### 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2322

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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case

In the case of a smooth compact real algebraic manifold $V$, the algebra $\mathbf{A}$ of smooth functions on $V$ has as sub-algebra that of the polynomial functions, denoted by $\mathbb{R}[V]$.
The modules of vector fields and differential forms can be defined as above in terms of the algebra $\mathbb{R}[V]$.

Fvery finitely generated projective module $M$ on $\mathbb{R}[V]$ corresponds to a vector hundle $W \rightarrow V$ that we qualify as strongly algehraic. The smooth sections of this vector bundle form an $\mathbf{A}$-module that is (isomorphic to) the module obtained from $M$ by scalar extension to $\mathbf{A}$.

So, the fact that the manifold is parallelizable can be tested on an elementary level, that of the module $M$.

Indeed the assertion “the $\mathbf{A}$-module of smooth sections of $W$ is free” concerning the smooth case is equivalent to the corresponding assertion in the algebraic case “the $\mathbb{R}[V]$-module $M$ is free.” Proof sketch: Weierstrass’ approximation theorem allows us to approximate a smooth section by a polynomial section, and a “smooth basis” ( $n$ smooth sections of the bundle that at every point give a basis), by a polynomial one.
Let us now examine the smooth compact surfaces case. Such a surface is parallelizable if and only if it is orientable and has an everywhere nonzero vector field. Figuratively the latter condition reads: the surface can be combed. The integral curves of the vector field then form a beautiful curve family, i.e. a locally rectifiable curve family.

Thus for an orientable smooth compact algebraic surface $V$ the following properties are equivalent.

1. There exists an everywhere nonzero vector field.
2. There exists a beautiful curve family.
3. The manifold is parallelizable.
4. The Kähler module of differentials of $\mathbb{R}[V]$ is free.
As previously explained, the latter condition stems from pure algebra (see also Sect. 2).

Hence the possibility of an “algebraic” proof of the fact that the sphere cannot be combed.
It seems that such a proof is not yet available on the market.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case

Let $S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1\right}$. The ring of polynomial functions over $S$ is the $\mathbb{R}$-algebra
$$\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z] .$$
The A-module of differential forms with polynomial coefficients on $S$ is
$$\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A} \mathrm{d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v,$$
where $v$ is the column vector $[x y z]$.
This vector is unimodular (this means that its coordinates are comaximal elements of A) since $[x y z] \cdot v=1$. Thus, the matrix
$$P=v \cdot\left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} x^{2} & x y & x z \ x y & y^{2} & y z \ x z & y z & z^{2} \end{array}\right]$$
satisfies $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ such that by posing $Q=\mathrm{I}{3}-P$ we get $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$, and $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
This highlights the fact that $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ is a stably free projective $\mathbf{A}$-module of rank 2 .
The previous considerations continue to hold if we substitute $\mathbb{R}$ by a field of characteristic $\neq 2$ or even by a commutative ring $\mathbf{R}$ where 2 is invertible.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case

Fvery 有限生成的射影模 $M$ 上 $\mathbb{R}[V]$ 对应于向量束 $W \rightarrow V$ 我们有资格作为强代数。这个向量从的平滑部分形成一 个 $\mathbf{A}$-module 是 (同构于) 从 $M$ 通过标量扩展为 $\mathbf{A}$.

1. 存在一个无处不在的非零向量场。
2. 存在一个美丽的曲线族。
3. 流形是可并行的。
4. Kähler 微分模块 $\mathbb{R}[V]$ 免费。
如前所述，后一种情况源于纯代数（另见第 2 节)。
因此，”代数”证明球体不能被梳理这一事实的可能性。
市场上似乎还没有这样的证明。

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case

$$\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z]$$

$$\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。