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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Counting Zeros and Poles
Suppose that $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on a connected, open set $U \subseteq \mathbb{C}$ and that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. We know from the Cauchy integral formula that the values of $f$ on $D(P, r)$ are completely determined by the values of $f$ on $\partial D(P, r)$. In particular, the number and even the location of the zeros of $f$ in $D(P, r)$ are determined in principle by $f$ on $\partial D(P, r)$. But it is nonetheless a pleasant surprise that there is a simple formula for the number of zeros of $f$ in $D(P, r)$ in terms of $f$ (and $f^{\prime}$ ) on $\partial D(P, r)$. In order to construct this formula, we shall have to agree to count zeros in a particular fashion. This method of counting will in fact be a generalization of the notion of counting the zeros of a polynomial according to multiplicity. We now explain the precise idea.
Let $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ be holomorphic as before, and assume that $f$ has zeros but that $f$ is not identically zero. Fix $z_{0} \in U$ such that $f\left(z_{0}\right)=0$. Since the zeros of $f$ are isolated, there is an $r>0$ such that $\bar{D}\left(z_{0}, r\right) \subseteq U$ and such that $f$ does not vanish on $\bar{D}\left(z_{0}, r\right) \backslash\left{z_{0}\right}$.
Now the power series expansion of $f$ about $z_{0}$ has a first nonzero term determined by the least positive integer $n$ such that $f^{(n)}\left(z_{0}\right) \neq 0$. [Note that $n \geq 1$ since $f\left(z_{0}\right)=0$ by hypothesis.] Thus the power series expansion of $f$ about $z_{0}$ begins with the $n^{\text {th }}$ term:
$$
f(z)=\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{j !} \frac{\partial^{j} f}{\partial z^{j}}\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{j} .
$$
Under these circumstances we say that $f$ has a zero of order $n$ (or multiplicity $n$ ) at $z_{0}$. When $n=1$, then we say that $z_{0}$ is a simple zero of $f$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Local Geometry of Holomorphic Functions
The argument principle for holomorphic functions (the formula of Proposition 5.1.2) has a consequence which is one of the most important facts about holomorphic functions considered as geometric mappings:
Theorem 5.2.1 (The open mapping theorem). If $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is a nonconstant holomorphic function on a connected open set $U$, then $f(U)$ is an open set in $\mathbb{C}$.
Before beginning the proof of the theorem, we discuss its significance. The theorem says, in particular, that if $U \subseteq \mathbb{C}$ is connected and open and if $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic, then either $f(U)$ is a connected open set (the nonconstant case) or $f(U)$ is a single point. There is no analogous result for $C^{\infty}$, or even real analytic functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$ (or from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{R}^{2}$ ). As an example, consider the function
$$
\begin{aligned}
g: \mathbb{C} & \rightarrow \mathbb{C} \
z & \mapsto|z|^{2} .
\end{aligned}
$$
The domain of $g$ is the entire plane $\mathbb{C}$, which is certainly open and connected. The set $g(\mathbb{C})$, however, is ${x+i 0: \mathbb{R} \ni x \geq 0}$ which is not open as a subset of $\mathbb{C}$. The function $g$ is in fact real analytic, but of course not holomorphic.
Note, by contrast, that the holomorphic function
$$
\begin{aligned}
g: \mathbb{C} & \rightarrow \mathbb{C} \
z & \mapsto z^{2}
\end{aligned}
$$
has image the entire complex plane (which is, of course, an open set). More significantly, every open subset of $\mathbb{C}$ has image under $g$ which is open.
In the subject of topology, a function $f$ is defined to be continuous if the inverse image of any open set under $f$ is also open. In contexts where the $\epsilon-\delta$ definition makes sense, the $\epsilon-\delta$ definition is equivalent to the inverse-image-of-open-sets definition.
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Counting Zeros and Poles
假设 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是连通开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$ 然后 $\bar{D}(P, r) \subseteq U$. 我们从柯西积分公式中知道， $f$ 上 $D(P, r)$ 完全由值决定 $f$ 上 $\partial D(P, r)$. 特别是零点的数量甚至位置 $f$ 在 $D(P, r)$ 原则上由 $f$ 上 $\partial D(P, r)$. 但令人惊喜的是，有 一个简单的公式可以计算零的数量 $f$ 在 $D(P, r)$ 按照 $f$ (和 $f^{\prime}$ ) 上 $\partial D(P, r)$. 为了构造这个公式，我们必须同意以 特定的方式计算零。这种计数方法实际上是根据多重性对多项式的零点进行计数的概念的推广。我们现在解释确切 的想法。
让 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 像以前一样是全纯的，并假设 $f$ 有零但是那个 $f$ 不完全为零。使固定 $z_{0} \in U$ 这样 $f\left(z_{0}\right)=0$. 由于零
现在的幂级数展开 $f$ 关于 $z_{0}$ 具有由最小正整数确定的第一个非零项 $n$ 这样 $f^{(n)}\left(z_{0}\right) \neq 0$. [注意 $n \geq 1$ 自从 $f\left(z_{0}\right)=0$ 通过假设。] 因此幂级数展开 $f$ 关于 $z_{0}$ 开始于 $n^{\text {th }}$ 学期:
$$
f(z)=\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{j !} \frac{\partial^{j} f}{\partial z^{j}}\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{j} .
$$
在这种情况下，我们说 $f$ 有零阶 $n$ (或多重性 $n$ ) 在 $z_{0}$. 什么时候 $n=1$ ，那么我们说 $z_{0}$ 是一个简单的零 $f$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Local Geometry of Holomorphic Functions
全纯函数的论证原则（命题 5.1.2 的公式）有一个结果，这是关于被视为几何映射的全纯函数的最重要事实之一:
定理 5.2.1 (开放映射定理)。如果 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是连通开集上的非常量全纯函数 $U$ ，然后 $f(U)$ 是一个开集 $\mathbb{C}$.
在开始证明定理之前，我们先讨论一下它的意义。该定理特别指出，如果 $U \subseteq \mathbb{C}$ 已连接并打开，如果 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的，那么要么 $f(U)$ 是连通开集 (非常数情况) 或 $f(U)$ 是一个点。没有类似的结果 $C^{\infty}$ ，甚至是真正的分析 函数 $\mathbb{C}$ 至 $\mathbb{C}\left(\right.$ 或从 $\mathbb{R}^{2}$ 至 $\mathbb{R}^{2}$ )。例如，考虑函数
$$
g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} z \quad \mapsto|z|^{2} .
$$
的领域 $g$ 是整个平面 $\mathbb{C}$ ，这当然是开放和连接的。套装 $g(\mathbb{C})$ ，然而，是 $x+i 0: \mathbb{R} \ni x \geq 0$ 它不是作为子集打开的 C. 功能 $g$ 实际上是实解析的，但当然不是全纯的。 相比之下，请注意，全纯函数
$$
g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} z \quad \mapsto z^{2}
$$
具有整个复平面的图像（当然，这是一个开集）。更重要的是，每个开放子集 $\mathbb{C}$ 下有图像 $g$ 这是开放的。 在拓扑学中，一个函数 $f$ 如果任何开集的逆像在 $f$ 也是开放的。在上下文中 $\epsilon-\delta$ 定义是有道理的， $\epsilon-\delta$ 定义等价于 开集的逆像定义。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。