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组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。
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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling a Checker Rectangle
Imagine you have an $m \times n$ rectangle $R$ and lots of dominoes (a domino is a $1 \times 2$ rectangle). It is easy to find the conditions under which $R$ can be tiled by dominoes, i.e., covered by dominoes, without any dominoes overlapping or sticking out over the boundary of $R$. Indeed, $R$ can be tiled by dominoes if and only if $m n$ is even (prove it!).
The problem becomes a bit more difficult if we want to tile the same rectangle with exactly two monominoes (a monomino is a $1 \times 1$ square) and many dominoes (Figure 1.1). Where can these two monominoes be placed?
In order to answer this question we color the rectangle $R$ in a chessboard fashion in two colors (Figure 1.2).
This coloring has a very nice property: regardless of how a domino is placed on the board, horizontally or vertically, it will cover exactly one square of each color (Figure 1.2). Therefore, the two monominoes must cover squares of different colors.
The famous mathematician Ralph E. Gomory found (and apparently never published himself ) a beautiful way to prove the converse, that no matter where the two monominoes are placed on the $m \times n$ board (where $m n$ is even and both $m$ and $n$ are greater than 1), as long as they are on different colors, the rest of the board can be tiled by dominoes.
Here is his proof. Supposing $n$ to be even (note at least one of the numbers $m, n$ must be even), Gomory created a labyrinth out of the board (Figure 1.3).
As you walk through this labyrinth, black and white squares alternate. Now let us cut the board along the walls of the labyrinth to get a checkered ring with alternating black and white squares (Figure 1.4).
It is clear that no matter what black and white squares we cover by monominoes, the number of squares between the monominoes (in both paths connecting them) must be even and therefore the rest of the ring can be tiled by dominoes.
数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling Rectangles by Trominoes
Problems of tiling figures with tiles of an indicated shape (or cutting figures into parts of a given form) form a very interesting area of combinatorial geometry. It includes many fascinating exercises and research problems. Some of them we will consider in this section.
Here is an L-tromino (Figure 2.1). It is composed of three unit squares. (Note that there is one other tromino, the linear tromino, connecting three squares in a row. We will use this tromino in Section 4.) In this section we will address the following problem: How to tile a rectangle with L-trominoes. The first question is how to tile the $2 \times 3$ rectangle using L-trominoes. A solution is trivial (Figure 2.2).
We now offer a sequence of exercises. You are invited to find solutions. After several attempts (successful or not) we recommend you read our solutions at the end of the section.
Exercise 2.1. Is it possible to tile a $4 \times 5$ rectangle with L-trominoes?
Exercise 2.2. Find the smallest square that can be tiled with Ltrominoes.
Exercise 2.3. Find all integers $b$ such that a $2 \times b$ rectangle can be tiled using L-trominoes.
Exercise 2.4. Find all integers $b$ such that a $3 \times b$ rectangle can be tiled by L-trominoes.
Combining solutions to Exercises $2.3$ and 2.4, we obtain the following result.
Theorem 2.1. Let $a, b$ be integers such that $2 \leq a \leq 3$ and $a \leq b$. The $a \times b$ rectangle can be tiled by $L$-trominoes if and only if ab is divisible by 6.
Equivalently: the $a \times b$ rectangle with $2 \leq a \leq 3$ and $a \leq b$ can be tiled by L-trominoes if and only if one of the numbers $a, b$ is divisible by 2 and the other is divisible by 3 .
Now a new direction of research is clear: we will consider $a \times b$ rectangles in cases when $4 \leq a \leq b$. But first we would like to share a couple of “philosophical” observations.
组合数学代写
数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling a Checker Rectangle
假设你有一个米×n矩形R和很多多米诺骨牌（多米诺骨牌是1×2矩形）。很容易找到在什么条件下R可以被多米诺骨牌平铺，即被多米诺骨牌覆盖，没有任何多米诺骨牌重叠或伸出边界R. 的确，R可以用多米诺骨牌平铺当且仅当米n是偶数（证明！）。
如果我们想用两个 monomino 平铺同一个矩形（一个 monomino 是一个1×1方形）和许多多米诺骨牌（图 1.1）。这两个单骨牌可以放在哪里？
为了回答这个问题，我们给矩形上色R以两种颜色呈棋盘状排列（图 1.2）。
这种着色有一个非常好的特性：无论多米诺骨牌如何放置在棋盘上，水平或垂直，它都会恰好覆盖每种颜色的一个正方形（图 1.2）。因此，这两个单骨牌必须覆盖不同颜色的方块。
著名数学家 Ralph E. Gomory 发现（显然他自己从未发表过）一个漂亮的方法来证明逆命题，无论两个单米诺骨牌放在米×n董事会（其中米n是偶数并且两者都是米和n大于 1)，只要它们在不同的颜色上，剩下的棋盘就可以用多米诺骨牌平铺。
这是他的证明。假如n是偶数（至少注意其中一个数字米,n必须是偶数），Gomory 在棋盘外创建了一个迷宫（图 1.3）。
当您穿过这个迷宫时，黑白方块交替出现。现在让我们沿着迷宫的墙壁切割木板，得到一个黑白方块交替出现的方格环（图 1.4）。
很明显，无论我们用单米诺骨牌覆盖哪些黑色和白色方块，单米诺骨牌之间（在连接它们的两条路径上）的方块数量必须是偶数，因此环的其余部分可以用多米诺骨牌平铺。
数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tiling Rectangles by Trominoes
用指示形状的瓷砖拼贴图形（或将图形切割成给定形式的部分）的问题形成了组合几何的一个非常有趣的领域。它包括许多有趣的练习和研究问题。我们将在本节中考虑其中的一些。
这是一个 L-tromino（图 2.1）。它由三个单位正方形组成。（请注意，还有另一种 tromino，线性 tromino，将三个正方形连成一行。我们将在第 4 节中使用此 tromino。）在本节中，我们将解决以下问题：如何使用 L-tromino 拼贴矩形。第一个问题是如何平铺2×3使用 L-trominoes 的矩形。解决方案很简单（图 2.2）。
我们现在提供一系列练习。邀请您寻找解决方案。经过多次尝试（成功与否）后，我们建议您阅读本节末尾的解决方案。
练习 2.1。是否可以平铺一个4×5长方形与 L-trominoes？
练习 2.2。找到可以用 Ltrominoes 平铺的最小正方形。
练习 2.3。找出所有整数b这样一个2×b可以使用 L-trominoes 平铺矩形。
练习 2.4。找出所有整数b这样一个3×b矩形可以用 L-trominoes 平铺。
结合练习的解决方案2.3和2.4，我们得到以下结果。
定理 2.1。让一种,b是这样的整数2≤一种≤3和一种≤b. 这一种×b矩形可以平铺大号-trominoes 当且仅当 ab 可以被 6 整除。
等价于：一种×b矩形与2≤一种≤3和一种≤b可以被 L-tromino 平铺当且仅当其中一个数字一种,b能被 2 整除，另一个能被 3 整除。
现在一个新的研究方向很明确：我们将考虑一种×b在以下情况下的矩形4≤一种≤b. 但首先，我们想分享一些“哲学”观察。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。