数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|CSC205

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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域,旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。

组合优化是数学优化的一个子领域,包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象,其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题(”TSP”)、最小生成树问题(”MST”)和结囊问题。在许多这样的问题中,如前面提到的问题,穷举搜索是不可行的,因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。

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  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|CSC205

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Polyhedra and Linear Programming

Definition 1. Let $x_1, x_2, \ldots, x_m$ be points in $\mathbb{R}^n$. Let $x=\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i$, where each $\lambda_i \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq m$ is a scalar. Then, $x$ is said to be a(n)

  1. Linear combination (of $x_i, 1 \leq i \leq m$ ) for arbitrary scalars $\lambda_i$.
  2. Affine combination if $\sum_i \lambda_i=1$.
  3. Conical combination if $\lambda_i \geq 0$.
  4. Convex combination if $\sum \lambda_i=1$ and $\lambda_i \geq 0$ (affine and also canonical).
    In the following definitions and propositions, unless otherwise stated, it will be assumed that $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are points in $\mathbb{R}^n$ and $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ are scalars in $\mathbb{R}$.
    Definition 2. $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are said to be linearly independent if $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
    Definition 3. $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are said to be affinely independent if the vectors $\left(x_i-x_1\right), i=2, \ldots, m$ are linearly independent, or equivalently if $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0$ and $\sum_{i=1}^m \lambda_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
    The following proposition is easy to check and the proof is left as an exercise to the reader.
    Proposition 4. $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are affinely independent if and only if the vectors $\left(\begin{array}{c}x_i \ 1\end{array}\right), i=1,2, \ldots, m$, are linearly independent in $\mathbb{R}^{m+1}$.

A set $X \subseteq \mathbb{R}^n$ is said to be a(n) subspace [affine set, cone set, convex set] if it is closed under linear [affine, conical, convex] combinations. Note that an affine set is a translation of a subspace. Given $X \subseteq$ $\mathbb{R}^n$, we let $\operatorname{Span}(X), \operatorname{Af}(X)$, Cone $(X)$, and Convex $(X)$ denote the closures of $X$ under linear, affine, conical, and convex combinations, respectively. To get an intuitive feel of the above definitions, see Figure 1.

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Fourier-Motzkin Elimination

Let $P={x \mid A x \leq b} \subseteq \mathbb{R}^n$ be a polyhedron. For $k$ in $[n]$,
we let $P^k=\left{\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n\right) \mid\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in P\right}$ be the projection of $P$ along the $x_k$-axis.
Theorem 13. $P^k$ is a polyhedron.
Proof. We derive a set of inequalities that describe $P^k$. We do this by considering the inequalities in $A x \leq b$ and eliminating the variables $x_k$ as follows. Partition the inequalities in $A x \leq b$ into three sets:
$$
S^{+}=\left{i \in[m] \mid a_{i k}>0\right}, S^{-}=\left{i \in[m] \mid a_{i k}<0\right}, \text { and } S^0=\left{i \in[m] \mid a_{i k}=0\right} .
$$
Define a new set of inequalities consisting of $S_0$ and one new inequality for each pair $(i, \ell)$ in $S^{+} \times S^{-}$:
$$
a_{i k}\left(\sum_{j=1}^n a_{\ell j} x_j\right)-a_{\ell k}\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right) \leq a_{i k} b_{\ell}-a_{\ell k} b_i .
$$
Note that the combined inequality does not have $x_k$. We now have a total of $\left|S^0\right|+\left|S^{+}\right|\left|S^{-}\right|$new inequalities. Let $P^{\prime}=\left{x^{\prime} \in \mathbb{R}^{n-1} \mid A^{\prime} x^{\prime} \leq b^{\prime}\right}$ where $A^{\prime} x^{\prime} \leq b^{\prime}$ is the new system of inequalities in variables $x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n$. We prove the theorem by showing that $P^k=P^{\prime}$.

We first show the easier direction: $P^k \subseteq P^{\prime}$. Consider any point $z \in P^k$. By definition of $P^k$, there exists $x \in P$ such that $A x \leq b$ and $x$ ‘s projection along $x_k$-axis is $z$. It is easy to see that $z$ satisfies the new system since the new one was obtained in a way oblivious to $x_k$, the real value of $x$ ‘s $k_{\text {th }}$ coordinate.
We now show that $P^{\prime} \subseteq P^k$. Without loss of generality, assume $k=1$. Consider any $x^{\prime}=\left(x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \in$ $P^{\prime}$. We want to show that there exists $x_1 \in \mathbb{R}$ such that $A x \leq b$, where $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. For simple notation, define $C_i=b_i-\sum_{j=2}^n a_{i j} x_j$ for $i \in[m]$. Note that $A x \leq b$ can be rewritten as
$$
a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in[m] .
$$
Observe that $x$ satisfies all inequalities consisting of $S^0$, since the new system as well includes those constraints. Thus we can refine our goal to show
$$
\begin{array}{ll}
\exists x_1 \text { s.t. } \quad & a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in S^{+} \cup S^{-} . \
\Leftrightarrow \quad \max {\ell \in S^{-}} \frac{C{\ell}}{a_{\ell 1}} \leq x_1 \leq \min {i \in S^{+}} \frac{C_i}{a{i 1}} .
\end{array}
$$

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|CSC205

组合优化代写

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Polyhedra and Linear Programming

定义 1. 让 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 成为点 $\mathbb{R}^n$. 让 $x=\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i$ ,其中每个 $\lambda_i \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq m$ 是一个标量。 然后, $x$ 据说是 $a(n)$

  1. 线性组合 (的 $x_i, 1 \leq i \leq m$ ) 对于任意标量 $\lambda_i$.
  2. 仿射组合如果 $\sum_i \lambda_i=1$.
  3. 锥形组合如果 $\lambda_i \geq 0$.
  4. 凸组合如果 $\sum \lambda_i=1$ 和 $\lambda_i \geq 0$ (仿射和规范)。
    在以下定义和命题中,除非另有说明,否则将假定 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 是点在 $\mathbb{R}^n$ 和 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ 是 标量在 $\mathbb{R}$.
    定义 $2 。 x_1, x_2, \ldots, x_m$ 被称为线性独立的如果 $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
    定义 3。 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 如果向量是仿射独立的 $\left(x_i-x_1\right), i=2, \ldots, m$ 是线性独立的,或者等 效地如果 $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0$ 和 $\sum_{i=1}^m \lambda_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
    下面的命题很容易检验,证明留给读者作为练习。
    命题 4 。 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 仿射独立当且仅当向量 $\left(x_i 1\right), i=1,2, \ldots, m$, 是线性独立的 $\mathbb{R}^{m+1}$.
    一套 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ 如果它在线性 [仿射、圆雉、凸] 组合下闭合,则称其为 $a(n)$ 子空间 [仿射集、锥集、凸 集]。请注意,仿射集是子空间的平移。鉴于 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ,我们让Span $(X), \operatorname{Af}(X)$ ,圆锥体 $(X)$ ,和凸 $(X)$ 表示闭包 $X$ 分别在线性、仿射、圆锥和凸组合下。要直观地感受上述定义,请参见图 1。

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Fourier-Motzkin Elimination

让 $P=x \mid A x \leq b \subseteq \mathbb{R}^n$ 成为一个多面体。为了 $k$ 在 $[n]$ , 的投影 $P$ 沿着 $x_k$-轴。
定理 13。 $P^k$ 是一个多面体。
证明。我们推导出一组不等式来描述 $P^k$. 我们通过考虑不等式来做到这一点 $A x \leq b$ 并消除变量 $x_k$ 如下。 划分不等式 $A x \leq b$ 分为三组:
定义一组新的不等式,包括 $S_0$ 每对都有一个新的不等式 $(i, \ell)$ 在 $S^{+} \times S^{-}$:
$$
a_{i k}\left(\sum_{j=1}^n a_{\ell j} x_j\right)-a_{\ell k}\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right) \leq a_{i k} b_{\ell}-a_{\ell k} b_i .
$$
请注意,合并的不等式没有 $x_k$. 我们现在共有 $\left|S^0\right|+\left|S^{+}\right|\left|S^{-}\right|$新的不平等。让 $A^{\prime} x^{\prime} \leq b^{\prime}$ 是变量不等式的新系统 $x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n$. 我们通过证明证明定理 $P^k=P^{\prime}$.
我们首先展示更简单的方向: $P^k \subseteq P^{\prime}$. 考虑任何一点 $z \in P^k$. 根据定义 $P^k$ , 那里存在 $x \in P$ 这样 $A x \leq b$ 和 $x$ 的投影沿 $x_k$-轴是 $z$. 很容易看出 $z$ 满足新系统,因为新系统是以一种忽略的方式获得的 $x_k$ ,的 真实价值 $x$ 的 $k_{\text {th }}$ 协调。
我们现在表明 $P^{\prime} \subseteq P^k$. 不失一般性,假设 $k=1$. 考虑任何 $x^{\prime}=\left(x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \in P^{\prime}$. 我们想证明 存在 $x_1 \in \mathbb{R}$ 这样 $A x \leq b$ ,在哪里 $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. 对于简单的符号,定义
$C_i=b_i-\sum_{j=2}^n a_{i j} x_j$ 为了 $i \in[m]$. 注意 $A x \leq b$ 可以改写为
$$
a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in[m] .
$$
观察那个 $x$ 满足所有不等式,包括 $S^0$ ,因为新系统也包括这些限制。因此我们可以细化我们的目标来展示
$$
\exists x_1 \text { s.t. } \quad a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in S^{+} \cup S^{-} . \Leftrightarrow \quad \max \ell \in S^{-} \frac{C \ell}{a_{\ell 1}} \leq x_1 \leq \min i \in S^{+} \frac{C_i}{a i 1} \text {. }
$$

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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