数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|why study complex analysis

These notes are about complex analysis, the area of mathematics that studies analytic functions of a complex variable and their properties. While this may sound a bit specialized, there are (at least) two excellent reasons why all mathematicians should learn about complex analysis. First, it is, in my humble opinion, one of the most beautiful areas of mathematics. One way of putting it that has occurred to me is that complex analysis has a very high ratio of theorems to definitions (i.e., a very low “entropy”): you get a lot more as “output” than you put in as “input.”

The second reason is complex analysis has a large number of applications (in both the pure math and applied math senses of the word) to things that seem like they ought to have little to do with complex numbers. For example:

  • Solving polynomial equations: historically, this was the motivation for introducing complex numbers by Cardano, who published the famous formula for solving cubic equations in 1543 , after learning of the solution found earlier by Scipione del Ferro. An important point to keep in mind is that Cardano’s formula sometimes requires taking operations in the complex plane as an intermediate step to get to the final answer, even when the cubic equation being solved has only real roots.

Example 1. Using Cardano’s formula, it can be found that the solutions to the cubic equation
$$
z^3+6 z^2+9 z+3=0
$$
are
$$
\begin{aligned}
& z_1=2 \cos (2 \pi / 9)-2, \
& z_2=2 \cos (8 \pi / 9)-2, \
& z_3=2 \sin (\pi / 18)-2
\end{aligned}
$$

  • Proving Stirling’s formula: $n ! \sim \sqrt{2 \pi n}(n / e)^n$. Here, $a_n \sim b_n$ is the standard “asymptotic to” relation, defined to mean $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n / b_n=1$.
  • Proving the prime number theorem: $\pi(n) \sim \frac{n}{\log n}$, where $\pi(n)$ denotes the number of primes less than or equal to $n$ (the prime-counting function).

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The fundamental theorem of algebra

One of the most famous theorems in complex analysis is the not-very-aptly named Fundamental Theorem of Algebra. This seems like a fitting place to start our journey into the theory.

Theorem 1 (The Fundamental Theorem of Algebra.). Every nonconstant polynomial $p(z)$ over the complex numbers has a root.

The fundamental theorem of algebra is a subtle result that has many beautiful proofs. I will show you three of them. Let me know if you see any “algebra”…
First proof: analytic proof. Let
$$
p(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots+a_0
$$
be a polynomial of degree $n \geq 1$, and consider where $|p(z)|$ attains its infimum.
First, note that it can’t happen as $|z| \rightarrow \infty$, since
$$
|p(z)|=|z|^n \cdot\left(\left|a_n+a_{n-1} z^{-1}+a_{n-2} z^{-2}+\ldots+a_0 z^{-n}\right|\right)
$$
and in particular $\lim {|z| \rightarrow \infty} \frac{|p(z)|}{|z|^n}=\left|a_n\right|$, so for large $|z|$ it is guaranteed that $|p(z)| \geq|p(0)|=\left|a_0\right|$. Fixing some radius $R>0$ for which $|z|>R$ implies $|p(z)| \geq\left|a_0\right|$, we therefore have that $$ m_0:=\inf {z \in \mathbb{C}}|p(z)|=\inf {|z| \leq R}|p(z)|=\min {|z| \leq R}|p(z)|=\left|p\left(z_0\right)\right|
$$
where $z_0=\underset{|z| \leq R}{\arg \min }|p(z)|$, and the minimum exists because $p(z)$ is a continuous function on the disc $D_R(0)$.

Denote $w_0=p\left(z_0\right)$, so that $m_0=\left|w_0\right|$. We now claim that $m_0=0$. Assume by contradiction that it doesn’t, and examine the local behavior of $p(z)$ around $z_0$; more precisely, expanding $p(z)$ in powers of $z-z_0$ we can write
$$
p(z)-w_0+\sum_{j=1}^n c_j\left(z-z_0\right)^j-w_0+c_k\left(z-z_0\right)^k+\ldots+c_n\left(z-z_0\right)^n
$$

where $k$ is the minimal positive index for which $c_j \neq 0$. (Exercise: why can we expand $p(z)$ in this way?) Now imagine starting with $z=z_0$ and traveling away from $z_0$ in some direction $e^{i \theta}$. What happens to $p(z)$ ? Well, the expansion gives
$$
p\left(z_0+r e^{i \theta}\right)=w_0+c_k r^k e^{i k \theta}+c_{k+1} r^{k+1} e^{i(k+1) \theta}+\ldots+c_n r^n e^{i n \theta}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|why study complex analysis

这些笔记是关于复数分析的,这是研究复数变量的解析函数及其性质的数学领域。虽然伩听起来有点专 业,但有 (至少) 两个很好的理由可以说明为什么所有数学家都应该学习复分析。首先,以我的愚见,它 是数学中最美丽的领域之一。我想到的一种表达方式是复杂分析的定理与定义的比率非常高(即非常低的 “樀”):你得到的“输出”比你输入的“输入”多得多”
第二个原因是复数分析有大量应用(在纯数学和应用数学这个词的意义上),用于看起来与复数无关的事 物。例如:

  • 求解多项式方程: 从历史上看,这是卡尔达诺引入复数的动机,卡尔达诺在学习了 Scipione del Ferro 较早发现的解后,于 1543 年发表了蓍名的求解三次方程的公式。需要牢记的重要一点是,卡 尔达诺公式有时需要在复平面上进行运算作为获得最终答案的中间步骤,即使所求解的三次方程只有 实根也是如此。
    例 1. 利用卡尔达诺公式,可以求出三次方程的解
    $$
    z^3+6 z^2+9 z+3=0
    $$

    $$
    z_1=2 \cos (2 \pi / 9)-2, \quad z_2=2 \cos (8 \pi / 9)-2, z_3=2 \sin (\pi / 18)-2
    $$
  • 证明斯特林公式: $n$ ! $\sqrt{2 \pi n}(n / e)^n$. 这里, $a_n \sim b_n$ 是标准的“渐近”关系,定义为 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n / b_n=1$.
  • 证明素数定理: $\pi(n) \sim \frac{n}{\log n}$ ,在哪里 $\pi(n)$ 表示小于等于的素数个数 $n$ (质数计数函数)。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The fundamental theorem of algebra

复数分析中最著名的定理之一是代数基本定理,这个名字不太恰当。这似乎是开始我们的理论之旅的合适 地点。
定理 1 (代数基本定理。)。每个非常数多项式 $p(z)$ 在复数上有一个根。
代数基本定理是一个微妙的结果,有许多漂亮的证明。我会给你看其中的三个。如果您看到任何”代数”, 请告诉我……
第一个证明:分析证明。让
$$
p(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots+a_0
$$
是次数的多项式 $n \geq 1$ ,并考虑在哪里 $|p(z)|$ 达到它的最小值。
首先,请注意它不会发生 $|z| \rightarrow \infty$ ,自从
$$
|p(z)|=|z|^n \cdot\left(\left|a_n+a_{n-1} z^{-1}+a_{n-2} z^{-2}+\ldots+a_0 z^{-n}\right|\right)
$$
特别是 $\lim |z| \rightarrow \infty \frac{|p(z)|}{|z|^n}=\left|a_n\right|$, 所以对于大 $|z|$ 保证 $|p(z)| \geq|p(0)|=\left|a_0\right|$. 固定一些半径 $R>0$ 为 了哪个 $|z|>R$ 暗示 $|p(z)| \geq\left|a_0\right|$, 因此我们有
$$
m_0:=\inf z \in \mathbb{C}|p(z)|=\inf |z| \leq R|p(z)|=\min |z| \leq R|p(z)|=\left|p\left(z_0\right)\right|
$$
在哪里 $z_0=\underset{|z| \leq R}{\arg \min }|p(z)|$ ,最小值存在是因为 $p(z)$ 是圆盘上的连续函数 $D_R(0)$.
表示 $w_0=p\left(z_0\right)$ ,以便 $m_0=\left|w_0\right|$. 我们现在声称 $m_0=0$. 通过矛盾假设它没有,并检查 $p(z)$ 大约 $z_0$ ; 更准确地说,扩大 $p(z)$ 在权力的 $z-z_0$ 我们可以写
$$
p(z)-w_0+\sum_{j=1}^n c_j\left(z-z_0\right)^j-w_0+c_k\left(z-z_0\right)^k+\ldots+c_n\left(z-z_0\right)^n
$$
在哪里 $k$ 是最小的正指数,其中 $c_j \neq 0$. (练习: 为什么我们可以扩展 $p(z)$ 以这种方式? ) 现在想象一下 从 $z=z_0$ 并远离 $z_0$ 在某个方向 $e^{i \theta}$. 发生了什么事 $p(z) ?$ 好吧,扩展给出了
$$
p\left(z_0+r e^{i \theta}\right)=w_0+c_k r^k e^{i k \theta}+c_{k+1} r^{k+1} e^{i(k+1) \theta}+\ldots+c_n r^n e^{i n \theta}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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