数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|ORIE6334

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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域,旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。

组合优化是数学优化的一个子领域,包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象,其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题(”TSP”)、最小生成树问题(”MST”)和结囊问题。在许多这样的问题中,如前面提到的问题,穷举搜索是不可行的,因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|ORIE6334

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Fibonacci Search

Consider a sequence of $n$ distinct integers which are stored in an array $A[1 . . n]$. An element $A[i]$ is a local maximum if $A[i-1]A[i+1]$ for $1S[i+1]$ for $i=1$, and $A[i-1]<A[i]$ for $i=n$. The sequence $A[1 . . n]$ is said to be bitonic if it contains exactly one local maximum, which is actually the global maximum one. Consider the following problem.

Problem 2.3.1 (Maximum Element in Bitonic Sequence) Given a sequence $A[1 . . n]$ of $n$ distinct integers, find the maximum element.
The problem can be solved by the following lemma.
Lemma 2.3.2 Assume $1 \leq iA[j]$, then $A[1 . . j-1]$ must contain a local maximum.
Proof First, assume $A[i]A[j+1]$. In this case, if none of $A[j], A[j-1], \ldots, A[i-1]$ is a local maximum, then $A[j]<A[j-1]<\cdots<A[i]$, contradicting to $A[i]<A[j]$.
Similarly, we can show the second statement.
For $n \geq 4$, we can choose $i$ and $j$ such that $1 \leq i<j \leq n, i \geq n / 3$, and $n-j+1 \geq n / 3$. With such $i$ and $j$, for each comparison, the sequence can be cut off at least one third. Therefore, the maximum element can be found within $O(\log n$ ) comparisons.

Next, we consider a situation that $A[i]=f(i)$, that is, $A[i]$ has to be obtained through evaluation of a function $f(i)$. Therefore, we want to find the maximum element with the minimum number of evaluations. In this situation, $i$ and $j$ will be selected based on a rule with Fibonacci number $F_i$ defined as follows:
$$
F_0=F_1=1, F_i=F_{i-2}+F_{i-1} \text { for } i \geq 2
$$

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Dynamic Programming

Let us first study several examples and start from a simpler one.
Example 3.1.1 (Fibonacci Number) Fibonacci number $F_i$ for $i=0,1, \ldots$ is defined by
$$
F_0=0, F_1=1 \text {, and } F_i=F_{i-1}+F_{i-2} .
$$
The computational process can be considered as a dynamic programming with self-reducibility structure as shown in Fig. 3.1.

Example 3.1.2 (Labeled Tree) Let $a_1, a_2, \ldots, a_n$ be a sequence of $n$ positive integers. A labeled tree for this sequence is a binary tree $T$ of $n$ leaves named $v_1, v_2, \ldots, v_n$ from left to right. We label $v_i$ by $a_i$ for all $i, 1 \leq i \leq n$. Let $D_i$

be the length of the path from $v_i$ to the root of $T$. The $\operatorname{cost}$ of $T$ is defined by
$$
\operatorname{cost}(T)=\sum_{i=1}^n a_i D_i .
$$
The problem is to construct a labeled tree $T$ to minimize the cost $\operatorname{cost}(T)$ for a given sequence of positive integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Let $T(i, j)$ be the optimal labeled tree for subsequence $\left{a_i, a_{i+1}, \ldots, a_j\right}$ and $\operatorname{sum}(i, j)=a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j$. Then
$$
\operatorname{cost}(T(i, j))=\min _{i \leq k<j}{\cos t(T(i, k))+\cos t(T(k+1, j))}+\operatorname{sum}(i, j)
$$
where
$$
\operatorname{sum}(i, j)= \begin{cases}a_i & \text { if } i=j \ a_i+\operatorname{sum}(i+1, j) & \text { if } i<j .\end{cases}
$$
As shown in Fig. 3.2, there are $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ subproblems $T(i, j)$ in the table. From recursive formula, it can be seen that solution of each subproblem $T(i, j)$ can be computed in $O(n)$ time. Therefore, this dynamic programming runs totally in $O\left(n^3\right)$ time.

Actually, the running time of a dynamic programming is often estimated by the following formula:
running time $=$ (number of subproblems $) \times($ computing time of recursion).

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组合优化代写

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Fibonacci Search

考虑一系列 $n$ 存储在数组中的不同整数 $A[1 . n]$. 一个元素 $A[i]$ 是局部最大值,如果 $A[i-1] A[i+1]$ 为 了 $1 S[i+1]$ 为了 $i=1$ ,和 $A[i-1]<A[i]$ 为了 $i=n$. 序列 $A[1 \ldots n]$ 如果它恰好包含一个局部最大 值,而实际上是全局最大值,则称它是双调的。考虑以下问题。
问题 2.3.1 (双调数列中的最大元素) 给定一个数列 $A[1 \ldots n]$ 的 $n$ 不同的整数,找到最大元素。 该问题可以通过以下引理解决。
引理 $2.3 .2$ 假设 $1 \leq i A[j]$ ,然后 $A[1 . j-1]$ 必须包含局部最大值。
证明 首先,假设 $A[i] A[j+1]$. 在这种情况下,如果没有 $A[j], A[j-1], \ldots, A[i-1]$ 是局部最大值, 那么 $A[j]<A[j-1]<\cdots<A[i]$, 与 $A[i]<A[j]$.
同样,我们可以显示第二个语句。
为了 $n \geq 4$, 我们可以选择 $i$ 和 $j$ 这样 $1 \leq i<j \leq n, i \geq n / 3$ ,和 $n-j+1 \geq n / 3$. 有了这样的 $i$ 和 $j$ ,对于每一次比较,序列至少可以砍掉三分之一。因此,最大元素可以在 $O(\log n)$ 比较。
接下来,我们考虑一种情况 $A[i]=f(i)$ ,那是, $A[i]$ 必须通过函数的评估获得 $f(i)$. 因此,我们希望以 最少的评估次数找到最大的元素。在这种情况下, $i$ 和 $j$ 将根据具有斐波那契数的规则进行选择 $F_i$ 定义如 下:
$$
F_0=F_1=1, F_i=F_{i-2}+F_{i-1} \text { for } i \geq 2
$$

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让我们先研究几个例子,然后从一个更简单的例子开始。
示例 3.1.1 (斐波那契数) 斐波那契数 $F_i$ 为了 $i=0,1, \ldots$ 由定义
$$
F_0=0, F_1=1 \text {, and } F_i=F_{i-1}+F_{i-2} .
$$
如图 $3.1$ 所示,计算过程可以被认为是一个具有自归约结构的动态规划。
示例 3.1.2 (标记树) 让 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 是一个序列 $n$ 正整数。这个序列的标记树是二叉树 $T$ 的 $n$ 叶子命名 $v_1, v_2, \ldots, v_n$ 从左到右。我们贴标签 $v_i$ 经过 $a_i$ 对全部 $i, 1 \leq i \leq n$. 让 $D_i$
是路径的长度 $v_i$ 到根 $T$. 这 $\operatorname{cost}$ 的 $T$ 由定义
$$
\operatorname{cost}(T)=\sum_{i=1}^n a_i D_i .
$$
问题是构造一棵带标签的树 $T$ 尽量减少成本 $\operatorname{cost}(T)$ 对于给定的正整数序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$.
让 $T(i, j)$ 是子序列的最佳标记树 $\backslash$ left $\left{a_{-} i, a_{_} _{i+1}, \backslash d o t s, a _j \backslash r i g h t\right}$ 和
$\operatorname{sum}(i, j)=a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j$. 然后
$$
\operatorname{cost}(T(i, j))=\min _{i \leq k<j} \cos t(T(i, k))+\cos t(T(k+1, j))+\operatorname{sum}(i, j)
$$
在哪里
$$
\operatorname{sum}(i, j)=\left{a_i \quad \text { if } i=j a_i+\operatorname{sum}(i+1, j) \quad \text { if } i<j .\right.
$$
如图 $3.2$ 所示,有 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 子问题 $T(i, j)$ 在表中。由递推公式可知,各子问题的解 $T(i, j)$ 可以计算在 $O(n)$ 时间。因此,这个动态规划完全运行在 $O\left(n^3\right)$ 时间。
实际上,动态规划的运行时间通常由以下公式估算:
running time $=($ 子问题的数量 $) \times($ 递归的计算时间 $)$ 。

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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