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李群是一个群，也是一个可微分流形。流形是一个局部类似于欧几里得空间的空间，而群则定义了一个二元运算的抽象概念，以及它作为一个群所必须具备的附加属性，例如乘法和取反数（除法），或者等同于加法和取反数的概念（减法）。

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数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE EXPONENTIAL MAPPING

The classical matrix groups which have been discussed so far are all defined by imposing various algebraic conditions on the matrices belonging to the group. When these conditions are written out in terms of the matrix elements, we obtain complicated nonlinear equations to solve. It is remarkable that in each case these nonlinear conditions can be replaced by an equivalent set of linear conditions. This is in fact the essential idea behind the passage from Lie groups to Lie algebras. The actual relation between Lie groups and Lie algebras can be described in several different ways. To expedite matters, we shall consider here the fastest way to get to the Lie algebra by using the concept of matrix exponentiation. Although this method does not work for all Lie groups, it is sufficient for the classical matrix groups.
For any square matrix $A$, we define $\exp (A)$ by the power series
$$
I+A+A^2 / 2 !+\cdots+A^n / n !+\cdots,
$$
where $I$ is the identity matrix, and each matrix element converges absolutely. Thus, for example, we have $\exp (0)=I$. From the inverse function theorem, it is easily seen that every matrix in some neighborhood of the identity in $G L(n, C)$ can be expressed as $\exp (A)$ for some $n \times n$ complex matrix $A$. For $G L(n, \mathbb{R})$, we can restrict the matrix $A$ to be real. In the case of $G L(n, \mathbb{R})$, the exponential map does not yield the whole group, as can be seen by considering the case where $n=1$. The group $G L(1, \mathbb{R})$ is the real line with the origin removed, while the image of the exponential map is only the positive real axis. This is the price that must be paid for using the exponential map; that is, we may sometimes lose the global structure of the group. The local structure however is completely preserved.

To assure that the matrix $\exp (A)$ will belong to a given one of the classical matrix Lie groups we have discussed, we require the matrix $A$ to satisfy a suitable linear condition. For the special linear groups, we can replace the nonlinear condition on $\exp (A)$ involving the determinant by a linear condition on $A$ involving the trace. If $\lambda$ is an eigenvalue of $A$, then $\exp (\lambda)$ is an eigenvalue of $\exp (A)$ with the same eigenspace. The determinant of $\exp (A)$, being the product of its eigenvalues, is equal to $\exp (\operatorname{Tr}(A))$ since the trace $\operatorname{Tr}(A)$ is the sum of the eigenvalues of $A$. Hence the determinant of $\exp (A)$ is one if the trace of $A$ is zero.

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|LIE GROUPS

The general theory of Lie groups seeks to unify and to extend the discussion of the various classical groups. The extension of the theory comes about by treating not only matrix groups, but other types of groups as well.

Basically, a Lie group is the structure which naturally results when analytic machinery is coupled with abstract group theory. Curvilinear coordinates, derivatives, and power series become available as tools for the study of the resulting structure. Technically, a Lie group is first of all required to be a topological group, that is, it must be possible to assign a topology under which the group operation and taking inverses are both continuous functions $[129],[164],[192]$. The general concept of a topological group already leads to a very rich theory in which some of the methods of calculus, especially integration theory, can be applied. To make use of the full power of all the methods of calculus, including differentiation, we must introduce an analytic structure as well as a topology. A proper discussion of the analytic structure of a Lie group requires the concept of an analytic manifold [38], [42], [54], $[64]$

Historically, the concept of an analytic manifold grew out of the theory of Riemann surfaces in complex variable theory [238]. The theory of differentiable and analytic manifolds has since become the basis for modern differential geometry $[127],[230]$. The idea of defining a Lie group in terms of analytic manifolds did not gain widespread acceptance until almost half a century after Lie’s original work [163]. Moreover, it turned out that any connected real analytic manifold may always be analytically embedded in a Euclidean space, so that it appears after all that manifold theory is somewhat of a luxury [171]. Therefore, instead of using the intrinsic definition, we shall regard a connected analytic manifold more intuitively as a smooth surface in a Euclidean space of suitable dimensions. In general, an analytic manifold will consist of several pieces if it is not connected. About each point of the manifold there is required to be an open set with all points within this open set being located by a curvilinear coordinate system. It is also required that the assignment of coordinates to points be a continuous mapping with a continuous inverse. Such an open subset of a manifold is called a coordinate neighborhood or coordinate patch, and the coordinate system is said to give a chart of this neighborhood.

李群和李代数代写

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE EXPONENTIAL MAPPING

迄今为止所讨论的经典矩阵群都是通过对属于该群的矩阵施加各种代数条件来定义的。当这些条件根据矩阵元 素写出时，我们得到复杂的非线性方程来求解。值得注意的是，在每种情况下，这些非线性条件都可以用一组 等效的线性条件代替。这实际上是从李群到李代数的过渡背后的基本思想。李群和李代数之间的实际关系可以 用几种不同的方式来描述。为了加快速度，我们将在这里考虑通过使用矩阵求幂的概念来获得李代数的最快方 法。虽然这种方法不适用于所有的李群，但对于经典矩阵群来说已经足够了。 对于任何方阵 $A$ ，我们定义 $\exp (A)$ 由幂级数
$$
I+A+A^2 / 2 !+\cdots+A^n / n !+\cdots,
$$
在哪里 $I$ 是单位矩阵，每个矩阵元素绝对收敛。因此，例如，我们有 $\exp (0)=I$. 由反函数定理可知，在 $G L(n, C)$ 可以表示为 $\exp (A)$ 对于一些 $n \times n$ 复杂矩阵 $A$. 为了 $G L(n, \mathbb{R})$ ，我们可以限制矩阵 $A$ 是真实的。 如果是 $G L(n, \mathbb{R})$ ，指数映射不会产生整个组，考虑以下情况可以看出 $n=1$. 群组 $G L(1, \mathbb{R})$ 是去除原点的实 线，而指数图的图像只是正实轴。这是使用指数图必须付出的代价；也就是说，我们有时可能会失去集团的全 球结构。然而，同部结构被完全保留。
为了保证矩阵 $\exp (A)$ 将属于我们已经讨论过的给定的经典矩阵李群之一，我们需要矩阵 $A$ 满足合适的线性条 件。对于特殊的线性群，我们可以将非线性条件替换为 $\exp (A)$ 通过线性条件涉及行列式 $A$ 涉及痕迹。如果 $\lambda$ 是 的特征值 $A$ ，然后 $\exp (\lambda)$ 是的特征值 $\exp (A)$ 具有相同的本征空间。的行列式 $\exp (A)$ ，作为其特征值的乘 积，等于exp $\operatorname{Tr}(A))$ 自从踪迹 $\operatorname{Tr}(A)$ 是特征值的总和 $A$. 因此决定因素 $\exp (A)$ 是一个如果的痕迹 $A$ 为零。

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|LIE GROUPS

李群的一般理论试图统一和扩展对各种经典群的讨论。通过不仅处理矩阵群而且还处理其他类型的群来扩展该理论。

基本上，李群是分析机器与抽象群论相结合时自然产生的结构。曲线坐标、导数和幂级数可用作研究所得结构的工具。从技术上讲，一个李群首先要求是一个拓扑群，即必须可以指定一个拓扑，在该拓扑下群运算和取逆都是连续函数[129],[164],[192]. 拓扑群的一般概念已经引出了非常丰富的理论，其中可以应用微积分的一些方法，尤其是积分理论。为了充分利用包括微分在内的所有微积分方法的威力，我们必须引入解析结构和拓扑。正确讨论李群的解析结构需要解析流形的概念 [38]、[42]、[54]、[64]

从历史上看，解析流形的概念源于复变量理论中的黎曼曲面理论 [238]。可微分流形和解析流形理论从此成为现代微分几何的基础[127],[230]. 根据解析流形定义李群的想法直到李的原始工作 [163] 之后将近半个世纪才得到广泛接受。此外，事实证明，任何连通的实解析流形都可能总是解析地嵌入欧几里德空间中，因此流形理论毕竟显得有些奢侈 [171]。因此，我们不使用内在定义，而是将连通解析流形更直观地视为适当维数的欧几里德空间中的光滑表面。一般来说，一个解析流形如果不连通，将由几部分组成。关于流形的每个点，都需要一个开集，这个开集内的所有点都由曲线坐标系定位。还要求对点的坐标分配是具有连续逆的连续映射。这样一个流形的开子集被称为坐标邻域或坐标块，坐标系被称为给出这个邻域的图表。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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李群是一个群，也是一个可微分流形。流形是一个局部类似于欧几里得空间的空间，而群则定义了一个二元运算的抽象概念，以及它作为一个群所必须具备的附加属性，例如乘法和取反数（除法），或者等同于加法和取反数的概念（减法）。

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数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|GROUPS IN GEOMETRY

Matrix Lie groups also arise in various types of non-Euclidean geometry, and are sometimes encountered in applications. An important example is the Lorentz group, which is an indefinite-metric version of the orthogonal group for the geometry of space-time in the special theory of relativity. Another group, the symplectic group, plays an important role in the geometry of phase space in classical mechanics. To obtain a deeper understanding of the geometrical significance of the orthogonal and symplectic groups, we turn to some elementary notions from the theory of bilinear forms [134].

A bilinear form on a vector space $V$ over a field $\mathbb{F}$ is a function which assigns to each ordered pair of vectors $x$ and $y$ in $V$ a scalar $(x, y) \in \mathbb{F}$, and which satisfies the following properties for any scalars $\alpha$ and $\beta$ and any vectors $x, y$ and $z$ in $V$ :
$$
\begin{aligned}
&(\alpha x+\beta y, z)=\alpha(x, z)+\beta(y, z), \
&(x, \alpha y+\beta z)=\alpha(x, y)+\beta(x, z) .
\end{aligned}
$$

A bilinear form $(x, y)$ can be completely described by its matrix $\beta_{i j}$ $=\left(e_i, e_j\right)$ with respect to any basis $e_1, \cdots, e_n$. Indeed, if we are given this matrix, then for any vectors
$$
x=\sum_i \xi^i e_i \text { and } y=\sum_j \eta^j e_j,
$$
we can compute
$$
(x, y)=\sum_{i, j} \beta_{i j} \xi^{\xi i} \eta^j .
$$
A bilinear form $(x, y)$ is symmetric if $(x, y)=(y, x)$ for all $x$ and $y$ in $V$. If $(x, y)$ is a symmetric bilinear form, then its matrix $\beta$ is equal to its own transpose. Similarly, we say that a bilinear form $(x, y)$ is antisymmetric if $(x, y)$ $=-(y, x)$ for all $x$ and $y$ in $V$, and in this case $\beta$ is equal to the negative of its transpose. A familiar example of a symmetric bilinear form is, of course, the inner product in Euclidean vector geometry. In Riemannian geometry, the metric tensor and the curvature tensor are both examples of symmetric bilinear forms.

Symmetric bilinear forms also occur naturally in the study of linear operators in vector spaces of finite dimension. We may define such a bilinear form by using the trace operation $\operatorname{Tr}_V()$ for linear operators on a vector space $V$. If we introduce a basis, the trace of a linear operator is the sum of its diagonal matrix elements
$$
\operatorname{Tr}_V(\alpha)=\sum_i \alpha_i^i
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|Lie Groups and Lie Algebras

In the real case, if det $\beta \neq 0$, we can find a matrix $\sigma$ so that $\beta^{\prime}$ is diagonal and its diagonal elements are $\pm 1$. The signature $(p, q)$, where $p$ and $q$ are the numbers of $+1$ ‘s and $-1$ ‘s respectively on the diagonal, is an invariant of the real symmetric bilinear form. In the special case where $p=n$ and $q=0$, the real symmetric bilinear form is said to be positive definite because $(x, x)>0$ for all $x \neq 0$, and we obtain the ordinary real orthogonal group $O(n, \mathbb{R})$. In the general case, the group $O(p, q ; \mathbb{R})$ which we obtain may be described as an orthogonal group with an indefinite metric of signature $(p, q)$ in a space of dimension $n=p+q$. An example of this is the Lorentz group $O(3,1 ; \mathbb{R})$, which is just the orthogonal group of the Minkowski space-time $\mathbb{R}^4$ $(+++)$

The definition of the symplectic groups is somewhat similar to that of the orthogonal groups. Just as the orthogonal groups consist of linear operators which leave invariant a symmetric nonsingular bilinear form, the symplectic groups consist of linear operators which leave invariant an antisymmetric nonsingular bilinear form. A symplectic linear operator $\alpha$ is an operator satisfying
$$
(\alpha x, \alpha y)=(x, y)
$$
for an antisymmetric nonsingular bilinear form. Nonsingular antisymmetric bilinear forms can only occur in vector spaces $V$ which ha ve even dimension, $\operatorname{dim} V=2 n$. In any such space we can find a hyperbolic basis $e_{\pm 1}, \cdots, e_{\pm n}$ such that
$$
\begin{aligned}
&\left(e_i, e_j\right)=\left(e_{-i}, e_{-j}\right)=0, \
&\left(e_i, e_{-j}\right)=\delta_{i j}
\end{aligned}
$$
for all $i, j=1, \cdots, n$.
To describe the matrices of symplectic linear operators with respect to such a basis, we introduce the $2 n \times 2 n$ matrix
$$
J=\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \
-1 & 0
\end{array}\right]
$$
where 1 denotes the $n \times n$ identity matrix. The matrix group $S p(n, \mathbb{C})$ is then the set of all complex $2 n \times 2 n$ matrices $A$ which satisfy
$$
A^T J A=J,
$$
where $A^T$ denotes the transpose of the matrix $A$. Closely related to this complex symplectic group $S p(n, \mathbb{C})$ are some other matrix groups obtained by taking intersections. Since we can find hyperbolic bases in both real and complex vector spaces, there is also only one real symplectic group. This real symplectic group is the intersection
$$
S p(n, \mathbb{R})=S p(n, \mathbb{C}) \cap G L(2 n, \mathbb{R})
$$

李群和李代数代写

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|GROUPS IN GEOMETRY

矩阵李群也出现在各种类型的非欧几里德几何中，有时在应用中会遇到。一个重要的例子是洛伦兹群，它是狭 义相对论中时空几何的正交群的不定度量版本。另一个群，辛群，在经典力学的相空间几何学中起着重要的作 用。为了更深入地理解正交群和辛群的几何意义，我们转向双线性形式理论中的一些基本概念 [134]。
向量空间上的双线性形式 $V$ 在一个领域 $F$ 是分配给每个有序向量对的函数 $x$ 和 $y$ 在 $V$ 标量 $(x, y) \in \mathbb{F}$ ，并且满足 任何标量的以下属性 $\alpha$ 和 $\beta$ 和任何载体 $x, y$ 和 $z$ 在 $V$ :
$$
(\alpha x+\beta y, z)=\alpha(x, z)+\beta(y, z), \quad(x, \alpha y+\beta z)=\alpha(x, y)+\beta(x, z) .
$$
双线性形式 $(x, y)$ 可以完全用它的矩阵来描述 $\beta_{i j}=\left(e_i, e_j\right)$ 关于任何基础 $e_1, \cdots, e_n$. 事实上，如果我们得到 这个矩阵，那么对于任何向量
$$
x=\sum_i \xi^i e_i \text { and } y=\sum_j \eta^j e_j,
$$
我们可以计算
$$
(x, y)=\sum_{i, j} \beta_{i j} \xi^{\xi i} \eta^j .
$$
双线性形式 $(x, y)$ 是对称的如果 $(x, y)=(y, x)$ 对所有人 $x$ 和 $y$ 在 $V$. 如果 $(x, y)$ 是对称双线性形式，则其矩阵 $\beta$ 等于它自己的转置。类似地，我们说双线性形式 $(x, y)$ 是反对称的，如果 $(x, y)=-(y, x)$ 对所有人 $x$ 和 $y$ 在 $V$ ， 在这种情况下 $\beta$ 等于其转置的负数。对称双线性形式的一个熟悉的例子当然是欧几里德向量几何中的内积。在黎 息几何中，度规张量和曲率张量都是对称双线性形式的例子。
对称双线性形式也自然出现在有限维向量空间中的线性算子的研究中。我们可以使用跟踪橾作来定义这样的双 线性形式 $\operatorname{Tr}_V()$ 对于向量空间上的线性算子 $V$. 如果引入基，线性算子的迹就是其对角矩阵元素之和
$$
\operatorname{Tr}_V(\alpha)=\sum_i \alpha_i^i
$$

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|Lie Groups and Lie Algebras

在实际情况下，如果 $\operatorname{det} \beta \neq 0$ ，我们可以找到一个矩阵 $\sigma$ 以便 $\beta^{\prime}$ 是对角线的，它的对角线元素是 $\pm 1$. 签名 $(p, q)$ ， 在哪里 $p$ 和 $q$ 是的数字 $+1$ ‘沙 $-1$ 分别在对角线上，是实对称双线性形式的不变量。在特殊情况下 $p=n$ 和 $q=0$ ，实对称双线性形式被称为正定的，因为 $(x, x)>0$ 对所有人 $x \neq 0$ ，得到普通实正交群 $O(n, \mathbb{R})$. 般情况下，群 $O(p, q ; \mathbb{R})$ 我们获得的它可以被描述为具有不确定签名度量的正交群 $(p, q)$ 在次元空间 $n=p+q$. 一个例子是洛伦兹群 $O(3,1 ; \mathbb{R})$, 就是闵可夫斯基时空的正交群眥 $4(+++)$
辛群的定义有点类似于正交群。正如正交群由保持对称非奇异双线性形式不变的线性算子组成一样，辛群由保 持反对称非奇异双线性形式不变的线性算子组成。辛线性算子 $\alpha$ 是一个运营商满足
$$
(\alpha x, \alpha y)=(x, y)
$$
对于反对称非奇异双线性形式。非奇反对称双线性形式只能出现在向量空间中 $V$ 具有均匀的维度， $\operatorname{dim} V=2 n$. 在任何这样的空间中，我们都可以找到双曲基 $e_{\pm 1}, \cdots, e_{\pm n}$ 这样
$$
\left(e_i, e_j\right)=\left(e_{-i}, e_{-j}\right)=0, \quad\left(e_i, e_{-j}\right)=\delta_{i j}
$$
对所有人 $i, j=1, \cdots, n$.
为了描述关于这样一个基的辛线性算子的矩阵，我们引入了 $2 n \times 2 n$ 矩阵
$$
J=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1-1 & 0
\end{array}\right]
$$
其中 1 表示 $n \times n$ 单位矩阵。矩阵组 $S p(n, \mathbb{C})$ 那么是所有复数的集合 $2 n \times 2 n$ 矩阵 $A$ 满足
$$
A^T J A=J,
$$
在哪里 $A^T$ 表示矩阵的转置 $A$. 与这个复杂的辛群密切相关 $S p(n, \mathbb{C})$ 是通过取交点得到的其他一些矩阵组。由于 我们可以在实向量空间和复向量空间中找到双曲基，因此也只有一个实辛群。这个实辛群是交集
$$
S p(n, \mathbb{R})=S p(n, \mathbb{C}) \cap G L(2 n, \mathbb{R})
$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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李群是一个群，也是一个可微分流形。流形是一个局部类似于欧几里得空间的空间，而群则定义了一个二元运算的抽象概念，以及它作为一个群所必须具备的附加属性，例如乘法和取反数（除法），或者等同于加法和取反数的概念（减法）。

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数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE GENERAL LINEAR GROUP

Since many of the central ideas of Lie theory arose in the study of geometry and linear algebra, it is fitting to begin with a review of some topics in vector space theory so that we can begin to talk about some of the essential tools, such as the Lie algebra and tensor algebra constructions. It is also instructive to examine the classical linear Lie groups before getting involved with the rather technical general definition of a Lie group.

We recall that a linear mapping $\alpha: V_1 \rightarrow V_2$ from a vector space $V_1$ into a vector space $V_2$ is a mapping which preserves vector addition and scalar multiplication: and
$$
\alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y), \quad \text { where } x, y \in V_1,
$$
$$
\alpha(\lambda x)=\lambda \alpha(x),
$$
where $x \in V_1$ and $\lambda$ is a scalar.
In particular, a linear operator on a vector space $V$ is a linear mapping from $V$ into itself. A linear operator has an inverse if and only if it is both oneto-one and onto as a mapping. The set of all invertible linear operators on a vector space $V$ is a group called the general linear group on $V$.

In the general linear group we take the group operation to be the ordinary composition of linear operators. A linear operator on a finite-dimensional vector space is invertible if and only if its determinant is nonzero. The general linear group on a finite-dimensional vector space consists therefore of all linear operators with nonzero determinants. The set of all linear operators with determinant one forms a subgroup called the special linear group on $V$.
If we introduce a basis into the vector space, each linear operator can be represented by a matrix and we can talk in terms of matrix groups. Thus, the matrix of a linear operator $\alpha$ with respect to a basis $e_1, \cdots, e_n$ for $V$ is the array of scalars $\left[\alpha_j^i\right]$ determined by
$$
\alpha e_j=\sum_{i=1}^n \alpha_j^i e_i .
$$
The general and special linear groups may then be regarded as groups of matrices, the group operation being matrix multiplication.

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|ORTHOGONAL AND UNITARY GROUPS

Other important subgroups of the general linear group $G L(n, \mathbb{C})$ are familiar from elementary matrix theory. These include the group of complex orthogonal matrices $O(n, \mathbb{C})$ and the group of unitary matrices $U(n)$. We recall that a matrix is orthogonal if its transpose is its inverse, while a matrix is unitary if its transposed complex conjugate is its inverse. We obtain “special” versions of these groups by taking their intersections with the complex special linear group. The special complex orthogonal group is
$$
S O(n, \mathbb{C})=O(n, \mathbb{C}) \cap S L(n, \mathbb{C}) .
$$
The special unitary group is
$$
S U(n)=U(n) \cap S L(n, \mathbb{C}) .
$$
The determinant of an orthogonal matrix can only be $+1$ or $-1$. This is because the determinant of the transpose of a matrix is the same as that of the matrix, while the determinant of the inverse matrix is the reciprocal of its determinant. Orthogonal matrices are classified as proper or improper, depending upon whether their determinants are $+1$ or $-1$. Thus we may also describe the special orthogonal group as the group of all proper orthogonal matrices.

By considering further intersections of the above groups with the real general linear group, we obtain some groups which are important in Euclidean geometry. The real orthogonal group is defined as
$$
\begin{aligned}
O(n, \mathbb{R}) &=O(n, \mathbb{C}) \cap G L(n, \mathbb{R}) \
&=U(n) \cap G L(n, \mathbb{R}) \
&=U(n) \cap O(n, \mathbb{C})
\end{aligned}
$$

李群和李代数代写

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|THE GENERAL LINEAR GROUP

由于李理论的许多中心思想都出现在几何和线性代数的研究中，因此从回顾向量空间理论中的一些主题开始是 合适的，这样我们就可以开始讨论一些基本工具，例如李代数和张量代数的构造。在涉及李群的相当技术性的 一般定义之前，检查经典线性李群也是有益的。
我们记得线性映射 $\alpha: V_1 \rightarrow V_2$ 从向量空间 $V_1$ 进入向量空间 $V_2$ 是保留向量加法和标量乘法的映射: 和 $\alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y), \quad$ where $x, y \in V_1$,
$$
\alpha(\lambda x)=\lambda \alpha(x),
$$
在哪里 $x \in V_1$ 和 $\lambda$ 是一个标量。
特别地，向量空间上的线性算子 $V$ 是一个线性映射 $V$ 进入自身。一个线性算子有一个逆当且仅当它既是一对一 又是映射。向量空间上所有可逆线性算子的集合 $V$ 是一个称为广义线性群的群 $V$.
在广义线性群中，我们把群运算看做是线性算子的普通组合。当且仅当其行列式非零时，有限维向量空间上的 线性算子是可逆的。因此，有限维向量空间上的一般线性群由具有非零行列式的所有线性算子组成。行列式为 1 的所有线性算子的集合形成一个子群，称为特殊线性群 $V$.
如果我们在向量空间中引入一个基，每个线性算子都可以用一个矩阵来表示，我们可以用矩阵群来表示。因 此，线性算子的矩阵 $\alpha$ 关于基础 $e_1, \cdots, e_n$ 为了 $V$ 是标量数组 $\left[\alpha_j^i\right]$ 取决于
$$
\alpha e_j=\sum_{i=1}^n \alpha_j^i e_i .
$$
一般的和特殊的线性群可以看作是矩阵群，群运算是矩阵乘法。

数学代写|李群和李代数代写lie group and lie algebra代考|ORTHOGONAL AND UNITARY GROUPS

一般线性群的其他重要子群 $G L(n, \mathbb{C})$ 孰悉初等矩阵理论。这些包括一组复杂的正交矩阵 $O(n, \mathbb{C})$ 和西矩阵群 $U(n)$. 我们记得，如果矩阵的转置是其逆矩阵，则该矩阵是正交的，而如果矩阵的转置复共轭是其逆矩阵，则 该矩阵是酉矩阵。我们通过将它们与复杂的特殊线性群相交来获得这些群的”特殊”版本。特殊的复数正交群是
$$
S O(n, \mathbb{C})=O(n, \mathbb{C}) \cap S L(n, \mathbb{C}) .
$$
特殊酉群是
$$
S U(n)=U(n) \cap S L(n, \mathbb{C}) .
$$
正交矩阵的行列式只能是 $+1$ 或者 $-1$. 这是因为矩阵的转置的行列式与矩阵的行列式相同，而逆矩阵的行列式是 其行列式的倒数。正交矩阵被分类为适当的或不适当的，这取决于它们的行列式是否是 $+1$ 或者 $-1$. 因此我们也 可以将特殊正交群描述为所有真正交矩阵的群。
通过进一步考虑上述群与实一般线性群的交集，我们得到了一些在欧氏几何中很重要的群。实正交群定义为
$$
O(n, \mathbb{R})=O(n, \mathbb{C}) \cap G L(n, \mathbb{R}) \quad=U(n) \cap G L(n, \mathbb{R})=U(n) \cap O(n, \mathbb{C})
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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