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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Compatible Systeṃs of First-order Equations

Posted on 2023年6月3日2023年6月3日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写偏微分方程partial difference equations方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写偏微分方程partial difference equations代写方面经验极为丰富，各种代写偏微分方程partial difference equations相关的作业也就用不着说。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Compatible Systeṃs of First-order Equations

We shall next consider the condition to be satisfied in order that every solution of the first-order partial differential equation
$$
f(x, y, z, p, q)=0
$$
is also a solution of the equation
$$
g(x, y, z, p, q)=0
$$
When such a situation arises, the equations are said to be compatible. If
$$
J \equiv \frac{\partial(f, g)}{\partial(p, q)} \neq 0
$$
we can solve equations (1) and (2) to obtain the explicit expressions
$$
p=\phi(x, y, z), \quad q=\psi(x, y, z)
$$
for $p$ and $q$. The condition that the pair of equations (1) and (2) should be compatible reduces then to the condition that the system of equations (4) should be completely integrable, i.e., that the equation
$$
\phi d x+\psi d y-d z=0
$$
should be integrable. From Theorem 5 of Chap. 1 we see that the condition that this equation is integrable is
$$
\phi\left(-\psi_z\right)+\psi\left(\phi_z\right)-\left(\psi_x-\phi_y\right)=0
$$
which is equivalent to
$$
\psi_x+\phi \psi_z=\phi_y+\psi \phi_z
$$
Substituting from equations (4) into equation (1) and differentiating with regard to $x$ and $z$, respectively, we obtain the equations
$$
\begin{aligned}
& f_x+f_{\mathfrak{p}} \phi_x+f_a \psi_x=0 \
& f_z+f_p \phi_z+f_a \psi_z=0
\end{aligned}
$$
from which it is readily deduced that
$$
f_x+\phi f_z+f_p\left(\phi_x+\phi \phi_z\right)+f_a\left(\psi_x+\phi \psi_z\right)=0
$$
Similarly we may deduce from equation (2) that
$$
g_x+\phi g_z+g_p\left(\phi_x+\phi \phi_z\right)+g_a\left(\psi_x+\phi \psi_z\right)=0
$$
Solving these equations, we find that
$$
\psi_x+\phi \psi_z=\frac{1}{J}\left{\frac{\partial(f, g)}{\partial(x, p)}+\phi \frac{\partial(f, g)}{\partial(z, p)}\right}
$$
where $J$ is defined as equation (3).

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Charpit’s Method

A method of solving the partial differential equation
$$
f(x, y, z, p, q)=0
$$
due to Charpit, is based on the considerations of the last section. The fundamental idea in Charpit’s method is the introduction of a second partial differential equation of the first order
$$
g(x, y, z, p, q, a)=0
$$
which contains an arbitrary constant $a$ and which is such that:
(a) Equations (1) and (2) can be solved to give
$$
p=p(x, y, z, a), \quad q=q(x, y, z, a)
$$
(b) The equation is integrable.
$$
d z=p(x, y, z, a) d x+q(x, y, z, a) d y
$$
When such a function $g$ has been found, the solution of equation (3)
$$
F(x, y, z, a, b)=0
$$
containing two arbitrary constants $a, b$ will be a solution of equation (1). From the considerations of Sec. 7 it will be seen that equation (4) is a complete integral of equation (1).

The main problem then is the determination of the second equation (2), but this has already been solved in the last section, since we need only seek an equation $g=0$ compatible with the given equation $f=0$. The conditions for this are symbolized in equations (3) and (8) of the last section. Expanding the latter equation, we see that it is equivalent to the linear partial differential equation
$$
\begin{aligned}
f_p \frac{\partial g}{\partial x}+f_q \frac{\partial g}{\partial y}+\left(p f_p+q f_a\right) & \frac{\partial g}{\partial z} \
& -\left(f_x+p f_z\right) \frac{\partial g}{\partial p}-\left(f_y+q f_z\right) \frac{\partial g}{\partial q}=0
\end{aligned}
$$
for the determination of $g$. Our problem then is to find a solution of this equation, as simple as possible, involving an arbitrary constant $a$, and this we do by finding an integral of the subsidiary equations
$$
\frac{d x}{f_p}=\frac{d y}{f_\alpha}=\frac{d z}{p f_p+q f_q}=\frac{d p}{-\left(f_x+p f_z\right)}=\frac{d q}{-\left(f_y+q f_z\right)}
$$ in accordance with Theorem 3. These equations, which are known as Charpit’s equations, are equivalent to the characteristic equations (18) of Sec. 8 .

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Compatible Systeṃs of First-order Equations

接下来我们将考虑满足这个条件，以便一阶偏微分方程的每一个解
$$
f(x, y, z, p, q)=0
$$
也是方程的解吗
$$
g(x, y, z, p, q)=0
$$
当这种情况出现时，我们说方程是相容的。如果
$$
J \equiv \frac{\partial(f, g)}{\partial(p, q)} \neq 0
$$
我们可以解式(1)和式(2)得到显式表达式
$$
p=\phi(x, y, z), \quad q=\psi(x, y, z)
$$
浏览$p$和$q$。将方程(1)和(2)对相容的条件简化为方程组(4)完全可积的条件，即方程
$$
\phi d x+\psi d y-d z=0
$$
应该是可积的。由第一章的定理5可知，这个方程可积的条件是
$$
\phi\left(-\psi_z\right)+\psi\left(\phi_z\right)-\left(\psi_x-\phi_y\right)=0
$$
它等价于
$$
\psi_x+\phi \psi_z=\phi_y+\psi \phi_z
$$
将式(4)代入式(1)，分别对$x$和$z$求导，得到式
$$
\begin{aligned}
& f_x+f_{\mathfrak{p}} \phi_x+f_a \psi_x=0 \
& f_z+f_p \phi_z+f_a \psi_z=0
\end{aligned}
$$
由此很容易推断出
$$
f_x+\phi f_z+f_p\left(\phi_x+\phi \phi_z\right)+f_a\left(\psi_x+\phi \psi_z\right)=0
$$
同样地，我们可以由式(2)推导出
$$
g_x+\phi g_z+g_p\left(\phi_x+\phi \phi_z\right)+g_a\left(\psi_x+\phi \psi_z\right)=0
$$
解这些方程，我们发现
$$
\psi_x+\phi \psi_z=\frac{1}{J}\left{\frac{\partial(f, g)}{\partial(x, p)}+\phi \frac{\partial(f, g)}{\partial(z, p)}\right}
$$
其中$J$定义为式(3)。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Charpit’s Method

求解偏微分方程的一种方法
$$
f(x, y, z, p, q)=0
$$
由于Charpit，是基于上一节的考虑。Charpit方法的基本思想是引入一个二阶偏微分方程
$$
g(x, y, z, p, q, a)=0
$$
它包含一个任意常数$a$，它使得:
(a)式(1)、(2)可解得
$$
p=p(x, y, z, a), \quad q=q(x, y, z, a)
$$
(b)方程可积。
$$
d z=p(x, y, z, a) d x+q(x, y, z, a) d y
$$
当找到这样的函数$g$时，式(3)的解
$$
F(x, y, z, a, b)=0
$$
包含两个任意常数$a, b$将是方程(1)的解。从第7节的考虑可以看出，方程(4)是方程(1)的完全积分。

然后主要问题是确定第二个方程(2)，但这已经在上一节中解决了，因为我们只需要寻找与给定方程$f=0$兼容的方程$g=0$。其条件用上一节的式(3)和式(8)表示。展开后一个方程，我们看到它等价于线性偏微分方程
$$
\begin{aligned}
f_p \frac{\partial g}{\partial x}+f_q \frac{\partial g}{\partial y}+\left(p f_p+q f_a\right) & \frac{\partial g}{\partial z} \
& -\left(f_x+p f_z\right) \frac{\partial g}{\partial p}-\left(f_y+q f_z\right) \frac{\partial g}{\partial q}=0
\end{aligned}
$$
用于$g$的测定。我们的问题是找到这个方程的解，尽可能简单，涉及到任意常数$a$，我们通过求子方程的积分来实现
$$
\frac{d x}{f_p}=\frac{d y}{f_\alpha}=\frac{d z}{p f_p+q f_q}=\frac{d p}{-\left(f_x+p f_z\right)}=\frac{d q}{-\left(f_y+q f_z\right)}
$$根据定理3。这些方程被称为Charpit方程，等价于第8节的特征方程(18)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Partial Differential Equations

Posted on 2023年6月3日2023年6月3日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Partial Differential Equations

We now proceed to the study of partial differential equations proper. Such equations arise in geometry and physics when the number of independent variables in the problem under discussion is two or more. When such is the case, any dependent variable is likely to be a function of more than one variable, so that it possesses not ordinary derivatives with respect to a single variable but partial derivatives with respect to several variables. For instance, in the study of thermal effects in a solid body the temperature $\theta$ may vary from point to point in the solid as well as from time to time, and, as a consequence, the derivatives
$$
\frac{\partial \theta}{\partial x}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial z}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial t},
$$
will, in general, be nonzero. Furthermore in any particular problem it may happen that higher derivatives of the types
$$
\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 \theta}{\partial x \partial t}, \quad \frac{\partial^3 \theta}{\partial x^2 \partial t} \text {, etc. }
$$
may be of physical significance.
When the laws of physics are applied to a problem of this kind, we sometimes obtain a relation between the derivatives of the kind
$$
F\left(\frac{\partial \theta}{\partial x}, \ldots, \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}, \ldots, \frac{\partial^2 \theta}{\partial x \partial t}, \ldots\right)=0
$$
Such an equation relating partial derivatives is called a partial differential equation.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Origins of First-order Partial Differential Equations

Before discussing the solution of equations of the type (7) of the last section, we shall examine the interesting question of how they arise. Suppose that we consider the equation
$$
x^2+y^2+(z-c)^2=: a^2
$$
in which the constants $a$ and $c$ are arbitrary. Then equation (1) represents the set of all spheres whose centers lie along the $z$ axis. If we differentiate this equation with respect to $x$, we obtain the relation
$$
x+p(z-c)=0
$$
while if we differentiate it with respect to $y$, we find that
$$
y+q(z-c)=0
$$
Eliminating the arbitrary constant $c$ from these two equations, we obtain the partial differential equation
$$
y p-x q=0
$$
which is of the first order. In some sense, then, the set of all spheres with centers on the $z$ axis is characterized by the partial differential equation (2)

However, other geometrical entities can be described by the same equation. For example, the equation
$$
x^2+y^2=(z-c)^2 \tan ^2 \alpha
$$
in which both of the constants $c$ and $\alpha$ are arbitrary, represents the set of all right circular cones whose axes coincide with the line $O z$. If we differentiate equation (3) first with respect to $x$ and then with respect to $y$, we find that
$$
p(z-c) \tan ^2 \alpha=x, \quad q(z-c) \tan ^2 \alpha=y
$$
and, upon eliminating $c$ and $\alpha$ from these relations, we see that for these cones also the equation (2) is satisfied.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Partial Differential Equations

现在我们开始研究偏微分方程。当所讨论的问题中自变量的数目为两个或两个以上时，在几何和物理中就会出现这样的方程。在这种情况下，任何因变量都可能是一个以上变量的函数，因此它不是对单个变量具有普通导数，而是对多个变量具有偏导数。例如，在研究固体中的热效应时，温度$\theta$可能在固体中点与点之间以及时间上发生变化，因此，其导数也会发生变化
$$
\frac{\partial \theta}{\partial x}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial z}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial t},
$$
通常是非零的。此外，在任何特定的问题中，可能会发生高阶导数的类型
$$
\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 \theta}{\partial x \partial t}, \quad \frac{\partial^3 \theta}{\partial x^2 \partial t} \text {, etc. }
$$
可能具有物理意义。
当把物理定律应用于这类问题时，我们有时会得到这类导数之间的关系
$$
F\left(\frac{\partial \theta}{\partial x}, \ldots, \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}, \ldots, \frac{\partial^2 \theta}{\partial x \partial t}, \ldots\right)=0
$$
这种与偏导数有关的方程叫做偏微分方程。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Origins of First-order Partial Differential Equations

在讨论最后一节(7)型方程的解之前，我们将研究它们是如何产生的有趣问题。假设我们考虑这个方程
$$
x^2+y^2+(z-c)^2=: a^2
$$
其中常数$a$和$c$是任意的。则式(1)表示中心沿$z$轴的所有球体的集合。如果我们对$x$求导，我们就得到了这个关系
$$
x+p(z-c)=0
$$
如果我们对$y$求导，我们会发现
$$
y+q(z-c)=0
$$
从这两个方程中消去任意常数$c$，得到偏微分方程
$$
y p-x q=0
$$
这是一阶的。因此，在某种意义上，所有以$z$为中心的球体的集合可以用偏微分方程(2)来表示。

然而，其他几何实体可以用同样的方程来描述。例如，这个方程
$$
x^2+y^2=(z-c)^2 \tan ^2 \alpha
$$
其中，常数$c$和$\alpha$都是任意的，表示轴与$O z$线重合的所有直角圆锥的集合。如果我们先对方程(3)对$x$求导然后对$y$求导，我们会发现
$$
p(z-c) \tan ^2 \alpha=x, \quad q(z-c) \tan ^2 \alpha=y
$$
并且，在从这些关系中消去$c$和$\alpha$之后，我们看到对于这些锥体，方程(2)也是满足的。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Mapping Theorem

Posted on 2023年6月3日2023年6月3日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Mapping Theorem

In this section, a generalization of Hartman’s Theorem for Maps is given. While the proof is a generalization of the one given by Pugh [62] and Hartman [35], there are subtle changes and sufficient novelty to merit its exposition. More precisely, Pugh and Hartman prove the Mapping Theorem for maps operating on the same Banach space $E: L \in \mathscr{Q}(E, E), N \in \mathscr{M}(E, E)$. The theorem below is presented for maps operating between distinct Hilbert spaces. Furthermore, due to the Hilbert space setting, a global version of the Mapping Theorem is achieved. The theorem for flows on vector fields is discussed in the next section.

The Hartman Mapping Theorem: Let $L \in \mathscr{Q}(X, Y)$ be an expansive-contractive map and $N \in$ $\operatorname{S}(X, Y)$. Then there exists a unique homeomorphism $H$ so that $H \cdot(L+N)=L \cdot H$ on sufficiently small neighborhoods $U$ of $0 \in X$ and $V$ of $0 \in Y$. That is, Diagram 8.1 below commutes.

Proof: For technical reasons, it is easier to prove the local topological conjugacy of $T \equiv L+N$ to $R \equiv L+M$. To that end, let $U=\mathscr{B}_X(0, r)$ and $V=\mathscr{B}_Y(0, s)$. Take $r$ and $s$ sufficiently small and $N$, $M \in \mathscr{S}(X, Y)$, so that the operators $T$ and $R$ map $U$ homeomorphically onto $V$. That is, $(L+N) U=$ $(L+M) U=V$. This result is a direct application of the Inverse Function (see, e.g., Schwartz [68]).
Let $H=I+h$, where $I$ is the identity operator. Choose $r$ and $s$ sufficient small so that $T$ and $R$ map $U$ onto $V$. Then, as $T$ is a homeomorphism, the estimate $\left|T(\boldsymbol{x})-T\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right|_V \leq 2 s$ holds for any $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ $\in U$. Similar estimates are obtained for the homeomorphism $R:\left|R(\boldsymbol{x})-R\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right|_V \leq 2 s$. Moreover, for any $\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}^{\prime} \in V,\left|T^{-1}(\boldsymbol{y})-T^{-1}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)\right|_U \leq 2 r$, with identical results for $R^{-1}$. These estimates will be utilized later on in the proof.
The conjugacy equation
$$
H T=R H
$$
and identification $H=I+h$ are equivalent to both (8.3.2) and (8.3.3) below.
$$
\begin{aligned}
& h=(M H+L h-N) T^{-1} \
& h=L^{-1}(h T+N-M H)
\end{aligned}
$$
Indeed, (8.3.1) implies $(I+h) T=R(I+h)$ which means $T+h T=R+R h$. Now $R-T=M-N$ so that $h T=M-N+R h=M-N+(L+M) h=M(I+h)-N+L h$ or $h=(M H-N+L h) T^{-1}$. This verifies (8.3.2). By proceeding in a similar manner, (8.3.1) implies $T+h T=H T=R H=R+R h$. Subtracting $L$ from both sides of this relation produces $N+h T=M+(L+M) h=M(I+h)+L h$ so that $N+h T-M H=L h \Rightarrow L^{-1}(N+h T-M H)=h$. This is $(8.3 .3)$.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Flow Theorem

Consider the evolution equation (8.1.1) as a vector field defined by the maps $L$ and $N$ on the separable Hilbert space $X$. Let $F_{L+N}^t$ and $F_L^t$ be the flows on the vector fields defined by equations (8.1.1) and (8.1.2), respectively. That is, $F_{L+N}^t[u(\boldsymbol{x}, 0)]=e^{t L}[u(\boldsymbol{x}, 0)]+\int_0^t e^{(t-s) L}[N(u(\boldsymbol{x}, s))] d s$ and $F_L^t[v(\boldsymbol{x}, 0)]=e^{t L}[v(\boldsymbol{x}, 0)]$. The Hartman-Grobman Flow Theorem states that the flows $F_{L+N}^t$ and $F_L^t$ are locally topologically conjugate. More colloquially, the theorem states that locally there is a change of variables in which a solution of the linear equation (8.1.2) can be mapped into a solution of the nonlinear equation (8.1.1).

To prove the Flow Theorem, it must first be established that $F_{L+N}^t$ is a flow on (8.1.1). This means it must be shown that there is a unique solution to $(8.1 .1)$. Key Conditions $(A),(C)$, and $(D)$ of $\$ 8.2$ guarantee the existence of a unique solution to (8.1.1) in the separable Hilbert space $H^{\mathrm{1}}([0, T]$; Z).

Existence and Uniqueness Theorem: Let $L \in \mathscr{Q}(X, Z)$ satisfy Key Condition $(A)$ and $N \in \mathscr{M}(X, Z)$ satisfy Key Conditions $(C)-(D)$. For every $f \in X$, there exists a time $T_m \in \mathbb{R}^{+}$so that (8.1.1) has a unique generalized solution $u \in H^1([0, T] ; Z)$ for every subinterval $[0, T] \subset\left[0, T_m\right)$.

The proof of this theorem will be carried out via a series of lemmas. These lemmas, in turn, are generalizations of the work of Rauch [64], Henry [37], and Haraux [32].

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Mapping Theorem

在这一节中，给出了哈特曼定理在映射中的推广。虽然该证明是对Pugh[62]和Hartman[35]给出的证明的概括，但仍有细微的变化和足够的新新性值得阐述。更准确地说，Pugh和Hartman证明了映射定理在同一个巴拿赫空间$E: L \in \mathscr{Q}(E, E), N \in \mathscr{M}(E, E)$上运行。下面的定理是针对不同希尔伯特空间之间的映射给出的。进一步，由于Hilbert空间的设置，得到了映射定理的一个全局版本。下一节将讨论向量场上的流动定理。

哈特曼映射定理:设$L \in \mathscr{Q}(X, Y)$是一个扩张-收缩映射，$N \in$$\operatorname{S}(X, Y)$。那么就存在一个唯一的同胚$H$，使得$H \cdot(L+N)=L \cdot H$在$0 \in X$的$U$和$0 \in Y$的$V$上有足够小的邻域。也就是说，下图8.1是通勤图。

证明:由于技术原因，更容易证明$T \equiv L+N$到$R \equiv L+M$的局部拓扑共轭性。为此，让$U=\mathscr{B}_X(0, r)$和$V=\mathscr{B}_Y(0, s)$。取足够小的$r$和$s$以及$N$、$M \in \mathscr{S}(X, Y)$，以便操作符$T$和$R$同态地将$U$映射到$V$。即$(L+N) U=$$(L+M) U=V$。这个结果是反函数的直接应用(参见Schwartz[68]等)。
设$H=I+h$，其中$I$是标识算子。选择足够小的$r$和$s$，以便$T$和$R$将$U$映射到$V$上。然后，由于$T$是一个同胚，估计$\left|T(\boldsymbol{x})-T\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right|_V \leq 2 s$对任何$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}$$\in U$都成立。对于同胚$R:\left|R(\boldsymbol{x})-R\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right|_V \leq 2 s$也得到了类似的估计。此外，对于任何$\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}^{\prime} \in V,\left|T^{-1}(\boldsymbol{y})-T^{-1}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)\right|_U \leq 2 r$，对于$R^{-1}$都有相同的结果。这些估计将在后面的证明中使用。
共轭方程
$$
H T=R H
$$
和标识$H=I+h$等价于下面的(8.3.2)和(8.3.3)。
$$
\begin{aligned}
& h=(M H+L h-N) T^{-1} \
& h=L^{-1}(h T+N-M H)
\end{aligned}
$$
的确，(8.3.1)暗示$(I+h) T=R(I+h)$，意思是$T+h T=R+R h$。现在$R-T=M-N$那么$h T=M-N+R h=M-N+(L+M) h=M(I+h)-N+L h$或$h=(M H-N+L h) T^{-1}$。这验证了(8.3.2)。通过类似的方式进行，(8.3.1)意味着$T+h T=H T=R H=R+R h$。等式两边同时减去$L$得$N+h T=M+(L+M) h=M(I+h)+L h$，得到$N+h T-M H=L h \Rightarrow L^{-1}(N+h T-M H)=h$。这是$(8.3 .3)$。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Flow Theorem

将演化方程(8.1.1)看作是可分离希尔伯特空间$X$上的映射$L$和$N$所定义的向量场。设$F_{L+N}^t$和$F_L^t$分别为式(8.1.1)和式(8.1.2)定义的矢量场上的流。即$F_{L+N}^t[u(\boldsymbol{x}, 0)]=e^{t L}[u(\boldsymbol{x}, 0)]+\int_0^t e^{(t-s) L}[N(u(\boldsymbol{x}, s))] d s$和$F_L^t[v(\boldsymbol{x}, 0)]=e^{t L}[v(\boldsymbol{x}, 0)]$。Hartman-Grobman流定理指出，流动$F_{L+N}^t$和$F_L^t$是局部拓扑共轭的。更通俗地说，该定理表明局部存在变量变化，其中线性方程(8.1.2)的解可以映射为非线性方程(8.1.1)的解。

为了证明流动定理，首先必须确定 $F_{L+N}^t$ 在(8.1.1)上是一个流。这意味着必须证明有一个唯一的解 $(8.1 .1)$．关键条件 $(A),(C)$，和 $(D)$ 的 $\$ 8.2$ 保证(8.1.1)在可分Hilbert空间中存在唯一解 $H^{\mathrm{1}}([0, T]$； z);

存在唯一性定理:设$L \in \mathscr{Q}(X, Z)$满足关键条件$(A)$和$N \in \mathscr{M}(X, Z)$满足关键条件$(C)-(D)$。对于每一个$f \in X$，存在一个时间$T_m \in \mathbb{R}^{+}$，使得(8.1.1)对每一子区间$[0, T] \subset\left[0, T_m\right)$有一个唯一的广义解$u \in H^1([0, T] ; Z)$。

这个定理的证明将通过一系列引理进行。反过来，这些引理是Rauch[64]、Henry[37]和Haraux[32]工作的概括。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Optimality conditions in Hamiltonian form

Posted on 2023年6月3日2023年6月3日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写常微分方程ordinary differential equation方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写常微分方程ordinary differential equation代写方面经验极为丰富，各种代写常微分方程ordinary differential equation相关的作业也就用不着说。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Optimality conditions in Hamiltonian form

In this section, we discuss the characterisation of optimal control solutions using the Hamiltonian formulation. For this purpose, we consider the following optimal control problem:
$$
\left{\begin{aligned}
\min J(y, u): & =\int_a^b \ell(x, y(x), u(x)) d x+g(b, y(b)) \
\text { s.t. } \quad y^{\prime}(x) & =f(x, y(x), u(x)), \quad y(a)=y_a,
\end{aligned}\right.
$$
where $\ell, f, g \in C^1$, and we choose $n=1$ and $m=1$.
Let $u^$ be an optimal control and global minimum of $\hat{J}(u)$ in $U$. Variations of $u^$ can be formulated as follows:
$$
u=u^*+\alpha \delta u
$$

where $\alpha>0$. Corresponding to this variation of the optimal control, we obtain a state $y$ of the controlled model that can be written as follows:
$$
y=y^+\alpha \delta y $$ where $y^=S\left(u^\right)$ is the state corresponding to the optimal control $u^$, and $\delta y=\partial_u S\left(u^\right) \delta u$ solves the linearised constraint problem $$ \delta y^{\prime}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x, y^, u^\right) \delta y+\frac{\partial f}{\partial u}\left(x, y^, u^*\right) \delta u, \quad \delta y(a)=0 .
$$
The Lagrange functional corresponding to (10.19) is given by
$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}(y, u, p) & =J(y, u)+\int_a^b\left(y^{\prime}(x)-f(x, y(x), u(x))\right) p(x) d t \
& =g(b, y(b))+\int_a^b\left(\ell(x, y(x), u(x))+\left(y^{\prime}(x)-f(x, y(x), u(x))\right) p(x)\right) d x
\end{aligned}
$$
Now, we define the Hamilton-Pontryagin (HP) function as follows:
$$
\mathcal{H}(x, y, u, p)=p f(x, y, u)-\ell(x, y, u)
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Pontryagin’s maximum principle

In the previous section, we have illustrated an equivalent formulation of the optimality system (10.17) (in the scalar case) given by (10.21)-(10.23). In addition, we have also noticed that optimality leads to the fact that the Hamilton-Pontryagin function should have a maximum with respect to $u$. On the other hand, we see that the Lagrange and Hamiltonian-like formulation cannot be applied if $\mathcal{H}$ given in $(10.20)$, and thus $f$ and $\ell$, are not differentiable with respect to $u$. It is also not possible to extend this framework to the case where $K_{a d}$ is not convex or represents a discrete set of values.

These remarks lead to the formulation of the optimal control theory developed by Lew Semjonowitsch Pontryagin and his research team, where all these limitations are simply removed with the characterisation of optimality of $\left(y^, u^, p^\right)$ as follows: $$ \mathcal{H}\left(x, y^(x), u^(x), p^(x)\right) \geq \mathcal{H}\left(x, y^(x), v, p^(x)\right)
$$

for all $v \in K_{a d}$ and almost all $x \in[a, b]$. Clearly, assuming that $\mathcal{H}$ is differentiable with respect to $u$, this characterisation implies that
$$
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}\left(x, y^(x), u^(x), p^(x)\right)\left(v-u^(x)\right) \leq 0, \quad v \in K_{a d}
$$
for almost all $x \in[a, b]$.
We start our discussion on the Pontryagin’s framework with an illustration of a general setting that is presented in all details in [42]; see also the references therein. For this purpose, we recall a few transformations that can be performed on an ODE optimal control problem.
Consider the following functional with free endpoints:
$$
J(y, u)=\int_a^b \ell(x, y, u) d x+g_1(a, y(a))+g_2(b, y(b)) .
$$
We introduce the variable $z$, as in (10.5), as the solution to $z^{\prime}=\ell(x, y, u)$, $z(a)=0$. With this variable, the functional (10.24) becomes
$$
J(a, y(a), b, y(b), z(b))=g_1(a, y(a))+g_2(b, y(b))+z(b) .
$$

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Optimality conditions in Hamiltonian form

在本节中，我们讨论使用哈密顿公式的最优控制解的特征。为此，我们考虑以下最优控制问题:
$$
\left{\begin{aligned}
\min J(y, u): & =\int_a^b \ell(x, y(x), u(x)) d x+g(b, y(b)) \
\text { s.t. } \quad y^{\prime}(x) & =f(x, y(x), u(x)), \quad y(a)=y_a,
\end{aligned}\right.
$$
其中$\ell, f, g \in C^1$，我们选择$n=1$和$m=1$。
设$u^$为最优控制，在$U$中$\hat{J}(u)$为全局最小值。$u^$的变式可以表示为:
$$
u=u^*+\alpha \delta u
$$

在哪里$\alpha>0$。与最优控制的这种变化相对应，我们得到被控模型的状态$y$，其表达式为:
$$
y=y^+\alpha \delta y $$其中$y^=S\left(u^\right)$为最优控制对应的状态$u^$, $\delta y=\partial_u S\left(u^\right) \delta u$求解线性化约束问题$$ \delta y^{\prime}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x, y^, u^\right) \delta y+\frac{\partial f}{\partial u}\left(x, y^, u^*\right) \delta u, \quad \delta y(a)=0 .
$$
式(10.19)对应的拉格朗日泛函由式给出
$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}(y, u, p) & =J(y, u)+\int_a^b\left(y^{\prime}(x)-f(x, y(x), u(x))\right) p(x) d t \
& =g(b, y(b))+\int_a^b\left(\ell(x, y(x), u(x))+\left(y^{\prime}(x)-f(x, y(x), u(x))\right) p(x)\right) d x
\end{aligned}
$$
现在，我们定义Hamilton-Pontryagin (HP)函数如下:
$$
\mathcal{H}(x, y, u, p)=p f(x, y, u)-\ell(x, y, u)
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Pontryagin’s maximum principle

在前一节中，我们已经说明了(10.21)-(10.23)给出的最优性系统(10.17)(在标量情况下)的等效公式。此外，我们还注意到，最优性导致Hamilton-Pontryagin函数对于$u$应该有一个最大值。另一方面，我们看到，如果$(10.20)$中给出$\mathcal{H}$，类拉格朗日和类哈密顿公式就不能应用，因此$f$和$\ell$对于$u$是不可导的。也不可能将此框架扩展到$K_{a d}$不是凸的或表示一组离散值的情况。

这些评论导致了Lew Semjonowitsch Pontryagin和他的研究小组开发的最优控制理论的制定，其中所有这些限制都被简单地消除了$\left(y^, u^, p^\right)$的最优性特征，如下所示: $$ \mathcal{H}\left(x, y^(x), u^(x), p^(x)\right) \geq \mathcal{H}\left(x, y^(x), v, p^(x)\right)
$$

对于所有$v \in K_{a d}$和几乎所有$x \in[a, b]$。显然，假设$\mathcal{H}$相对于$u$是可微的，这个特征意味着
$$
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u}\left(x, y^(x), u^(x), p^(x)\right)\left(v-u^(x)\right) \leq 0, \quad v \in K_{a d}
$$
对于几乎所有的$x \in[a, b]$。
我们开始讨论庞特里亚金的框架，以一个一般背景的插图为例，在[42]中有详细介绍;另见其中的参考文献。为此，我们回顾一些可以在ODE最优控制问题上执行的转换。
考虑以下具有自由端点的函数:
$$
J(y, u)=\int_a^b \ell(x, y, u) d x+g_1(a, y(a))+g_2(b, y(b)) .
$$
我们引入变量$z$，如(10.5)中所示，作为$z^{\prime}=\ell(x, y, u)$, $z(a)=0$的解决方案。有了这个变量，函数(10.24)变成
$$
J(a, y(a), b, y(b), z(b))=g_1(a, y(a))+g_2(b, y(b))+z(b) .
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Weierstrass-Erdmann conditions

Posted on 2023年6月3日2023年6月3日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Weierstrass-Erdmann conditions

At the beginning of this chapter, we have given a few examples where a calculus of variation problem admits minimisers that are not in $C^1([a, b])$; see Example $9.1,(3)$. We also have mentioned that relaxation, that is, enlarging the space where solutions are sought, is a way to address this problem. In view of this strategy, the first reasonable step is to consider the class of piecewise $C^1$ functions defined as follows.

Definition 9.7 A function $y \in C([a, b])$ is called piecewise in $C^1$ if there are at most finitely many (corner) points $a=x_0<x_1<\ldots<x_{N+1}=b$ such that $y \in C^1\left(\left[x_k, x_{k+1}\right]\right), k=0, \ldots, N$. We denote this space with $C_{p w}^1([a, b])$. (Clearly, $C_{p w}^1([a, b]) \subset H^1(a, b)$.)

Notice that we have already considered this class of functions in Section 3.2; see also the Appendix.

Now, the question arises of how to characterise $C_{p w}^1$ solutions to (9.15)(9.16) in the EL framework. We have that such extremals must satisfy the EL equation in all intervals $\left[x_k, x_{k+1}\right], k=0, \ldots, N$. Moreover, the following Weierstrass-Erdmann (WE) corner conditions must be satisfied. These conditions are named after Karl Theodor Wilhelm Weierstrass and Georg Erdmann.
Theorem 9.12 Suppose that $\ell \in C^2$ and $y$ is a weak local minimiser in $C_{p w}^1([a, b])$. Then at any discontinuity point $x_k$ of the derivative of $y$, the following holds:
$$
\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\left(x_k, y\left(x_k\right), y^{\prime}\left(x_k^{-}\right)\right)=\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\left(x_k, y\left(x_k\right), y^{\prime}\left(x_k^{+}\right)\right),
$$
where $y^{\prime}\left(x_k^{-}\right)=\lim {x \rightarrow x_k^{-}} y^{\prime}(x)$ and $y^{\prime}\left(x_k^{+}\right)=\lim {x \rightarrow x_k^{+}} y^{\prime}(x)$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Approximation of Sturm-Liouville problems

In the previous sections of this chapter, we have discussed initial-value problems; however, many ODE’s application problems consist of boundaryand eigenvalue-problems; see Section 7.2. For these problems, a different numerical approximation strategy is required that we discuss below. Specifically, we focus on problems formulated with the Sturm-Liouville operator given by
$$
\mathcal{A} y=\frac{d}{d x}\left(p(x) \frac{d y}{d x}\right)+q(x) y .
$$
In the interval $I=[a, b]$, we consider the following Sturm-Liouville eigenvalue problem:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A} y+\lambda r(x) y & =0 \
\alpha_0 y(a)+\alpha_1 y^{\prime}(a) & =0 \
\delta_0 y(b)+\delta_1 y^{\prime}(b) & =0
\end{aligned}
$$
where $q, r \in C(I), p \in C^1(I)$, and $p(x)>0, r(x)>0$ in $I$, and $\left|\alpha_0\right|+\left|\alpha_1\right| \neq 0$, $\left|\delta_0\right|+\left|\delta_1\right| \neq 0$

We consider a uniform grid of points on $I,\left(x_i\right){i=0}^N, N>1$, where $x_i=$ $a+i h, h=(b-a) / N$. These grid points define sub-intervals $\left[x{i-1}, x_i\right], i=$ $1, \ldots, N$, that we call volumes or cells. The central nodes (midpoints) of these volumes are given by $\xi_i=a+\left(i-\frac{1}{2}\right) h, i=1, \ldots, N$.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Kepler problem

开普勒问题是一个经典的哈密顿动力学问题，有三个不变量:哈密顿(能量)函数、角动量和所谓的龙格-伦兹向量。这个问题是以约翰内斯·开普勒的名字命名的，他以行星运动定律而闻名，它通常指的是两点大质量粒子通过引力相互作用的运动。特别地，在有界轨道的情况下，这个运动由闭合和周期轨道组成。

开普勒二体问题可以重新表述为引入质心和位移矢量概念的一体问题，我们将在下面讨论。设$y1(x)$和$y2(x)$分别表示两个质量为$m_1$和$m_2$的粒子在$\mathbb{R}^3$参照系中$x$时刻的位置。用$F{i j}$表示由于与质量$j$, $i, j=1,2, i \neq j$相互作用而作用在质量$i$上的引力。根据牛顿第三定律和万有引力定律，我们有$F{12}=-F_{21}$，以及下面的公式:
$$
F_{12}=-G \frac{m_1 m_2}{\left|y1(x)-y_2(x)\right|^3}\left(y_1(x)-y_2(x)\right), $$其中$G$是引力常数。因此，根据牛顿第二定律，我们得到 $$ m_1 y_1^{\prime \prime}(x)=F{12}, \quad m_2 y2^{\prime \prime}(x)=-F{12} .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Approximation of Sturm-Liouville problems

在本章的前几节中，我们讨论了初值问题;然而，许多微分方程的应用问题由边值问题和特征值问题组成;参见7.2节。对于这些问题，我们将在下面讨论一种不同的数值近似策略。具体地说，我们关注用Sturm-Liouville算子表述的问题
$$
\mathcal{A} y=\frac{d}{d x}\left(p(x) \frac{d y}{d x}\right)+q(x) y .
$$
在$I=[a, b]$区间内，我们考虑如下Sturm-Liouville特征值问题:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A} y+\lambda r(x) y & =0 \
\alpha_0 y(a)+\alpha_1 y^{\prime}(a) & =0 \
\delta_0 y(b)+\delta_1 y^{\prime}(b) & =0
\end{aligned}
$$
其中$I$和$\left|\alpha_0\right|+\left|\alpha_1\right| \neq 0$中的$q, r \in C(I), p \in C^1(I)$和$p(x)>0, r(x)>0$， $\left|\delta_0\right|+\left|\delta_1\right| \neq 0$

我们考虑$I,\left(x_i\right){i=0}^N, N>1$上的一个均匀网格，其中$x_i=$$a+i h, h=(b-a) / N$。这些网格点定义子区间$\left[x{i-1}, x_i\right], i=$$1, \ldots, N$，我们称之为体积或单元。这些体量的中心节点(中点)由$\xi_i=a+\left(i-\frac{1}{2}\right) h, i=1, \ldots, N$给出。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Kepler problem

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Kepler problem

The Kepler problem is a classical problem of Hamiltonian dynamics with three invariants: the Hamiltonian (energy) function, the angular momentum, and the so-called Runge-Lenz vector. This problem is named after Johannes Kepler, known for his laws of planetary motion, and it usually refers to the motion of two point massive particles that interact through a gravitational force. In particular, in the case of bounded orbits, this motion consists of closed and periodic orbits.

The Kepler two-body problem can be reformulated as a one-body problem introducing the concept of center of mass and displacement vector as we discuss next. Let $y1(x)$ and $y_2(x)$ denote the position in a $\mathbb{R}^3$ reference system of the two particles with mass $m_1$ and $m_2$, respectively, at time $x$. Denote with $F{i j}$ the gravitational force on mass $i$ due to its interaction with mass $j$, $i, j=1,2, i \neq j$. By Newton’s third law and the gravitational law, we have $F_{12}=-F_{21}$, and the following:
$$
F_{12}=-G \frac{m_1 m_2}{\left|y1(x)-y_2(x)\right|^3}\left(y_1(x)-y_2(x)\right), $$ where $G$ is the gravitational constant. Therefore, by Newton’s second law, we obtain $$ m_1 y_1^{\prime \prime}(x)=F{12}, \quad m_2 y2^{\prime \prime}(x)=-F{12} .
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Approximation of Sturm-Liouville problems

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Kepler problem

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Evaluating the Linearity Assumption Using Hypothesis Testing Methods

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回归分析是一种强大的统计方法，允许你检查两个或多个感兴趣的变量之间的关系。虽然有许多类型的回归分析，但它们的核心都是考察一个或多个自变量对因变量的影响。

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Evaluating the Linearity Assumption Using Hypothesis Testing Methods

Here, we will get slightly ahead of the flow of the book, because multiple regression is covered in the next chapter. A simple, powerful way to test for curvature is to use a multiple regression model that includes a quadratic term. The quadratic regression model is given by:
$$
Y=\beta_0+\beta_1 X+\beta_2 X^2+\varepsilon
$$
This model assumes that, if there is curvature, then it takes a quadratic form. Logic for making this assumption is given by “Taylor’s Theorem,” which states that many types of curved functions are well approximated by quadratic functions.

Testing methods require restricted (null) and unrestricted (alternative) models. Here, the null model enforces the restriction that $\beta_2=0$; thus the null model states that the mean response is a linear (not curved) function of $x$. So-called “insignificance” (determined historically by $p>0.05$ ) of the estimate of $\beta_2$ means that the evidence of curvature in the observed data, as indicated by a non-zero estimate of $\beta_2$ or by a curved LOESS fit, is explainable by chance alone under the linear model. “Significance” (determined historically by $p<0.05$ ) means that such evidence of curvature is not easily explained by chance alone under the linear model.

But you should not take the result of this $p$-value based test as a “recipe” for model construction. If “significant,” you should not automatically assume a curved model. Instead, you should ask, “Is the curvature dramatic enough to warrant the additional modeling complexity?” and “Do the predictions differ much, whether you use a model for curvature or the ordinary linear model?” If the answers to those questions are “No,” then you should use the linear model anyway, even if it was “rejected” by the $p$-value based test.

In addition, models employing curvature (particularly quadratics) are notoriously poor at the extremes of the $x$-range(s). So again, you can easily prefer the linear model, even if the curvature is “significant” $(p<0.05)$.

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Testing for Curvature with the Production Cost Data

The following R code illustrates the method.
ProdC $=$ read.table(“https://raw.githubusercontent.com/andrea2719/
URA-DataSets/master/ProdC.txt”)
attach(ProdC)
plot (Widgets, Cost); abline(lsfit(Widgets, Cost))
Widgets.squared = Widgets^2
Prodc $=$ read.table $($ “https $: / /$ raw.githubusercontent.com/andrea2719/
URA-Datasets/master/ProdC.txt”)
attach (ProdC)
plot (Widgets, Cost); abline(lsfit(Widgets, Cost))
Widgets.squared $=$ Widgets $^{\wedge} 2$

fit.quad $=1 \mathrm{~m}$ (Cost $~$ Widgets + Widgets.squared); summary (fit.quad)
lines(spline(Widgets, predict(fit.quad)), col = “gray”, lty=2)
Figure 4.3 shows both the linear and quadratic (curved) fit to the data. Since the linear and quadratic fits are so similar, it (again) appears that there is no need to model the curvature explicitly in this example.
Relevant lines from the summary of fit are shown as follows:
Coefficients :
(Intercept)
widgets
Widgets.squared
$\begin{array}{cccc}\text { Estimate } & \text { Std. Error } & t \text { value } & \operatorname{Pr}(>|t|) \ 4.564 e+02 & 7.493 e+02 & 0.609 & 0.546 \ 9.149 e-01 & 1.290 e+00 & 0.709 & 0.483 \ 2.923 e-04 & 5.322 e-04 & 0.549 & 0.586\end{array}$
Residual standard error: 241.3 on 37 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7987 , Adjusted R-squared: 0.7878
F-statistic: 73.42 on 2 and $37 \mathrm{DF}$, p-value: $1.318 \mathrm{e}-13$
Notice the $p$-value for testing the $\beta_2=0$ restriction: Since the $p$-value is 0.586 , the difference between the coefficient 0.0002923 (2.923e-04) and 0.0 is explainable by chance alone. That is, even if the process were truly linear (i.e., even if $\beta_2=0$ ), you would often see quadratic coefficient estimates $\left(\hat{\beta}_2\right)$ as large as 0.0002923 when you fit a quadratic model to similar data. If this is confusing to you, just run a simulation from a similar linear process (where $\beta_2=0$ ), and fit a quadratic model. You will see a non-zero $\hat{\beta}_2$ in every simulated data set, and most will be within 2 standard errors of 0.0 (the $\hat{\beta}_2$ above is $T=0.549$ standard errors from 0.0 ).

回归分析代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Evaluating the Linearity Assumption Using Hypothesis Testing Methods

在这里，我们将略超前于本书的流程，因为多元回归将在下一章中讨论。测试曲率的一个简单而有力的方法是使用包含二次项的多元回归模型。二次回归模型为:
$$
Y=\beta_0+\beta_1 X+\beta_2 X^2+\varepsilon
$$
这个模型假设，如果存在曲率，那么它是二次型的。做出这种假设的逻辑是由“泰勒定理”给出的，该定理指出，许多类型的曲线函数都可以很好地近似于二次函数。

测试方法需要受限制(null)和不受限制(alternative)的模型。在这里，null模型强制限制$\beta_2=0$;因此，零模型表明平均响应是$x$的线性(而不是曲线)函数。所谓的$\beta_2$估计的“不显著性”(历史上由$p>0.05$确定)意味着观测数据中的曲率证据，如$\beta_2$的非零估计或弯曲的黄土拟合所表明的那样，在线性模型下只能由偶然解释。“重要性”(历史上由$p<0.05$决定)意味着这种曲率的证据在线性模型下不容易单独用偶然来解释。

但是，您不应该将这个基于$p$值的测试的结果作为模型构建的“配方”。如果“重要”，您不应该自动假设一个曲线模型。相反，您应该问:“曲率是否足够大，足以保证额外的建模复杂性?”以及“使用曲率模型还是普通线性模型，预测的差异是否很大?”如果这些问题的答案是“否”，那么无论如何都应该使用线性模型，即使它被基于$p$值的测试“拒绝”。

此外，采用曲率(特别是二次曲线)的模型在$x$ -范围的极值处是出了名的差。所以，你可以很容易地选择线性模型，即使曲率是“显著的”$(p<0.05)$。

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Testing for Curvature with the Production Cost Data

下面的R代码演示了该方法。
ProdC $=$ read.table(“https://raw.githubusercontent.com/andrea2719/
“ura – dataset /master/ product .txt”)
附件(产品)
plot (Widgets, Cost);abline(lsfit(Widgets, Cost))
小部件。^2 = Widgets^2
产品$=$阅读。表$($ “https $: / /$ raw.githubusercontent.com/andrea2719/
“ura – dataset /master/ product .txt”)
附件(产品)
plot (Widgets, Cost);abline(lsfit(Widgets, Cost))
小部件。squared $=$小部件 $^{\wedge} 2$

适合。quad $=1 \mathrm{~m}$(成本$~$ Widgets + Widgets.squared);总结(fit.quad)
线条(样条(Widgets, predict(fit.quad))， col = “gray”， lty=2)
图4.3显示了数据的线性拟合和二次(曲线)拟合。由于线性拟合和二次拟合是如此相似，它(再次)似乎没有必要在这个例子中明确地建模曲率。
拟合总结的相关行如下:
系数:
(截语)
小部件
widgets。squared
$\begin{array}{cccc}\text { Estimate } & \text { Std. Error } & t \text { value } & \operatorname{Pr}(>|t|) \ 4.564 e+02 & 7.493 e+02 & 0.609 & 0.546 \ 9.149 e-01 & 1.290 e+00 & 0.709 & 0.483 \ 2.923 e-04 & 5.322 e-04 & 0.549 & 0.586\end{array}$
37个自由度的残差标准误差:241.3
多元r平方:0.7987，调整r平方:0.7878
f统计量:73.42对2和$37 \mathrm{DF}$, p值:$1.318 \mathrm{e}-13$
请注意用于测试$\beta_2=0$限制的$p$ -值:由于$p$ -值为0.586，因此系数0.0002923 (2.923e-04)和0.0之间的差异只能通过偶然来解释。也就是说，即使这个过程是真正线性的(即，即使$\beta_2=0$)，当您将二次模型拟合到类似的数据时，您经常会看到二次系数估计$\left(\hat{\beta}_2\right)$大到0.0002923。如果这让您感到困惑，只需从类似的线性过程($\beta_2=0$)运行模拟，并拟合二次模型。您将在每个模拟数据集中看到一个非零$\hat{\beta}_2$，并且大多数将在0.0的2个标准误差范围内(上面的$\hat{\beta}_2$是0.0的$T=0.549$标准误差)。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Simulation Study to Understand the Null Distribution of the $T$ Statistic

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Simulation Study to Understand the Null Distribution of the $T$ Statistic

The following $\mathrm{R}$ code generates the data under the null model. It is the same model used in the SSN/Height example above, but re-written in a way to make the constraint $\beta_1=0$ explicit. Because we did not use set.seed as in the previous code, the output is random. Your results will differ, but that is good because the point here is to understand randomness.

$\mathrm{n}=100$
beta $0=70 ;$ betal $=0 \quad #$ The null model; true betal = 0
ssn = sample $(0: 9,100$, replace=T)
height = beta + betal*ssn + rnorm $(100,0,4)$
ssn.data = data.frame (ssn, height)
fit. $1=$ lm (height ssn, data=ssn.data)
summary (fit. 1$)$
$\mathrm{n}=100$
beta $0=70 ;$ betal $=0 \quad #$ The null model; true betal $=0$
ssn $=$ sample $(0: 9,100$, replace $=T)$
height $=$ beta $0+\operatorname{beta} 1 * \operatorname{ssn}+\operatorname{rnorm}(100,0,4)$
ssn. data = data. frame (ssn, height)
fit. 1 = $\operatorname{lm}($ height ssn, datasssn. data)
summary (fit.l)
This code gives the following output (yours will vary by randomness):
Cal :
$\operatorname{lm}$ (formula $=$ height $\sim$ ssn, data $=$ ssn. data)
Residuals:
Min $1 Q$ Median $3 Q$ Max
$-9.4952-2.8261-0.3936 \quad 2.252111 .6764$
Coefficients :
Estimate std. Error $t$ value $\operatorname{Pr}(>|t|)$
(Intercept) $69.77372 \quad 0.71865 \quad 97.089<2 \mathrm{e}-16 \star \star $ $\operatorname{ssn} 0.019150 .14336 \quad 0.134 \quad 0.894$ Signif. Codes: 0 ‘‘ 0.001 ‘‘ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. 0.1 ‘ 1
Residual standard error: 4.155 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.000182 , Adjusted R-squared: 0.01002
F-statistic: 0.01784 on 1 and $98 \mathrm{DF}$, p-value: 0.894
In our simulation, the estimate $\hat{\beta}_1=0.01915$ is $T=0.134$ standard errors from zero, and you know that this difference is explained by chance alone because the data are simulated from the null model where $\beta_1=0$.

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|The $p$-Value

In the example above, the thresholds to determine which real $T$ values are explainable by chance alone are the numbers that put $95 \%$ of the $T$ values that are explained by chance alone between them; these are -1.9845 and +1.9845 in the case of the $T_{98}$ distribution. If the observed $T$ statistic falls outside that range, then we can say that the difference between $\hat{\beta}_1$ and 0 is not easily explained by chance alone.

See Figure 3.7 again. Notice that there is $5 \%$ total probability outside the \pm 1.9845 range, simply because there is $95 \%$ probability inside the range. Now, if the $T$ statistic falls inside the $95 \%$ range, then there has to be more than $5 \%$ total probability outside the $\pm T$ range. See Figure 3.7 again, and suppose $T=1.7$, which is inside the range. Then there has to be more than $5 \%$ probability outside the \pm 1.7 range, right? See Figure 3.7 again, and locate \pm 1.7 on the graph. Make sure you understand this; it is not hard at all. Do not just read the words, because then you will not understand. Instead, look at Figure 3.7, put your finger on the graph at 1.7 , and think about the area outside the \pm 1.7 range. It is more than 0.05 , do you see?

Now, suppose $T=2.5$, and look at Figure 3.7 again. Then there has to be less than $5 \%$ probability outside the \pm 2.5 range, right? See Figure 3.7 again, and locate \pm 2.5 on the graph. Make sure you understand this; it is not hard at all. Look at the graph! Do not just read the words! Instead, put your finger on the graph at 2.5 and think about the area outside the \pm 2.5 range. It is less than 0.05 , do you see?

回归分析代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Simulation Study to Understand the Null Distribution of the $T$ Statistic

下面的$\mathrm{R}$代码生成null模型下的数据。它与上面的SSN/Height示例中使用的模型相同，但是以一种使约束$\beta_1=0$显式的方式重新编写。因为我们没有用集合。与前面的代码一样，输出是随机的。你的结果可能会有所不同，但这很好，因为这里的重点是理解随机性。

$\mathrm{n}=100$
beta $0=70 ;$ betal $=0 \quad #$ null模型;True betal = 0
ssn = sample $(0: 9,100$, replace=T)
高度= beta + beta *ssn + rnorm $(100,0,4)$
ssn. ssn.Data = Data .frame (ssn, height)
适合。$1=$ lm(高度ssn，数据=ssn.data)
总结(适合)1 $)$
$\mathrm{n}=100$
beta $0=70 ;$ betal $=0 \quad #$ null模型;真betal $=0$
SSN $=$样例$(0: 9,100$，替换$=T)$
身高$=$ beta $0+\operatorname{beta} 1 * \operatorname{ssn}+\operatorname{rnorm}(100,0,4)$
ssn. ssn.数据=数据。框架(ssn, height)
适合。1 = $\operatorname{lm}($ height ssn, datasssn。数据)
摘要(fit. 1)
这段代码给出了以下输出(你的输出会随随机而变化):
卡尔:
$\operatorname{lm}$(公式$=$高度$\sim$ ssn，数据$=$ ssn。数据)
残差:
最小值$1 Q$中值$3 Q$最大值
$-9.4952-2.8261-0.3936 \quad 2.252111 .6764$
系数:
估计std误差$t$值$\operatorname{Pr}(>|t|)$
(截音)$69.77372 \quad 0.71865 \quad 97.089<2 \mathrm{e}-16 \star \star $$\operatorname{ssn} 0.019150 .14336 \quad 0.134 \quad 0.894$代码:0“0.001”“0.01”*“0.05”。0.1 ‘ 1
剩余标准误差:在98自由度上为4.155
多元r平方:0.000182，调整r平方:0.01002
f统计量:0.01784对1和$98 \mathrm{DF}$, p值:0.894
在我们的模拟中，估计值$\hat{\beta}_1=0.01915$是$T=0.134$离零的标准误差，并且您知道这种差异完全是偶然的，因为数据是从null模型模拟的，其中$\beta_1=0$。

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|The $p$-Value

在上面的例子中，确定哪些真实的$T$值只能由偶然解释的阈值是将只能由偶然解释的$T$值中的$95 \%$放在它们之间的数字;在$T_{98}$分布的情况下，它们是-1.9845和+1.9845。如果观察到的$T$统计值超出了这个范围，那么我们可以说$\hat{\beta}_1$和0之间的差异不容易单独用偶然来解释。

再次参见图3.7。注意，在\pm 1.9845范围之外有$5 \%$总概率，因为在范围内有$95 \%$概率。现在，如果$T$统计值落在$95 \%$范围内，那么在$\pm T$范围外的总概率必须大于$5 \%$。再次参见图3.7，假设$T=1.7$在范围内。那么在\pm 1.7范围之外的概率必须大于$5 \%$，对吧?再次参见图3.7，并在图中找到\pm 1.7。确保你理解了这一点;这一点也不难。不要只看文字，因为那样你不会明白。相反，请查看图3.7，将手指放在1.7处的图形上，并考虑\pm 1.7范围之外的区域。它大于0.05，你看到了吗?

现在，假设$T=2.5$，再次查看图3.7。那么在\pm 2.5范围之外的概率必须小于$5 \%$，对吧?再次参见图3.7，在图中找到\pm 2.5。确保你理解了这一点;这一点也不难。看这个图表!不要只看单词!相反，将手指放在2.5的图形上，并考虑\pm 2.5范围之外的区域。它小于0.05，你看到了吗?

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随机过程代考

贝叶斯方法代考

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

机器学习代写

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Unbiasedness of OLS Estimates Assuming the Classical Model: A Simulation Study

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Unbiasedness of OLS Estimates Assuming the Classical Model: A Simulation Study

To start a simulation study, you must specify the model and its parameter values, which in the case of the classical model will be the $\mathrm{N}\left(\beta_0+\beta_1 x, \sigma^2\right)$ probability distribution, along with the three parameters $\left(\beta_0, \beta_1, \sigma\right)$. These parameters are unknown, so just pick any values that make sense. No matter what values you pick for those parameters, the estimates you get are (i) random, and (ii) when unbiased, neither systematically above nor below those parameter values, in an average sense.

In reality, Nature picks the actual values of the parameters $\left(\beta_0, \beta_1, \sigma\right)$, and you do not know their values. In simulation studies, you pick the values $\left(\beta_0, \beta_1, \sigma\right)$. The estimates $\left(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1\right.$, and $\left.\hat{\sigma}\right)$ target those particular values, but with error that you know precisely because you know both the estimates and the true values. In the real world, with your real (not simulated) data, your estimates $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$, and $\hat{\sigma}$ also target the true values $\beta_0, \beta_1$, and $\sigma$, but since you do not know the true values for your real data, you also do not know the error. Simulation allows you to understand this error, so you can better understand how your estimates $\hat{\beta}_0$, $\hat{\beta}_1$, and $\hat{\sigma}$ relate to Nature’s true values $\beta_0, \beta_1$, and $\sigma$.

In the Production Cost example, the values $\beta_0=55, \beta_1=1.5, \sigma^2=250^2$ produce data that look reasonably similar to the actual data, as shown in Chapter 1. So let’s pick those values for the simulation. No matter which values you pick for your simulation parameters $\beta_0, \beta_1$, and $\sigma$, the statistical estimates $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$, and $\hat{\sigma}$ “target” those values.

To make the abstractions concrete and understandable, run the following simulation code, which produces data exactly as indicated in Table 3.3.
beta0 $=55 ;$ betal $=1.5 ;$ sigma $=250 #$ Nature’s parameters
Widgets $=\mathrm{c}(1500,800,1500,1400,900,800,1400,1400,1300,1400,700$,
$\quad 1000,1200,1200,900,1200,1700,1600,1200,1400,1400,1000$,
$\quad 1200,800,1000,1400,1400,1500,1500,1600,1700,900,800,1300$,
$\quad 1000,1600,900,1300,1600,1000)$
n = length(Widgets)
# Examples of potentially observable data sets:
Sim. Cost = beta0 + betal*Widgets + rnorm(n, 0, sigma)
head(cbind(Widgets, Sim.Cost))
beta $0=55 ;$ betal $=1.5 ;$ sigma $=250$ # Nature’s parameters
Widgets $=c(1500,800,1500,1400,900,800,1400,1400,1300,1400,700$,
$1000,1200,1200,900,1200,1700,1600,1200,1400,1400,1000$,
$1200,800,1000,1400,1400,1500,1500,1600,1700,900,800,1300$,
$1000,1600,900,1300,1600,1000)$
$\mathrm{n}=$ length (widgets)
# Examples of potentially observable data sets:
sim. Cost $=$ beta $0+\operatorname{beta} 1 *$ widgets $+\operatorname{rnorm}(n, 0$, sigma $)$
head (cbind (Widgets, Sim.Cost))

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Biasedness of OLS Estimates When the Classical Model Is Wrong

Unbiasedness of the estimates $\hat{\beta}_0$ and $\hat{\beta}_1$ also implies unbiasedness of the OLS-estimated conditional mean value, $\hat{\mu}_x=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$, when the classical model is valid. But when the classical model does not correspond to Nature’s model, the OLS-estimated conditional mean value $\hat{\mu}_x=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$ can be biased. Motivated by the Product Complexity example of Figure 1.16, where $Y=$ Preference and $X=$ Complexity, suppose that Nature’s mean function is not linear, but instead a curved function $\mathrm{E}(Y \mid X=x)=f(x)$. But you do not know Nature’s ways, so you assume the classical model $Y \mid X=x \sim \mathrm{N}\left(\beta_0+\beta_1 x, \sigma^2\right)$. Then your OLS-estimated conditional mean value, $\hat{\mu}_x=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$, is biased.

Suppose in particular that Nature’s data-generating process is $Y \mid X=x \sim \mathrm{N}$ $\left(7+x-0.03 x^2, 10^2\right)$, where $X \sim \mathrm{N}\left(15,5^2\right)$. A scatterplot of $n=1,000$ data values from this process is shown in the left panel of Figure 3.2, with OLS line and LOESS fit superimposed. Notice that the LOESS fit looks more like the true, quadratic function than the incorrect linear function.

The right panel of Figure 3.2 shows that the OLS estimates $\hat{\mu}_{15}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1(15)$, based on samples of size $n=1,000$, are biased (low) estimates of the true mean.

回归分析代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Unbiasedness of OLS Estimates Assuming the Classical Model: A Simulation Study

要开始模拟研究，必须指定模型及其参数值，在经典模型的情况下，这些参数值将是$\mathrm{N}\left(\beta_0+\beta_1 x, \sigma^2\right)$概率分布，以及三个参数$\left(\beta_0, \beta_1, \sigma\right)$。这些参数是未知的，所以只要选择任何有意义的值。无论你为这些参数选择什么值，你得到的估计都是(i)随机的，(ii)无偏的，在平均意义上既不高于也不低于这些参数值。

实际上，Nature会选择参数的实际值$\left(\beta_0, \beta_1, \sigma\right)$，而您并不知道它们的值。在模拟研究中，您选择值$\left(\beta_0, \beta_1, \sigma\right)$。估计值$\left(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1\right.$和$\left.\hat{\sigma}\right)$针对这些特定的值，但是由于您既知道估计值又知道真实值，因此您可以精确地知道其中的误差。在现实世界中，使用真实(非模拟)数据，您的估计值$\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$和$\hat{\sigma}$也针对真实值$\beta_0, \beta_1$和$\sigma$，但是由于您不知道真实数据的真实值，因此也不知道误差。模拟可以让您理解这个错误，因此您可以更好地理解您的估计$\hat{\beta}_0$、$\hat{\beta}_1$和$\hat{\sigma}$与Nature的真实值$\beta_0, \beta_1$和$\sigma$之间的关系。

在Production Cost示例中，值$\beta_0=55, \beta_1=1.5, \sigma^2=250^2$生成的数据看起来与实际数据非常相似，如第1章所示。让我们为模拟选择这些值。无论您为模拟参数$\beta_0, \beta_1$和$\sigma$选择哪个值，统计都会估计$\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$和$\hat{\sigma}$“以”这些值为目标。

为了使抽象具体化和易于理解，运行下面的仿真代码，生成的数据如表3.3所示。
beta0 $=55 ;$ betal $=1.5 ;$ sigma $=250 #$自然参数
Widgets $=\mathrm{c}(1500,800,1500,1400,900,800,1400,1400,1300,1400,700$，
$\quad 1000,1200,1200,900,1200,1700,1600,1200,1400,1400,1000$，
$\quad 1200,800,1000,1400,1400,1500,1500,1600,1700,900,800,1300$，
$\quad 1000,1600,900,1300,1600,1000)$
n =长度(Widgets)
＃潜在可观察数据集的例子:
Sim。成本= beta0 + betal*Widgets + rnorm(n, 0, sigma)
head(cbind(Widgets, Sim.Cost))
beta $0=55 ;$ betal $=1.5 ;$ sigma $=250$ ＃自然参数
Widgets $=c(1500,800,1500,1400,900,800,1400,1400,1300,1400,700$，
$1000,1200,1200,900,1200,1700,1600,1200,1400,1400,1000$，
$1200,800,1000,1400,1400,1500,1500,1600,1700,900,800,1300$，
$1000,1600,900,1300,1600,1000)$
$\mathrm{n}=$长度(部件)
＃潜在可观察数据集的例子:
sim。成本$=$ beta $0+\operatorname{beta} 1 *$ widgets $+\operatorname{rnorm}(n, 0$, sigma $)$
head (cbind (Widgets, Sim.Cost))

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Biasedness of OLS Estimates When the Classical Model Is Wrong

当经典模型有效时，估计$\hat{\beta}_0$和$\hat{\beta}_1$的无偏性也意味着ols估计的条件平均值$\hat{\mu}_x=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$的无偏性。但是，当经典模型与自然模型不对应时，ols估计的条件平均值$\hat{\mu}_x=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$可能存在偏差。受图1.16的Product Complexity示例的启发，其中$Y=$ Preference和$X=$ Complexity假设Nature的均值函数不是线性的，而是一个曲线函数$\mathrm{E}(Y \mid X=x)=f(x)$。但你不知道自然的方式，所以你假设经典模型$Y \mid X=x \sim \mathrm{N}\left(\beta_0+\beta_1 x, \sigma^2\right)$。那么你的ols估计的条件平均值$\hat{\mu}_x=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x$是有偏差的。

特别假设自然的数据生成过程是$Y \mid X=x \sim \mathrm{N}$$\left(7+x-0.03 x^2, 10^2\right)$，其中$X \sim \mathrm{N}\left(15,5^2\right)$。图3.2左面板为该过程中$n=1,000$数据值的散点图，OLS线与黄土拟合叠加。注意，黄土拟合看起来更像真实的二次函数，而不是不正确的线性函数。

图3.2的右面板显示，基于样本规模$n=1,000$的OLS估计$\hat{\mu}_{15}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1(15)$是对真实平均值的有偏(低)估计。

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随机过程代考

贝叶斯方法代考

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

机器学习代写

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

回归分析代写

MATLAB代写

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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数学代写|数学建模代写math modelling代考|A Model for Diabetes Mellitus

Posted on 2023年5月26日2023年5月26日 by statistics-lab_01, statistics-lab_01

如果你也在怎样代写数学建模Mathematical Modeling 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数学建模Mathematical Modeling是使用数学概念和语言对一个具体系统的抽象描述。建立数学模型的过程被称为数学建模。数学模型被用于自然科学（如物理学、生物学、地球科学、化学）和工程学科（如计算机科学、电气工程），以及非物理系统，如社会科学（如经济学、心理学、社会学、政治学）。使用数学模型来解决商业或军事行动中的问题是运筹学领域的一个重要部分。数学模型也被用于音乐、语言学、和哲学（例如，集中用于分析哲学）。

数学建模Mathematical Modeling可以有很多形式，包括动态系统、统计模型、微分方程或博弈论模型。这些和其他类型的模型可以重叠，一个特定的模型涉及各种抽象结构。一般来说，数学模型可能包括逻辑模型。在许多情况下，一个科学领域的质量取决于在理论方面开发的数学模型与可重复的实验结果的吻合程度。理论上的数学模型和实验测量结果之间缺乏一致性，往往导致更好的理论被开发出来，从而取得重要进展。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写数学建模math modelling方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数学建模math modelling代写方面经验极为丰富，各种代写数学建模math modelling相关的作业也就用不着说。

数学代写|数学建模代写math modelling代考|A Model for Diabetes Mellitus

Let $x(t), y(t)$ be the blood sugar and insulin levels in the bloodstream at time $t$. The rate of change $d y / d t$ of the insulin level is proportional to $(i)$ the excess $x(t)-x_0$ of sugar in the blood over its fasting level, since this excess makes the pancreas secrete insulin into the bloodstream; (ii) the amount $y(t)$ of insulin, since insulin left to itself tends to decay at a rate proportional to its amount; and (iii) the insulin dose $d(t)$ injected per unit time. This gives
$$
\frac{d y}{d t}=a_1\left(x-x_0\right) H\left(x-x_0\right)-a_2 y+a_3 d(t)
$$
where $a_1, a_2, a_3$ are positive constants and $H(x)$ is a step function which takes the value unity when $x>0$ and takes the value zero otherwise. This occurs in Eqn. (95) because if the blood sugar level is less than $x_0$, there is no secretion of insulin from the pancreas.

Again the rate of change $d x / d t$ of sugar level is proportional to $(i)$ the product $x y$ since the higher the levels of sugar and insulin, the higher is the metabolism of sugar; (ii) $x_0-x$ since if the sugar level falls below fasting level, sugar is released from the stores to raise the sugar level to normal; (iii) $x-x_0$ since if $x>x_0$, there is a natural decay in sugar level proportional to its excess over the fasting level $(i v)$; and function of $t-t_0$, where $t_0$ is the time at which food is taken
$$
\frac{d x}{d t}=-b_1 x y+b_2\left(x_0-x\right) H\left(x_0-x\right)-b_3\left(x-x_0\right) H\left(x-x_0\right)+b_4 z\left(t-t_0\right)
$$
where a suitable form for $z\left(t-t_0\right)$ can be
$$
\begin{aligned}
z\left(t-t_0\right) & =0, tt_0
\end{aligned}
$$
Equations (95) and (96) give two simultaneous differential equations to determine $x(t)$ and $y(t)$. These equation can be numerically integrated.

数学代写|数学建模代写math modelling代考|Richardson’s Model for the Arms Race

Let $x(t), y(t)$ be the expenditures on arms by two countries $A$ and $B$, then the rate of change $d x / d t$ of the expenditure by the country $A$ has a term proportional to $y$, since the larger the expenditure in arms by $B$, the larger will be the rate of expenditure on arms by $A$. Similarly it has a term proportional to $(-x)$ since its own arms expenditure has an inhibiting effect on the rate of expenditure on arms by $A$. It may also contain a term independent of the expenditures depending on mutual suspicion or mutual goodwill. With these considerations, Richardson gave the model
$$
\frac{d x}{d t}=a y-m x+r, \frac{d y}{d t}=b x-n y+s
$$
Here $a, b, m, n$ are all $>0 . r$ and $s$ will be positive in the case of mutual suspicion and negative in the case of mutual goodwill.

A position of equilibrium $x_0, y_0$, if it exists, will be given by
$$
\begin{aligned}
& \begin{array}{l}
m x_0-a y_0-r=0 \
b x_0-n y_0+s=0
\end{array} \quad \text { or } \quad \frac{x_0}{-a s-n r}=\frac{y_0}{-b r-m s} \
& \frac{1}{-m n+a b} \
& x_0=\frac{a s+n r}{m n-a b}, \quad y_0=\frac{m s+b r}{m n-a b} \
&
\end{aligned}
$$
If $r, s$ are positive, a position of equilibrium exists if $a b<m n$. If $X=x-x_0, Y=y-y_0$, we get
$$
\frac{d X}{d t}=a Y-m X, \frac{d Y}{d t}=b X-n Y
$$
$X=A e^{\lambda t}, Y=B e^{\lambda t}$ will satisfy these equations if
$$
\left|\begin{array}{cc}
\lambda+m & -a \
-b & \lambda+n
\end{array}\right|=0, \lambda^2+\lambda(m+n)+m n-a b=0
$$

数学建模代写

数学代写|数学建模代写math modelling代考|A Model for Diabetes Mellitus

设$x(t), y(t)$为某一时刻血液中的血糖和胰岛素水平$t$。胰岛素水平的变化率$d y / d t$与血液中超过空腹水平的$(i)$过量$x(t)-x_0$成正比，因为过量的血糖会使胰腺分泌胰岛素进入血液;(ii)胰岛素的数量$y(t)$，因为留给胰岛素的胰岛素本身往往会以与其数量成比例的速度衰减;(三)单位时间注射胰岛素的剂量$d(t)$。这给出了
$$
\frac{d y}{d t}=a_1\left(x-x_0\right) H\left(x-x_0\right)-a_2 y+a_3 d(t)
$$
其中$a_1, a_2, a_3$是正常数，$H(x)$是阶跃函数，当$x>0$取值为单位，否则取值为零。这发生在Eqn。(95)因为如果血糖水平低于$x_0$，胰腺就不会分泌胰岛素。

糖类水平的变化率$d x / d t$与$(i)$产物成正比$x y$因为糖类和胰岛素的水平越高，糖的代谢就越高;(ii) $x_0-x$，因为如果血糖水平低于空腹水平，糖就会从储存中释放出来，使血糖水平恢复正常;(iii) $x-x_0$，因为如果$x>x_0$，糖水平的自然衰减与其超过禁食水平成正比$(i v)$;以及$t-t_0$的函数，其中$t_0$是进食的时间
$$
\frac{d x}{d t}=-b_1 x y+b_2\left(x_0-x\right) H\left(x_0-x\right)-b_3\left(x-x_0\right) H\left(x-x_0\right)+b_4 z\left(t-t_0\right)
$$
在哪里可以找到合适的$z\left(t-t_0\right)$表单
$$
\begin{aligned}
z\left(t-t_0\right) & =0, tt_0
\end{aligned}
$$
式(95)和式(96)给出了确定$x(t)$和$y(t)$的两个联立微分方程。这些方程可以进行数值积分。

数学代写|数学建模代写math modelling代考|Richardson’s Model for the Arms Race

设$x(t), y(t)$为两个国家的军备支出$A$和$B$，则该国家的军备支出变化率$d x / d t$$A$有一个与$y$成正比的项，因为军备支出$B$越大，军备支出比率$A$就越大。同样，它也有一个与$(-x)$成比例的项，因为它自己的军备支出对军备支出率的抑制作用为$A$。它还可能包含一个独立于取决于相互猜疑或相互善意的支出的术语。基于这些考虑，理查森给出了模型
$$
\frac{d x}{d t}=a y-m x+r, \frac{d y}{d t}=b x-n y+s
$$
这里$a, b, m, n$都是$>0 . r$和$s$在相互猜疑的情况下会是积极的，在相互善意的情况下会是消极的。

平衡位置$x_0, y_0$，如果存在，将由
$$
\begin{aligned}
& \begin{array}{l}
m x_0-a y_0-r=0 \
b x_0-n y_0+s=0
\end{array} \quad \text { or } \quad \frac{x_0}{-a s-n r}=\frac{y_0}{-b r-m s} \
& \frac{1}{-m n+a b} \
& x_0=\frac{a s+n r}{m n-a b}, \quad y_0=\frac{m s+b r}{m n-a b} \
&
\end{aligned}
$$
如果$r, s$为正，则存在一个平衡位置，如果$a b<m n$。如果$X=x-x_0, Y=y-y_0$，我们得到
$$
\frac{d X}{d t}=a Y-m X, \frac{d Y}{d t}=b X-n Y
$$
$X=A e^{\lambda t}, Y=B e^{\lambda t}$满足这些方程，如果
$$
\left|\begin{array}{cc}
\lambda+m & -a \
-b & \lambda+n
\end{array}\right|=0, \lambda^2+\lambda(m+n)+m n-a b=0
$$

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