数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Approximation on Totally Real Submanifolds

In this section we present an optimal $\mathscr{C}^k$-approximation result on totally real submanifolds. With essentially no extra effort we get approximation results on stratified totally real manifolds and on admissible sets (see Theorems 20 and 21).
There is a long history on approximation on totally real submanifolds, starting with J. Wermer [173] on curves and R. O. Wells [172] on real analytic manifolds. The first general result on approximation on totally real manifolds with various degrees of smoothness is due to L. Hörmander and J. Wermer [97]. Their work is based on $L^2$-methods for solving the $\bar{\partial}$-equation, and the passage from $L^2$ to $\mathscr{C}^k$-estimates led to a gap between the order $m$ of smoothness of the manifold $M$ on which the approximation takes place, and the order $k$ of the norm of the Banach space $\mathscr{C}^k(M)$ in which the approximation takes place. Subsequently, several authors worked on decreasing the gap between $m$ and $k$, introducing more precise integral kernel methods for solving $\bar{\partial}$. The optimal result with $m=k$ was eventually obtained by M. Range and Y.-T. Siu [139]. Subsequent improvements were made by F. Forstnerič, E. Løw, and N. Øvrelid [66] in 2001. They developed Henkin-type kernels adapted to this situation and obtained optimal results on approximation of $\bar{\partial}$-flat functions in tubes around totally real manifolds by holomorphic functions. In 2009 , B. Berndtsson [18] used $L^2$-theory to give a new approach to uniform approximation by holomorphic functions on compact zero sets of strongly plurisubharmonic functions. A novel byproduct of his method is that, in the case of polynomial approximation, one gets a bound on the degree of the approximating polynomial in terms of the closeness of the approximation.

We will not go into the details of the $L^2$ or the integral kernel approaches, but will instead present a method based on convolution with the Gaussian kernel which originates in the proof of Weierstrass’s Theorem 1 on approximating continuous functions on $\mathbb{R}$ by holomorphic polynomials. This approach is perhaps the most elementary one, and is particularly well suited for proving Runge-Mergelyan type approximation results with optimal regularity on (strongly) admissible sets. It seems that the first modern application of this method was made in 1981 by $\mathrm{S}$. Baouendi and F. Treves [12] to obtain local approximation of Cauchy-Riemann (CR) functions on CR submanifolds. The use of this method on totally real manifolds was developed further by P. Manne [118] in 1993 to obtain Carleman approximation on totally real submanifolds (see also [119]).

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Approximation on Strongly Pseudoconvex Domains

As we have seen, proofs of the Mergelyan theorem in one complex variable depend heavily on integral representations of holomorphic or $\bar{\partial}$-flat functions. The single most important reason why the one-dimensional proofs work so well is that the Cauchy-Green kernel (4) provides a solution to the inhomogeneous $\bar{\partial}$-equation which is uniformly bounded on all of $\mathbb{C}$ in terms of sup-norm of the data and the area of its support (see (6)). This allows uniform approximation of functions in $\mathscr{A}(K)$ on any compact set $K \subset \mathbb{C}$ with not too rough boundary by functions in $\mathscr{O}(K)$ (see Vitushkin’s Theorem 7). Nothing like that holds in several variables, and the question of uniform approximability is highly sensitive to the shape of the boundary even for smoothly bounded domains.

The idea of developing holomorphic integral kernels for domains in $\mathbb{C}^n$ with comparable properties to those of the Cauchy kernel in one variable was promoted by H. Grauert already around 1960; however, it took almost a decade to be realized. The first such constructions were given in 1969 by G. M. Henkin [92] and E. Ramírez de Arellano [138] for the class of strongly pseudoconvex domains. These kernels provide solution operators for the $\bar{\partial}$-equation which are bounded in the $\mathscr{C}^k$ norms and improve the regularity by $1 / 2$. We state here a special case of their results for $(0,1)$-forms, but in a more precise form which can be found in the works by I. Lieb and M. Range [112, Theorem 1], I. Lieb and J. Michel [111], and [62, Theorem 2.7.3]. A brief historical review of the kernel method is given in [66, pp. 392-393]. Given a domain $\Omega \subset \mathbb{C}^n$, we denote by $\mathscr{C}_{(0,1)}^k(\bar{\Omega})$ the space of all differential $(0,1)$-forms of class $\mathscr{C}^k$ on $\bar{\Omega}$.

Theorem 23 If $\Omega$ is a bounded strongly pseudoconvex Stein domain with boundary of class $\mathscr{C}^k$ for some $k \in{2,3, \ldots}$ in a complex manifold $X$, there exists a bounded linear operator $T: \mathscr{\zeta}{(0,1)}^0(\bar{\Omega}) \rightarrow \mathscr{L}^0(\bar{\Omega})$ satisfying the following properties: (i) If $f \in \mathscr{C}{0,1}^0(\bar{\Omega}) \cap \mathscr{C}{0,1}^1(\Omega)$ and $\bar{\partial} f=0$, then $\bar{\partial}(T f)=f$. (ii) If $f \in \mathscr{C}{0,1}^0(\bar{\Omega}) \cap \mathscr{C}{0,1}^r(\Omega)$ for some $r \in{1, \ldots, k}$ then $$ |T f|{\mathscr{G} l, 1 / 2(\bar{\Omega})} \leq C_{l, \Omega}|f|_{\mathscr{C}{0,1}(\bar{\Omega})}, \quad l=0,1, \ldots, r . $$ Moreover, the constants $C{l, \Omega}$ may be chosen uniformly for all domains sufficiently $\mathscr{C}^k$ close to $\bar{\Omega}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Approximation on Totally Real Submanifolds

在本节中,我们提出了一个最优Ck-完全真实子流形的近似结果。基本上不需要额外的努力,我们就可以在分层全实流形和可容许集上得到近似结果(见定理 20 和 21)。
从 J. Wermer [173] 的曲线和 RO Wells [172] 的实解析流形开始,在完全实数子流形上的近似有很长的历史。L. Hörmander 和 J. Wermer [97] 对具有不同平滑度的全实流形进行近似的第一个一般性结果。他们的工作基于大号2-解决问题的方法∂¯- 方程式,以及来自大号2到Ck- 估计导致了订单之间的差距米流形的平滑度米在其上进行近似,以及顺序kBanach 空间范数的Ck(米)其中进行近似。随后,几位作者致力于缩小两者之间的差距米和k, 引入更精确的积分核方法来求解∂¯. 最佳结果与米=k最终由 M. Range 和 Y.-T 获得。萧[139]。F. Forstnerič、E. Løw 和 N. Øvrelid [66] 在 2001 年进行了后续改进。他们开发了适应这种情况的 Henkin 型内核,并在近似于∂¯- 通过全纯函数在管中围绕完全实流形的平面函数。2009 年,B. Berndtsson [18] 使用大号2-理论给出了一种新的方法来通过全纯函数对强多次谐波函数的紧零集进行统一逼近。他的方法的一个新的副产品是,在多项式逼近的情况下,根据逼近的接近程度,人们对逼近多项式的次数有一个界限。

我们不会详细介绍大号2或积分核方法,而是提出一种基于与高斯核卷积的方法,该方法起源于 Weierstrass 定理 1 关于近似连续函数的证明R通过全纯多项式。这种方法可能是最基本的方法,特别适合证明 Runge-Mergelyan 型近似结果在(强)可容许集上具有最佳正则性。似乎这种方法的第一个现代应用是在 1981 年由小号. Baouendi 和 F. Treves [12] 在 CR 子流形上获得 Cauchy-Riemann (CR) 函数的局部近似。P. Manne [118] 在 1993 年进一步开发了这种方法在全实流形上的使用,以获得全实子流形上的 Carleman 近似(另见 [119])。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Approximation on Strongly Pseudoconvex Domains

正如我们所看到的,Mergelyan 定理在一个复变量中的证明在很大程度上取决于全纯或 $\bar{\partial}$ – 平面功能。 $-$ 维证明如此有效的一个最重要的原因是 Cauchy-Green 内核 (4) 为非齐次性提供了解决方案 $\bar{\partial}$ – 在所有的上 一致有界的方程 $\mathbb{C}$ 在数据的支持范数及其支持范围方面(见 (6) ) 。这允许函数的统一逼近 $\mathscr{A}(K)$ 在任 意紧集上 $K \subset \mathbb{C}$ 中的函数边界不太粗 $\mathscr{O}(K)$ (参见维图什金定理 7) 。在多个变量中不存在这样的情 况,均匀逼近性问题对边界的形状高度敏感,即使对于平滑有界的域也是如此。
为域开发全纯积分核的想法 $\mathbb{C}^n \mathrm{H}$. Grauert 已经在 1960 年左右提倡在一个变量中具有与柯西核相似的特 性;然而,它花了将近十年的时间才实现。GM Henkin [92] 和 E. Ramírez de Arellano [138] 于 1969 年 针对强伪凸域类给出了第一个此类结构。这些内核为 $\bar{\partial}$ – 有界的方程 $\mathscr{C}^k$ 规范和提高规律性 $1 / 2$. 我们在这 里陈述他们结果的一个特例(0,1)-形式,但更精确的形式可以在 I. Lieb 和 M. Range [112,定理 1],I. Lieb 和J. Michel [111],以及 [62,定理 2.7.3] 的作品中找到]. [66,第 392-393 页] 中给出了内核方法的 简要历史回顾。给定一个域 $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ ,我们用 $\mathscr{C}{(0,1)}^k(\bar{\Omega})$ 所有微分的空间 $(0,1)$ – 类的形式 $\mathscr{C}^k$ 在 $\bar{\Omega}$. 定理 23 如果 $\Omega$ 是具有类边界的有界强伪凸斯坦因域 $\mathscr{C}^k$ 对于一些 $k \in 2,3, \ldots$ 在一个复杂流形 $X$ ,存在有 界线性算子 $T: \zeta(0,1)^0(\bar{\Omega}) \rightarrow \mathscr{L}^0(\bar{\Omega})$ 满足以下性质:(i) 如果 $f \in \mathscr{C} 0,1^0(\bar{\Omega}) \cap \mathscr{C} 0,1^1(\Omega)$ 和 $\bar{\partial} f=0$ ,然后 $\bar{\partial}(T f)=f$. (ii) 如果 $f \in \mathscr{C} 0,1^0(\bar{\Omega}) \cap \mathscr{C} 0,1^r(\Omega)$ 对于一些 $r \in 1, \ldots, k$ 然后 $$ |T f| \mathscr{G} l, 1 / 2(\bar{\Omega}) \leq C{l, \Omega}|f|_{\mathscr{C} 0,1(\bar{\Omega})}, \quad l=0,1, \ldots, r .
$$
此外,常数 $C l, \Omega$ 可以为所有域充分地统一选择 $\mathscr{C}^k$ 相近 $\bar{\Omega}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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