### 数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|CSC205

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Polyhedra and Linear Programming

Definition 1. Let $x_1, x_2, \ldots, x_m$ be points in $\mathbb{R}^n$. Let $x=\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i$, where each $\lambda_i \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq m$ is a scalar. Then, $x$ is said to be a(n)

1. Linear combination (of $x_i, 1 \leq i \leq m$ ) for arbitrary scalars $\lambda_i$.
2. Affine combination if $\sum_i \lambda_i=1$.
3. Conical combination if $\lambda_i \geq 0$.
4. Convex combination if $\sum \lambda_i=1$ and $\lambda_i \geq 0$ (affine and also canonical).
In the following definitions and propositions, unless otherwise stated, it will be assumed that $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are points in $\mathbb{R}^n$ and $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ are scalars in $\mathbb{R}$.
Definition 2. $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are said to be linearly independent if $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
Definition 3. $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are said to be affinely independent if the vectors $\left(x_i-x_1\right), i=2, \ldots, m$ are linearly independent, or equivalently if $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0$ and $\sum_{i=1}^m \lambda_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
The following proposition is easy to check and the proof is left as an exercise to the reader.
Proposition 4. $x_1, x_2, \ldots, x_m$ are affinely independent if and only if the vectors $\left(\begin{array}{c}x_i \ 1\end{array}\right), i=1,2, \ldots, m$, are linearly independent in $\mathbb{R}^{m+1}$.

A set $X \subseteq \mathbb{R}^n$ is said to be a(n) subspace [affine set, cone set, convex set] if it is closed under linear [affine, conical, convex] combinations. Note that an affine set is a translation of a subspace. Given $X \subseteq$ $\mathbb{R}^n$, we let $\operatorname{Span}(X), \operatorname{Af}(X)$, Cone $(X)$, and Convex $(X)$ denote the closures of $X$ under linear, affine, conical, and convex combinations, respectively. To get an intuitive feel of the above definitions, see Figure 1.

## 数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Fourier-Motzkin Elimination

Let $P={x \mid A x \leq b} \subseteq \mathbb{R}^n$ be a polyhedron. For $k$ in $[n]$,
we let $P^k=\left{\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n\right) \mid\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in P\right}$ be the projection of $P$ along the $x_k$-axis.
Theorem 13. $P^k$ is a polyhedron.
Proof. We derive a set of inequalities that describe $P^k$. We do this by considering the inequalities in $A x \leq b$ and eliminating the variables $x_k$ as follows. Partition the inequalities in $A x \leq b$ into three sets:
$$S^{+}=\left{i \in[m] \mid a_{i k}>0\right}, S^{-}=\left{i \in[m] \mid a_{i k}<0\right}, \text { and } S^0=\left{i \in[m] \mid a_{i k}=0\right} .$$
Define a new set of inequalities consisting of $S_0$ and one new inequality for each pair $(i, \ell)$ in $S^{+} \times S^{-}$:
$$a_{i k}\left(\sum_{j=1}^n a_{\ell j} x_j\right)-a_{\ell k}\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right) \leq a_{i k} b_{\ell}-a_{\ell k} b_i .$$
Note that the combined inequality does not have $x_k$. We now have a total of $\left|S^0\right|+\left|S^{+}\right|\left|S^{-}\right|$new inequalities. Let $P^{\prime}=\left{x^{\prime} \in \mathbb{R}^{n-1} \mid A^{\prime} x^{\prime} \leq b^{\prime}\right}$ where $A^{\prime} x^{\prime} \leq b^{\prime}$ is the new system of inequalities in variables $x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n$. We prove the theorem by showing that $P^k=P^{\prime}$.

We first show the easier direction: $P^k \subseteq P^{\prime}$. Consider any point $z \in P^k$. By definition of $P^k$, there exists $x \in P$ such that $A x \leq b$ and $x$ ‘s projection along $x_k$-axis is $z$. It is easy to see that $z$ satisfies the new system since the new one was obtained in a way oblivious to $x_k$, the real value of $x$ ‘s $k_{\text {th }}$ coordinate.
We now show that $P^{\prime} \subseteq P^k$. Without loss of generality, assume $k=1$. Consider any $x^{\prime}=\left(x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \in$ $P^{\prime}$. We want to show that there exists $x_1 \in \mathbb{R}$ such that $A x \leq b$, where $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$. For simple notation, define $C_i=b_i-\sum_{j=2}^n a_{i j} x_j$ for $i \in[m]$. Note that $A x \leq b$ can be rewritten as
$$a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in[m] .$$
Observe that $x$ satisfies all inequalities consisting of $S^0$, since the new system as well includes those constraints. Thus we can refine our goal to show
$$\begin{array}{ll} \exists x_1 \text { s.t. } \quad & a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in S^{+} \cup S^{-} . \ \Leftrightarrow \quad \max {\ell \in S^{-}} \frac{C{\ell}}{a_{\ell 1}} \leq x_1 \leq \min {i \in S^{+}} \frac{C_i}{a{i 1}} . \end{array}$$

# 组合优化代写

## 数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Polyhedra and Linear Programming

1. 线性组合 (的 $x_i, 1 \leq i \leq m$ ) 对于任意标量 $\lambda_i$.
2. 仿射组合如果 $\sum_i \lambda_i=1$.
3. 锥形组合如果 $\lambda_i \geq 0$.
4. 凸组合如果 $\sum \lambda_i=1$ 和 $\lambda_i \geq 0$ (仿射和规范)。
在以下定义和命题中，除非另有说明，否则将假定 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 是点在 $\mathbb{R}^n$ 和 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ 是 标量在 $\mathbb{R}$.
定义 $2 。 x_1, x_2, \ldots, x_m$ 被称为线性独立的如果 $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
定义 3。 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 如果向量是仿射独立的 $\left(x_i-x_1\right), i=2, \ldots, m$ 是线性独立的，或者等 效地如果 $\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i=0$ 和 $\sum_{i=1}^m \lambda_i=0 \Rightarrow \forall i \in[m] \lambda_i=0$.
下面的命题很容易检验，证明留给读者作为练习。
命题 4 。 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 仿射独立当且仅当向量 $\left(x_i 1\right), i=1,2, \ldots, m$, 是线性独立的 $\mathbb{R}^{m+1}$.
一套 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ 如果它在线性 [仿射、圆雉、凸] 组合下闭合，则称其为 $a(n)$ 子空间 [仿射集、锥集、凸 集]。请注意，仿射集是子空间的平移。鉴于 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ，我们让Span $(X), \operatorname{Af}(X)$ ，圆锥体 $(X)$ ，和凸 $(X)$ 表示闭包 $X$ 分别在线性、仿射、圆锥和凸组合下。要直观地感受上述定义，请参见图 1。

## 数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Fourier-Motzkin Elimination

$$a_{i k}\left(\sum_{j=1}^n a_{\ell j} x_j\right)-a_{\ell k}\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right) \leq a_{i k} b_{\ell}-a_{\ell k} b_i .$$

$C_i=b_i-\sum_{j=2}^n a_{i j} x_j$ 为了 $i \in[m]$. 注意 $A x \leq b$ 可以改写为
$$a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in[m] .$$

$$\exists x_1 \text { s.t. } \quad a_{i 1} x_1 \leq C_i, \forall i \in S^{+} \cup S^{-} . \Leftrightarrow \quad \max \ell \in S^{-} \frac{C \ell}{a_{\ell 1}} \leq x_1 \leq \min i \in S^{+} \frac{C_i}{a i 1} \text {. }$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。