泛函分析作业代写 - 统计代写答疑辅导

分类：泛函分析作业代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3051

Posted on 2022年12月9日2022年12月9日 by statistics-lab

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泛函分析，数学分析的分支，处理函数，或函数的函数。它作为一个独立的领域出现在20世纪，当时人们意识到不同的数学过程，从算术到微积分程序，表现出非常相似的特性。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3051

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Finite-Dimensional Normed Vector Spaces

Theorem 1.20. Let $X$ be a finite-dimensional real vector space. Then any two norms on $X$ are equivalent.
Proof. Choose an ordered basis $e_1, \ldots, e_n$ on $X$ and define
$$
|x|_2:=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^2} \quad \text { for } x=\sum_{i=1}^n x_i e_i, \quad x_i \in \mathbb{R} .
$$
This is a norm on $X$. We prove in two steps that every norm on $X$ is equivalent to $|\cdot|_2$. Fix any norm function $X \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|x|$.
Step 1. There is a constant $c>0$ such that $|x| \leq c|x|_2$ for all $x \in X$.
Define $c:=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left|e_i\right|^2}$ and let $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$ with $x_i \in \mathbb{R}$. Then, by the triangle inequality for $|\cdot|$ and the Cauchy-Schwarz inequality on $\mathbb{R}^n$, we have
$$
|x| \leq \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|\left|e_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n\left|e_i\right|^2}=c|x|_2 .
$$
This proves Step 1.

Step 2. There is a constant $\delta>0$ such that $\delta|x|_2 \leq|x|$ for all $x \in X$.
The set $S:=\left{x \in X \mid|x|_2=1\right}$ is compact with respect to $|\cdot|_2$ by the Heine-Borel Theorem, and the function $S \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|x|$ is continuous by Step 1. Hence there is an element $x_0 \in S$ such that $\left|x_0\right| \leq|x|$ for all $x \in S$. Define $\delta:=\left|x_0\right|>0$. Then every nonzero vector $x \in X$ satisfies $|x|_2^{-1} x \in S$, hence ||$x\left|_2^{-1} x\right| \geq \delta$, and hence $|x| \geq \delta|x|_2$. This proves Step 2 and Theorem 1.20.

Theorem $1.20$ has several important consequences that are special to finite-dimensional normed vector spaces and do not carry over to infinite dimensions.

Corollary 1.21. Every finite-dimensional normed vector space is complete.
Proof. This holds for the Euclidean norm on $\mathbb{R}^n$ by a theorem in first year analysis, which follows rather directly from the completeness of the real numbers. Hence, by Theorem $1.20$ and part (iv) of Exercise 1.19, it holds for every norm on $\mathbb{R}^n$. Thus it holds for every finite-dimensional normed vector space.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Quotient and Product Spaces

Let $(X,|\cdot|)$ be a real normed vector space and let $Y \subset X$ be a closed subspace. Define an equivalence relation $\sim$ on $X$ by
$$
x \sim x^{\prime} \quad \Longleftrightarrow \quad x^{\prime}-x \in Y .
$$
Denote the equivalence class of an element $x \in X$ under this equivalence relation by $[x]:=x+Y:={x+y \mid y \in Y}$ and denote the quotient space by
$$
X / Y:={x+Y \mid x \in X} \text {. }
$$
For $x \in X$ define
$$
|[x]|_{X / Y}:=\inf _{y \in Y}|x+y|_X .
$$
Then $X / Y$ is a real vector space and the formula (1.17) defines a norm function on $X / Y$. (Exercise: Prove this.) The next lemma is the key step in the proof that if $X$ is a Banach space so the quotient space $X / Y$ for every closed linear subspace $Y \subset X$.

Lemma 1.28. Let $X$ be a normed vector space and let $Y \subset X$ be a closed linear subspace. let $\left(x_i\right){i \in \mathbb{N}}$ be a sequence in $X$ such that $\left(\left[x_i\right]\right){i \in \mathbb{N}}$ is a Cauchy sequence in $X / Y$ with respect to the norm 1.17. Then there exists a subsequence $\left(x_{i_k}\right){k \in \mathbb{N}}$ and a sequence $\left(y_k\right){k \in \mathbb{N}}$ in $Y$ such that $\left(x_{i_k}+y_k\right)_{k \in \mathbb{N}}$ is a Cauchy sequence in $X$.

Proof. Choose $i_1:=1$ and let $i_2>i_1$ be the smallest integer bigger than $i_1$ such that $\inf {y \in Y}\left|x{i_1}-x_{i_2}+y\right|_X<2^{-1}$. Once $i_1, \ldots, i_k$ have been constructed, choose $i_{k+1}>i_k$ to be the smallest integer bigger than $i_k$ such that inf $_{y \in Y}\left|x_{i_k}-x_{i_{k+1}}+y\right|_X<2^{-k}$. This completes the inductive construction of the subsequence $\left(x_{i_k}\right){k \in \mathbb{N}}$. Now use the Axiom of Countable Choice to find a sequence $\left(\eta_k\right){k \in \mathbb{N}}$ in $Y$ such that $\left|x_{i_k}-x_{i_{k+1}}+\eta_k\right|_X<2^{-k}$ for all $k \in \mathbb{N}$. Define
$$
y_1:=0, \quad y_k:=-\eta_1-\cdots-\eta_{k-1} \quad \text { for } k \geq 2
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Finite-Dimensional Normed Vector Spaces

定理 1.20。让 $X$ 是有限维实向量空间。那么任意两个范数 $X$ 是等价的。证明。选择一个有序的基础 $e_1, \ldots, e_n$ 上 $X$ 并定义
$$
|x|2:=\sqrt{\sum{i=1}^n\left|x_i\right|^2} \quad \text { for } x=\sum_{i=1}^n x_i e_i, \quad x_i \in \mathbb{R} .
$$
这是一个规范 $X$. 我们分两步证明 $X$ 相当于 $|\cdot|2$. 修复任何范数函数 $X \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|x|$. 步乑 1. 有一个常数 $c>0$ 这样 $|x| \leq c|x|_2$ 对所有人 $x \in X$. 定义 $c:=\sqrt{\sum{i=1}^n\left|e_i\right|^2}$ 然后让 $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$ 和 $x_i \in \mathbb{R}$. 然后，由三角不等式为 $|\cdot|$ 和 CauchySchwarz 不等式 $\mathbb{R}^n$ ，我们有
$$
|x| \leq \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|\left|e_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n\left|e_i\right|^2}=c|x|2 . $$ 这证明了第 1 步。步骤 2. 有一个常数 $\delta>0$ 这样 $\delta|x|_2 \leq|x|$ 对所有人 $x \in X$. 套装 $5:=$ Sleft $\left{x \backslash \operatorname{in} \mathrm{X} \backslash \mathrm{mid}|\mathrm{x}|{-} 2=1 \backslash \mathrm{Yrght}\right}$ 相对于紧凑 $|\cdot|_2$ 由 Heine-Borel 定理和函数 $S \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|x|$ 由第 1 步连续。因此有一个元素 $x_0 \in S$ 这样 $\left|x_0\right| \leq|x|$ 对所有人 $x \in S$. 定义 $\delta:=\left|x_0\right|>0$. 那么每个非零向量 $x \in X$ 满足 $|x|_2^{-1} x \in S$ ，因此 ||$x||_2^{-1} x \mid \geq \delta ，$ 因此 $|x| \geq \delta|x|_2$. 这证明了步骙 2 和定理 1.20。
定理 $1.20$ 有几个重要的后果，这些后果是有限维赋范向量空间所特有的，不会延续到无限维。
推论 1.21。每个有限维赋范向量空间都是完备的。
证明。这适用于欧几里德范数 $\mathbb{R}^n$ 通过第一年分析中的定理，该定理直接来自实数的完整性。因此，根据定理 $1.20$ 和练习 $1.19$ 的第 (iv) 部分，它适用于关于 $\mathbb{R}^n$. 因此它适用于每个有限维赋范向量空间。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Quotient and Product Spaces

让 $(X,|\cdot|)$ 是实数赋范向量空间，令 $Y \subset X$ 是一个封闭的子空间。定义等价关系 $\sim$ 上经过
$$
x \sim x^{\prime} \quad \Longleftrightarrow \quad x^{\prime}-x \in Y .
$$
表示元素的等价类 $x \in X$ 在这种等价关系下 $[x]:=x+Y:=x+y \mid y \in Y$ 并表示商空间
$$
X / Y:=x+Y \mid x \in X .
$$
为了 $x \in X$ 定义
$$
|[x]|{X / Y}:=\inf {y \in Y}|x+y|X . $$ 然后 $X / Y$ 是一个实数向量空间，公式 (1.17) 定义了一个范数函数 $X / Y$ ，(练习：证明这一点。) 下一个引理是证明如果 $X$ 是 Banach 空间所以商空间 $X / Y$ 对于每个封闭的线性子空间 $Y \subset X$. 引理 1.28。让 $X$ 是赋范向量空间，让 $Y \subset X$ 是一个封闭的线性子空间。让 $\left(x_i\right) i \in \mathbb{N}$ 是一个序列 $X$ 这样 $\left(\left[x_i\right]\right) i \in \mathbb{N}$ 是一个柯西序列 $X / Y$ 关于规范 1.17。那么存在子序列 $\left(x{i_k}\right) k \in \mathbb{N}$ 和一个序列 $\left(y_k\right) k \in \mathbb{N}$ 在 $Y$ 这样 $\left(x_{i_k}+y_k\right){k \in \mathbb{N}}$ 是一个柯西序列 $X$. 证明。选择 $i_1:=1$ 然后让 $i_2>i_1$ 是大于的最小整数 $i_1$ 这样 $\inf y \in Y\left|x i_1-x{i_2}+y\right|X<2^{-1}$.一次 $i_1, \ldots, i_k$ 已构建，选择 $i{k+1}>i_k$ 是大于的最小整数 $i_k$ 这样的信息 $y \in Y\left|x_{i_k}-x_{i_{k+1}}+y\right|X<2^{-k}$. 这就完成了子序列的归纳构造 $\left(x{i_k}\right) k \in \mathbb{N}$. 现在使用可数选择公理来查找序列 $\left(\eta_k\right) k \in \mathbb{N}$ 在 $Y$ 这样 $\left|x_{i_k}-x_{i_{k+1}}+\eta_k\right|X<2^{-k}$ 对所有人 $k \in \mathbb{N}$. 定义 $$ y_1:=0, \quad y_k:=-\eta_1-\cdots-\eta{k-1} \quad \text { for } k \geq 2
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|KMA322

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|KMA322

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Arzel`a–Ascoli Theorem

It is a recurring theme in functional analysis to understand which subsets of a Banach space or topological vector space are compact. For the standard Euclidean space $\left(\mathbb{R}^n,|\cdot|_2\right)$ the Heine-Borel Theorem asserts that a subset of $\mathbb{R}^n$ is compact if and only if it is closed and bounded. This continues to hold for every finite-dimensional normed vector space and, conversely, every normed vector space in which the closed unit ball is compact is necessarily finite-dimensional (see Theorem $1.26$ below). For infinite-dimensional Banach spaces this leads to the problem of characterizing the compact subsets. Necessary conditions are that the subset is closed and bounded, however, these conditions can no longer be sufficient. For the Banach space of continuous functions on a compact metric space a characterization of the compact subsets is given by a theorem of Arzelà and Ascoli which we explain next.
Let $\left(X, d_X\right)$ and $\left(Y, d_Y\right)$ be metric spaces and assume that $X$ is compact. Then the space
$$
C(X, Y):={f: X \rightarrow Y \mid f \text { is continuous }}
$$
of continuous maps from $X$ to $Y$ is a metric space with the distance function
$$
d(f, g):=\sup _{x \in X} d_Y(f(x), g(x)) \quad \text { for } f, g \in C(X, Y) .
$$
This is well defined because the function $X \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto d_Y(f(x), g(x))$ is continuous and hence is bounded because $X$ is compact. That (1.9) satisfies the axioms of a distance function follows directly from the definitions. When $X$ is nonempty, the metric space $C(X, Y)$ with the distance function (1.9) is complete if and only if $Y$ is complete, because the limit of a uniformly convergent sequence of continuous functions is again continuous.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Bounded Linear Operators

The second fundamental concept in functional analysis, after that of a Banach space, is the notion of a bounded linear operator. In functional analysis it is common practice to use the term linear operator instead of linear map, although both terms have the exact same meaning, namely that of a map between vector spaces that preserves addition and scalar multiplication. The reason lies in the fact that the relevant normed vector spaces in applications are often function spaces and then the elements of the space on which the operator acts are themselves functions. If domain and target of a linear operator are normed vector spaces, it is natural to impose continuity with respect to the norm topologies. This underlies the following definition.
Definition $1.16$ (Bounded Linear Operator).
Let $\left(X,|\cdot|_X\right)$ and $\left(Y,|\cdot|_Y\right)$ be real normed vector spaces. A linear operator $A: X \rightarrow Y$ is called bounded if there exists a constant $c \geq 0$ such that
$$
|A x|_Y \leq c|x|_X \quad \text { for all } x \in X \text {. }
$$
The smallest constant $c \geq 0$ that satisfies (1.14) is called the operator norm of $A$ and is denoted by
$$
|A|:=|A|_{\mathcal{L}(X, Y)}:=\sup _{x \in X \backslash{0}} \frac{|A x|_Y}{|x|_X} .
$$
A bounded linear operator with values in $Y=\mathbb{R}$ is called a bounded linear functional on $X$. The space of bounded linear operators from $X$ to $Y$ is denoted by $y^1$
$\mathcal{L}(X, Y):={A: X \rightarrow Y \mid A$ is linear and bounded $}$.
Then $\left(\mathcal{L}(X, Y),|\cdot|_{\mathcal{L}(X, Y)}\right)$ is a normed vector space. The resulting topology on $\mathcal{L}(X, Y)$ is called the uniform operator topology.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Arzel`a–Ascoli Theorem

了解 Banach 空间或拓扑向量空间的哪些子集是紧致的是泛函分析中反复出现的主题。对于标准欧氏空间 $\left(\mathbb{R}^n,|\cdot|2\right)$ Heine-Borel 定理断言 $\mathbb{R}^n$ 是紧致的当且仅当它是封闭且有界的。这继续适用于每个有限维赋范向量空间，相反，封闭单位球是紧凑的每个赋范向量空间必然是有限维的（见定理1.26以下）。对于无限维 Banach 空间，这会导致刻画紧子集的问题。必要条件是子集是闭有界的，但是这些条件不再充分。对于紧度量空间上连续函数的 Banach 空间，紧子集的特征由我们接下来解释的 Arzelà 和 Ascoli 定理给出。让 $\left(X, d_X\right)$ 和 $\left(Y, d_Y\right)$ 是度量空间并假设 $X$ 很紧凑。然后空间 $C(X, Y):=f: X \rightarrow Y \mid f$ is continuous 的连续映射 $X$ 至 $Y$ 是距离函数的度量空间 $$ d(f, g):=\sup {x \in X} d_Y(f(x), g(x)) \quad \text { for } f, g \in C(X, Y) .
$$
这是明确定义的，因为函数 $X \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto d_Y(f(x), g(x))$ 是连续的，因此是有界的，因为 $X$ 很紧凑。 (1.9) 满足距离函数的公理直接来自定义。什么时候 $X$ 是非空的，度量空间 $C(X, Y)$ 距离函数 (1.9) 是完整的当且仅当 $Y$ 是完备的，因为连续函数的一致收敛序列的极限也是连续的。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Bounded Linear Operators

泛函分析中的第二个基本概念，在 Banach 空间之后，是有界线性算子的概念。在泛函分析中，通常的做法是使用术语线性运算符而不是线性映射，尽管这两个术语具有完全相同的含义，即保留加法和标量乘法的向量空间之间的映射。原因在于应用中相关的赋范向量空间往往是函数空间，而算子所作用的空间元素本身就是函数。如果线性算子的域和目标是赋范向量空间，则很自然地要对范数拓扑施加连续性。这是以下定义的基础。
定义 $1.16$ (有界线性算子)。
让 $\left(X,|\cdot|X\right)$ 和 $\left(Y,|\cdot|_Y\right)$ 是实赋范向量空间。线性算子 $A: X \rightarrow Y$ 如果存在常数，则称为有界 $c \geq 0$ 这样 $$ |A x|_Y \leq c|x|_X \quad \text { for all } x \in X $$ 最小常数 $c \geq 0$ 满足 (1.14) 的称为算子范数 $A$ 并表示为 $$ |A|:=|A|{\mathcal{L}(X, Y)}:=\sup {x \in X \backslash 0} \frac{|A x|_Y}{|x|_X} . $$ 具有值的有界线性运算符 $Y=\mathbb{R}$ 称为有界线性泛函 $X$. 有界线性算子的空间来自 $X$ 至 $Y$ 表示为 $y^1$ $\mathcal{L}(X, Y):=A: X \rightarrow Y \mid$ A\$slinearandbounded $\$$. 然后 $\left(\mathcal{L}(X, Y),|\cdot|{\mathcal{L}(X, Y)}\right)$ 是拭范向量空间。由此产生的拓扑 $\mathcal{L}(X, Y)$ 称为统一算子拓扑。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3402

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3402

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Banach Spaces

Definition $1.1$ (Metric Space). A metric space is a pair $(X, d)$ consisting of a set $X$ and a function
$$
d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}
$$
that satisfies the following axioms.
(M1) $d(x, y) \geq 0$ for all $x, y \in X$, with equality if and only if $x=y$.
(M2) $d(x, y)=d(y, x)$ for all $x, y \in X$.
(M3) $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ for all $x, y, z \in X$.
A function $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ that satisfies these axioms is called a distance function and the inequality in (M3) is called the triangle inequality. A subset $U \subset X$ of a metric space $(X, d)$ is called open (or $d$-open) if, for every $x \in U$, there exists a constant $\varepsilon>0$ such that the open ball
$$
B_{\varepsilon}(x):=B_{\varepsilon}(x, d):={y \in X \mid d(x, y)<\varepsilon}
$$
(centered at $x$ with radius $\varepsilon$ ) is contained in $U$. The set of $d$-open subsets of $X$ will be denoted by
$$
\mathscr{U}(X, d):={U \subset X \mid U \text { is d-open }} \text {. }
$$
It follows directly from the definitions that the collection $\mathscr{U}(X, d) \subset 2^X$ of $d$-open sets in a metric space $(X, d)$ satisfies the axioms of a topology (i.e. the empty set and the set $X$ are open, arbitrary unions of open sets are open, and finite intersections of open sets are open). A subset $F$ of a metric space $(X, d)$ is closed (i.e. its complement is open) if and only if the limit point of every convergent sequence in $F$ is itself contained in $F$.

Recall that a Cauchy sequence in a metric space $(X, d)$ is a sequence $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ with the property that, for every $\varepsilon>0$, there exists an $n_0 \in \mathbb{N}$, such that any two integers $n, m \geq n_0$ satisfy the inequality $d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon$. Recall also that a metric space $(X, d)$ is called complete if every Cauchy sequence in $X$ converges.

The most important metric spaces in the field of functional analysis are the normed vector spaces.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Compact Sets

Let $(X, d)$ be a metric space and fix a subset $K \subset X$. Then the restriction of the distance function $d$ to $K \times K$ is a distance function, denoted by $d_K:=\left.d\right|{K \times K}: K \times K \rightarrow \mathbb{R}$, so $\left(K, d_K\right)$ is a metric space in its own right. The metric space $(X, d)$ is called (sequentially) compact if every sequence in $X$ has a convergent subsequence. The subset $K$ is called (sequentially) compact if $\left(K, d_K\right)$ is compact, i.e. if every sequence in $K$ has a subsequence that converges to an element of $K$. It is called precompact if its closure is sequentially compact. Thus $K$ is compact if and only if it is precompact and closed. The subset $K$ is called complete if $\left(K, d_K\right)$ is a complete metric space, i.e. if every Cauchy sequence in $K$ converges to an element of $K$. It is called totally bounded if it is either empty or, for every $\varepsilon>0$, there exist finitely many elements $\xi_1, \ldots, \xi_m \in K$ such that $$ K \subset \bigcup{i=1}^m B_{\varepsilon}\left(\xi_i\right) \text {. }
$$
The next theorem characterizes the compact subsets of a metric space $(X, d)$ in terms of the open subsets of $X$. It thus shows that compactness depends only on the topology $\mathscr{U}(X, d)$ induced by the distance function $d$.

Theorem $1.4$ (Characterization of Compact Sets). Let $(X, d)$ be a metric space and let $K \subset X$. Then the following are equivalent.
(i) $K$ is sequentially compact.
(ii) $K$ is complete and totally bounded.
(iii) Every open cover of $K$ has a finite subcover.
Proof. See page 13.
Let $(X, \mathscr{U})$ be a topological space. Then condition (iii) in Theorem $1.4$ is used to define compact subsets of $X$. Thus a subset $K \subset X$ is called compact if every open cover of $K$ has a finite subcover. Here an open cover of $K$ is a collection $\left(U_i\right){i \in I}$ of open subsets $U_i \subset X$, indexed by the elements of a nonempty set $I$, such that $K \subset \bigcup{i \in I} U_i$, and a finite subcover is a finite collection of indices $i_1, \ldots, i_m \in I$ such that $K \subset U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m}$. Thus Theorem $1.4$ asserts that a subset of a metric space $(X, d)$ is sequentially compact if and only if it is compact as a subset of the topological space $(X, \mathscr{U})$ with $\mathscr{U}=\mathscr{U}(X, d)$. A subset of a topological space is called precompact if its closure is compact. Elementary properties of compact sets include the fact that every compact subset of a Hausdorff space is closed, that every closed subset of a compact set is compact, and that the image of a compact set under a continuous map is compact (see $[30,40]$ ).

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Banach Spaces

定义 $1.1$ (度量空间)。一个度量空间是一对 $(X, d)$ 由一组组成 $X$ 和一个功能
$$
d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}
$$
满足以下公理。
(M1) $d(x, y) \geq 0$ 对所有人 $x, y \in X$ ，相等当且仅当 $x=y$.
(M2) $d(x, y)=d(y, x)$ 对所有人 $x, y \in X$.
(M3) $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ 对所有人 $x, y, z \in X$.
一个函数 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ 满足这些公理的方程称为距离函数，(M3) 中的不等式称为三角不等式。一个子集 $U \subset X$ 度量空间的 $(X, d)$ 称为开路 (或 $d$-open) 如果，对于每个 $x \in U$ ，存在一个常数 $\varepsilon>0$ 这样开球
$$
B_{\varepsilon}(x):=B_{\varepsilon}(x, d):=y \in X \mid d(x, y)<\varepsilon $$ (以 $x$ 带半径 $\varepsilon$ ) 包含在 $U$. 该组的 $d-$ 的开放子集 $X$ 将被表示为 $$ \mathscr{U}(X, d):=U \subset X \mid U \text { is d-open . } $$ 它直接从集合的定义中得出 $\mathscr{U}(X, d) \subset 2^X$ 的 $d$ – 度量空间中的开集 $(X, d)$ 满足拓扑公理（即空集和集合 $X$ 是开的，开集的任意并集是开的，开集的有限交集是开的）。一个子集 $F$ 度量空间的 $(X, d)$ 是闭的（即它的补集是开的）当且仅当每个收敛序列的极限点在 $F$ 本身包含在 $F$. 回想一下度量空间中的柯西序列 $(X, d)$ 是一个序列 $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 具有这样的性质，对于每个 $\varepsilon>0$ ，存在一个 $n_0 \in \mathbb{N}$ ，这样任意两个整数 $n, m \geq n_0$ 满足不等式 $d\left(x_n, x_m\right)<\varepsilon$. 还记得一个度量空间 $(X, d)$ 如果每个 Cauchy 序列在 $X$ 收敛。
泛函分析领域中最重要的度量空间是赋范向量空间。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Compact Sets

让 $(X, d)$ 是一个度量空间并固定一个子集 $K \subset X$. 那么距离函数的限制 $d$ 至 $K \times K$ 是一个距离函数，表示为 $d_K:=d \mid K \times K: K \times K \rightarrow \mathbb{R}$ ，所以 $\left(K, d_K\right)$ 本身就是一个度量空间。度量空间 $(X, d)$ 如果每个序列在 $X$ 有一个收敛的子序列。子集 $K$ 被称为（顺序）紧凑如果 $\left(K, d_K\right)$ 是紧凑的，即如果 $K$ 有一个子序列收敛到一个元素 $K$. 如果它的闭包是顺序紧凑的，则它被称为预紧的。因此 $K$ 是紧致的当且仅当它是预紧且闭的。子集 $K$ 被称为完成如果 $\left(K, d_K\right)$ 是一个完备的度量空间，即如果每个 Cauchy 序列在 $K$ 收玫到一个元素 $K$. 如果它是空的或者对于每个 $\varepsilon>0$, 存在有限多个元素 $\xi_1, \ldots, \xi_m \in K$ 这样
$$
K \subset \bigcup i=1^m B_{\varepsilon}\left(\xi_i\right) \text {. }
$$
下一个定理刻画了度量空间的紧子集 $(X, d)$ 在的开放子集方面 $X$. 因此，它表明紧凑性仅取决于拓扑 $\mathscr{U}(X, d)$ 由距离函数引起 $d$.
定理1.4 (紧凑集的表征)。让 $(X, d)$ 是一个度量空间并且让 $K \subset X$. 那么以下是等价的。
(一世) $K$ 是顺序紧凑的。
(二) $K$ 是完备的且完全有界的。
(iii) 每个打开的封面 $K$ 有一个有限的子覆盖。
证明。参见第 13 页
。让 $(X, \mathscr{U})$ 是一个拓扑空间。那么定理中的条件(iii) $1.4$ 用于定义紧凑的子集 $X$. 因此一个子集 $K \subset X$ 被称为紧致的，如果 $K$ 有一个有限的子覆盖。这是一个打开的封面 $K$ 是一个集合 $\left(U_i\right) i \in I$ 开放子集 $U_i \subset X$ ，由非空集的元素索引 $I$ ，这样 $K \subset \bigcup i \in I U_i$ ，有限子覆盖是索引的有限集合 $i_1, \ldots, i_m \in I$ 这样 $K \subset U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m}$. 因此定理 $1.4$ 断言度量空间的一个子集 $(X, d)$ 顺序紧致当且仅当它作为拓扑空间的子集是紧致的 $(X, \mathscr{U})$ 和 $\mathscr{U}=\mathscr{U}(X, d)$. 如果一个拓扑空间的闭包是紧致的，则该拓㤈空间的子集称为预紧的。紧集的基本性质包括这样一个事实: Hausdorff 空间的每个紧子集都是闭的，紧集的每个闭子集都是紧集的，并且紧集在连续映射下的图像是紧集的（见 $[30,40]$ ).

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|МАTH3051

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|МАTH3051

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Subspaces, Quotients, and Direct Sums

Restrictions If $T$ is a bounded operator from a normed space $X$ into a normed space $Y$, then the restriction of $T$ to a subspace $X_0$ of $X$ defines a bounded operator $\left.T\right|{X_0}$ from $X_0$ into $Y$ of norm $\left|\left.T\right|{x_0}\right| \leqslant|T|$.

Quotients Let $Y$ be a closed subspace of a Banach space $X$. By the definition of the quotient norm, the quotient map $q: x \mapsto x+Y$ is bounded from $X$ to $X / Y$ of norm $|q| \leqslant 1$

Let $Z$ be a normed space and let $T \in \mathscr{L}(X, Z)$ be a bounded operator with the property that $Y$ is contained in the null space $\mathrm{N}(T)$. We claim that
$$
T_{/ Y}(x+Y):=T x, \quad x \in X,
$$
defines a well-defined and bounded quotient operator $T_{/ Y}: X / Y \rightarrow Z$ of norm $\left|T_{/ Y}\right|=$ $|T|$. Well-definedness of $T_{/ Y}$ is clear, and for all $x \in X$ and $y \in Y$ we have $|T x|=$ $|T(x+y)| \leqslant|T||x+y|$. Taking he infimum over all $y \in Y$ gives the bound
$$
\left|T_{/ Y}(x+Y)\right|-|T x| \leqslant|T| \inf {y \in Y}|x+y|-|T||x+Y| . $$ Hence $T{/ Y}$ is bounded and $\left|T_{/ Y}\right| \leqslant|T|$. For the converse inequality we note that
$$
|T x|=\left|T_{/ Y}(x+Y)\right| \leqslant\left|T_{/ Y}\right||x+Y|=\left|T_{/ Y}\right| \inf {y \in Y}|x-y| \leqslant\left|T{/ Y}\right||x| .
$$
Direct Sums If $X_n$ is a normed space and $T_n \in \mathscr{L}\left(X_n\right)$ for $n=1, \ldots, N$, then the direct sum operator
$$
T=\bigoplus_{n=1}^N T_n:\left(x_1, \ldots, x_N\right) \mapsto\left(T_1 x_1, \ldots, T_N x_N\right)
$$
is bounded on $X=\bigoplus_{n=1}^N X_n$ with respect to any product norm; this follows from (1.2). If the product norm is of the form (1.1), then $|T|=\max _{1 \leqslant n \leqslant N}\left|T_n\right|$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|First Examples

We revisit the examples of Section 1.1.c and discuss how various natural operations used in Analysis give rise to bounded operators.

Example 1.26 (Matrices). Every $m \times n$ matrix $A=\left(a_{i j}\right){i, j=1}^{m, n}$ defines a bounded operator in $\mathscr{L}\left(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}^m\right)$ and its norm satisfies $$ |A|^2=\sup {|x| \leqslant 1}|A x|^2=\sup {|x| \leqslant 1} \sum{i=1}^m\left|\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right|^2 \leqslant \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n\left|a_{i j}\right|^2,
$$
where the last step follows from the Cauchy-Schwarz inequality. More generally, every linear operator from a finite-dimensional normed space $X$ into a normed space $Y$ is bounded; this will be shown in Corollary $1.37$.

The upper bound (1.3) for the norm of a matrix $A$ is not sharp. An explicit method to determine the operator norm of a matrix is described in Problem 4.14.

Example $1.27$ (Point evaluations). Let $K$ be a compact topological space. For each $x_0 \in K$ the point evaluation $E_{x_0}: f \mapsto f\left(x_0\right)$ is bounded as an operator from $C(K)$ into $\mathbb{K}$ with norm $\left|E_{x_0}\right|=1$. Boundedness with norm $\left|E_{x_0}\right| \leqslant 1$ follows from
$$
\left|E_{x_0} f\right|=\left|f\left(x_0\right)\right| \leqslant \sup {x \in K}|f(x)|=|f|{\infty} .
$$
By considering $f=1$, the constant-one function on $K$, it is seen that $\left|E_{x_0}\right|=1$.
Example $1.28$ (Integration). Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ be a measure space. The mapping $I_\mu: f \mapsto$ $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$ is bounded from $L^1(\Omega)$ to $\mathbb{K}$ with norm $\left|I_\mu\right|=1$. Boundedness with norm $\left|I_\mu\right| \leqslant 1$ follows from
$$
\left|I_\mu f\right|=\left|\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d} \mu=|f|_1 .
$$
By considering nonnegative functions it is seen that $\left|I_\mu\right|=1$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Subspaces, Quotients, and Direct Sums

限制条件 $T$ 是范数空间的有界算子 $X$ 进入规范空间 $Y$ ，那么限制 $T$ 到子空间 $X_0$ 的 $X$ 定义有界运算符 $T \mid X_0 从 X_0$ 进入 $Y$ 规范的 $|T| x_0|\leqslant| T \mid$.
商让 $Y$ 是 Banach 空间的闭子空间 $X$. 根据商范数的定义，商图 $q: x \mapsto x+Y$ 是有界的 $X$ 至 $X / Y$ 规范的 $|q| \leqslant 1$
让 $Z$ 是一个规范的空间，让 $T \in \mathscr{L}(X, Z)$ 是一个有界运算符，其属性为 $Y$ 包含在零空间中 $\mathrm{N}(T)$. 我们声称
$$
T_{/ Y}(x+Y):=T x, \quad x \in X,
$$
定义了一个定义良好且有界的商运算符 $T_{/ Y}: X / Y \rightarrow Z$ 规范的 $\left|T_{/ Y}\right|=|T|$. 明确性 $T_{/ Y}$ 很清楚，对所有人来说 $x \in X$ 和 $y \in Y$ 我们有 $|T x|=|T(x+y)| \leqslant|T||x+y|$. 以他的无知超越一切 $y \in Y$ 给出界限
$$
\left|T_{/ Y}(x+Y)\right|-|T x| \leqslant|T| \inf y \in Y|x+y|-|T||x+Y| .
$$
因此 $T / Y$ 是有界的并且 $\left|T_{/ Y}\right| \leqslant|T|$. 对于逆不等式，我们注意到
$$
|T x|=\left|T_{/ Y}(x+Y)\right| \leqslant\left|T_{/ Y}\right||x+Y|=\left|T_{/ Y}\right| \inf y \in Y|x-y| \leqslant|T / Y||x| .
$$
直接求和如果 $X_n$ 是一个范数空间并且 $T_n \in \mathscr{L}\left(X_n\right)$ 为了 $n=1, \ldots, N$ ，然后是直接和运算符
$$
T=\bigoplus_{n=1}^N T_n:\left(x_1, \ldots, x_N\right) \mapsto\left(T_1 x_1, \ldots, T_N x_N\right)
$$
有界 $X=\bigoplus_{n=1}^N X_n$ 关于任何产品规范；这来自 (1.2)。如果乘积范数为 (1.1) 形式，则 $|T|=\max _{1 \leqslant n \leqslant N}\left|T_n\right|$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|First Examples

我们重温第 1.1.c 节的示例并讨论分析中使用的各种自然运算如何产生有界算子。
示例 $1.26$ (矩阵) 。每一个 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(a_{i j}\right) i, j=1^{m, n}$ 在 $\mathscr{L}\left(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}^m\right)$ 并且它的范数满足
$$
|A|^2=\sup |x| \leqslant 1|A x|^2=\sup |x| \leqslant 1 \sum i=1^m\left|\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right|^2 \leqslant \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n\left|a_{i j}\right|^2,
$$
最后一步来自 Cauchy-Schwarz 不等式。更一般地，来自有限维范数空间的每个线性算子 $X$ 进入规范空间 $Y$ 有界；这将在推论中显示 $1.37$.
矩阵范数的上限 (1.3)A不锋利。问题 $4.14$ 中描述了一种确定矩阵算子范数的显式方法。
例子 $1.27$ (点评估) 。让 $K$ 是紧致拓扑空间。对于每个 $x_0 \in K$ 积分评价 $E_{x_0}: f \mapsto f\left(x_0\right)$ 有界作为一个算子 $C(K)$ 进入 $\mathbb{K}$ 有规范 $\left|E_{x_0}\right|=1$. 有界与规范 $\left|E_{x_0}\right| \leqslant 1$ 从
$$
\left|E_{x_0} f\right|=\left|f\left(x_0\right)\right| \leqslant \sup x \in K|f(x)|=|f| \infty .
$$
通过考虑 $f=1$ ，上的常数一函数 $K$ ，可以看出 $\left|E_{x_0}\right|=1$.
例子 $1.28$ (一体化)。让 $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ 成为测度空间。映射 $I_\mu: f \mapsto \int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu$ 是有界的 $L^1(\Omega)$ 至 $\mathbb{K}$ 有规范 $\left|I_\mu\right|=1$. 有界与规范 $\left|I_\mu\right| \leqslant 1$ 从
$$
\left|I_\mu f\right|=\left|\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d} \mu=|f|1 . $$ 通过考虑非负函数可以看出 $\left|I\mu\right|=1$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|KMA322

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Separability

Most Banach spaces of interest in Analysis are infinite-dimensional in the sense that they do not have a finite spanning set. In this context the following definition is often useful.

Definition $1.12$ (Separability). A normed space is called separable if it contains a countable set whose linear span is dense.

Proposition 1.13. A normed space $X$ is separable if and only if $X$ contains a countable dense set.

Proof The ‘only if’ part is trivial. To prove the ‘if’ part, let $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ have dense span in. Let $Q$ be a countable dense set in $\mathbb{K}$ (for example, one could take $Q=\mathbb{Q}$ if $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ and $Q \quad \mathbb{Q}+i \mathbb{Q}$ if $K \quad \mathbb{C}$ ). Then the set of all $Q$-linear combinations of the $x_n$, that is, all linear combinations involving coefficients from $Q$, is dense in $X$.

Finite-dimensional spaces, the sequence spaces $c_0$ and $\ell^p$ with $1 \leqslant p<\infty$, the spaces $C(K)$ with $K$ compact metric, and $L^p(D)$ with $1 \leqslant p<\infty$ and $D \subseteq \mathbb{R}^d$ open, are separable. The separability of $C(K)$ and $L^p(D)$ follows from the results proved in the next chapter.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and General Properties

Let $X$ and $Y$ be normed spaces.
Definition $1.14$ (Bounded operators). A linear operator $T: X \rightarrow Y$ is bounded if there exists a finite constant $C \geqslant 0$ such that
$$
|T x| \leqslant C|x|, \quad x \in X .
$$
Here, and in the rest of this work, we write $T x$ instead of the more cumbersome $T(x)$. A bounded operator is a linear operator that is bounded.

The infimum $C_T$ of all admissible constants $C$ in Definition $1.14$ is itself admissible. Thus $C_T$ is the least admissible constant. We claim that it equals the number
$$
|T|:=\sup {|x| \leqslant 1}|T x| . $$ To see this, let $C$ be an admissible constant in Definition $1.14$, that is, we assume that $|T x| \leqslant C|x|$ for all $x \in X$. Then $|T|=\sup {|x| \leqslant 1}|T x| \leqslant C$. This being true for all admissible contants $C$, it follows that $|T| \leqslant C_T$. The opposite inequality $C_T \leqslant|T|$ follows by observing that for all $x \in X$ we have
$$
|T x| \leqslant|T||x|,
$$
which means that $|T|$ an admissible constant. This inequality is trivial for $x=0$, and for $x \neq 0$ it follows from scalar homogeneity, the linearity of $T$ and the definition of the number $|T|$ :
$$
|T x|=\left|\frac{1}{|x|} T x\right||x|=\left|T \frac{x}{|x|}\right||x| \leqslant|T||x| .
$$
Proposition 1.15. For a linear operator $T: X \rightarrow Y$ the following assertions are equivalent:
(1) $T$ is bounded;
(2) $T$ is continuous;
(3) $T$ is continuous at some point $x_0 \in X$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Separability

分析中感兴趣的大多数 Banach 空间是无限维的，因为它们没有有限的跨度集。在这种情况下，以下定义通常很有用。
定义1.12 (可分离性)。如果一个范数空间包含一个线性跨度密集的可数集，则称它为可分空间。
提案 1.13。规范的空间 $X$ 是可分的当且仅当 $X$ 包含一个可数稠密集。
证明“仅当”部分是微不足道的。为了证明“如果”部分，让 $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ 有密集的跨度。让 $Q$ 是一个可数稠集 $\mathbb{K}$ (例如，可以采取 $Q=\mathbb{Q}$ 如果 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 和 $Q \quad \mathbb{Q}+i \mathbb{Q}$ 如果 $K \quad \mathbb{C}$ )。然后所有的集合 $Q$ – 的线性组合 $x_n$ ，即所有涉及系数的线性组合 $Q$, 是稠密的 $X$. 开放，是可分离的。可分离性 $C(K)$ 和 $L^p(D)$ 由下一章证明的结果得出。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and General Properties

让 $X$ 和 $Y$ 是范数空间。
定义 $1.14$ (有界运算符)。线性算子 $T: X \rightarrow Y$ 如果存在有限常数，则有界 $C \geqslant 0$ 这样
$$
|T x| \leqslant C|x|, \quad x \in X .
$$
在这里，以及在这项工作的其余部分，我们写 $T x$ 而不是更㹎琐 $T(x)$. 有界算子是有界的线性算子。
最低的 $C_T$ 所有可接受的常数 $C$ 在定义 $1.14$ 本身是可以接受的。因此 $C_T$ 是最小允许常数。我们声称它等于数
$$
|T|:=\sup |x| \leqslant 1|T x| .
$$
要看到这一点，让 $C$ 在定义中是一个可接受的常数 $1.14$ ，也就是说，我们假设 $|T x| \leqslant C|x|$ 对所有人 $x \in X$. 然后 $|T|=\sup |x| \leqslant 1|T x| \leqslant C$. 这适用于所有可接受的内容 $C$ ，它遵循 $|T| \leqslant C_T$. 反不等式 $C_T \leqslant|T|$ 接下来通过观察所有 $x \in X$ 我们有
$$
|T x| \leqslant|T||x|,
$$
意思就是 $|T|$ 个个可接受的常数。这个不等式是微不足道的 $x=0$ ，并且对于 $x \neq 0$ 它遵循标量同质性，线性 $T$ 和数的定义 $|T|$ :
$$
|T x|=\left|\frac{1}{|x|} T x\right||x|=\left|T \frac{x}{|x|}\right||x| \leqslant|T||x| .
$$
提案 1.15。对于线性算子 $T: X \rightarrow Y$ 以下断言是等价的:
(1)T有界；
(2) $T$ 是连续的；
(3) $T$ 在某个点是连续的 $x_0 \in X$.

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3402

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and General Properties

Definition $1.1$ (Norms). A normed space is a pair $(X,|\cdot|)$, where $X$ is a vector space over $\mathbb{K}$ and $|\cdot|: X \rightarrow[0, \infty)$ is a norm, that is, a mapping with the following properties:
(i) $|x|=0$ implies $x=0$;
(ii) $|c x|=|c||x|$ for all $c \in \mathbb{K}$ and $x \in X$;
(iii) $\left|x+x^{\prime}\right| \leqslant|x|+\left|x^{\prime}\right|$ for all $x, x^{\prime} \in X$.
When the norm $|\cdot|$ is understood we simply write $X$ instead of $(X,|\cdot|)$. If we wish to emphasise the role of $X$ we write $|\cdot|_X$ instead of $|\cdot|$.

The properties (ii) and (iii) are referred to as scalar homogeneity and the triangle inequality. The triangle inequality implies that every normed space is a metric space, with distance function
$$
d(x, y):=|x-y| .
$$
This observation allows us to introduce metric notions such as openness, closedness, compactness, denseness, limits, convergence, completeness, and continuity in the context of normed spaces by carrying them over from the theory of metric spaces. For instance, a sequence $\left(x_n\right){n \geqslant 1}$ in $X$ is said to converge if there exists an element $x \in X$ such that $\lim {n \rightarrow \infty}\left|x_n-x\right|=0$. This element, if it exists, is unique and is called the limit of the sequence $\left(x_n\right){n \geqslant 1}$. We then write $\lim {n \rightarrow \infty} x_n=x$ or simply ‘ $x_n \rightarrow x$ as $n \rightarrow \infty$ ‘.
The triangle inequality (ii) implies both $|x|-\left|x^{\prime}\right| \leqslant\left|x-x^{\prime}\right|$ and $\left|x^{\prime}\right|-|x| \leqslant | x^{\prime}-$ $x |$. Since $\left|x^{\prime}-x\right|=\left|(-1) \cdot\left(x-x^{\prime}\right)\right|=\left|x-x^{\prime}\right|$ by scalar homogeneity, we obtain the reverse triangle inequality
$$
\left||x|-\left|x^{\prime}\right|\right| \leqslant\left|x-x^{\prime}\right| \text {. }
$$
It shows that taking norms $x \mapsto|x|$ is a continuous operation.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Subspaces, Quotients, and Direct Sums

Several abstract constructions enable us to create new Banach spaces from given ones. We take a brief look at the three most basic constructions, namely, passing to closed subspaces and quotients and building direct sums.

Subspaces A subspace $Y$ of a normed space $X$ is a normed space with respect to the norm inherited from $X$. A subspace $Y$ of a Banach space $X$ is a Banach space with respect to the norm inherited from $X$ if and only if $Y$ is closed in $X$.

To prove the ‘if’ part, suppose that $\left(y_n\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in the closed subspace $Y$ of a Banach space $X$. Then it has a limit in $X$, hy the completeness of $X$, and this limit belongs to $Y$, by the closedness of $Y$. The proof of the ‘only if’ part is equally simple and does not require $X$ to be complete. If $\left(y_n\right){n \geqslant 1}$ is a sequence in the complete subspace $Y$ such that $y_n \rightarrow x$ in $X$, then $\left(y_n\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in $X$, hence also in $Y$, and therefore it has a limit $y$ in $Y$, by the completeness of $Y$. Since $\left(y_n\right){n \geqslant 1}$ also converges to $y$ in $X$, it follows that $y=x$ and therefore $x \in Y$.

Quotients If $Y$ is a closed subspace of a Banach space $X$, the quotient space $X / Y$ can be endowed with a norm by
$$
|[x]|:=\inf {y \in Y}|x-y|, $$ where for brevity we write $[x]:=x+Y$ for the equivalence class of $x$ modulo $Y$. Let us check that this indeed defines a norm. If $|[x]|=0$, then there is a sequence $\left(y_n\right){n \geqslant 1}$ in $Y$ such that $\left|x-y_n\right|<\frac{1}{n}$ for all $n \geqslant 1$. Then
$$
\left|y_n-y_m\right| \leqslant\left|y_n-x\right|+\left|x-y_m\right|<\frac{1}{n}+\frac{1}{m},
$$ so $\left(y_n\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in $X$. It has a limit $y \in X$ since $X$ is complete, and we have $y \in Y$ since $Y$ is closed. Then $|x-y|=\lim {n \rightarrow \infty}\left|x-y_n\right|=0$, so $x=y$. This implies that $[x]=[y]=[0]$, the zero element of $X / Y$. The identity $|c[x]|=|c||[x]|$ is trivially verified, and so is the triangle inequality.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Definition and General Properties

定义1.1 (规范) 。范数空间是一对 $(X,|\cdot|)$ ，在哪里 $X$ 是一个向量空间 $\mathbb{K}$ 和 $|\cdot|: X \rightarrow[0, \infty)$ 是一个范数，即具有以下属性的映射:
(i) $|x|=0$ 暗示 $x=0$;
(二) $|c x|=|c||x|$ 对所有人 $c \in \mathbb{K}$ 和 $x \in X$;
$\Leftrightarrow\left|x+x^{\prime}\right| \leqslant|x|+\left|x^{\prime}\right|$ 对所有人 $x, x^{\prime} \in X$.
当规范 $|\cdot|$ 被理解我们简单地写 $X$ 代替 $(X,|\cdot|)$. 如果我们想强调 $X$ 我们写 $|\cdot| X$ 代替 $|\cdot|$.
属性 (ii) 和 (iii) 被称为标量同质性和三角不等式。三角不等式意味着每个范数空间都是度量空间，具有距离函数
$$
d(x, y):=|x-y| .
$$
这一观察结果使我们能够通过从度量空间理论中引入度量概念，例如在规范空间的上下文中的开放性、封闭性、紧致性、密集性、限制、收敛性、完整性和连续性。例如，一个序列 $\left(x_n\right) n \geqslant 1$ 在 $X$ 如果存在元素，则称其收敛 $x \in X$ 这样 $\lim n \rightarrow \infty\left|x_n-x\right|=0$. 这个元素，如果存在，是唯一的，称为序列的极限 $\left(x_n\right) n \geqslant 1$. 然后我们写 $\lim n \rightarrow \infty x_n=x$ 或者干脆’ $x_n \rightarrow x$ 作为 $n \rightarrow \infty$ ‘。
三角不等式 (ii) 意味着 $|x|-\left|x^{\prime}\right| \leqslant\left|x-x^{\prime}\right|$ 和 $\left|x^{\prime}\right|-|x| \leqslant\left|x^{\prime}-x\right|$. 自从
$\left|x^{\prime}-x\right|=\left|(-1) \cdot\left(x-x^{\prime}\right)\right|=\left|x-x^{\prime}\right|$ 通过标量同质性，我们得到反三角不等式
$$
|| x|-| x^{\prime}|| \leqslant\left|x-x^{\prime}\right| .
$$
这表明采取规范 $x \mapsto|x|$ 是一个连续的操作。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Subspaces, Quotients, and Direct Sums

几个抽象结构使我们能够从给定的空间创建新的巴拿赫空间。我们简要介绍三个最基本的结构，即传递到闭子空间和商以及建立直和。
子空间子空间 $Y$ 规范空间的 $X$ 是相对于继承自的范数的范数空间 $X$.一个子空间 $Y$ 巴拿赫空间 $X$ 是关于继承范数的 Banach 空间 $X$ 当且仅当 $Y$ 封闭在 $X$.
为了证明“如果“部分，假设 $\left(y_n\right) n \geqslant 1$ 是闭子空间中的柯西序列 $Y$ 巴拿赫空间 $X$. 然后它有一个限制 $X$ ， hy 的完整性 $X$ ，这个极限属于 $Y$ ，通过的封闭性 $Y$. “仅当”部分的证明同样简单，不需要 $X$ 要完整。如果 $\left(y_n\right) n \geqslant 1$ 是完全子空间中的一个序列 $Y$ 这样 $y_n \rightarrow x$ 在 $X$ ，然后 $\left(y_n\right) n \geqslant 1$ 是一个柯西序列 $X$ ，因此也在 $Y$ ，因此它有一个极限 $y$ 在 $Y$ ，由完整性 $Y$. 自从 $\left(y_n\right) n \geqslant 1$ 也收敛到 $y$ 在 $X$ ，它遵循 $y=x$ 因此 $x \in Y$.
商如果 $Y$ 是 Banach 空间的闭子空间 $X$ ，商空间 $X / Y$ 可以被赋予一个规范
$$
|[x]|:=\inf y \in Y|x-y|,
$$
为简洁起见，我们在哪里写 $[x]:=x+Y$ 对于等价类 $x$ 模块 $Y$. 让我们检查一下这确实定义了一个规范。如果 $|[x]|=0$ ，那么有一个序列 $\left(y_n\right) n \geqslant 1$ 在 $Y$ 这样 $\left|x-y_n\right|<\frac{1}{n}$ 对所有人 $n \geqslant 1$. 然后
$$
\left|y_n-y_m\right| \leqslant\left|y_n-x\right|+\left|x-y_m\right|<\frac{1}{n}+\frac{1}{m},
$$
所以 $\left(y_n\right) n \geqslant 1$ 是一个柯西序列 $X$. 它有一个限制 $y \in X$ 自从 $X$ 是完整的，我们有 $y \in Y$ 自从 $Y$ 已经关了。然后 $|x-y|=\lim n \rightarrow \infty\left|x-y_n\right|=0$ ，所以 $x=y$. 这意味着 $[x]=[y]=[0]$, 的零元素 $X / Y$. 身份 $|c[x]|=|c||[x]|$ 被平凡验证，三角不等式也是如此。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|МАTH3402

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|МАTH3402

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Baire’s category theorem

Proof Suppose that the metric space $X=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$, where $A_n$ are nowhere dense. We are going to create a nested sequence of balls whose centers form a nonconvergent Cauchy sequence, as follows: To start with, $\bar{A}1 \neq X$ so its exterior contains a ball $B{r_1}\left(x_1\right) \subseteq\left(A_1\right)^{\mathrm{C}}$. Now $A_2$ contains no balls, so the open set $\left(\bar{A}2\right)^{\mathrm{C}} \cap B{r_1}\left(x_1\right)$ is non-empty and there is a ball $B_{r_2}\left(x_2\right) \subseteq\left(\bar{A}2\right)^{\mathrm{C}} \cap B{r_1}\left(x_1\right)$.
$$
B_{r_{n+1}}\left[x_{n+1}\right] \subseteq B_{r_n}\left(x_n\right) \quad\left(\text { e.g. } r_{n+1}n$ we have $x_m \in B_{r_{n+1}}\left(x_{n+1}\right)$ and taking the limit $x_m \rightarrow x$ we find $x \in B_{r_{n+1}}\left[x_{n+1}\right] \subseteq B_{r_n}\left(x_n\right)$. Since this holds for any $n$ we obtain $$
x \in \bigcap_n B_{r_n}\left(x_n\right) \subseteq \bigcap_n\left(\bar{A}_n\right)^{\mathrm{C}}=\left(\bigcup_n \bar{A}_n\right)^{\mathrm{C}} \subseteq\left(\bigcup_n A_n\right)^{\mathrm{C}}=X^{\mathrm{C}}=\varnothing
$$
a contradiction. Having constructed a non-convergent Cauchy sequence, $X$ must be incomplete.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Uniformly Continuous Maps

We have seen that a continuous function need not preserve completeness, or even Cauchy sequences. If one analyzes the root of the problem, one finds that its resolution lies in the following strengthening of continuity:
Definition $4.11$
A function $f: X \rightarrow Y$ is said to be uniformly continuous when
$$
\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in X, \quad f B_\delta(x) \subseteq B_\epsilon(f(x)) .
$$
The difference from continuity is that, here, $\delta$ is independent of $x$.
Easy Consequences

Uniformly continuous functions are continuous.
But not every continuous map is uniformly so; an example is $f(x):=1 / x$ on ] $0, \infty[$.
The composition of uniformly continuous maps is again uniformly continuous. Proof $\forall \epsilon>0, \exists \delta, \delta^{\prime}>0, \quad \forall x, g\left(f\left(B_\delta(x)\right)\right) \subseteq g\left(B_{\delta^{\prime}}(f(x))\right) \subseteq B_\epsilon(g(f(x)))$.
The key properties of uniformly continuous maps are the following two propositions:
Proposition $4.12$
A uniformly continuous function maps any Cauchy sequence to a Cauchy sequence.
Proof By definition $f: X \rightarrow Y$ is uniformly continuous when
$$
\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall x, x^{\prime}, \quad d_X\left(x, x^{\prime}\right)<\delta \Rightarrow d_Y\left(f(x), f\left(x^{\prime}\right)\right)<\epsilon . $$ In particular, for a Cauchy sequence $\left(x_n\right)$ in $X$, with this $\delta$, $$ \begin{aligned} \exists N, \quad n, m>N & \Rightarrow d_X\left(x_n, x_m\right)<\delta \
& \Rightarrow d_Y\left(f\left(x_n\right), f\left(x_m\right)\right)<\epsilon,
\end{aligned}
$$
proving that $\left(f\left(x_n\right)\right)$ is a Cauchy sequence in $Y$.
More generally, the same proof shows that a function $f: X \rightarrow Y$ is uniformly continuous if, and only if, it maps any asymptotic sequences $\left(a_n\right),\left(b_n\right)$ in $X$ to asymptotic sequences $\left(f\left(a_n\right)\right),\left(f\left(b_n\right)\right)$ in $Y$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Baire’s category theorem

证明假设度量空间 $X=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$ ，在挪里 $A_n$ 无处密集。我们将创建一个嵌套的球序列，其中心形成一个非收敛的柯西序列，如下所示: $\bar{A} 1 \neq X$ 所以它的外部包含一个球 $B r_1\left(x_1\right) \subseteq\left(A_1\right)^{\mathrm{C}}$. 现在 $A_2$ 不包含球，所以开集 $(\bar{A} 2)^{\mathrm{C}} \cap B r_1\left(x_1\right)$ 非空且有球 $B_{r_2}\left(x_2\right) \subseteq(\bar{A} 2)^{\mathrm{C}} \cap B r_1\left(x_1\right)$.
$\$ \$$
矛盾。构造了一个非收敛的柯西序列， $X$ 一定是不完整的。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Uniformly Continuous Maps

我们已经看到，连续函数不需要保持完整性，甚至 Cauchy 序列。如果分析问题的根源，就会发现问题的解决在于以下对连续性的加强:
定义4.11
一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 据哾是一致连续的，当
$$
\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in X, \quad f B_\delta(x) \subseteq B_\epsilon(f(x)) .
$$
与连续性的区别在于，在这里， $\delta$ 独立于 $x$.
容易的后果

一致连续函数是连续的。
但并非每张连续地图都是如此。一个例子是 $f(x):=1 / x$ 上 $] 0, \infty[$.
均匀连续映射的组合又是均匀连续的。证明
$\forall \epsilon>0, \exists \delta, \delta^{\prime}>0, \quad \forall x, g\left(f\left(B_\delta(x)\right)\right) \subseteq g\left(B_{\delta^{\prime}}(f(x))\right) \subseteq B_\epsilon(g(f(x)))$.
一致连续映射的关键属性是以下两个命题:
主张4.12
一致连续函数将任何柯西序列映射到柯西序列。
证明根据定义 $f: X \rightarrow Y$ 当
$\$ \$$
Inparticular, foraCauchysequence $\$\left(x_n\right) \$ i n \$ X \$$, withthis $\$ \delta \$$,
lend{对齐 $}$
$\$ \$$
证明 $\left(f\left(x_n\right)\right)$ 是一个柯西序列 $Y$.
更一般地，相同的证明表明一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 当且仅当它映射任何渐近序列时是一致连续的 $\left(a_n\right),\left(b_n\right)$ 在 $X$ 渐近序列 $\left(f\left(a_n\right)\right),\left(f\left(b_n\right)\right)$ 在 $Y$.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH597

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH597

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Convergence and Continuity

The previous chapter was primarily intended to expand our vocabulary of mathematical terms in order to better describe and clarify the concepts that we will need. Our first task is to define convergence.
Definition $3.1$
A sequence $\left(x_n\right)$ in a metric space $X$ converges to a limit $x$, written $\forall \epsilon>0, \quad \exists N, \quad n \geqslant N \Rightarrow x_n \in B_\epsilon(x)$.
A sequence which does not converge is said to diverge.
One may express this as “any neighborhood of $x$ contains all the sequence from some point onwards,” or “eventually, the sequence points get arbitrarily close to the limit”.
Proposition $3.2$
In a metric space, a sequence $\left(x_n\right)$ can only converge to one limit, denoted $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.

Proof Suppose $x_n \rightarrow x$ and $x_n \rightarrow y$ as $n \rightarrow \infty$, with $x \neq y$. Then they can be separated by two disjoint balls $B_r(x)$ and $B_r(y)$ (Proposition 2.5). But convergence means

$$
\begin{aligned}
&\exists N_1 \quad n \geqslant N_1 \Rightarrow x_n \in B_r(x), \
&\exists N_2 \quad n \geqslant N_2 \Rightarrow x_n \in B_r(y) .
\end{aligned}
$$
For $n \geqslant \max \left(N_1, N_2\right)$ this would result in $x_n \in B_r(x) \cap B_r(y)=\varnothing$, a contradiction.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Completeness and Separability

Our task of rigorously defining convergence in a general space has been achieved, but there seems to be something circular about it, because convergence is defined in terms of a limit. For example, take a convergent sequence $x_n \rightarrow x$ in a metric space $X$, and “artificially” remove the point $x$ to form $X \backslash x$ (assume $\forall n, x_n \neq x$ ). The other points $x_n$ still form a sequence in this subspace, but it no longer converges (otherwise it would have converged to two points in $X$ ) – its limit is “missing”. The sequence $\left(x_n\right)$ is convergent in $X$ but divergent in $X \backslash x$. How are we to know whether a metric space has “missing” points? And if it has, is it possible to create them when the bigger space $X$ is unknown?

To be more concrete, let us take a look at the rational numbers: consider the sequences $(1,2,3, \ldots),(1,-1,1,-1, \ldots)$, and $(1,1.5,1.417,1.414,1.414, \ldots)$, the last one defined iteratively by $a_0:=1, a_{n+1}:=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}$. It is easy to show that the first two do not converge, but, contrary to appearances, neither does the third, the reason being that were it to converge to $a \in \mathbb{Q}$, then $a=a / 2+1 / a$, implying $a^2=2$, which we know cannot be satisfied by any rational number. This sequence seems a good candidate of one which converges to a “missing” number not found in $\mathbb{Q}$. Having found one missing point, there are an infinite number of them: $(2,2.5,2.417,2.414, \ldots)$ and $(2,3,2.834,2.828, \ldots)$ cannot converge in $\mathbb{Q}$.
But could it be that the first two sequences also converge to “missing” numbers? How are we to distinguish between sequences that “truly” diverge from those that converge to “missing” points? There is a property that characterizes intrinsic convergence: suppose that $\left(x_n\right)$ is divergent in the metric space $Y$, but converges $x_n \rightarrow a$ in a bigger space $X$. Then the points get close to each other (in $Y$ ).
$$
d_Y\left(x_n, x_m\right)=d_X\left(x_n, x_m\right) \leqslant d_X\left(x_n, a\right)+d_X\left(a, x_m\right) \rightarrow 0, \text { as } n, m \rightarrow \infty
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Convergence and Continuity

上一章的主要目的是扩展我们的数学术语词汇，以便更好地描述和阐明我们需要的概念。我们的首要任务是定义收敛。
定义 $3.1$
一个序列 $\left(x_n\right)$ 在度量空间 $X$ 收敛到极限 $x$ ，写 $\forall \epsilon>0, \quad \exists N, \quad n \geqslant N \Rightarrow x_n \in B_\epsilon(x)$. 不收敛的序列称为发散的。
可以将其表示为“任何邻域 $x$ 包含从某个点开始的所有序列”或“最终，序列点任意接近极限”。
主张 $3.2$
在度量空间中，序列 $\left(x_n\right)$ 只能收敛到一个极限，记为 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
证明假设 $x_n \rightarrow x$ 和 $x_n \rightarrow y$ 作为 $n \rightarrow \infty$ ，和 $x \neq y$. 然后它们可以被两个不相交的球分开 $B_r(x)$ 和 $B_r(y)$ (提案 2.5)。但收敛意味着
$$
\exists N_1 \quad n \geqslant N_1 \Rightarrow x_n \in B_r(x), \quad \exists N_2 \quad n \geqslant N_2 \Rightarrow x_n \in B_r(y) .
$$
为了 $n \geqslant \max \left(N_1, N_2\right)$ 这将导致 $x_n \in B_r(x) \cap B_r(y)=\varnothing$ ，矛盾。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Completeness and Separability

我们在一般空间中严格定义收敛的任务已经完成，但似乎有一些循环，因为收敛是根据极限来定义的。例如，取一个收敛序列 $x_n \rightarrow x$ 在度量空间 $X$ ，并“人为地”删除该点 $x$ 来形成 $X \backslash x$ (认为 $\forall n, x_n \neq x$ )。其他点 $x_n$ 仍然在这个子空间中形成一个序列，但它不再收玫（否则它会收玫到 $X$ )—一它的极限是”缺失的”。序列 $\left(x_n\right)$ 收敛于 $X$ 但分歧于 $X \backslash x$. 我们如何知道度量空间是否有”缺失”点? 如果有，是否有可能在更大的空间中创建它们 $X$ 末知?
更具体地说，让我们看一下有理数: 考虑序列 $(1,2,3, \ldots),(1,-1,1,-1, \ldots)$ ，和 $(1,1.5,1.417,1.414,1.414, \ldots)$ ，最后一个由迭代定义 $a_0:=1, a_{n+1}:=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}$. 很容易证明前两个不收敛，但是，与表象相反，第三个也不收敛，原因是它收敛到 $a \in \mathbb{Q}$ ，然后 $a=a / 2+1 / a$, 暗示 $a^2=2$ ，我们知道任何有理数都不能满足。这个序列似乎是一个很好的候选者，它收敛到一个在 $\mathbb{Q}$. 找到一个缺失点后，有无数个: $(2,2.5,2.417,2.414, \ldots)$ 和 $(2,3,2.834,2.828, \ldots)$ 不能收敛 $\mathbb{Q}$.
但会不会是前两个序列也收敛到”缺失”的数字? 我们如何区分“真正”发散的序列和收敛到”缺失”点的序列? 有一个特性可以表征内在收敛：假设 $\left(x_n\right)$ 在度量空间发散 $Y$ ，但收玫 $x_n \rightarrow a$ 在更大的空间 $X$. 然后这些点彼此靠近（在 $Y)$
$$
d_Y\left(x_n, x_m\right)=d_X\left(x_n, x_m\right) \leqslant d_X\left(x_n, a\right)+d_X\left(a, x_m\right) \rightarrow 0, \text { as } n, m \rightarrow \infty
$$

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3320

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3320

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Logic and Sets

The basic logical symbols are $\Rightarrow$ (implies), NOT, AND, OR, as well as the quantifiers $\exists$ (there exists) and $\forall$ (for all). The reader should be familiar with the basic proof strategies, such as proving $\phi \Rightarrow \psi$ by its contrapositive (NOT $\psi) \Rightarrow($ NOT $\phi)$, and proofs by contradiction. The negation of $\forall x \phi_x$ is $\exists x$ (NOT $\left.\phi_x\right)$; and NOT $\left(\exists x \phi_x\right)$ is the same as $\forall x$ (NOT $\phi_x$ ). The symbol := is used to define the left-hand symbol as the right-hand expression, e.g. $e:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}$.

A set consists of elements, and $x \in A$ denotes that $x$ is an element of the set $A$. The empty set $\varnothing$ contains no elements, so $x \in \varnothing$ is a contradiction.

The following sets of numbers are the foundational cornerstones of mathematics: the natural numbers $\mathbb{N}={0,1, \ldots}$, the integers $\mathbb{Z}$, the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, and the complex numbers $\mathbb{C}$. The induction principle applies for $\mathbb{N}$,
If $A \subseteq \mathbb{N}$ AND $0 \in A$ AND $\forall n,(n \in A \Rightarrow n+1 \in A)$ then $A=\mathbb{N}$.
Although variables should be quantified to make sense of statements, as in $\forall a \in \mathbb{Q}, a^2 \neq 2$, in practice one often takes shortcuts to avoid repeating the obvious. This book uses the convention that if a statement mentions variables without accompanying quantifiers, say, $|x+y| \leqslant|x|+|y|$, these are assumed to be $\forall x, \forall y$, etc., in the space under consideration. Natural numbers are usually, but not exclusively, denoted by the variables $m, n, N, \ldots$, real numbers by $a, b, \ldots$, and complex numbers by $z, w, \ldots$. An unspecified $X$ (or $Y$ ) refers to a metric space, a normed space, or a Banach algebra, depending on the chapter.

Sets are often defined in terms of a property, $A:=\left{x \in X: \phi_x\right}$, where $X$ is a given ‘universal set’ and $\phi_x$ a statement about $x$. For example, $\mathbb{R}^{+}:={x \in \mathbb{R}$ : $x \geqslant 0}$.
$A \subseteq B$ denotes that $A$ is a subset of $B$, i.e., $x \in A \Rightarrow x \in B ; A \subset B$ means $A \subseteq B$ but $A \neq B$. A “non-trivial” or “proper” subset of $X$ is one which is not $\varnothing$ or $X$. “Nested sets” are contained in each other as in $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \ldots$ or $\ldots \subseteq A_2 \subseteq A_1$.

The complement of a set $A$ is denoted by $X \backslash A$, or by $A^{\mathrm{C}}$ for short; $A^{\mathrm{cC}}=A$, and $A \subseteq B \Leftrightarrow B^C \subseteq A^C . A \cap B$ and $A \cup B$ are the intersection and union of two sets, respectively. Two sets are “disjoint” when $A \cap B=\varnothing$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Balls and Open Sets

The distance function provides an idea of the “surroundings” of a point. Given a point $a$ and a number $r>0$, we can distinguish between those points ‘near’ to it, satisfying $d(x, a)0$, is the set
$$
B_r(a):={x \in X: d(x, a)0 \quad B_r(x) \cap B_r(y)=\varnothing .
$$
Proof If $x \neq y$ then $d(x, y)>0$ by axiom (iii). Letting $r:=d(x, y) / 2$, then $B_r(x)$ is disjoint from $B_r(y)$ else we get a contradiction,
$$
\begin{aligned}
z \in B_r(x) \cap B_r(y) \Rightarrow d(x, z) &<r \operatorname{AND} d(y, z)<r \
\Rightarrow d(x, y) & \leqslant d(x, z)+d(y, z) \
&<2 r=d(x, y) .
\end{aligned}
$$

In $\mathbb{R}$, every ball is an open interval
$$
\left.B_r(a)={x \in \mathbb{R}:|x-a|<r}=\right] a-r, a+r[.
$$
Conversely, any open interval of the type $] a, b[$ is a ball in $\mathbb{R}$, namely $B_{|b-a| / 2}\left(\frac{a+b}{2}\right)$.
In $\mathbb{R}^2$, the ball $B_r(\boldsymbol{a})$ is the disk with center $\boldsymbol{a}$ and radius $r$ without the circular perimeter.
In $\mathbb{Z}, B_{1 / 2}(m)=\left{n \in \mathbb{Z}:|n-m|<\frac{1}{2}\right}={m}$ and $B_2(m)={m-1, m, m+1}$.
It is clear that balls differ depending on the context of the metric space; thus $\left.B_{1 / 2}(0)=\right]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\left[\right.$ in $\mathbb{R}$, but $B_{1 / 2}(0)={0}$ in $\mathbb{Z}$.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Logic and Sets

基本的逻辑符号是 $\Rightarrow$ (暗示) 、NOT、AND、OR，以及量词 $\exists$ (存在) 和 $\forall$ (对所有人)。读者应该熟悉基本的证明策略，例如证明 $\phi \Rightarrow \psi$ 由它的对立面（不 $\psi) \Rightarrow($ 不是 $\phi)$ ，和反证法。的否定 $\forall x \phi_x$ 是 $\exists x$ (不是 $\phi_x$ ); 并不是 $\left(\exists x \phi_x\right)$ 是相同的 $\forall x$ (不是 $\left.\phi_x\right)$ 。符号 := 用于将左侧符号定义为右侧表达式，例如 $e:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}$.
集合由元素组成，并且 $x \in A$ 表示 $x$ 是集合的一个元素 $A$. 空集 $\varnothing$ 不包含任何元素，所以 $x \in \varnothing$ 是矛盾的。
以下数组是数学的基础: 自然数 $\mathbb{N}=0,1, \ldots$, 整数 $\mathbb{Z}$ ，有理数 $\mathbb{Q}$ ，实数 $\mathbb{R}$, 和复数 $\mathbb{C}$. 归纳原理适用于 $\mathbb{N}$ ，
如果 $A \subseteq \mathbb{N}$ 和 $0 \in A$ 和 $\forall n,(n \in A \Rightarrow n+1 \in A)$ 然后 $A=\mathbb{N}$.
尽管应该量化变量以使陈述有意义，如 $\forall a \in \mathbb{Q}, a^2 \neq 2$ ，在实践中，人们经常走捷径以避免重复显而易见的事情。本书使用的约定是，如果一个语句提到了没有伴随量词的变量，比如说， $|x+y| \leqslant|x|+|y|$ ，这些被假定为 $\forall x, \forall y$ 等，在所考虑的空间中。自然数通常但不唯一地由变量表示 $m, n, N, \ldots$, 实数由 $a, b, \ldots$, 和复数 $z, w, \ldots$ 末指定的 $X$ (或者 $Y$ ) 指的是度量空间、范数空间或 Banach 代数，具体取决于章节。
集合通常根据属性定义，A:=lleft{x lin $\mathrm{X}: \backslash \mathrm{phi} \mathrm{A} x \mid r i g h t}$ ，在哪里 $X$ 是给定的“通用集”并且 $\phi_x$ 关于的声明 $x$. 例如， $\mathbb{R}^{+}:=x \in \mathbb{R} \$: \$ x \geqslant 0$
$A \subseteq B$ 表示 $A$ 是的一个子集 $B$ ，那是， $x \in A \Rightarrow x \in B ; A \subset B$ 方法 $A \subseteq B$ 但 $A \neq B$. 的“非平凡的”或“适当的”子集 $X$ 是一个不是 $\varnothing$ 或者 $X$. “嵌套集”相互包含，如 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \ldots$ 或者..$\subseteq A_2 \subseteq A_1$.
集合的补集 $A$ 表示为 $X \backslash A$ ，或由 $A^{\mathrm{C}}$ 简称; $A^{\mathrm{cC}}=A$ ，和 $A \subseteq B \Leftrightarrow B^C \subseteq A^C . A \cap B$ 和 $A \cup B$ 分别是两个集合的交集和并集。两个集合是“不相交的”，当 $A \cap B=\varnothing$.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Balls and Open Sets

距离函数提供了一个点的“周围环境”的概念。给定一个点 $a$ 和一个数字 $r>0$ ，我们可以区分那些“靠近“它的点，满足 $d(x, a) 0$, 是集合 $\$ \$$
B_r $r(a):=\left{x \backslash \operatorname{in} x: d(x, a) 0 \backslash\right.$ lquad B_r $r(x) \backslash c a p B_{-} r(y)=$ varnothing 。
ProofIf $\$ x \neq y \$$ then $\$ d(x, y)>0 \$$ byaxiom $($ iii $)$. Letting $\$ r:=d(x, y) / 2 \$$, then $\$ B_r(x)$ \$isdisjointfr
$$
z \in B_r(x) \cap B_r(y) \Rightarrow d(x, z)<r \operatorname{AND} d(y, z)<r \Rightarrow d(x, y) \quad \leqslant d(x, z)+d(y, z)<2 r=d(x, y)
$$
$\$ \$$

在 $\mathbb{R}$ ，每个球都是一个开区间
$$
\left.B_r(a)=x \in \mathbb{R}:|x-a|<r=\right] a-r, a+r[.
$$
相反，任何类型的开区间 $] a, b\left[\right.$ 是一个球 $\mathbb{R}$ ，即 $B_{|b-a| / 2}\left(\frac{a+b}{2}\right)$.
在 $\mathbb{R}^2$ ，球 $B_r(\boldsymbol{a})$ 是有中心的圆盘 $\boldsymbol{a}$ 和半径 $r$ 没有圆形周边。 $B_2(m)=m-1, m, m+1$
很明显，球根据度量空间的上下文而有所不同；因此 $\left.B_{1 / 2}(0)=\right]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\left[\right.$ 在 $\mathbb{R}$ ，但 $B_{1 / 2}(0)=0$ 在 $\mathbb{Z}$.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|MATH3051

Posted on 2022年8月4日2022年8月4日 by statistics-lab, statistics-lab

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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Basic Properties

DEFINITION 3.1 An operator $T$ from a normed space $V$ into another normed space $W$ is continuous at a point $x \in D(T)$ if for any $\epsilon>0$ there is a $\delta>0$, such that $|T x-T y|<\epsilon$ for all $y \in D(T)$ with $|x-y|<\delta . T$ is continuous if it is continuous at all points of $D(T)$. $T$ is uniformly continuous on $D(T)$ if for any $\epsilon>0$ there is a $\delta>0$, depending only on $\epsilon$, such that $|T x-T y|<\epsilon$ whenever $|x-y|<\delta$.
$T$ is bounded if there is a positive constant $M$ such that $|T x| \leq M|x|$ for all $x \in D(T)$

This is the obvious extension of the concept of continuity from real analysis, saying that objects close together are mapped into objects close to-gether. Continuous real functions in the usual sense are continuous operators in the sense above. Notice how the norm symbol $|\cdot|$ is used, denoting both the $V$-norm and the $W$-norm. In applications it is important to keep in mind in which space one is working, but it is a significant power of abstract mathematics to be able to write simple formulas and definitions.
Now we will show that continuity for linear operators is equivalent to boundedness.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Bounded Linear Operators

We will now return to the study of linear operators. Let $V$ and $W$ be two normed spaces, and let $S$ and $T$ be linear, bounded, and hence continuous operators from $V$ into $W$. It is obvious that for $\alpha, \beta \in C$, the operator $\alpha S+\beta T$ is also bounded (since it is continuous), so the bounded operators from $V$ into $W$ form a vector space. This space we will denote $B(V, W)$. In the special case where $V=W$, we will write $B(V)$ instead of $B(V, V)$. We will now equip $B(V, W)$ with a norm, the so-called operator norm.

DEFINITION 3.3 Let $V$ and $W$ be normed vector spaces. For $T \in$ $B(V, W)$, we define the norm of $T$ by
$$
|T|=\sup {|T x| \mid|x| \leq 1} .
$$
Notice how the norm symbol $|\cdot|$ is used for the norm in three different spaces. It is easy to see that $B(V, W)$ with the operator norm in fact is a normed space.

We observe that $|T x| \leq|T||x|$ for all $x \in V$, and that any $M>0$ satisfying $|T x| \leq M|x|$ for all $x \in V$ must also be $\geq|T|$.

Now, since the bounded operators form a vector space, we can consider sequences and series of bounded operators, and an important result is the following theorem.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Basic Properties

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Bounded Linear Operators

我们现在将回到线性算子的研究。让 $V$ 和 $W$ 是两个范数空间，让 $S$ 和 $T$ 是线性的，有界的，因此是连续的运算符 $V$ 进入 $W$. 很明显，对于 $\alpha, \beta \in C$ ，运营商 $\alpha S+\beta T$ 也是有界的（因为它是连续的），所以有界运算符来自 $V$ 进入 $W$ 形成一个向量空间。我们将表示这个空间 $B(V, W)$. 在特殊情况下 $V=W$ ，我们会写 $B(V)$ 代替 $B(V, V)$. 我们现在将装备 $B(V, W)$ 有一个范数，即所谓的算子范数。
定义 $3.3$ 让 $V$ 和 $W$ 是有范数的向量空间。为了 $T \in B(V, W)$ ，我们定义的范数 $T$ 经过
$$
|T|=\sup |T x||| x \mid \leq 1 .
$$
注意规范符号 $|\cdot|$ 用于三个不同空间的范数。很容易看出 $B(V, W)$ 与算子范数其实是一个范数空间。
我们观察到 $|T x| \leq|T||x|$ 对所有人 $x \in V$ ，并且任何 $M>0$ 令人满意的 $|T x| \leq M|x|$ 对所有人 $x \in V$ 也必须是 $\geq|T|$.
现在，由于有界算子形成了一个向量空间，我们可以考虑有界算子的序列和序列，一个重要的结果是下面的定理。

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