## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Basic Counting Techniques

AIME资格认证的变化

AMC办公室将从2月下旬开始向学校邮寄2012年AMC 10和2012年AMC 12报告，并持续到3月初至3月中旬。 在该AMC 10和AMC 12报告中，将列出学校的AIME合格者名单。

AIME的目的是在AMC10或AMC12之外，为北美许多具有特殊数学能力的高中生提供进一步的挑战和认可。得分最高的美国公民和合法居住在美国和加拿大的学生（根据加权平均分，获得合格分数）被邀请参加美国数学竞赛。
AIME（美国数学邀请考试）是介于AMC10或AMC12和USAMO之间的考试。所有参加AMC 12的学生，如果在可能的150分中取得100分或以上的成绩，或在前5%的学生被邀请参加AIME考试。所有参加AMC 10的学生，在可能的150分中取得120分或以上，或进入前2.5%的学生也有资格参加AIME。本学年AIME I的日期为 ，AIME II的日期为 ， 。美国数学邀请考试没有额外的注册费，除非你选择参加第二次考试。额外的管理/运输费是要收取的，前10名学生的最低费用为，超过10名学生的最低费用为。这在AMC 10/12和AIME教师手册中有更详细的解释。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Examples

1. (PUMaC-2008-Combinatorics-1) How many 3-digit numbers contain the digit 7 exactly once?
2. (Folklore) Find a formula the number of derangements of ${1,2, \ldots, n}$ (A derangement of this set is a permutation in which no element is in its original position). Hint: It’s $n$ ! multiplied by some sums and differences of different terms.
3. (Kevin Li) How many ways are there to line up 4 pairs of non-identical twins (8 people) in a row such that no twins are next to each other?
4. (HMMT Feb-2002-Advanced Topics-2) A certain cafeteria serves ham and cheese sandwiches, ham and tomato sandwiches, and tomato and cheese sandwiches. It is common for one meal to include multiple types of sandwiches. On a certain day, it
5. was found that 80 customers had meals which contained both ham and cheese; 90 had meals containing both ham and tomatoes; 100 had meals containing both tomatoes and cheese. 20 customers’ meals included all three ingredients. How many customers were there?
6. (CHMMC-2014-Individual-12) A $5 \times 5$ grid is missing one of its main diagonals. In how many ways can we place 5 pieces on the grid such that no two pieces share a row or column?
7. (AIME-2018-I-9) Find the number of four-element subsets of ${1,2,3,4, \ldots, 20}$ with the property that two distinct elements of the subset have a sum of 16 , and two distinct elements of the subset have a sum of 24 . For example, ${3,5,13,19}$ and ${6,10,20,18}$ are two such subsets.

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Exercises

1. (HMMT Nov-2009-General-4) How many subsets $A$ of ${1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ have the property that no two elements of $A$ sum to 11 ?
2. (Kevin Liu) How many functions $f:{1,2, \ldots, 6} \rightarrow{1,2, \ldots, 6}$ are there such that ${1,2,3}$ is a subset of the range of $f$ ?
3. (HMMT Feb-2006-Combinatorics-1) Vernonia High School has 85 seniors, each of whom plays on at least one of the school’s three varsity sports teams: football, baseball, and lacrosse. It so happens that 74 are on the football team; 26 are on the baseball team; 17 are on both the football and lacrosse teams; 18 are on both the baseball and football teams; and 13 are on both the baseball and lacrosse teams. Compute the number of seniors playing all three sports, given that twice this number are members of the lacrosse team.
4. (HMMT Feb-2014-Combinatorics-4) Find the number of triples of sets $(A, B, C)$ such that:
(a) $A, B, C \subseteq{1,2,3, \ldots, 8}$.
(b) $|A \cap B|=|B \cap C|=|C \cap A|=2$.
(c) $|A|=|B|=|C|=4$.
Here, $|S|$ denotes the number of elements in the set $S$.
5. (AIME-2017-I-12) Call a set $S$ product-free if there do not exist $a, b, c \in S$ (not necessarily distinct) such that $a b=c$. For example, the empty set and the set ${16,20}$ are product-free, whereas the sets ${4,16}$ and ${2,8,16}$ are not product-free. Find the number of product-free subsets of the set ${1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$.

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Examples

1. (PUMaC-2008-Combinatorics-1) 有多少个 3 位数怙好包含数字 7 一次?
2. (民间传说) 找到一个公式，计算精神错乱的次数 $1,2, \ldots, n$ (这个集合的一个排列是一个排列， 其中没有元素处于它的原始位置)。提示：这是 $n$ ! 乘以一些不同项的和与差。
3. (Kevin Li) 有多少种方法可以将 4 对异卵双胞胎（8 人）排成一排，使得没有双胞胎彼此相邻?
4. (HMMT Feb-2002-Advanced Topics-2) 某自助餐厅供应火腿奶酪三明治、火腿番茄三明治和番茄奶 酪三明治。一顿饭包含多种类型的三明治是很常见的。在某一天，它
5. 发现有 80 位顾客的餐点同时含有火腿和奶酪；90 人的饭菜中含有火腿和西红柿； 100 人的餐食中 含有西红柿和奶酪。20 位顾客的餐点包括所有三种食材。有多少顾客?
6. (CHMMC-2014-Individual-12) A5 $\times 5$ 网格缺少其主要对角线之一。我们有多少种方法可以将 5 块 放在网格上，使得没有两块共享一行或一列?
7. (AIME-2018-I-9) 找出的四元素子集的数量 $1,2,3,4, \ldots, 20$ 子集的两个不同元素的总和为 16 ，子 集的两个不同元素的总和为 24 。例如， $3,5,13,19$ 和 $6,10,20,18$ 是两个这样的子集。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Exercises

1. (HMMT Nov-2009-General-4) 有多少个子集 $A$ 的 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 具有没有两个元素的属 性 $A$ 总和为 $11 ?$
2. (Kevin Liu) 有多少功能 $f: 1,2, \ldots, 6 \rightarrow 1,2, \ldots, 6$ 有没有这样的 $1,2,3$ 是范围的子集 $f$ ?
3. (HMMT Feb-2006-Combinatorics-1) Vernonia High School 有 85 名高年级学生，他们每个人都至 少参加了学校的三支校队运动队中的一支：橄榄球、棒球和长曲棍球。碰巧足球队有 74 人；26人 在棒球队； 17 人在橄榄球队和长曲棍球队；棒球队和足球队各有 18 人；棒球队和长曲棍球队均有 13 人。假设长曲棍球队的成员是这个数字的两倍，计算参加所有这三种运动的老年人的数量。
4. (HMMT Feb-2014-Combinatorics-4) 找出三元组的数量 $(A, B, C)$ 这样:
(a) $A, B, C \subseteq 1,2,3, \ldots, 8$.
(二) $|A \cap B|=|B \cap C|=|C \cap A|=2$.
(C) $|A|=|B|=|C|=4$.
这里， $|S|$ 表示集合中元素的数量 $S$.
5. (AIME-2017-I-12) 调用集 $S$ 如果不存在则无产品 $a, b, c \in S$ (不一定不同) 这样 $a b=c$. 例如，空 集和集合 16,20 是无产品的，而套装 4,16 和 $2,8,16$ 不是无产品的。找出集合中无积子集的数量 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$.

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Basic Counting Techniques

AIME资格认证的变化

AMC办公室将从2月下旬开始向学校邮寄2012年AMC 10和2012年AMC 12报告，并持续到3月初至3月中旬。 在该AMC 10和AMC 12报告中，将列出学校的AIME合格者名单。

AIME的目的是在AMC10或AMC12之外，为北美许多具有特殊数学能力的高中生提供进一步的挑战和认可。得分最高的美国公民和合法居住在美国和加拿大的学生（根据加权平均分，获得合格分数）被邀请参加美国数学竞赛。
AIME（美国数学邀请考试）是介于AMC10或AMC12和USAMO之间的考试。所有参加AMC 12的学生，如果在可能的150分中取得100分或以上的成绩，或在前5%的学生被邀请参加AIME考试。所有参加AMC 10的学生，在可能的150分中取得120分或以上，或进入前2.5%的学生也有资格参加AIME。本学年AIME I的日期为 ，AIME II的日期为 ， 。美国数学邀请考试没有额外的注册费，除非你选择参加第二次考试。额外的管理/运输费是要收取的，前10名学生的最低费用为，超过10名学生的最低费用为。这在AMC 10/12和AIME教师手册中有更详细的解释。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Exercises

1. (HMMT Feb-2016-Combinatorics-3) Find the number of ordered pairs of integers $(a, b)$ such that $a, b$ are divisors of 720 but $a b$ is not.
2. (CHMMC-2010 Fall-Individual-1) Susan plays a game in which she rolls two fair standard six-sided dice with sides labeled one through six. She wins if the number on one of the dice is three times the number on the other die. If Susan plays this game three times, compute the probability that she wins at least once.
3. (AIME-2008-I-7) Let $S_i$ be the set of all integers $n$ such that $100 i \leq n<100(i+1)$. For example, $S_4$ is the set $400,401,402, \ldots, 499$. How many of the sets $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ do not contain a perfect square?
1. (AIME-2012-II-7) Let $S$ be the increasing sequence of positive integers whose binary representation has exactly 8 ones. Let $N$ be the 1000 th number in $S$. Find the remainder when $N$ is divided by 1000 .
2. (HMMT Feb-2010-Combinatorics-2) How many positive integers less than or equal to 240 can be expressed as a sum of distinct factorials? Consider 0 ! and 1 ! to be distinct.
3. (CHMMC-2014-Individual-2) Suppose in your sock drawer of 14 socks there are 5 different colors and 3 different lengths present. One day, you decide you want to wear two socks that have both different colors and different lengths. Given only this information, what is the maximum number of choices you might have?

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Counting Sets & PIE

A set is a collection of distinct objects, called elements (often numbers, variables, functions, other sets, etc.). The empty set is the set containing no elements, and is denoted by $\emptyset$.

For a set $S$, we define the cardinality of $S$ (often abbreviated as $|S|$ ) to be the size of $S$, or the number of elements in $S .|S|=0$ if and only if $S=\emptyset$.

Definition 2.1.1 (Union and Intersection). Given two sets $A$ and $B$, the union of $A$ and $B$, denoted $A \cup B$, is the set of all elements which belong to either $A$ or $B$ (or both). The intersection of $A$ and $B$, denoted $A \cap B$, is the set of all elements which belong to $A$ and $B$.

The Principle of Inclusion and Exclusion, or PIE, generalizes the principle behind counting with Venn Diagrams. In the most simple case, suppose we know the cardinality of finite sets $A, B$, and $A \cap B$, and we want to know the size of $A \cup B$. Then $|A|+|B|$ counts everything in $A \cup B$ but it overcounts the elements in $A \cap B$. Subtracting $|A \cap B|$, we end up with the formula $|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$.

Now consider the case with three finite sets $A, B, C$, in which we want to find $|A \cap B \cap C|$. If we add $|A|+|B|+|C|$, then each of the intersections $A \cap B, B \cap C, C \cap A$ is counted twice. If we subtract each of them, then elements in $A \cap B \cap C$ are counted $3-1-1-1=0$ times, so it needs to be added back in. Thus the formula is $|A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-$ $|A \cap B|-|B \cap C|-|C \cap A|+|A \cap B \cap C|$.
In general, if there are $n$ sets, the formula is:
Theorem 2.1.2 (Principle of Inclusion-Exclusion). If $\left(A_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ are finite sets, then:

$$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i<j}\left|A_i \cap A_j\right|+\sum_{i<j<k}\left|A_i \cap A_j \cap A_k\right|-\cdots+(-1)^{n-1}\left|A \cap \cdots \cap A_n\right| .$$
Proof. How many times has the intersection of $t$ sets been counted in the first $t-1$ terms of this formula? The answer is $\left(\begin{array}{c}t \ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}t \ 2\end{array}\right)+\cdots+(-1)^t\left(\begin{array}{c}t \ t-1\end{array}\right)$ times. This is equal to $1-(1-$ $1)^t+(-1)^t\left(\begin{array}{l}t \ t\end{array}\right)$, so adding $(-1)^{t+1}\left(\begin{array}{l}t \ t\end{array}\right)$ to this will result in 1 , which is desired. This shows that the formula counts everything the desired number of times.

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Exercises

1. (HMMT Feb-2016-Combinatorics-3) 找出有序整数对的数量 $(a, b)$ 这样 $a, b$ 是 720 的除数，但 $a b$ 不 是。
2. (CHMMC-2010 Fall-Individual-1) Susan 玩了一个游戏，她掷出两个公平的标准六面骰子，每面都 标有 1 到 6。如果一个骯子上的数字是另一个骰子上数字的三倍，她就赢了。如果苏珊玩这个游戏 3 次，计算她至少赢一次的概率。
3. (AIME-2008-I-7) 让 $S_i$ 是所有整数的集合 $n$ 这样 $100 i \leq n<100(i+1)$. 例如， $S_4$ 是集合 $400,401,402, \ldots, 499$. 有多少套 $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ 不包含一个完美的正方形?
4. (AIME-2012-II-7) 让 $S$ 是递增的正整数序列，其二进制表示怙好有 8 个 1。让 $N$ 是第1000个数字 $S$. 求余数时 $N$ 除以 1000 。
5. (HMMT Feb-2010-Combinatorics-2) 有多少个小于或等于 240 的正整数可以表示为不同阶乘的和? 考虑 0！和 1！要与众不同。
6. (CHMMC-2014-Individual-2) 假设在你的祙子抽屉里有 14 只祙子，有 5 种不同的颜色和 3 种不同 的长度。有一天，您决定要穿两只颜色不同、长度不同的祙子。仅给定这些信息，您最多可以有多 少个选择?

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Basic Counting Techniques

AIME资格认证的变化

AMC办公室将从2月下旬开始向学校邮寄2012年AMC 10和2012年AMC 12报告，并持续到3月初至3月中旬。 在该AMC 10和AMC 12报告中，将列出学校的AIME合格者名单。

AIME的目的是在AMC10或AMC12之外，为北美许多具有特殊数学能力的高中生提供进一步的挑战和认可。得分最高的美国公民和合法居住在美国和加拿大的学生（根据加权平均分，获得合格分数）被邀请参加美国数学竞赛。
AIME（美国数学邀请考试）是介于AMC10或AMC12和USAMO之间的考试。所有参加AMC 12的学生，如果在可能的150分中取得100分或以上的成绩，或在前5%的学生被邀请参加AIME考试。所有参加AMC 10的学生，在可能的150分中取得120分或以上，或进入前2.5%的学生也有资格参加AIME。本学年AIME I的日期为 ，AIME II的日期为 ， 。美国数学邀请考试没有额外的注册费，除非你选择参加第二次考试。额外的管理/运输费是要收取的，前10名学生的最低费用为，超过10名学生的最低费用为。这在AMC 10/12和AIME教师手册中有更详细的解释。

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Casework and Complementary Counting

Two basic approaches for counting problems are casework and complementary counting. Unfortunately, “casework” means exactly what it means: subdivide a counting problem into manageable, organized cases. Complementary counting is a technique where we count the number of outcomes that we don’t want, then subtract that result from the total number of possible outcomes. Look for words such as “at least” or “not” – these often signal that complementary counting may be a viable method.

Example 1.3.1. (AIME II 2007 #1) A mathematical organization is producing a set of commemorative license plates. Each plate contains a sequence of five characters chosen from the four letters in AIME and the four digits in 2007. No character may appear in a sequence more times than it appears among the four letters in AIME or the four digits in 2007. A set of plates in which each possible sequence appears exactly once contains $N$ license plates. Find $\frac{N}{10}$.

Solution. Let’s break it down into cases based on how many letters there are. If there are 4 , there are 3 ways to choose the digit and 5! ways to arrange them, for a subtotal of 360 . If there are 3 , there are 4 ways to choose them and 3 ways to choose two different digits, plus one way to choose the same digits. This gives a subtotal of $4(3 \cdot 120+60)=1680$. If there are 2 , there are 6 ways to choose them and 1 way to choose three different digits and 2 ways otherwise. This gives a subtotal of $6(120+2 \cdot 60)=1440$. Finally, if there is only 1 letter, there are 4 ways to choose it and 60 ways to arrange it. This gives $N=360+1680+1440+60=3540 \Rightarrow 354$.

Example 1.3.2. (AIME I 2002 #1) Many states use a sequence of three letters followed by a sequence of three digits as their standard license-plate pattern. Given that each threeletter three-digit arrangement is equally likely, the probability that such a license plate will contain at least one palindrome (a three-letter arrangement or a three-digit arrangement that reads the same left-to-right as it does right-to-left) is $m / n$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$.

Solution. We just need to calculate the probability that neither the digits nor the letters form a palindrome. In both cases, the third character just cannot equal the first. So the probability is $1-\left(\frac{9}{10}\right)\left(\frac{25}{26}\right)=\frac{7}{52} \Rightarrow 59$.

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Examples

1. (HMMT Feb-2018-Combinatorics-1) Consider a $2 \times 3$ grid where each entry is one of 0,1 , and 2 . For how many such grids is the sum of the numbers in every row and in every column a multiple of 3 ? One valid grid is shown below.
$$\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \ 2 & 1 & 0 \end{array}\right]$$
2. (PUMaC-2012-Team-2.1.3) Suppose you draw 5 vertices of a convex pentagon (but not the sides!). Let $N$ be the number of ways you can draw at least 0 straight line segments between the vertices so that no two line segments intersect in the interior of the pentagon. What is $N-64$ ? (Note what the question is asking for! You have been warned!)
3. (AIME-2010-I-7) Define an ordered triple $(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})$ of sets to be minimally intersecting if $|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}|=|\mathcal{B} \cap \mathcal{C}|=|\mathcal{C} \cap \mathcal{A}|=1$ and $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C}=\emptyset$. For example, $({1,2},{2,3},{1,3,4})$ is a minimally intersecting triple. Let $N$ be the number of minimally intersecting ordered triples of sets for which each set is a subset of ${1,2,3,4,5,6,7}$. Find the remainder when $N$ is divided by 1000 .
Note: $|S|$ represents the number of elements in the set $S$.
4. (HMMT Feb-2016-Guts-6) Consider a $2 \times n$ grid of points and a path consisting of $2 n-1$ straight line segments connecting all these $2 n$ points, starting from the bottom left corner and ending at the upper right corner. Such a path is called efficient if each point is only passed through once and no two line segments intersect. How many efficient paths are there when $n=2016$ ?
5. (AIME-2016-I-8) For a permutation $p=\left(a_1, a_2, \ldots, a_9\right)$ of the digits $1,2, \ldots, 9$, let $s(p)$ denote the sum of the three 3 -digit numbers $a_1 a_2 a_3, a_4 a_5 a_6$, and $a_7 a_8 a_9$. Let $m$ be the minimum value of $s(p)$ subject to the condition that the units digit of $s(p)$ is 0 . Let $n$ denote the number of permutations $p$ with $s(p)=m$. Find $|m-n|$.
6. (HMMT Feb-2010-Combinatorics-4) Manya has a stack of $85=1+4+16+64$ blocks comprised of 4 layers (the $k$ th layer from the top has $4^{k-1}$ blocks; see the diagram below). Each block rests on 4 smaller blocks, each with dimensions half those of the larger block. Laura removes blocks one at a time from this stack, removing only block that currently have no blocks on top of them. Find the number of ways Laura can remove precisely 5 blocks from Manya’s stack (the order in which they are removed matters).

## 数学竞赛代考|AIME代考美国数学邀请赛|Examples

1. (HMMT Feb-2018-Combinatorics-1) 考虑一个2×3网格，其中每个条目都是 0,1 和 2 之一。有多少个这样的格子，每行每列的数字之和是3的倍数？一个有效的网格如下所示。
[120 210]
2. (PUMaC-2012-Team-2.1.3) 假设您绘制了一个凸五边形的 5 个顶点（但不是边！）。让否是您可以在顶点之间绘制至少 0 条直线段的方式的数量，以便没有两条线段在五边形的内部相交。什么是否−64？（请注意问题的要求！您已被警告！）
3. (AIME-2010-I-7) 定义一个有序的三元组(一种,乙,C)集合的最小相交如果|一种∩乙|=|乙∩C|=|C∩一种|=1和一种∩乙∩C=∅. 例如，(1,2,2,3,1,3,4)是最小相交的三元组。让否是集合的最小相交有序三元组的数量，其中每个集合都是1,2,3,4,5,6,7. 求余数时否除以 1000 。
笔记：|小号|表示集合中元素的数量小号.
4. (HMMT Feb-2016-Guts-6) 考虑一个2×n点网格和路径组成2n−1连接所有这些的直线段2n点，从左下角开始，到右上角结束。如果每个点只通过一次并且没有两条线段相交，则这样的路径称为有效路径。有多少条有效路径n=2016 ?
5. (AIME-2016-I-8) 对于排列p=(一种1,一种2,…,一种9)的数字1,2,…,9， 让秒(p)表示三个 3 位数的总和一种1一种2一种3,一种4一种5一种6， 和一种7一种8一种9. 让米是的最小值秒(p)条件是秒(p)是 0 。让n表示排列的数量p和秒(p)=米. 寻找|米−n|.
6. (HMMT Feb-2010-Combinatorics-4) Manya 有一堆85=1+4+16+64由 4 层组成的块（k从上数第 th 层有4k−1块; 见下图）。每个块都位于 4 个较小的块上，每个块的尺寸都是较大块的一半。劳拉一次从这个堆栈中移除一个块，只移除当前没有块的块。找出 Laura 可以从 Manya 的堆叠中恰好移除 5 个方块的方法数（移除它们的顺序很重要）。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。