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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles on a Smooth Compact Manifold
Here, we give some motivations for finitely generated projective modules and localization by explaining the example of vector bundles on a compact smooth manifold. Two important particular cases are tangent and cotangent bundles corresponding to $C^{\infty}$ vector fields and to $C^{\infty}$ differential forms.
We will use the term “smooth” as a synonym for “of class $C^{\infty} .$,”
We will see that the fact that the sphere cannot be combed admits a purely algebraic interpretation.
In this section, we consider a smooth real differentiable manifold $V$ and we denote by $\mathbf{A}=C^{\infty}(V)$ the real algebra of global smooth functions on the manifold.
Some Localizations of the Algebra of Continuous Functions
Let us first consider an element $f \in \mathbf{A}$ along with the open set (open subset of the manifold $V$ to be precise)
$$
U={x \in V \mid f(x) \neq 0}
$$
and let us see how we can interpret the algebra $\mathbf{A}[1 / f]$ : two elements $g / f^{k}$ and $h / f^{k}$ are equal in $\mathbf{A}[1 / f]$ if and only if for some exponent $\ell$ we have $g f^{\ell}=h f^{\ell}$ which means precisely $\left.g\right|{U}=\left.h\right|{U}$.
It follows that we can interpret $\mathbf{A}[1 / f]$ as a sub-algebra of the algebra of smooth functions on $U$ : this sub-algebra has as elements the functions which can be written as $\left(\left.g\right|{U}\right) /\left(\left.f\right|{U}\right)^{k}$ (for a given exponent $k$ ) with $g \in \mathbf{A}$, which a priori introduces certain restrictions on the behavior of the function on the border of $U$.
To avoid having to deal with this difficult problem, we use the following lemma.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles and Finitely Generated Projective Modules
Now recall the notion of a vector bundle over $V$.
A vector bundle is given by a smooth manifold $W$, a smooth surjective mapping $\pi$ : $W \rightarrow V$, and a structure of a finite dimensional vector space on every fiber $\pi^{-1}(p)$. In addition, locally, all this must be diffeomorphic to the following simple situation, called trivial:
$$
\pi_{1}:\left(U \times \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow U,(p, v) \mapsto p,
$$
with $m$ that can depend on $U$ if $V$ is not connected. This means that the structure of the (finite dimensional) vector space on the fiber over $p$ must “properly” depend on $p$.
Such an open set (or subset) $U$, which trivializes the bundle, is called a distinguished open set (or subset).
A section of the vector bundle $\pi: W \rightarrow V$ is by definition a mapping $\sigma: V \rightarrow W$ such that $\pi \circ \sigma=\operatorname{Id}_{V}$. We will denote by $\Gamma(W)$ the set of smooth sections of this bundle. It is equipped with a natural $\mathbf{A}$-module structure.
Now suppose that the manifold $V$ is compact. As the bundle is locally trivial there exists a finite covering of $V$ by distinguished open subsets $U_{i}$ and a partition of the unity $\left(f_{i}\right){i \in \llbracket 1 . s \rrbracket} \rrbracket$ subordinate to the open cover $U{i}$ : the support of $f_{i}$ is a compact set $K_{i}$ contained in $U_{i}$.
We notice from I.emma $1.1$ that the algebras $\mathbf{A}\left[1 / f_{i}\right]=C^{\infty}(V)\left[1 / f_{i}\right]$ and $C^{\infty}\left(U_{i}\right)\left[1 / f_{i}\right]$ are naturally isomorphic.
If we localize the ring $\mathbf{A}$ and the module $M=\Gamma(W)$ by making $f_{i}$ invertible, we obtain the ring $\mathbf{A}{i}=\mathbf{A}\left[1 / f{i}\right]$ and the module $M_{i}$. Let $W_{i}=\pi^{-1}\left(U_{i}\right)$. Then, $W_{i} \rightarrow U_{i}$ is “isomorphic” to $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. Thus it boils down to taking a section of the bundle $W_{i}$, or to taking the $m_{i}$ functions $U_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ which make a section of the bundle $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. In other words, the module of the sections of $W_{i}$ is free and of rank $m$.
Since a module that becomes free after localization in a finite number of comaximal elements is finitely generated projective (local-global principle V-2.4), we then get the direct part (point 1 ) of the following theorem.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles on a Smooth Compact Manifold
在这里，我们通过解释紧凑平滑流形上的向量束示例，给出了有限生成投影模块和定位的一些动机。两个重要的特 殊情况是对应于的正切丛和余切丛 $C^{\infty}$ 矢量场和 $C^{\infty}$ 微分形式。
我们将使用术语“smooth”作为“of class”的同义词 $C^{\infty}$.,”
我们将看到球体不能被梳理的事实承认了纯粹的代数解释。
在本节中，我们考虑一个光滑的实可微流形 $V$ 我们表示 $\mathbf{A}=C^{\infty}(V)$ 流形上全局平滑函数的实代数。
连续函数代数的一些局部化
让我们首先考虑一个元素 $f \in \mathbf{A}$ 连同开集（流形的开子集 $V$ 准确地说)
$$
U=x \in V \mid f(x) \neq 0
$$
让我们看看如何解释代数 $\mathbf{A}[1 / f]$ : 两个元素 $g / f^{k}$ 和 $h / f^{k}$ 相等于 $\mathbf{A}[1 / f]$ 当且仅当对于某个指数 $\ell$ 我们有 $g f^{\ell}=h f^{\ell}$ 这意味着 $g|U=h| U$.
由此可见，我们可以解释 $\mathbf{A}[1 / f]$ 作为光滑函数代数的子代数 $U$ : 这个子代数有作为元素的函数可以写成 $(g \mid U) /(f \mid U)^{k}$ (对于给定的指数 $k$ ) 和 $g \in \mathbf{A}$ ，其中先验地对函数在边界上的行为引入了某些限制 $U$.
为了避免不得不处理这个难题，我们使用以下引理。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Vector Bundles and Finitely Generated Projective Modules
现在回想一下向量丛的概念 $V$.
向量从由平滑流形给出 $W$ ，一个光滑的满射映射 $\pi: W \rightarrow V$ ，以及每根纤维上的有限维向量空间的结构 $\pi^{-1}(p)$. 此外，在局部，所有这些都必须微分于以下简单情况，称为平凡:
$$
\pi_{1}:\left(U \times \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow U,(p, v) \mapsto p,
$$
和 $m$ 这可以取决于 $U$ 如果 $V$ 末连接。这意味着光纤上的（有限维）向量空间的结构 $p$ 必须“适当地”依赖于 $p$.
这样的开集 (或子集) $U$ ，使束变得平凡，称为可区分的开集（或子集）。
向量丛的一部分 $\pi: W \rightarrow V$ 根据定义是一个映射 $\sigma: V \rightarrow W$ 这样 $\pi \circ \sigma=\operatorname{Id}{V}$. 我们将表示为 $\Gamma(W)$ 此捆绑包 的一组平滑部分。它配备了天然 $\mathbf{A}$-模块结构。 现在假设流形 $V$ 紧凑。由于束是局部平凡的，因此存在一个有限覆盖 $V$ 通过可区分的开子集 $U{i}$ 和统一的分割 $\left(f_{i}\right) i \in \backslash$ llbracket1. $s \backslash$ rrbracket $\backslash$ rrbracket从属于开盖 $U i$ : 的支持 $f_{i}$ 是紧集 $K_{i}$ 包含在 $U_{i}$.
我们从 I.emma 注意到1.1代数 $\mathbf{A}\left[1 / f_{i}\right]=C^{\infty}(V)\left[1 / f_{i}\right]$ 和 $C^{\infty}\left(U_{i}\right)\left[1 / f_{i}\right]$ 是自然同构的。
如果我们定位环 $\mathbf{A}$ 和模块 $M=\Gamma(W)$ 通过制作 $f_{i}$ 可逆，我们得到环 $\mathbf{A} i=\mathbf{A}[1 / f i]$ 和模块 $M_{i}$. 让
$W_{i}=\pi^{-1}\left(U_{i}\right)$. 然后， $W_{i} \rightarrow U_{i}$ 是“同构的” $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. 因此，它归结为获取捆绑包的一部分 $W_{i}$ ，或采 取 $m_{i}$ 功能 $U_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ 构成捆绑包的一部分 $\mathbb{R}^{m_{i}} \times U_{i} \rightarrow U_{i}$. 换句话说，模块的部分 $W_{i}$ 是自由的和有等级的 $m$.
由于在有限数量的共极大元素中定位后变得自由的模块是有限生成的射影 (同部-全局原则 V-2.4)，因此我们得到 以下定理的直接部分 (第 1 点)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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