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时间序列Time Series可以取任何随时间变化的变量。在投资中，通常使用时间序列来跟踪一段时间内证券的价格。这可以在短期内跟踪，例如在一个工作日内某一小时的证券价格，或在长期内跟踪，例如在五年内每个月最后一天收盘的证券价格。

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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|S-650

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Autocorrelation Function

The trouble with covariances is that they generally depend on the units with which $Y_t$ is measured. We can easily get around this problem by working correlations, which are just scaled versions of covariances. We have:
Definition 31 The correlation between $Y_t$ and $Y_{t-k}$ is:
$$
\operatorname{Corr}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]=\frac{\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]}{\operatorname{Var}\left[Y_t\right]^{\frac{1}{2}} \operatorname{Var}\left[Y_{t-k}\right]^{\frac{1}{2}}} .
$$
Using stationarity we can simplify this considerably. Since
$$
\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]=\gamma(k)
$$
and by stationarity
$$
\operatorname{Var}\left[Y_t\right]^{\frac{1}{2}}=\operatorname{Var}\left[Y_{t-k}\right]^{\frac{1}{2}}=\gamma(0)^{\frac{1}{2}}
$$
we have:
$$
\operatorname{Corr}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}
$$
With this in mind we can define the autocorrelation function
$$
\rho(k)=\operatorname{Corr}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]
$$
as follows:
Definition 32 Autocorrelation Function: The autocorrelation function $\rho(k)$ is defined as:
$$
\rho(k)=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}
$$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Autocorrelation Function of an AR(1) Process

We have :
Theorem 39 The autocorrelation function of a stationary AR(1) process is:
$$
\rho(k)=\phi^{|k|} .
$$
Proof. From Theorem 30 it follows that
$$
\begin{aligned}
\rho(k) & =\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} \
& =\frac{\phi^{|k|} \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}}{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}} \
& =\phi^{|k|} .
\end{aligned}
$$

We plot $\rho(k)$ an $\operatorname{AR}(1)$ with $\phi=0.7$ below: ${ }^2$
$$
\rho(k) \text { when } \phi=0.7
$$
Since $|\phi|<1$ it follows that the autocorrelation function, like the autocovariance function, has the short-memory property so that $\rho(k)=O\left(\tau^k\right)$ as given in Section 2.2 with $A=1$ and $\tau=|\phi|$.

时间序列分析代考

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Autocorrelation Function

协方差的问题在于它们通常依赖于测量$Y_t$的单位。我们可以很容易地通过工作相关来解决这个问题，它只是协方差的缩放版本。我们有:
定义31 $Y_t$与$Y_{t-k}$的相关性为:
$$
\operatorname{Corr}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]=\frac{\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]}{\operatorname{Var}\left[Y_t\right]^{\frac{1}{2}} \operatorname{Var}\left[Y_{t-k}\right]^{\frac{1}{2}}} .
$$
使用平稳性我们可以大大简化它。自从
$$
\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]=\gamma(k)
$$
通过平稳性
$$
\operatorname{Var}\left[Y_t\right]^{\frac{1}{2}}=\operatorname{Var}\left[Y_{t-k}\right]^{\frac{1}{2}}=\gamma(0)^{\frac{1}{2}}
$$
我们有:
$$
\operatorname{Corr}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}
$$
考虑到这一点，我们可以定义自相关函数
$$
\rho(k)=\operatorname{Corr}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]
$$
具体如下:
定义32自相关函数:自相关函数$\rho(k)$定义为:
$$
\rho(k)=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}
$$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Autocorrelation Function of an AR(1) Process

我们有:
平稳AR(1)过程的自相关函数为:
$$
\rho(k)=\phi^{|k|} .
$$
证明。从定理30可以得出
$$
\begin{aligned}
\rho(k) & =\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} \
& =\frac{\phi^{|k|} \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}}{\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}} \
& =\phi^{|k|} .
\end{aligned}
$$

我们在下面用$\phi=0.7$绘制$\rho(k)$和$\operatorname{AR}(1)$: ${ }^2$
$$
\rho(k) \text { when } \phi=0.7
$$
由于$|\phi|<1$，因此自相关函数，像自协方差函数一样，具有短记忆特性，因此，$\rho(k)=O\left(\tau^k\right)$如2.2节中给出的$A=1$和$\tau=|\phi|$。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|STK9060

Posted on 2023年8月30日2023年8月30日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Autocovariance Function

An important implication of stationarity is that the covariance between the business cycle in say the first and third quarters of say 1999 is the same as the covariance between the business cycle the first and third quarters of say 1963 . In general covariances only depend on the number of periods separating $Y_t$ and $Y_s$ so that:

Theorem 20 If $Y_t$ is stationary then $\operatorname{Cov}\left[Y_{t_1}, Y_{t_2}\right]$ depends only on $k=t_1-t_2$; that is the number of periods separating $t_1$ and $t_2$.

Since we will often be focusing on covariances, and since $\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]$ only depends on $k$, let us define this as a function of $k$ as: $\gamma(k)$, which we will refer to as the autocovariance function so that:

Definition 21 Autocovariance Function: Let $Y_t$ be a stationary time series with $E\left[Y_t\right]=0$. The autocovariance function for $Y_t$, denoted as $\gamma(k)$, is defined for $k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \pm \infty$ as:
$$
\gamma(k) \equiv E\left[Y_t Y_{t-k}\right]=\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right] .
$$
We have the following results for the autocovariance function:
Theorem $22 \gamma(0)=\operatorname{Var}\left[Y_t\right]>0$
Theorem $23 \gamma(k)=E\left[Y_t Y_{t-k}\right]=E\left[Y_s Y_{s-k}\right]$ for any $t$ and $s$.
Theorem $24 \gamma(-k)=\gamma(k)(\gamma(k)$ is an even function $)$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The AR(1) Model

For the AR(1) model we have already shown that:
$$
\gamma(0)=\operatorname{Var}\left[Y_t\right]=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}
$$
and that for $k>0$ :
$$
\begin{aligned}
\gamma(k) & =\phi^k \gamma(0) \
& =\phi^k \frac{\sigma^2}{1-\phi^2} .
\end{aligned}
$$
We can make this formula correct for all $k$ by appealing to Theorem 24 and replacing $k$ with $|k|$ to obtain:

Theorem 30 For an $A R(1)$ process the autocovariance function is given by:
$$
\gamma(k)=\frac{\phi^{|k|} \sigma^2}{1-\phi^2} .
$$

时间序列分析代考

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Autocovariance Function

平稳性的一个重要含义是1999年第一季度和第三季度商业周期之间的协方差与1963年第一季度和第三季度商业周期之间的协方差是相同的。一般来说，协方差只取决于$Y_t$和$Y_s$之间的周期数，因此:

定理20如果$Y_t$是平稳的，那么$\operatorname{Cov}\left[Y_{t_1}, Y_{t_2}\right]$只依赖于$k=t_1-t_2$;这是分隔$t_1$和$t_2$的周期数。

由于我们将经常关注协方差，并且由于$\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right]$只依赖于$k$，让我们将其定义为$k$的函数:$\gamma(k)$，我们将其称为自协方差函数，以便:

定义21自协方差函数:设$Y_t$为平稳时间序列，$E\left[Y_t\right]=0$。将$Y_t$的自协方差函数记为$\gamma(k)$，将$k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \pm \infty$定义为:
$$
\gamma(k) \equiv E\left[Y_t Y_{t-k}\right]=\operatorname{Cov}\left[Y_t, Y_{t-k}\right] .
$$
对于自协方差函数，我们得到如下结果:
定理$22 \gamma(0)=\operatorname{Var}\left[Y_t\right]>0$
定理$23 \gamma(k)=E\left[Y_t Y_{t-k}\right]=E\left[Y_s Y_{s-k}\right]$适用于任何$t$和$s$。
定理$24 \gamma(-k)=\gamma(k)(\gamma(k)$是偶函数 $)$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The AR(1) Model

对于AR(1)模型，我们已经表明:
$$
\gamma(0)=\operatorname{Var}\left[Y_t\right]=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}
$$
对于$k>0$:
$$
\begin{aligned}
\gamma(k) & =\phi^k \gamma(0) \
& =\phi^k \frac{\sigma^2}{1-\phi^2} .
\end{aligned}
$$
我们可以利用定理24，将$k$替换为$|k|$，从而使这个公式适用于所有$k$:

定理30对于$A R(1)$过程，自协方差函数为:
$$
\gamma(k)=\frac{\phi^{|k|} \sigma^2}{1-\phi^2} .
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|MGSC575

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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Short-Memory Property

Many of the models that we will be considering will have the property that they quickly forget or quickly become independent of what occurs either in the distant future or the distant past. This forgetting occurs at an exponential rate which represents a very rapid type of decay.

For example if you have a pie in the fridge and you eat one-half of the pie each day, you will quickly have almost no pie. After only ten days you would have:
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}
$$
or about one-thousandth of a pie; maybe a couple of crumbs.
We will see that for stationary $\operatorname{ARMA}(\mathrm{p}, \mathrm{q})$ processes, the infinite moving average weights: $\psi_k$, the autocorrelation function $\rho(k)$ and the forecast function $E_t\left[Y_{t+k}\right]$, all functions of the number of periods $k$, all have the short-memory property which we now define:

Definition 12 Short-Memory: Let $P_k$ for $k=0,1,2, \ldots \infty$ be some numerical property of a stationary time series which depends on $k$, the number of periods. We say $P_k$ displays a short-memory or $P_k=O\left(\tau^k\right)$ if
$$
\left|P_k\right| \leq A \tau^k
$$
where $A \geq 0$ and $0<\tau<1$.

If $P_k=O\left(\tau^k\right)$ or if $P_k$ has a short-memory then $P_k$ decays rapidly in the same, manner that is at least as fast as $\tau^k$ decays to zero as $k \rightarrow \infty$. For example if:
$$
P_k=10 \cos (2 k)\left(-\frac{1}{2}\right)^k
$$
then $P_k$ decays rapidly in a manner which is bounded by exponential decay since $|\cos (2 k)| \leq 1$ and so we have:
$$
\left|P_k\right| \leq 10\left(\frac{1}{2}\right)^k=A \tau^k
$$
where $\tau=\frac{1}{2}$ and $A=10$. This is illustrated in the plot below:
$$
P_k=10 \cos (2 k)\left(-\frac{1}{2}\right)^k
$$
Not everything decays so rapidly. For example if we reverse the $\frac{1}{2}$ and the $k$ in $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ we obtain:
$$
Q_k=\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}=k^{-\frac{1}{2}} .
$$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The AR(1) Model

The simplest interesting model for $Y_t$ is a first-order autoregressive process or $\mathrm{AR}(1)$ which can be written as:
$$
Y_t=\phi Y_{t-1}+a_t, a_t \sim \text { i.i.n }\left(0, \sigma^2\right),
$$
where i.i.n. $\left(0, \sigma^2\right)$ means that $a_t$ is independently and identically distributed (i.i.d.) with a normal distribution with mean 0 and variance $\sigma^2$ so that the density of $a_t$ is:
$$
p\left(a_t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2} a_t^2} .
$$
We can attempt to calculate $E\left[Y_t\right]$ by taking expectations of both sides of (2.6) to obtain:
$$
\begin{aligned}
E\left[Y_t\right] & =\phi E\left[Y_{t-1}\right]+E\left[a_t\right] \
& =\phi E\left[Y_{t-1}\right]
\end{aligned}
$$
since $E\left[a_t\right]=0$. We now need to find $E\left[Y_{t-1}\right]$. We could try the same approach with $E\left[Y_{t-1}\right]$ since $Y_{t-1}=\phi Y_{t-2}+a_{t-1}$ from which we would conclude that: $E\left[Y_{t-1}\right]=\phi E\left[Y_{t-2}\right]$ so that:
$$
E\left[Y_t\right]=\phi^2 E\left[Y_{t-2}\right] ;
$$
but now we now need to find $E\left[Y_{t-2}\right]$. Clearly this process will never end.
If, however, we assume stationarity then it is possible to break this infinite regress since by the definition of stationarity in Definition 7:
$$
E\left[Y_t\right]=E\left[Y_{t-1}\right] .
$$
It then follows from (2.8) that:
$$
E\left[Y_t\right]=\phi E\left[Y_t\right]
$$
or
$$
(1-\phi) E\left[Y_t\right]=0 .
$$

时间序列分析代考

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The Short-Memory Property

我们将要考虑的许多模型都具有这样的特性，即它们很快就会忘记或很快就会独立于遥远的将来或遥远的过去发生的事情。这种遗忘以指数速度发生，这代表了一种非常快速的衰退。

例如，如果你在冰箱里有一个派，你每天吃一半的派，你很快就没有派了。仅仅十天之后，你就会:
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}
$$
或者是馅饼的千分之一;可能会有一些面包屑。
我们将看到，对于平稳$\operatorname{ARMA}(\mathrm{p}, \mathrm{q})$过程，无限移动平均权重:$\psi_k$，自相关函数$\rho(k)$和预测函数$E_t\left[Y_{t+k}\right]$，所有周期数的函数$k$，都具有我们现在定义的短记忆属性:

定义12短时记忆:设$k=0,1,2, \ldots \infty$中的$P_k$是一个平稳时间序列的一些数值性质，它取决于$k$的周期数。我们说$P_k$显示短记忆或$P_k=O\left(\tau^k\right)$ if
$$
\left|P_k\right| \leq A \tau^k
$$
其中$A \geq 0$和$0<\tau<1$。

如果$P_k=O\left(\tau^k\right)$或$P_k$有短记忆，那么$P_k$以同样的方式快速衰减，至少与$\tau^k$衰减到零的速度一样快$k \rightarrow \infty$。例如:
$$
P_k=10 \cos (2 k)\left(-\frac{1}{2}\right)^k
$$
然后$P_k$以指数衰减的方式快速衰减，从$|\cos (2 k)| \leq 1$开始，所以我们有:
$$
\left|P_k\right| \leq 10\left(\frac{1}{2}\right)^k=A \tau^k
$$
其中$\tau=\frac{1}{2}$和$A=10$。下面的图表说明了这一点:
$$
P_k=10 \cos (2 k)\left(-\frac{1}{2}\right)^k
$$
并不是所有东西都衰得这么快。例如，如果我们将$\left(\frac{1}{2}\right)^k$中的$\frac{1}{2}$和$k$颠倒过来，我们得到:
$$
Q_k=\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}=k^{-\frac{1}{2}} .
$$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|The AR(1) Model

最简单有趣的$Y_t$模型是一阶自回归过程或$\mathrm{AR}(1)$，可以写成:
$$
Y_t=\phi Y_{t-1}+a_t, a_t \sim \text { i.i.n }\left(0, \sigma^2\right),
$$
式中I.I.N. $\left(0, \sigma^2\right)$表示$a_t$为独立同分布(i.i.d)，为均值为0，方差为$\sigma^2$的正态分布，则$a_t$的密度为:
$$
p\left(a_t\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2} a_t^2} .
$$
我们可以尝试通过对式(2.6)两边的期望值来计算$E\left[Y_t\right]$，得到:
$$
\begin{aligned}
E\left[Y_t\right] & =\phi E\left[Y_{t-1}\right]+E\left[a_t\right] \
& =\phi E\left[Y_{t-1}\right]
\end{aligned}
$$
自从$E\left[a_t\right]=0$。我们现在需要找到$E\left[Y_{t-1}\right]$。我们可以尝试同样的方法与$E\left[Y_{t-1}\right]$，因为$Y_{t-1}=\phi Y_{t-2}+a_{t-1}$，从中我们可以得出结论:$E\left[Y_{t-1}\right]=\phi E\left[Y_{t-2}\right]$，因此:
$$
E\left[Y_t\right]=\phi^2 E\left[Y_{t-2}\right] ;
$$
现在我们需要找到$E\left[Y_{t-2}\right]$。显然，这个过程永远不会结束。
然而，如果我们假设平稳性，那么就有可能打破这种无限回归，因为根据定义7中的平稳性定义:
$$
E\left[Y_t\right]=E\left[Y_{t-1}\right] .
$$
由式(2.8)可知:
$$
E\left[Y_t\right]=\phi E\left[Y_t\right]
$$
或
$$
(1-\phi) E\left[Y_t\right]=0 .
$$

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|IE2084

Posted on 2023年8月29日2023年8月29日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写随机过程Stochastic Porcesses 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。随机过程Stochastic Porcesses是指一个系统在特定的时间有观测值，结果，即每次的观测值是一个随机变量。

随机过程Stochastic Porcesses在是由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与集合中的一个元素唯一地相关联。索引集是用来索引随机变量的集合。索引集传统上是实数的子集，例如自然数，这为索引集提供了时间解释。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Probability distribution

It may be seen that the probability distribution of $X_r, X_{r+1}, \ldots, X_{r+n}$ can be computed in terms of the transition probabilities $p_{j k}$ and the initial distribution of $X_r$. Suppose, for simplicity, that $r=0$, then
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_0\right. & \left.=a, X_1=b, \ldots, X_{n-2}=i, X_{n-1}=j, X_n=k\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j, \cdots, X_0=a\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j, \cdots, X_0=a\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j \mid X_{n-2}=i\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-2}=i, \cdots, X_0=a\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j \mid X_{n-2}=i\right} \cdots \operatorname{Pr}\left{X_1=b \mid X_0=a\right} \operatorname{Pr}\left{X_0=a\right} \
& =\left{\operatorname{Pr}\left(X_0=a\right)\right} p_{a b} \cdots p_{i j} p_{j k} .
\end{aligned}
$$
Thus,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_r\right. & \left.=a, X_{r+1}=b, \ldots, X_{r+n-2}=i, X_{r+n-1}=j, X_{r+n}=k\right} \
& =\left{\operatorname{Pr}\left(X_r=a\right)\right} p_{a b} \ldots p_{i j} p_{j k} .
\end{aligned}
$$
Example 1(g). Let $\left{X_n, n \geq 0\right}$ be a Markov chain with three states $0,1,2$ and with transition matrix
$$
\left(\begin{array}{ccc}
3 / 4 & 1 / 4 & 0 \
1 / 4 & 1 / 2 & 1 / 4 \
0 & 3 / 4 & 1 / 4
\end{array}\right)
$$
and the initial distribution $\operatorname{Pr}\left{X_0=i\right}=\frac{1}{3}, i=0,1,2$.
We have
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{X_1=1 \mid X_0=2\right}=\frac{3}{4} \
& \operatorname{Pr}\left{X_2=2 \mid X_1=1\right}=\frac{1}{4} \
& \operatorname{Pr}\left{X_2=2, X_1=1 \mid X_0=2\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_2=2 \mid X_1=1\right} \operatorname{Pr}\left{X_1=1 \mid X_0=2\right}=\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}
\end{aligned}
$$

\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_2\right. & \left.=2, X_1=1, X_0=2\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_2=2, X_1=1 \mid X_0=2\right} \operatorname{Pr}\left{X_0=2\right}=\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{16} \
\operatorname{Pr}\left{X_3\right. & \left.=1, X_2=2, X_1=1, X_0=2\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_3=1 \mid X_2=2, X_1=1, X_0=2\right} \times \operatorname{Pr}\left{X_2=2, X_1=1, X_0=2\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_3=1 \mid X_2=2\right}\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{16}=\frac{3}{64} .
\end{aligned}

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Strong Markov property

Stopping time for a sequence of r.v.’s $\left{X_n\right}$ is a random variable (see Sec. 6.4.1).
Let $N$ be a stopping time for a Markov chain $\left{X_n, n>0\right}$ and let $A$ and $B$ to two events (relating to $X_n$ and happening) prior and posterior respectively to $N$. Then
$$
\operatorname{Pr}\left{B \mid X_N=i, A\right}=\operatorname{Pr}\left{B \mid X_N=i\right} .
$$
This is called the strong Markov property. It shows that if $N$ is a stopping time for a Markov chain $\left{X_n, n>0\right}$, then the evolution of the chain starts afresh from the state reached at time $N$.

Strong Markov property is implied by the Markov property; both the properties are equivalent when $N$ is constant (a degenerate r.v.).
Every discrete time Markov chain $\left{X_n, n \geq 0\right}$ possesses the strong Markov property.

Definition. A Markov chain $\left{X_n\right}$ is said to be of order $s(s=1,2,3, \ldots)$, if, for all $n$,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_n\right. & \left.=k \mid X_{n-1}=j, X_{n-2}=j_1, \ldots, X_{n-s}=j_{s-1}, \ldots\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j, \ldots, X_{n-s}=j_{s-1}\right} .
\end{aligned}
$$
whenever the 1.h.s. is defined.
A Markov chain $\left{X_n\right}$ is said to be of order one (or simply a Markov chain) if
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_n\right. & \left.=k \mid X_{n-1}=j, X_{n-2}=j_1, \ldots\right}=\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j\right} \
& =p_{j k} .
\end{aligned}
$$
whenever $\operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j, X_{n-2}=j_1, \ldots\right}>0$.
Unless explicitly stated otherwise, we shall mean by Markov chain, a chain of order one, to which we shall mostly confine ourselves here. A chain is said to be of order zero if $p_{j k}=p_k$ for all $j$. This implies independence of $X_n$ and $X_{n-1}$. For example, for the Bernoulli coin tossing experiment, the t.p.m. is $\left(\begin{array}{ll}q & p \ q & p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \ 1\end{array}\right)(q, p)=\mathbf{e}(q, p)$.
Denote the state that a day is rainy by 1 and that a day is not rainy by 0 .
Let (1.5) hold for $s=2$ and let
$p_{i j k}=\operatorname{Pr}{$ actual day is in state $k \mid$ the preceding day was in state $j$, the day before the preceding was in state $i}, i, j, k=0,1$.
We then have a Markov chain of order two. Note that the matrix $\left(p_{i j k}\right)$ is not a stochastic matrix. It is a $(4 \times 2)$ matrix and not a square matrix.
Let (1.5) hold for $s=1$ and let
$p_{j k}=\operatorname{Pr}{$ actual day is in state $k \mid$ preceding day was in state $j}$. We then have a Markov chain (i.e. a chain of order one) with t.p.m. $\left(p_{j k}\right), j, k=0,1$.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Probability distribution

可以看出，$X_r, X_{r+1}, \ldots, X_{r+n}$的概率分布可以用过渡概率$p_{j k}$和$X_r$的初始分布来计算。为简单起见，假设是$r=0$
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_0\right. & \left.=a, X_1=b, \ldots, X_{n-2}=i, X_{n-1}=j, X_n=k\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j, \cdots, X_0=a\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j, \cdots, X_0=a\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j \mid X_{n-2}=i\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-2}=i, \cdots, X_0=a\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j \mid X_{n-2}=i\right} \cdots \operatorname{Pr}\left{X_1=b \mid X_0=a\right} \operatorname{Pr}\left{X_0=a\right} \
& =\left{\operatorname{Pr}\left(X_0=a\right)\right} p_{a b} \cdots p_{i j} p_{j k} .
\end{aligned}
$$
因此，
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_r\right. & \left.=a, X_{r+1}=b, \ldots, X_{r+n-2}=i, X_{r+n-1}=j, X_{r+n}=k\right} \
& =\left{\operatorname{Pr}\left(X_r=a\right)\right} p_{a b} \ldots p_{i j} p_{j k} .
\end{aligned}
$$
例1(g)。设$\left{X_n, n \geq 0\right}$为具有三态$0,1,2$和转移矩阵的马尔可夫链
$$
\left(\begin{array}{ccc}
3 / 4 & 1 / 4 & 0 \
1 / 4 & 1 / 2 & 1 / 4 \
0 & 3 / 4 & 1 / 4
\end{array}\right)
$$
初始分布$\operatorname{Pr}\left{X_0=i\right}=\frac{1}{3}, i=0,1,2$。
我们有
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{X_1=1 \mid X_0=2\right}=\frac{3}{4} \
& \operatorname{Pr}\left{X_2=2 \mid X_1=1\right}=\frac{1}{4} \
& \operatorname{Pr}\left{X_2=2, X_1=1 \mid X_0=2\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_2=2 \mid X_1=1\right} \operatorname{Pr}\left{X_1=1 \mid X_0=2\right}=\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}
\end{aligned}
$$

\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_2\right. & \left.=2, X_1=1, X_0=2\right} \＆ =\operatorname{Pr}\left{X_2=2, X_1=1 \mid X_0=2\right} \operatorname{Pr}\left{X_0=2\right}＝\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{3}＝\frac{1}{16} \operatorname{Pr}\left{X_3\right. & \left.=1, X_2=2, X_1=1, X_0=2\right} \＆ =\operatorname{Pr}\left{X_3=1 \mid X_2=2, X_1=1, X_0=2\right} \times \operatorname{Pr}\left{X_2=2, X_1=1, X_0=2\right} \＆ =\operatorname{Pr}\left{X_3=1 \mid X_2=2\right}\left（\frac{1}{16}\right）=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{16}＝\frac{3}{64} ．
\end{aligned}

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Strong Markov property

rv序列的停止时间。的$\left{X_n\right}$是一个随机变量(见第6.4.1节)。
设$N$为马尔可夫链$\left{X_n, n>0\right}$的停止时间，并设$A$和$B$分别表示两个事件(与$X_n$和正在发生的事件有关)在$N$之前和之后。然后
$$
\operatorname{Pr}\left{B \mid X_N=i, A\right}=\operatorname{Pr}\left{B \mid X_N=i\right} .
$$
这被称为强马尔可夫性质。它表明，如果$N$是马尔可夫链$\left{X_n, n>0\right}$的停止时间，则该链的进化从时间$N$所达到的状态重新开始。

强马尔可夫性质由马尔可夫性质隐含;当$N$为常数时，这两个属性是等价的(简并的r.v.)。
每一个离散时间马尔可夫链$\left{X_n, n \geq 0\right}$都具有强马尔可夫性。

定义。一个马尔可夫链$\left{X_n\right}$的阶为$s(s=1,2,3, \ldots)$，如果对于所有$n$，
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_n\right. & \left.=k \mid X_{n-1}=j, X_{n-2}=j_1, \ldots, X_{n-s}=j_{s-1}, \ldots\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j, \ldots, X_{n-s}=j_{s-1}\right} .
\end{aligned}
$$
每当1。h。s。已定义。
一个马尔可夫链$\left{X_n\right}$被认为是一阶(或简单的马尔可夫链)，如果
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{X_n\right. & \left.=k \mid X_{n-1}=j, X_{n-2}=j_1, \ldots\right}=\operatorname{Pr}\left{X_n=k \mid X_{n-1}=j\right} \
& =p_{j k} .
\end{aligned}
$$
每当$\operatorname{Pr}\left{X_{n-1}=j, X_{n-2}=j_1, \ldots\right}>0$。
除非另有明确说明，我们所说的马尔可夫链是指一阶的链，我们在这里主要限于此。如果$p_{j k}=p_k$对于所有的$j$链都是0阶。这意味着$X_n$和$X_{n-1}$的独立性。例如，在伯努利抛硬币实验中，t.p.m.是$\left(\begin{array}{ll}q & p \ q & p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \ 1\end{array}\right)(q, p)=\mathbf{e}(q, p)$。
表示某天下雨的状态为1，某天不下雨的状态为0。
Let (1.5) hold for $s=2$, Let
$p_{i j k}=\operatorname{Pr}{$实际日期为状态$k \mid$前一天为状态$j$，前一天为状态$i}, i, j, k=0,1$。
然后我们有一个二阶马尔可夫链。注意，矩阵$\left(p_{i j k}\right)$不是一个随机矩阵。它是一个$(4 \times 2)$矩阵而不是一个方阵。
Let (1.5) hold for $s=1$, Let
$p_{j k}=\operatorname{Pr}{$实际日期为$k \mid$前一天为$j}$。然后我们有一个带有t.p.m. $\left(p_{j k}\right), j, k=0,1$的马尔可夫链(即一阶链)。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考请认准statistics-lab™

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

回归分析代写

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R语言代写	问卷设计与分析代写
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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT433

Posted on 2023年8月29日2023年8月29日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|DEFINITION AND EXAMPLES

Consider a simple coin tossing experiment repeated for a number of times. The possible outcomes at each trial are two: head with probability, say, $p$ and tail with probability $q, p+q=1$. Let us denote head by 1 and tail by 0 and the random variable denoting the result of the $n$th toss by $X_n$. Then for $n=1,2$, $3, \ldots$,
$$
\operatorname{Pr}\left(X_n=1\right)=p, \operatorname{Pr}\left{X_n=0\right}=q .
$$
Thus we have a sequence of random variables $X_1, X_2, \ldots$. The trials are independent and the result of the $n$th trial does not depend in any way on the previous trials numbered $1,2, \ldots,(n-1)$. The random variables are independent.

Consider now the random variable given by the partial sum $S_n=X_1+\cdots+X_n$. The sum $S_n$ gives the accumulated number of heads in the first $n$ trials and its possible values are $0,1, \ldots, n$.

We have $S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. Given that $S_n=j(j=0,1, \ldots, n)$, the r.v. $S_{n+1}$ can assume only two possible values: $S_{n+1}=j$ with probability $q$ and $S_{n+1}=j+1$ with probability $p$; these probabilities are not at all affected by the values of the variables $S_1, \ldots, S_{n-1}$. Thus
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{S_{n+1}=j+1 \mid S_n=j\right}=p \
& \operatorname{Pr}\left{S_{n+1}=j \mid S_n=j\right}=q .
\end{aligned}
$$
We have here an example of a Markov* chain, a case of simple dependence that the outcome of $(n+1)$ st trial depends directly on that of $n$th trial and only on it. The conditional probability of $S_{n+1}$ given $S_n$ depends on the value of $S_n$ and the manner in which the value of $S_n$ was reached is of no consequence.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Transition Matrix (or Matrix of Transition Probabilities)

The transition probabilities $p_{j k}$ satisfy
$$
p_{j k} \geq 0, \quad \sum_k p_{j k}=1 \text { for all } j .
$$
These probabilities may be written in the matrix form
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
p_{11} & p_{12} & p_{13} & \cdots \
p_{21} & p_{22} & p_{23} & \cdots \
\cdots & \cdots & \ldots & \ldots \
\cdots & \ldots & \ldots & \ldots
\end{array}\right)
$$
This is called the transition probability matrix or matrix of transition probabilities (t.p.m.) of the Markov chain. $P$ is a stochastic matrix i.e. a square matrix with non-negative elements and unit row sums.

Example 1(b). A particle performs a random walk with absorbing barriers, say, as 0 and 4 . Whenever it is at any position $r(0<r<4)$, it moves to $r+1$ with probability $P$ or to $(r-1)$ with probability $q$, $p+q=1$. But as soon as it reaches 0 or 4 it remains there itself. Let $X_n$ be the position of the particle after $n$ moves. The different states of $X_n$ are the different positions of the particle. $\left{X_n\right}$ is a Markov chain whose unit-step transition probabilities are given by
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Pr}\left{X_n=r+1 \mid X_{n-1}=r\right}=p & \
\operatorname{Pr}\left{X_n=r-1 \mid X_{n-1}=r\right}=q & 0<r<4
\end{array}
$$
and
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{X_n=0 \mid X_{n-1}=0\right}=1, \
& \operatorname{Pr}\left{X_n=4 \mid X_{n-1}=4\right}=1 .
\end{aligned}
$$

The transition matrix is given by
$$
\left.\begin{array}{ccccccc}
\text { States of } X_{n-1} & \multicolumn{7}{c}{\text { States of } X_n} \
& & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \
& 1 & & 0 & 0 & 0 & 0 \
& 2 & 0 & p & 0 & 0 \
& 3 \
& 4 & q & 0 & p & 0 \
0 & 0 & q & 0 & p \
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|DEFINITION AND EXAMPLES

考虑一个重复多次的简单抛硬币实验。每次试验都有两种可能的结果:有概率的正面，比如， $p$ 尾部是概率 $q, p+q=1$．让我们用1表示头，用0表示尾随机变量表示的结果 $n$扔过去 $X_n$．然后是 $n=1,2$， $3, \ldots$，
$$
\operatorname{Pr}\left(X_n=1\right)=p, \operatorname{Pr}\left{X_n=0\right}=q .
$$
这样我们就得到了一个随机变量序列 $X_1, X_2, \ldots$．试验是独立的，结果是 $n$该试验不以任何方式依赖于先前试验的编号 $1,2, \ldots,(n-1)$．随机变量是独立的。

现在考虑部分和$S_n=X_1+\cdots+X_n$给出的随机变量。和$S_n$给出了在第一次$n$次试验中累积的正面数，它的可能值是$0,1, \ldots, n$。

我们有$S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$。给定$S_n=j(j=0,1, \ldots, n)$, rv $S_{n+1}$只能假设两个可能的值:$S_{n+1}=j$的概率为$q$, $S_{n+1}=j+1$的概率为$p$;这些概率完全不受$S_1, \ldots, S_{n-1}$变量值的影响。因此
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{S_{n+1}=j+1 \mid S_n=j\right}=p \
& \operatorname{Pr}\left{S_{n+1}=j \mid S_n=j\right}=q .
\end{aligned}
$$
我们这里有一个马尔可夫链的例子，这是一个简单依赖的例子，即$(n+1)$第一次试验的结果直接依赖于$n$第二次试验的结果，而且只依赖于它。给定$S_n$的$S_{n+1}$的条件概率取决于$S_n$的值，而达到$S_n$值的方式无关紧要。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Transition Matrix (or Matrix of Transition Probabilities)

跃迁概率$p_{j k}$满足
$$
p_{j k} \geq 0, \quad \sum_k p_{j k}=1 \text { for all } j .
$$
这些概率可以写成矩阵形式
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
p_{11} & p_{12} & p_{13} & \cdots \
p_{21} & p_{22} & p_{23} & \cdots \
\cdots & \cdots & \ldots & \ldots \
\cdots & \ldots & \ldots & \ldots
\end{array}\right)
$$
这被称为马尔可夫链的转移概率矩阵或转移概率矩阵。$P$是一个随机矩阵，即具有非负元素和单位行和的方阵。

例1(b)。粒子进行随机游走，有吸收障碍，比如0和4。当它在任何位置$r(0<r<4)$时，它以$P$的概率移动到$r+1$，或以$q$, $p+q=1$的概率移动到$(r-1)$。但一旦它达到0或4，它就会保持在那里。设$X_n$为$n$移动后粒子的位置。$X_n$的不同状态是粒子的不同位置。$\left{X_n\right}$是一个马尔可夫链，其单位阶跃转移概率由式给出
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Pr}\left{X_n=r+1 \mid X_{n-1}=r\right}=p & \
\operatorname{Pr}\left{X_n=r-1 \mid X_{n-1}=r\right}=q & 0<r<4
\end{array}
$$
和
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr}\left{X_n=0 \mid X_{n-1}=0\right}=1, \
& \operatorname{Pr}\left{X_n=4 \mid X_{n-1}=4\right}=1 .
\end{aligned}
$$

转移矩阵由
$$
\left.\begin{array}{ccccccc}
\text { States of } X_{n-1} & \multicolumn{7}{c}{\text { States of } X_n} \
& & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \
& 1 & & 0 & 0 & 0 & 0 \
& 2 & 0 & p & 0 & 0 \
& 3 \
& 4 & q & 0 & p & 0 \
0 & 0 & q & 0 & p \
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|BISSP2023

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Specification of Stochastic Processes

The set of possible values of a single random variable $X_n$ of a stochastic process $\left{X_n, n \geq 1\right}$ is known as its state space. The state space is discrete if it contains a finite or a denumerable infinity of points; otherwise, it is continuous. For example, if $X_n$ is the total number of sixes appearing in the first $n$ throws of a die, the set of possible values of $X_n$ is the finite set of non-negative integers $0,1, \ldots, n$. Here, the state space of $X_n$ is discrete. We can write $X_n=Y_1+\cdots+Y_n$, where $Y_i$ is a discrete r.v. denoting the outcome of the $i$ th throw and $Y_i=1$ or 0 according as the $i$ th throw shows six or not. Secondly, consider $X_n=Z_1$ $+\ldots+Z_n$, where $Z_i$ is a continuous r.v. assuming values in $[0, \infty]$. Here, the set of possible values of $X_n$ is the interval $[0, \infty]$, and so the state space of $X_n$ is continuous.

In the above two examples we assume that the parameter $n$ of $X_n$ is restricted to the non-negative integers $n=0,1,2, \ldots$ We consider the state of the system at distinct time points $n=0,1,2, \ldots$, only. Here the word time is used in a wide sense. We note that in the first case considered above the “time $n$ ” implies throw number $n$.

On the other hand, one can visualise a family of random variables $\left{X_v, t \in T\right}$ (or ${X(t), t \in T}$ ) such that the state of the system is characterized at every instant over a finite or infinite interval. The system is then defined for a continuous range of time and we say that we have a family of r.v. in continuous time. A stochastic process in continuous time may have either a discrete or a continuous state space. For example, suppose that $X(t)$ gives the number of incoming calls at a switchboard in an interval $(0, t)$. Here the state space of $X(t)$ is discrete though $X(t)$ is defined for a continuous range of time. We have a process in continuous time having a discrete state space. Suppose that $X(t)$ represents the maximum temperature at a particular place in $(0, t)$, then the set of possible values of $X(t)$ is continuous. Here we have a system in continuous time having a continuous state space.

So far we have assumed that the values assumed by the r.v. $X_n$ (or $\left.X(t)\right)$ are one-dimensional, but the process $\left{X_n\right}$ (or ${X(t)}$ ) may be multi-dimensional. Consider $X(t)=\left(X_1(t), X_2(t)\right.$ ), where $X_1$ represents the maximum and $X_2$ the minimum temperature at a place in an interval of time $(0, t)$. We have here a two-dimensional stochastic process in continuous time having continuous state space. One can similarly have multi-dimensional processes. One-dimensional processes can be classified, in general, into the following four types of processes:
(i) Discrete time, discrete state space
(ii) Discrete time, continuous state space
(iii) Continuous time, discrete state space
(iv) Continuous time, continuous state space.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with independent increments

If for all $t_1, \ldots, t_n, t_1s$, do not depend on the values of $X(u), u<s$, then the process is said to be a Markov process.
A definition of such a process is given below.
If, for, $t_1<t_2<\ldots<t_n<t$
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{a \leq X(t) \leq b \mid X\left(t_1\right)\right. & \left.=x_1, \ldots, X\left(t_n\right)=x_n\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{a \leq X(t) \leq b \mid X\left(t_n\right)=x_n\right}
\end{aligned}
$$
the process ${X(t), t \in T}$ is a Markov process.
A discrete parameter Markov process is known as a Markov chain.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Specification of Stochastic Processes

随机过程$\left{X_n, n \geq 1\right}$的单个随机变量$X_n$的可能值的集合称为其状态空间。如果状态空间包含有限或无限的点，则状态空间是离散的;否则为连续。例如，如果$X_n$是第一次$n$次掷骰子中出现的6的总数，那么$X_n$的可能值的集合就是非负整数$0,1, \ldots, n$的有限集合。这里，$X_n$的状态空间是离散的。我们可以写$X_n=Y_1+\cdots+Y_n$，其中$Y_i$是一个离散的rv，表示$i$次投掷的结果，根据$i$次投掷是否显示6，表示$Y_i=1$或0。其次，考虑$X_n=Z_1$$+\ldots+Z_n$，其中$Z_i$是一个连续的rv，假设$[0, \infty]$中的值。这里，$X_n$的可能值的集合是区间$[0, \infty]$，因此$X_n$的状态空间是连续的。

在上面的两个例子中，我们假设$X_n$的参数$n$被限制为非负整数$n=0,1,2, \ldots$，我们只考虑系统在不同时间点$n=0,1,2, \ldots$的状态。在这里，时间这个词是广义的。我们注意到，在上面考虑的第一种情况中，“时间$n$”意味着抛出数$n$。

另一方面，人们可以想象一组随机变量$\left{X_v, t \in T\right}$(或${X(t), t \in T}$)，这样系统的状态在有限或无限区间内的每个瞬间都是有特征的。然后在连续时间范围内定义系统我们说我们有一个连续时间的rv族。连续时间的随机过程可以具有离散状态空间，也可以具有连续状态空间。例如，假设$X(t)$给出了在一个间隔$(0, t)$内总机的入站呼叫数。这里$X(t)$的状态空间是离散的，尽管$X(t)$是在连续时间范围内定义的。我们有一个连续时间的过程有一个离散的状态空间。假设$X(t)$代表$(0, t)$某一特定地点的最高温度，那么$X(t)$的可能值集是连续的。这里我们有一个连续时间系统有一个连续状态空间。

到目前为止，我们已经假定rv $X_n$(或$\left.X(t)\right)$)所假定的值是一维的，但是过程$\left{X_n\right}$(或${X(t)}$)可能是多维的。考虑$X(t)=\left(X_1(t), X_2(t)\right.$)，其中$X_1$表示一段时间内某一地点的最高温度，$X_2$表示一段时间内某一地点的最低温度$(0, t)$。我们这里有一个连续时间的二维随机过程具有连续状态空间。一个人也可以有类似的多维过程。一维过程一般可分为以下四类过程:
(i)离散时间，离散状态空间
(ii)离散时间，连续状态空间
(iii)连续时间，离散状态空间
(iv)连续时间，连续状态空间。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Processes with independent increments

如果对于所有的$t_1, \ldots, t_n, t_1s$，不依赖于$X(u), u<s$的值，那么这个过程就是一个马尔可夫过程。
下面给出了这种过程的定义。
如果，for, $t_1<t_2<\ldots<t_n<t$
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left{a \leq X(t) \leq b \mid X\left(t_1\right)\right. & \left.=x_1, \ldots, X\left(t_n\right)=x_n\right} \
& =\operatorname{Pr}\left{a \leq X(t) \leq b \mid X\left(t_n\right)=x_n\right}
\end{aligned}
$$
这个过程${X(t), t \in T}$是一个马尔可夫过程。
离散参数马尔可夫过程称为马尔可夫链。

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