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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Results on the Zeros of Holomorphic Functions
In the previous sections of this chapter, we have developed a detailed understanding of the local behavior of holomorphic functions, that is, of their behavior in a small neighborhood of a particular point. The methods we used, and especially Proposition 5.1.2, can be applied in a wider context to the “global behavior” of a holomorphic function on its whole domain of definition. In this section we state and prove two important results of this sort.
Theorem 5.3.1 (Rouché’s theorem). Suppose that $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ are holomorphic functions on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$. Suppose also that $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ and that, for each $\zeta \in \partial D(P, r)$,
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|<|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
Then
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f(\zeta)} d \zeta=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{g^{\prime}(\zeta)}{g(\zeta)} d \zeta
$$
That is, the number of zeros of $f$ in $D(P, r)$ counting multiplicities equals the number of zeros of $g$ in $D(P, r)$ counting multiplicities.
Before beginning the proof of Rouché’s theorem, we note that the (at first strange looking) inequality (*) implies that neither $f(\zeta)$ nor $g(\zeta)$ can vanish on $\partial D(P, r)$. In particular, neither $f$ nor $g$ vanishes identically; moreover, the integrals of $f^{\prime} / f$ and of $g^{\prime} / g$ on $\partial D(P, r)$ are defined.
Also, $()$ implies that the function $f(\zeta) / g(\zeta)$ cannot take a value in ${x+i 0: x \leq 0}$ for any $\zeta \in \partial D(P, r)$. If it did, say $$ \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\lambda \leq 0 $$ for some $\zeta \in \partial D(P, r)$, then $$ \begin{aligned} \left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}-1\right| &=|\lambda-1| \ &=-\lambda+1 \ &=\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\right|+1 \end{aligned} $$ hence $$ |f(\zeta)-g(\zeta)|=|f(\zeta)|+|g(\zeta)| $$ This equality contradicts $()$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Principle
Consider the $C^{\infty}$ function $g$ on the unit disc given by $g(z)=2-|z|^{2}$. Notice that $1<|g(z)| \leq 2$ and that $g(0)=2$. The function assumes an interior maximum at $z=0$. One of the most startling features of holomorphic functions is that they cannot behave in this fashion: In stating the results about this phenomenon, the concept of a connected open set occurs so often that it is convenient to introduce a single word for it.
Definition 5.4.1. A domain in $\mathbb{C}$ is a connected open set. A bounded domain is a connected open set $U$ such that there is an $R>0$ with $|z|<R$ for all $z \in U$.
Theorem 5.4.2 (The maximum modulus principle). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a domain. Let $f$ be a holomorphic function on $U$. If there is a point $P \in U$ such that $|f(P)| \geq|f(z)|$ for all $z \in U$, then $f$ is constant.
Proof. Assume that there is such a $P$. If $f$ is not constant, then $f(U)$ is open by the open mapping principle. Hence there are points $\zeta$ of $f(U)$ with $|\zeta|>|f(P)|$. This is a contradiction. Hence $f$ is a constant.
Here is a consequence of the maximum modulus principle that is often useful:
Corollary 5.4.3 (Maximum modulus theorem). Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be a bounded domain. Let $f$ be a continuous function on $\bar{U}$ that is holomorphic on $U$. Then the maximum value of $|f|$ on $\bar{U}$ (which must occur, since $\bar{U}$ is closed and bounded) must occur on $\partial U$.
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Results on the Zeros of Holomorphic Functions
在本章的前几节中，我们详细了解了全纯函数的局部行为，即它们在特定点的小邻域中的行为。我们使用的方法，
尤其是命题 5.1.2，可以在更广泛的背景下应用于全纯函数在其整个定义域上的“全局行为”。在本节中，我们陈述并 证明了此类的两个重要结果。
定理 5.3.1 (鲁歇定理) 。假设 $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$. 还假设 $\bar{D}(P, r) \subseteq U$ 而且，对于每个 $\zeta \in \partial D(P, r)$,
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|<|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
然后
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f(\zeta)} d \zeta=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D(P, r)} \frac{g^{\prime}(\zeta)}{g(\zeta)} d \zeta
$$
也就是说，零的个数 $f$ 在 $D(P, r)$ 计数重数等于零的数量 $g$ 在 $D(P, r)$ 计算多重性。
在开始证明 Rouché 定理之前，我们注意到（起初看起来很奇怪) 不等式 (*) 意味着两者都不 $f(\zeta)$ 也不 $g(\zeta)$ 可以消 失 $\partial D(P, r)$. 特别是，无论 $f$ 也不 $g$ 同样消失；此外，积分 $f^{\prime} / f$ 和 $g^{\prime} / g$ 上 $\partial D(P, r)$ 被定义。
还，()意味着函数 $f(\zeta) / g(\zeta)$ 不能取值 $x+i 0: x \leq 0$ 对于任何 $\zeta \in \partial D(P, r)$. 如果是的话，说
$$
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\lambda \leq 0
$$
对于一些 $\zeta \in \partial D(P, r)$ ，然后
$$
\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}-1\right|=|\lambda-1| \quad=-\lambda+1=\left|\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\right|+1
$$
因此
$$
|f(\zeta)-g(\zeta)|=|f(\zeta)|+|g(\zeta)|
$$
这种平等矛盾 () .
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Maximum Modulus Principle
考虑 $C^{\infty}$ 功能 $g$ 在给定的单位圆盘上 $g(z)=2-|z|^{2}$. 请注意 $1<|g(z)| \leq 2$ 然后 $g(0)=2$. 该函数假定内部最大 值为 $z=0$. 全纯函数最令人吃惊的特征之一是它们不能以这种方式表现: 在说明这种现象的结果时，连通开集的概 念出现得如此频繁，以至于为它引入一个词很方便。 定义 5.4.1。一个域在 $\mathbb{C}$ 是连通开集。有界域是连通开集 $U$ 这样有一个 $R>0$ 和 $|z||f(P)|$. 这是一个矛盾。因此 $f$ 是一个常数。
这是通常有用的最大模量原理的结果:
推论 5.4.3 (最大模量定理) 。让 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是一个有界域。让 $f$ 是一个连续函数 $\bar{U}$ 那是全纯的 $U$. 那么最大值 $|f|$ 上 $\bar{U}$ (这必须发生，因为 $\bar{U}$ 是封闭的和有界的) 必须发生在 $\partial U$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。