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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

We start by recalling the definition of a ring: A ring is a non-empty set $R$ together with an addition $+: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ and a multiplication $:: R \times R \rightarrow R$, $(r, s) \mapsto r \cdot s$ such that the following axioms are satisfied for all $r, s, t \in R$ :
(R1) (Associativity of $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (Zero element) There exists an element $0_{R} \in R$ such that $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (Additive inverses) For every $r \in R$ there is an element $-r \in R$ such that $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (Commutativity of $+) r+s=s+r$.
(R5) (Distributivity) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ and $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (Associativity of $\cdot) r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (Identity element) There is an element $1_{R} \in R \backslash{0}$ such that $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
Moreover, a ring $R$ is called commutative if $r \cdot s=s \cdot r$ for all $r, s \in R$.
As usual, the multiplication in a ring is often just written as $r s$ instead of $r \cdot s$; we will follow this convention from now on.

Note that axioms ( $\mathrm{R} 1)-(\mathrm{R} 4)$ say that $(R,+)$ is an abelian group. We assume by Axiom (R7) that all rings have an identity element; usually we will just write 1 for $1_{R}$. Axiom (R7) also implies that $1_{R}$ is not the zero element. In particular, a ring has at least two elements.
We list some common examples of rings.
(1) The integers $\mathbb{Z}$ form a ring. Every field is also a ring, such as the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, the complex numbers $\mathbb{C}$, or the residue classes $\mathbb{Z}{p}$ of integers modulo $p$ where $p$ is a prime number. (2) The $n \times n$-matrices $M{n}(K)$, with entries in a field $K$, form a ring with respect to matrix addition and matrix multiplication.
(3) The ring $K[X]$ of polynomials over a field $K$ where $X$ is a variable. Similarly, the ring of polynomials in two or more variables, such as $K[X, Y]$.

Examples (2) and (3) are not just rings but also vector spaces. There are many more rings which are vector spaces, and this has led to the definition of an algebra.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

A commutative ring is a field precisely when every non-zero element has an inverse with respect to multiplication. More generally, there are algebras in which every non-zero element has an inverse, and they need not be commutative.

Definition 1.7. An algebra $A$ (over a field $K$ ) is called a division algebra if every non-zero element $a \in A$ is invertible, that is, there exists an element $b \in A$ such that $a b=1_{A}=b a$. If so, we write $b=a^{-1}$. Note that if $A$ is finite-dimensional and $a b=1_{A}$ then it follows that $b a=1_{A}$; see Exercise $1.8$.

Division algebras occur naturally, we will see this later. Clearly, every field is a division algebra. There is a famous example of a division algebra which is not a field, this was discovered by Hamilton.

Example 1.8. The algebra $\mathbb{H}$ of quaternions is the 4-dimensional algebra over $\mathbb{R}$ with basis elements $1, i, j, k$ and with multiplication defined by
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
and
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
and extending to linear combinations. That is, an arbitrary element of $\mathbb{H}$ has the form $a+b i+c j+d k$ with $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, and the product of two elements in $\mathbb{H}$ is given by
$$
\begin{aligned}
&\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)= \
&\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}+c_{1} d_{2}-d_{1} c_{2}\right) i \
&+\left(a_{1} c_{2}-b_{1} d_{2}+c_{1} a_{2}+d_{1} b_{2}\right) j+\left(a_{1} d_{2}+b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}+d_{1} a_{2}\right) k
\end{aligned}
$$
It might be useful to check this formula, see Exercise $1.11$.
One can check directly that the multiplication in $\mathrm{H}$ is associative, and that it satisfies the distributive law. But this will follow more easily later from a different construction of $\mathbb{H}$, see Example $1.27$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

我们首先回顾一下环的定义：环是一个非空集 $R$ 再加上一个+ : $R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ 和一个乘法 $:: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r \cdot s$ 使得以下公理满足所有 $r, s, t \in R$ :
(R1) (结合性 $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (零元素) 存在一个元素 $0_{R} \in R$ 这样 $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (加法逆) 对于每个 $r \in R$ 有一个元素 $-r \in R$ 这样 $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (交换律 $+) r+s=s+r$.
(R5) (分配性) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ 和 $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (结合性.) $r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (标识元素) 有一个元素 $1_{R} \in R \backslash 0$ 这样 $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
此外，一个戒指 $R$ 被称为可交换如果 $r \cdot s=s \cdot r$ 对所有人 $r, s \in R$.
像往常一样，环中的乘法通常只写成 $r s$ 代替 $r \cdot s$; 从现在开始，我们将遵循这个约定。
请注意，公理 (R1) – (R4)比如说 $(R,+)$ 是一个阿贝尔群。我们通过 Axiom (R7) 假设所有环都有一个单位元 素；通常我们只写 1 为 $1_{R}$. 公理 (R7) 还暗示 $1_{R}$ 不是零元素。特别是，一个环至少有两个元素。
我们列出了一些常见的环示例。
(1) 整数 $\mathbb{Z}$ 形成一个环。每个域也是一个环，比如有理数 $\mathbb{Q}$ ，实数 $\mathbb{R}$ ，复数 $\mathbb{C}$ ，或剩余类 $\mathbb{Z} p$ 整数模 $p$ 在哪里 $p$ 是一个素 数。(2) $n \times n$-矩阵 $M n(K)$ ，在字段中包含条目 $K$ ，关于矩阵加法和矩阵乘法形成一个环。
(3) 戒指 $K[X]$ 域上的多项式 $K$ 在哪里 $X$ 是一个变量。类似地，两个或多个变量中的多项式环，例如 $K[X, Y]$.
示例 (2) 和 (3) 不仅是环，而且是向量空间。还有更多的环是向量空间，这导致了代数的定义。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

当每个非零元素都具有乘法的逆时，交换环就是一个域。更一般地说，有些代数中每个非零元素都有一个逆元，它 们不需要是可交换的。
定义 1.7。代数 $A$ (在一个领域 $K$ ) 称为除法代数，如果每个非零元素 $a \in A$ 是可逆的，即存在一个元素 $b \in A$ 这 样 $a b=1_{A}=b a$. 如果是这样，我们写 $b=a^{-1}$. 请注意，如果 $A$ 是有限维的并且 $a b=1_{A}$ 然后它遵偱 $b a=1_{A}$ ； 见练习1.8.
除法代数自然发生，我们稍后会看到。显然，每个领域都是一个除法代数。有一个不是域的除法代数的著名例子， 这是由汉密尔顿发现的。
例 1.8。代数 $\mathbb{H}$ 四元数的 4 维代数 $\mathbb{R}$ 有基础元素 $1, i, j, k$ 乘法定义为
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
和
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
并扩展到线性组合。也就是说，任意元素即有形式 $a+b i+c j+d k$ 和 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ，和两个元素的乘积 $\mathbb{H}$ 是 (谁) 给的
$$
\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)=\quad\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right.
$$
检查此公式可能很有用，请参阅练习1.11.
可以直接检查中的乘法 $\mathrm{H}$ 是结合的，并且它满足分配律。但这将在稍后从不同的构造中更容易地得出 $\mathbb{H}$, 见例子 $1.27$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

We return to the setting of a simply connected nilpotent Lie group $G=\exp g$ and a closed connected subgroup $H=\exp \mathrm{h}$. Given an irreducible unitary representation $\pi$ of $G$, we present an explicit disintegration of the restriction $\pi_{\mid H}$ of $\pi$ to $H$, which is based on a precise description of the space of double cosets $H \backslash G / B$, where $B$ is any closed connected subgroup of $G$, and the well-known smooth disintegration of monomial representations of nilpotent Lie groups. The aim is still to write down a smooth intertwining operator for the decomposition of $\pi_{\mid H}$ into irreducibles. As an application we produce a concrete disintegration of tensor products of irreducible representations of $G$ and a criterium for the irreducibility of these representations.
One should first study the general problem of describing a concrete disintegration of the restriction of an irreducible unitary representation of $G$ to a closed connected subgroup $H=\exp$ b. Since by Kirillov’s theory every $\pi \in \hat{G}$ is of the form $\pi=\pi_{l, \mathfrak{b}}=$ ind $_{B}^{G} \chi_{l}$, where $l \in \mathrm{g}^{}$ and $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{g}$ is a polarization at $l$, it is known from Mackey [124] that the restriction of $\pi$ to $H$ disintegrates over the set of double cosets $H \backslash G / B$ and that the integrands are of the form ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{I(x)}$, where $B(x)=H \cap \psi(x) B \psi(x)^{-1}, x \in H \backslash G / B$ and $l(x)=\operatorname{Ad}^{}(\psi(x)) l_{\mid \mathfrak{h}}$, $x \in H \backslash G / B$ and $\psi: H \backslash G / B \rightarrow G$ is a section for the double cosets. The idea is to describe an open dense subset of $H \backslash G / B$ and a section $\psi$ which give us an explicit description of $\pi_{\mid H}$ in term of an integral over $H \backslash G / B$ of the representations ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{l(x)}$ (see Proposition 3.5.27). The results concerning the explicit disintegration of monomial representations are used to obtain a concrete disintegration of the restriction. This is somehow needed to get an “abstract” disintegration of the restriction into irreducibles to connected closed subgroups of simply connected nilpotent Lie groups. ‘Abstract’ here means that the measure class in $\hat{G}$ for the disintegration of the restriction and the multiplicities of the irreducibles appearing in the disintegration are given. These constructions will be applied to the disintegration of the tensor product of two irreducible representations $\pi$ and $\pi^{\prime}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

Let $\mathfrak{g}$ be a nilpotent Lie algebra, $\mathfrak{b}$ any subalgebra, $B \subset G$ their simply connected Lie groups. Recall that the exponential mapping exp : $\mathfrak{g} \rightarrow G$ is a diffeomorphism. Given a sequence of ideals
$$
\mathfrak{g}{n+1}:={0} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{i} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{1}=\mathfrak{g}, \operatorname{dim}\left(\mathfrak{g}{i} / \mathfrak{g}_{i+1}\right)=1,
$$ denote for every $i=1, \ldots, n, G_{i}:=\exp \mathfrak{g}{i}$ and choose a vector $Z{i} \in \mathfrak{g}{i} \backslash \mathfrak{g}{i+1}$, so that $\mathfrak{g}{i}=\mathbb{R}$-span $\left(Z{i}, \ldots, Z_{n}\right)$. One obtains in this way a Jordan-Hölder basis $\mathscr{Z}:=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right)$ of $\mathfrak{g}$. To simplify the notations, let
$$
V_{1} \cdot V_{2} \cdots V_{k}:=\exp \left(V_{1}\right) \cdot \exp \left(V_{2}\right) \cdots \exp \left(V_{k}\right) \in G
$$
for given vectors $V_{1}, \ldots, V_{k} \in \mathfrak{g}$. Denote as before $d g$ the Haar measure on $G$. Using the basis $\mathscr{Z}$, one can express $d g$ in the following way.
$$
\int_{G} f(g) d g=\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(z_{1} Z_{1} \cdots z_{n} Z_{n}\right) d z,\left(f \in L^{1}(G)\right) .
$$
Since $G$ is nilpotent, the quotient space $G / B$ has a $G$-invariant measure which is unique up to a positive scalar multiple. This measure (denoted by $d \dot{g}$ ) is described in Chap. 1, Sect. 1.2.2. Let us recall such construction. Let
$$
\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\right}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} .
$$
One obtains the sequence of subalgebras
$$
\mathfrak{b}^{p+1}:=\mathfrak{b} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{b}^{j}:=\mathbb{R} Z_{k_{j}} \oplus \mathfrak{b}^{j-1} \varsubsetneqq \ldots \ldots \mathfrak{b}^{1}=\mathfrak{g}
$$
and the Malcev basis $\mathscr{M}:=\left(Z_{k_{1}}, \ldots, Z_{k_{p}}\right)$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}$. The invariant measure $d \dot{g}$ is then given for $\varphi \in \mathscr{C}{c}(G / B)$ by: $$ \mu{\mathcal{M}}(\varphi)=\mu_{\mathrm{g} / \mathrm{b}}(\varphi)=\int_{G / B} \varphi(\dot{g}) d \dot{g}:=\int_{\mathbb{R}^{p}} \varphi\left(w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B\right) d w
$$
where $\mathscr{C}{c}(G / B)$ denotes the space of complex-valued continuous functions with compact support on $G / B$. This is a consequence of the fact that the mapping $$ \begin{aligned} E{\mathscr{M}}^{}: \mathbb{R}^{p} & \longrightarrow \ w=\left(w_{1}, \ldots, w_{p}\right) & \longmapsto w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B=: E_{\mathscr{A}}^{}(w)
\end{aligned}
$$
is a diffeomorphism. If $\mathfrak{h}$ is another subalgebra of $\mathfrak{g}$, then denote by $\mathbb{I}^{\mathfrak{h}} \subset{1, \ldots, n}$ the index set
$$
\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \backslash \mathbb{I}^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
$$
One can then assume that the vectors $Z_{i}, i \in \mathbb{I}^{\mathfrak{h}}$, lie in $\mathfrak{h}$ so that $\mathfrak{h}=\mathbb{R}$-span $\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

For $g \in G$, denote by $\bar{g}$ its double coset $H \cdot g \cdot B={h g b,(h, b) \in H \times B}$. The aim is to find an open dense subset of $H \backslash G / B$ which will support the measure $d \gamma(\bar{g})$ and which is diffeomorphic to a Zariski open subset of $\mathbb{R}^{d}$ for some $d \in \mathbb{N}^{*}$. The following example illustrates this fact:

Example 3.5.1 Let $\mathfrak{g}$ be the 7-dimensional Lie algebra spanned by the JordanHölder basis $\mathscr{Z}=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{7}\right)$, equipped with the brackets
$$
\left[Z_{1}, Z_{4}\right]=Z_{6}, \quad\left[Z_{1}, Z_{5}\right]=Z_{7}, \quad\left[Z_{2}, Z_{3}\right]=Z_{7}
$$
Consider its Abelian subalgebras $h=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{4}, Z_{5}, Z_{7}\right)$ and $\mathfrak{b}=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{3}, Z_{4}\right.$, $Z_{7}$. Since many products commute, the element $g=: z_{1} Z_{1} \cdots z_{7} Z_{7} \in G$, $\left(z_{1}, \ldots, z_{7}\right) \in \mathbb{R}^{7}$, can be described in the following way:
$$
\begin{aligned}
g &=\left(z_{1} Z_{1} \cdot z_{5} Z_{5}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
&=\left(z_{1} z_{5} Z_{7} \cdot z_{5} Z_{5} \cdot z_{1} Z_{1}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
& \in H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B
\end{aligned}
$$
This implies that $\bar{g}=H \cdot g \cdot B=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B$. On the other hand if $z_{1} \neq 0$, the element $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6}$ can also be written as $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2}$ conjugated by $\exp \left(-\frac{26}{z_{1}}\right) Z_{4}$, which is contained in $H \cap B$. Hence if $z 1 \neq 0$, then $\bar{g}=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B$. As a conclusion,
$H \backslash G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2}, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}$
$=\quad \mathbf{p}\left(G \backslash G_{2}\right) \quad \dot{u} \quad \mathbf{p}\left(G_{2}\right)$
where $\mathbf{p}: g \longmapsto \tilde{g}$, is the canonical projection of $G$ on $H \backslash G / B$, and $\mathscr{V}:=$ $\mathbb{R}^{\star} \times \mathbb{R}$. Hence the space $H \backslash G / B$ is the disjoint union of two subsets, the first is the projection of a Zariski open subset of $G$ and the second of a Zariski closed subset. The measure $d \gamma(\bar{g})$ is shown to be supported on the first set.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

我们回到单连通幂零李群的设置G=经验⁡G和一个封闭的连通子群H=经验⁡H. 给定一个不可约的酉表示圆周率的G，我们提出了限制的明确解体圆周率∣H的圆周率至H，它基于对双陪集空间的精确描述H∖G/乙， 在哪里乙是任何闭合连通子群G，以及众所周知的幂等李群的单项式表示的平滑分解。目的仍然是写出一个平滑的交织算子来分解圆周率∣H变成不可约数。作为一个应用程序，我们产生了不可约表示的张量积的具体分解G以及这些表示的不可约性的标准。
应该首先研究描述一个不可约的单一表示的限制的具体解体的一般问题G到一个封闭的连通子群H=经验湾。由于基里洛夫的理论圆周率∈G^是形式圆周率=圆周率l,b=工业乙Gχl， 在哪里l∈G和b⊂G是极化在l，从 Mackey [124] 可知，限制圆周率至H在双陪集集上解体H∖G/乙并且被积函数的形式为 ind乙(X)Hχ我(X)， 在哪里乙(X)=H∩ψ(X)乙ψ(X)−1,X∈H∖G/乙和l(X)=广告⁡(ψ(X))l∣H, X∈H∖G/乙和ψ:H∖G/乙→G是双陪衬的一个部分。这个想法是描述一个开放的密集子集H∖G/乙和一节ψ这给了我们一个明确的描述圆周率∣H就积分而言H∖G/乙的陈述 ind乙(X)Hχl(X)（见提案 3.5.27）。关于单项式表示的显式分解的结果用于获得约束的具体分解。不知何故，需要将限制“抽象”分解为不可约的单连通幂零李群的连通闭子群。这里的“抽象”是指度量类在G^给出了约束的解体以及解体中出现的不可约数的多重性。这些构造将应用于分解两个不可约表示的张量积圆周率和圆周率′.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

让G是一个幂零李代数，b任何子代数，乙⊂G他们的单连通李群。回想一下指数映射 exp ：G→G是微分同胚。给定一系列理想

Gn+1:=0⫋…⫋G一世⫋…⫋G1=G,暗淡⁡(G一世/G一世+1)=1,表示每个一世=1,…,n,G一世:=经验⁡G一世并选择一个向量从一世∈G一世∖G一世+1， 以便G一世=R-跨度(从一世,…,从n). 以这种方式获得 Jordan-Hölder 基从:=(从1,…,从n)的G. 为了简化符号，让

在1⋅在2⋯在ķ:=经验⁡(在1)⋅经验⁡(在2)⋯经验⁡(在ķ)∈G
对于给定的向量在1,…,在ķ∈G. 像以前一样表示dG哈尔测量G. 使用基础从, 可以表达dG通过以下方式。

∫GF(G)dG=∫RnF(和1从1⋯和n从n)d和,(F∈大号1(G)).
自从G是幂零的，商空间G/乙有个G-在正标量倍数之前唯一的不变度量。该措施（表示为dG˙) 在第 1 章中进行了描述。1，第。1.2.2。让我们回顾一下这样的结构。让

\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。
一个获得子代数的序列

bp+1:=b⫋…⫋bj:=R从ķj⊕bj−1⫋……b1=G
和马尔切夫基础米:=(从ķ1,…,从ķp)的G关系到b. 不变的度量dG˙然后给出披∈CC(G/乙)经过：

μ米(披)=μG/b(披)=∫G/乙披(G˙)dG˙:=∫Rp披(在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙)d在
在哪里CC(G/乙)表示具有紧支持的复值连续函数空间G/乙. 这是由于映射

和米:Rp⟶ 在=(在1,…,在p)⟼在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙=:和一个(在)
是微分同胚。如果H是的另一个子代数G，然后表示为我H⊂1,…,n索引集

\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
然后可以假设向量从一世,一世∈我H， 位于H以便H=R-跨度\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

为了G∈G，表示为G¯它的双重陪衬H⋅G⋅乙=HGb,(H,b)∈H×乙. 目的是找到一个开放的密集子集H∖G/乙这将支持该措施dC(G¯)并且它与 Zariski 的开子集微分同胚Rd对于一些d∈ñ∗. 以下示例说明了这一事实：

示例 3.5.1 让G是由 JordanHölder 基跨越的 7 维李代数从=(从1,…,从7), 配备支架

[从1,从4]=从6,[从1,从5]=从7,[从2,从3]=从7
考虑它的阿贝尔子代数H=R−跨度⁡(从4,从5,从7)和b=R−跨度⁡(从3,从4, 从7. 由于许多产品通勤，元素G=:和1从1⋯和7从7∈G,(和1,…,和7)∈R7, 可以用以下方式描述：

G=(和1从1⋅和5从5)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) =(和1和5从7⋅和5从5⋅和1从1)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) ∈H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙
这意味着G¯=H⋅G⋅乙=H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙. 另一方面，如果和1≠0, 元素和1从1⋅和2从2⋅和6从6也可以写成和1从1⋅和2从2共轭经验⁡(−26和1)从4，它包含在H∩乙. 因此，如果和1≠0， 然后G¯=H⋅和1从1⋅和2从2⋅乙. 作为结论，
H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}
=p(G∖G2)在˙p(G2)
在哪里p:G⟼G~，是的规范投影G上H∖G/乙， 和在:= R⋆×R. 因此空间H∖G/乙是两个子集的不相交并集，第一个是 Zariski 开子集的投影G和 Zariski 封闭子集的第二个。的措施dC(G¯)显示在第一组上受支持。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Rational Disintegration of L2 for an Exponential

Let $G$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$ and left-regular representation $\lambda_{G}=$ ind $_{{e}}^{G} 1$. Here $f=0$ and $\Gamma_{f}=\mathrm{g}^{\star}$. Take a good sequence of subalgebras of $\mathrm{g}$
$$
a_{0}={0} \subset a_{1} \subset a_{2} \subset \cdots \subset a_{n}=\mathfrak{g}
$$
from which we extract a Malcev basis $\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}$ of $\mathrm{g}, X_{i} \in \mathrm{a}{i} \backslash \mathfrak{a}{i-1}$. In this case and as in Sect. $3.3 .1, K^{{e}}$ is the set of all $j \in{1, \ldots, n}$ such that all $A_{j}$-orbits are saturated with respect to $a_{j-1}$, which implies $V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^{{e}}\right}$. Let $\phi \in V$ and set $\phi_{i}=\phi_{\mid a_{j}}$. Let
$$
\mathrm{b}(\phi)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\phi_{i}\right)
$$
be the Vergne polarization at $\phi$ with respect to the Jordan-Hölder sequence (3.3.20) and $B(\phi)$ its associated Lie group. In addition, we have from the Pukanszky condition that
$$
\operatorname{Ad}^{\star}(B(\phi)) \phi=\phi+\mathfrak{b}(\phi)^{\perp}
$$

Let $\mu_{G}$ be the Haar measure on $G$. We have the following rational disintegration of $L^{2}(G)$
$$
\left(L^{2}(G), \mu_{G}\right) \simeq \int_{V}^{\oplus}\left(L^{2}(G / B(\phi)), \phi\right) d \lambda(\phi)
$$
The isometry is given by:
$$
U(\xi)(\phi)(g)=\int_{B(\phi)} \xi(g u) \chi_{\phi}(u) \Delta_{B(\phi), G}^{-\frac{1}{2}}(u) d_{B(\phi)}(u), g \in G
$$
where $\xi \in C_{c}^{\infty}(G)$ is the set of $C^{\infty}$ functions with compact support in $G$ and $\phi \in V$, $d_{B(\phi)}$ is the Haar measure on $B(\phi)$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining of Representations Induced from Maximal

Definition 3.4.1 Let $G$ be a Lie group. A subgroup $H$ of $G$ is said to be a maximal subgroup if $H \neq G$ and for every subgroup $K$ such that $H \subset K \subset G$, then either $K=H$ or $K=G$.

Remark 3.4.2 If $G$ is a simply connected solvable Lie group and $H$ is a maximal subgroup of $G$, then $H$ has codimension one or two. In the latter case $H$ cannot be a normal subgroup of $G$.

The following result describes the structure of maximal subalgebras of exponential solvable algebras, a proof of which can be found in [106].

Theorem 3.4.3 Let $G=\exp g$ be an exponential solvable Lie group and $H=$ exph a non-normal maximal subgroup of $G$. Then

1. if $\mathrm{h}$ is a hyperplane, there exist a codimension-one subalgebra $\mathrm{g}{0}$ of $\mathrm{h}$ which is a codimension- $t$ wo ideal in $\mathfrak{g}$, plus two elements $A \in \mathfrak{h} \backslash \mathfrak{g}{0}, X \in \mathfrak{g} \backslash \mathfrak{h}$ such that
   $$
   [A, X]=X \bmod \mathfrak{g}_{0}
   $$
2. If $\mathrm{h}$ has codimension two, there exists a codimension-one subalgebra $\mathrm{g}{0}$ of $\mathrm{h}$ which is a codimension-three ideal in $\mathrm{g}$, plus three nonzero vectors $A, X, Y$ and a nonzero real number $\alpha$ such that $$ \begin{gathered} \mathfrak{g}=\mathfrak{h} \oplus \mathbb{R} X \oplus \mathbb{R} Y, \quad \mathfrak{h}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} A \
   {[A, X]=X+\alpha Y \bmod \mathfrak{g}{0},[A, Y]=Y-\alpha X \bmod \mathfrak{g}{0},}
   \end{gathered}
   $$ and$$[X, Y]=0 \bmod \mathfrak{g}_{0} .$$We now prove the following disintegration formula, which basically stems from Theorem 3.4.3.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of an Intertwining Operator

In this section we construct an intertwining operator between the induced representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$ and its decomposition into irreducibles explicitly. Let $s=\left(a_{j}\right){j=0}^{n}$ be a good sequence of subalgebras of $g$ passing through $g{0}$, where $\mathfrak{g}_{0}$ is defined as in Theorem 3.4.3. With the notations above, we can choose s as follows:

1. If $h$ is an ideal of $g$ we have codim $h=1$, then $a_{n-1}=h=g_{0}$.
2. If $h$ is not an ideal and $\operatorname{codim} h=1$, then $\mathfrak{a}{n-2}=\mathfrak{g}{0}$ and $\mathfrak{a}{n-1}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X$.
3. If $\operatorname{codim} h=2$, then $\mathfrak{a}{n-3}=\mathfrak{g}{0}, \mathfrak{a}{n-2}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X$ and $\mathfrak{a}{n-1}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X \oplus \mathbb{R} Y$.
   In the sequel, we shall identify $\mathscr{O}(\tau)$ with the set $\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}$. For $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$, let $\mathrm{b}[l]$ be the Vergne polarization of $l$ associated to $s$ and $B[l]=\exp \mathrm{b}[l]$. We prove first the following

Lemma 3.4.5 For any $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$, there exist a coexponential basis $\mathscr{y}$ of $\mathfrak{b}[l] \cap \mathfrak{h}$ in $\mathfrak{b}[l]$, a coexponential basis $\mathcal{Z}$ of $\mathfrak{b}[l] \cap \mathrm{h}$ in $\mathrm{h}$ and a coexponential basis $\mathscr{X}$ of $\mathrm{b}[l]$ in $\mathrm{g}$ which do not depend on $l$.

Proof As above, we distinguish two cases. We keep the same notations as in Proposition 3.4.4. If $\mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{h}$, then $\tau$ is irreducible and $\mathscr{O}(\tau)={\phi}$ where $\phi \in p^{-1}({f})$. Hence $\operatorname{dim} \mathfrak{b}[\phi]=\operatorname{dim} \mathfrak{b}$. We are going to prove that in this situation $\mathfrak{b}[\phi]=\mathfrak{b}$, which implies $$ \mathscr{y}=\mathscr{Z}=\emptyset $$ Suppose for starters that $H$ is a codimension-one subgroup of $G$. Then $\mathrm{g}=$ $\mathfrak{h} \oplus \mathbb{R} X$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, then as $\mathfrak{g}(\phi) \subset \mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{h}$, we already get that $\mathfrak{b}[\phi]=$ h. Now we suppose that $H$ is a non-normal subgroup of $G$. It follows from the definition of the Vergne polarization $\mathfrak{b}[\phi]$ and for all $i=$ $0, \ldots, \operatorname{codim} h, \quad \mathfrak{a}{n-i}\left(\phi{\mid a_{n-i}}\right) \subset a_{n-i} \cap \mathfrak{g}{\theta} \subset h$, that $\mathfrak{b}[\phi] \subset h$, which implies $\mathfrak{b}[\phi]=\mathfrak{h}$. We conclude that if codim $\mathfrak{h}=1$, we have $$ \mathscr{C}={X} $$ and if $\operatorname{codim} h=2$, we have $$ \mathscr{Q}={X, Y} $$ We now look at the case where $\mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{g}$. We have $X \in \mathfrak{b}[l]$ and $\mathfrak{g}_{0} \subset \mathfrak{g}(l)$, for all $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$. Suppose first that $H$ is a codimension-one subgroup of $G$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, then $\mathfrak{g}(l)=\mathfrak{g}$ and then $\mathfrak{b}[l]=\mathfrak{g}$. Therefore,
$$
\mathscr{Y}={X}, \mathscr{Z}=\mathscr{X}=\emptyset .
$$
Assume then that $H$ is a non-normal subgroup of $G$, so $\mathfrak{g}\left(\phi_{s_{1}}\right)=\mathfrak{g}\left(\phi_{s_{2}}\right)=\mathfrak{g}{0}$ from Eq. (3.4.2) and hence $\mathfrak{b}\left[\phi{s_{1}}\right]=\mathfrak{b}\left[\phi_{s_{2}}\right]=\mathfrak{g}_{0} \oplus \mathbb{R} X$. This implies that
$$
\mathscr{Y}={X}, \mathscr{Z}={A} \text { and } \mathscr{X}={A}
$$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Rational Disintegration of L2 for an Exponential

让G是具有李代数的指数可解李群G和左正则表示λG=工业和G1. 这里F=0和ΓF=G⋆. 取一个好的子代数序列G

一个0=0⊂一个1⊂一个2⊂⋯⊂一个n=G
我们从中提取 Malcev 基\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}的G,X一世∈一个一世∖一个一世−1. 在这种情况下，就像在 Sect 中一样。3.3.1,ķ和是所有的集合j∈1,…,n这样所有一个j-轨道相对于饱和一个j−1，这意味着V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^ {{e}}\右}V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^ {{e}}\右}. 让φ∈在并设置φ一世=φ∣一个j. 让

b(φ)=∑一世=1n一个一世(φ一世)
是 Vergne 极化φ关于 Jordan-Hölder 序列 (3.3.20) 和乙(φ)其相关的李群。此外，我们从 Pukanszky 条件中得到

广告⋆⁡(乙(φ))φ=φ+b(φ)⊥

让μG成为 Haar 度量G. 我们有以下合理的解体大号2(G)

(大号2(G),μG)≃∫在⊕(大号2(G/乙(φ)),φ)dλ(φ)
等距由下式给出：

在(X)(φ)(G)=∫乙(φ)X(G在)χφ(在)Δ乙(φ),G−12(在)d乙(φ)(在),G∈G
在哪里X∈CC∞(G)是集合C∞具有紧凑支持的功能G和φ∈在, d乙(φ)是 Haar 度量乙(φ).

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining of Representations Induced from Maximal

定义 3.4.1 让G成为一个李群。一个子群H的G被称为最大子群，如果H≠G并且对于每个子组ķ这样H⊂ķ⊂G，那么要么ķ=H或者ķ=G.

备注 3.4.2 如果G是一个简单连通的可解李群，并且H是一个最大子群G， 然后H有一个或两个维度。在后一种情况下H不能是的正规子群G.

以下结果描述了指数可解代数的最大子代数的结构，其证明可以在[106]中找到。

定理 3.4.3 让G=经验⁡G是一个指数可解的李群，并且H=exph 的非正规最大子群G. 然后

1. 如果H是一个超平面，存在一个余维子代数G0的H这是一个codimension-吨我的理想在G, 加上两个元素一个∈H∖G0,X∈G∖H这样
   [一个,X]=X反对G0
2. 如果H有余维二，存在余维一子代数G0的H这是一个余维三理想G，加上三个非零向量一个,X,是和一个非零实数一个这样G=H⊕RX⊕R是,H=G0⊕R一个 [一个,X]=X+一个是反对G0,[一个,是]=是−一个X反对G0,和[X,是]=0反对G0.我们现在证明下面的分解公式，它基本上源于定理 3.4.3。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of an Intertwining Operator

在本节中，我们在诱导表示之间构建一个交织算子τ=工业⁡HGχF并将其显式分解为不可约数。让s=(一个j)j=0n是一个很好的子代数序列G路过G0， 在哪里G0定义如定理 3.4.3。有了上面的符号，我们可以选择 s 如下：

1. 如果H是一个理想的G我们有codimH=1， 然后一个n−1=H=G0.
2. 如果H不是一个理想和科迪姆⁡H=1， 然后一个n−2=G0和一个n−1=G0⊕RX.
3. 如果科迪姆⁡H=2， 然后一个n−3=G0,一个n−2=G0⊕RX和一个n−1=G0⊕RX⊕R是.
   接下来，我们将确定○(τ)与套装\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}. 为了l在○(τ)， 让b[l]是 Vergne 极化l关联到s和乙[l]=经验⁡b[l]. 我们首先证明以下

引理 3.4.5 对于任何l在○(τ), 存在一个共指数基是的b[l]∩H在b[l], 一个共指数基从的b[l]∩H在H和一个共指数基础X的b[l]在G不依赖于l.

证明 如上所述，我们区分了两种情况。我们保留与命题 3.4.4 中相同的符号。如果Gθ=H， 然后τ是不可约的并且○(τ)=φ在哪里φ∈p−1(F). 因此暗淡⁡b[φ]=暗淡⁡b. 我们将证明在这种情况下b[φ]=b，这意味着

是=从=∅假设对于初学者来说H是一个余维子群G. 然后G= H⊕RX. 如果H是一个正规子群G，然后作为G(φ)⊂Gθ=H，我们已经知道了b[φ]=H。现在我们假设H是一个非正规子群G. 它遵循 Vergne 极化的定义b[φ]并为所有人一世= 0,…,科迪姆⁡H,一个n−一世(φ∣一个n−一世)⊂一个n−一世∩Gθ⊂H， 那b[φ]⊂H，这意味着b[φ]=H. 我们得出结论，如果 codimH=1， 我们有

C=X而如果科迪姆⁡H=2， 我们有

问=X,是我们现在看一下这种情况Gθ=G. 我们有X∈b[l]和G0⊂G(l)， 对所有人l在○(τ). 首先假设H是一个余维子群G. 如果H是一个正规子群G， 然后G(l)=G接着b[l]=G. 所以，

是=X,从=X=∅.
那么假设H是一个非正规子群G， 所以G(φs1)=G(φs2)=G0从方程式。(3.4.2) 因此b[φs1]=b[φs2]=G0⊕RX. 这意味着

是=X,从=一个 和 X=一个

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
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如果你也在 怎样代写表示论Representation theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写表示论Representation theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写表示论Representation theory代写方面经验极为丰富，各种代写表示论Representation theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的表示论Representation theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Base Space of the Disintegration of Induced Representations

We fix in the whole section an exponential solvable Lie group $G=\exp g$ with Lie algebra $\mathrm{g}$. Let $f$ be an element of $\mathrm{g}^{*}$ and $H=\exp \mathrm{h}$ a normal subgroup of $G$. Recall the monomial representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$, which is realized by left translations in the Hilbert space $\mathscr{H}_{2}$ of continuous functions $\xi$ on $G$ that satisfy the covariance relation (3.3.1) for all $g$ in $G$ and $h$ in $H$ and are square-integrable on $G / H$ for the $G$-invariant measure. A result on the disintegration of $\tau$ was obtained earlier (cf. Theorem 1.4.2). We first recall the precise disintegration formula:

Theorem 3.3.1 Let $G=\exp g$ be an exponential solvable group and $H=\exp$ h $a$ normal subgroup of $G$. Then
$$
\tau \simeq \int_{f+\mathbf{b}^{\perp} / H}^{\oplus} \pi_{l} d \mu(I)
$$
where $\mu$ is the image under the Kirillov-Bernat map of a finite positive measure on $\Gamma_{f} \subset \mathrm{g}^{\star}$ equivalent to the Lebesgue measure. On the other hand, the multiplicities involved in this decomposition are identically 1 or $+\infty$, depending on whether
$$
\operatorname{dim}(H \cdot l)=\operatorname{dim}\left(G \cdot l \cap \Gamma_{f}\right)
$$
or not, for l generic in $\Gamma_{f}$. Equivalently, we might have
$$
2 \operatorname{dim}(H \cdot l)=\operatorname{dim}(G \cdot l)
$$
or not. In either case the multiplicity of $\pi_{l}$ in $\tau$ is the number of $H$-orbits in $G \cdot l \cap \Gamma_{f} \cdot$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

Let $\mathfrak{s}=\left(a_{j}\right){j=0}^{n}$ be a good sequence of subspaces of $\mathfrak{g}$ adapted to $h$, and extract a coexponential basis $B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}$ to $\mathfrak{h}$ in $\mathfrak{g}$. Consider also the disintegration space $V$ endowed with the Lebesgue measure $d \lambda$ as in Sect.3.3.1 and formula (3.3.5). The basis $B$ defines an invariant measure on $G / H$, which allows to fix the norm
$$
|\xi|_{L^{2}(G / H, f)}=\left(\int_{G / H}|\xi(g)|^{2} d_{G, H}(g)\right)^{1 / 2}
$$
on $\mathscr{H}{r}=L^{2}(G / H, f)$ of $\tau$. We now build a Zariski open set $V{0}$ of $V$ and for $\phi \in V_{0}$ the Vergne polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$ relatively to the good sequence $\mathfrak{s}$ as in Theorem 1.2.4. Since this good sequence is adapted to $\mathfrak{h}$, we must have $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{b}(\phi)$ for all $\phi \in V_{0}$. We next construct, for $\phi \in V_{0}$, a coexponential basis $X(\phi)$ to $b(\phi)$ in $\mathfrak{g}$ and a coexponential basis $Y(\phi)$ to $\mathfrak{h}$. All these bases vary continuously on $V_{0}$. For $\phi \in V^{\prime}$ and $j=1, \ldots, n$, we set
$$
J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} . $$ The set of indices $J{j}(\phi)$ is typically not constant for $\phi \in V^{\prime}$, but its cardinality is constant and equal to $d_{j}$ for all $j=1, \ldots, n$. Note then
$$
J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},
$$
We endow the set $\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}$ with the lexicographic order defined by
$$
\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},
$$
if there exists $\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}$ such that $i_{1}(\phi)=i_{1}\left(\phi^{\prime}\right), \ldots, i_{\sigma-1}\left(\phi^{\prime}\right), i_{\sigma}(\phi)<$ $i_{\sigma}\left(\phi^{\prime}\right)$. Using this order, let
$$
J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Inverse Operator

We now prove that formulas (3.3.13) and (3.3.14), established in the proof of the theorem on $C_{c}^{\infty}(G / H, f)$, actually hold on $L^{2}(G / H, f)$. We will resume the cases studied in the previous theorem.
In the first case, it is clear that $L^{2}(G / H, f)=L^{2}\left(G_{0} / H, f_{0}\right)$ and that
$$
\int_{V} L^{2}(G / B(\phi), \phi) d \lambda(\phi)=\int_{V_{0}} L^{2}\left(\mathbb{R}, L^{2}\left(G_{0} / B\left(\phi_{0}\right), \phi_{0}\right)\right) d \lambda^{0}\left(\phi_{0}\right)
$$
Hence $U=\tilde{U}{0} \circ W$, where $W: L^{2}(G / H, f) \rightarrow L^{2}\left(\mathbb{R}, L^{2}\left(G{0} / H, f\right)\right)$ is the operator field defined by
$$
\begin{aligned}
&W(\xi)(t)\left(g_{0}\right)=\xi\left(\exp (t X) \cdot g_{0}\right)=\xi_{t}\left(g_{0}\right), g_{0} \in G_{0} \
&\text { and } \tilde{U}{0}(\xi)(t)\left(g{0}\right)=U_{0}\left(\xi_{t}\right)\left(g_{0}\right) \text {. }
\end{aligned}
$$
We move to the second case, so let $\phi \in V_{0}$ and $\phi_{0}=\phi_{\mid g_{0}}$. Then $\phi=\phi_{s}=$ $\phi_{0}+s X^{\star}$ for some $s \in \mathbb{R}$. For $\eta \in C_{c}^{\infty}\left(G / B\left(\phi_{0}\right)\right.$, $\left.\phi_{0}\right)$, let $\eta^{s}$ be the function defined on $G$ by
$$
\eta^{s}(g)=\int_{\mathbb{R}} \eta\left(g \exp \left(t B_{n}(\phi)\right)\right) e^{-i t s} \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}\left(\exp \left(t B_{n}(\phi)\right)\right) e^{-i t \phi_{0}}\left(Z_{0}(\phi)\right) d t, g \in G
$$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Base Space of the Disintegration of Induced Representations

我们在整个部分中固定了一个指数可解的李群G=经验⁡G与李代数G. 让F成为其中的一个元素G∗和H=经验⁡H的正规子群G. 回想一下单项式表示τ=工业⁡HGχF，这是通过希尔伯特空间中的左平移来实现的H2连续函数X上G满足所有的协方差关系（3.3.1）G在G和H在H并且是平方可积的G/H为了G- 不变的措施。解体的结果τ较早获得（参见定理 1.4.2）。我们首先回忆一下精确的分解公式：

定理 3.3.1 令G=经验⁡G是一个指数可解群，并且H=经验H一个的正常子群G. 然后

τ≃∫F+b⊥/H⊕圆周率ldμ(我)
在哪里μ是在 Kirillov-Bernat 映射下的有限正测度图像ΓF⊂G⋆相当于勒贝格测度。另一方面，这个分解所涉及的多重性是相同的 1 或+∞, 取决于是否

暗淡⁡(H⋅l)=暗淡⁡(G⋅l∩ΓF)
与否，对于 l 通用 inΓF. 等效地，我们可能有

2暗淡⁡(H⋅l)=暗淡⁡(G⋅l)
或不。在任何一种情况下，多重性圆周率l在τ是数量H- 轨道G⋅l∩ΓF⋅.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

让s=(一个j)j=0n是一个好的子空间序列G适应H，并提取一个共指数基B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}至H在G. 还要考虑分解空间在具有勒贝格测度dλ如第 3.3.1 节和公式（3.3.5）。基础乙定义了一个不变的度量G/H，这允许修复规范

|X|大号2(G/H,F)=(∫G/H|X(G)|2dG,H(G))1/2
上Hr=大号2(G/H,F)的τ. 我们现在建立一个 Zariski 开集在0的在并且对于φ∈在0Vergne极化b(φ)在φ相对于好序列s如定理 1.2.4。由于这个良好的序列适用于H, 我们必须有H⊂b(φ)对所有人φ∈在0. 我们接下来构造，对于φ∈在0, 一个共指数基X(φ)至b(φ)在G和一个共指数基础是(φ)至H. 所有这些基础不断变化在0. 为了φ∈在′和j=1,…,n， 我们设置

J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{ k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} 。J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{ k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} 。索引集Ĵj(φ)通常不是恒定的φ∈在′, 但它的基数是恒定的并且等于dj对所有人j=1,…,n. 然后注意

J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right}，J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right}，
我们赋予集合\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}字典顺序定义为

\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{ d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{ d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},
如果存在\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}这样一世1(φ)=一世1(φ′),…,一世σ−1(φ′),一世σ(φ)< 一世σ(φ′). 使用这个顺序，让

J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Inverse Operator

我们现在证明公式 (3.3.13) 和 (3.3.14) 在定理的证明中成立CC∞(G/H,F)，其实坚持大号2(G/H,F). 我们将恢复前面定理中研究的案例。
在第一种情况下，很明显大号2(G/H,F)=大号2(G0/H,F0)然后

∫在大号2(G/乙(φ),φ)dλ(φ)=∫在0大号2(R,大号2(G0/乙(φ0),φ0))dλ0(φ0)
因此在=在~0∘在， 在哪里在:大号2(G/H,F)→大号2(R,大号2(G0/H,F))是由定义的运算符字段

在(X)(吨)(G0)=X(经验⁡(吨X)⋅G0)=X吨(G0),G0∈G0  和 在~0(X)(吨)(G0)=在0(X吨)(G0). 
我们转到第二种情况，所以让φ∈在0和φ0=φ∣G0. 然后φ=φs= φ0+sX⋆对于一些s∈R. 为了这∈CC∞(G/乙(φ0), φ0)， 让这s是定义的函数G经过

这s(G)=∫R这(G经验⁡(吨乙n(φ)))和−一世吨sΔ乙(φ),G−1/2(经验⁡(吨乙n(φ)))和−一世吨φ0(从0(φ))d吨,G∈G

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金融工程代写

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非参数统计代写

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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MATLAB代写

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Disintegration of Monomial Representations

Let $B=\exp b$ be a connected closed subgroup of $G$ and let $\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}$ be a Jordan-Hölder basis of $\mathbf{b}$. Then the map
$$
\psi: \mathbb{R}^{k} \longrightarrow B,\left(t_{1}, \ldots, t_{k}\right) \longrightarrow \exp t_{1} Y_{1} \cdots \exp t_{k} Y_{k}
$$

is a diffeomorphism. We recall from Sect. 1.2.2 how to choose normalized measures $d b$ on $B$ and $G / B$ : for any $C^{\infty}$-function with compact support $\eta$ in $B$,
$$
\int_{B} \eta(b) d(b)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \eta\left(\exp \left(t_{1} Y_{1}\right) \ldots \exp \left(t_{k} Y_{k}\right)\right) d t_{1} \ldots d t_{k} .
$$
This measure is left-invariant and therefore a Haar measure. On the other hand, if we choose a Malcev basis $\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $b$, ie
$$
\mathfrak{g}=\mathbb{R} X_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{R} X_{d} \oplus \mathfrak{b} \text { and } \sum_{k=j}^{d} \mathbb{R} X_{k}+\mathfrak{b}
$$
is a subalgebra of $\mathfrak{g}$ for all $j$, then the measure $d_{G, B}$ on $G / B$ is defined so that
$$
\int_{G / B} \tilde{a}(g) d_{G, B}(g)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \tilde{a}\left(\exp \left(t_{1} X_{1}\right) \cdots \exp \left(t_{d} X_{d}\right)\right) d t_{1} \cdots d t_{d}
$$
is left-invariant for any continuous function with compact support $\tilde{a}$ on $G / B$. By normalizing one of the vectors $X_{j}$, we have that
$$
\int_{G} q(g) d g=\int_{G / B}\left(\int_{B} q(x b) d b\right) d_{G, B}(x)
$$
for any continuous function with compact support $q$ on $G$. We always choose the invariant measures $d_{G, B}$ on the quotient spaces $G / B$ in such a way that this identity holds.

Let $\mathfrak{b}{1}, \mathfrak{b}{2}$ be two polarizations at the point $\phi \in \mathfrak{g}^{\star}$, and $B_{1}, B_{2}$ the two associated subgroups. Notice
$$
S\left(G / B_{i}, \phi\right)=\mathscr{H}{\mathrm{ind}{B_{i}}^{G} \chi_{\phi}}^{\infty}, i \in{1,2},
$$
the space of $C^{\infty}$-vectors of the representation spaces ind ${ }{B{i}}^{G} \chi_{\phi}, i \in{1,2}$, which are $\pi_{\phi, B}$ denote the representation ind $G_{B}^{G} \chi_{\phi}$. If $d_{B_{2}, B_{2} \cap B_{1}}$ denotes the $B_{2}$-left-invariant measure on $B_{2} / B_{2} \cap B_{1}$, for any function $\bar{k}$ of $S\left(G / B_{1}, \phi\right)$ the integral
$$
T_{B_{2}, B_{1}} \tilde{k}(g)=\int_{B_{2} / B_{2} \cap B_{1}} \tilde{k}(g b) \chi \phi(b) d_{B_{2}, B_{2} \cap B_{1}}(b)
$$
defined for every $g \in G$ is absolutely convergent and defines an isomorphism of $S\left(G / B_{1}, \phi\right)$ on $S\left(G / B_{2}, \phi\right)$ which extends by continuity into an intertwining operator between $\pi_{\phi, B_{1}}$ and $\pi_{\phi, B_{2}}$. Furthermore, if the measures on the homogeneous spaces $G / B_{1}$ and $G / B_{2}$ are suitably normalized, $T_{B_{2}, B_{1}}$ is an isometry.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

We now specify a flag $\mathscr{A}$ of ideals of $\mathfrak{g}$. The peculiarity comes from the fact that if $\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}$ is the Jordan-Hölder basis of $\mathfrak{g}$ extracted from $\mathscr{A}$, then $\mathscr{C}$ contains a Jordan-Hölder basis
$$
\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{n-r}=Z_{l_{n-r}}\right}
$$
of $\mathfrak{h}$. We also extract from the latter the Malcev basis $\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $h$ as above. The basis $\mathscr{C}$ gives us the index sets $I^{H}$ and $L^{H}$ and allows to choose a family $R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}$ of real affine functions on $\mathbb{R}^{k}$ having the properties defined above for $L^{H}$. Moreover, by what we saw earlier the basis $\mathscr{B}$ gives us a $G$-invariant measure $d_{G, H}$ on $G / H$, which allows to fix the norm
$$
|\xi|_{L^{2}(G / H, f)}=\left(\int_{G / H}|\xi(g)|^{2} d_{G, H}(g)\right)^{\frac{1}{2}},
$$
for $\xi \in \mathscr{H}{\tau}=L^{2}(G / H, f)$. Let $\mathscr{V}=\mathscr{V} R, \mathscr{B}$. We will now construct a Zariski open set $\mathscr{V}{0}$ of $\mathscr{V}$ on which all of the following objects will be well defined. For $\phi \in \mathscr{V} 0$, we will construct a polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$, a Malcev basis $\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}(\phi)$, a Jordan-Hölder basis $\mathscr{D}(\phi)=$ $\left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$, a Malcev basis $\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$ and finally a basis $\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}$ of $\mathbf{h}$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$. Here the numbers $l, m, p$ do not depend upon $\phi \in \mathscr{V}{0}$. In addition, all vectors $X{j}(\phi), V_{j}(\phi), Y_{j}(\phi)$ and $U_{j}(\phi)$ vary rationally and smoothly on $\phi \in \mathscr{V}_{0}$.

The vectors $\left(X_{j}(\phi)\right)$ ) will define a $G$-invariant measure on $G / B(\phi)$, and hence the norm of the space $\pi_{\phi}$. Likewise, the vectors $\left(Y_{j}(\phi)\right){j}$ determine the $B(\phi)$-invariant measure on $B(\phi) / H \cap B(\phi)$, hence the infinitesimal intertwining operator $T{B(\phi), H}$ and the vectors $\left(U_{j}(\phi)\right)_{j}$ will determine the measure on $H / H \cap B(\phi)$. All objects mentioned above are going to be constructed inductively, step by step. Step $s=0$ consists in defining the bases using certain subalgebras, set of indices and Zariski open sets of $\mathscr{V}$. We will also introduce the tools at this stage, while the objects will be given at the intermediate step $s \in{0, \ldots, \operatorname{dim}(\mathfrak{g})}$. In (3.2.3) we will explain in detail the techniques for passing from $s$ to $s+1$ and exhibit the newly constructed objects. At the very end we will show that the procedure actually stops, at some $s_{0} \in{0, \ldots, \operatorname{dim}(\mathrm{g})}$, and that the outcome bases are convenient. Note that our constructions depend only upon $8, f$ and $h$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case of Exponential Solvable Groups

We study in this section exponential solvable Lie groups $G=\exp g$ for which the inducing subgroup $H=\exp \mathrm{h}$ is normal. We still consider a monomial representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$, where $\chi_{f}$ denotes a character of $H$. Starting from a good sequence of subalgebras $\mathfrak{s}=\left(\mathfrak{a}{i}\right){i=0}^{n}$ passing through $\mathfrak{h}$, we determine an affine subspace $V$ of $\Gamma_{f}$ and a measure $d \lambda$ on $V$ such that
$$
\tau \simeq \int_{V}^{\oplus} \pi_{\phi} d \lambda(\phi),
$$
where $\pi_{\phi}$ are the irreducible representations associated to $\phi$. We next construct an explicit unitary intertwining operator and we find its inverse. The construction of such an operator $U$ goes through the following steps. We start from the good sequence 5 , we construct a coexponential basis $B$ of $\mathrm{h}$ in $\mathrm{g}$, we obtain our disintegration space $V$ with Lebesgue measure $d \lambda$. The basis $B$ defines an invariant measure on $G / H$, hence the norm on the space $\mathscr{H}{\tau}$ of $\tau$. We build next a Zariski open set $V{0}$ of $V$, and for each $\phi \in V_{0}$ the Vergne polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$ relative to the good sequence $\mathfrak{5}$. These polarizations obviously contain $\mathfrak{h}$. We determine then for all $\phi \in V_{0}$ a coexponential basis $X(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ in $\mathfrak{g}$, which fixes a $G$ invariant positive form $v_{G, B(\phi)}$ on the space $K(G, B(\phi)):=\mathscr{E}(G, B(\phi))$ as in Sect. 1.2.2. The latter is the space of continuous numerical functions on $G$, with compact support modulo $B(\phi)=\exp (\mathfrak{b}(\phi))$ and satisfying:
$$
F(g b)=\Delta_{B(\phi), G}(b) F(g)(g \in G, b \in B(\phi)),
$$
Then we have a norm on the space $\mathscr{H}{\phi}$ of the irreducible representation $\pi{\phi}=$ ind $_{B(\phi)}^{G} \chi_{\phi}$. We also construct a coexponential basis $Y(\phi)$ to $\mathfrak{h}$ in $\mathfrak{b}(\phi)$ then an invariant measure $d_{B(\phi), H}$ on $B(\phi) / H$. All these bases vary continuously with $\phi \in V_{0}$ and allow to define the set
$$
\mathscr{H}=\int_{V}^{\oplus} \mathscr{H}_{\phi} d \lambda(\phi)
$$ of the disintegration of $\tau$. Now we associate, to each smooth function $\xi$ on $G$ with compact support modulo $H$ satisfying the generalized covariance relation (1.2.2):
$$
\xi(g h)=\chi_{f}\left(h^{-1}\right) \Delta_{H, G}^{1 / 2}(h) \xi(g),(g \in G, h \in H)
$$
and to each $\phi \in V_{0}$, the $C^{\infty}$-vector
$$
T_{b(\phi), h} \xi(g)=\int_{B(\phi) / H} \xi(g b) \chi_{\phi}(b) \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}(b) d_{B(\phi), H}(b), \quad g \in G
$$
of $\mathscr{H}_{\phi}$. We prove next that this operator is invertible. We will also examine some examples and describe a smooth disintegration of $L^{2}(G)$ for an exponential solvable Lie group $G$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Disintegration of Monomial Representations

让乙=经验⁡b是一个连通闭子群G然后让\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}是一个 Jordan-Hölder 基b. 然后地图

ψ:Rķ⟶乙,(吨1,…,吨ķ)⟶经验⁡吨1是1⋯经验⁡吨ķ是ķ

是微分同胚。我们从教派回忆。1.2.2 如何选择归一化度量db上乙和G/乙: 对于任何C∞-具有紧凑支持的功能这在乙,

∫乙这(b)d(b)=∫Rd这(经验⁡(吨1是1)…经验⁡(吨ķ是ķ))d吨1…d吨ķ.
该度量是左不变的，因此是 Haar 度量。另一方面，如果我们选择 Malcev 基\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}的G关系到b， IE

G=RX1⊕…⊕RXd⊕b 和 ∑ķ=jdRXķ+b
是一个子代数G对所有人j，那么度量dG,乙上G/乙被定义为

∫G/乙一个~(G)dG,乙(G)=∫Rd一个~(经验⁡(吨1X1)⋯经验⁡(吨dXd))d吨1⋯d吨d
对于具有紧支持的任何连续函数是左不变的一个~上G/乙. 通过对其中一个向量进行归一化Xj, 我们有

∫Gq(G)dG=∫G/乙(∫乙q(Xb)db)dG,乙(X)
对于任何具有紧凑支撑的连续函数q上G. 我们总是选择不变的措施dG,乙在商空间上G/乙以这种方式保持这种身份。

让b1,b2在该点是两个极化φ∈G⋆， 和乙1,乙2两个相关的子群。注意

小号(G/乙一世,φ)=H一世nd乙一世Gχφ∞,一世∈1,2,
的空间C∞-表示空间的向量 ind乙一世Gχφ,一世∈1,2， 哪个是圆周率φ,乙表示表示 indG乙Gχφ. 如果d乙2,乙2∩乙1表示乙2-左不变测量乙2/乙2∩乙1, 对于任何函数ķ¯的小号(G/乙1,φ)积分

吨乙2,乙1ķ~(G)=∫乙2/乙2∩乙1ķ~(Gb)χφ(b)d乙2,乙2∩乙1(b)
为每个定义G∈G是绝对收敛的并且定义了一个同构小号(G/乙1,φ)上小号(G/乙2,φ)它通过连续性延伸成一个相互交织的算子圆周率φ,乙1和圆周率φ,乙2. 此外，如果对齐次空间的度量G/乙1和G/乙2适当归一化，吨乙2,乙1是等距。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

我们现在指定一个标志一个的理想G. 特殊性来自这样一个事实，如果\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}是 Jordan-Hölder 基G摘自一个， 然后C包含 Jordan-Hölder 基

\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{nr}=Z_{l_{nr}}\right}\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{nr}=Z_{l_{nr}}\right}
的H. 我们还从后者中提取 Malcev 基础\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}的G关系到H如上。基础C给我们索引集我H和大号H并允许选择一个家庭R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}上的实仿射函数Rķ具有上面定义的属性大号H. 此外，根据我们之前看到的基础乙给了我们一个G- 不变测度dG,H上G/H，这允许修复规范

|X|大号2(G/H,F)=(∫G/H|X(G)|2dG,H(G))12,
为了X∈Hτ=大号2(G/H,F). 让在=在R,乙. 我们现在将构建一个 Zariski 开集在0的在以下所有对象都将在其上得到很好的定义。为了φ∈在0，我们将构造一个极化b(φ)在φ，马尔切夫基\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}的G关系到b(φ), Jordan-Hölder 基D(φ)= \left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}\left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}的H∩b(φ)，马尔切夫基\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}的b(φ)关系到H∩b(φ)最后是一个基础\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}的H关系到H∩b(φ). 这里的数字l,米,p不依赖φ∈在0. 此外，所有向量Xj(φ),在j(φ),是j(φ)和在j(φ)合理而平稳地变化φ∈在0.

向量(Xj(φ))) 将定义一个G- 不变测度G/乙(φ)，因此空间的范数圆周率φ. 同样，向量(是j(φ))j确定乙(φ)- 不变测度乙(φ)/H∩乙(φ), 因此无穷小交织算子吨乙(φ),H和向量(在j(φ))j将确定措施H/H∩乙(φ). 上面提到的所有对象都将逐步以归纳方式构造。步s=0包括使用某些子代数、指数集和 Zariski 开集来定义基在. 我们还将在此阶段介绍工具，而对象将在中间步骤给出s∈0,…,暗淡⁡(G). 在（3.2.3）中，我们将详细解释从s至s+1并展示新构建的对象。最后，我们将证明该过程实际上会停止，在某些s0∈0,…,暗淡⁡(G)，并且结果基础很方便。请注意，我们的构造仅取决于8,F和H.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case of Exponential Solvable Groups

我们在本节中研究指数可解的李群G=经验⁡G其中诱导子群H=经验⁡H是正常的。我们仍然考虑单项表示τ=工业⁡HGχF， 在哪里χF表示一个字符H. 从一个好的子代数序列开始s=(一个一世)一世=0n路过H，我们确定一个仿射子空间在的ΓF和一个措施dλ上在这样

τ≃∫在⊕圆周率φdλ(φ),
在哪里圆周率φ是与φ. 我们接下来构造一个显式的酉交织算子，我们找到它的逆。这样的运营商的建设在经历以下步骤。我们从好的序列 5 开始，我们构造一个共指数基乙的H在G，我们得到我们的解体空间在用勒贝格测度dλ. 基础乙定义了一个不变的度量G/H，因此空间上的范数Hτ的τ. 我们接下来构建一个 Zariski 开集在0的在，并且对于每个φ∈在0Vergne极化b(φ)在φ相对于好序列5. 这些极化显然包含H. 然后我们确定所有φ∈在0共指数基础X(φ)的b(φ)在G，它修复了一个G不变的积极形式在G,乙(φ)在空间上ķ(G,乙(φ)):=和(G,乙(φ))就像在教派中一样。1.2.2。后者是连续数值函数的空间G, 紧支撑模乙(φ)=经验⁡(b(φ))并满足：

F(Gb)=Δ乙(φ),G(b)F(G)(G∈G,b∈乙(φ)),
然后我们在空间上有一个规范Hφ不可约表示的圆周率φ=工业乙(φ)Gχφ. 我们还构建了一个共指数基是(φ)至H在b(φ)然后是一个不变的度量d乙(φ),H上乙(φ)/H. 所有这些碱基不断变化φ∈在0并允许定义集合

H=∫在⊕Hφdλ(φ)的解体τ. 现在我们关联到每个平滑函数X上G带紧凑支撑模H满足广义协方差关系（1.2.2）：

X(GH)=χF(H−1)ΔH,G1/2(H)X(G),(G∈G,H∈H)
并且对每个φ∈在0， 这C∞-向量

吨b(φ),HX(G)=∫乙(φ)/HX(Gb)χφ(b)Δ乙(φ),G−1/2(b)d乙(φ),H(b),G∈G
的Hφ. 接下来我们证明这个算子是可逆的。我们还将检查一些示例并描述大号2(G)对于指数可解的李群G.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Key Point Is the Convergence

We keep all previous notation. In this last section we shall see that the key point is the convergence of the integral
$$
\left(I_{h_{2} h_{1}}^{G} \varphi\right)(g):=\left(I_{h_{2} h_{1}} \varphi\right)(g)=\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)} \varphi(g h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h) d v(h)(g \in G)
$$
At least formally, it is clear that the function $I_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}} \varphi$ satisfies the necessary covariance condition for belonging in the space $\mathscr{H}{\pi{2}}$, and also that $I_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ commutes with left translations. We can therefore assert that the convergence of the integral is one major issue to deal with. We call elements of $I(f, \mathfrak{g})$ Pukanszky polarizations.
In this section we look at all pairs $\left(\mathfrak{h}{1}, \mathfrak{h}{2}\right)$ of Pukanszky polarizations at $f$ which meet the following convergence property:
$(C P):$ The integral
$$
\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)}|\varphi(g h)| \Delta_{H_{2}, G}^{-\frac{1}{2}}(h) d v(h), g \in G
$$
converges on a $G$-invariant and $\mathscr{U}(\mathrm{g})$-invariant dense subspace $\mathscr{H}$ of $\mathscr{H}{\pi{1}}^{\infty}$.
Proposition 2.8.1 Suppose that the pair of Pukanszky polarizations $\left(\mathfrak{h}{1}, \mathbf{h}{2}\right)$ satisfies property $(C P)$. Then for any function $\varphi \in \mathscr{K}\left(f, \mathfrak{h}{1}, G\right)$ we have that $$ \oint{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)}|\varphi(g h)| \Delta_{H_{2}, G}^{-\frac{1}{2}}(h) d v(h)<\infty, g \in G
$$
and the function $g \mapsto\left(I_{b_{2} h_{1}} \varphi\right)(g)$ is continuous.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of Induced Representations

Let $G$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group with Lie algebra g. Consider, as in (1.6.1), the monomial representation $\tau=$ ind $_{H}^{G} \chi$ induced by the unitary character $\chi$ of an analytic subgroup $H$ of $G$. Recall that $h$ is the Lie subalgebra corresponding to $H$, and $\chi$ is written in the form $\chi(\exp X)=$ $e^{i\langle f, X\rangle}\left(X \in\right.$ h) with $f \in \mathfrak{g}^{\star}$. Let $\Gamma_{f}=f+\mathfrak{h}^{\perp}$ be as in Eq. (1.4.8). In parallel to decomposition formula (1.6.2), the disintegration of $\tau$ into irreducibles reads:
$$
\tau \simeq \int_{\Gamma_{f} / H}^{\oplus} \pi_{l} d l
$$

where $d l$ is some natural measure on the space $\Gamma_{f} / H$ of $H$-orbits (cf. Theorem 1.4.2).

We construct in this section an intertwining operator of decomposition (3.2.1) for an arbitrary subgroup $H$. The idea is to make formula (3.2.1) explicit through the construction of certain affine subspaces
$$
\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}=\left{\sum_{i=1}^{r} R_{i}(T) f_{i} ; T \in \mathbb{R}^{k}\right}
$$
of $\Gamma_{f}$, and a measure $d \lambda=d \lambda^{R, \mathfrak{B}}$ on $\mathscr{V} R, \mathfrak{B}$, so that
$$
\tau \simeq \int_{\mathscr{V} R, \mathfrak{g}}^{\oplus} \pi_{\phi} d \lambda^{R, \mathfrak{B}}(\phi) .
$$
Here $R$ denotes a family $\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}$ of affine functions defined on $\mathbb{R}^{k}$, for some non-negative integer $k \in \mathbb{N}$, and $\mathfrak{B}^{\star}=\left{f_{r}, \ldots, f_{1}\right}$ denotes the dual of a Malcev basis $\mathfrak{B}$ relative to $\mathfrak{h}$. Such a basis defines an invariant measure on $G / H$ and so the norm on the space $\mathscr{H}{\mathrm{r}}$ of $\tau$. We then determine a Zariski open set $\mathscr{V}{0}$ of $\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}$, a polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ in $\phi$ for each $\phi \in \mathscr{V} 0$, a Malcev basis $\mathscr{X}(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$, a Malcev basis $\mathscr{Y}(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$ and a Malcev basis $\mathscr{U}$ of $\mathfrak{h}$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$. All these bases vary continuously in $\phi \in \mathcal{V}{0}$, which allows to fix the invariant measure $d{G, B(\phi)}$ on $G / B(\phi)$, where $B(\phi)=\exp (\mathfrak{b}(\phi)$ ) (and hence the norm on the space $\mathscr{H}{\phi}$ of the irreducible representation $\pi{\phi}=$ ind $\left.{B(\phi)}^{G} \chi{\phi}\right), d_{B(\phi), B(\phi) \cap H}$ on $B(\phi) / B(\phi) \cap H$, and $d_{H, H \cap B(\phi)}$ on $H / B(\phi) \cap H$. This permits to define the disintegration space
$$
\mathscr{H}=\int_{\mathscr{y},, \mathfrak{B}}^{\oplus} \mathscr{H}{\phi} d \lambda(\phi) $$ of $\tau$. We now associate, to any sufficiently regular function $\xi$ of $\mathscr{H}{\tau}$ and any $\phi \in \mathscr{V}{0}$, the $C^{\infty}$-vector of $\mathscr{H}{\phi}$ :
$$
T_{B(\phi), H} \xi(g)=\int_{B(\phi) / B(\phi) \cap H} \xi(g b) \chi_{\phi}(b) d_{B(\phi), B(\phi) \cap H(b), g \in G}
$$
We will show that
$$
\int_{\mathscr{Y}{0}}\left|T{B(\phi), H} \xi\right|_{\mathscr{H}{\phi}}^{2} d \phi=|\xi|{\mathscr{H}_{\mathrm{T}}}^{2}
$$
therefore obtaining an isometric intertwining operator of (3.2.2). A (smooth) disintegration of $L^{2}(G)$ is also generated.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Notation and Backgrounds

Let $G$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group with Lie algebra g. Let exp denote, as earlier, the exponential map, so that $G=\exp g$. Let $V, W$ be real vector spaces of finite dimension with $W \subset V$. We denote by $V^{}$ the dual vector space of $V$ and by $W^{\perp}$ the orthogonal to $W$ in $V^{}$. If $u_{1}, \ldots, u_{p},(p \in \mathbb{N})$ indicate linearly independent vectors in $V$, we denote by $\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(u_{1}, \ldots, u_{p}\right)$ the vector subspace of $V$ they span, and we say the basis $\left{u_{1}, \ldots, u_{p}\right}$ generates this space. Given $l \in \mathrm{g}^{*}$ and $X \in \mathfrak{g}$, we denote by $\langle l, X\rangle$ the image of $X$ under $l$. Recall that the kernel of the bilinear form $B_{l}$, defined in Sect. 1.2.4 by $B_{l}(X, Y)=$ $\langle l,[X, Y]\rangle$, is denoted by $\mathrm{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_{l}(X, Y)=0\right.$ for all $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}$. The largest ideal contained in $\mathrm{g}(I)$ will be denoted by a $(l)$. Clearly
$$
\mathrm{a}(l)=\bigcap_{\phi \in G-l} \mathrm{~g}(\phi)
$$
Let $\mathfrak{h} \in S(l, \mathfrak{g})$ and let $\chi_{l}$ be the unitary character of the analytic subgroup $H=$ exp $h$ associated to $l$ by
$$
\chi_{l}(\exp X)=e^{-i\langle l, X\rangle}
$$
for $X \in 6$
Let $V$ be a real vector space of finite dimension and $\rho: G \longrightarrow \operatorname{End}(V)$ a unipotent action of $G$ on $V$. We designate by
$$
(0)=V_{n} \subset V_{n-1} \subset \ldots \subset V_{1} \subset V_{0}=V
$$
a Jordan-Hölder sequence for $G$ and call $\mathscr{L}=\left{v_{1}, \ldots, v_{n}\right}$ an associated JordanHölder basis $\left(v_{j} \in V_{j-1} \backslash V_{j}\right.$ ). If $v \in V$, we write $\rho(x) v=x \cdot v$ for all $x \in G$ and
$$
X \cdot v=\left.\frac{d}{d t}{\rho(\exp (t X)) \cdot v}\right|{t=0},(X \in \mathfrak{g}) $$ The set of indices $e^{\mathscr{L}}(v)=\left{i{1}<\ldots<i_{d}\right}$ of an element $v$ in $V$ relative to $\mathscr{L}$ is the following subset of ${1, \ldots, n}$ :
$$
i \in e^{\mathscr{L}}(v) \Leftrightarrow \exists X \in \mathfrak{g}: X \cdot v \in V_{i-1} \backslash V_{i}
$$
The cardinality $d$ of $e^{\mathscr{L}}(v)$ is the dimension of the $G$-orbit $\Omega$ of $v$ and does not vary with $v$ in $\Omega$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Key Point Is the Convergence

我们保留所有以前的符号。在最后一节中，我们将看到关键点是积分的收敛性

(我H2H1G披)(G):=(我H2H1披)(G)=∮H2/(H1∩H2)披(GH)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)d在(H)(G∈G)
至少在形式上，很明显，函数我H2H1披满足空间归属的必要协方差条件H圆周率2，还有那个我H2H1通勤与左翻译。因此，我们可以断言积分的收敛是需要处理的一个主要问题。我们称元素为我(F,G)普坎斯基极化。
在本节中，我们查看所有对(H1,H2)Pukanszky 极化在F满足以下收敛性：
(C磷):积分

∮H2/(H1∩H2)|披(GH)|ΔH2,G−12(H)d在(H),G∈G
收敛于一个G- 不变的和在(G)- 不变稠密子空间H的H圆周率1∞.
命题 2.8.1 假设 Pukanszky 极化对(H1,H2)满足属性(C磷). 然后对于任何功能披∈ķ(F,H1,G)我们有

∮H2/(H1∩H2)|披(GH)|ΔH2,G−12(H)d在(H)<∞,G∈G
和功能G↦(我b2H1披)(G)是连续的。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of Induced Representations

让G是一个具有李代数 g 的连通且简单连通的幂零李群。如 (1.6.1) 所示，考虑单项式表示τ=工业HGχ由单一性引起χ分析子群的H的G. 回顾H是对应的李子代数H， 和χ写在表格中χ(经验⁡X)= 和一世⟨F,X⟩(X∈h) 与F∈G⋆. 让ΓF=F+H⊥就像在方程式中一样。(1.4.8)。与分解公式（1.6.2）平行，分解τ成不可约的内容如下：

τ≃∫ΓF/H⊕圆周率ldl

在哪里dl是空间上的一些自然尺度ΓF/H的H-轨道（参见定理 1.4.2）。

我们在本节中为任意子群构造一个交织的分解算子（3.2.1）H. 这个想法是通过构造某些仿射子空间使公式（3.2.1）明确

\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}=\left{\sum_{i=1}^{r} R_{i}(T) f_{i} ; T \in \mathbb{R}^{k}\right}\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}=\left{\sum_{i=1}^{r} R_{i}(T) f_{i} ; T \in \mathbb{R}^{k}\right}
的ΓF, 和一个度量dλ=dλR,乙上在R,乙， 以便

τ≃∫在R,G⊕圆周率φdλR,乙(φ).
这里R表示一个家庭\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}定义的仿射函数Rķ, 对于一些非负整数ķ∈ñ， 和\mathfrak{B}^{\star}=\left{f_{r}, \ldots, f_{1}\right}\mathfrak{B}^{\star}=\left{f_{r}, \ldots, f_{1}\right}表示马尔切夫基的对偶乙关系到H. 这样的基础定义了一个不变的度量G/H所以空间上的规范Hr的τ. 然后我们确定一个 Zariski 开集在0的在R,乙, 极化b(φ)在φ对于每个φ∈在0，马尔切夫基X(φ)的b(φ)，马尔切夫基是(φ)的b(φ)关系到H∩b(φ)和马尔切夫基础在的H关系到H∩b(φ). 所有这些碱基不断变化φ∈在0，它允许固定不变的度量dG,乙(φ)上G/乙(φ)， 在哪里乙(φ)=经验⁡(b(φ)) （因此空间上的规范Hφ不可约表示的圆周率φ=工业乙(φ)Gχφ),d乙(φ),乙(φ)∩H上乙(φ)/乙(φ)∩H， 和dH,H∩乙(φ)上H/乙(φ)∩H. 这允许定义分解空间

H=∫是,,乙⊕Hφdλ(φ)的τ. 我们现在将任何足够规则的函数联系起来X的Hτ和任何φ∈在0， 这C∞-向量Hφ :

吨乙(φ),HX(G)=∫乙(φ)/乙(φ)∩HX(Gb)χφ(b)d乙(φ),乙(φ)∩H(b),G∈G
我们将证明

∫是0|吨乙(φ),HX|Hφ2dφ=|X|H吨2
因此获得 (3.2.2) 的等距交织算子。A（平滑）分解大号2(G)也会生成。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Notation and Backgrounds

让G是一个具有李代数 g 的连通且简单连通的幂零李群。如前所述，令 exp 表示指数映射，因此G=经验⁡G. 让在,在是有限维的实向量空间在⊂在. 我们表示在的对偶向量空间在并通过在⊥正交于在在在. 如果在1,…,在p,(p∈ñ)表示线性独立向量在，我们表示为R−跨度⁡(在1,…,在p)的向量子空间在它们跨越，我们说基础\left{u_{1}, \ldots, u_{p}\right}\left{u_{1}, \ldots, u_{p}\right}产生这个空间。给定l∈G∗和X∈G，我们表示为⟨l,X⟩的形象X在下面l. 回想一下双线性形式的核乙l，定义在第。1.2.4 由乙l(X,是)= ⟨l,[X,是]⟩, 表示为\mathrm{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_{l}(X, Y)=0\right.$ 对于所有 $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}\mathrm{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_{l}(X, Y)=0\right.$ 对于所有 $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}. 最大的理想包含在G(我)将被表示为(l). 清楚地

一个(l)=⋂φ∈G−l G(φ)
让H∈小号(l,G)然后让χl是解析子群的单一特征H=经验H关联到l经过

χl(经验⁡X)=和−一世⟨l,X⟩
为了X∈6
让在是有限维的实向量空间和ρ:G⟶结尾⁡(在)的单能动作G上在. 我们指定

(0)=在n⊂在n−1⊂…⊂在1⊂在0=在
Jordan-Hölder 序列为G并打电话\mathscr{L}=\left{v_{1}, \ldots, v_{n}\right}\mathscr{L}=\left{v_{1}, \ldots, v_{n}\right}相关的 JordanHölder 基(在j∈在j−1∖在j）。如果在∈在， 我们写ρ(X)在=X⋅在对所有人X∈G和

X⋅在=dd吨ρ(经验⁡(吨X))⋅在|吨=0,(X∈G)索引集e^{\mathscr{L}}(v)=\left{i{1}<\ldots<i_{d}\right}e^{\mathscr{L}}(v)=\left{i{1}<\ldots<i_{d}\right}一个元素的在在在关系到大号是以下子集1,…,n :

一世∈和大号(在)⇔∃X∈G:X⋅在∈在一世−1∖在一世
基数d的和大号(在)是维度G-轨道Ω的在并且不随在在Ω.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|The General Case

Take $\mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})$ and $H{j}=\exp \left(h_{j}\right)(j=1,2)$. We shall construct an intertwining operator $T_{\mathfrak{b}{2} \mathfrak{h}{1}}$ so that, given $\mathfrak{h}_{j} \in I(f, \mathfrak{g})(1 \leq j \leq 3)$, the composition formula
holds. In order to define this operator we use a third polarization, a Vergne polarization to be precise.

Theorem 2.5.1 Let $\mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})(j=1,2)$ and take a Vergne polarization ho at $f \in \mathrm{g}^{*}$. Then the intertwining isometry $$ T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}=a\left(\mathfrak{h}{1}, \mathfrak{h}{0}, \mathfrak{h}{2}\right) T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{0}} \circ T_{\mathfrak{h}{0} \mathfrak{h}{1}},
$$
where $T_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{0}}, T_{\mathfrak{h}{0} \mathfrak{h}{1}}$ are the intertwining isometries defined in Theorem 2.4.2, does not depend on the choice of the Vergne polarization $\mathrm{h}{0}$. Moreover, $T{\mathrm{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ coincides with $I_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ if at least one of $\mathfrak{h}{1}, \mathfrak{h}{2}$ is a Vergne polarization.

Proof We proceed again by induction on $\operatorname{dim} G$. As in the previous proofs, we can at once suppose that there is no minimal ideal which is not central and $f$ does not vanish on any ideal of $\mathrm{g}$.
Let now $\mathbf{h}{3}, \mathbf{h}{4}$ be two Vergne polarizations at $f$. We claim
$$
a\left(b_{1}, h_{3}, h_{2}\right) T_{h_{2} b_{3}} \circ T_{h_{3} h_{1}}=a\left(b_{1}, h_{4}, b_{2}\right) T_{b_{2} b_{4}} \circ T_{\mathfrak{h}{4} b{1}},
$$
where $a\left(\mathfrak{h}{i}, \mathbf{h}{j}, \mathfrak{h}{k}\right)=e^{\frac{\mathbf{I}^{2}}{} \tau\left(\mathfrak{h}, \mathfrak{h}{j}, \mathbf{h}{k}\right)}$. If there is a minimal non-central ideal a contained in $\mathfrak{h}{3} \cap \mathbf{h}{4}$, then $\mathbf{h}{3} \cup \mathbf{h}{4} \subset a^{f}$ and we can apply the induction hypothesis to $\mathfrak{h}{i}^{\prime}=\mathfrak{h}{i} \cap \mathfrak{a}^{f}+\mathfrak{a}, i=1,2$. Thus $$ a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{3}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T_{\mathfrak{h}{2}^{\prime} \mathfrak{h}{3}} \circ T_{\mathfrak{h}{3} \mathfrak{h}{1}^{\prime}}=a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{4}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T{\mathfrak{h}{2}^{\prime} \mathfrak{h}{4}} \circ T_{\mathfrak{h}{4} \mathfrak{h}{1}^{\prime}}
$$
We deduce from this
$$
a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{3}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{3}} \circ T_{\mathfrak{h}{3} \mathfrak{h}{1}}=a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{4}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{4}} \circ T_{\mathfrak{h}{4} \mathfrak{h}{1}}
$$
Hence it suffices to show
$$
a\left(h_{1}, h_{3}, h_{2}\right) a\left(h_{1}^{\prime}, h_{4}, h_{2}^{\prime}\right)=a\left(h_{1}, h_{4}, h_{2}\right) a\left(h_{1}^{\prime}, h_{3}, h_{2}^{\prime}\right)
$$
But from Lemma 2.3.11 we have
$a\left(h_{1}, h_{3}, h_{2}\right)=a\left(h_{4}, h_{3}, h_{2}\right) a\left(h_{1}, h_{4}, h_{2}\right) a\left(h_{1}, h_{3}, b_{4}\right)$
$=a\left(h_{4}, \mathbf{h}{3}, \mathbf{h}{2}^{\prime}\right) a\left(h_{1}, \mathbf{h}{4}, \mathbf{h}{2}\right) a\left(\mathbf{h}{1}^{\prime}, \mathbf{h}{3}, \mathbf{h}_{4}\right)$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Local Result

We denote by $\mathscr{H}{\rho}$ the Hilbert space of a unitary representation $\rho$ of $G$, by $\mathscr{H}{\rho}^{\infty}$ the space of $C^{\infty}$-vectors of $\rho$ equipped with the usual topology and by $\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}$ the anti-dual space of $\mathscr{H}{\rho}^{\infty}$. Given a closed subgroup $K$ of $G$ and a character $\lambda$ of $K$, we set
$$
\left(\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}\right)^{K, \lambda}=\left{a \in \mathscr{H}{\rho}^{-\infty} ; \rho(k) a=\lambda(k) a, \forall k \in K\right}
$$
Let $T_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ be the isometry defined above which intertwines $\pi_{1}$ and $\pi_{2}$. This section is devoted to the proof of the next theorem.
Theorem 2.6.1 There exists a positive form $v=v_{H_{2}, H_{1} \cap H_{2}}$ such that
$$
T_{b_{2} h_{1}} \varphi(e)=\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)} \varphi(h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h) d v(h)
$$
for any function $\varphi \in \mathscr{H}{\pi{1}}^{\infty}$ whose support is sufficiently small modulo $H_{1}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case Where h1 + h2 Is a Subalgebra

Lemma 2.7.1 Let $\mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})(j=1,2)$ be such that $\mathfrak{t}=\mathfrak{h}{1}+\mathfrak{h}{2}$ is a subalgebra of $\mathrm{g}$. Then $K=\exp \mathrm{E}=\mathrm{H}{2} \mathrm{H}{1}$ and there exists a coexponential basis of $\mathrm{h} 1 \mathrm{in} \mathrm{g}, a$ part of which is coexponential to $\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}$ in $\mathrm{h}{2}$. In particular, $H_{1} H_{2}$ is closed in $G$.
Proof Supposing $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}{1}+\mathbf{h}{2}$, we shall verify $G=H_{1} H_{2}$. We already know that $H_{1} H_{2}$ is open in $G$. Consider a sequence of subalgebras
$$
h_{1}=m_{0} \subset m_{1} \subset \cdots \subset m_{k}=\mathfrak{h}{1}+[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] $$ such that the adjoint action of $\mathrm{m}{j-1}$ on $\mathrm{m}{j} / \mathrm{m}{j-1}$ is irreducible for all $1 \leq j \leq k$. We put $M_{j}=\exp \left(m_{j}\right)$. Supposing $M_{j-1} \subset H_{1} H_{2}$, we shall prove the same inclusion for $M_{j}$. Suppose first $\operatorname{dim}\left(m_{j} / m_{j-1}\right)=1$. We take a coexponential basis ${X}$ of $\mathrm{m}{j-1}$ in $\mathrm{m}{j}$. By writing $g \in M_{j}$ in the form $g=\exp (x X) \cdot g_{0}$, where $x \in \mathbb{R}$ and $g_{0} \in M_{j-1}$, we immediately see that $g \in H_{2} H_{1}$ if and only if $\exp (x X) \in H_{2} H_{1}$.

On the other hand, the condition
$$
\exp (x X) \in H_{2} H_{1}=\left{a \in G ; a \cdot\left(f+\left(\mathfrak{h}{1}\right)^{\perp}\right) \cap\left(f+\left(\mathbf{h}{2}\right)^{\perp}\right) \neq \emptyset\right}
$$
is expressed by the vanishing of a real analytic function of $x$. Since $H_{2} H_{1}$ is open in $G$, we have rank $B(g) \leq \operatorname{rank} A(e)$ for all $g \in G$. Here, $B(g)$ and $A(e)$ denote the matrices introduced just after Lemma 2.3.11. On the other hand we have $\left(H_{2} H_{1}\right) \cap$ $M_{j}=\exp \left(\mathrm{h}{2} \cap \mathrm{m}{j}\right) H_{1}$, which is connected. These observations give us the desired inclusion $\mathrm{M}{j} \subset \mathrm{H}{2} \mathrm{H}_{1}$.

Suppose now $\operatorname{dim}\left(\mathrm{m}{j} / \mathrm{m}{j-1}\right)=2$. We take $\left{X, X^{\prime}\right}$ in $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ so that $\left{X, X^{\prime}\right}$ is a coexponential basis of $\mathrm{m}{j-1}$ in $\mathrm{m}{j}$. When we write $X=Y_{1}+Y_{2}, X^{\prime}=Y_{1}^{\prime}+Y_{2}^{\prime}$ with $Y_{i}, Y_{i}^{\prime} \in \mathfrak{h}{i}(i=1,2)$, we may for instance assume $\left[Y{i}^{\prime}, \mathrm{m}{j}\right] \subset \mathrm{m}{j-1}(i=1,2)$. If, further, $\left[Y_{i}, \mathrm{~m}{j}\right] \subset \mathrm{m}{j-1}(i=1,2)$, then $\left{Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right}$ becomes a coexponential basis of $\mathrm{m}{j-1}$ in $\mathrm{m}{j}$. For otherwise $\left[Y_{i}, \mathrm{~m}{j}\right] \not \subset \mathrm{m}{j-1}$ and it suffices to replace $X$ by $\left[Y_{1}, X^{\prime}\right]-\left[X, Y_{2}^{\prime}\right]=\left[Y_{1}, Y_{1}^{\prime}\right]-\left[Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right]$ to go fall back into the previous case.

Hence $H_{1} \subset M_{k} \subset H_{2} H_{1}$. Since $\mathrm{m}{k} \supset[\mathrm{g}, \mathrm{g}]$, we can finally choose elements of $\mathfrak{h}{2}$ which constitute a coexponential basis of $m_{k}$ in $\mathfrak{g}$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The General Case

拿Hj∈我(F,G)和Hj=经验⁡(Hj)(j=1,2). 我们将构造一个交织运算符吨b2H1所以，给定Hj∈我(F,G)(1≤j≤3)，组成公式
成立。为了定义这个算子，我们使用第三种极化，准确地说是 Vergne 极化。

定理 2.5.1 令Hj∈我(F,G)(j=1,2)并采取 Vergne 极化 hoF∈G∗. 然后是相互交织的等距

吨H2H1=一个(H1,H0,H2)吨H2H0∘吨H0H1,
在哪里吨H2H0,吨H0H1是定理 2.4.2 中定义的相互交织的等距，不依赖于 Vergne 极化的选择H0. 而且，吨H2H1恰逢我H2H1如果至少有一个H1,H2是 Vergne 极化。

证明 我们再次通过归纳继续暗淡⁡G. 和前面的证明一样，我们可以立即假设没有一个不是中心的最小理想，并且F不会在任何理想中消失G.
现在让H3,H4是两个 Vergne 极化F. 我们声称

一个(b1,H3,H2)吨H2b3∘吨H3H1=一个(b1,H4,b2)吨b2b4∘吨H4b1,
在哪里一个(H一世,Hj,Hķ)=和我2τ(H,Hj,Hķ). 如果有一个最小的非中心理想 a 包含在H3∩H4， 然后H3∪H4⊂一个F我们可以将归纳假设应用于H一世′=H一世∩一个F+一个,一世=1,2. 因此

一个(H1′,H3,H2′)吨H2′H3∘吨H3H1′=一个(H1′,H4,H2′)吨H2′H4∘吨H4H1′
我们由此推断

一个(H1′,H3,H2′)吨H2H3∘吨H3H1=一个(H1′,H4,H2′)吨H2H4∘吨H4H1
因此足以表明

一个(H1,H3,H2)一个(H1′,H4,H2′)=一个(H1,H4,H2)一个(H1′,H3,H2′)
但是从引理 2.3.11 我们有
一个(H1,H3,H2)=一个(H4,H3,H2)一个(H1,H4,H2)一个(H1,H3,b4)
=一个(H4,H3,H2′)一个(H1,H4,H2)一个(H1′,H3,H4)

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Local Result

我们表示Hρ酉表示的希尔伯特空间ρ的G， 经过Hρ∞的空间C∞-向量ρ配备了通常的拓扑结构并通过Hρ−∞的反对偶空间Hρ∞. 给定一个封闭的子群ķ的G和一个角色λ的ķ， 我们设置

\left(\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}\right)^{K, \lambda}=\left{a \in \mathscr{H}{\rho}^{-\infty} ; \rho(k) a=\lambda(k) a, \forall k \in K\right}\left(\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}\right)^{K, \lambda}=\left{a \in \mathscr{H}{\rho}^{-\infty} ; \rho(k) a=\lambda(k) a, \forall k \in K\right}
让吨H2H1是上面定义的等距，它交织在一起圆周率1和圆周率2. 本节专门讨论下一个定理的证明。
定理 2.6.1 存在一个肯定形式在=在H2,H1∩H2这样

吨b2H1披(和)=∮H2/(H1∩H2)披(H)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)d在(H)
对于任何功能披∈H圆周率1∞其支持模数足够小H1.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case Where h1 + h2 Is a Subalgebra

引理 2.7.1 让Hj∈我(F,G)(j=1,2)是这样的吨=H1+H2是一个子代数G. 然后ķ=经验⁡和=H2H1并且存在一个共指数基H1一世nG,一个其中一部分与H1∩H2在H2. 尤其是，H1H2封闭在G.
证明假设G=H1+H2，我们将验证G=H1H2. 我们已经知道H1H2开在G. 考虑一系列子代数

H1=米0⊂米1⊂⋯⊂米ķ=H1+[G,G]这样的伴随动作米j−1上米j/米j−1对所有人都是不可约的1≤j≤ķ. 我们把米j=经验⁡(米j). 假如米j−1⊂H1H2，我们将证明相同的包含米j. 假设首先暗淡⁡(米j/米j−1)=1. 我们以共指数为基础X的米j−1在米j. 通过写作G∈米j在表格中G=经验⁡(XX)⋅G0， 在哪里X∈R和G0∈米j−1，我们立即看到G∈H2H1当且仅当经验⁡(XX)∈H2H1.

另一方面，条件

\exp (x X) \in H_{2} H_{1}=\left{a \in G ; 一个 \cdot\left(f+\left(\mathfrak{h}{1}\right)^{\perp}\right) \cap\left(f+\left(\mathbf{h}{2}\right)^ {\perp}\right) \neq \emptyset\right}\exp (x X) \in H_{2} H_{1}=\left{a \in G ; 一个 \cdot\left(f+\left(\mathfrak{h}{1}\right)^{\perp}\right) \cap\left(f+\left(\mathbf{h}{2}\right)^ {\perp}\right) \neq \emptyset\right}
由一个实解析函数的消失来表示X. 自从H2H1开在G, 我们有排名乙(G)≤秩⁡一个(和)对所有人G∈G. 这里，乙(G)和一个(和)表示在引理 2.3.11 之后引入的矩阵。另一方面，我们有(H2H1)∩ 米j=经验⁡(H2∩米j)H1, 是连通的。这些观察结果为我们提供了所需的包含米j⊂H2H1.

现在假设暗淡⁡(米j/米j−1)=2. 我们采取\left{X, X^{\prime}\right}\left{X, X^{\prime}\right}在[G,G]以便\left{X, X^{\prime}\right}\left{X, X^{\prime}\right}是一个共指数基米j−1在米j. 当我们写X=是1+是2,X′=是1′+是2′和是一世,是一世′∈H一世(一世=1,2)，例如我们可以假设[是一世′,米j]⊂米j−1(一世=1,2). 如果，进一步，[是一世, 米j]⊂米j−1(一世=1,2)， 然后\left{Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right}\left{Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right}成为一个共指数基米j−1在米j. 否则[是一世, 米j]⊄米j−1并且足以替换X经过[是1,X′]−[X,是2′]=[是1,是1′]−[是2,是2′]回到以前的情况。

因此H1⊂米ķ⊂H2H1. 自从米ķ⊃[G,G]，我们终于可以选择元素H2这构成了一个共指数的基础米ķ在G.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Trace Relation

Let $G=\exp \mathfrak{g}$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$. If h,s and $\mathfrak{h}{2}$ are two polarizations of $\mathfrak{g}$ at $f \in \mathfrak{g}^{*}$ which satisfy the Pukanszky condition, the orbit method asserts that the monomial representations $\pi{i}=$ ind $_{H_{i}}^{G} \chi_{f}\left(H_{i}=\right.$ $\exp \left(h_{i}\right), 1 \leq i \leq 2$ ) of $G$ are irreducible and mutually equivalent. We are interested in constructing an explicit intertwining operator between these representations. Let us sketch the idea, which goes back to Vergne [151]. If we have
$$
\text { Tr } \mathrm{ad}{\mathfrak{h}{1} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} X+\operatorname{Tr} \mathrm{ad}{\mathbf{h}{2} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} X=0
$$ for any $X \in \mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}$, then
$$
\Delta_{H_{1}, G}(h)=\Delta_{H_{2}, G}(h) \Delta_{H_{1} \cap H_{2}, H_{2}}(h)^{2}
$$
for all $h \in H_{1} \cap H_{2}$, and, for $\phi$ in the Hilbert space $\mathscr{H}{\pi{1}}$ of $\pi_{1}$ and $g \in G$, the function $\Phi_{g}$ on $H_{2}$ given by
$$
\Phi_{g}(h)=\phi(g h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h)
$$
verifies the relation
$$
\Phi_{g}(h x)=\Delta_{H_{1} \cap H_{2}, H_{2}}(x) \Phi_{g}(h)\left(h \in H_{2}, x \in H_{1} \cap H_{2}\right)
$$
Thus we can, at least formally, consider the integral
$$
\left(I_{b_{2} \mathfrak{b}} \phi\right)(g)=\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)} \phi(g h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h) d v_{H_{2}, H_{1} \cap H_{2}}(h)
$$
for $\phi \in \mathscr{H}{\Pi}$ and $g \in G$. If this integral converges for any $g \in G$, it is clear that $I{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}} \phi$ verifies the covariance relation required on the elements of the space $\mathscr{H}{\pi{2}}$, and $I_{\left.\mathfrak{h}_{2} \mathfrak{h}\right) 1}$ commutes with the action of $G$ by left translations. In fact, Vergne proved the following proposition. An ideal of $g$ is said to be minimal non-central if it is minimal among all non-central ideals of $\mathfrak{g}$. For an ideal $a$ of $\mathfrak{g}$, we put
$$
\mathfrak{a}^{f}={X \in \mathfrak{g} ; f([X, \mathfrak{a}])={0}} .
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relations Between Two Polarizations

We keep the notations.
Remark 2.3.1 Without assuming the Pukanzsy condition Theorem $2.2 .2$ might fail, and we cannot write the integral of $(2.2 .1)$ even if $\pi_{1} \simeq \pi_{2}$. Indeed, let $\mathfrak{g}$ be the completely solvable Lie algebra of dimension 4 with basis $(T, P, Q, Z)$ satisfying
$$
[T, P]=\frac{1}{2} P,[T, Q]=\frac{1}{2} Q,[T, Z]=[P, Q]=Z .
$$

Let $f=Z^{} \in \mathfrak{g}^{}$. Then $\mathfrak{g}(f)={0}$ and
$$
\mathbf{h}{1}=\mathbb{R} T+\mathbb{R} P+\mathbb{R} Z, \mathbf{h}{2}=\mathbb{R} T+\mathbb{R} Q+\mathbb{R} Z
$$
belong to $M(f, \mathfrak{g})$, but neither $\mathfrak{h}{1}$ nor $\mathfrak{h}{2}$ verifies the Pukanszky condition.
There exist two open coadjoint orbits $O_{\pm}$of $G=\exp g$ :
$$
O_{+}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)>0\right}, O_{-}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)<0\right}
$$
Denoting by $\rho(\Omega)$ the irreducible unitary representation of $G$ corresponding to the orbit $\Omega \in \mathfrak{g}^{*} / G$, we know that $\pi_{1} \simeq \pi_{2} \simeq \rho\left(O_{+}\right) \oplus \rho\left(O_{-}\right)$(cf. [151]). However, it is evident that $\operatorname{Tr} \mathrm{ad}{\mathfrak{h}{1} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} T=\operatorname{Tr} \mathrm{ad}{\mathfrak{h}{2} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} T=1 / 2$.

When $G=\exp g$ is nilpotent and $K_{1}, K_{2}$ are analytic subgroups, the product $K_{1} K_{2}=\left{k_{1} k_{2} ; k_{1} \in K_{1}, k_{2} \in K_{2}\right}$ is always a closed subset of $G$ (cf. [97]). We denote by $\mathscr{H}\left(f, \mathfrak{h}{1}, G\right)$ the dense subspace of $\mathscr{H}{\pi_{1}}$ consisting of continuous functions with compact support modulo $H_{1}$. It follows that the integral (2.2.1) converges for $\phi \in \mathscr{H}\left(f, \mathbf{h}{1}, G\right)$. In fact, Lion proved that (2.2.1) gives an intertwining operator between $\pi{1}$ and $\pi_{2}$. On the other hand, when we pass to the exponential case $K_{1} K_{2}$ might not be closed, thus making the convergence of integral (2.2.1) a serious issue.
Example 2.3.2 Take
$$
G_{2}=\exp g_{2}=\left{\left(\begin{array}{ll}
a & b \
0 & 1
\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) ; a>0\right}(a x+b \text { group })
$$
The elements
$$
e_{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 0
\end{array}\right), e_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \
0 & 0
\end{array}\right)
$$
form a basis of $\mathfrak{g}{2}$ such that $\left[e{1}, e_{2}\right]=e_{2}$. Let $f=e_{2}^{} \in \mathfrak{g}{2}^{}, \mathfrak{t}{1}=\mathbb{R} e_{1}, \mathfrak{e}{2}=\mathbb{R}\left(e{1}+\right.$ $\left.e_{2}\right)$ and $K_{i}=\exp \mathfrak{t}{i}(i=1,2)$. Then $\mathfrak{t}{i} \in M\left(f, \mathfrak{g}{2}\right)$ but $\mathfrak{t}{i} \notin I\left(f, \mathfrak{g}{2}\right)(i=1,2)$. We immediately see $$ K{2} K_{1}=\left{g=\left(\begin{array}{ll}
a & b \
0 & 1
\end{array}\right) \in G_{2} ; b>-1\right}
$$
and $\mathfrak{t}{2}=g{0} \cdot \mathfrak{t}{1}$ with $g{0}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \ 0 & 1\end{array}\right) \in G_{2}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Vergne Polarizations

We retain the notations $G=\exp g, f \in \mathfrak{g}^{*}, \mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})$ and $H{j}=\exp \left(\mathfrak{h}_{j}\right)$ for $j=1,2$.

Lemma 2.4.1 If $h_{1}$ is a Vergne polarization, then there exists a coexponential basis of $\mathrm{h}{1} \cap \mathrm{h}{2}$ in $\mathrm{h}{2}$ which is a part of a coexponential basis of $\mathrm{h}{1}$ in $\mathrm{g}$. Likewise, there exists a coexponential basis of $\mathrm{h}{1} \cap \mathrm{h}{2}$ in $\mathrm{h}{1}$ which is a part of a coexponential basis of $h{2}$ in $\mathrm{g}$. In particular, $\mathrm{H}{2} \mathrm{H}{1}$ (hence $\mathrm{H}{1} \mathrm{H}{2}$, too) is closed in $G$.

Proof We proceed by induction on $\operatorname{dim} G$. If there exists a non-trivial ideal a of $\mathfrak{g}$ on which $f$ vanishes, everything passes to the quotient $G / A$ with $A=\exp a$. This case will be excluded in what follows. If there exists a minimal ideal $a$ which is not central, we know (cf. [24, Chap. VI]) that a is contained in any element of $I(f, \mathfrak{g})$. Hence for $j=1,2, \mathfrak{h}{j} \subset \mathfrak{a}^{f} \neq \mathfrak{g}$. Suppose that the Vergne polarization $\mathfrak{h}{1}$ is constructed starting from a good sequence $\mathfrak{s}=\left(a_{j}\right){0 \leq j \leq n}$ of subalgebras, namely: $$ a{j-1} \subset a_{j}, \operatorname{dim}\left(a_{j}\right)=j, \mathbf{h}{1}=\sum{j=1}^{n} a_{j}\left(f_{j}\right), f_{j}=\left.f\right|{a{j}}(1 \leq j \leq n) .
$$
Put $\mathfrak{b}{j}=\mathfrak{a}{j} \cap \mathfrak{a}^{f}$ and $f_{j}^{\prime}=\left.f\right|{\mathfrak{b}{j}}(0 \leq j \leq n)$. There exists an index $j_{0}\left(1 \leq j_{0} \leq n\right)$ such that $\mathbf{b}{j 0}=\mathfrak{b}{j_{0}-1}$ and it is clear that $\mathfrak{s}^{\prime}=\left(\mathfrak{b}{j}\right){0 \leq j \leq n, j \neq j_{0}}$ is a good sequence of subalgebras of $\mathfrak{a}^{f}$. Since $\mathbf{h}{1}=\sum{j=1}^{n} a_{j}\left(f_{j}\right) \subset \mathbf{a}^{f}$, we see $a_{j}\left(f_{j}\right) \subset b_{j}\left(f_{j}^{\prime}\right)$ for every $j$ and hence
$$
\mathfrak{h}{1} \subset \sum{j=1}^{n} \mathfrak{b}{j}\left(f{j}^{\prime}\right)
$$
Well, $\mathfrak{h}_{1}$ being a Lagrangian subspace, we necessarily have equality in (2.4.1). Now it suffices to apply the induction hypothesis to $A^{f}=\exp \left(a^{f}\right)$.

Suppose now that there exists no minimal ideal of $\mathfrak{g}$ which is not central. Take the good sequence $s$ which defines $\mathfrak{h}{1}$. With our hypothesis, we necessarily have $\mathfrak{a}{1}=\mathfrak{z}$ and $f_{1} \neq 0$. If $\mathfrak{a}{2}$ is an ideal of $\mathfrak{g}$, the above reasoning shows that $\mathfrak{h}{1}$ is a Vergne polarization of the subalgebra $\left(a_{2}\right)^{f}$. If $h_{2} \subset\left(a_{2}\right)^{f}$, it suffices to apply the induction hypothesis. If not, we modify $\mathfrak{h}{2}$ to $\mathfrak{h}{2}^{\prime}=\left(\mathfrak{h}{2} \cap\left(\mathfrak{a}{2}\right)^{f}\right)+\mathfrak{a}{2}$ and $H{2}$ to $H_{2}^{\prime}=\exp \left(\mathfrak{h}{2}^{\prime}\right)$. From the Pukanszky condition we can take (cf. [24, Chap. VI]) a coexponential basis ${X}$ of $\left(a{2}\right)^{f}$ in $g$ in such a way that $X$ belongs to $h_{2}$. Take also $Y$ in $a_{2} \backslash a_{1}$

On the other hand, the induction hypothesis says that there exists a coexponential basis $\left{X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}$ to $\mathfrak{h}{1}$ in $\left(a{2}\right)^{f}$ which contains a coexponential basis $\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}$ of $\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}^{\prime}$ in $\mathfrak{h}{2}^{\prime}$ and even in $\mathfrak{h}{2} \cap\left(a_{2}\right)^{f}$. Then $\left{X, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}$ is a coexponential basis of $h_{1}$ in $\mathfrak{g}$, whose part $\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}$ is coexponential for $\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}$ in $\boldsymbol{h}_{2}$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Trace Relation

让G=经验⁡G是具有李代数的指数可解李群G. 如果 h,s 和H2是两个极化G在F∈G∗满足 Pukanszky 条件，轨道方法断言单项式表示圆周率一世=工业H一世GχF(H一世= 经验⁡(H一世),1≤一世≤2） 的G是不可约且相互等价的。我们有兴趣在这些表示之间构建一个明确的交织运算符。让我们勾勒出这个想法，这可以追溯到 Vergne [151]。如果我们有

 Tr 一个dH1/(H1∩H2)X+Tr⁡一个dH2/(H1∩H2)X=0对于任何X∈H1∩H2， 然后

ΔH1,G(H)=ΔH2,G(H)ΔH1∩H2,H2(H)2
对所有人H∈H1∩H2, 并且, 对于φ在希尔伯特空间H圆周率1的圆周率1和G∈G， 功能披G上H2由

披G(H)=φ(GH)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)
验证关系

披G(HX)=ΔH1∩H2,H2(X)披G(H)(H∈H2,X∈H1∩H2)
因此，我们至少可以正式地考虑积分

(我b2bφ)(G)=∮H2/(H1∩H2)φ(GH)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)d在H2,H1∩H2(H)
为了φ∈H圆周率和G∈G. 如果这个积分收敛于任何G∈G， 很清楚我H2H1φ验证空间元素所需的协方差关系H圆周率2， 和我H2H)1通勤与行动G通过左翻译。事实上，Vergne 证明了以下命题。一个理想的G如果它在所有非中心理想中是最小的，则称它是最小的非中心理想G. 为了一个理想一个的G， 我们把

一个F=X∈G;F([X,一个])=0.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relations Between Two Polarizations

我们保留符号。
备注 2.3.1 不假设 Pukanzsy 条件定理2.2.2可能会失败，我们不能写出积分(2.2.1)即使圆周率1≃圆周率2. 确实，让G是有基的完全可解的 4 维李代数(吨,磷,问,从)令人满意的

[吨,磷]=12磷,[吨,问]=12问,[吨,从]=[磷,问]=从.

让F=从∈G. 然后G(F)=0和

H1=R吨+R磷+R从,H2=R吨+R问+R从
属于米(F,G), 但两者都不H1也不H2验证 Pukanszky 条件。
存在两个开放的共轨轨道○±的G=经验⁡G :

O_{+}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)>0\right}, O_{-}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)<0\右}O_{+}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)>0\right}, O_{-}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)<0\右}
表示ρ(Ω)的不可约单一表示G对应轨道Ω∈G∗/G， 我们知道圆周率1≃圆周率2≃ρ(○+)⊕ρ(○−)（参见[151]）。然而，很明显，Tr⁡一个dH1/(H1∩H2)吨=Tr⁡一个dH2/(H1∩H2)吨=1/2.

什么时候G=经验⁡G是幂零的并且ķ1,ķ2是分析子组，乘积K_{1} K_{2}=\left{k_{1} k_{2} ; k_{1} \in K_{1}, k_{2} \in K_{2}\right}K_{1} K_{2}=\left{k_{1} k_{2} ; k_{1} \in K_{1}, k_{2} \in K_{2}\right}总是一个闭子集G（参见[97]）。我们表示H(F,H1,G)的稠密子空间H圆周率1由具有紧凑支持模数的连续函数组成H1. 因此积分 (2.2.1) 收敛于φ∈H(F,H1,G). 事实上，Lion 证明了 (2.2.1) 给出了圆周率1和圆周率2. 另一方面，当我们传递到指数情况时ķ1ķ2可能不会关闭，从而使积分 (2.2.1) 的收敛成为一个严重的问题。
示例 2.3.2 取

G_{2}=\exp g_{2}=\left{\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb {R}); a>0\right}(a x+b \text { group })G_{2}=\exp g_{2}=\left{\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb {R}); a>0\right}(a x+b \text { group })
要素

和1=(10 00),和2=(01 00)
形成一个基础G2这样[和1,和2]=和2. 让F=和2∈G2,吨1=R和1,和2=R(和1+ 和2)和ķ一世=经验⁡吨一世(一世=1,2). 然后吨一世∈米(F,G2)但吨一世∉我(F,G2)(一世=1,2). 我们立即看到

K{2} K_{1}=\left{g=\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in G_{2} ; b>-1\右}K{2} K_{1}=\left{g=\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in G_{2} ; b>-1\右}
和吨2=G0⋅吨1和G0=(1−1 01)∈G2.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Vergne Polarizations

我们保留符号G=经验⁡G,F∈G∗,Hj∈我(F,G)和Hj=经验⁡(Hj)为了j=1,2.

引理 2.4.1 如果H1是 Vergne 极化，则存在一个共指数基H1∩H2在H2它是共指数基的一部分H1在G. 同样，存在一个共指数基H1∩H2在H1它是共指数基的一部分H2在G. 尤其是，H2H1（因此H1H2, 太) 被封闭在G.

证明 我们通过归纳继续暗淡⁡G. 如果存在一个非平凡的理想 aG在哪个F消失，一切都传递给商G/一个和一个=经验⁡一个. 下文将排除这种情况。如果存在最小理想一个这不是中心的，我们知道（参见 [24，Chap. VI]）a 包含在我(F,G). 因此对于j=1,2,Hj⊂一个F≠G. 假设 Vergne 极化H1是从一个好的序列开始构建的s=(一个j)0≤j≤n子代数，即：

一个j−1⊂一个j,暗淡⁡(一个j)=j,H1=∑j=1n一个j(Fj),Fj=F|一个j(1≤j≤n).
放bj=一个j∩一个F和Fj′=F|bj(0≤j≤n). 存在索引j0(1≤j0≤n)这样bj0=bj0−1很明显s′=(bj)0≤j≤n,j≠j0是一个很好的子代数序列一个F. 自从H1=∑j=1n一个j(Fj)⊂一个F， 我们看一个j(Fj)⊂bj(Fj′)对于每个j因此

H1⊂∑j=1nbj(Fj′)
出色地，H1作为拉格朗日子空间，我们在（2.4.1）中必然有等式。现在只需将归纳假设应用于一个F=经验⁡(一个F).

现在假设不存在G这不是中心。采取好的顺序s它定义了H1. 根据我们的假设，我们必然有一个1=和和F1≠0. 如果一个2是一个理想的G, 上述推理表明H1是子代数的 Vergne 极化(一个2)F. 如果H2⊂(一个2)F, 应用归纳假设就足够了。如果不是，我们修改H2至H2′=(H2∩(一个2)F)+一个2和H2至H2′=经验⁡(H2′). 根据 Pukanszky 条件，我们可以采用（参见 [24，Chap. VI]）一个共指数基础X的(一个2)F在G以这样的方式X属于H2. 也拿是在一个2∖一个1

另一方面，归纳假设说存在一个共指数基\left{X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}\left{X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}至H1在(一个2)F其中包含一个共指数基\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}的H1∩H2′在H2′甚至在H2∩(一个2)F. 然后\left{X, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}\left{X, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}是一个共指数基H1在G, 谁的部分\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}是共指数的H1∩H2在H2.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Pseudo-Algebraic Sets

Definition 1.3.1 Let $P$ be a polynomial function with real coefficients on $\mathbb{R}^{m+k}$ and $\lambda_{i}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}, 1 \leq i \leq k$ real linear functionals. The function
$$
F_{P}=F: \mathbb{R}^{m} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto P\left(x, e^{\lambda_{1}(x)}, \ldots, e^{\lambda_{k}(x)}\right)
$$
is called a pseudo-algebraic function associated to the polynomial $P$.

Definition 1.3.2 A subset $V$ of $\mathbb{R}^{m}$ is called pseudo-algebraic if it admits some representation of the form
$$
V=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0\right}
$$
where $F_{i}, 1 \leq i \leq r$ are pseudo-algebraic functions on $\mathbb{R}^{m}$.
Definition 1.3.3 A subset $A$ of $\mathbb{R}^{m}$ is called semi-pseudo-algebraic if it admits some representation of the form
$$
A=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0, G_{1}(x)>0, \ldots, G_{l}(x)>0\right}
$$
where $F_{i}=F_{P_{i}}, 1 \leq i \leq r$ and $G_{j}=G_{Q_{j}}, 1 \leq j \leq l$ are pseudo-algebraic functions on $\mathbb{R}^{m}$ associated to the polynomials $P_{i}$ and $Q_{j}$ respectively.

Then it is clear that any semi-pseudo-algebraic set of $\mathbb{R}^{m}$ is the intersection between the closed set of common zeroes of a finite number of pseudo-algebraic functions on $\mathbb{R}^{m}$ and an open set of $\mathbb{R}^{m}$.

Remark 1.3.4 When the linear forms $\lambda_{i}, i=1, \ldots, k$ are null, the notion of pseudoalgebraic set coincides with the familiar notion of algebraic set. Let us recall the definition of semi-algebraic sets.

Definition 1.3.5 A subset of $\mathbb{R}^{n}$ is said to be a semi-algebraic set if it admits a representation of the form
$$
\left{x \in \mathbb{R}^{n}: h_{1}(x)=\cdots=h_{p}(x)=0, g_{1}(x)>0, \ldots, g_{q}(x)>0\right}
$$
where $h_{1}, \ldots, h_{p}, g_{1}, \ldots, g_{q}$ are polynomial functions on $\mathbb{R}^{n}$.
The following theorem plays an important role in the sequel, since the analysis of the multiplicity function of mixed representations naturally involves pseudoalgebraic geometry (see the next section for details).

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Structure of Coadjoint Orbits

The following theorem describes the structure of the space of coadjoint orbits of an exponential solvable Lie group, and is proved in [45].

Theorem 1.3.9 Let $G$ be a connected and simply connected exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$. There exists a finite partition $\wp$ of $\mathfrak{g}^{}$ such that: (I) each $U \in \wp$ is $G$-invariant, (2) for a given $U \in \wp$, the dimension of coadjoint orbits in $U$ is constant, (3) there is a total ordering $U_{1}}$.
Given $U \in \wp$, there exist a subspace $V$ of $\mathrm{g}^{}$ and index sets $l$ and $\varphi$ such that for each $j \in I$ we have a complex-valued rational map $p_{j}$ on $\mathrm{g}^{}$ and for each $j \in \varphi$ a complex-valued rational map $q_{j}$ on $\mathrm{g}^{*}$ satisfying the following:
(4) the set $\Sigma=\left{l \in V \cap U: p_{j}(l)=0, j \in l,\left|q_{j}(l)\right|^{2}=1, j \in \varphi\right}$ is $a$ cross-section of the coadjoint orbits in $U$.

Moreover, there exists a G-invariant analytic function $P: U \rightarrow U$ such that $P(U)=\Sigma$

If $G$ is a completely solvable Lie group, the set $\varphi$ is empty and the $p_{j}$ are realvalued for each $j \in l$ (see [47]).

Corollary 1.3.10 Let $G$ be a connected and simply connected exponential solvable Lie group with Lie algebra g. Every coadjoint orbit $\Omega$ (lying in some $U$ of the above partition) is closed in $U$ and is a semi-analytic set in $\mathrm{g}^{}$. In particular $\Omega$ is locally closed in $\mathrm{g}^{}$.Proof Let $U$ be a layer in $\wp$ such that $\Omega \subset U$ and let $P: U \rightarrow U$ be the analytic $G$ invariant function such that $P(U)=\Sigma$, where $\Sigma$ is a cross-section of the coadjoint orbits in $U$, as in Theorem 1.3.9. Then $\Omega$ meets $\Sigma$ in a single point. Let ${l}=\Sigma \cap \Omega$. The subset $P^{-1}({l})$ is $G$-invariant and every orbit $\Omega^{\prime} \subset P^{-1}({l})$ intersects $\Omega$, so $\Omega=P^{-1}({l})$. This shows that $\Omega$ is closed in $U$, and semi-analytic as $P$ is analytic. Finally, as $U$ is a semi-algebraic set in $\mathfrak{g}^{}, \Omega$ is a semi-analytic set in $\mathrm{g}^{}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Up-Down Representations of Exponential Solvable Lie Groups

Let $G$ be a real Lie group, $A$ and $H$ closed connected subgroups of $G$ and $\sigma$ a unitary representation of $H$. The representation
$$
\rho(G, H, A, \sigma)=\text { ind }\left.{H}^{G} \sigma\right|{A}
$$ of $A$ is called an up-down representation.
When the unitary representation $\sigma$ of $H$ is replaced by a unitary character $\chi_{f}$, the representation $\rho(G, H, A, \sigma)$ will be simply denoted by $\rho(G, H, A, f)$. It is clear that $\rho(G, H, G, \sigma)=\tau(\sigma)$ and $\rho(G, G, A, \sigma)=\sigma_{\mid A}$. On the other hand, if the product $A H$ is a closed subgroup of $G$, then Mackey’s subgroup theorem allows us to say that
$$
\rho(A H, H, A, \sigma) \simeq \rho\left(A, A \cap H, A, \sigma_{\mid A \cap H}\right) \simeq \operatorname{ind}{A \cap H}^{A}\left(\sigma{A \cap H}\right) .
$$
If $G$ is exponential solvable and $\sigma$ is a unitary irreducible representation, then $\sigma$ is a monomial representation, which means that it is induced by a unitary character. We write $\sigma \simeq \operatorname{ind}{B}^{H} \chi{l}$ where $l \in \mathfrak{g}^{*}, B=\exp (\mathfrak{b})$ and $\mathfrak{b} \in I\left(l_{\mathfrak{h}}, \mathfrak{h}\right)$. Then it is immediate that
$$
\rho(G, H, A, \sigma) \simeq \rho(G, B, A, l)
$$
Thus, the study of the mixed representation (1.4.1) when $\sigma \in \widehat{H}$ can be reduced to mixed representations of type $\rho(G, H, A, f)$. This is exactly what many authors usually do. Some of our results will be proved in full generality for mixedtype representations (1.4.1). Relationship (1.4.2) is sometimes very useful for transferring known results on mixed representations of type $\rho(G, H, A, f)$ to general mixed representations. When $A=H$, the representation $\rho(G, H, H, \sigma)$ will be simply denoted by $\rho(G, H, \sigma)$.

Remark 1.4.1 Mackey studied the disintegration of such representations when $A$ and $H$ are regularly related in the context of arbitrary locally compact groups. At the same time, Lemma $4.2$ in [115] proves that if $H$ and $A$ are normal subgroups of a locally compact group $G$ and $A \subset H$, the support of the mixed representation (1.4.1) is of the form $\left(\sigma_{\mid A}\right)^{g}, g \in G$ where $\left(\sigma_{\mid A}\right)^{g}(a)=\sigma\left(g \cdot a \cdot g^{-1}\right), \in A$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Pseudo-Algebraic Sets

定义 1.3.1 让磷是一个具有实系数的多项式函数R米+ķ和λ一世:R米→R,1≤一世≤ķ实线性泛函。功能

F磷=F:R米⟶R,X⟼磷(X,和λ1(X),…,和λķ(X))
被称为与多项式相关的伪代数函数磷.

定义 1.3.2 一个子集在的R米如果它承认形式的某种表示，则称为伪代数

V=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0\right}V=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0\right}
在哪里F一世,1≤一世≤r是伪代数函数R米.
定义 1.3.3 一个子集一个的R米如果它承认形式的某种表示，则称为半伪代数

A=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0, G_{1}(x)>0, \ ldots, G_{l}(x)>0\right}A=\left{x \in \mathbb{R}^{m}: F_{1}(x)=\ldots=F_{r}(x)=0, G_{1}(x)>0, \ ldots, G_{l}(x)>0\right}
在哪里F一世=F磷一世,1≤一世≤r和Gj=G问j,1≤j≤l是伪代数函数R米与多项式相关联磷一世和问j分别。

那么很明显，任何半伪代数集R米是有限数量的伪代数函数的公共零闭集之间的交集R米和一组开放的R米.

备注 1.3.4 当线性形式λ一世,一世=1,…,ķ为空，伪代数集的概念与我们熟悉的代数集概念一致。让我们回顾一下半代数集的定义。

定义 1.3.5 的一个子集Rn如果它承认形式的表示，则称它是半代数集

\left{x \in \mathbb{R}^{n}: h_{1}(x)=\cdots=h_{p}(x)=0, g_{1}(x)>0, \ldots, g_{q}(x)>0\right}\left{x \in \mathbb{R}^{n}: h_{1}(x)=\cdots=h_{p}(x)=0, g_{1}(x)>0, \ldots, g_{q}(x)>0\right}
在哪里H1,…,Hp,G1,…,Gq是多项式函数Rn.
下面的定理在后续中起着重要的作用，因为对混合表示的多重性函数的分析自然涉及到伪代数几何（详见下节）。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Structure of Coadjoint Orbits

以下定理描述了指数可解李群的共伴轨道空间的结构，并在 [45] 中得到证明。

定理 1.3.9 让G是具有李代数的连通且简单连通的指数可解李群G. 存在有限分区℘的G这样： (I) 每个在∈℘是G-不变量，(2) 对于给定的在∈℘, 共伴轨道的维数在是常数，（3）有一个总排序U_ {1}}U_ {1}}.
给定在∈℘, 存在一个子空间在的G和索引集l和披这样对于每个j∈我我们有一个复值有理图pj上G并且对于每个j∈披复值有理图qj上G∗满足以下条件：
（4）集合\Sigma=\left{l \in V \cap U: p_{j}(l)=0, j \in l,\left|q_{j}(l)\right|^{2}=1, j \in \varphi\right}\Sigma=\left{l \in V \cap U: p_{j}(l)=0, j \in l,\left|q_{j}(l)\right|^{2}=1, j \in \varphi\right}是一个共伴轨道的横截面在.

此外，存在一个 G 不变的解析函数磷:在→在这样磷(在)=Σ

如果G是一个完全可解的李群，集合披是空的，并且pj对每个都是真实的j∈l（见[47]）。

推论 1.3.10 让G是一个具有李代数 g 的连通且简单连通的指数可解李群。每个共轨轨道Ω（躺在一些在上述分区的）被关闭在是一个半解析集G. 尤其是Ω在本地关闭G.证明让在成为其中的一层℘这样Ω⊂在然后让磷:在→在成为分析者G不变函数使得磷(在)=Σ， 在哪里Σ是共伴轨道的横截面在，如定理 1.3.9。然后Ω满足Σ在一个点。让l=Σ∩Ω. 子集磷−1(l)是G- 不变量和每个轨道Ω′⊂磷−1(l)相交Ω， 所以Ω=磷−1(l). 这表明Ω封闭在在, 和半解析为磷是解析的。最后，作为在是一个半代数集G,Ω是一个半解析集G.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Up-Down Representations of Exponential Solvable Lie Groups

让G做一个真正的李群，一个和H的闭合连通子群G和σ的单一表示H. 代表性

ρ(G,H,一个,σ)= 工业 HGσ|一个的一个称为上下表示。
当酉表示σ的H被单一字符替换χF, 表示ρ(G,H,一个,σ)将简单地表示为ρ(G,H,一个,F). 很清楚ρ(G,H,G,σ)=τ(σ)和ρ(G,G,一个,σ)=σ∣一个. 另一方面，如果产品一个H是一个闭子群G, 那么 Mackey 的子群定理允许我们说

ρ(一个H,H,一个,σ)≃ρ(一个,一个∩H,一个,σ∣一个∩H)≃工业⁡一个∩H一个(σ一个∩H).
如果G是指数可解的并且σ是酉不可约表示，则σ是单项式表示，这意味着它是由单一字符诱导的。我们写σ≃工业⁡乙Hχl在哪里l∈G∗,乙=经验⁡(b)和b∈我(lH,H). 然后立即

ρ(G,H,一个,σ)≃ρ(G,乙,一个,l)
因此，混合表示（1.4.1）的研究当σ∈H^可以简化为类型的混合表示ρ(G,H,一个,F). 这正是许多作者通常会做的事情。我们的一些结果将在混合类型表示（1.4.1）中得到完全的普遍性证明。关系（1.4.2）有时对于在类型的混合表示上传输已知结果非常有用ρ(G,H,一个,F)到一般的混合表示。什么时候一个=H, 表示ρ(G,H,H,σ)将简单地表示为ρ(G,H,σ).

备注 1.4.1 Mackey 研究了这些表征的解体，当一个和H在任意局部紧凑群的上下文中经常相关。同时，引理4.2在 [115] 中证明如果H和一个是局部紧群的正规子群G和一个⊂H, 混合表示 (1.4.1) 的支持形式为(σ∣一个)G,G∈G在哪里(σ∣一个)G(一个)=σ(G⋅一个⋅G−1),∈一个.

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Generalities and Notations

We begin this section by reviewing some facts about induced and restricted representations of a solvable Lie group. One says that $G$ is an exponential solvable Lie group if the exponential mapping exp : $\mathfrak{g} \longrightarrow G$ is a diffeomorphism, where $\mathfrak{g}$ designates the Lie algebra of $G$. Let $\mathfrak{g}^{}$ be the dual space of $\mathfrak{g}$. The Lie algebra $\mathfrak{g}$ acts on $\mathfrak{g}$ by the adjoint representation $\mathrm{ad}{\mathfrak{g}}$, that is $$ \operatorname{ad}{\mathfrak{g}}(X)(Y)=\operatorname{ad}(X)(Y)=[X, Y], X, Y \in \mathfrak{g}
$$
The group $G$ acts on $g$ by the adjoint representation Ad $_{\mathfrak{g}}$, that is
$$
\operatorname{Ad}{g}(g) Y=\operatorname{Ad}(g) Y=e^{\operatorname{ad}(X)} Y, g \in G, Y \in \mathfrak{g} $$ and on $\mathrm{g}^{}$ by the coadjoint representation $\mathrm{Ad}{\mathrm{g}}^{}$, i.e. $$ \operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}^{}(g) l(X)=g \cdot l(X)=l\left(\operatorname{Ad}\left(g^{-1}\right) X\right), \quad g \in G, l \in \mathfrak{g}^{} X \in \mathfrak{g} $$ The coadjoint orbit $G \cdot l$ (or $G l$ for short) of $l$ is the set $$ G \cdot l={g \cdot l, g \in G} $$ The space of coadjoint orbits is denoted by $\mathrm{g}^{} / G$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modular Functions and Quotient Measures

Let $G$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $g$. Let $d g$ be a left Haar measure of $G$ and $\Delta_{G}$ the modular function of $G$, which is defined by the relation
$$
\int_{G} F\left(g x^{-1}\right) d g=\Delta_{G}(x) \int_{G} F(g) d g(x \in G)
$$
for any $F$ in the set $C_{c}(G)$ of continuous functions on $G$ with compact support. It is well known that
$$
\Delta_{G}(x)=|\operatorname{det} \operatorname{Ad} x|^{-1}(x \in G)
$$
Define for a subgroup $K$ in $G$ the function $\Delta_{K, G}(k)$ on $K$ by
$$
\Delta_{K, G}(k)=\frac{\Delta_{K}(k)}{\Delta_{G}(k)},(k \in K) .
$$
Let $\mathscr{E}(G, K)$ be the space of continuous functions $\xi$ on $G$ with compact support modulo $K$ which satisfy
$$
\xi(g k)=\Delta_{K, G}(k) \xi(g) \quad(g \in G, k \in K) .
$$
Then $G$ acts on $\mathscr{E}(G, K)$ by left translations. It is known [24] that, up to a positive scalar factor, there exists a unique $G$-invariant positive linear form on $E(G, K)$. We denote it by $\mu_{G, K}$ and write it as
$$
\mu_{G, K}(\xi)=\oint_{G / K} \xi(g) \mu_{G, K}(g)
$$
If $\Delta_{K}=\Delta_{G}$ on $K$ (this is for example the case if $K$ is a normal subgroup of $G$ ), then $\mu_{G, K}$ turns out to be a $G$-invariant measure on the homogeneous space $G / K$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws: Induced Representations

Let $p_{\mathfrak{h}}: \mathfrak{g}^{} \rightarrow \mathfrak{h}^{}$ be the canonical projection of $\mathfrak{h}$, and $\Omega_{\sigma}^{H}$ the coadjoint orbit associated to the representation $\sigma$ by the Kirillov-Bernat map $\Theta_{H}: \mathbf{h}^{} \rightarrow \hat{H}$, (where $\hat{H}$ is the unitary dual of $H$ ). The natural measure on $p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right)$ is the fiber measure that has $H$-invariant measure on the base $\Omega_{\sigma}^{H}$ and Lebesgue measure on the affine fiber $\mathfrak{h}^{\perp}$. The representation $\tau(\sigma)$ obeys the orbital spectrum formula (cf. $[63])$ $$ \tau(\sigma) \simeq \int_{G \cdot p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) / G}^{\oplus} n_{\phi}^{\sigma} \pi_{\phi} d v_{G, H}^{\sigma}(\phi) $$ where $\nu_{G, H}^{\sigma}$ is the push-forward of the natural measure on $p_{\mathrm{b}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \subset \mathrm{g}^{}$ under the mapping $p_{\mathrm{h}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \rightarrow G \cdot p_{\mathrm{h}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) / G$, and the value of the multiplicity function $n_{\phi}^{\sigma}$ is the number of $H$-orbits in $p_{\mathrm{h}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi$. We denote this number by $#\left[p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi / H\right]$ (the symbol #E denotes the cardinality of the set $E$ ).

If $G$ is a completely solvable Lie group , the multiplicity function $\phi \longmapsto n_{\phi}^{\sigma}$ is either uniformly infinite or uniformly finite and bounded. In particular, the multiplicities are finite if and only if
$$
\operatorname{dim} G \cdot \phi-2 \operatorname{dim} H \cdot \phi+\operatorname{dim} \Omega_{\sigma}^{H}=0
$$
for a generic $\phi \in p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right)(\operatorname{see}[104])$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Generalities and Notations

我们首先回顾一些关于可解李群的诱导和限制表示的事实。一个人说G如果指数映射 exp 是指数可解李群：G⟶G是微分同胚，其中G指定的李代数G. 让G成为对偶空间G. 李代数G作用于G由伴随代表一个dG， 那是

广告⁡G(X)(是)=广告⁡(X)(是)=[X,是],X,是∈G
群组G作用于G由伴随表示 AdG， 那是

广告⁡G(G)是=广告⁡(G)是=和广告⁡(X)是,G∈G,是∈G和上G由联合表示一个dG， IE

广告G⁡(G)l(X)=G⋅l(X)=l(广告⁡(G−1)X),G∈G,l∈GX∈G共同轨道G⋅l（或者Gl简称）的l是集合

G⋅l=G⋅l,G∈G共伴轨道的空间表示为G/G.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modular Functions and Quotient Measures

让G是具有李代数的指数可解李群G. 让dG是一个左 Haar 度量G和ΔG的模函数G，由关系定义

∫GF(GX−1)dG=ΔG(X)∫GF(G)dG(X∈G)
对于任何F在集合中CC(G)上的连续函数G与紧凑的支持。众所周知，

ΔG(X)=|这⁡广告⁡X|−1(X∈G)
为子组定义ķ在G功能Δķ,G(ķ)上ķ经过

Δķ,G(ķ)=Δķ(ķ)ΔG(ķ),(ķ∈ķ).
让和(G,ķ)是连续函数的空间X上G带紧凑支撑模ķ满足

X(Gķ)=Δķ,G(ķ)X(G)(G∈G,ķ∈ķ).
然后G作用于和(G,ķ)通过左翻译。众所周知[24]，直到一个正标量因子，存在一个唯一的G-不变的正线性形式和(G,ķ). 我们将其表示为μG,ķ并将其写为

μG,ķ(X)=∮G/ķX(G)μG,ķ(G)
如果Δķ=ΔG上ķ（例如，如果ķ是一个正规子群G）， 然后μG,ķ原来是一个G- 齐次空间上的不变测度G/ķ.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws: Induced Representations

让pH:G→H是的规范投影H， 和ΩσH与表示相关联的共同轨道σ由基里洛夫-贝尔纳特地图θH:H→H^， （在哪里H^是的酉对偶H）。自然措施pH−1(ΩσH)是具有H- 基础上的不变测度ΩσH和 Lebesgue 测量仿射纤维H⊥. 代表性τ(σ)遵循轨道谱公式（cf.[63])

τ(σ)≃∫G⋅pH−1(ΩσH)/G⊕nφσ圆周率φd在G,Hσ(φ)在哪里νG,Hσ是自然措施的推进pb−1(ΩσH)⊂G在映射下pH−1(ΩσH)→G⋅pH−1(ΩσH)/G，以及多重性函数的值nφσ是数量H- 轨道pH−1(ΩσH)∩G⋅φ. 我们用这个数字表示#\left[p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi / H\right]#\left[p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi / H\right]（符号#E 表示集合的基数和 ).

如果G是一个完全可解的李群，多重性函数φ⟼nφσ是一致无限或一致有限且有界的。特别是，多重性是有限的当且仅当

暗淡⁡G⋅φ−2暗淡⁡H⋅φ+暗淡⁡ΩσH=0
对于一个通用的φ∈pH−1(ΩσH)(看⁡[104])

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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