## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MTH5500

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• Statistical Inference 统计推断
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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Exercises

Exercise 1.1. There are very few $L$ ‘s for which a closed form solution to (1.2.3) or (1.2.4) is known. Of course, when $L=\frac{1}{2} \Delta$,
$$P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g(t, \mathbf{y}-\mathbf{x}) d \mathbf{y} \quad \text { where } g(t, \mathbf{y})=(2 \pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|\mathbf{y}|^2}{2 t}} .$$
Another case is when $L$ is the Ornstein-Uhlenbeck operator given by
$$L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \Delta \varphi(\mathbf{x})-(\mathbf{x}, \nabla \varphi(\mathbf{x})){\mathbb{R}^N} .$$ Perhaps the most elementary way to find the associated transition probability function $P(t, \mathbf{x}, \cdot)$ is to use (1.2.4). Namely, suppose $u \in C{\mathrm{b}}^{1,2}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$ satisfies the heat equation $\partial_t u=\frac{1}{2} \Delta u$, and set
$$v(t, \mathbf{x})=u\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, e^{-t} \mathbf{x}\right) .$$
Show that $\partial_t v=L v$, and conclude that
$$P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, \mathbf{y}-e^{-t} \mathbf{x}\right) d \mathbf{y}$$
Exercise 1.2. Given the characterization of linear functionals that satisfy the minimum principle and are quasi-local, it is quite easy to derive the Lévy-Khinchine formula for infinitely divisible laws. A $\mu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is said to be infinitely divisible if, for each $n \geq 1$, there is a $\mu{\frac{1}{n}} \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ such that $\mu=\mu{\frac{1}{n}}^{* n}$, and the Lévy-Khinchine formula says that $\mu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is infinitely divisible if and only if there is a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$ such that $\hat{\mu}=e^{\ell}$ where $(*) \quad \ell(\boldsymbol{\xi})=i(\mathbf{m}, \boldsymbol{\xi}){\mathbb{R}^N}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\xi}, C \boldsymbol{\xi}){\mathbb{R}^N}$ $$+\int{\mathbb{R}^N}\left(e^{i(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}){\mathbb{R} N}}-1-i \mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y})_{\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .$$
As a consequence, one sees that $\mu=\lambda_1$, where $\left{\lambda_t: t>0\right}$ is the canonical family determined by $(\mathbf{m}, C, M)$. In this and the following exercise, you are to derive their formula.

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Itô’s Approach

To address the problem of convergence raised at the end of Chapter 1, K. Itô used a technique known as coupling. Given a pair of Borel probability measures $\mu_1$ and $\mu_2$ on some metric space $(E, \rho)$, a coupling of $\mu_1$ to $\mu_2$ is a pair of $E$-valued random variables $X_1$ on $X_2$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbb{P})$ such that $\mu_1$ is the distribution of $X_1$ and $\mu_2$ is the distribution of $X_2$. Given such a coupling, one can compare $\mu_1$ to $\mu_2$ by looking at
$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\rho\left(X_1, X_2\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} .$$
To yield useful information, the coupling technique requires one to make a judicious choice of the random variables. On the one hand, the choice should be good enough to give a reasonably accurate assessment of the difference between the measures. On the other hand, unless the choice is one for which calculations are possible, it has no value. The choice that Itô made was a very clever compromise between accuracy and practicality. Namely, he lifted everything to pathspace and performed his coupling there. If one thinks, as Itô did, of Kolmogorov’s equations as describing the evolution of measures in $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$, moving to pathspace is a natural idea. Indeed, the measure $\mu_t$ should be the distribution at time $t$ of a randomly diffusing particle, and so the position of that particle should be a good candidate for ones coupling procedure. However, in order to fully appreciate just how clever Itô’s coupling procedure is, it may be helpful to start by using a less clever one.

Let coefficients $a$ and $b$ be given, and, for each $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ and $n \geq 1$, determine $t \rightsquigarrow P_n(t, \mathbf{x})$ by $(1.2 .12)$ with $\nu=\delta_{\mathbf{x}}$. Suppose that $\sigma: \mathbb{R}^N \longrightarrow$ $\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)$ is a Borel measurable function for which $a=\sigma \sigma^{\top}$. Next, let $\left{Y_m: m \geq 1\right}$ be a sequence of mutually independent, $\mathbb{R}^M$-valued Gaussian random variables with mean $\mathbf{0}$ and covariance $\mathbf{I}$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, and define the random variable $X_n(t, \mathbf{x})$ for $(t, \mathbf{x}) \in[0, \infty) \times \mathbb{R}^N$ by $X_n(0, \mathrm{x})=\mathrm{x}$ and $$\begin{gathered} X_n(t, \mathbf{x})=X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)+\left(t-m 2^{-n}\right) b\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) \ +\left(t-m 2^{-n}\right)^{\frac{1}{2}} \sigma\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) Y_{m+1} \end{gathered}$$
for $m 2^{-n}<t \leq(m+1) 2^{-n}$. Using induction on $n \geq 0$, one can check that $P_n(t, \mathbf{x})$ is the distribution of $X_n(t, \mathbf{x})$ and therefore that $X_n(t, \mathbf{x})$ and $X_n(t, \mathbf{y})$ provide a coupling of $P_n(t, \mathbf{x})$ to $P_n(t, \mathbf{y})$.

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Exercises

$$P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g(t, \mathbf{y}-\mathbf{x}) d \mathbf{y} \quad \text { where } g(t, \mathbf{y})=(2 \pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|y|^2}{2 t}} .$$

$$L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \Delta \varphi(\mathbf{x})-(\mathbf{x}, \nabla \varphi(\mathbf{x})) \mathbb{R}^N .$$

$$v(t, \mathbf{x})=u\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, e^{-t} \mathbf{x}\right) .$$

$$P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, \mathbf{y}-e^{-t} \mathbf{x}\right) d \mathbf{y}$$

$$+\int \mathbb{R}^N\left(e^{i(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}) \mathbb{R} N}-1-i \mathbf{1} B(\mathbf{0}, 1)(\mathbf{y})(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y})_{\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .$$

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Itô’s Approach

$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\rho\left(X_1, X_2\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} .$$

Kolmogorov 的方程描述了度量的演变 $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ ，移动到路径空间是一个自然的想法。确实，该措施 $\mu_t$ 应该是 当时的分布 $t$ 随机扩散粒子的位置，因此该粒子的位置应该是耦合过程的良好候选者。然而，为了充分了解 Itô 的 耦合程序是多么聪明，从使用不太聪明的程序开始可能会有所帮助。 让系数 $a$ 和 $b$ 被给予，并且，对于每个 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ 和 $n \geq 1$ ，决定 $t \rightsquigarrow P_n(t, \mathbf{x})$ 经过 $(1.2 .12)$ 和 $\nu=\delta{\mathbf{x}}$. 假设 $\sigma: \mathbb{R}^N \longrightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)$ 是一个 Borel 可测函数 $a=\sigma \sigma^{\top}$. 接下来，让 lleft $\left{\mathrm{Y}{-} \mathrm{m}: \mathrm{m} \backslash \operatorname{lgeq} 1 \backslash \mathrm{right}\right.$, 是一个相 互独立的序列， $\mathbb{R}^M$ 具有均值的高斯随机变量 0 和协方差I在某个概率空间上 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ，并定义随机变量 $X_n(t, \mathbf{x})$ 为了 $(t, \mathbf{x}) \in[0, \infty) \times \mathbb{R}^N$ 经过 $X_n(0, \mathrm{x})=\mathrm{x}$ 和 $$X_n(t, \mathbf{x})=X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)+\left(t-m 2^{-n}\right) b\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right)+\left(t-m 2^{-n}\right)^{\frac{1}{2}} \sigma\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) Y{m+1}$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|GRA6550

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## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Kolmogorov’s equations

The reason why the measures $\lambda_t$ constructed in the preceding are canonical is that they are the analog in $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ of rays $\mathbb{R}^N$. This analogy is based on the equation $\lambda{s+t}=\lambda_s * \lambda_t$. If one thinks of convolution as the analog in $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$ of addition in $\mathbb{R}^N$, then this equation is the analog of the equation $F(s+t)=F(s)+F(t)$, which is the equation for a ray in $\mathbb{R}^N$.

There is an alternative way to think about this analogy. Namely, a ray is the integral curve starting at $\mathbf{0}$ of a vector field $\mathbf{V}$ that is constant in the sense that, for all $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N, \tau_{\mathbf{x}} \circ \mathbf{V}=\mathbf{V} \circ \tau_{\mathbf{x}}$, where $\tau_{\mathbf{x}}$ is the translation operator given by $\tau_{\mathbf{x}} f(\mathbf{y})=f(\mathbf{x}+\mathbf{y})$ for $f: \mathbb{R}^N \longrightarrow \mathbb{R}$. Since $t \rightsquigarrow \lambda_t$ starts at $\delta_{\mathbf{0}}$, which is the analog in $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ of $\mathbf{0}$ in $\mathbb{R}^N$, checking that $t \rightsquigarrow \lambda_t$ is the analog of a ray reduces to showing that its tangent field is constant. To this end, let $A$ be the linear functional determined by the Lévy system corresponding to $\left{\lambda_t: t>0\right}$, and define the operator $L$ so that $L \varphi(\mathbf{x})=A \circ \tau{\mathbf{x}} \varphi$. Then $$\begin{gathered} t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=t^{-1} \int\left(\int(\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{x})) \lambda_t(d \mathbf{y})\right) \lambda_s(d \mathbf{x}) \ =\int t^{-1}\left(\left\langle\tau_{\mathbf{x}} \varphi, \mu_t\right\rangle-\tau_x \varphi(\mathbf{0})\right) \lambda_s(d \mathbf{x}) \longrightarrow\left\langle A \circ \tau_{\mathbf{x}} \varphi, \lambda_s\right\rangle \end{gathered}$$
as $t \searrow 0$. Hence,
$$\lim {t\rangle*} t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=\left\langle L \varphi, \lambda_s\right\rangle,$$
and so
$$\frac{d}{d t}\left\langle\varphi, \lambda_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \lambda_t\right\rangle .$$
Thus $L$ can be thought of as the tangent field along $t \rightsquigarrow \lambda_t$, and it is clearly constant in the sense that $\tau_{\mathbf{x}} \circ L=L \circ \tau_{\mathbf{x}}$.

As we will see, there are advantages to the second line of reasoning. For example, it gives us another characterization of $\left{\lambda_t: t>0\right}$. Namely, we know that $(1.2 .1)$ holds for $\varphi \in \mathbb{D}$, but one can easily show that it holds for all $\varphi \in C_{\mathrm{b}}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{C}\right)$. Indeed, first note that
\begin{aligned} |L \varphi(\mathbf{x})| \leq &|C|_{\text {op }}\left|\nabla^2 \varphi(\mathbf{x})\right|_{\text {op }}+|\mathbf{m} | \nabla \varphi(\mathbf{x})| \ &+\frac{1}{2} \sup {\mathbf{y} \in B(\mathbf{x}, 1)}\left|\nabla^2 \varphi(\mathbf{y})\right|{\text {op }} \int_{B(\mathbf{0}, 1)}|\mathbf{y}|^2 M(d \mathbf{y})+2 M(B(\mathbf{0}, 1) \complement)|\varphi|_{\mathrm{u}} . \end{aligned}

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The forward equation with variable coefficients

In the preceding, we showed that, for any $\nu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right),\left{\nu * \lambda_t: t>0\right}$ can be described as the unique integral curve of the vector field $L$ determined by a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$. As we pointed out, $L$ is a constant vector field. Here we will show how one can go about solving Kolmogorov’s forward equation for $L$ ‘s having variable coefficients, although, because it is the case dealt with in the rest of this book, we will restrict our attention to local operators. That is, until further notice, we will be dealing with operators $$L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum{i, j=1}^N a_{i j}(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \partial_{x_j} \varphi(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^N b_i(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \varphi(\mathbf{x})$$

where $a(\mathbf{x})=\left(\left(a_{i j}(\mathbf{x})\right)\right)_{1 \leq i, j \leq N}$ is a non-negative definite, symmetric matrix for each $x \in \mathbb{R}^N$. In the probability literature, $a$ is called the diffusion coefficient and $b$ is called the drift coefficient. (Cf. the discussion at the beginning of $\S 4.5$ regarding these designations.)

The goal is to find a family $\left{\mu_t: t \geq 0\right} \subseteq \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ which satisfies Kolmogorov’s forward equation $$\partial_t\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \mu_t\right\rangle \quad \text { with } \mu_0=\nu .$$ Although Kolmogorov interpreted this problem from a purely analytic standpoint and wrote $(1.2 .6)$ as $\partial_t f_t=L^* f_t$, where $f_t$ is the density of $\mu_t$ with respect to Lebesgue measure and $$L^* \varphi=\frac{1}{2} \sum{i, j=1}^N \partial_{x_i} \partial_{x_j}\left(a_{i j} \varphi\right)-\sum_{i=1}^N \partial_{x_i}\left(b_i \varphi\right)$$
is the formal adjoint of $L$, K. Itô chose (cf. [18]) an interpretation based on the idea that $L$ is a vector field on $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$ and that (1.2.6) is the equation that describes its integral curves starting at $\nu$. One of the many advantages to adopting Itô’s interpretation is that it leads to the following general existence theorem and explains how he arrived at the ideas developed in Chapters 2 and 3 .

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Kolmogorov’s equations

$$t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=t^{-1} \int\left(\int(\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{x})) \lambda_t(d \mathbf{y})\right) \lambda_s(d \mathbf{x})=\int t^{-1}\left(\left\langle\tau_{\mathbf{x}} \varphi, \mu_t\right\rangle-\tau_x \varphi\right.$$

$$\lim t\rangle * t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \lambda_{s+t}\right\rangle-\left\langle\varphi, \lambda_s\right\rangle\right)=\left\langle L \varphi, \lambda_s\right\rangle,$$

$$\frac{d}{d t}\left\langle\varphi, \lambda_t\right\rangle=\left\langle L \varphi, \lambda_t\right\rangle .$$

$$|L \varphi(\mathbf{x})| \leq|C|{\text {op }}\left|\nabla^2 \varphi(\mathbf{x})\right|{\text {op }}+|\mathbf{m}| \nabla \varphi(\mathbf{x})\left|\quad+\frac{1}{2} \sup \mathbf{y} \in B(\mathbf{x}, 1)\right| \nabla^2 \varphi(\mathbf{y}) \mid \text { op } \int_{B(0,1)}|\mathbf{y}|^2 M(d \mathbf{y})$$

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The forward equation with variable coefficients

$$L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum i, j=1^N a_{i j}(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \partial_{x_j} \varphi(\mathbf{x})+\sum_{i=1}^N b_i(\mathbf{x}) \partial_{x_i} \varphi(\mathbf{x})$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MSA350

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写随机微积分Stochastic calculus方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机微积分Stochastic calculus代写方面经验极为丰富，各种随机微积分Stochastic calculus相关的作业也就用不着说。

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## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Linear functionals that satisfy the minimum principle

Suppose that $t \in(0, \infty) \longmapsto \mu_t \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is a map with the properties that ${ }^1$ $$A \varphi:=\lim {t \chi_0} \frac{\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t}$$
exists for all $^2 \varphi \in \mathbb{D}:=\mathbb{R} \oplus \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)=\left{c+\psi: c \in \mathbb{R} \& \psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)\right}$ and
$$\varlimsup_{R \rightarrow \infty} \varlimsup_{t \searrow_0} \frac{\mu_t(B(\mathbf{0}, R) \mathrm{C})}{t}=0$$

Then
(i) A satisfies the minimum principle:
$$\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi \Longrightarrow A \varphi \geq 0 .$$
(ii) $A$ is clusi-local in the sense that
$$\lim {R \rightarrow \infty} A \varphi_R=0 \quad \text { where } \varphi_R(\mathbf{x})=\varphi\left(\frac{\mathbf{x}}{R}\right)$$ if $\varphi$ is constant in a neighborhood of $\mathbf{0}$. The first of these is obvious, since $$\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})=\left\langle\varphi-\varphi(\mathbf{0}), \mu_t\right\rangle \geq 0$$ if $\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi$. To check the second, choose $\delta>0$ so that $\varphi(\mathbf{y})=\varphi(\mathbf{0})$ for $|\mathbf{y}|<\delta$. Then \begin{aligned} \left|\left\langle\varphi_R, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right| & \leq \int{B(\mathbf{0}, R \delta) \mathrm{C}}\left|\varphi\left(\frac{\mathbf{y}}{R}\right)-\varphi(\mathbf{0})\right| \mu_t(d \mathbf{y}) \ & \leq 2|\varphi|_{\mathrm{u}} \mu_t(B(\mathbf{0}, R \delta) \mathbf{C}) \end{aligned}
which, by $(1.1 .1)$, means that $\lim _{R \rightarrow \infty} A \varphi_R=0$.

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Canonical paths

We have shown that if $\left{\mu_t: t \geq 0\right} \subseteq \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ satisfies (1.1.1) and the limit $$A \varphi=\lim {t\rangle_\lambda 0} t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right)$$
exists for every $\varphi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$, then there is a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$ for which
\begin{aligned} A \varphi=(\mathbf{m}, \nabla \varphi)+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi\right) \ &+\int_{\mathbb{R}^N}\left(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})-\mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\mathbf{y}, \nabla \varphi(0)){\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) . \end{aligned}
The goal here is to show that, for each Lévy system, there is a canonical choice of $\left{\lambda_t: t \geq 0\right}$ such that
\begin{aligned} \lim {t \searrow 0} & \frac{\left\langle\varphi, \lambda_t(d \mathbf{y})\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t} \ =&(\mathbf{m}, \nabla \varphi(\mathbf{0})){\mathbb{R}^N}+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi(\mathbf{0})\right) \ & \quad+\int_{\mathbb{R}^N}\left(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})-\mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\mathbf{y}, \nabla \varphi(0)){\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) \end{aligned}

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Linear functionals that satisfy the minimum principle

$$A \varphi:=\lim t \chi_0 \frac{\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t}$$

$$\varlimsup_{R \rightarrow \infty} \varlimsup_{t \bigwedge_0} \frac{\mu_t(B(\mathbf{0}, R) \mathrm{C})}{t}=0$$

(i) $A$ 满足最小原则:
$$\varphi(\mathbf{0}) \leq \varphi \Longrightarrow A \varphi \geq 0 .$$
(二) $A$ 是局部的，在这个意义上
$$\lim R \rightarrow \infty A \varphi_R=0 \quad \text { where } \varphi_R(\mathbf{x})=\varphi\left(\frac{\mathbf{x}}{R}\right)$$

$$\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})=\left\langle\varphi-\varphi(\mathbf{0}), \mu_t\right\rangle \geq 0$$

$$\left|\left\langle\varphi_R, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right| \leq \int B(\mathbf{0}, R \delta) \mathrm{C}\left|\varphi\left(\frac{\mathbf{y}}{R}\right)-\varphi(\mathbf{0})\right| \mu_t(d \mathbf{y}) \quad \leq\left.\left. 2\right|{\varphi}\right|{\mathrm{u}} \mu_t(B(\mathbf{0}, R \delta) \mathbf{C})$$

## 数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Canonical paths

$$A \varphi=\lim t\rangle_\lambda 0 t^{-1}\left(\left\langle\varphi, \mu_t\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})\right)$$

$$A \varphi=(\mathbf{m}, \nabla \varphi)+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi\right)+\int_{\mathbb{R}^N}\left(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})-\mathbf{1} B(\mathbf{0}, 1)(\mathbf{y})(\mathbf{y}, \nabla \varphi(0)) \mathbb{R}^N\right) M(d \mathbf{y})$$

$$\lim t \searrow 0 \frac{\left\langle\varphi, \lambda_t(d \mathbf{y})\right\rangle-\varphi(\mathbf{0})}{t}=(\mathbf{m}, \nabla \varphi(\mathbf{0})) \mathbb{R}^N+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(C \nabla^2 \varphi(\mathbf{0})\right) \quad+\int_{\mathbb{R}^N}(\varphi(\mathbf{y})-\varphi(\mathbf{0})$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MA451A

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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingale Convergence Theorem

Martingale convergence theorem is one of the main results on martingales. We begin this section with an upcrossings inequality-a key step in its proof. Let $\left{a_n: 1 \leq\right.$ $n \leq m}$ be a sequence of real numbers and $\alpha<\beta$ be real numbers. Let $s_k$, $t_k$ be defined (inductively) as follows: $s_0=0, t_0=0$, and for $k=1,2, \ldots m$ $$s_k=\inf \left{n>t_{k-1}: a_n \leq \alpha\right}, \quad t_k=\inf \left{n \geq s_k: a_n \geq \beta\right} .$$
Recall our convention-infimum of an empty set is taken to be $\infty$. It is easy to see that if $t_k=j<\infty$, then $$0 \leq s_1 (2 k-1) and also writing c_j=\max \left(\alpha, a_j\right) that$$
\sum_{j=1}^m\left(c_{t_j \wedge m}-c_{s j \wedge m}\right) \geq(\beta-\alpha) U_m\left(\left{a_j\right}, \alpha, \beta\right) .
$$This inequality follows because each completed upcrossings contributes at least \beta-\alpha to the sum, one term could be non-negative and rest of the terms are zero. ## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Square Integrable Martingales Martingales M such that$$
$$are called square integrable martingales, and they play a special role in the theory of stochastic integration as we will see later. Let us note that for p=2, the constant C_p appearing in (1.7.2) equals 4 . Thus for a square integrable martingale M, we have$$
\mathrm{E}\left[\left(\max {0 \leq k \leq n}\left|M_k\right|\right)^2\right] \leq 4 \mathrm{E}\left[\left|M_n\right|^2\right] . $$As seen earlier, X_n=M_n^2 is a submartingale and the compensator of X-namely the predictable increasing process A such that X_n-A_n is a martingale, is given by A_0=0 and for n \geq 1,$$ A_n=\sum{k=1}^n \mathrm{E}\left[\left(X_k-X_{k-1}\right) \mid \mathcal{F}{k-1}\right] . $$The compensator A is denoted as \langle M, M\rangle. Using$$ \begin{aligned} \mathrm{E}\left[\left(M_k-M{k-1}\right)^2 \mid \mathcal{F}{k-1}\right] &=\mathrm{E}\left[\left(M_k^2-2 M_k M{k-1}+M_{k-1}^2\right) \mid \mathcal{F}{k-1}\right] \ &=\mathrm{E}\left[\left(M_k^2-M{k-1}^2\right) \mid \mathcal{F}{k-1}\right] \end{aligned} $$it follows that the compensator can be described as$$ \langle M, M\rangle_n-\sum{k=1}^n \mathrm{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 \mid \mathcal{T}{k-1}\right] $$Thus \langle M, M\rangle is the unique predictable increasing process with \langle M, M\rangle_0=0 such that M_n^2-\langle M, M\rangle_n is a martingale. Let us also define another increasing process [M, M] associated with a martingale M:[M, M]_0=0 and$$ [M, M]_n=\sum{k=1}^n\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 .
$$The process [M, M] is called the quadratic variation of M, and the process \langle M, M\rangle is called the predictable quadratic variation of M. ## 随机微积分代考 ## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|鞅收敛定理 鞅收敛定理是关于鞅的主要结果之一。我们从上交不等式开始本节一一这是证明的关键步骙。让 Ueft{a_n: 1 leqiright. \ \$$ \leq $m}$ }是一个实数序列和 $\alpha<\beta$ 是实数。让 $s_k$ ， $t_k$ 定义 (归纳) 如下: $s_0=0, t_0=0$ 并且对于 $k=1,2, \ldots m$

$$0 \leq s_1 \ \(2 k-1) \ \text { andalsowriting } \ c_j=\max \left(\alpha, a_j\right) \ \text { that }$$
Ibetalright) $\$ \$$这种不等式是因为每个完成的上交至少贡献了 \beta-\alpha 总而言之，一项可能是非负数，其余项为零。 ## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|平方可积鞅 鞅 M 这样$$
$$被称为平方可积鞅，它们在随机积分理论中扮演着特殊的角色，我们将在后面看到。让我们注意，对于 p=2 ，常 数 C_p 出现在 (1.7.2) 中等于 4 。因此对于平方可积鞅 M ，我们有$$
\mathrm{E}\left[\left(\max 0 \leq k \leq n\left|M_k\right|\right)^2\right] \leq 4 \mathrm{E}\left[\left|M_n\right|^2\right] .
$$如前所述， X_n=M_n^2 是一个亚鞅，是的补偿器 X-即可预测的增长过程 A 这样 X_n-A_n 是鞅，由下式给出 A_0=0 并且对于 n \geq 1 ，$$
A_n=\sum k=1^n \mathrm{E}\left[\left(X_k-X_{k-1}\right) \mid \mathcal{F} k-1\right] .
$$补偿器 A 表示为 \langle M, M\rangle. 使用$$
\mathrm{E}\left[\left(M_k-M k-1\right)^2 \mid \mathcal{F} k-1\right]=\mathrm{E}\left[\left(M_k^2-2 M_k M k-1+M_{k-1}^2\right) \mid \mathcal{F} k-1\right] \quad \mathrm{E}\left[\left(M_k^2-M k\right.\right.
$$因此，补偿器可以描述为$$
\langle M, M\rangle_n-\sum k=1^n \mathrm{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 \mid \mathcal{T} k-1\right]
$$因此 \langle M, M\rangle 是唯一的可预测的增加过程 \langle M, M\rangle_0=0 这样 M_n^2-\langle M, M\rangle_n 是鞅。让我们也定义另一个增加 的过程 [M, M] 与鞅相关 M:[M, M]0=0 和$$ [M, M]_n=\sum k=1^n\left(M_k-M{k-1}\right)^2 .
$$过程 [M, M] 被称为二次变分 M ，和过程 \langle M, M\rangle 称为可预测的二次变分 M. 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|GRA6550 如果你也在 怎样代写随机微积分Stochastic calculus这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域，因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数，但没有可微的地方。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写随机微积分Stochastic calculus方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机微积分Stochastic calculus代写方面经验极为丰富，各种随机微积分Stochastic calculus相关的作业也就用不着说。 我们提供的随机微积分Stochastic calculus及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingales In this section, we will fix a probability space (\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P}) and a filtration (\mathcal{F}. ). We will only be consideríng \mathbb{R}-valued processes in thís section. Definition 1.9 A sequence M=\left{M_n\right} of random variables is said to be a martingale if M is \left(\mathcal{F}{\text {. }}\right) adapted and for n \geq 0 one has \mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty and$$ \mathrm{E}{\mathrm{P}}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]=M_n . $$Definition 1.10 A sequence M=\left{M_n\right} of random variables is said to be a submartingale if M is \left(\mathcal{F}\right..) adapted and for n \geq 0 one has \mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty and$$ \mathrm{E}{\mathrm{p}}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right] \geq M_n . $$When there are more than one filtration in consideration, we will call it a (\mathcal{F}.)martingale or martingale w.r.t. \left(\mathcal{F}\right.. ). Alternatively, we will say that \left{\left(M_n, \mathcal{F}_n\right): n \geq\right. 0} is a martingale. It is easy to see that for a martingale M, for any m{\mathrm{P}}\left[M_n \mid \mathcal{F}_m\right]=M_m$$
and similar statement is also true for submartingales. Indeed, one can define martingales and submartingales indexed by an arbitrary partially ordered set. We do not discuss these in this book.

If $M$ is a martingale and $\phi$ is a convex function on $\mathbb{R}$, then Jensen’s inequality implies that the process $X=\left{X_n\right}$ defined by $X_n=\phi\left(M_n\right)$ is a submartingale provided $X_n$ is integrable for all $n$. If $M$ is a submartingale and $\phi$ is an increasing convex function then $X$ is also a submartingale provided $X_n$ is integrable for each $n$. In particular, if $M$ is a martingale or a positive submartingale with $\mathrm{E}\left[M_n^2\right]<\infty$ for all $n$, then $Y$ defined by $Y_n=M_n^2$ is a submartingale.

When we are having only one filtration under consideration, we will drop reference to it and simply say $M$ is a martingale. It is easy to see also that sum of two martingales with respect to the same underlying filtration is also a martingale. We note here an important property of martingales that would be used later.

## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stopping Times

We continue to work with a fixed probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and a filtration $(\mathcal{F}$. ).
Definition $1.18$ A stopping time $\tau$ is a function from $\Omega$ to ${0,1,2, \ldots,} \cup{\infty}$ such that
$${\tau=n} \in \mathcal{F}_n, \quad \forall n<\infty .$$
Equivalently, $\tau$ is a stopping time if ${\tau \leq n} \in \mathcal{F}_n$ for all $n \geq 1$. Stopping times were introduced in the context of Markov Chains by Doob. Martingales and stopping times together are very important tools in the theory of stochastic process in general and stochastic calculus in particular.

Definition 1.19 Let $\tau$ be a stopping time and $X$ be an adapted process. The stopped random variable $X_\tau$ is defined by
$$X_\tau(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) 1_{{\tau=n}} .$$
Note that by definition, $X_\tau=X_\tau 1_{{\tau<\infty}}$. The following results connecting martingales and submartingales and stopping times (and their counterparts in continuous time) play a very important role in the theory of stochastic processes.
Exercise 1.20 Let $\sigma$ and $\tau$ be two stopping times and let
$$\xi=\tau \vee \sigma \text { and } \eta=\tau \wedge \sigma .$$
Show that $\xi$ and $\eta$ are also stopping times. Here and in the rest of this book, $a \vee b=\max (a, b)$ and $a \wedge b=\min (a, b)$.

Exercise 1.21 Let $\tau$ be a random variable taking values in ${0,1,2, \ldots}$, and for $n \geq 0$, let $\mathcal{F}_n$ be the $\sigma$-field generated by $\tau \wedge n$. Characterize all the stopping times w.r.t. this filtration.

Theorem 1.22 Let $M=\left{M_n\right}$ be a submartingale and $\tau$ be a stopping time. Then the process $N=\left{N_n\right}$ defined by
$$N_n=M_{n \wedge \tau}$$
is a submartingale. Further, if $M$ is a martingale then so is $N$.

## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Martingales

$$\mathrm{EP}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right]=M_n .$$
$\mathrm{E}\left[\left|M_n\right|\right]<\infty$ 和
$$\operatorname{Ep}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right] \geq M_n .$$

$$\mathbb{K}=\left{f(Y): f \text { from } \mathbb{R} \text { to } \mathbb{R} \text { measurable, } \mathrm{E}\left[(f(Y))^2\right]<\infty\right}$$

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## MATLAB代写

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