数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Oka–Weil Theorem and Its Generalizations

The analogue of Runge’s theorem (see Theorems 2 and 4) on Stein manifolds and Stein spaces is the following theorem due to K. Oka [132] and A. Weil [171]. All complex spaces are assumed to be reduced.

Theorem 18 (The Oka-Weil Theorem) If $X$ is a Stein space and $K$ is a compact $\mathscr{O}(X)$-convex subset of $X$, then every holomorphic function in an open neighborhood of $K$ can be approximated uniformly on $K$ by functions in $\mathscr{O}(X)$.

Proof Two proofs of this result are available in the literature. The original one, due to $\mathrm{K}$. Oka and A. Weil, proceeds as follows. A compact $\mathscr{O}(X)$-convex subset $K$ in a Stein space $X$ admits a basis of open Stein neighborhoods of the form
P=\left{x \in X:\left|h_1(x)\right|<1, \ldots,\left|h_N(x)\right|<1\right}
with $h_1, \ldots, h_N \in \mathscr{O}(X)$. We may assume that the function $f \in \mathscr{O}(K)$ to be approximated is holomorphic on $P$. By adding more functions if necessary, we can ensure that the map $h=\left(h_1, \ldots, h_N\right): X \rightarrow \mathbb{C}^N$ embeds $P$ onto a closed complex subvariety $A=h(P)$ of the unit polydisc $\mathbb{D}^N \subset \mathbb{C}^N$. Hence, there is a function $g \in \mathscr{O}(A)$ such that $g \circ h=f$ on $P$. By the Oka-Cartan extension theorem [62, Corollary 2.6.3], $g$ extends to a holomorphic function $G$ on $\mathbb{D}^N$. Expanding $G$ into a power series and precomposing its Taylor polynomials by $h$ gives a sequence of holomorphic functions on $X$ converging to $f$ uniformly on $K$.

Another approach uses the method of L. Hörmander for solving the $\bar{\partial}$-equation with $L^2$-estimates (see $[94,96]$ ). We consider the case $X=\mathbb{C}^n$; the general case reduces to this one by standard methods of Oka-Cartan theory. Assume that $f$ is a holomorphic function in a neighborhood $U \subset \mathbb{C}^n$ of $K$. Choose a pair of neighborhoods $W \Subset V \Subset U$ of $K$ and a smooth function $\chi: \mathbb{C}^n \rightarrow[0,1]$ such that $\chi=1$ on $\bar{V}$ and $\operatorname{supp}(\chi) \subset U$. By choosing $W \supset K$ small enough, there is a nonnegative plurisubharmonic function $\rho \geq 0$ on $\mathbb{C}^n$ that vanishes on $W$ and satisfies $\rho \geq c>0$ on $U \backslash V$. Note that the smooth $(0,1)$-form
\alpha=\bar{\partial}(\chi f)=f \bar{\partial} \chi=\sum_{i=1}^n \alpha_i d \bar{z}_i
is supported in $U \backslash V$. Hörmander’s theory for the $\bar{\partial}$-complex (see [96, Theorem 4.4.2]) furnishes for any $t>0$ a smooth function $h_t$ on $\mathbb{C}^n$ satisfying $\bar{\partial} h_t=\alpha \quad$ and $\quad \int_{\mathbb{C}^n} \frac{\left|h_t\right|^2}{\left(1+|z|^2\right)^2} e^{-t \rho} d \lambda \leq \int_{\mathbb{C}^n} \sum_{i=1}^n\left|\alpha_i\right|^2 e^{-t \rho} d \lambda$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Mergelyan’s Theorem in Higher Dimensions

As we have seen in Sections 2-4, the Mergelyan approximation theory in the complex plane and on Riemann surfaces was a highly developed subject around mid twentieth century. Around the same time, it became clear that the situation is much more complicated in higher dimensions. For example, in $1955 \mathrm{~J}$. Wermer [173] constructed an arc in $\mathbb{C}^3$ which fails to have the Mergelyan property. This suggests that, in several variables, one has to be much more restrictive about the sêts on which one considers Mergeelyan type anpproximation problems.

There are two lines of investigations in the literature: approximation on submanifolds of $\mathbb{C}^n$ of various degrees of smoothness and approximation on closures of bounded pseudoconvex domains. In neither category the problem is completely understood, and even with these restrictions, the situation is substantially more complicated than in dimension one. For example, R. Basener (1973), [14] (generalizing a result of B. Cole (1968), [39]) showed that Bishop’s peak point criterium does not suffice even for smooth polynomially convex submanifolds of $\mathbb{C}^n$. Even more surprisingly, it was shown by K. Diederich and J. E. Fornæss in 1976 [42] that there exist bounded pseudoconvex domains with smooth boundaries in $\mathbb{C}^2$ on which the Mergelyan property fails. The picture for curves is more complete; see G. Stolzenberg [153], H. Alexander [5], and P. Gauthier and E. Zeron [80].

In this section we outline the developments starting around the 1960s, give proofs in some detail in the cases of totally real manifolds and strongly pseudoconvex domains, and provide some new results on combinations of such sets.

Definition 4 Let $(X, J)$ be a complex manifold, and let $M \subset X$ be a $\mathscr{C}^1$ submanifold.
(a) $M$ is totally real at a point $p \in M$ if $T_p M \cap J T_p M={0}$. If $M$ is totally real at all points, we say that $M$ is a totally real submanifold of $X$.
(b) $M$ is a stratified totally real submanifold of $X$ if $M=\bigcup_{i=1}^l M_i$, with $M_i \subset M_{i+1}$ locally closed sers, such that $M_1$ and $M_{i+1} \backslash M_i$ are torally real submanifolds.

We now introduce suitable types of sets for Mergelyan approximation. The following notion is a generalization of the one for Riemann surfaces in Definition 3 . Recall that a compact set $S$ in a complex manifold $X$ is a Stein compact if $S$ admits a basis of open Stein neighborhoods in $X$.

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Oka–Weil Theorem and Its Generalizations

由于 K. Oka [132] 和 A. Weil [171],Runge 定理(参见定理 2 和 4) 在 Stein 流形和 Stein 空间上的类比 是以下定理。假设所有复杂空间都被减少。
定理 18 (Oka-Weil 定理) 如果 $X$ 是斯坦因空间,并且 $K$ 是一个紧凑的 $\mathscr{O}(X)$ – 的凸子集 $X$ ,那么在的开邻 域中的每个全纯函数 $K$ 可以统一近似于 $K$ 按函数在 $\mathscr{O}(X)$.
证明 文献中提供了该结果的两个证明。原来的,由于 $\mathrm{K}$. Oka 和 A. Weil 进行如下。紧凑型 $\mathscr{O}(X)$-凸子集 $K$ 在斯坦因空间 $X$ 承认形式的开放 Stein 邻域的基础
和 $h_1, \ldots, h_N \in \mathscr{O}(X)$. 我们可以假设函数 $f \in \mathscr{O}(K)$ 被近似是全纯的 $P$. 通过在必要时添加更多功 能,我们可以确保地图 $h=\left(h_1, \ldots, h_N\right): X \rightarrow \mathbb{C}^N$ 嵌入 $P$ 到一个封闭的复杂子变种 $A=h(P)$ 单位 多圆盘 $\mathbb{D}^N \subset \mathbb{C}^N$. 因此,有一个函数 $g \in \mathscr{O}(A)$ 这样 $g \circ h=f$ 在 $P$. 根据 Oka-Cartan 扩展定理 [62, 推论 2.6.3],g扩展到全纯函数 $G$ 在 $\mathbb{D}^N$. 展开 $G$ 进入幂级数并通过以下方式预先组合其泰勒多项式 $h$ 给出 一个全纯函数序列 $X$ 收敛于 $f$ 统一上 $K$.
另一种方法使用 L. Hörmander 的方法来解决 $\bar{\partial}$-方程式 $L^2$ – 估计 (见 $[94,96]$ ). 我们考虑案例 $X=\mathbb{C}^n$ ; 一般情况通过 Oka-Cartan 理论的标准方法简化为这种情况。假使,假设 $f$ 是邻域内的全纯函数 $U \subset \mathbb{C}^n$ 的 $K$. 选择一对社区 $W \Subset V \Subset U$ 的 $K$ 和一个平滑的函数 $\chi: \mathbb{C}^n \rightarrow[0,1]$ 这样 $\chi=1$ 在 $\bar{V}$ 和 $\operatorname{supp}(\chi) \subset U$. 通过选择 $W \supset K$ 足够小,存在一个非负的多次次谐波函数 $\rho \geq 0$ 在 $\mathbb{C}^n$ 消失在 $W$ 并满 足 $\rho \geq c>0$ 在 $U \backslash V$. 注意平滑 $(0,1)$-形式
\alpha=\bar{\partial}(\chi f)=f \bar{\partial} \chi=\sum_{i=1}^n \alpha_i d \bar{z}i $$ 支持 $U \backslash V$. 霍曼德的理论 $\bar{\partial}$-complex(见[96,定理 4.4.2]) 提供任何 $t>0$ 平滑函数 $h_t$ 在 $\mathbb{C}^n$ 令人满意 $\bar{\partial} h_t=\alpha \quad$ 和 $\quad \int{\mathbb{C}^n} \frac{\left|h_t\right|^2}{\left(1+|z|^2\right)^2} e^{-t \rho} d \lambda \leq \int_{\mathbb{C}^n} \sum_{i=1}^n\left|\alpha_i\right|^2 e^{-t \rho} d \lambda$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Mergelyan’s Theorem in Higher Dimensions

正如我们在第 2-4 节中看到的那样,复平面和黎曼曲面上的 Mergelyan 逼近理论是 20 世纪中叶前后高度 发达的学科。大约在同一时间,很明显情况在更高维度上要复杂得多。例如,在 1955 J. Wermer [173] 在 $\mathbb{C}^3$ 它没有 Mergelyan 属性。这表明,在几个变量中,人们必须对考虑 Mergeelyan 类型近似问题的集 有更多限制。
文献中有两条研究路线:对子流形的近似 $\mathbb{C}^n$ 有界伪凸域闭包的各种平滑度和近似值。在这两个类别中, 问题都没有被完全理解,即使有这些限制,情况也比第一维复杂得多。例如,R. Basener (1973), [14] (概括了 B. Cole (1968), 39] 的结果) 表明即使对于光滑的多项式凸子流形,Bishop 的峰值点准则也不 够 $\mathbb{C}^n$. 更令人惊讶的是,K. Diederich 和JE Fornæss 在 1976 年 [42] 表明存在具有平滑边界的有界伪凸 域 $\mathbb{C}^2$ Mergelyan 财产失败。曲线的图片更完整;参见 G. Stolzenberg [153]、 H. Alexander [5]、P. Gauthier 和 E. Zeron [80]。
在本节中,我们概述了从 1960 年代开始的发展,在完全实流形和强伪凸域的情况下给出了一些详细的证 明,并提供了这些集合组合的一些新结果。
定义 4 让 $(X, J)$ 是一个复杂的流形,并且让 $M \subset X$ 是一个 $\mathscr{C}^1$ 子流形。
(一种) $M$ 在某一点上是完全真实的 $p \in M$ 如果 $T_p M \cap J T_p M=0$. 如果 $M$ 在所有点上都是完全真实 的,我们说 $M$ 是一个完全真实的子流形 $X$.
(乙) $M$ 是一个分层的完全真实的子流形 $X$ 如果 $M=\bigcup_{i=1}^l M_i \mathrm{~ , 和 ~} M_i \subset M_{i+1}$ 本地封闭的 sers, 这样 $M_1$ 和 $M_{i+1} \backslash M_i$ 是真正的子流形。
我们现在介绍适用于 Mergelyan 近似的集合类型。以下概念是定义 3 中黎曼曲面概念的推广。回想一下 紧集 $S$ 在一个复杂流形 $X$ 是一个斯坦因紧凑如果 $S$ 承认开放斯坦因社区的基础 $X$.

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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