分类: 编码理论作业代写

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH 4107

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH 4107

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATIVE INVERSION

Let us now consider the problem of finding the multiplicative inverse of an element in the field of residue classes mod an irreducible binary polynomial $M(x)$ of degree $m$. Given the residue class containing $r(x)$, a polynomial of degree $<m$, we wish to find the polynomial $p(x)$ of degree $<m$ such that the product satisfies
$$
r(x) p(x) \equiv 1 \bmod M(x)
$$
or equivalently, $r(x) p(x)+M(x) q(x)=1$ for some polynomial $q(x)$. Since. $M(x)$ is irreducible, the ged of $M$ and $r$ is 1 . We may therefore apply the continued-fractions version of Euclid’s algorithm as described in Sec. 2.1. Starting with $r^{(-2)} \equiv M, r^{(-1)} \equiv r, p^{(-2)} \equiv 0, p^{(-1)} \equiv 1$, $q^{(-2)}=1, q^{(-1)}=0$, we use the division algorithm to find $a^{(k)}$ and $r^{(k)}$ such that
$$
r^{(k-2)}=a^{(k)} r^{(k-1)}+r^{(k)} \quad \operatorname{deg} r^{(k)}<\operatorname{deg} r^{(k-1)}
$$
We then set
$$
\begin{aligned}
&q^{(k)}=a^{(k)} q^{(k-1)}+q^{(k-2)} \
&p^{(k)}=a^{(k)} p^{(k-1)}+p^{(k-2)}
\end{aligned}
$$

The iteration is to be continued until $r^{(n)}=0$. The solution is then given by $q=q^{(n-1)}, p=p^{(n-1)}$ with $\operatorname{deg} q<\operatorname{deg} r, \operatorname{deg} p<\operatorname{deg} M=$ $m$. Since we wish to find only $p$ (and do not particularly care about $q$ ), we may dispense with the $q$ ‘s entirely.

Before designing the logical circuits, let us work an example. Suppose $r(x)=x^{4}+x+1$ and $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. One method of computing successive $a$ ‘s and $r$ ‘s and $p^{\prime}$ ‘s follows.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION

When considering the multiplication of residue classes mod $M(x)$, where $M(x)$ is an irreducible binary polynomial of degree $m$, it is helpful to introduce the symbol $\alpha$ to denote the residue class containing $x$. Then $\alpha^{2}$ represents the residue class containing $x^{2}$, and, in general, if $r(x)$ is any polynomial, then $r(\alpha)$ represents the residue class containing $r(x)$. Since $M(x) \equiv 0 \bmod M(x)$, we must have $M(\alpha)=0$. The element represented by the symbol $\alpha$ is therefore a root of the polynomial $M(x)$. Hence, we have an obvious isomorphism between the field containing the $2^{m}$ residue classes $\bmod M(x)$ and the field containing the binary field and all polynomials in $\alpha$, where $\alpha$ is a root of the irreducible binary polynomial $M(x)$.

Any element $Y$ in this field may be expressed uniquely as a polynomial of degree $<m$ in $\alpha, Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$, where the $Y_{i}$ are binary numbers. The element $Y$ may be conveniently stored in an $m$-bit register, whose components contain the binary numbers $Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION OF A REGISTER BY A WIRED CONSTANT

Let us first consider the multiplication of the field element in the $Y$ register by a constant field element $A$. We may assume that $A$ is represented by some binary polynomial in $\alpha$. Since $Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$, we have $Y A=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i}\left(A \alpha^{i}\right)$. Expressing $A \alpha^{i}$ as a polynomial of degree $<m$ in $\alpha$ gives $A \alpha^{i}=\sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j}$, so that
$$
\begin{aligned}
Y A &=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j} \
&=\sum_{j=0}^{m-1}\left(\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} A_{i, j}\right) \alpha^{j}
\end{aligned}
$$
Thus, multiplication of the field element $Y$ by the field element $A$ is equivalent to multiplication of the $m$-dimensional binary row vector $\mathbf{Y}=\left[Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}\right]$ by the $m \times m$ matrix whose components are $A_{i, j}$. The rows of this matrix represent the products $A \alpha^{m-1}, A \alpha^{m-2}$, $\cdots, A$.

For example, let $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. Suppose we wish to multiply the contents of the $Y$ register by the field element $A=\alpha^{3}+\alpha$. We first compute
$$
\begin{aligned}
A \alpha &=\alpha^{4}+\alpha^{2} \
A \alpha^{2} &=\alpha^{5}+\alpha^{3}=\alpha^{3}+\alpha^{2}+1 \
A \alpha^{3} &=\alpha^{4}+\alpha^{3}+\alpha \
A \alpha^{4} &=\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{2}=\alpha^{4}+1
\end{aligned}
$$
The multiplication $Z=Y A$ is equivalent to
$$
\left[Z_{4}, Z_{3}, Z_{2}, Z_{1}, Z_{0}\right]=\left[Y_{4}, Y_{3}, Y_{2}, Y_{1}, Y_{0}\right]\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$
This multiplication may readily be accomplished by the circuit of Fig. 2.11.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATIVE INVERSION

现在让我们考虑在一个不可约二元多项式的余数类域中找到一个元素的乘法逆的问题 $M(x)$ 学位 $m$. 给定剩余类包 含 $r(x)$ ,多项式 $<m$ ,我们希望找到多项式 $p(x)$ 学位 $<m$ 使产品满足
$$
r(x) p(x) \equiv 1 \bmod M(x)
$$
或等效地, $r(x) p(x)+M(x) q(x)=1$ 对于一些多项式 $q(x)$. 自从。 $M(x)$ 是不可约的, $M$ 和 $r$ 是 1 。因此, 我们可以应用欧几里得算法的连续分数版本,如第 2 节所述。2.1。从…开始
$r^{(-2)} \equiv M, r^{(-1)} \equiv r, p^{(-2)} \equiv 0, p^{(-1)} \equiv 1, q^{(-2)}=1, q^{(-1)}=0$ ,我们使用除法算法找到 $a^{(k)}$ 和 $r^{(k)}$ 这样
$$
r^{(k-2)}=a^{(k)} r^{(k-1)}+r^{(k)} \quad \operatorname{deg} r^{(k)}<\operatorname{deg} r^{(k-1)}
$$
然后我们设置
$$
q^{(k)}=a^{(k)} q^{(k-1)}+q^{(k-2)} \quad p^{(k)}=a^{(k)} p^{(k-1)}+p^{(k-2)}
$$
迭代将持续到 $r^{(n)}=0$. 然后由下式给出解决方案 $q=q^{(n-1)}, p=p^{(n-1)}$ 和 $\operatorname{deg} q<\operatorname{deg} r, \operatorname{deg} p<\operatorname{deg} M=m$. 因为我们只想找到 $p$ (也不是特别在意 $q$ )我们可以省略 $q$ 完全是。
在设计逻辑电路之前,让我们举个例子。认为 $r(x)=x^{4}+x+1$ 和 $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. 一种计算连续的方 法 $a^{\prime}$ 沙 $r^{\prime}$ 沙 $p^{\prime}$ 的跟随。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION

当考虑残基类 $\bmod$ 的乘法时 $M(x)$ ,在哪里 $M(x)$ 是一个不可约的二元多项式 $m$, 引符号很有帮助 $\alpha$ 表示残基 类包含 $x$. 然后 $\alpha^{2}$ 表示包含的残基类 $x^{2}$ ,并且,一般来说,如果 $r(x)$ 是任何多项式,那么 $r(\alpha)$ 表示包含的残基类 $r(x)$. 自从 $M(x) \equiv 0 \bmod M(x)$, 我们必须有 $M(\alpha)=0$. 符号表示的元素 $\alpha$ 因此是多项式的根 $M(x)$. 因此, 我们在包含 $2^{m}$ 残留类别 $\bmod M(x)$ 以及包含二进制字段和所有多项式的字段 $\alpha$ ,在哪里 $\alpha$ 是不可约二元多项式 的根 $M(x)$.
任何元素 $Y$ 在这个领域中,可以唯一地表示为一次多项式 $<m$ 在 $\alpha, Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$, 其中 $Y_{i}$ 是二进制数。元素 $Y$ 可以方便地存储在一个 $m$-位寄存器,其组件包含二进制数 $Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MULTIPLICATION OF A REGISTER BY A WIRED CONSTANT

让我们首先考虑字段元素的乘法 $Y$ 通过常量字段元素注册 $A$. 我们可以假设 $A$ 由一些二进制多项式表示 $\alpha$. 自从 $Y=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \alpha^{i}$ ,我们有 $Y A=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i}\left(A \alpha^{i}\right)$. 表达 $A \alpha^{i}$ 作为一次多项式 $<m$ 在 $\alpha$ 给 $A \alpha^{i}=\sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j}$ ,以便
$$
Y A=\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} \sum_{j=0}^{m-1} A_{i, j} \alpha^{j} \quad=\sum_{j=0}^{m-1}\left(\sum_{i=0}^{m-1} Y_{i} A_{i, j}\right) \alpha^{j}
$$
因此,字段元素的乘法 $Y$ 通过字段元素 $A$ 相当于乘以 $m$ 维二进制行向量 $\mathbf{Y}=\left[Y_{m-1}, Y_{m-2}, \ldots, Y_{0}\right]$ 由 $m \times m$ 矩 阵,其分量是 $A_{i, j}$. 该矩阵的行代表产品 $A \alpha^{m-1}, A \alpha^{m-2} , \cdots, A$.
例如,让 $M(x)=x^{5}+x^{2}+1$. 假设我们希望将 $Y$ 通过字段元素注册 $A=\alpha^{3}+\alpha$. 我们首先计算 $A \alpha=\alpha^{4}+\alpha^{2} A \alpha^{2} \quad=\alpha^{5}+\alpha^{3}=\alpha^{3}+\alpha^{2}+1 A \alpha^{3}=\alpha^{4}+\alpha^{3}+\alpha A \alpha^{4} \quad=\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{2}=$
乘法 $Z=Y A$ 相当于
这种乘法可以很容易地通过图 $2.11$ 的电路来完成。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MANIPULATIVE INTRODUCTION TO DOUBLE-ERROR-CORRECTING BCH CODES

We have seen that a linear code is characterized by its parity-check matrix $3 C$. We have also seen that the syndrome of the received sequence is the sum of the columns of $\mathcal{F C}$ corresponding to the error positions. Hence, a linear code is capable of correcting all single-error patterns iff all columns of $3 C$ are different and nonzero. If $\exists C$ has $m$ rows and can correct single errors, then $n \leq 2^{m}-1$. The Hamming codes achieve this bound.

Each digit of a Hamming code may be labeled by a nonzero binary $m$-luple, which is equal to the corresponding column of the $\mathfrak{B C}$ matrix. The $m$ syndrome digits then reveal directly the label of the error (if there is only one) or the binary vector sum of the labels (if there are several).

This labeling idea is so useful that we shall continue to assume that $n=2^{m}-1$
and that the columns of $\Im C$ have been labeled accordingly. Now suppose that we wish to correct all patterns of two or fewer errors. Obviously we need a greater redundancy; that is, $\mathcal{B C}$ must have more rows. Proceeding naĩvely, we suspect that we may need about twice as many parity checks to correct two errors as we need to correct one, so we shall try to find a parity-check matrix $\xi c$ with $2^{m}-1$ columns and $2 m$ rows.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|A CLOSER LOOK AT EUCLID’S ALGORITHM

In the previous section we indicated that the decoding of binary $\mathrm{BCH}$ codes requires arithmetic operations in the field of binary polynomials mod some irreducible binary polynomial $M(x)$. From both the theoretical and practical standpoints, Euclid’s algorithm plays a key role in this development.

From the theoretical standpoint, Euclid’s algorithm is used to prove that the factorization of polynomials into irreducible polynomials is unique (except for scalar multiples) over any field and that a polynomial of degree $d$ cannot have more than $d$ roots in any field. This fact is needed to prove that the error locator polynomial $\sigma(z)$ cannot have more roots than its degree. If it did, then the entire decoding procedure sketched in Sec. $1.4$ would be invalid, for several different pairs of error locations might conceivably be reciprocal roots of the same quadratic equation.

From the practical standpoint, Euclid’s algorithm is important because one of its modifications, the method of convergents of continued fractions, provides the basis for one of the most efficient methods for implementing division in finite fields. This method, apparently new, will be detailed in this section and the next.

Euclid’s algorithm is based on the observation that any divisor of $R$ and $r$ must also divide their sum and their difference. Furthermore, since any divisor of $r$ also divides any nonzero multiple of $r$, such as $a r$, then any divisor of $R$ and $r$ must also divide $R \pm a r$. Conversely, any divisor of $r$ and $R \pm a r$ must also divide $(R \pm a r) \mp a r=R$. Hence, if we let $(R, r)$ denote the greatest common divisor (hereafter called ged) of $R$ and $r$, then we have $(R, r)=(r, R \pm a r)$. Consequently, starting from an original pair of elements $R$ and $r$, we can find a new pair of elements which have the same ged. If the multiplier $a$ is judiciously chosen, the problem of finding the ged of the new pair of elements will be easier than the original problem.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LOGICAL CIRCUITRY

The three basic elements used in logical design are the AND gate, the OR gate, and the inverter, which are represented as shown in Fig. 2.01. The AND and OR gates may have several inputs, each of which carries a binary signal having either the value 0 or the value 1 . The output of the AND gate is zero unless all its inputs are ones, in which case the output of the AND gate is also one. The output of the OR gate is one unless all of its inputs are zero, in which case the output of the OR gate is also zero. The inverter, in contrast to the AND and OR gates, has only one input, and its output is the opposite of its input. If its input signal has value 0 , the output has value 1 ; if the input signal has value 1 , the output has value 0 .

In practice, circuits having the logical properties of these three elements may be constructed out of transistors, resistors, diodes, vacuum tubes, and/or other components. Depending on the detailed properties t Starred sections of this book may be skimmed or omitted on first reading.of these components, the overall design will be subject to certain restrictions, called design constraints. For example, there will be maximum numbers of inputs to AND and OR gates and a maximum number of elements through which signals can propagate successively without additional amplification. Typically, every inverter is equipped with an amplifier, but AND and OR gates are not. Design constraints then specify how many AND and/or OR gates may be successively encountered between inverters and in what orders. Since the design constraints depend heavily on the properties of the components, we shall not consider design constraints much further here. If some of our circuits do not satisfy particular design constraints, it may be necessary to insert additional amplifiers (or pairs of successive inverters) into the circuits at certain crucial points.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MANIPULATIVE INTRODUCTION TO DOUBLE-ERROR-CORRECTING BCH CODES

我们已经看到,线性码的特征在于其奇偶校验矩阵3C. 我们还看到,接收序列的校验子是FC对应的错误位置。因此,线性码能够纠正所有单错误模式,当且仅当当3C不同且非零。如果∃C有m行并且可以纠正单个错误,然后n≤2m−1. 汉明码达到了这个界限。

汉明码的每个数字都可以用非零二进制标记m-luple,等于对应的列BC矩阵。这m然后,综合症数字直接显示错误的标签(如果只有一个)或标签的二进制向量和(如果有几个)。

这个标签的想法非常有用,我们将继续假设n=2m−1
并且这些列ℑC已被相应地标记。现在假设我们希望纠正两个或更少错误的所有模式。显然我们需要更大的冗余;那是,BC必须有更多的行。天真地,我们怀疑我们可能需要大约两倍的奇偶校验来纠正两个错误,因为我们需要纠正一个错误,所以我们将尝试找到一个奇偶校验矩阵ξc和2m−1列和2m行。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|A CLOSER LOOK AT EUCLID’S ALGORITHM

在上一节中,我们指出二进制的解码BCH代码需要二进制多项式领域的算术运算 mod 一些不可约的二进制多项式M(x). 从理论和实践的角度来看,欧几里得算法在这一发展中发挥了关键作用。

从理论的角度来看,欧几里德算法被用来证明多项式分解为不可约多项式在任何域上都是唯一的(标量倍数除外),并且多项式的次数d不能超过d扎根于任何领域。需要这个事实来证明错误定位多项式σ(z)根不能超过它的度数。如果是这样,那么整个解码过程在第二节中概述。1.4将是无效的,因为几对不同的错误位置可能是同一二次方程的倒数根。

从实际的角度来看,欧几里得算法很重要,因为它的一种修改,即连分数的收敛方法,为在有限域中实现除法的最有效方法之一提供了基础。这种方法,显然是新的,将在本节和下一节中详细介绍。

欧几里得算法是基于观察到的任何除数R和r还必须除以它们的总和和它们的差。此外,由于任何除数r也除以任何非零倍数r, 如ar, 那么任何除数R和r也必须分R±ar. 反之,任何除数r和R±ar也必须分(R±ar)∓ar=R. 因此,如果我们让(R,r)表示最大公约数(以下称为 ged)R和r,那么我们有(R,r)=(r,R±ar). 因此,从一对原始元素开始R和r,我们可以找到一对具有相同 ged 的​​新元素。如果乘数a明智地选择,找到新元素对的 ged 问题将比原来的问题更容易。

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逻辑设计中使用的三个基本元素是与门、或门和反相器,如图 2.01 所示。AND 和 OR 门可以有多个输入,每个输入都携带一个二进制信号,其值为 0 或值为 1 。与门的输出为零,除非其所有输入均为 1,在这种情况下,与门的输出也为 1。或门的输出为 1,除非其所有输入都为零,在这种情况下,或门的输出也为零。与 AND 和 OR 门相比,反相器只有一个输入,其输出与其输入相反。如果其输入信号值为 0 ,则输出值为 1 ;如果输入信号的值为 1 ,则输出的值为 0 。

实际上,具有这三个元件的逻辑特性的电路可以由晶体管、电阻器、二极管、真空管和/或其他组件构成。根据详细的属性,本书中带星号的部分在初读时可能会略过或省略。对于这些组件,整体设计将受到某些限制,称为设计约束。例如,与门和或门将有最大数量的输入,以及信号可以通过其连续传播而无需额外放大的最大数量的元件。通常,每个逆变器都配备一个放大器,但与门和或门没有。设计约束然后指定在反相器之间可以连续遇到多少与和/或或门以及以什么顺序。由于设计约束在很大程度上取决于组件的属性,因此我们不会在此处进一步考虑设计约束。如果我们的某些电路不满足特定的设计约束,则可能需要在某些关键点将额外的放大器(或成对的连续反相器)插入电路中。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

如果你也在 怎样代写编码理论Coding theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写编码理论Coding theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写编码理论Coding theory代写方面经验极为丰富,各种代写编码理论Coding theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的编码理论Coding theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REPETITION CODES AND SINGLE-PARITY-CHECK CODES

Suppose that we wish to transmit a sequence of binary digits across a noisy channel. If we send a one, a one will probably be rcecivcd; if we send a zero, a zero will probably be received. Occasionally, however, the channel noise will cause a transmitted one to be mistakenly interpreted as a zero or a transmitted zero to be mistakenly interpreted as a one. Although we are unable to prevent the channel from causing such errors, we can reduce their undesirable effects with the use of coding. The basic idea is simple. We take a set of $k$ message digits which we wish to transmit, annex to them $r$ check digits, and transmit the entire block of $n=k+r$ channel digits. Assuming that the channcl noise changes sufficiently few of these $n$ transmitted channel digits, the $r$ check digits may provide the receiver with sufficient information to enable him to detect and correct the channel errors.

Given any particular sequence of $k$ message digits, the transmitter must have some rule for selecting the $r$ check digits. This is called the encoding problem. Any particular scquence of $n$ digits which the encoder might transmit is called a codeword. Although there are $2^{n}$ different binary sequences of length $n$, only $2^{k}$ of these sequences are codewords, because the $r$ check digits within any codeword are completely determined by the $k$ message digits. The set consisting of these $2^{k}$ codewords of length $n$ is called the code.

No matter which codeword is transmitted, any of the $2^{\text {n }}$ possible binary sequences of length $n$ may be received if the channel is sufficiently noisy. Given the $n$ received digits, the decoder must attempt to decide which of the $2^{k}$ possible codewords was transmitted.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LINEAR CODES

In a code containing several message digits and several check digits, each check digit must be some function of the message digits. In the simple case of single-parity-check codes, the single parity check was chosen to be the binary sum of all the message digits. If there are several parity checks, it is wise to set each check digit equal to the binary sum of some subset of the message digits. For example, we construct a binary code of block length $n=6$, having $k=3$ message digits and $r=3$ check digits. We shall label the three message digits $C_{1}, C_{2}$, and $C_{3}$ and the three check digits $C_{4}, C_{5}$, and $C_{6}$. We choose these check digits from the message digits according to the following rules:
$C_{4}=C_{1}+C_{2}$
$C_{5}=C_{1}+C_{3}$
$C_{6}=C_{2}+C_{3}$
or, in matrix notation,
$$
\left[\begin{array}{l}
C_{4} \
C_{5} \
C_{6}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
C_{1} \
C_{2} \
C_{3}
\end{array}\right]
$$
The full codcword coneists of the digits $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{8}, C_{6}$. Every codeword must satigfy the parity=eheck equations or, in matrix notation,
$$
\left[\begin{array}{llllll}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] \quad \mathbf{C}^{t}=\left[\begin{array}{l}
0 \
0 \
0
\end{array}\right]
$$

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|HAMMING CODES

At extremely low rates or extremely high rates, it is relatively easy to find good linear codes. In order to interpolate between these two extremes, we might adopt either of two approaches: (1) start with the low-rate codes and gradually increase $k$ by adding more and more codewords, attempting to maintain a large error-correction capability, or (2) start with good high=rate codes and gradually increase the error= correction capability, attempting to add only a few additional paritycheck constraints.

Historically, the second approach has proved more successful.
† All of the perfect singlc-error-correcting binary group codes were first discovered by Hamming. The Hamming code of length 7 was first published as an example in the paper by Shannon (1948). The generalization of this example was mentioned by Golay (1949) prior to the appearance of the paper by Hamming (1950). The Hamming codes had been anticipated by Fisher (1942) in a different context.

This is the approach we shall follow. We begin by constructing certain codes to correct single errors, the Hamming codes.

The syndrome of a linear code is related to the error pattern by the equation $\mathbf{s}^{t}=\tilde{F} E^{t}$. In general, the right side of this equation may be written as $E_{1}$ times the first column of the $F C$ matrix, plus $E_{2}$ times the second column of the $F C$ matrix, plus $E_{3}$ times the third column of the FC matrix, plus …. For example, if
$$
\mathbf{s}^{t}=\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E_{5}, E_{6}\right]^{t}
$$
then
$$
\left[\begin{array}{l}
s_{1} \
s_{2} \
s_{3}
\end{array}\right]=E_{1}\left[\begin{array}{l}
1 \
1 \
0
\end{array}\right]+E_{2}\left[\begin{array}{l}
1 \
0 \
1
\end{array}\right]+E_{3}\left[\begin{array}{l}
0 \
1 \
1
\end{array}\right]+E_{4}\left[\begin{array}{l}
1 \
0 \
0
\end{array}\right]+E_{5}\left[\begin{array}{l}
0 \
1 \
0
\end{array}\right]+E_{6}\left[\begin{array}{l}
0 \
0 \
1
\end{array}\right]
$$

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REPETITION CODES AND SINGLE-PARITY-CHECK CODES

假设我们希望通过嘈杂的信道传输二进制数字序列。如果我们发送一个,一个可能会被接收;如果我们发送一个零,可能会收到一个零。然而,有时,信道噪声会导致发送的 1 被错误地解释为 0 或发送的 0 被错误地解释为 1。虽然我们无法防止通道导致此类错误,但我们可以通过使用编码来减少它们的不良影响。基本思想很简单。我们采取一组ķ我们希望传输的消息数字,附在它们后面r检查数字,并传输整个块n=ķ+r频道数字。假设通道噪声变化足够少n传输的频道数字,r校验位可以为接收者提供足够的信息,使他能够检测和纠正信道错误。

给定任何特定的序列ķ消息数字,发射器必须有一些规则来选择r检查数字。这称为编码问题。任何特定的序列n编码器可能传输的数字称为码字。虽然有2n不同长度的二进制序列n, 只要2ķ这些序列是码字,因为r任何代码字中的校验位完全由ķ消息数字。由这些组成的集合2ķ长度码字n被称为代码。

无论传输哪个码字,任何2n 可能的二进制长度序列n如果信道足够嘈杂,则可能会被接收到。鉴于n接收到的数字,解码器必须尝试决定哪个2ķ可能的代码字被传输。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|LINEAR CODES

在包含多个消息位和多个校验位的代码中,每个校验位必须是消息位的某个函数。在单奇偶校验码的简单情况下,单奇偶校验被选择为所有消息数字的二进制和。如果有多个奇偶校验,明智的做法是将每个校验位设置为等于某个消息数字子集的二进制和。例如,我们构造一个块长度的二进制代码n=6, 有ķ=3消息数字和r=3检查数字。我们将标记三个消息数字C1,C2, 和C3和三个校验位C4,C5, 和C6. 我们根据以下规则从消息数字中选择这些校验数字:
C4=C1+C2
C5=C1+C3
C6=C2+C3
或者,在矩阵表示法中,

[C4 C5 C6]=[110 101 011][C1 C2 C3]
数字的完整密码字锥体C1,C2,C3,C4,C8,C6. 每个码字必须满足 parity=eheck 方程,或者,在矩阵表示法中,

[110100 101010 011001]C吨=[0 0 0]

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|HAMMING CODES

在极低或极高的速率下,找到好的线性码相对容易。为了在这两个极端之间进行插值,我们可以采用以下两种方法之一:(1)从低码率开始,逐渐增加ķ通过添加越来越多的码字,尝试保持较大的纠错能力,或 (2) 从良好的高速率代码开始并逐渐增加纠错能力,尝试仅添加一些额外的奇偶校验约束。

从历史上看,第二种方法被证明更为成功。
† 所有完美的单次纠错二进制群码都是由 Hamming 首次发现的。长度为 7 的汉明码首先在 Shannon (1948) 的论文中作为示例发表。在 Hamming (1950) 的论文出现之前,Golay (1949) 已经提到了这个例子的推广。Fisher (1942) 在不同的背景下已经预料到了汉明码。

这是我们将遵循的方法。我们首先构建某些代码来纠正单个错误,即汉明码。

线性码的伴随式与错误模式的关系如下式s吨=F~和吨. 一般来说,这个等式的右边可以写成和1乘以第一列FC矩阵加和2乘以第二列FC矩阵加和3乘以 FC 矩阵的第三列,加上……。例如,如果

s吨=[110100 101010 011001][和1,和2,和3,和4,和5,和6]吨
然后

[s1 s2 s3]=和1[1 1 0]+和2[1 0 1]+和3[0 1 1]+和4[1 0 0]+和5[0 1 0]+和6[0 0 1]

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Constructions of Codes with Prescribed Automorphisms

Huffman and Yorgov (see $[999,1928,1929]$ ) developed a method for constructing binary self-dual codes via an automorphism of odd prime order. Their method was extended by other authors for automorphisms of odd composite order and for automorphisms of order 2 $[272,281,616]$.

Huffman has also studied the properties of the linear codes over $\mathbb{F}{q}$, having an automorphism of prime order $p$ coprime with $q[1000]$. Further, he has continued with Hermitian and additive self-dual codes over $\mathbb{F}{4}[1001,1006]$, and with self-dual codes over rings $[1004,1007]$.
Let $\mathcal{C}$ be a binary self-dual code of length $n$ with an automorphism $\sigma$ of prime order $p \geq 3$ with exactly $c$ independent $p$-cycles and $f=n-c p$ fixed points in its decomposition. We may assume that
$$
\sigma=(1,2, \cdots, p)(p+1, p+2, \cdots, 2 p) \cdots((c-1) p+1,(c-1) p+2, \cdots, c p)
$$
and say that $\sigma$ is of type $p-(c, f)$. We present the main theorems about the structure of such a code. This structure has been used by many authors in order to construct optimal self-dual codes with different parameters.

Theorem 4.4.20 ([999]) Let $\mathcal{C}$ be a binary $[n, n / 2]$ code with automorphism $\sigma$ from (4.3). Let $\Omega_{1}={1,2, \ldots, p}, \ldots, \Omega_{c}={(c-1) p+1,(c-1) p+2, \ldots, c p}$ denote the cycles of $\sigma$, and let $\Omega_{c+1}={c p+1}, \ldots, \Omega_{c+f}={c p+f=n}$ be the fixed points of $\sigma$. Define
$$
\begin{aligned}
&F_{\sigma}(\mathcal{C})={\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \sigma(\mathbf{v})=\mathbf{v}} \
&E_{\sigma}(\mathcal{C})=\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathbf{w t}{\mathrm{H}}\left(\mathbf{v} \mid \Omega{i}\right) \equiv 0 \quad(\bmod 2), i=1,2, \ldots, c+f\right}
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{v}{\mid \Omega{i}}$ is the restriction of $\mathbf{v}$ on $\Omega_{i} .$ Then $\mathcal{C}=F_{\sigma}(\mathcal{C}) \oplus E_{\sigma}(\mathcal{C}), \operatorname{dim}\left(F_{\sigma}(\mathcal{C})\right)=\frac{c+f}{2}$, and $\operatorname{dim}\left(E_{\sigma}(\mathcal{C})\right)=\frac{c(p-1)}{2} .$

Theorem 4.4.21 ([1928]) Let $\mathcal{C}$ be a binary $[n, n / 2]$ code with automorphism $\sigma$ from (4.3).
Let $\pi: F_{\sigma}(\mathcal{C}) \rightarrow \mathbb{F}{2}^{c+f}$ be the projection map, where, for $\mathbf{v} \in F{\sigma}(\mathcal{C}),(\pi(\mathbf{v})){i}=v{j}$ for some $j \in \Omega_{i}, i=1,2, \ldots, c+f$. Let $\mathcal{E}$ (respectively $\mathcal{P}$ ) be the set of all even-weight vectors in $\mathbb{F}{2}^{p}$ (respectively even-weight polynomials in $\left.\mathbb{F}{2}[x] /\left\langle x^{p}-1\right\rangle\right)$. Define $\varphi^{\prime}: \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{P} b y$ $\varphi^{\prime}\left(v_{0} v_{1} \cdots v_{p-1}\right)=v_{0}+v_{1} x+\cdots+v_{p-1} x^{p-1} .$ Let $E_{\sigma}(\mathcal{C})^{}$ be $E_{\sigma}(\mathcal{C})$ punctured on all the fixed points of $\sigma$. Define $\varphi: E_{\sigma}(\mathcal{C})^{} \rightarrow \mathcal{P}^{c}$ by $\varphi(\mathbf{v})=\left(\varphi^{\prime}\left(\mathbf{v}{\mid \Omega{1}}\right), \varphi^{\prime}\left(\mathbf{v}{\mid \Omega{2}}\right), \ldots, \varphi^{\prime}\left(\mathbf{v} \mid \Omega_{c}\right)\right)$ for $\mathbf{v} \in E_{\sigma}(\mathcal{C})^{} \subseteq \mathcal{E}^{c}$. Then $\mathcal{C}$ is self-dual if and only if the following two conditions hold: (a) $\mathcal{C}{\pi}=\pi\left(F{\sigma}(\mathcal{C})\right)$ is a binary self-dual code of length $c+f$, and
(b) for every two vectors $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathcal{C}{\varphi}=\varphi\left(E{\sigma}(\mathcal{C})^{}\right)$, we have $\sum_{i=1}^{c} u_{i}(x) v_{i}\left(x^{-1}\right)=0$ where $u_{i}(x)=\varphi^{\prime}\left(\mathbf{u}{\mid \Omega{i}}\right)$ and $v_{i}(x)=\varphi^{\prime}\left(\mathbf{v}{\mid \Omega{i}}\right)$ for $i=1,2, \ldots, c .$

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Enumeration and Classification

Remark 4.5.1 The main tool to classify self-dual codes is based on the so-called mass formula which gives the possibility of checking whether the classification is correct. The number of the self-dual binary codes of even length $n$ is $N(n)=\prod_{i=1}^{n / 2-1}\left(2^{i}+1\right)$. If $\mathcal{C}$ has length $n$, then the number of codes equivalent to $\mathcal{C}$ is $n ! /|\operatorname{PAut}(\mathcal{C})|$. To classify binary selfdual codes of length $n$, it is necessary to find inequivalent self-dual codes $\mathcal{C}{1}, \ldots, \mathcal{C}{r}$ so that the following mass formula holds:
$$
N(n)=\sum_{i=1}^{r} \frac{n !}{\left|\operatorname{PAut}\left(\mathcal{C}{i}\right)\right|} . $$ There are such formulas for all families of self-dual and also of self-orthogonal codes. Detailed information is presented in [1008, 1555]. See also Proposition 7.5.1. Theorem 4.5.2 We have the following mass formulas. (a) For self-dual binary codes of even length $n$, $$ \sum{j} \frac{n !}{\left|\operatorname{PAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=\prod{i=1}^{n / 2-1}\left(2^{i}+1\right)
$$
(b) For doubly-even self-dual binary codes of length $n \equiv 0(\bmod 8)$,
$$
\sum_{j} \frac{n !}{\left|\operatorname{PAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=\prod{i=1}^{n / 2-2}\left(2^{i}+1\right)
$$

(c) For self-dual ternary codes of length $n \equiv 0(\bmod 4)$,
$$
\sum_{j} \frac{2^{n} n !}{\left|\operatorname{MAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=2 \prod{i=1}^{n / 2-1}\left(3^{i}+1\right)
$$
(d) For Hermitian self-dual codes over $\mathbb{F}{4}$ of even length $n$, $$ \sum{j} \frac{2 \cdot 3^{n} n !}{\left|\Gamma \operatorname{Aut}\left(\mathcal{C}{j}\right)\right|}=\prod{i=1}^{n / 2-1}\left(2^{2 i+1}+1\right)
$$
In each case, the summation is over all $j$, where $\left{\mathcal{C}{j}\right}$ is a complete set of representatives of inequivalent codes of the given type. The automorphism group $\operatorname{CAut}\left(\mathcal{C}{j}\right)$ is the set of all semi-linear monomial transformations from $\mathbb{F}{4}^{n}$ to $\mathbb{F}{4}^{n}$ that fix $\mathcal{C}_{j}$; see [1008, Section 1.7].

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Designs Supported by Codes

The support of a nonzero vector $\mathbf{x}=x_{1} \cdots x_{n} \in \mathbb{F}{q}^{n}$ is the set of indices of its nonzero coordinates: $\operatorname{supp}(\mathbf{x})=\left{i \mid x{i} \neq 0\right}$

Definition 5.2.1 A design $D$ is supported by a block code $\mathcal{C}$ of length $n$ if the points of $D$ are labeled by the $n$ coordinates of $\mathcal{C}$, and every block of $D$ is the support of some nonzero codeword of $\mathcal{C}$.

Remark 5.2.2 If $\mathcal{C}$ is a linear code over a finite field of order $q>2$, and $\mathbf{c}$ is a codeword of weight $w>0$, all $q-1$ nonzero scalar multiples of $\mathbf{c}$ have the same support. To avoid repeated blocks, we associate only one block with all scalar multiples of c. Suppose that $D$ is a $t-(n, w, \lambda)$ design supported by a linear $q$-ary code $\mathcal{C}$. It follows that the number of blocks $b$ of $D$ is smaller than or equal to $A_{w} /(q-1)$, where $A_{w}$ is the number of codewords of weight $w$. If the support of every codeword of weight $w$ is a block of $D$, then we have and the parameter $\lambda$ can be computed using $(5.2)$ and (5.3):
$$
\lambda=\frac{A_{w}}{q-1} \cdot \frac{\left(\begin{array}{c}
w \
t
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
n \
t
\end{array}\right)} .
$$
Theorem 5.2.3 If a code is invariant under a monomial group that acts t-transitively or $t$-homogeneously on the set of coordinates, the supports of the codewords of any nonzero weight form a t-design.

Corollary 5.2.4 If $\mathcal{C}$ is a cyclic code of length $n$, the supports of all codewords of any nonzero weight $w$ form a 1-design.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH4107

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Constructions of Codes with Prescribed Automorphisms

霍夫曼和约戈夫(见[999,1928,1929]) 开发了一种通过奇素数自同构构造二进制自对偶码的方法。他们的方法被其他作者扩展用于奇数复合阶的自同构和 2 阶的自同构[272,281,616].

霍夫曼还研究了线性码的性质Fq, 具有素数自同构p与q[1000]. 此外,他继续使用 Hermitian 和加法自对偶码F4[1001,1006], 并在环上使用自对偶码[1004,1007].
让C是长度的二进制自对偶码n具有自同构σ素数的p≥3确切地说C独立的p-周期和F=n−Cp分解中的固定点。我们可以假设

σ=(1,2,⋯,p)(p+1,p+2,⋯,2p)⋯((C−1)p+1,(C−1)p+2,⋯,Cp)
然后说σ是类型p−(C,F). 我们提出了关于这种代码结构的主要定理。许多作者已经使用这种结构来构造具有不同参数的最优自对偶码。

定理 4.4.20 ([999]) 令C成为二进制[n,n/2]具有自同构的代码σ从(4.3)。让Ω1=1,2,…,p,…,ΩC=(C−1)p+1,(C−1)p+2,…,Cp表示循环σ, 然后让ΩC+1=Cp+1,…,ΩC+F=Cp+F=n是的不动点σ. 定义

\begin{aligned}&F_{\sigma}(\mathcal{C})={\mathbf{v}\in \mathcal{C}\mid \sigma(\mathbf{v})=\mathbf{v}}\ &E_{\sigma}(\mathcal{C})=\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathbf{wt}{\mathrm{H}}\left(\mathbf{v} \mid \Omega{i}\right)\equiv 0\quad(\bmod2),i=1.2,\ldots,c+f\right}\end{aligned}\begin{aligned}&F_{\sigma}(\mathcal{C})={\mathbf{v}\in \mathcal{C}\mid \sigma(\mathbf{v})=\mathbf{v}}\ &E_{\sigma}(\mathcal{C})=\left{\mathbf{v} \in \mathcal{C} \mid \mathbf{wt}{\mathrm{H}}\left(\mathbf{v} \mid \Omega{i}\right)\equiv 0\quad(\bmod2),i=1.2,\ldots,c+f\right}\end{aligned}
在哪里在∣Ω一世是限制在上Ω一世.然后C=Fσ(C)⊕和σ(C),暗淡⁡(Fσ(C))=C+F2, 和暗淡⁡(和σ(C))=C(p−1)2.

定理 4.4.21 ([1928]) 让C成为二进制[n,n/2]具有自同构的代码σ从(4.3)。
让圆周率:Fσ(C)→F2C+F是投影图,其中,对于在∈Fσ(C),(圆周率(在))一世=在j对于一些j∈Ω一世,一世=1,2,…,C+F. 让和(分别磷) 是所有偶数权向量的集合F2p(分别是偶数权多项式F2[X]/⟨Xp−1⟩). 定义披′:和→磷b是 披′(在0在1⋯在p−1)=在0+在1X+⋯+在p−1Xp−1.让和σ(C)是和σ(C)在所有的固定点上进行穿刺σ. 定义披:和σ(C)→磷C经过披(在)=(披′(在∣Ω1),披′(在∣Ω2),…,披′(在∣ΩC))为了在∈和σ(C)⊆和C. 然后C是自对偶的当且仅当以下两个条件成立: (a)C圆周率=圆周率(Fσ(C))是长度的二进制自对偶码C+F, 和
(b) 对于每两个向量在,在∈C披=披(和σ(C)), 我们有∑一世=1C在一世(X)在一世(X−1)=0在哪里在一世(X)=披′(在∣Ω一世)和在一世(X)=披′(在∣Ω一世)为了一世=1,2,…,C.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Enumeration and Classification

备注 4.5.1 对自对偶码进行分类的主要工具是基于所谓的质量公式,它提供了检查分类是否正确的可能性。偶数长度的自对偶二进制码的个数n是ñ(n)=∏一世=1n/2−1(2一世+1). 如果C有长度n, 那么代码的数量相当于C是n!/|帕特⁡(C)|. 对长度的二进制自对偶码进行分类n,需要找到不等价的自对偶码C1,…,Cr使得以下质量公式成立:

ñ(n)=∑一世=1rn!|帕特⁡(C一世)|.对于所有自对偶和自正交码族都有这样的公式。详细信息见 [1008, 1555]。另见提案 7.5.1。定理 4.5.2 我们有以下质量公式。(a) 对于偶数长度的自对偶二进制码n,

∑jn!|帕特⁡(Cj)|=∏一世=1n/2−1(2一世+1)
(b) 对于长度的双偶自对偶二进制码n≡0(反对8),

∑jn!|帕特⁡(Cj)|=∏一世=1n/2−2(2一世+1)

(c) 对于长度的自对偶三进制码n≡0(反对4),

∑j2nn!|毛⁡(Cj)|=2∏一世=1n/2−1(3一世+1)
(d) 对于 Hermitian 自对偶码F4等长n,

∑j2⋅3nn!|Γ或者⁡(Cj)|=∏一世=1n/2−1(22一世+1+1)
在每种情况下,总和超过所有j, 在哪里\left{\mathcal{C}{j}\right}\left{\mathcal{C}{j}\right}是给定类型的不等价代码的完整代表集。自同构群我搜索⁡(Cj)是所有半线性单项变换的集合F4n至F4n那个修复Cj; 参见 [1008,第 1.7 节]。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Designs Supported by Codes

非零向量的支持度X=X1⋯Xn∈Fqn是其非零坐标的索引集:\operatorname{supp}(\mathbf{x})=\left{i \mid x{i} \neq 0\right}\operatorname{supp}(\mathbf{x})=\left{i \mid x{i} \neq 0\right}

定义 5.2.1 设计D由块代码支持C长度n如果点D被标记为n坐标C,并且每个块D是一些非零码字的支持C.

备注 5.2.2 如果C是有限阶域上的线性码q>2, 和C是一个权重码字在>0, 全部q−1的非零标量倍数C有同样的支持。为了避免重复块,我们只将一个块与 c 的所有标量倍数相关联。假设D是一个吨−(n,在,λ)由线性支持的设计q-ary码C. 由此可见块数b的D小于或等于一个在/(q−1), 在哪里一个在是权重的码字数在. 如果权重的每个码字的支持在是一个块D, 那么我们有 和 参数λ可以使用计算(5.2)(5.3):

λ=一个在q−1⋅(在 吨)(n 吨).
定理 5.2.3 如果代码在 t-传递或吨-在坐标集上均匀地,任何非零权重的码字的支持形成 t 设计。

推论 5.2.4 如果C是长度的循环码n,任何非零权重的所有码字的支持度在形成一个 1 设计。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

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有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Perfect Codes

Perfect codes were considered in the very first scientific papers in coding theory. We have already seen two types of perfect codes in Sections $1.10$ and 1.13. Hamming codes [895] have parameters
$$
\left[n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1), n-m, 3\right]{q} $$ and exist for $m \geq 2$ and prime powers $q$. Golay codes [820] have parameters $$ [23,12,7]{2} \text { and }[11,6,5]{3} \text {. } $$ There are also some families of trivial perfect codes: codes containing one word, codes containing all codewords in the space, and $(n, 2, n){2}$ codes for odd $n$. If the order of the alphabet $q$ is a prime power, these are in fact the only sets of parameters for which (linear and unrestricted) perfect codes exist $[1805,1949]$.

Theorem 3.3.1 The nontrivial perfect linear codes over $\mathbb{F}{q}$, where $q$ is a prime power, are precisely the Hamming codes with parameters (3.1) and the Golay codes with parameters (3.2). A nontrivial perfect unrestricted code (over $\mathbb{F}{q}, q$ a prime power) that is not equivalent to a linear code has the same length, size, and minimum distance as a Hamming code (3.1).
Although the remarkable Theorem 3.3.1 gives us a rather solid understanding of perfect codes, there are still many open problems in this area, including the following (a code with different alphabet sizes for different coordinates is called mixed):

Research Problem 3.3.2 Solve the existence problem for perfect codes when the size of the alphabet is not a prime power.
Research Problem 3.3.3 Solve the existence problem for perfect mixed codes.
Research Problem 3.3.4 Classify perfect codes, especially for the parameters covered by Theorem 3.3.1.

Since Theorem 3.3.1 covers alphabet sizes that are prime powers, that is, exactly the sizes for which finite fields and linear codes exist, Research Problems 3.3.2 to $3.3 .4$ are essentially about unrestricted codes (although many codes studied for Research Problem $3.3 .3$ have clear algebraic structures and close connections to linear codes).

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MDS Codes

Maximum distance separable (MDS) codes are not only of theoretical interest, but rather important families of codes are of this type, such as Reed-Solomon codes (Section 1.14). An entire chapter is devoted to MDS codes in the book by MacWilliams and Sloane [1323. Chap. 11].

MDS codes are closely connected to many other structures in combinatorics and geometry. For example, an $[n, k, n-k+1]_{q}$ MDS code with dimension $k \geq 3$ corresponds to an $n$-arc in the projective geometry $\mathrm{PG}(k-1, q)$; see Chapter 14. Finite geometry is indeed a commonly used framework for studying MDS codes. In combinatorics, MDS codes correspond to certain orthogonal arrays.

Definition 3.3.18 An orthogonal array of size $N$, with $m$ constraints, $s$ levels, and strength $t$, denoted $\mathrm{OA}(N, m, s, t)$, is an $m \times N$ matrix with entries from $\mathbb{F}_{s}$, having the property that in every $t \times N$ submatrix, every $t \times 1$ column vector appears $\lambda=N / s^{t}$ (called the index) times.

Theorem 3.3.19 An $n \times q^{k}$ matrix with columns formed by the codewords of a linear $[n, k, n-k+1]{q} M D S$ code or an unvestricted $\left(n, q^{k}, n-k+1\right){q} M D S$ code is an $\mathrm{OA}\left(q^{k}, n, q, k\right)$, which has index $\lambda=1$.

Remark 3.3.20 As the codewords of an MDS code with dimension $k$ form an orthogonal array with strength $k$ and index 1 , such codes are systematic and any $k$ coordinates can be used for the message symbols.

In a paper [319] published by Bush in 1952 , the framework of orthogonal arrays is used to construct objects that we now know as Reed-Solomon codes. In that study it is also shown that for linear codes over $\mathbb{F}{q}$ with $k>q, n \leq k+1$ is a necessary condition for an $[n, k, n-k+1]{q}$ MDS code to exist, and that there are $[k+1, k, 2]{q}$ MDS codes. Such codes, and generally codes with parameters $[n, 1, n]{q},[n, n-1,2]{q}$, and $[n, n, 1]{q}$, are called trivial MDS codes.

For $k \leq q$, on the other hand, the following MDS Conjecture related to a question by Segre $[1638]$ in 1955 is still open.

Conjecture 3.3.21 (MDS) If $k \leq q$, then a linear $[n, k, n-k+1]_{q}$ MDS code exists exactly when $n \leq q+1$ unless $q=2^{h}$ and $k=3$ or $k=q-1$, in which case it exists exactly when $n \leq q+2$.

Remark 3.3.22 MDS codes are typically discussed in the linear case, but the parameters of the codes in Conjecture $3.3 .21$ conjecturally also cover the parameters for which unrestricted MDS codes exist.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Weight Enumerators

The Hamming weight enumerator is defined in Definition $1.15 .1$ in Chapter 1. Recall that
$$
\operatorname{Hwe}(x, y)=\sum_{i=0}^{n} A_{i}(\mathcal{C}) x^{i} y^{n-i}
$$
Definition 4.2.1 A linear code $\mathcal{C}$ is called formally self-dual if $\mathcal{C}$ and its dual code $\mathcal{C}^{\perp}$ have the same weight enumerator, $\operatorname{Hwe} \mathcal{C}(x, y)=\operatorname{Hwe}_{\mathcal{C}}(x, y)$. A linear code is isodual if it is equivalent to its dual code.

Remark 4.2.2 Any isodual code is also formally self-dual, but there are formally self-dual codes that are neither isodual nor self-dual. The smallest length for which a formally selfdual code is not isodual is 14 , and there are 28 such codes amongst 6 weight enumerators [867]. Any self-dual code is also isodual and formally self-dual.
Example 4.2.3 The $[6,3,3]$ binary code $\mathcal{C}$ with a generator matrix
$$
\left[\begin{array}{ll}
100 & 111 \
010 & 110 \
001 & 101
\end{array}\right]
$$
is isodual. Its weight enumerator is $\operatorname{Hwe}_{\mathcal{C}}(x, y)=y^{6}+4 x^{3} y^{3}+3 x^{4} y^{2}$, and its automorphism group has order 24. Obviously, this code is not self-dual as it contains codewords with odd weight.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC7604

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Perfect Codes

在编码理论的第一篇科学论文中考虑了完美的代码。我们已经在 Sections 中看到了两种完美的代码1.10和 1.13。汉明码 [895] 有参数

[n=(q米−1)/(q−1),n−米,3]q并且存在米≥2和主要权力q. Golay 码 [820] 有参数

[23,12,7]2 和 [11,6,5]3. 还有一些平凡完美码族:包含一个词的码,包含空间中所有码字的码,以及(n,2,n)2奇数的代码n. 如果按字母顺序q是一个主要的力量,这些实际上是唯一存在(线性和无限制)完美代码的参数集[1805,1949].

定理 3.3.1 上的非平凡完美线性码Fq, 在哪里q是一个素幂,恰好是带参数的汉明码(3.1)和带参数的格雷码(3.2)。一个非平凡的完美无限制代码(超过Fq,q不等价于线性码的素数幂)具有与汉明码(3.1)相同的长度、大小和最小距离。
尽管非凡的定理 3.3.1 让我们对完美编码有了相当扎实的理解,但在这方面仍然存在许多悬而未决的问题,包括以下问题(不同坐标的不同字母大小的编码称为混合):

研究问题 3.3.2 当字母的大小不是素数时,解决完美代码的存在性问题。
研究问题3.3.3 求解完美混合码的存在性问题。
研究问题 3.3.4 对完美代码进行分类,尤其是定理 3.3.1 所涵盖的参数。

由于定理 3.3.1 涵盖了作为素数的字母大小,也就是说,正是存在有限域和线性码的大小,研究问题 3.3.2 到3.3.4本质上是关于不受限制的代码(尽管为研究问题研究了许多代码3.3.3具有清晰的代数结构和与线性码的紧密联系)。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MDS Codes

最大距离可分 (MDS) 码不仅具有理论意义,而且重要的码族也属于这种类型,例如 Reed-Solomon 码(第 1.14 节)。MacWilliams 和 Sloane [1323.] 的书中有一整章专门讨论 MDS 代码。章。11]。

MDS 代码与组合学和几何学中的许多其他结构密切相关。例如,一个[n,ķ,n−ķ+1]q带尺寸的 MDS 代码ķ≥3对应一个n- 射影几何中的弧磷G(ķ−1,q); 见第 14 章。有限几何确实是研究 MDS 代码的常用框架。在组合学中,MDS 码对应于某些正交数组。

定义 3.3.18 大小的正交数组ñ, 和米约束,s水平和实力吨, 表示○一个(ñ,米,s,吨), 是一个米×ñ带有条目的矩阵Fs, 具有在每个吨×ñ子矩阵,每吨×1列向量出现λ=ñ/s吨(称为索引)次。

定理 3.3.19n×qķ具有由线性码字形成的列的矩阵[n,ķ,n−ķ+1]q米D小号代码或不受限制的(n,qķ,n−ķ+1)q米D小号代码是一个○一个(qķ,n,q,ķ), 有索引λ=1.

备注 3.3.20 作为具有维度的 MDS 码的码字ķ形成一个有强度的正交阵列ķ和索引 1 ,这样的代码是系统的和任何ķ坐标可用于消息符号。

在布什于 1952 年发表的一篇论文 [319] 中,正交数组的框架用于构造我们现在称为 Reed-Solomon 码的对象。在该研究中还表明,对于线性码Fq和ķ>q,n≤ķ+1是一个必要条件[n,ķ,n−ķ+1]qMDS代码是存在的,而且是有的[ķ+1,ķ,2]qMDS 代码。这样的代码,一般都是带参数的代码[n,1,n]q,[n,n−1,2]q, 和[n,n,1]q, 称为平凡 MDS 代码。

为了ķ≤q, 另一方面,以下 MDS 猜想与 Segre 的一个问题有关[1638]1955年仍然开放。

猜想 3.3.21 (MDS) 如果ķ≤q,然后是线性的[n,ķ,n−ķ+1]qMDS 代码准确地存在于何时n≤q+1除非q=2H和ķ=3或者ķ=q−1,在这种情况下,它恰好存在于n≤q+2.

备注 3.3.22 MDS 码通常是在线性情况下讨论的,但 Conjecture 中码的参数3.3.21推测也涵盖了存在不受限制的 MDS 代码的参数。

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汉明权重枚举器在定义中定义1.15.1在第 1 章中。回想一下

惠⁡(X,是)=∑一世=0n一个一世(C)X一世是n−一世
定义 4.2.1 线性码C被称为形式上的自对偶如果C及其双码C⊥具有相同的权重枚举器,惠⁡C(X,是)=惠C⁡(X,是). 如果一个线性码等价于它的对偶码,那么它就是等偶的。

备注 4.2.2 任何等偶码也是形式上的自对偶,但有形式上的自对码既不是等偶也不是自对偶。形式上的自对偶码不是等偶的最小长度是 14 ,并且在 6 个权重枚举器中有 28 个这样的码[867]。任何自对偶代码也是等对的和形式上的自对偶。
示例 4.2.3[6,3,3]二进制代码C带有生成矩阵

[100111 010110 001101]
是等偶的。它的权重枚举器是惠C⁡(X,是)=是6+4X3是3+3X4是2,其自同构群的阶数为 24。显然,该代码不是自对偶的,因为它包含具有奇数权重的代码字。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Isomorphism

The concepts of equivalence and isomorphism of codes are briefly discussed in Section 1.8. Generally, the term symmetry covers both of those concepts, especially when considering maps from a code onto itself, that is, automorphisms. Namely, such maps lead to groups under composition, and groups are essentially about symmetries. The group formed by all automorphisms of a code is, whenever the type of automorphisms is understood, simply called the automorphism group of the code. A subgroup of the automorphism group is called a group of automorphisms.

Symmetries play a central role when constructing as well as classifying codes: several types of constructions are essentially about prescribing symmetries, and one core part of classification is about dealing with maps and symmetries.

On a high level of abstraction, the same questions are asked for linear and unrestricted codes and analogous techniques are used. On a detailed level, however, there are significant differences between those two types of codes.

Consider codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. We have seen in Definition $1.8 .8$ that equivalence of unrestricted codes is about permuting coordinates and the elements of the alphabet, individually within each coordinate. All such maps form a group that is isomorphic to the wreath product $\mathrm{S}{q} \geq \mathrm{S}{n}$. For linear codes on the other hand, the concepts of permutation equivalence, monomial equivalence, and equivalence lead to maps that form groups isomorphic to $\mathrm{S}{n}, \mathbb{F}{q}^{}\left\langle\mathrm{~S}{n}\right.$, and the semidirect product $\left(\mathbb{F}{q}^{}\left\langle\mathrm{~S}{n}\right) \rtimes_{\theta}\right.$ Aut $\left(\mathbb{F}{q}\right)$, respectively, where $\mathbb{F}{q}^{}$ is the multiplicative group of $\mathbb{F}{q}$ and $\theta: \operatorname{Aut}\left(\mathbb{F}{q}\right) \rightarrow \operatorname{Aut}\left(\mathbb{F}{q}^{} \backslash \mathrm{S}{n}\right)$ is a group homomorphism.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Prescribing Symmetries

A code of size $M$ is a subset of $M$ vectors from the $n$-dimensional vector space over $\mathbb{F}{q}$ which fulfills some requirements depending on the type of code. The number of ways to choose $M$ arbitrary vectors from such a space is $\left({ }^{q}\right)$, which becomes astronomically large already for rather small parameters. (This is obviously the total number of $(n, M){q}$ codes.) Although no general conclusion regarding the hardness of solving construction and classification problems can be drawn from this number, the number does give a clue that the limit of what is feasible might be reached quite early. Indeed, this is what happens, but perhaps not as early as one would think.

Example 3.2.2 In some special cases – in particular, for perfect codes quite large unrestricted codes have been classified, such as the $(23,4096,7){2}$ code (the binary Golay code is unique $[1732]$; see also $[525]$ ) and the $(15,2048,3){2}$ codes (with the parameters of a Hamming code; there are 5983 such codes [1472]).

But what can be done if we go beyond parameters for which the size of an optimal code can be determined and the optimal codes can be classified? Analytical upper bounds and constructive lower bounds on the size of codes can still be used. One way to speed up computer-aided constructive techniques-some of which are discussed in Chapter 23 -is to restrict the search by imposing a structure on the codes. This is a two-edged sword: the search space is reduced, but good codes might not have that particular structure. Hence some experience is of great help in tuning the search. A very common approach is that of prescribing symmetries (automorphisms).

Remark 3.2.3 In the discussion of groups in the context of automorphism groups of codes, we are not only interested in the abstract group but in the group and its action. This is implicitly understood in the sequel when talking about one particular group or all groups of certain orders. For example, “prescribing a group” means “prescribing a group and its action” and “considering all groups” means “considering all groups and all possible actions of those groups”.

By prescribing a group $G$, the $n$-dimensional vector space is partitioned into orbits of vectors. The construction problem then becomes a problem of finding a set of those orbits rather than finding a set of individual vectors. It must further be checked that the orbits themselves are feasible; an orbit whose codewords do not fulfill the minimum distance criterion can be discarded immediately.

Remark 3.2.4 An $[n, k]_{q}$ linear code can be viewed as an unrestricted code which contains the all-zero codeword and has a particular group of automorphisms $G$ of order $q^{k}$, which only permutes elements of the alphabet, individually within each coordinate.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Some Central Classes of Codes

By Definition 1.9.1, the maximum size of error-correcting codes with length $n$ and minimum distance $d$ are given by the functions $A_{q}(n, d)$ and $B_{q}(n, d)$ for unrestricted and linear codes, respectively. Most general bounds on these functions, such as those in Section 1.9,

consider upper bounds and are about nonexistence of codes. Lower bounds, on the other hand, are typically obtained by constructing explicit codes. Especially for small parameters, many best known codes have been obtained on a case-by-case basis. One possible approach for finding such codes is that of prescribing symmetries as discussed in Section $3.2 .1-$ and carrying out a computer search; see Chapter $23 .$

In some rare situations, there exist codes that attain some general upper bounds. For such parameters, the problem of finding the size of an optimal code is then settled. When this occurs and the upper bound is the Sphere Packing Bound, we get perfect codes (Definition 1.9.8), and when the upper bound is the Singleton Bound, we get maximum distance separable (MDS) codes (Definition 1.9.12). In this section we will take a glance at these two types of codes as well as general binary linear and unrestricted codes.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH3018

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Equivalence and Isomorphism

代码的等价和同构的概念在 1.8 节中简要讨论。一般来说,对称性一词涵盖了这两个概念,特别是在考虑从代码到自身的映射时,即自同构。即,这样的映射导致组合下的组,而组本质上是关于对称的。由代码的所有自同构组成的群,只要理解自同构的类型,就简称为代码的自同构群。自同构群的一个子群称为自同构群。

对称性在构造和分类代码时起着核心作用:几种类型的构造本质上是关于规定对称性的,而分类的一个核心部分是关于处理映射和对称性。

在高度抽象上,对线性和无限制代码提出了相同的问题,并使用了类似的技术。然而,在细节层面上,这两种代码之间存在显着差异。

考虑长度代码n超过Fq. 我们已经在定义中看到1.8.8无限制代码的等效性是关于在每个坐标中单独置换坐标和字母表的元素。所有这些映射形成一个与花环产品同构的组小号q≥小号n. 另一方面,对于线性码,置换等价、单项等价和等价的概念导致形成群同构的映射小号n,Fq⟨ 小号n, 和半直积(Fq⟨ 小号n)⋊θ或者(Fq),分别在哪里Fq是乘法群Fq和θ:或者⁡(Fq)→或者⁡(Fq∖小号n)是群同态。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Prescribing Symmetries

尺寸码米是的一个子集米来自的向量n维向量空间Fq根据代码的类型,它满足一些要求。选择方式的数量米来自这样一个空间的任意向量是(q),对于相当小的参数,它已经变得非常大。(这显然是总数(n,米)q代码。)虽然不能从这个数字得出关于解决构造和分类问题的难度的一般结论,但这个数字确实提供了一个线索,即可能很早就达到可行的极限。确实,这就是发生的事情,但可能不像人们想象的那么早。

示例 3.2.2 在某些特殊情况下——特别是对于完美代码,已经对相当大的无限制代码进行了分类,例如(23,4096,7)2代码(二进制 Golay 代码是唯一的[1732]; 也可以看看[525]) 和(15,2048,3)2代码(带有汉明码的参数;有 5983 个这样的代码 [1472])。

但是,如果我们超出了可以确定最优码大小和可以分类最优码的参数,还能做些什么呢?仍然可以使用代码大小的分析上限和建设性下限。加速计算机辅助构造技术的一种方法——其中一些将在第 23 章中讨论——是通过在代码上施加结构来限制搜索。这是一把双刃剑:搜索空间减少了,但好的代码可能没有那种特定的结构。因此,一些经验对调整搜索有很大帮助。一种非常常见的方法是规定对称性(自同构)。

备注 3.2.3 在代码自同构群的上下文中讨论群时,我们不仅对抽象群感兴趣,而且对群及其动作感兴趣。当谈论一个特定的组或某些命令的所有组时,这在续集中被隐含地理解了。例如,“规定一个群体”是指“规定一个群体及其行动”,“考虑所有群体”是指“考虑所有群体和这些群体的所有可能行动”。

通过开一组G, 这n维向量空间被划分为向量的轨道。然后构造问题变成了找到一组这些轨道而不是找到一组单独的向量的问题。必须进一步检查轨道本身是否可行;可以立即丢弃其码字不满足最小距离标准的轨道。

备注 3.2.4 一个[n,ķ]q线性码可以看作是一个无限制的码,它包含全零码字并具有一组特定的自同构G有秩序的qķ,它仅在每个坐标内单独置换字母表的元素。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Some Central Classes of Codes

由定义1.9.1,纠错码的最大长度与长度n和最小距离d由函数给出一个q(n,d)和乙q(n,d)分别用于无限制和线性代码。这些函数的最一般界限,例如第 1.9 节中的界限,

考虑上限并且关于不存在代码。另一方面,下界通常是通过构造显式代码获得的。特别是对于小参数,许多最知名的代码已经在逐个案例的基础上获得。找到此类代码的一种可能方法是规定对称性,如第 1 节所述3.2.1−并进行计算机搜索;见章节23.

在极少数情况下,存在达到某些一般上限的代码。对于这样的参数,然后解决找到最佳代码大小的问题。当这种情况发生并且上限是 Sphere Packing Bound 时,我们会得到完美代码(定义 1.9.8),而当上限是 Singleton Bound 时,我们会得到最大距离可分(MDS)代码(定义 1.9.12)。在本节中,我们将了解这两种类型的代码以及一般的二进制线性和无限制代码。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Punctured Generalized Reed-Muller Codes

Binary Reed-Muller codes were introduced in Section 1.11. It is known that these codes are equivalent to the extended codes of some cyclic codes. In other words, after puncturing the binary Reed-Muller codes at a proper coordinate, the obtained codes are permutation equivalent to some cyclic codes. The purpose of this section is to introduce a family of cyclic codes of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ whose extended codes are the generalized Reed-Muller code over $\mathbb{F}{q}$

Let $q$ be a prime power as before. For any integer $j=\sum_{i=0}^{m-1} j_{i} q^{i}$, where $0 \leq j_{i} \leq q-1$ for all $0 \leq i \leq m-1$ and $m$ is a positive integer, we define
$$
\omega_{q}(j)=\sum_{i=0}^{m-1} j_{i}
$$
where the sum is taken over the ring of integers, and is called the $q$-weight of $j$.
Let $\ell$ be a positive integer with $1 \leq \ell<(q-1) m$. The $\ell^{\text {th }}$ order punctured generalized Reed-Muller code $\mathcal{R} \mathcal{M}{q}(\ell, m)^{*}$ over $\mathbb{F}{q}$ is the cyclic code of length $n=q^{m}-1$ with generator polynomial
$$
g(x)=\sum_{\substack{1 \leq \leq \leq n-1 \ w_{q}(j)<(q-1) m-t}}\left(x-\alpha^{j}\right),
$$
where $\alpha$ is a generator of $F_{q^{m}}$. Since $\omega_{q}(j)$ is a constant function on each $q$-cyclotomic coset modulo $n=q^{m}-1, g(x)$ is a polynomial over $\mathbb{F}_{q}$.

The parameters of the punctured generalized Reed-Muller code $\mathcal{R} \mathcal{M}_{q}(\ell, m)^{*}$ are known and summarized in the next theorem [71, Section 5.5].

Theorem 2.8.1 For any $\ell$ with $0 \leq \ell<(q-1) m, \mathcal{R} \mathcal{M}{q}(\ell, m)^{*}$ is a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n=q^{m}-1$, dimension
$$
\kappa=\sum_{i=0}^{\ell} \sum_{j=0}^{m}(-1)^{j}\left(\begin{array}{c}
m \
j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
i-j q+m-1 \
i-j q
\end{array}\right)
$$
and minimum weight $d=\left(q-\ell_{0}\right) q^{m-\ell_{1}-1}-1$, where $\ell=\ell_{1}(q-1)+\ell_{0}$ and $0 \leq \ell_{0}<q-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Another Generalization of the Punctured Binary Reed-Muller Codes

The punctured generalized Reed-Muller codes are a generalization of the classical punctured binary Reed-Muller codes, and were introduced in the previous section. A new generalization of the classical punctured binary Reed-Muller codes was given recently in [561]. The task of this section is to introduce the newly generalized cyclic codes.

Let $n=q^{m}-1$. For any integer $a$ with $0 \leq a \leq n-1$, we have the following $q$-adic expansion
$$
a=\sum_{j=0}^{m-1} a_{j} q^{j}
$$
where $0 \leq a_{j} \leq q-1$. The Hamming weight of $a$, denoted by wt $\mathrm{H}{\mathrm{H}}(a)$, is the number of nonzero coordinates in the vector $\left(a{0}, a_{1}, \ldots, a_{m-1}\right)$.
Let $\alpha$ be a generator of $\mathbb{F}{q^{m}}$. For any $1 \leq h \leq m$, we define a polynomial $$ g{(q, m, h)}(x)=\prod_{\substack{1 \leq a \leq n-1 \ 1 \leq w^{t} H(a) \leq h}}\left(x-\alpha^{\alpha}\right)
$$
Since $\mathrm{wt}{\mathrm{H}}(a)$ is a constant function on each $q$-cyclotomic coset modulo $n, g{(q, m, h)}(x)$ is a polynomial over $\mathbb{F}{q}$. By definition, $g{(q, m, h)}(x)$ is a divisor of $x^{n}-1$.

Let $\delta(q, m, h)$ denote the cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n$ and generator polynomial $g{(m, q, h)}(x)$. By definition, $g_{(q, m, m)}(x)=\left(x^{n}-1\right) /(x-1)$. Therefore, the code $2(q, m, m)$ is trivial, as it has parameters $[n, 1, n]$ and is spanned by the all-1 vector. Below we consider the code $₹(q, m, h)$ for $1 \leq h \leq m-1$ only.

Theorem 2.9.1 Let $m \geq 2$ and $1 \leq h \leq m-1$. Then $\delta(q, m, h)$ has parameters $\left[q^{m}-\right.$ $1, \kappa, d]$, where
$$
\kappa=q^{m}-\sum_{i=0}^{h}\left(\begin{array}{c}
m \
i
\end{array}\right)(q-1)^{i}
$$
and
$$
\frac{q^{h+1}-1}{q-1} \leq d \leq 2 q^{h}-1
$$
When $q=2$, the code $\tau(q, m, h)$ clearly becomes the classical punctured binary ReedMuller code $\mathcal{R} \mathcal{M}(m-1-h, m) *$. Hence, $\mathcal{S}(q, m, h)$ is indeed a generalization of the original punctured binary Reed-Muller code. In addition, when $q=2$, the lower bound and the upper bound in (2.3) become identical. It is conjectured that the lower bound on $d$ is the actual minimum distance.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reversible Cyclic Codes

Definition 2.10.1 A linear code $\mathcal{C}$ is reversible ${ }^{1}$ if $\left(c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n-1}\right) \in \mathcal{C}$ implies that $\left(c_{n-1}, c_{n-2}, \ldots, c_{0}\right) \in \mathcal{C}$

Reversible cyclic codes were considered in $[1346,1347]$. A cryptographic application of reversible cyclic codes was proposed in [353]. A well rounded treatment of reversible cyclic codes was given in [1236]. The objective of this section is to deliver a basic introduction to reversible cyclic codes.

Definition 2.10.2 A polynomial $f(x)$ over $\mathbb{F}_{q}$ is called self-reciprocal if it equals its reciprocal $f^{\perp}(x)$.

The conclusions of the following theorem are known in the literature [1323, page 206] and are easy to prove.

Theorem 2.10.3 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. Then the following statements are equivalent. (a) $\mathcal{C}$ is reversible. (b) $g(x)$ is self-reciprocal. (c) $\beta^{-1}$ is a root of $g(x)$ for every root $\beta$ of $g(x)$ over the splitting field of $g(x)$. Furthermore, if $-1$ is a power of $q$ mod $n$, then every cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ is reversible.

Now we give an exact count of reversible cyclic codes of length $n=q^{m}-1$ for odd primes $m$. Recall the $q$-cyclotomic cosets $C_{a}$ modulo $n$ given in Definition 1.12.7. It is straightforward that $-a=n-a \in C_{a}$ if and only if $a\left(1+q^{j}\right) \equiv 0(\bmod n)$ for some integer $j$. The following two lemmas are straightforward and hold whenever $\operatorname{gcd}(n, q)=1$.

Lemma 2.10.4 The irreducible polynomial $M_{\alpha^{a}}(x)$ is self-reciprocal if and only if $n-a \in$ $C_{a}$

Lemma 2.10.5 The least common multiple $\operatorname{lcm}\left(M_{\alpha^{a}}(x), M_{\alpha^{n-a}}(x)\right)$ is self-reciprocal for every $a \in \mathbb{Z}_{n}$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEC5507

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Punctured Generalized Reed-Muller Codes

1.11 节介绍了二进制 Reed-Muller 码。众所周知,这些码相当于一些循环码的扩展码。换句话说,在适当的坐标处对二进制 Reed-Muller 码进行穿孔后,得到的码是等价于一些循环码的置换。本节的目的是介绍一系列长度为的循环码n=q米−1超过Fq其扩展码是广义 Reed-Muller 码Fq

让q像以前一样成为主要力量。对于任何整数j=∑一世=0米−1j一世q一世, 在哪里0≤j一世≤q−1对所有人0≤一世≤米−1和米是一个正整数,我们定义

ωq(j)=∑一世=0米−1j一世
其中总和被接管整数环,称为q- 重量j.
让ℓ是一个正整数1≤ℓ<(q−1)米. 这ℓth 顺序穿孔广义 Reed-Muller 码R米q(ℓ,米)∗超过Fq是长度的循环码n=q米−1用生成多项式

G(X)=∑1≤≤≤n−1 在q(j)<(q−1)米−吨(X−一个j),
在哪里一个是一个生成器Fq米. 自从ωq(j)是每个上的常数函数q-分圆陪集模n=q米−1,G(X)是一个多项式Fq.

穿孔广义 Reed-Muller 码的参数R米q(ℓ,米)∗在下一个定理 [71,第 5.5 节] 中已知和总结。

定理 2.8.1 对于任意ℓ和0≤ℓ<(q−1)米,R米q(ℓ,米)∗是一个循环码Fq有长度n=q米−1, 方面

ķ=∑一世=0ℓ∑j=0米(−1)j(米 j)(一世−jq+米−1 一世−jq)
和最小重量d=(q−ℓ0)q米−ℓ1−1−1, 在哪里ℓ=ℓ1(q−1)+ℓ0和0≤ℓ0<q−1.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Another Generalization of the Punctured Binary Reed-Muller Codes

打孔广义 Reed-Muller 码是经典打孔二进制 Reed-Muller 码的推广,在上一节中进行了介绍。最近在 [561] 中给出了经典穿孔二进制 Reed-Muller 码的新概括。本节的任务是介绍新的广义循环码。

让n=q米−1. 对于任何整数一个和0≤一个≤n−1, 我们有以下q-adic 扩展

一个=∑j=0米−1一个jqj
在哪里0≤一个j≤q−1. 汉明权重一个, 表示为 wtHH(一个), 是向量中非零坐标的数量(一个0,一个1,…,一个米−1).
让一个成为Fq米. 对于任何1≤H≤米,我们定义一个多项式

G(q,米,H)(X)=∏1≤一个≤n−1 1≤在吨H(一个)≤H(X−一个一个)
自从在吨H(一个)是每个上的常数函数q-分圆陪集模n,G(q,米,H)(X)是一个多项式Fq. 根据定义,G(q,米,H)(X)是一个除数Xn−1.

让d(q,米,H)表示循环码Fq有长度n和生成多项式G(米,q,H)(X). 根据定义,G(q,米,米)(X)=(Xn−1)/(X−1). 因此,代码2(q,米,米)很简单,因为它有参数[n,1,n]并且由全1向量跨越。下面我们考虑代码₹₹(q,米,H)为了1≤H≤米−1只要。

定理 2.9.1 让米≥2和1≤H≤米−1. 然后d(q,米,H)有参数[q米− 1,ķ,d], 在哪里

ķ=q米−∑一世=0H(米 一世)(q−1)一世

qH+1−1q−1≤d≤2qH−1
什么时候q=2, 编码τ(q,米,H)显然成为经典的穿孔二进制 ReedMuller 码R米(米−1−H,米)∗. 因此,小号(q,米,H)确实是原始穿孔二进制 Reed-Muller 码的推广。此外,当q=2,(2.3)中的下界和上界变得相同。推测下限为d是实际的最小距离。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Reversible Cyclic Codes

定义 2.10.1 线性码C是可逆的1如果(C0,C1,…,Cn−1)∈C暗示(Cn−1,Cn−2,…,C0)∈C

可逆循环码在[1346,1347]. 在 [353] 中提出了可逆循环码的加密应用。在 [1236] 中给出了对可逆循环码的全面处理。本节的目的是对可逆循环码进行基本介绍。

定义 2.10.2 多项式F(X)超过Fq如果它等于它的倒数,则称为自倒数F⊥(X).

以下定理的结论在文献 [1323, page 206] 中是已知的并且很容易证明。

定理 2.10.3 让C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式G(X). 那么下面的语句是等价的。(一个)C是可逆的。(二)G(X)是自我互惠的。(C)b−1是一个根G(X)对于每个根b的G(X)在分裂场上G(X). 此外,如果−1是一种力量q反对n,然后每个循环码Fq长度n是可逆的。

现在我们给出长度的可逆循环码的精确计数n=q米−1对于奇数素数米. 回想一下q-分圆陪集C一个模块n在定义 1.12.7 中给出。很简单−一个=n−一个∈C一个当且仅当一个(1+qj)≡0(反对n)对于某个整数j. 以下两个引理很简单,并且在任何时候都成立gcd⁡(n,q)=1.

引理 2.10.4 不可约多项式米一个一个(X)是自互的当且仅当n−一个∈ C一个

引理 2.10.5 最小公倍数厘米⁡(米一个一个(X),米一个n−一个(X))对每个人都是自互的一个∈从n.

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Dimensions of BCH Codes

The dimension of the BCH code $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, b)}$ with defining set $T(b, \delta)$ in $(2.2)$ is $n-|T(b, \delta)|$. Since $|T(b, \delta)|$ may have a very complicated relation with $n, q, b$ and $\delta$, the dimension of the BCH code cannot be given exactly in terms of these parameters. The best one can do in general is to develop tight lower bounds on the dimension of $\mathrm{BCH}$ codes. The next theorem introduces such bounds [1008, Theorem 5.1.7].

Theorem 2.6.8 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa] B C H$ code over $\mathbb{F}{q}$ of designed distance $\delta$. Then the following statements hold. (a) $\kappa \geq n-\operatorname{ord}{n}(q)(\delta-1)$.
(b) If $q=2$ and $\mathcal{C}$ is a narrow-sense $B C H$ code, then $\delta$ can be assumed odd; furthermore if $\delta=2 w+1$, then $\kappa \geq n-\operatorname{ord}_{n}(q) w$.

The bounds in Theorem 2.6.8 may not be improved for the general case, as demonstrated by the following example. However, in some special cases, they could be improved.

Example 2.6.9 Note that $m=\operatorname{ord}{15}(2)=4$, and the 2-cyclotomic cosets modulo 15 are $$ \begin{aligned} &C{0}={0}, C_{1}={1,2,4,8}, C_{3}={3,6,9,12}, \
&C_{5}={5,10}, C_{7}={7,11,13,14} .
\end{aligned}
$$
Let $\gamma$ be a generator of $\mathbb{F}_{2^{4}}^{*}$ with $\gamma^{4}+\gamma+1=0$ and let $\alpha=\gamma^{\left(2^{4}-1\right) / 15}=\gamma$ be the primitive $15^{\text {th }}$ root of unity.

When $(b, \delta)=(0,3)$, the defining set $T(b, \delta)={0,1,2,4,8}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,10,4]$ and generator polynomial $x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$. In this case, the actual minimum weight is more than the designed distance, and the dimension is larger than the bound in Theorem 2.6.8(a).

When $(b, \delta)=(1,3)$, the defining set $T(b, \delta)={1,2,4,8}$, and the binary cyclic code has parameters $[15,11,3]$ and generator polynomial $x^{4}+x+1$. It is a narrow-sense BCH code. In this case, the actual minimum weight is equal to the designed distance, and the dimension reaches the bound in Theorem $2.6 .8(\mathrm{~b})$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Other Aspects of BCH Codes

The automorphism groups of BCH codes in most cases are open, but are known in some cases [161]. The weight distributions of the cosets of some BCH codes were considered in $[386,387,388]$. This problem is as hard as the determination of the weight distributions of $\mathrm{BCH}$ codes. The dual of a BCH code may not be a BCH code. An interesting problem is to characterise those $\mathrm{BCH}$ codes whose duals are also $\mathrm{BCH}$ codes.

Almost all references on BCH codes are about the primitive case. Only a few references on BCH codes with lengths $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$ or $n=q^{\ell}+1$ exist in the literature $[1246,1247,1277]$. Most BCH codes have never been investigated. This is due to the fact that the $q$-cyclotomic cosets modulo $n$ are very irregular and behave very badly in most cases. For example, in most cases it is extremely difficult to determine the largest coset leader, not to mention the dimension and minimum distance of a $\mathrm{BCH}$ code. This partially explains the difficulty in researching into $\mathrm{BCH}$ codes. A characteristic of $\mathrm{BCH}$ codes is that it is hard in general to determine both the dimension and minimum distance of a BCH code.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Duadic Codes

Duadic codes are a family of cyclic codes and are generalizations of the quadratic residue codes. Binary duadic codes were defined in [1220] and were generalized to arbitrary finite fields in $[1517,1519]$. Some duadic codes have very good parameters, while some have very bad parameters. The objective of this section is to give a brief introduction of duadic codes.
As before, let $n$ be a positive integer and $q$ a prime power with $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Let $S_{1}$ and $S_{2}$ be two subsets of $\mathbb{Z}_{n}$ such that

  • $S_{1} \cap S_{2}=\emptyset$ and $S_{1} \cup S_{2}=\mathbb{Z}_{n} \backslash{0}$, and
  • both $S_{1}$ and $S_{2}$ are a union of some $q$-cyclotomic cosets modulo $n$.
    If there is a unit $\mu \in \mathbb{Z}{n}$ such that $S{1} \mu=S_{2}$ and $S_{2} \mu=S_{1}$, then $\left(S_{1}, S_{2}, \mu\right)$ is called a splitting of $\mathbb{Z}_{n}$.

Recall that $m:=\operatorname{ord}{n}(q)$ and $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity in $\mathbb{F}{q^{m}}$. Let $\left(S_{1}, S_{2}, \mu\right)$ be a splitting of $\mathbb{Z}{n}$. Define $$ g{i}(x)=\prod_{i \in S_{i}}\left(x-\alpha^{i}\right) \text { and } \tilde{g}{i}(x)=(x-1) g{i}(x)
$$
for $i \in{1,2}$. Since both $S_{1}$ and $S_{2}$ are unions of $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, both $g_{1}(x)$ and $g_{2}(x)$ are polynomials over $\mathbb{F}{q}$. The pair of cyclic codes $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomials $g_{\widetilde{r}}(x)$ and $g_{2}(x)$ are called odd-like duadic codes, and the pair of cyclic codes $\widetilde{\mathcal{C}}{1}$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{2}$ of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomials $\tilde{g}{1}(x)$ and $\widetilde{g}_{2}(x)$ are called even-like duadic codes.

By definition, $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ have parameters $[n,(n+1) / 2]$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{1}$ and $\widetilde{\mathcal{C}}{2}$ have parameters $[n,(n-1) / 2]$. For odd-like duadic codes, we have the following result [1008, Theorem 6.5.2].
Theorem 2.7.1 (Square Root Bound) Let $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$ be a pair of odd-like duadic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$. Let $d{o}$ be their (common) minimum odd-like weight. Then the following hold.
(a) $d_{o}^{2} \geq n$.
(b) If the splitting defining the duadic codes is given by $\mu=-1$, then $d_{o}^{2}-d_{o}+1 \geq n$.
(c) Suppose $d_{o}^{2}-d_{o}+1=n$, where $d_{o}>2$, and assume that the splitting defining the duadic codes is given by $\mu=-1$. Then $d_{o}$ is the minimum weight of both $\mathcal{C}{1}$ and $\mathcal{C}{2}$.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Dimensions of BCH Codes

BCH码的维度C(q,n,d,b)带有定义集吨(b,d)在(2.2)是n−|吨(b,d)|. 自从|吨(b,d)|可能有很复杂的关系n,q,b和d,BCH码的维数不能根据这些参数准确给出。一般来说,最好的方法是在维度上制定严格的下界乙CH代码。下一个定理引入了这样的界限[1008,定理 5.1.7]。

定理 2.6.8 让C豆[n,ķ]乙CH代码结束Fq设计距离d. 那么下面的陈述成立。(一个)ķ≥n−单词⁡n(q)(d−1).
(b) 如果q=2和C是狭义的乙CH代码,然后d可以假设为奇数;此外,如果d=2在+1, 然后ķ≥n−单词n⁡(q)在.

对于一般情况,定理 2.6.8 中的界限可能不会得到改进,如以下示例所示。但是,在某些特殊情况下,它们可以改进。

示例 2.6.9 请注意米=单词⁡15(2)=4, 模 15 的 2-分圆陪集是

C0=0,C1=1,2,4,8,C3=3,6,9,12, C5=5,10,C7=7,11,13,14.
让C成为F24∗和C4+C+1=0然后让一个=C(24−1)/15=C成为原始人15th 团结的根。

什么时候(b,d)=(0,3), 定义集吨(b,d)=0,1,2,4,8, 二进制循环码有参数[15,10,4]和生成多项式X5+X4+X2+1. 在这种情况下,实际最小权重大于设计距离,尺寸大于定理2.6.8(a)中的界限。

什么时候(b,d)=(1,3), 定义集吨(b,d)=1,2,4,8, 二进制循环码有参数[15,11,3]和生成多项式X4+X+1. 这是一个狭义的 BCH 代码。在这种情况下,实际最小重量等于设计距离,并且尺寸达到定理中的界限2.6.8( b).

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Other Aspects of BCH Codes

BCH 码的自同构群在大多数情况下是开放的,但在某些情况下是已知的 [161]。一些 BCH 码的陪集的权重分布在[386,387,388]. 这个问题和确定权重分布一样困难乙CH代码。BCH 码的对偶可能不是 BCH 码。一个有趣的问题是描述那些乙CH对偶也是乙CH代码。

几乎所有关于 BCH 代码的参考资料都是关于原始情况的。只有少数关于 BCH 代码的参考文献n=(q米−1)/(q−1)或者n=qℓ+1存在于文献中[1246,1247,1277]. 大多数 BCH 代码从未被调查过。这是因为q-分圆陪集模n在大多数情况下非常不规则并且表现非常糟糕。例如,在大多数情况下,确定最大陪集首领是极其困难的,更不用说确定一个陪集首领的维度和最小距离了。乙CH代码。这部分解释了研究的困难乙CH代码。的一个特点乙CH代码的特点是,通常很难确定 BCH 代码的维度和最小距离。

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二元码是循环码族,是二次余数码的推广。二进制二元码在 [1220] 中定义,并被推广到任意有限域[1517,1519]. 一些二元代码具有非常好的参数,而有些则具有非常糟糕的参数。本节的目的是简要介绍二元代码。
和以前一样,让n是一个正整数并且q一个主要的力量gcd⁡(n,q)=1. 让小号1和小号2是两个子集从n这样

  • 小号1∩小号2=∅和小号1∪小号2=从n∖0, 和
  • 两个都小号1和小号2是一些人的联合q-分圆陪集模n.
    如果有单位μ∈从n这样小号1μ=小号2和小号2μ=小号1, 然后(小号1,小号2,μ)被称为分裂从n.

回顾米:=单词⁡n(q)和一个是原始的nth 团结的根源Fq米. 让(小号1,小号2,μ)是一个分裂从n. 定义

G一世(X)=∏一世∈小号一世(X−一个一世) 和 G~一世(X)=(X−1)G一世(X)
为了一世∈1,2. 由于两者小号1和小号2是工会q-分圆陪集模n, 两个都G1(X)和G2(X)是多项式Fq. 循环码对C1和C2长度n超过Fq生成多项式Gr~(X)和G2(X)被称为奇数二元码,而这对循环码C~1和C~2长度n超过Fq生成多项式G~1(X)和G~2(X)被称为偶数二元码。

根据定义,C1和C2有参数[n,(n+1)/2]和C~1和C~2有参数[n,(n−1)/2]. 对于类似奇数的二元码,我们有以下结果 [1008, Theorem 6.5.2]。
定理 2.7.1(平方根界)让C1和C2是一对长度为奇数的二元码n超过Fq. 让d○是他们的(常见的)最小奇数重量。然后以下保持。
(一个)d○2≥n.
(b) 如果定义二元码的分裂由下式给出μ=−1, 然后d○2−d○+1≥n.
(c) 假设d○2−d○+1=n, 在哪里d○>2,并假设定义二元码的分裂由下式给出μ=−1. 然后d○是两者的最小权重C1和C2.

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Irreducible Cyclic Codes

Let $\mathcal{C}(q, n, i)$ denote the cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with parity check polynomial $M{\alpha^{i}}(x)$, which is the minimal polynomial of $\alpha^{i}$ over $\mathbb{F}{q}$, and where $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity over an extension field of $\mathbb{F}{q}$. These $\mathcal{C}(q, n, i)$ are called irreducible cyclic codes. Since the ideals $\left\langle\left(x^{n}-1\right) / M_{\alpha^{i}}(x)\right\rangle$ of $\mathcal{R}{(n, q)}$ are minimal, these $\mathcal{C}(q, n, i)$ are also called minimal cyclic codes. By Theorem 2.3.5, $\mathcal{C}(q, n, i)$ has the following trace representation: $$ \mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^{n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},
$$
where $\beta=\alpha^{-i} \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}$ and $m_{i}=\left|C_{i}\right|$.
Example 2.5.1 Let $n=\left(q^{m}-1\right) /(q-1)$ and $\alpha=\gamma^{q-1}$, where $\gamma$ is a generator of $\mathbb{F}_{q^{m}}^{*}$. If $\operatorname{gcd}(q-1, m)=1$, then $\mathcal{C}(q, n, 1)$ has parameters $\left[n, m, q^{m-1}\right]$ and is equivalent to the simplex code whose dual is the Hamming code. Hence, when $\operatorname{gcd}(q-1, m)=1$, the Hamming code is equivalent to a cyclic code.

Example 2.5.2 The celebrated Golay codes introduced in Section $1.13$ are also irreducible cyclic codes and the binary $[24,12,8]$ extended Golay code was used on the Voyager 1 and Voyager 2 missions to Jupiter, Saturn, and their moons.

By definition, the dimension of $\mathcal{C}(q, n, i)$ equals $\operatorname{deg}\left(M_{\alpha^{i}}(x)\right)$, which is a divisor of $m:=\operatorname{ord}_{n}(q)$. The determination of the weight enumerators of irreducible cyclic codes is equivalent to the evaluation of Gaussian periods, which is extremely difficult in general. However, in a small number of cases, the weight enumerator of some irreducible cyclic codes is known. One-weight, two-weight and three-weight irreducible cyclic codes exist. It is in general hard to determine the minimum distance of an irreducible cyclic code. A lower bound on the minimum distances of irreducible cyclic codes has been developed. The reader is referred to $[568]$ for detailed information.

Irreducible cyclic codes are very important for many reasons. First of all, every cyclic code is the direct sum of a number of irreducible cyclic codes. Secondly, the automorphism group of some irreducible codes (Golay codes) has high transitivity. Thirdly, some irreducible codes can be employed to construct maximal arcs, elliptic quadrics (ovoids), inversive planes, and $t$-designs. Hence, irreducible cyclic codes are closely related to group theory, finite geometry and combinatorics. In addition, irreducible cyclic codes also have a number of applications in engineering.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|BCH Codes and Their Properties

BCH codes are a subclass of cyclic codes with special properties and are important in both theory and practice. Experimental data shows that binary and ternary BCH codes of certain lengths are the best cyclic codes in almost all cases; see [549, Appendix A]. BCH codes were briefly introduced in Section 1.14. This section treats BCH codes further and summarizes their basic properties.

Let $\delta$ be an integer with $2 \leq \delta \leq n$ and let $b$ be an integer. A BCH code over $\mathbb{F}{q}$ of length $n$ and designed distance $\delta$, denoted by $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$, is a cyclic code with defining set
$$
T(b, \delta)=C_{b} \cup C_{b+1} \cup \cdots \cup C_{b+\delta-2}
$$
relative to the primitive $n^{\text {th }}$ root of unity $\alpha$, where $C_{i}$ is the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ containing $i$.

When $b=1$, the code $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$ with defining set in (2.2) is called a narrow-sense BCH code. If $n=q^{m}-1$, then $\mathcal{C}{(q, n, \delta, b)}$ is referred to as a primitive BCH code. The Reed-Solomon code introduced in Section $1.14$ is a primitive BCH code.

Sometimes $T\left(b_{1}, \delta_{1}\right)=T\left(b_{2}, \delta_{2}\right)$ for two distinct pairs $\left(b_{1}, \delta_{1}\right)$ and $\left(b_{2}, \delta_{2}\right)$. The maximum designed distance of a $\mathrm{BCH}$ code is defined to be the largest $\delta$ such that the set $T(b, \delta)$ in (2.2) defines the code for some $b \geq 0$. The maximum designed distance of a $\mathrm{BCH}$ code is also called the Bose distance.

Given the canonical factorization of $x^{n}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ in (2.1), we know that the total number of nonzero cyclic codes of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ is $2^{t+1}-1$. Then the following two natural questions arise:

  1. How many of the $2^{t+1}-1$ cyclic codes are $B C H$ codes?
  2. Which of the $2^{t+1}-1$ cyclic codes are BCH codes?

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of BCH Codes

It follows from Theorem 2.4.1 that a cyclic code with designed distance $\delta$ has minimum weight at least $\delta$. It is possible that the actual minimum distance is equal to the designed distance. Sometimes the actual minimum distance is much larger than the designed distance.
A codeword $\left(c_{0}, \ldots, c_{n-1}\right)$ of a linear code $\mathcal{C}$ is even-like if $\sum_{j=0}^{n-1} c_{j}=0$, and oddlike otherwise. The weight of an even-like (respectively odd-like) codeword is called an even-like weight (respectively odd-like weight). Let $\mathcal{C}$ be a primitive narrow-sense BCH code of length $n=q^{m}-1$ over $F_{q}$ with designed distance $\delta$. The defining set is then $T(1, \delta)=C_{1} \cup C_{2} \cup \cdots \cup C_{\delta-1}$. The following theorem provides useful information on the minimum weight of narrow-sense primitive $\mathrm{BCH}$ codes.

Theorem 2.6.4 Let $\mathcal{C}$ be the narrow-sense primitive $B C H$ code of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$. Then the minimum weight of $\mathcal{C}$ is its minimum odd-like weight. The coordinates of the narrow-sense primitive BCH code $\mathcal{C}$ of length $n=q^{m}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ with designed distance $\delta$ can be indexed by the elements of $\mathbb{F}{q^{m}}$, and the extended coordinate in the extended code $\hat{\mathcal{C}}$ can be indexed by the zero element of $\mathbb{F}{q^{m} \text {. The general }}^{\text {. }}$ affine group $\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)$ then acts on $\mathbb{F}{q^{m}}$ and also on $\hat{\mathcal{C}}$ doubly transitively, where $$ \mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m}}^{*}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right} $$ Since $\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)$ is transitive on $\mathbb{F}{q^{m}}$, it is a subgroup of the permutation automorphism group of $\widehat{\mathcal{C}}$. Theorem $2.6 .4$ then follows.

In the following cases, the minimum distance of the $\mathrm{BCH}$ code $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, b)}$ is known. We first have the following $[1323, \mathrm{p} .260]$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|COMP2610

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Irreducible Cyclic Codes

让C(q,n,一世)表示长度的循环码n超过Fq带有奇偶校验多项式米一个一世(X),它是的最小多项式一个一世超过Fq,以及在哪里一个是原始的nth 一个外延域上的统一根Fq. 这些C(q,n,一世)称为不可约循环码。自从有了理想⟨(Xn−1)/米一个一世(X)⟩的R(n,q)是最小的,这些C(q,n,一世)也称为最小循环码。根据定理 2.3.5,C(q,n,一世)具有以下跟踪表示:

\mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^ {n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},\mathcal{C}(q, n, i)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{m_{i}} / q}\left(a \beta^{0}\right), \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}(a \beta), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{m{i}} / q}\left(a \beta^ {n-1}\right)\right) \mid a \in \mathbb{F}{q^{m{i}}}\right},
在哪里b=一个−一世∈Fq米一世和米一世=|C一世|.
示例 2.5.1 让n=(q米−1)/(q−1)和一个=Cq−1, 在哪里C是一个生成器Fq米∗. 如果gcd⁡(q−1,米)=1, 然后C(q,n,1)有参数[n,米,q米−1]并且等价于对偶是汉明码的单纯形码。因此,当gcd⁡(q−1,米)=1,汉明码等价于循环码。

例 2.5.2 节中介绍的著名的 Golay 码1.13也是不可约循环码和二进制[24,12,8]航海者 1 号和航海者 2 号对木星、土星及其卫星的任务使用了扩展的 Golay 代码。

根据定义,维度C(q,n,一世)等于你⁡(米一个一世(X)),这是一个除数米:=单词n⁡(q). 不可约循环码的权重枚举数的确定相当于高斯周期的求值,一般来说难度很大。然而,在少数情况下,一些不可约循环码的权重枚举数是已知的。存在一权、二权和三权不可约循环码。通常很难确定不可约循环码的最小距离。已经制定了不可约循环码的最小距离的下界。读者参考[568]了解详细信息。

由于许多原因,不可约循环码非常重要。首先,每个循环码都是若干不可约循环码的直接和。其次,一些不可约码(Golay码)的自同构群具有较高的传递性。第三,一些不可约代码可用于构造最大弧、椭圆二次曲面(卵形)、逆平面和吨-设计。因此,不可约循环码与群论、有限几何和组合学密切相关。此外,不可约循环码在工程中也有许多应用。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|BCH Codes and Their Properties

BCH码是具有特殊性质的循环码的子类,在理论和实践中都很重要。实验数据表明,在几乎所有情况下,一定长度的二进制和三进制 BCH 码都是最好的循环码;见 [549,附录 A]。1.14 节简要介绍了 BCH 码。本节进一步处理 BCH 码并总结其基本属性。

让d是一个整数2≤d≤n然后让b是一个整数。一个 BCH 代码Fq长度n和设计距离d,表示为C(q,n,d,b), 是具有定义集的循环码

吨(b,d)=Cb∪Cb+1∪⋯∪Cb+d−2
相对于原始nth 团结之根一个, 在哪里C一世是个q-分圆陪集模n包含一世.

什么时候b=1, 编码C(q,n,d,b)在(2.2)中定义集合称为狭义BCH码。如果n=q米−1, 然后C(q,n,d,b)被称为原始 BCH 码。章节中介绍的 Reed-Solomon 码1.14是原始 BCH 代码。

有时吨(b1,d1)=吨(b2,d2)对于两个不同的对(b1,d1)和(b2,d2). 最大设计距离乙CH代码被定义为最大d这样集合吨(b,d)在 (2.2) 中定义了一些代码b≥0. 最大设计距离乙CH码也称为玻色距离。

给定的规范分解Xn−1超过Fq在(2.1)中,我们知道长度为非零的循环码的总数n超过Fq是2吨+1−1. 那么自然会产生以下两个问题:

  1. 其中有多少2吨+1−1循环码是乙CH代码?
  2. 哪一个2吨+1−1循环码是BCH码吗?

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Minimum Distances of BCH Codes

从定理 2.4.1 可以得出,具有设计距离的循环码d至少有最小重量d. 实际最小距离可能等于设计距离。有时实际最小距离远大于设计距离。
一个码字(C0,…,Cn−1)线性码C是偶数如果∑j=0n−1Cj=0,否则很奇怪。类偶数(分别类奇数)码字的权重称为类偶数权重(分别类奇数权重)。让C是长度的原始狭义 BCH 码n=q米−1超过Fq设计距离d. 那么定义集是吨(1,d)=C1∪C2∪⋯∪Cd−1. 以下定理提供了有关狭义原语的最小权重的有用信息乙CH代码。

定理 2.6.4 让C是狭义的原语乙CH长度码n=q米−1超过Fq设计距离d. 那么最小重量为C是它的最小类奇重量。狭义原始 BCH 码的坐标C长度n=q米−1超过Fq设计距离d可以通过元素索引Fq米, 以及扩展代码中的扩展坐标C^可以由零元素索引Fq米. 一般 . 仿射群G一个1(Fq米)然后作用于Fq米并且还在C^双传递,其中

\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m} }^{*}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right}\mathrm{GA}{1}\left(\mathbb{F}{q^{m}}\right)=\left{a x+b \mid a \in \mathbb{F}{q^{m} }^{*}, b \in \mathbb{F}{q^{m}}\right}自从G一个1(Fq米)是可传递的Fq米,它是置换自同构群的一个子群C^. 定理2.6.4然后跟随。

在下列情况下,最小距离乙CH代码C(q,n,d,b)是已知的。我们首先有以下[1323,p.260].

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Cyclic Codes over Finite Fields

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Cyclic Codes over Finite Fields

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

A brief introduction to cyclic codes over finite fields was given in Section 1.12. The objective of this chapter is to introduce several important families of cyclic codes over finite fields. We will follow the notation of Chapter 1 as closely as possible.

By an $[n, \kappa, d]{q}$ code, we mean a linear code over $\mathbb{F}{q}$ with length $n$, dimension $\kappa$ and minimum distance $d$. Notice that the minimum distance of a linear code is equal to the minimum nonzero weight of the code. By the parameters of a linear code, we mean its length, dimension and minimum distance. An $[n, \kappa, d]{q}$ code is said to be distance-optimal (respectively dimension-optimal) if there is no $[n, \kappa, d+1]{q}$ (respectively $[n, \kappa+1, d]{q}$ ) code. By the best known parameters of $[n, \kappa]$ linear codes over $\mathbb{F}{q}$ we mean an $[n, \kappa, d]_{q}$ code with the largest known $d$ reported in the tables of linear codes maintained at [845].

In this chapter, we deal with cyclic codes of length $n$ over $F_{q}$ and always assume that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Under this assumption, $x^{n}-1$ has no repeated factors over $\mathbb{F}{q}$. Denote by $C{i}$ the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ that contains $i$ for $0 \leq i \leq n-1$. Put $m=$ ord $n(q)$, and let $\gamma$ be a generator of $F_{q^{m}}^{*}:=F_{q^{m}} \backslash{0}$. Define $\left.\alpha=\gamma^{m}-1\right) / n$. Then $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity. The canonical factorization of $x^{n}-1$ over $\mathbb{F}{q}$ is given by $$ x^{n}-1=M{\alpha^{i} 0}(x) M_{\alpha^{i} 1}(x) \cdots M_{\alpha^{i} t}(x)
$$

where $i_{0}, i_{1}, \ldots, i_{t}$ are representatives of the $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, and
$$
M_{\alpha^{i j}}(x)=\prod_{h \in C_{i j}}\left(x-\alpha^{h}\right),
$$
which is the minimal polynomial of $\alpha^{i_{j}}$ over $\mathbb{F}{q}$ and is irreducible over $\mathbb{F}{q}$.
Throughout this chapter, we define $\mathcal{R}{(n, q)}=\mathbb{F}{q}[x] /\left\langle x^{n}-1\right\rangle$ and use $\operatorname{Tr}{q}{ }^{m} / q$ to denote the trace function from $F{q^{m}}$ to $F_{q}$ defined by $\operatorname{Tr}{q^{m} / q}(x)=\sum{j=0}^{m-1} x^{q^{j}}$. The ring of integers modulo $n$ is denoted by $\mathbb{Z}_{n}={0,1, \ldots, n-1}$.

Cyclic codes form an important subclass of linear codes over finite fields. Their algebraic structure is richer. Because of their cyclic structure, they are closely related to number theory. In addition, they have efficient encoding and decoding algorithms and are the most studied linear codes. In fact, most of the important families of linear codes are either cyclic codes or extended cyclic codes.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Subfield Subcodes

Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa]{q^{t}}$ code. The subfield subcode $\left.\mathcal{C}\right|{F_{q}}$ of $\mathcal{C}$ with respect to $\mathbb{F}{q}$ is the set of codewords in $\mathcal{C}$ each of whose components is in $\mathbb{F}{q}$. Since $\mathcal{C}$ is linear over $\mathbb{F}{q^{\pm}},\left.\mathcal{C}\right|{E_{q}}$ is a linear code over $\mathbb{F}_{q}$.

The dimension, denoted $\kappa_{q}$, of the subfield subcode $\left.\mathcal{C}\right|{P{q}}$ may not have an elementary relation with that of the code $\mathcal{C}$. However, we have the following lower and upper bounds on $\kappa_{q}$.

Theorem 2.2.1 Let $\mathcal{C}$ be an $[n, \kappa]{q^{t}}$ code. Then $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ is an $\left[n, \kappa{q}\right]$ code over $\mathbb{F}{q}$, where $\kappa \geq \kappa{q} \geq n-t(n-\kappa)$. If $\mathcal{C}$ has a basis of codewords in $\mathbb{F}{q}^{n}$, then this is also a basis of $\left.\mathcal{C}\right|{\mathbb{F}{q}}$ and $\left.\mathcal{C}\right|{F_{q}}$ has dimension $\kappa$.

Example 2.2.2 The Hamming code $\mathcal{H}{3,2^{2}}$ over $\mathbb{F}{2^{2}}$ has parameters $[21,18,3]{4}$. The subfield subcode $\left.\mathcal{H}{3,2^{2}}\right|{\mathbb{R}{2}}$ is a $[21,16,3]{2}$ code with parity check matrix $$ \left[\begin{array}{lllllllllllllllllllll} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] . $$ In this case, $n=21, \kappa=18$, and $n-t(n-\kappa)=15$. Hence $\kappa{q}=16$, which is very close to $n-t(n-\kappa)=15$

The following is called Delsarte’s Theorem, which exhibits a dual relation between subfield subcodes and trace codes. This theorem is very useful in the design and analysis of linear codes.
Theorem 2.2.3 (Delsarte) Let $\mathcal{C}$ be a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}{q^{\pm}}$. Then $$ \left(\left.\mathcal{C}\right|{E_{q}}\right)^{\perp}=\operatorname{Tr}{q^{t} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right), $$ where $\operatorname{Tr}{q^{\pm} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{\pm} / q}\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{+} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}$.
Theorems $2.2 .1$ and 2.2.3 work for all linear codes, including cyclic codes. Their proofs could be found in $[1008$, Section $3.8]$. We shall need them later.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Fundamental Constructions of Cyclic Codes

In Section $1.12$, it was shown that every cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ can be generated by a generator polynomial $g(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$. The objective of this section is to describe several other fundamental constructions of cyclic codes over finite fields. By a fundamental construction, we mean a construction method that can produce every cyclic code over any finite field.

An element $e$ in a commutative ring $\mathcal{R}$ is called an idempotent if $e^{2}=e$. The ring $\mathcal{R}{(n, q)}$ has in general quite a number of idempotents. Besides its generator polynomial, many other polynomials can generate a cyclic code $\mathcal{C}$. Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. It is easily seen that a polynomial $f(x) \in \mathbb{F}_{q}[x]$ generates $\mathcal{C}$ if and only if $\operatorname{gcd}\left(f(x), x^{n}-1\right)=g(x)$.

If an idempotent $e(x) \in \mathcal{R}{(n, q)}$ generates a cyclic code $\mathcal{C}$, it is then unique in this ring and called the generating idempotent. Given the generator polynomial of a cyclic code, one can compute its generating idempotent with the following theorem [1008, Theorem 4.3.3]. Theorem 2.3.1 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code of length $n$ over $\mathbb{F}{q}$ with generator polynomial $g(x)$. Let $h(x)=\left(x^{n}-1\right) / g(x)$. Then $\operatorname{gcd}(g(x), h(x))=1$, as it was assumed that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Employing the Extended Euclidean Algorithm, one computes two polynomials a $(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$ and $b(x) \in \mathbb{F}{q}[x]$ such that $1=a(x) g(x)+b(x) h(x)$. Then $e(x)=a(x) g(x) \bmod \left(x^{n}-1\right)$ is the generating idempotent of $\mathcal{C}$.

The polynomial $h(x)$ in Theorem $2.3 .1$ is called the parity check polynomial of $\mathcal{C}$. Given the generating idempotent of a cyclic code, one obtains the generator polynomial of this code as follows $[1008$, Theorem $4.3 .3]$.

Theorem 2.3.2 Let $\mathcal{C}$ be a cyclic code over $\mathbb{F}{q}$ with generating idempotent $e(x)$. Then the generator polynomial of $\mathcal{C}$ is given by $g(x)=\operatorname{gcd}\left(e(x), x^{n}-1\right)$, which is computed in $\mathbb{F}{q}[x]$.
Example 2.3.3 The cyclic code $\mathcal{C}$ of length 11 over $\mathbb{F}_{3}$ with generator polynomial $g(x)=$ $x^{5}+x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+2$ has parameters $[11,6,5]$ and parity check polynomial $h(x)=x^{6}+$ $2 x^{5}+2 x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+1$

Let $a(x)=2 x^{5}+x^{4}+x^{2}$ and $b(x)=x^{4}+x^{3}+1$. It is then easily verified that $1=$ $a(x) g(x)+b(x) h(x)$. Hence
$$
e(x)=a(x) g(x) \bmod \left(x^{11}-1\right)=2 x^{10}+2 x^{8}+2 x^{7}+2 x^{6}+2 x^{2}
$$
which is the generating idempotent of $\mathcal{C}$. On the other hand, we have $g(x)=\operatorname{gcd}\left(e(x), x^{11}-\right.$ 1).

A generator matrix of a cyclic code can be derived from its generating idempotent as follows $[1008$, Theorem $4.3 .6]$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Cyclic Codes over Finite Fields

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

1.12 节简要介绍了有限域上的循环码。本章的目的是介绍有限域上几个重要的循环码族。我们将尽可能地遵循第 1 章的符号。

由一个[n,ķ,d]q代码,我们的意思是线性代码Fq有长度n, 方面ķ和最小距离d. 请注意,线性代码的最小距离等于代码的最小非零权重。线性码的参数是指它的长度、尺寸和最小距离。一个[n,ķ,d]q如果没有,则称代码是距离最优的(分别是维度最优的)[n,ķ,d+1]q(分别[n,ķ+1,d]q) 代码。通过最知名的参数[n,ķ]线性码超过Fq我们的意思是[n,ķ,d]q已知最大的代码d在[845]维护的线性代码表中报告。

在本章中,我们处理长度为的循环码n超过Fq并且总是假设gcd⁡(n,q)=1. 在这个假设下,Xn−1没有重复的因素Fq. 表示为C一世这q-分圆陪集模n包含一世为了0≤一世≤n−1. 放米=单词n(q), 然后让C成为Fq米∗:=Fq米∖0. 定义一个=C米−1)/n. 然后一个是原始的nth 团结的根。的规范分解Xn−1超过Fq是(谁)给的

Xn−1=米一个一世0(X)米一个一世1(X)⋯米一个一世吨(X)

在哪里一世0,一世1,…,一世吨是代表q-分圆陪集模n, 和

米一个一世j(X)=∏H∈C一世j(X−一个H),
这是的最小多项式一个一世j超过Fq并且不可约Fq.
在本章中,我们定义R(n,q)=Fq[X]/⟨Xn−1⟩并使用Tr⁡q米/q表示跟踪函数Fq米至Fq被定义为Tr⁡q米/q(X)=∑j=0米−1Xqj. 整数环模n表示为从n=0,1,…,n−1.

循环码是有限域上线性码的一个重要子类。它们的代数结构更丰富。由于它们的循环结构,它们与数论密切相关。此外,它们具有高效的编码和解码算法,是研究最多的线性码。事实上,大多数重要的线性码族要么是循环码,要么是扩展循环码。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Subfield Subcodes

让C豆[n,ķ]q吨代码。子字段子代码C|Fq的C关于Fq是代码字的集合C每个组件都在Fq. 自从C是线性的Fq±,C|和q是一个线性码Fq.

尺寸,表示ķq, 子域子代码 $\left.\mathcal{C}\right| {P {q}}米一个是n○吨H一个在和一个n和l和米和n吨一个r是r和l一个吨一世○n在一世吨H吨H一个吨○F吨H和C○d和\数学{C}.H○在和在和r,在和H一个在和吨H和F○ll○在一世nGl○在和r一个nd在pp和rb○在nds○n\kappa_{q}$。

定理 2.2.1 令C豆[n,ķ]q吨代码。然后C|Fq是一个[n,ķq]代码结束Fq, 在哪里ķ≥ķq≥n−吨(n−ķ). 如果C有一个码字的基础Fqn, 那么这也是一个基础C|Fq和C|Fq有维度ķ.

例 2.2.2 汉明码H3,22超过F22有参数[21,18,3]4. 子字段子代码H3,22|R2是一个[21,16,3]2带有奇偶校验矩阵的代码

[100110011001111001101 010010110011010011001 001100110011001100110 000001111000000001111 000000000111111110000].在这种情况下,n=21,ķ=18, 和n−吨(n−ķ)=15. 因此ķq=16, 非常接近n−吨(n−ķ)=15

下面称为德尔萨定理,它展示了子域子码和跟踪码之间的双重关系。该定理在线性码的设计和分析中非常有用。
定理 2.2.3 (Delsarte) 让C是长度的线性码n超过Fq±. 然后

(C|和q)⊥=Tr⁡q吨/q(C⊥),在哪里\operatorname{Tr}{q^{\pm} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{\pm} / q}\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{+} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_ {1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}\operatorname{Tr}{q^{\pm} / q}\left(\mathcal{C}^{\perp}\right)=\left{\left(\operatorname{Tr}{q^{\pm} / q}\left(v{1}\right), \ldots, \operatorname{Tr}{q^{+} / q}\left(v{n}\right)\right) \mid\left(v_ {1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathcal{C}^{\perp}\right}.
定理2.2.1和 2.2.3 适用于所有线性码,包括循环码。他们的证明可以在[1008, 部分3.8]. 我们稍后会需要它们。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|Fundamental Constructions of Cyclic Codes

在部分1.12, 表明每个循环码的长度n超过Fq可以由生成多项式生成G(X)∈Fq[X]. 本节的目的是描述有限域上循环码的其他几个基本结构。基本构造是指一种构造方法,它可以在任何有限域上生成每个循环码。

一个元素和在交换环中R被称为幂等如果和2=和. 戒指R(n,q)通常具有相当多的幂等性。除了它的生成多项式,许多其他多项式也可以生成循环码C. 让C是一个循环码Fq用生成多项式G(X). 很容易看出,多项式F(X)∈Fq[X]生成C当且仅当gcd⁡(F(X),Xn−1)=G(X).

如果一个幂等和(X)∈R(n,q)生成循环码C,则它在这个环中是唯一的,称为生成幂等。给定循环码的生成多项式,可以使用以下定理 [1008,定理 4.3.3] 计算其生成幂等性。定理 2.3.1 令C是长度的循环码n超过Fq用生成多项式G(X). 让H(X)=(Xn−1)/G(X). 然后gcd⁡(G(X),H(X))=1,因为假设gcd⁡(n,q)=1. 使用扩展欧几里得算法,计算两个多项式(X)∈Fq[X]和b(X)∈Fq[X]这样1=一个(X)G(X)+b(X)H(X). 然后和(X)=一个(X)G(X)反对(Xn−1)是生成幂等C.

多项式H(X)定理2.3.1称为奇偶校验多项式C. 给定循环码的生成幂等性,得到该码的生成多项式如下[1008, 定理4.3.3].

定理 2.3.2 令C是一个循环码Fq与生成幂等和(X). 然后生成多项式C是(谁)给的G(X)=gcd⁡(和(X),Xn−1), 计算在Fq[X].
例 2.3.3 循环码C长度超过 11F3用生成多项式G(X)= X5+X4+2X3+X2+2有参数[11,6,5]和奇偶校验多项式H(X)=X6+ 2X5+2X4+2X3+X2+1

让一个(X)=2X5+X4+X2和b(X)=X4+X3+1. 然后很容易验证1= 一个(X)G(X)+b(X)H(X). 因此

和(X)=一个(X)G(X)反对(X11−1)=2X10+2X8+2X7+2X6+2X2
这是生成幂等C. 另一方面,我们有G(X)=gcd⁡(和(X),X11− 1).

循环码的生成矩阵可以从其生成幂等推导出如下[1008, 定理4.3.6].

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