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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Facts Concerning Quotients and Localizations
Let us begin by recalling the following result on quotients. Let $a$ be an ideal of a ring $\mathbf{A}$. When needed, the canonical mapping will be denoted by $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \mathfrak{a}$.
The quotient ring $\left(\mathbf{A} / \mathfrak{a}, \pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}\right)$ is characterized, up to unique isomorphism, by the following universal property.
1.1 Fact (Characteristic property of the quotient by the ideal a) A ring homomorphism $\psi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ is factorized by $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}$ if and only if $\mathfrak{a} \subseteq \operatorname{Ker} \psi$, meaning $\psi(\mathfrak{a}) \subseteq\left{0_{\mathrm{B}}\right}$. In this case, the factorization is unique.
Explanation regarding the figure. In a figure of the type found above, everything but the morphism $\theta$ corresponding to the dotted arrow is given. The exclamation mark signifies that $\theta$ makes the diagram commute and that it is the unique morphism with this property.
We denote by $M /$ a $M$ the $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$-module obtained from the quotient of the A-module $M$ by the submodule generated by the elements $a x$ for $a \in \mathfrak{a}$ and $x \in M$. This module can thus be defined through the extension of scalars to $\mathbf{A} / \boldsymbol{a}$ from the $\mathbf{A}$-module $M$ (see p. 191, and Exercise IV-5).
Let us move on to localizations, which are very analogous to quotients (we will return to this analogy in further detail on p. 635). In this work, when referring to a monoid contained within a ring (i.e. a submonoid of a ring) we always assume a subset of the ring which contains 1 and is closed under multiplication.
For a given ring $\mathbf{A}$, we denote by $\mathbf{A}^{\times}$the multiplicative group of invertible elements, also called the group of units.
If $S$ is a monoid, we denote by $\mathbf{A}{S}$ or $S^{-1} \mathbf{A}$ the localization of $\mathbf{A}$ at $S$. Every element of $\mathbf{A}{S}$ can be written in the form $x / s$ with $x \in \mathbf{A}$ and $s \in S$.
By definition we have $x_{1} / s_{1}=x_{2} / s_{2}$ if there exists an $s \in S$ such that $s s_{2} x_{1}=$ $s s_{1} x_{2}$. When needed, we will denote by $j_{\mathbf{A}, S}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_{S}$ the canonical mapping $x \mapsto x / 1$.
The localized ring ( $\left.\mathbf{A}{S}, j{\mathbf{A}, S}\right)$ is characterized, up to unique isomorphism, by the following universal property.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Basic Local-Global Principle
We will study the general workings of the local-global principle in commutative algebra in Chap. XV. However, we will encounter it at every turn, under different forms adapted to each situation. In this section, an essential instance of this principle is given as it is so simple and efficient that it would be a pity to go without it any longer.
The local-global principle affirms that certain properties are true if and only if they are true after “sufficiently many” localizations. In classical mathematics we often invoke localization at every maximal ideal. It is a lot of work and seems a bit mysterious, especially from an algorithmic point of view. We will use simpler (and less intimidating) versions in which only a finite number of localizations are used.
Here is a characterization from classical mathematics.
2.2 Fact* Let $S_{1}, \ldots, S_{n}$ be monoids in a nontrivial ring A (i.e., $1 \neq_{\mathbf{A}} 0$ ). The monoids $S_{i}$ are comaximal if and only if for every prime ideal (resp. for every maximal ideal) $\mathfrak{p}$ one of the $S_{i}$ is contained within $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$.
D Let $\mathfrak{p}$ be a prime ideal. If none of the $S_{i}$ ‘s are contained in $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$ then for each $i$ there exists some $s_{i} \in S_{i} \cap \mathfrak{p}$. Consequently, $s_{1}, \ldots, s_{n}$ are not comaximal.
Conversely, suppose that for every maximal ideal $\mathfrak{m}$ one of the $S_{i}$ ‘s is contained within $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{m}$ and let $s_{1} \in S_{1}, \ldots, s_{n} \in S_{n}$ then the ideal $\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle$ is not contained in any maximal ideal. Thus it contains $1 .$
We denote by $\mathbf{A}^{m \times p}$ or $\mathbb{M}{m, p}(\mathbf{A})$ the $\mathbf{A}$-module of $m$-by- $p$ matrices with coefficients in $\mathbf{A}$, and $\mathbb{M}{n}(\mathbf{A})$ means $\mathbb{M}{n, n}(\mathbf{A})$. The group of invertible matrices is denoted by $\mathbb{G L}{n}(\boldsymbol{\Lambda})$, the subgroup consisting of the matrices of determinant 1 is denoted by $\mathbb{S L}{n}(\mathbf{A})$. The subset of $\mathbb{M}{n}(\mathbf{A})$ consisting of the projection matrices (i.e. matrices $F$ such that $F^{2}=F$ ) is denoted by $\mathbb{A}_{n}(\mathbf{A})$. The acronyms are explained as follows: $\mathbb{G L}$ for linear group, $\mathbb{S L}$ for special linear group and $\mathbb{A} G$ for affine Grassmannian.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Facts Concerning Quotients and Localizations
让我们首先回顾一下关于商的以下结果。让 $a$ 做一个理想的戒指 $\mathbf{A}$. 需要时，规范映射将表示为 $\pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \mathfrak{a}$. 商圈 $\left(\mathbf{A} / \mathfrak{a}, \pi_{\mathbf{A}, \mathfrak{a}}\right)$ 由以下普遍性质表征，直至唯一同构。
$1.1$ 事实 (理想商的特征性质 $a$ ) 环同态 $\psi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ 被分解为 $\pi_{\mathbf{A}, \mathrm{a}}$ 当且仅当 $\mathfrak{a} \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ ，意义 Ipsi(Imathfrak{a}) Isubseteq lleft{0_(Imathrm{B}}}right} . 在这种情况下，分解是唯一的。
关于图的说明。在上述类型的图中，除了态射之外的一切 $\theta$ 对应的虚线箭头给出。感叹号表示 $\theta$ 使图可以通勤，并且 它是具有此属性的唯一态射。
我们表示 $M /$ 个 $M$ 这 $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$-module 从 A-module 的商中获得 $M$ 由元素生成的子模块 $a x$ 为了 $a \in \mathfrak{a}$ 和 $x \in M$. 因 此，可以通过将标量扩展来定义该模块 $\mathbf{A} / \boldsymbol{a}$ 来自 $\mathbf{A}$-模块 $M$ （参见第 191 页和练习 IV-5）。
让我们继续讨论本地化，它非常类似于商 (我们将在第 635 页更详细地回到这个类比)。在这项工作中，当提到包 含在环中的么半群 (即环的子龶群) 时，我们总是假设环的子集包含 1 并且在乘法下是闭合的。
对于给定的环 $\mathbf{A}$ ，我们表示为 $\mathbf{A}^{\times}$可逆元素的乘法群，也称为单位群。
如果 $S$ 是一个乡半群，我们记为 $\mathbf{A} S$ 或者 $S^{-1} \mathbf{A}$ 的本地化 $\mathbf{A}$ 在 $S$. 的每一个元素 $\mathbf{A} S$ 可以写成形式 $x / s$ 和 $x \in \mathbf{A}$ 和 $s \in S$.
根据定义，我们有 $x_{1} / s_{1}=x_{2} / s_{2}$ 如果存在一个 $s \in S$ 这样 $s s_{2} x_{1}=s s_{1} x_{2}$. 需要时，我们将表示为 $j_{\mathbf{A}, S}: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}_{S}$ 规范映射 $x \mapsto x / 1$.
同部环 $(\mathbf{A} S, j \mathbf{A}, S)$ 由以下普遍性质表征，直至唯一同构。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Basic Local-Global Principle
我们将在第 1 章研究交换代数中同部-全同原理的一般工作原理。十五。但是，我们会在每一个转折点，以适应每 种情况的不同形式遇到它。在本节中，给出了该原理的一个重要实例，因为它非常简单有效，如果不再使用它会很 可惜。
局部-全局原则确认某些属性为真当且仅当它们在“足够多”本地化之后为真。在经典数学中，我们经常在每个最大理 想处调用局部化。这是很多工作，而且看起来有点神秘，尤其是从算法的角度来看。我们将使用更简单（且不那么 令人生畏) 的版本，其中仅使用有限数量的本地化。
这是经典数学的一个特征。
$2.2$ 事实*让 $S_{1}, \ldots, S_{n}$ 是非平凡环 A 中的么半群 (即， $1 \neq \mathbf{A}{\mathbf{A}} 0$ ) 。类半群 $S{i}$ 当且仅当对于每个素理想 (分别对 于每个最大理想) 都是共极大的 $\mathfrak{p}$ 中的一个 $S_{i}$ 包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$.
$\mathrm{D}$ 让p成为一个首要的理想。如果没有 $S_{i}$ 的包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{p}$ 然后对于每个 $i$ 存在一些 $s_{i} \in S_{i} \cap \mathfrak{p}$. 最后， $s_{1}, \ldots, s_{n}$ 不 是共大的。
相反，假设对于每个极大理想 $\mathfrak{m}$ 中的一个 $S_{i}$ 的包含在 $\mathbf{A} \backslash \mathfrak{m}$ 然后让 $s_{1} \in S_{1}, \ldots, s_{n} \in S_{n}$ 那么理想 $\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle$ 不包含在任何最大理想中。因此它包含 1 .
我们表示 $\mathbf{A}^{m \times p}$ 或者 $\mathbb{M} m, p(\mathbf{A})$ 这 $\mathbf{A}$-模块 $m$-经过- $p$ 系数在的矩阵 $\mathbf{A}$ ，和 $\mathbb{M} n(\mathbf{A})$ 方法 $\mathbb{M} n, n(\mathbf{A})$. 可逆矩阵组 表示为 $\mathbb{G} \mathbb{L} n(\boldsymbol{\Lambda})$ ，由行列式 1 的矩阵组成的子群表示为 $\mathbb{S L} n(\mathbf{A})$. 的子集 $\mathbb{M} n(\mathbf{A})$ 由投影矩阵组成 (即矩阵 $F$ 这 样 $\left.F^{2}=F\right)$ 表示为 $\mathbb{A}_{n}(\mathbf{A})$. 缩写词解释如下: $\mathbb{G} \mathbb{L}$ 对于线性组， $\mathbb{S L}$ 对于特殊的线性群和 $\mathbb{A} G$ 为仿射格拉斯曼算子。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。