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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case
In the case of a smooth compact real algebraic manifold $V$, the algebra $\mathbf{A}$ of smooth functions on $V$ has as sub-algebra that of the polynomial functions, denoted by $\mathbb{R}[V]$.
The modules of vector fields and differential forms can be defined as above in terms of the algebra $\mathbb{R}[V]$.
Fvery finitely generated projective module $M$ on $\mathbb{R}[V]$ corresponds to a vector hundle $W \rightarrow V$ that we qualify as strongly algehraic. The smooth sections of this vector bundle form an $\mathbf{A}$-module that is (isomorphic to) the module obtained from $M$ by scalar extension to $\mathbf{A}$.
So, the fact that the manifold is parallelizable can be tested on an elementary level, that of the module $M$.
Indeed the assertion “the $\mathbf{A}$-module of smooth sections of $W$ is free” concerning the smooth case is equivalent to the corresponding assertion in the algebraic case “the $\mathbb{R}[V]$-module $M$ is free.” Proof sketch: Weierstrass’ approximation theorem allows us to approximate a smooth section by a polynomial section, and a “smooth basis” ( $n$ smooth sections of the bundle that at every point give a basis), by a polynomial one.
Let us now examine the smooth compact surfaces case. Such a surface is parallelizable if and only if it is orientable and has an everywhere nonzero vector field. Figuratively the latter condition reads: the surface can be combed. The integral curves of the vector field then form a beautiful curve family, i.e. a locally rectifiable curve family.
Thus for an orientable smooth compact algebraic surface $V$ the following properties are equivalent.
- There exists an everywhere nonzero vector field.
- There exists a beautiful curve family.
- The manifold is parallelizable.
- The Kähler module of differentials of $\mathbb{R}[V]$ is free.
As previously explained, the latter condition stems from pure algebra (see also Sect. 2).
Hence the possibility of an “algebraic” proof of the fact that the sphere cannot be combed.
It seems that such a proof is not yet available on the market.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case
Let $S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1\right}$. The ring of polynomial functions over $S$ is the $\mathbb{R}$-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z] .
$$
The A-module of differential forms with polynomial coefficients on $S$ is
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A} \mathrm{d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v,
$$
where $v$ is the column vector $[x y z]$.
This vector is unimodular (this means that its coordinates are comaximal elements of A) since $[x y z] \cdot v=1$. Thus, the matrix
$$
P=v \cdot\left[\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
x^{2} & x y & x z \
x y & y^{2} & y z \
x z & y z & z^{2}
\end{array}\right]
$$
satisfies $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ such that by posing $Q=\mathrm{I}{3}-P$ we get $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$, and $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
This highlights the fact that $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ is a stably free projective $\mathbf{A}$-module of rank 2 .
The previous considerations continue to hold if we substitute $\mathbb{R}$ by a field of characteristic $\neq 2$ or even by a commutative ring $\mathbf{R}$ where 2 is invertible.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Algebraic Compact Manifolds Case
在光滑紧实代数流形的情况下 $V$ ，代数 $\mathbf{A}$ 的平滑函数 $V$ 具有多项式函数的子代数，表示为 $\mathbb{R}[V]$. 矢量场和微分形式的模块可以用代数定义如上 $\mathbb{R}[V]$.
Fvery 有限生成的射影模 $M$ 上 $\mathbb{R}[V]$ 对应于向量束 $W \rightarrow V$ 我们有资格作为强代数。这个向量从的平滑部分形成一 个 $\mathbf{A}$-module 是 (同构于) 从 $M$ 通过标量扩展为 $\mathbf{A}$.
因此，流形可并行化这一事实可以在模块的基本级别上进行测试 $M$.
事实上，断言“ $\mathbf{A}$-模块的平滑部分 $W$ 是自由的”关于光滑情况等价于代数情况下的相应断言“ $\mathbb{R}[V]$-模块 $M$ 免费。” 证明草图: Weierstrass 的逼近定理允许我们用多项式截面来逼近平滑截面，以及“平滑基” $(n$ 束的平滑部分，每个 点都给出一个基），通过多项式。
现在让我们检查光滑紧凑表面的情况。这样的表面是可并行的当且仅当它是可定向的并且具有无处不在的非零向量 场。形象地说，后一种情况是: 表面可以梳理。矢量场的积分曲线则形成了一个优美的曲线族，即局部可校正曲线 族。
因此对于一个可定向的光滑紧致代数曲面 $V$ 以下属性是等价的。
- 存在一个无处不在的非零向量场。
- 存在一个美丽的曲线族。
- 流形是可并行的。
- Kähler 微分模块 $\mathbb{R}[V]$ 免费。
如前所述，后一种情况源于纯代数（另见第 2 节)。
因此，”代数”证明球体不能被梳理这一事实的可能性。
市场上似乎还没有这样的证明。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Smooth Hypersurface Case
让S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 \正确的}S=\left{(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1 \正确的}. 多项式函数的环 $S$ 是个 $\mathbb{R}$-代数
$$
\mathbf{A}=\mathbb{R}[X, Y, Z] /\left\langle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right\rangle=\mathbb{R}[x, y, z]
$$
具有匇项式系数的微分形式的 $\mathrm{A}$ 模 $S$ 是
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}=(\mathbf{A d} x \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} y \oplus \mathbf{A d} z) /\langle x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z\rangle \simeq \mathbf{A}^{3} / \mathbf{A} v
$$
在哪里 $v$ 是列向量 $[x y z]$.
这个向量是单模的（这意味着它的坐标是 $\mathrm{A}$ 的共极大元素），因为 $[x y z] \cdot v=1$. 因此，矩阵
满足 $P^{2}=P, P \cdot v=v, \operatorname{Im}(P)=\mathbf{A} v$ 这样通过摆姿势 $Q=\mathrm{I} 3-P$ 我们得到 $\operatorname{Im}(Q) \simeq \mathbf{A}^{3} / \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega \mathbf{A} / \mathbb{R}{｝, \quad \text { 和 } \Omega{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \operatorname{Im}(P) \simeq \Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}} \oplus \mathbf{A} \simeq \mathbf{A}^{3} .$
这突出了一个事实，即 $\Omega_{\mathbf{A} / \mathbb{R}}$ 是一个稳定的自由投影 $\mathbf{A}$ – 等级 2 的模块。
如果我们替换之前的考虑继续成立 $\mathbb{R}$ 由一个特征领域 $\neq 2$ 甚至通过交换环 $\mathbf{R}$ 其中 2 是可逆的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。