## 数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|Let t be a real number.

From $(\mathrm{a}), f(0)=0$ and $g(0)=1$. Thus, $(f(0))^2+(g(0))^2=1$ and so
\begin{aligned} 1=&(f(t+(-t)))^2+(g(t+(-t)))^2 \ =&(f(t) g(-t)+g(t) f(-t))^2+(g(t) g(-t)-f(t) f(-t))^2 \ =&(f(t))^2(g(-t))^2+2 f(t) g(-t) g(t) f(-t)+(g(t))^2(f(-t))^2 \ & \quad+(g(t))^2(g(-t))^2-2 g(t) g(-t) f(t) f(-t)+(f(t))^2(f(-t))^2 \ =&(f(t))^2(g(-t))^2+2 f(t) f(-t) g(t) g(-t)+(g(t))^2(f(-t))^2 \ & \quad \quad+(g(t))^2(g(-t))^2-2 f(t) f(-t) g(t) g(-t)+(f(t))^2(f(-t))^2 \ =&(f(t))^2(g(-t))^2+(g(t))^2(g(-t))^2+(f(t))^2(f(-t))^2+(g(t))^2(f(-t))^2 \ =&(g(-t))^2\left((f(t))^2+(g(t))^2\right)+(f(-t))^2\left((f(t))^2+(g(t))^2\right) \ =&\left((f(t))^2+(g(t))^2\right)\left((f(-t))^2+(g(-t))^2\right) \ =& h(t) h(-t) \end{aligned}
Since $h(t) h(-t)=1$ for every real number $t$, setting $t=5$ gives $h(5) h(-5)=1$, as required.
Solution 2
Let $t$ be a real number. Then
\begin{aligned} h(t) h(-t) &=\left((f(t))^2+(g(t))^2\right)\left((f(-t))^2+(g(-t))^2\right) \ &=(f(t))^2(f(-t))^2+(f(t))^2(g(-t))^2+(g(t))^2(f(-t))^2+(g(t))^2(g(-t))^2 \end{aligned}
Since $f(0)=0$, then $f(t+(-t))=0$ which gives
$$0=f(t) g(-t)+g(t) f(-t)$$
and so $f(t) g(-t)=-g(t) f(-t)$
Since $g(0)=1$, then $g(t+(-t))=1$ which gives $g(t) g(-t)-f(t) f(-t)=1$.
Squaring both sides, we obtain
\begin{aligned} 1 &=(g(t) g(-t)-f(t) f(-t))^2 \ &=(g(t))^2(g(-t))^2-2 g(t) g(-t) f(t) f(-t)+(f(t))^2(f(-t))^2 \ &=(f(t))^2(f(-t))^2-f(t) g(-t) g(t) f(-t)-f(t) g(-t) g(t) f(-t)+(g(t))^2(g(-t))^2 \ &=(f(t))^2(f(-t))^2-f(t) g(-t)(-f(t) g(-t))-(-g(t) f(-t)) g(t) f(-t)+(g(t))^2(g(-t))^2 \ & \quad(\text { using } f(t) g(-t)=-g(t) f(-t) \text { twice }) \ &=(f(t))^2(f(-t))^2+(f(t))^2(g(-t))^2+(g(t))^2(f(-t))^2+(g(t))^2(g(-t))^2 \ &=h(t) h(-t) \end{aligned}
from above. Note that this is true for every real number $t$.
Setting $a=5$, we obtain $h(5) h(-5)=1$, as required.

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(c) From (b), setting $t=2021$, we obtain $h(2021) h(-2021)=1$.
We will show that $h(2021)=1$.
Since $h(2021) h(-2021)=1$, then $h(2021) \neq 0$ and $h(-2021) \neq 0$.
Suppose that $h(2021) \neq 1$.
Since $h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2$, then $h(x) \geq 0$ for all real numbers $x$.
Also, since $-10 \leq f(x) \leq 10$ and $-10 \leq g(x) \leq 10$ for all real numbers $x$, then
$$h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2 \leq 10^2+10^2=200$$
for all real numbers $x$.
Since $h(2021) \neq 1$ and $h(2021) \neq 0$, then either $h(2021)>1$ and $01$ and $01$ or $h(-2021)>1$.
If $h(2021)>1$, let $b=2021$ and $c=h(2021)$.
If $h(-2021)>1$, let $b=-2021$ and $c=h(-2021)$.
Since $c>1$, then $c^m$ grows without bound as $m$ increases.
In particular, $c^m>200$ when $m>\log _c 200$.
From above, $h\left(2^n b\right)=c^{2^n}$ for every positive integer $n$.
Therefore, when $2^n>\log _c 200$, we have $h\left(2^n b\right)>200$, which is not possible since we saw above that $h(x) \leq 200$ for all real numbers $x$.
This is a contradiction, which means that the assumption that $h(2021) \neq 1$ cannot be true, and so $h(2021)=1$. (In fact, modifying the argument above shows that $h(x)=1$ for all real numbers $x$.)

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$$1=(f(t+(-t)))^2+(g(t+(-t)))^2=(f(t) g(-t)+g(t) f(-t))^2+(g(t) g(-t)-f(t) f(-t))^2$$

$$h(t) h(-t)=\left((f(t))^2+(g(t))^2\right)\left((f(-t))^2+(g(-t))^2\right) \quad=(f(t))^2(f(-t))^2+(f(t))^2(g(-t))^2$$

$$0=f(t) g(-t)+g(t) f(-t)$$

$$1=(g(t) g(-t)-f(t) f(-t))^2=(g(t))^2(g(-t))^2-2 g(t) g(-t) f(t) f(-t)+(f(t))^2(f(-t))^2=$$

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(c) 从 (b) 开始，设置 $t=2021$ ，我们获得 $h(2021) h(-2021)=1$.

$$h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2 \leq 10^2+10^2=200$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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1. Let the side length of the square base $A B C D$ be $2 a$ and the height of the pyramid (that is, the distance of $P$ above the base) be $2 h$.
Let $F$ be the point of intersection of the diagonals $A C$ and $B D$ of the base. By symmetry, $P$ is directly above $F$; that is, $P F$ is perpendicular to the plane of square $A B C D$.
Note that $A B=B C=C D=D A=2 a$ and $P F=2 h$. We want to determine the value of $2 a$.
Let $G$ be the midpoint of $F C$.
Join $P$ to $F$ and $M$ to $G$.
Consider $\triangle P C F$ and $\triangle M C G$.
Since $M$ is the midpoint of $P C$, then $M C=\frac{1}{2} P C$.
Since $G$ is the midpoint of $F C$, then $G C=\frac{1}{2} F C$.
Since $\triangle P C F$ and $\triangle M C G$ share an angle at $C$ and the two pairs of corresponding sides adjacent to this angle are in the same ratio, then $\triangle P C F$ is similar to $\triangle M C G$.
Since $P F$ is perpendicular to $F C$, then $M G$ is perpendicular to $G C$.
Also, $M G=\frac{1}{2} P F=h$ since the side lengths of $\triangle M C G$ are half those of $\triangle P C F$.
The volume of the square-based pyramid $P A B C D$ equals $\frac{1}{3}\left(A B^2\right)(P F)=\frac{1}{3}(2 a)^2(2 h)=\frac{8}{3} a^2 h$. Triangular-based pyramid $M B C D$ can be viewed as having right-angled $\triangle B C D$ as its base and $M G$ as its height.
Thus, its volume equals $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D\right)(M G)=\frac{1}{6}(2 a)^2 h=\frac{2}{3} a^2 h$.
Therefore, the volume of solid PABMD, in terms of $a$ and $h$, equals $\frac{8}{3} a^2 h-\frac{2}{3} a^2 h=2 a^2 h$.
Since the volume of $P A B M D$ is 288 , then $2 a^2 h=288$ or $a^2 h=144$.
We have not yet used the information that $\angle B M D=90^{\circ}$.
Since $\angle B M D=90^{\circ}$, then $\triangle B M D$ is right-angled at $M$ and so $B D^2=B M^2+M D^2$.
By symmetry, $B M=M D$ and so $B D^2=2 B M^2$.
Since $\triangle B C D$ is right-angled at $C$, then $B D^2=B C^2+C D^2=2(2 a)^2=8 a^2$.
Since $\triangle B G M$ is right-angled at $G$, then $B M^2=B G^2+M G^2=B G^2+h^2$.
Since $\triangle B F G$ is right-angled at $F$ (the diagonals of square $A B C D$ are equal and perpendicular), then
$B G^2=B F^2+F G^2=\left(\frac{1}{2} B D\right)^2+\left(\frac{1}{4} A C\right)^2=\frac{1}{4} B D^2+\frac{1}{16} A C^2=\frac{1}{4} B D^2+\frac{1}{16} B D^2=\frac{5}{16} B D^2=\frac{5}{2} a^2$
Since $2 B M^2=B D^2$, then $2\left(B G^2+h^2\right)=8 a^2$ which gives $\frac{5}{2} a^2+h^2=4 a^2$ or $h^2=\frac{3}{2} a^2$ or $a^2=\frac{2}{3} h^2$.
Since $a^2 h=144$, then $\frac{2}{3} h^2 \cdot h=144$ or $h^3=216$ which gives $h=6$.
From $a^2 h=144$, we obtain $6 a^2=144$ or $a^2=24$.
Since $a>0$, then $a=2 \sqrt{6}$ and so $A B=2 a=4 \sqrt{6}$.

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1. (a) The expression $x^2-4$ is a difference of squares which can be factored as
$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$
(b) Using (a) with $x=98$, we obtain $98^2-4=(98+2)(98-2)=100 \cdot 96$ and so $k=96$. Alternatively, $98^2-4=9604-4=9600=100 \cdot 96$ which gives $k=96$.
(c) If $(20-n)(20+n)=391$, then $20^2-n^2=391$.
This gives $400-n^2=391$ from which we obtain $n^2=9$ and so $n=\pm 3$.
Since $n$ is positive, then $n=3$.
We can verify that $17 \cdot 23=391$.
(d) We note that $3999991=4000000-9=2000^2-3^2=(2000+3)(2000-3)=2003 \cdot 1997$. Since we have written 3999991 as the product of two positive integers that are each greater than 1, we can conclude that 3999991 is not a prime number.
2. (a) Consider a Leistra sequence with $a_1=216$.
In the sequence, $a_2$ must be an even integer of the form $a_2=\frac{a_1}{d}=\frac{216}{d}$ where $d$ is an integer between 10 and 50 , inclusive.
Since $216=6^3=2^3 \times 3^3$, the positive divisors of 216 are
$$1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,108,216$$
From this list, the divisors of 216 that are between 10 and 50 are $12,18,24,27,36$.
The quotients when 216 is divided by these integers are $18,12,9,8,6$, respectively.
Since $a_2$ is even, then we can have $a_2=18$ (with $d=12$ ) or $a_2=12$ (with $d=18$ ) or $a_2=8$ (with $d=27$ ) or $a_2=6$ (with $d=36$ ).
If $a_2=18$, there is no possible $a_3$ since the only divisor of $a_2=18$ that is greater than 10 is 18 and this would give $a_3=1$ which is not even.
If $a_2=12$, there is no possible $a_3$ since the only divisor of $a_2=12$ that is greater than 10 is 12 and this would give $a_3=1$ which is not even.
If $a_2=8$ or $a_2=6$, there is no divisor larger than 10 .
This means that no Leistra sequence starting with $a_1=216$ can have more than two terms.
Therefore, there are four Leistra sequences with $a_1=216$, namely 216,18 and 216,12 and 216,8 and 216,6 .

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1. 设正方形底边的边长 $A B C D$ 是 $2 a$ 和金字塔的高度（即 $P$ 高于基础）是 $2 h$.
让 $F$ 成为对角线的交点 $A C$ 和 $B D$ 的基地。通过对称， $P$ 就在上面 $F$; 那是， $P F$ 垂直于正方形平面 $A B C D$.
注意 $A B=B C=C D=D A=2 a$ 和 $P F=2 h$. 我们要确定的值 $2 a$.
让 $G$ 成为中点 $F C$.
加入 $P$ 至 $F$ 和 $M$ 至 $G$.
考虑 $\triangle P C F$ 和 $\triangle M C G$.
自从 $M$ 是中点 $P C ＼mathrm{~ ， 然 后 ~} M C=\frac{1}{2} P C$.
自从 $G$ 是中点 $F C ，$ 然后 $G C=\frac{1}{2} F C$.
自从 $\triangle P C F$ 和 $\triangle M C G$ 分享一个角度 $C$ 且与该角相邻的两对对应边的比例相同，则 $\triangle P C F$ 类似于 $\triangle M C G$.
自从 $P F$ 垂直于 $F C$ ，然后 $M G$ 垂直于 $G C$.
还， $M G=\frac{1}{2} P F=h$ 因为边长 $\triangle M C G$ 是那些的一半 $\triangle P C F$.
基于正方形的金字塔的体积 $P A B C D$ 等于 $\frac{1}{3}\left(A B^2\right)(P F)=\frac{1}{3}(2 a)^2(2 h)=\frac{8}{3} a^2 h$. 基于三角形的金 字塔 $M B C D$ 可以看成是直角 $\triangle B C D$ 作为其基础和 $M G$ 作为它的高度。
因此，它的体积等于 $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D\right)(M G)=\frac{1}{6}(2 a)^2 h=\frac{2}{3} a^2 h$.
因此，固体 PABMD 的体积，在 $a$ 和 $h$ ，等于 $\frac{8}{3} a^2 h-\frac{2}{3} a^2 h=2 a^2 h$.
由于体积 $P A B M D$ 是 288，那么 $2 a^2 h=288$ 或者 $a^2 h=144$.
我们尚末使用的信息 $\angle B M D=90^{\circ}$.
自从 $\angle B M D=90^{\circ}$ ，然后 $\triangle B M D$ 是直角的 $M$ 所以 $B D^2=B M^2+M D^2$.
通过对称， $B M=M D$ 所以 $B D^2=2 B M^2$.
自从 $\triangle B C D$ 是直角的 $C$ ，然后 $B D^2=B C^2+C D^2=2(2 a)^2=8 a^2$.
自从 $\triangle B G M$ 是直角的 $G$ ，然后 $B M^2=B G^2+M G^2=B G^2+h^2$.
自从 $\triangle B F G$ 是直角的 $F$ (正方形的对角线 $A B C D$ 相等且垂直)，那么
$B G^2=B F^2+F G^2=\left(\frac{1}{2} B D\right)^2+\left(\frac{1}{4} A C\right)^2=\frac{1}{4} B D^2+\frac{1}{16} A C^2=\frac{1}{4} B D^2+\frac{1}{16} B D^2=\frac{5}{16} B D^2$
自从 $2 B M^2=B D^2$ ，然后 $2\left(B G^2+h^2\right)=8 a^2$ 这使 $\frac{5}{2} a^2+h^2=4 a^2$ 或者 $h^2=\frac{3}{2} a^2$ 或者 $a^2=\frac{2}{3} h^2$.
自从 $a^2 h=144$ ，然后 $\frac{2}{3} h^2 \cdot h=144$ 或者 $h^3=216$ 这使 $h=6$.
$从 a^2 h=144$ ，我们获得 $6 a^2=144$ 或者 $a^2=24$.
自从 $a>0$ ，然后 $a=2 \sqrt{6}$ 所以 $A B=2 a=4 \sqrt{6}$.

## 数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2021 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

1. (a) 表达式X2−4是平方差，可以分解为
X2−4=(X+2)(X−2)
(b) 将 (a) 与X=98， 我们获得982−4=(98+2)(98−2)=100⋅96所以ķ=96. 或者，982−4=9604−4=9600=100⋅96这使ķ=96.
(c) 如果(20−n)(20+n)=391， 然后202−n2=391.
这给400−n2=391我们从中获得n2=9所以n=±3.
自从n为正，则n=3.
我们可以验证17⋅23=391.
(d) 我们注意到3999991=4000000−9=20002−32=(2000+3)(2000−3)=2003⋅1997. 由于我们将 3999991 写为两个均大于 1 的正整数的乘积，因此我们可以得出结论，3999991 不是质数。
2. (a) 考虑一个 Leistra 序列一个1=216.
在序列中，一个2必须是形式的偶数一个2=一个1d=216d在哪里d是 10 和 50 之间的整数，包括 10 和 50 。
自从216=63=23×33, 216 的正除数是
1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,108,216
从这个列表中，216 的除数在 10 到 50 之间是12,18,24,27,36.
216 除以这些整数的商是18,12,9,8,6， 分别。
自从一个2是偶数，那么我们可以有一个2=18（和d=12） 或者一个2=12（和d=18） 或者一个2=8（和d=27） 或者一个2=6（和d=36）。
如果一个2=18, 不可能一个3因为唯一的除数一个2=18大于 10 是 18，这将给出一个3=1这不是均匀的。
如果一个2=12, 不可能一个3因为唯一的除数一个2=12大于 10 是 12，这将给出一个3=1这不是均匀的。
如果一个2=8或者一个2=6, 没有大于 10 的除数。
这意味着没有 Leistra 序列以一个1=216可以有两个以上的术语。
因此，有四个 Leistra 序列一个1=216，即 216,18 和 216,12 和 216,8 和 216,6 。

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1. If the row of 11 squares is built from left to right, the first square requires 4 toothpicks and each subsequent square requires 3 additional toothpicks. These 3 toothpicks form the top edge, the right edge and the bottom edge. The left edge is formed by the right edge of the previous square.
Therefore, 11 squares require $4+10 \cdot 3=34$ toothpicks.
2. Using the definition of $\nabla$,
\begin{aligned} 5 \nabla x &=30 \ (5+1)(x-2) &=30 \ 6(x-2) &=30 \ x-2 &=5 \end{aligned}
and so $x=7$.
ANSWER: $x=7$
3. The slope of $P R$ is $\frac{2-0}{1-0}=2$.
Therefore, the line that is parallel to $P R$ has the form $y=2 x+b$.
The midpoint of $Q R$ has coordinates $\left(\frac{4+1}{2}, \frac{0+2}{2}\right)$ which is the point $\left(\frac{5}{2}, 1\right)$.
Since the line with equation $y=2 x+b$ passes through the point with coordinates $\left(\frac{5}{2}, 1\right)$, then $1=2 \cdot \frac{5}{2}+b$, which gives $1=5+b$ and so $b=-4$.
4. Throughout this solution, we convert the statements about probability to fractions of the populations in question.
Since 2000 people are asked about side effects and $\frac{3}{25}$ of these people have severe side effects, then the number of people with severe side effects is $\frac{3}{25} \cdot 2000=240$.
Since 240 have severe side effects and $\frac{2}{3}$ of them were given Medicine $A$, then the number of people who were given Medicine A that have severe side effects is $\frac{2}{3} \cdot 240=160$.
This means that the number of people who were given Medicine B and have severe side effects is $240-160=80$.Since 1000 people were given Medicine A and $\frac{19}{100}$ have severe or mild side effects, then the number of people who were given Medicine A that have severe or mild side effects is 190 . This means that the number of people who were given Medicine A that have mild side effects is $190-160=30$.

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Let $a=\log _2 x$ and $b=\log _x 2$
Then $2^a=x$ and $x^b=2$, which gives $2^{a b}=\left(2^a\right)^b=x^b=2$.
Since $2^{a b}=2$, then $a b=1$.
As in Solution 1.
\begin{aligned} \log _2\left(x^2\right) &=2 \log _2 x=2 a \ \log _2\left(x^3\right) &=3 \log _2 x=3 a \ 2 \log _x 8 &=6 \log _x 2=6 b \ 20 \log _x(32) &=100 \log _x 2=100 b \end{aligned}
Starting with the original equation, we thus obtain the following equivalent equations:
\begin{aligned} \log _2\left(x^2\right)+2 \log _x 8 &=\frac{392}{\log _2\left(x^3\right)+20 \log _x(32)} \ 2 a+6 b &=\frac{392}{3 a+100 b} \ (2 a+6 b)(3 a+100 b) &=392 \ (a+3 b)(3 a+100 b) &=196 \ 3 a^2+109 a b+300 b^2 &=196 \ 3 a^2+60 a b+300 b^2 &=196-49 a b \ 3 a^2+60 a b+300 b^2 &=147 \quad(\text { since } a b=1) \ a^2+20 a b+100 b^2 &=49 \ (a+10 b)^2 &=7^2 \end{aligned}
and so $a+10 b=7$ or $a+10 b=-7$.
Since $a b=1$, then $b=\frac{1}{a}$ and so $a+\frac{10}{a}=7$ or $a+\frac{10}{a}=-7$.
These equations give $a^2+10=7 a$ (or equivalently $a^2-7 a+10=0$ ) and $a^2+10=-7 a$ (or equivalently $\left.a^2+7 a+10=0\right)$
Factoring, we obtain $(a-2)(a-5)=0$ or $(a+2)(a+5)=0$ and so $a=2,5,-2,-5$.
Since $a=\log _2 x$, then $x=2^{-5}=\frac{1}{32}$ or $x=2^5=32$ or $x=2^{-2}=\frac{1}{4}$ or $x=2^2=4$.
We can check by substitution that each of these values of $x$ is indeed a solution to the original equation.

## 数学竞赛代写|滑铁卢数学竞赛代写Waterloo Math Contest代考|2021 Canadian Senior Mathematics Contest Solutions

1. 如果从左到右构建 11 个方格的行，则第一个方格需要 4 根牙签，随后的每个方格都需要 3 根额外的牙 签。这 3 根牙签形成上缘、右缘和下缘。左边缘由前一个正方形的右边缘形成。 因此，需要 11 个方格 $4+10 \cdot 3=34$ 牙签。
答案: 34
2. 使用定义 $\nabla$ ，
$$5 \nabla x=30(5+1)(x-2) \quad=306(x-2)=30 x-2=5$$
所以 $x=7$.
回答: $x=7$
3. 的斜率 $P R$ 是 $\frac{2-0}{1-0}=2$.
因此，平行于 $P R$ 有形式 $y=2 x+b$.
的中点 $Q R$ 有坐标 $\left(\frac{4+1}{2}, \frac{0+2}{2}\right)$ 这是重点 $\left(\frac{5}{2}, 1\right)$.
由于方程的线 $y=2 x+b$ 通过坐标点 $\left(\frac{5}{2}, 1\right)$ ，然后 $1=2 \cdot \frac{5}{2}+b$ ，这使 $1=5+b$ 所以 $b=-4$.
4. 在整个解决方案中，我们将有关概率的陈述转换为所讨论的总体的分数。
自从 2000 人被问及副作用和 $\frac{3}{25}$ 这些人中有严重的副作用，那么有严重副作用的人数是 $\frac{3}{25} \cdot 2000=240$
由于 240 有严重的副作用和 $\frac{2}{3}$ 其中有药物 $A$ ，那么服用药物 $\mathrm{A}$ 且副作用严重的人数为 $\frac{2}{3} \cdot 240=160$.
这意味着服用药物 $B$ 并产生严重副作用的人数是 $240-160=80$. 自从 1000 人获得了药物 $A$ 和 $\frac{19}{100}$ 有
严重或轻微的副作用，那么服用药物 $\mathrm{A}$ 的有严重或轻微副作用的人数是 190 。这意味着服用药物 $\mathrm{A}$ 且副作 用轻微的人数是 $190-160=30$.

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$$\log _2\left(x^2\right)=2 \log _2 x=2 a \log _2\left(x^3\right) \quad=3 \log _2 x=3 a 2 \log _x 8=6 \log _x 2=6 b 20 \log _x(32)$$

$$\log _2\left(x^2\right)+2 \log _x 8=\frac{392}{\log _2\left(x^3\right)+20 \log _x(32)} 2 a+6 b \quad=\frac{392}{3 a+100 b}(2 a+6 b)(3 a+100 b)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。