数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|APM6664

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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域,旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。

组合优化是数学优化的一个子领域,包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象,其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题(”TSP”)、最小生成树问题(”MST”)和结囊问题。在许多这样的问题中,如前面提到的问题,穷举搜索是不可行的,因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|APM6664

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|What Is Combinatorial Optimization

The aim of combinatorial optimization is to find an optimal object from a finite set of objects. Those candidate objects are called feasible solutions, while the optimal one is called an optimal solution. For example, consider the following problem.
Problem 1.1.1 (Minimum Spanning Tree) Given a connected graph $G=(V, E)$ with nonnegative edge weight $c: E \rightarrow R_{+}$, find a spanning tree with minimum total weight, where “spanning” means that all nodes are included in the tree and hence a spanning tree interconnects all nodes in V. An example is as shown in Fig. 1.1.
Clearly, the set of all spanning trees is finite, and the aim of this problem is to find one with minimum total weight from this set. Each spanning tree is a feasible solution, and the optimal solution is the spanning tree with minimum total weight, which is also called the minimum spanning tree. Therefore, this is a combinatorial optimization problem.

A combinatorial optimization problem may have more than one optimal solution. For example, in Fig. 1.1, there are two spanning trees with minimum total length. (The second one can be obtained by using edge $(e, f)$ to replace edge $(d, f)$.) Therefore, by the optimal solution as mentioned in the above, it means a general member in the class of optimal solutions.

The combinatorial optimization is a proper subfield of discrete optimization. In fact, there exist some problems in discrete optimization, which do not belong to combinatorial optimization. For example, consider the integer programming. It always belongs to discrete optimization. However, when feasible domain is infinite, it does not belong to combinatorial optimization. But such a difference is not recognized very well in the literature. Actually, if a paper on lattice-point optimization is submitted to Journal of Combinatorial Optimization, then usually, it will not be rejected due to out of scope.

In view of methodologies, combinatorial optimization and discrete optimization have very close relationship. For example, to prove NP-hardness of integer programming, we need to cut its infinitely large feasible domain into a finite subset containing optimal solution (see Chap. 8 for details), i.e., transform it into a combinatorial optimization problem.
Geometric optimization is another example. Consider the following problem.

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Optimal and Approximation Solutions

Let us show an optimality condition for the minimum spanning tree.
Theorem 1.2.1 (Path Optimality) A spanning tree $T^*$ is a minimum spanning tree if and only if it satisfies the following condition:

Path Optimality Condition For every edge $(u, v)$ not in $T^$, there exists a path $p$ in $T^$, connecting $u$ and $v$, and moreover, $c(u, v) \geq c(x, y)$ for every edge $(x, y)$ in path $p$.

Proof Suppose, for contradiction, that $c(u, v)<c(x, y)$ for some edge $(x, y)$ in the path $p$. Then $T^{\prime}=\left(T^* \backslash(x, y)\right) \cup(u, v)$ is a spanning tree with cost less than $c\left(T^\right)$, contradicting the minimality of $T^$.

Conversely, suppose that $T^$ satisfies the path optimality condition. Let $T^{\prime}$ be a minimum spanning tree such that among all minimum spanning tree, $T^{\prime}$ is the one with the most edges in common with $T^$. Suppose, for contradiction, that $T^{\prime} \neq T^$. We claim that there exists an edge $(u, v) \in T^$ such that the path in $T^{\prime}$ between $u$ and $v$ contains an edge $(x, y)$ with length $c(x, y) \geq c(u, v)$. If this claim is true, then $\left(T^{\prime} \backslash(x, y)\right) \cup(u, v)$ is still a minimum spanning tree, contradicting the definition of $T^{\prime}$.

Now, we show the claim by contradiction. Suppose the claim is not true. Consider an edge $\left(u_1, v_1\right) \in T^* \backslash T^{\prime}$. the path in $T^{\prime}$ connecting $u_1$ and $v_1$ must contain an edge $\left(x_1, y_1\right)$ not in $T^$. Since the claim is not true, we have $c\left(u_1, v_1\right)$ connecting $x_1$ and $y_1$, which must contain an edge $\left(u_2, v_2\right) \notin$ $T^{\prime}$. Since $T^$ satisfies the path optimality condition, we have $c\left(x_1, y_1\right) \leq c\left(u_2, v_2\right)$. Hence, $c\left(u_1, v_1\right)$ such that $c\left(u_1, v_2\right)<c\left(u_2, v_2\right)<c\left(u_3, v_3\right)<\cdots$, contradicting the finiteness of $T^*$.

From this algorithm, we see that it is not hard to find the optimal solution for the minimum spanning tree problem. If every combinatorial optimization problem likes the minimum spanning tree, then we would be very happy to find optimal solution for it. Unfortunately, there exist a large number of problems that it is unlikely to be able to compute their optimal solution efficiently. For example, consider the following problem.

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组合优化代写

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|What Is Combinatorial Optimization

组合优化的目的是从有限的对象集中找到最优对象。这些候选对象称为可行解,而最优的称为最优解。例 如,考虑以下问题。
问题1.1.1 (最小生成树) 给定一个连通图 $G=(V, E)$ 具有非负边权重 $c: E \rightarrow R_{+}$,找到一棵总权重 最小的生成树,其中“生成”表示所有节点都包含在树中,因此生成树将 $V$ 中的所有节点互连。示例如图
1.1 所示。
显然,所有生成树的集合是有限的,本题的目的是从该集合中找出总权值最小的一棵。每棵生成树都是一 个可行解,最优解是总权值最小的生成树,也称为最小生成树。因此,这是一个组合优化问题。
一个组合优化问题可能有多个最优解。例如,在图 $1.1$ 中,有两棵总长度最小的生成树。(第二个可以通 过使用边缘获得 $(e, f)$ 替换边缘 $(d, f)$.) 因此,上述最优解是指最优解类中的一般成员。
组合优化是离散优化的一个特有子领域。事实上,离散优化存在一些不属于组合优化的问题。例如,考虑 整数规划。它始终属于离散优化。但是,当可行域无限时,则不属于组合优化。但是这种差异在文献中并 没有得到很好的认识。实际上,如果一篇关于lattice-point optimization的论文投给了Journal of Combinatorial Optimization,那么通常不会因为超出范围而被拒绝。
从方法论上看,组合优化与离散优化有着非常密切的关系。例如,为了证明整数规划的NP难性,需要将 其无限大的可行域切割成包含最优解的有限子集(详见第8章),即转化为一个组合优化问题。 几何优化是另一个例子。考虑以下问题。

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让我们展示最小生成树的最优条件。
定理 1.2.1 (路径最优性) 生成树 $T^$ 是最小生成树当且仅当它满足以下条件: 路径最优条件对于每条边 $(u, v)$ 不在^, 存在路径 $p$ 在^, 连接 $u$ 和 $v$ ,而且, $c(u, v) \geq c(x, y)$ 对于每条 边 $(x, y)$ 在路径中 $p$. 证明 对于矛盾,假设 $c(u, v) \backslash T^{\prime}$. 中的 路径 $T^{\prime}$ 连接 $u_1$ 和 $v_1$ 必须包含边 $\left(x_1, y_1\right)$ 不在^. 由于声明不正确,我们有 $c\left(u_1, v_1\right)$ 连接 $x_1$ 和 $y_1$ ,它必 须包含一条边 $\left(u_2, v_2\right) \notin T^{\prime}$. 自从介满足路径最优条件,我们有 $c\left(x_1, y_1\right) \leq c\left(u_2, v_2\right)$. 因此, $c\left(u_1, v_1\right)$ 这样 $c\left(u_1, v_2\right)<c\left(u_2, v_2\right)<c\left(u_3, v_3\right)<\cdots$, 矛盾的有限性 $T^*$.
从这个算法中我们可以看出,找到最小生成树问题的最优解并不难。如果每个组合优化问题都喜欢最小生 成树,那么我们会很乐意为它找到最优解。不幸的是,存在大量的问题不太可能有效地计算出它们的最优 解。例如,考虑以下问题。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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