数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|MATH418

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|MATH418

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Solutions to Exercises

2.1. The area of an $\mathrm{L}$-tromino (see Figure 1.6) is equal to 3 . The area of the $4 \times 5$ rectangle is equal to 20 . Hence, in order to tile this rectangle by L-trominoes, it is necessary to use $\frac{20}{3}$ L-trominoes, which is impossible.

Generally, if an $a \times b$ rectangle can be tiled by L-trominoes, then $a b$ is divisible by 3 . This is a necessary condition for the existence of such a tiling.
2.2. Due to Exercise $2.1$, if an $a \times a$ square can be tiled by Ltrominoes, then $a$ is divisible by 3 . The $6 \times 6$ square can be decomposed into $2 \times 3$ blocks (Figure $2.3$ ), and consequently, the $6 \times 6$ square can be tiled by L-trominoes (see Figure 2.2). So, it remains to be seen whether the $3 \times 3$ square can be tiled by L-trominoes. The answer is “no.” Indeed, all the ways to cover the upper-left corner are shown in Figure 2.4.

In Figure 2.4(a), it is impossible to cover the upper right corner. In Figure 2.4(b), it is impossible to cover the lower left corner. Finally, in Figure 2.4(c), the only ways to cover the upper right corner is shown

in Figure 2.5. But then the three bottom squares remain uncovered. Thus the investigation of all possibilities shows that the $3 \times 3$ square cannot be tiled by L-trominoes. Consequently, the $6 \times 6$ square is the smallest tileable square.
2.3. If $b$ is divisible by 3 , then a $2 \times b$ rectangle can be decomposed into $2 \times 3$ blocks (see Figure 2.6) and, consequently, this rectangle can be tiled by L-trominoes. The reasoning in the solution to Exercise $2.1$ shows that there are no other possibilities. So, the $2 \times b$ rectangle can be tiled by L-trominoes if and only if $b$ is divisible by 3 .

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tetrominoes and Chromatic Reasoning

There exist five types of tetrominoes (Figure 3.1). We will call them O-, Z-, L-, T-, and I-tetrominoes. In this section we consider the problem of tiling a rectangle by O-, Z-, L-, and T-tetrominoes. For I-tetrominoes, the problem will be generalized and solved in the next section. In order to solve these problems we will often use “color” reasoning that was mentioned in Section 1.

Exercise 3.1. Prove that the $m \times n$ rectangle can be tiled with Otetrominoes if and only if $m, n$ are even.

Exercise 3.2. Prove that no rectangle can be tiled with Z-tetrominoes. The above exercises do not require the use of “color” reasoning. But such reasoning will be very useful for other types of tetrominoes.
Exercise 3.3. Prove that if all squares of an $a \times b$ chess-board are colored in two colors black and white (Figure 3.2), then the difference between the number of black squares and the number of white squares is equal to either 0 or $\pm 1$.

Exercise 3.4. Prove that if an $m \times n$ rectangle is colored in two colors, black and white, by columns (Figure 3.3), then the difference between the number of black squares and the number of white squares is equal to either 0 or $\pm m$.

Fxercise 3.5. Prove that if an $a \times b$ rectangle is tiled with I.tetrominoes, then the number of tiles is even.

This exercise shows that the area of a rectangle tiled by $\mathrm{L}$ tetrominoes must be divisible by 8 .

It is obvious that the $2 \times 4$ rectangle can be tiled by two Ltetrominoes (Figure 3.4). The following problem arises naturally: What other rectangles can be tiled by tetrominoes of this type? Can you solve this problem on your own? If not, try to solve the following exercises to pave the way for a successful train of thought.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|MATH418

组合数学代写

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Solutions to Exercises

2.1. 的面积大号-tromino(见图 1.6)等于 3 。的面积4×5矩形等于 20 。因此,为了用 L-trominoes 平铺这个矩形,有必要使用203L-trominoes,这是不可能的。

一般来说,如果一个一种×b矩形可以用 L-trominoes 平铺,然后一种b能被 3 整除。这是这种平铺存在的必要条件。
2.2. 由于运动2.1, 如果一种×一种正方形可以用 Ltrominoes 平铺,然后一种能被 3 整除。这6×6正方形可以分解为2×3块(图2.3), 因此,6×6正方形可以用 L-trominoes 平铺(见图 2.2)。因此,是否有待观察3×3正方形可以用 L-trominoes 平铺。答案是不。” 事实上,所有覆盖左上角的方法如图 2.4 所示。

在图2.4(a)中,不可能覆盖右上角。在图2.4(b)中,左下角是不可能被覆盖的。最后,在图 2.4(c) 中,显示了覆盖右上角的唯一方法

在图 2.5 中。但是底部的三个方块仍然没有被覆盖。因此,对所有可能性的调查表明,3×3正方形不能被 L-trominoes 平铺。因此,6×6square 是最小的平铺正方形。
2.3. 如果b能被 3 整除,那么 a2×b矩形可以分解为2×3块(见图 2.6),因此,这个矩形可以用 L-trominoes 平铺。Exercise 解决方案中的推理2.1表明没有其他可能性。所以2×b矩形可以被 L-trominoes 平铺当且仅当b能被 3 整除。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Tetrominoes and Chromatic Reasoning

存在五种类型的四联骨牌(图 3.1)。我们称它们为 O-、Z-、L-、T- 和 I- 四联骨牌。在本节中,我们考虑用 O-、Z-、L- 和 T- 四联骨牌拼接矩形的问题。对于 I-tetrominoes,问题将在下一节中推广和解决。为了解决这些问题,我们将经常使用第 1 节中提到的“颜色”推理。

练习 3.1。证明米×n矩形可以用 Otetrominoes 平铺当且仅当米,n是偶数。

练习 3.2。证明没有矩形可以用 Z-tetrominoes 平铺。上述练习不需要使用“颜色”推理。但这种推理对于其他类型的四联骨牌将非常有用。
练习 3.3。证明如果一个的所有正方形一种×b棋盘有黑白两种颜色(图 3.2),那么黑方格数和白方格数之差等于 0 或±1.

练习 3.4。证明如果一个米×n矩形按列用黑色和白色两种颜色着色(图 3.3),那么黑色方块的数量与白色方块的数量之差等于 0 或±米.

练习 3.5。证明如果一个一种×b矩形用 I.tetrominoes 平铺,那么平铺的数量是偶数。

这个练习展示了一个矩形的面积由大号四联骨牌必须能被 8 整除。

很明显2×4矩形可以由两个 Ltetromino 平铺(图 3.4)。下面的问题自然而然地出现了:还有哪些其他的矩形可以被这种类型的四联骨牌平铺?你能自己解决这个问题吗?如果没有,请尝试解决以下练习,为成功的思路铺平道路。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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