$, we get $a=480 / 15=32$.
1.17. $44=2^{2} \cdot 11,111=3 \cdot 37$, so $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
1.19. (a) $F_{9}=34, F_{10}=55, F_{11}=89, F_{12}=144$.
1.20. (a) $84 . \quad$ (b) $525 .$
1.22. (a) $44=\left(2^{2}\right)(11)$ and $111=(3)(37)$, so $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
(b) $111=44(2)+23,44=23(1)+21,23=21(1)+2,21=2(10)+1$.
1.23. By the Euclidean Algorithm, we have $71=23(3)+2$ and $23=2(11)+1$.

Hence $1=23-2(11)=23-(71-23(3))(11)=23(34)+71(-11)$, so $x=34$ and $y=-11$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Listing Primes: The Sieve of Eratosthenes

A second question we now ask is, How can we list all of the prime numbers up to some positive value $n \geq 2$ ? A method to do this is known as the Sieve of Eratosthenes, named in honor of Eratosthenes $(276 \mathrm{BC}-194 \mathrm{BC})$, who appears to be the first to make use of this process. The process, described below, is quite efficient as long as $n$ isn’t too large.

We begin by listing all of the numbers from 2 to $n$. Then since 2 is prime, we leave it in the list and delete all multiples of 2 (except 2 itself) up to and including $n$. That knocks out all the even numbers in our list larger than 2 . We then leave 3 and delete all larger multiples of 3 . The next value not already deleted is 5 , so we leave it and delete all multiples of 5 . We continue this process with 7 which is yet to be deleted, then 11, ctc. The numbers remaining in the list give all primes up to $n$. A question you might have is, When can we stop this process so that we have indeed listed all the primes up to $n$ ? You are asked in Problem $2.2$ to show that we need only process primes which are less than or equal to the square root of $n$.

Example 2.2. We illustrate the Sieve of Eratosthenes by finding all primes up to $n=50$. We begin by listing all of the positive integers from 2 through 50 . By what we just stated, we need only process $2,3,5$, and 7 since $11>\sqrt{50}$.
$\begin{array}{rrrrrrrrrr} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 48 & 49 & 50\end{array}$
We boldface the number 2 as the first item in this list (since we know it is prime), and then cross out each multiple of 2 that is greater than 2. It is important to note that no actual arithmetic must be done here! We simply start at 2, skip by the amount of 2 (which gets us to the number 4), cross out the 4 , then skip by another 2 to get to 6 , cross out the 6 , and so on. This stage of the process is quite straightforward. This now leaves us with the following table.

数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH4307

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Answers to Selected Supplementary Problems

1.13。 (a) 真因为 $644=7(92)$. (b) 真因为 $644=-7(-92)$.
(c) 假,因为余数是 4 ,不是 $0 . \quad$ (d) 真因为 $2916=243(12)$
(e) 真因为 $16 m-12=4(4 m-3)$. (f) 真因为 $-7 m=m(-7)$.
(g) 假,因为余数是 $3 m$ ,而不是 0 。(h) 真因为 $-k^{3}+2 k=k\left(-k^{2}+2\right)$.
1.15。(一个) $487=14(34)+11$ ,那是, $q=34$ 和 $r=11$.
(二) $-386=27(-15)+19$ , 那是, $q=-15$ 和 $r=19$.
1.16。自从 $486=15 a+6$ ,我们得到 $a=480 / 15=32$.
1.17. $44=2^{2} \cdot 11,111=3 \cdot 37$ ,所以 $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
1.19。 (-个) $F_{9}=34, F_{10}=55, F_{11}=89, F_{12}=144$.
1.20。(一个) 84 . (b) 525 .
1.22。(一个) $44=\left(2^{2}\right)(11)$ 和 $111=(3)(37)$ ,所以 $\operatorname{gcd}(44,111)=1$.
(二) $111=44(2)+23,44=23(1)+21,23=21(1)+2,21=2(10)+1$.
1.23。根据欧几里得算法,我们有 $71=23(3)+2$ 和 $23=2(11)+1$.
因此1 $1=23-2(11)=23-(71-23(3))(11)=23(34)+71(-11)$, 所以 $x=34$ 和 $y=-11$.

数学代写|数论作业代写number theory代考|Listing Primes: The Sieve of Eratosthenes

我们现在要问的第二个问题是,我们如何列出所有素数,直到某个正值 $n \geq 2 ?$ 一种方法被称为埃拉托色尼筛,以纪 念埃拉托色尼而命名 $(276 \mathrm{BC}-194 \mathrm{BC})$ ,谁似平是第一个利用这个过程的人。下面描述的过程非常有效,只要 $n$ 不是太大。
我们首先列出从 2 到 $n$. 然后因为 2 是素数,我们将它留在列表中并删除所有 2 的倍数(除了 2 本身),包括 $n$. 这 会㓭除我们列表中大于 2 的所有偶数。然后我们留下 3 并删除所有更大的 3 倍数。下一个尚末删除的值是 5 ,因此 给出了所有素数 $n$. 你可能有一个问题,我们什么时候可以停止这个过程,以便我们确实列出了所有素数 $n$ ? 你在问题 中被问到 $2.2$ 表明我们只需要处理小于或等于平方根的素数 $n$.
例 2.2。我们通过找出所有素数来说明埃拉托色尼筛法 $n=50$. 我们首先列出从 2 到 50 的所有正整数。正如我们刚 オ所说,我们只需要处理 $2,3,5$, 和 7 以来 $11>\sqrt{50}$. 我们将数字 2 加粗作为该列表中的第一项(因为我们知道它是素数),然后删除大于 2 的每个 2 的倍数。重要的是 要注意,这里不必进行实际的算术运算!我们只是从 2 开始,跳过 2 的数量(这使我们到达数字 4 ),划掉 4 ,然 后再跳过 2 到达 6 ,划掉 6 ,依此类推。该过程的这个阶段非常简单。现在给我们留下了下表。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写