数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MTH5500
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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域,因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数,但没有可微的地方。
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数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Exercises
Exercise 1.1. There are very few $L$ ‘s for which a closed form solution to (1.2.3) or (1.2.4) is known. Of course, when $L=\frac{1}{2} \Delta$,
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g(t, \mathbf{y}-\mathbf{x}) d \mathbf{y} \quad \text { where } g(t, \mathbf{y})=(2 \pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|\mathbf{y}|^2}{2 t}} .
$$
Another case is when $L$ is the Ornstein-Uhlenbeck operator given by
$$
L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \Delta \varphi(\mathbf{x})-(\mathbf{x}, \nabla \varphi(\mathbf{x})){\mathbb{R}^N} . $$ Perhaps the most elementary way to find the associated transition probability function $P(t, \mathbf{x}, \cdot)$ is to use (1.2.4). Namely, suppose $u \in C{\mathrm{b}}^{1,2}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$ satisfies the heat equation $\partial_t u=\frac{1}{2} \Delta u$, and set
$$
v(t, \mathbf{x})=u\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, e^{-t} \mathbf{x}\right) .
$$
Show that $\partial_t v=L v$, and conclude that
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, \mathbf{y}-e^{-t} \mathbf{x}\right) d \mathbf{y}
$$
Exercise 1.2. Given the characterization of linear functionals that satisfy the minimum principle and are quasi-local, it is quite easy to derive the Lévy-Khinchine formula for infinitely divisible laws. A $\mu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is said to be infinitely divisible if, for each $n \geq 1$, there is a $\mu{\frac{1}{n}} \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ such that $\mu=\mu{\frac{1}{n}}^{* n}$, and the Lévy-Khinchine formula says that $\mu \in \mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ is infinitely divisible if and only if there is a Lévy system $(\mathbf{m}, C, M)$ such that $\hat{\mu}=e^{\ell}$ where $(*) \quad \ell(\boldsymbol{\xi})=i(\mathbf{m}, \boldsymbol{\xi}){\mathbb{R}^N}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\xi}, C \boldsymbol{\xi}){\mathbb{R}^N}$ $$ +\int{\mathbb{R}^N}\left(e^{i(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}){\mathbb{R} N}}-1-i \mathbf{1}{B(\mathbf{0}, 1)}(\mathbf{y})(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y})_{\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .
$$
As a consequence, one sees that $\mu=\lambda_1$, where $\left{\lambda_t: t>0\right}$ is the canonical family determined by $(\mathbf{m}, C, M)$. In this and the following exercise, you are to derive their formula.
数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Itô’s Approach
To address the problem of convergence raised at the end of Chapter 1, K. Itô used a technique known as coupling. Given a pair of Borel probability measures $\mu_1$ and $\mu_2$ on some metric space $(E, \rho)$, a coupling of $\mu_1$ to $\mu_2$ is a pair of $E$-valued random variables $X_1$ on $X_2$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbb{P})$ such that $\mu_1$ is the distribution of $X_1$ and $\mu_2$ is the distribution of $X_2$. Given such a coupling, one can compare $\mu_1$ to $\mu_2$ by looking at
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\rho\left(X_1, X_2\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} .
$$
To yield useful information, the coupling technique requires one to make a judicious choice of the random variables. On the one hand, the choice should be good enough to give a reasonably accurate assessment of the difference between the measures. On the other hand, unless the choice is one for which calculations are possible, it has no value. The choice that Itô made was a very clever compromise between accuracy and practicality. Namely, he lifted everything to pathspace and performed his coupling there. If one thinks, as Itô did, of Kolmogorov’s equations as describing the evolution of measures in $\mathbf{M}_1\left(\mathbb{R}^N\right)$, moving to pathspace is a natural idea. Indeed, the measure $\mu_t$ should be the distribution at time $t$ of a randomly diffusing particle, and so the position of that particle should be a good candidate for ones coupling procedure. However, in order to fully appreciate just how clever Itô’s coupling procedure is, it may be helpful to start by using a less clever one.
Let coefficients $a$ and $b$ be given, and, for each $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ and $n \geq 1$, determine $t \rightsquigarrow P_n(t, \mathbf{x})$ by $(1.2 .12)$ with $\nu=\delta_{\mathbf{x}}$. Suppose that $\sigma: \mathbb{R}^N \longrightarrow$ $\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)$ is a Borel measurable function for which $a=\sigma \sigma^{\top}$. Next, let $\left{Y_m: m \geq 1\right}$ be a sequence of mutually independent, $\mathbb{R}^M$-valued Gaussian random variables with mean $\mathbf{0}$ and covariance $\mathbf{I}$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, and define the random variable $X_n(t, \mathbf{x})$ for $(t, \mathbf{x}) \in[0, \infty) \times \mathbb{R}^N$ by $X_n(0, \mathrm{x})=\mathrm{x}$ and $$
\begin{gathered}
X_n(t, \mathbf{x})=X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)+\left(t-m 2^{-n}\right) b\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) \
+\left(t-m 2^{-n}\right)^{\frac{1}{2}} \sigma\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) Y_{m+1}
\end{gathered}
$$
for $m 2^{-n}<t \leq(m+1) 2^{-n}$. Using induction on $n \geq 0$, one can check that $P_n(t, \mathbf{x})$ is the distribution of $X_n(t, \mathbf{x})$ and therefore that $X_n(t, \mathbf{x})$ and $X_n(t, \mathbf{y})$ provide a coupling of $P_n(t, \mathbf{x})$ to $P_n(t, \mathbf{y})$.

随机微积分代考
数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Exercises
练习 1.1。很少 $L$ 的,其中 (1.2.3) 或 (1.2.4) 的封闭形式解是已知的。当然,当 $L=\frac{1}{2} \Delta$ ,
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g(t, \mathbf{y}-\mathbf{x}) d \mathbf{y} \quad \text { where } g(t, \mathbf{y})=(2 \pi t)^{-\frac{N}{2}} e^{-\frac{|y|^2}{2 t}} .
$$
另一种情况是当 $L$ 是由给出的 Ornstein-Uhlenbeck 算子
$$
L \varphi(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \Delta \varphi(\mathbf{x})-(\mathbf{x}, \nabla \varphi(\mathbf{x})) \mathbb{R}^N .
$$
也许是找到相关转移概率函数的最基本方法 $P(t, \mathbf{x}, \cdot)$ 是使用 (1.2.4) 。即,假设 $u \in C \mathrm{~b}^{1,2}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^N ; \mathbb{R}\right)$ 满足热方程 $\partial_t u=\frac{1}{2} \Delta u_t$ 并设置
$$
v(t, \mathbf{x})=u\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, e^{-t} \mathbf{x}\right) .
$$
显示 $\partial_t v=L v ,$ 并得出结论
$$
P(t, \mathbf{x}, d \mathbf{y})=g\left(\frac{1-e^{-2 t}}{2}, \mathbf{y}-e^{-t} \mathbf{x}\right) d \mathbf{y}
$$
练习 1.2。鉴于线性泛函的特征满足最小原理并且是准局部的,很容易推导出无限可分定律的 Lévy-Khinchine 公 式。一个 $\mu \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 被称为是无限可分的,如果,对于每个 $n \geq 1$ ,有一个 $\mu \frac{1}{n} \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 这样 $\mu=\mu \frac{1}{n}^{* n}$ ,而 Lévy-Khinchin 公式表示 $\mu \in \mathbf{M} 1\left(\mathbb{R}^N\right)$ 当且仅当存在 Lévy 系统时 是无限可分的 $(\mathbf{m}, C, M)$ 这样 $\hat{\mu}=e^{\ell}$ 在哪里 $(*) \quad \ell(\boldsymbol{\xi})=i(\mathbf{m}, \boldsymbol{\xi}) \mathbb{R}^N-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\xi}, C \boldsymbol{\xi}) \mathbb{R}^N$
$$
+\int \mathbb{R}^N\left(e^{i(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}) \mathbb{R} N}-1-i \mathbf{1} B(\mathbf{0}, 1)(\mathbf{y})(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y})_{\mathbb{R}^N}\right) M(d \mathbf{y}) .
$$
结果,人们看到 $\mu=\lambda_1$ ,在哪里 left{Nlambda_t: t>0〈right $}$ 是由确定的规范家庭 $(\mathbf{m}, C, M)$. 在这个和下面的练 习中,你将推导出他们的公式。
数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Itô’s Approach
为了解决第 1 章末尾提出的收敛问题, $K$. Itô 使用了一种称为喁合的技术。给定一对 Borel 概率测度 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 在一 些度量空间上 $(E, \rho)$ ,的塊合 $\mu_1$ 至 $\mu_2$ 是一对 $E$ 值随机变量 $X_1$ 上 $X_2$ 在某个概率空间上 $(\Omega, \mathcal{B}, \mathbb{P})$ 这样 $\mu_1$ 是分布 $X_1$ 和 $\mu_2$ 是分布 $X_2$. 鉴于这样的耦合,可以比较 $\mu_1$ 至 $\mu_2$ 通过查看
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\rho\left(X_1, X_2\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} .
$$
为了产生有用的信息,耦合技术需要对随机变量做出明智的选择。一方面,选择应该足够好,以对测量之间的差 异进行合理准确的评估。另一方面,除非选择是可以计算的,否则它没有价值。伊藤做出的选择是在准确性和实 用性之间非常巧妙的折衷。即,他将一切都提升到路径空间并在那里进行耦合。如果有人像伊藤那样认为
Kolmogorov 的方程描述了度量的演变 $\mathbf{M}1\left(\mathbb{R}^N\right)$ ,移动到路径空间是一个自然的想法。确实,该措施 $\mu_t$ 应该是 当时的分布 $t$ 随机扩散粒子的位置,因此该粒子的位置应该是耦合过程的良好候选者。然而,为了充分了解 Itô 的 耦合程序是多么聪明,从使用不太聪明的程序开始可能会有所帮助。 让系数 $a$ 和 $b$ 被给予,并且,对于每个 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ 和 $n \geq 1$ ,决定 $t \rightsquigarrow P_n(t, \mathbf{x})$ 经过 $(1.2 .12)$ 和 $\nu=\delta{\mathbf{x}}$. 假设 $\sigma: \mathbb{R}^N \longrightarrow \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)$ 是一个 Borel 可测函数 $a=\sigma \sigma^{\top}$. 接下来,让 lleft $\left{\mathrm{Y}{-} \mathrm{m}: \mathrm{m} \backslash \operatorname{lgeq} 1 \backslash \mathrm{right}\right.$, 是一个相 互独立的序列, $\mathbb{R}^M$ 具有均值的高斯随机变量 0 和协方差I在某个概率空间上 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ,并定义随机变量 $X_n(t, \mathbf{x})$ 为了 $(t, \mathbf{x}) \in[0, \infty) \times \mathbb{R}^N$ 经过 $X_n(0, \mathrm{x})=\mathrm{x}$ 和 $$ X_n(t, \mathbf{x})=X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)+\left(t-m 2^{-n}\right) b\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right)+\left(t-m 2^{-n}\right)^{\frac{1}{2}} \sigma\left(X_n\left(m 2^{-n}, \mathbf{x}\right)\right) Y{m+1}
$$
为了 $m 2^{-n}<t \leq(m+1) 2^{-n}$. 使用归纳法 $n \geq 0$ ,可以检查 $P_n(t, \mathbf{x})$ 是分布 $X_n(t, \mathbf{x})$ 因此 $X_n(t, \mathbf{x})$ 和 $X_n(t, \mathbf{y})$ 提供一个耦合 $P_n(t, \mathbf{x})$ 至 $P_n(t, \mathbf{y})$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。